CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLATE.

După cum arată experiența, rezistența unei tije la diferite deformații depinde nu numai de dimensiunile secțiunii transversale, ci și de formă.

Dimensiunile și forma secțiunii transversale sunt caracterizate de diverse caracteristici geometrice: aria secțiunii transversale, momente statice, momente de inerție, momente de rezistență etc.

1. Momentul static al zonei(momentul de inerție de gradul I).

Momentul static de inerție aria relativă la orice axă este suma produselor ariilor elementare și distanța față de această axă, răspândită pe întreaga zonă (Fig. 1)

Fig.1

Proprietățile momentului static al ariei:

1. Momentul static al ariei se măsoară în unități de lungime ale celei de-a treia puteri (de exemplu, cm 3).

2. Momentul static poate fi mai mic decât zero, mai mare decât zero și, prin urmare, egal cu zero. Axele în jurul cărora momentul static este zero trec prin centrul de greutate al secțiunii și se numesc axe centrale.

Dacă x cȘi Y c sunt coordonatele centrului de greutate, atunci

3. Momentul static de inerție al unei secțiuni complexe față de orice axă este egal cu suma momentelor statice ale componentelor secțiunilor simple față de aceeași axă.

Conceptul de moment static de inerție în știința forței este folosit pentru a determina poziția centrului de greutate al secțiunilor, deși trebuie amintit că în secțiunile simetrice centrul de greutate se află la intersecția axelor de simetrie.

2. Momentul de inerție al secțiunilor plane (figuri) (momentele de inerție de gradul II).

A) axial(ecuatorial) moment de inerție.

Momentul axial de inerție Aria unei figuri în raport cu orice axă este suma produselor ariilor elementare cu pătratul distanței până la această axă de distribuție pe întreaga zonă (Fig. 1)

Proprietăți ale momentului axial de inerție.

1. Momentul axial de inerție al zonei se măsoară în unități de lungime a puterii a patra (de exemplu, cm 4).

2. Momentul axial de inerție este întotdeauna mai mare decât zero.

3. Momentul axial de inerție al unei secțiuni complexe față de orice axă este egal cu suma momentelor axiale ale componentelor secțiunilor simple față de aceeași axă:

4. Mărimea momentului axial de inerție caracterizează capacitatea unei tije (grindă) de o anumită secțiune transversală de a rezista la încovoiere.

b) Momentul polar de inerție.

Momentul polar de inerție Aria unei figuri în raport cu orice pol este suma produselor ariilor elementare cu pătratul distanței până la pol, răspândită pe întreaga zonă (Fig. 1).

Proprietățile momentului polar de inerție:

1. Momentul polar de inerție al unei zone se măsoară în unități de lungime ale celei de-a patra puteri (de exemplu, cm 4).

2. Momentul polar de inerție este întotdeauna mai mare decât zero.

3. Momentul polar de inerție al unei secțiuni complexe față de orice pol (centru) este egal cu suma momentelor polare ale componentelor secțiunilor simple raportate la acest pol.

4. Momentul polar de inerție al unei secțiuni este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale acestei secțiuni în raport cu două axe reciproc perpendiculare care trec prin pol.

5. Mărimea momentului polar de inerție caracterizează capacitatea unei tije (grindă) cu o anumită formă de secțiune transversală de a rezista la torsiune.

c) Momentul de inerție centrifugal.

MOMENTUL CENTRIFUG DE INERȚIE al ariei unei figuri în raport cu orice sistem de coordonate este suma produselor ariilor elementare și coordonatelor, extinsă pe întreaga zonă (Fig. 1)

Proprietăți ale momentului de inerție centrifugal:

1. Momentul de inerție centrifugal al unei zone se măsoară în unități de lungime ale puterii a patra (de exemplu, cm 4).

2. Momentul de inerție centrifugal poate fi mai mare decât zero, mai mic decât zero și egal cu zero. Axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero se numesc axe principale de inerție. Două axe reciproc perpendiculare, dintre care cel puțin una este o axă de simetrie, vor fi axele principale. Axele principale care trec prin centrul de greutate al zonei sunt numite axe centrale principale, iar momentele axiale de inerție ale zonei sunt numite momente centrale de inerție principale.

3. Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe în orice sistem de coordonate este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale figurilor constitutive din același sistem de coordonate.

MOMENTE DE INERTIE RELATIVE LA AXELE PARALELE.

Fig.2

Date: topoare X y– centrală;

acestea. momentul axial de inerție într-o secțiune în jurul unei axe paralele cu cea centrală este egal cu momentul axial în jurul axei sale centrale plus produsul ariei și pătratul distanței dintre axe. Rezultă că momentul axial de inerție al secțiunii față de axa centrală are o valoare minimă într-un sistem de axe paralele.

Făcând calcule similare pentru momentul de inerție centrifugal, obținem:

J x1y1 =J xy +Aab

acestea. Momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele paralele cu sistemul de coordonate central este egal cu momentul centrifug din sistemul de coordonate central plus produsul ariei și distanța dintre axe.

MOMENTE DE INERTIE ÎNTR-UN SISTEM DE COORDONATE ROTATE

acestea. suma momentelor axiale de inerție ale secțiunii este o valoare constantă, nu depinde de unghiul de rotație al axelor de coordonate și este egală cu momentul polar de inerție față de origine. Momentul de inerție centrifugal își poate schimba valoarea și devine „0”.

Axele în jurul cărora momentul centrifug este zero vor fi axele principale de inerție, iar dacă trec prin centrul de greutate, atunci se numesc axe principale de inerție și sunt desemnate „ u" și "".

Momentele de inerție în jurul axelor centrale principale sunt numite momente de inerție centrale principale și sunt desemnate , iar principalele momente centrale de inerție au valori extreme, i.e. unul este „min”, iar celălalt este „max”.

Fie ca unghiul „a 0” să caracterizeze poziția axelor principale, apoi:

Folosind această dependență, determinăm poziția axelor principale. Mărimea momentelor principale de inerție după unele transformări este determinată de următoarea relație:

EXEMPLE DE DETERMINARE A MOMENTELOR AXIALE DE INERTIE, MOMENTE DE INERTIE POLARE SI MOMENTE DE REZISTENTA FIGURILOR SIMPLE.

1. Secțiune dreptunghiulară

Axe X iar y - aici și în alte exemple - principalele axe centrale de inerție.

Să determinăm momentele axiale de rezistență:

2. Secțiune solidă rotundă. Momente de inerție.

Dacă trasăm axe de coordonate prin punctul O, atunci față de aceste axe momentele centrifuge de inerție (sau produsele de inerție) sunt mărimile definite de egalitățile:

unde sunt masele punctelor; - coordonatele acestora; este evident că etc.

Pentru corpurile solide, formulele (10), prin analogie cu (5), iau forma

Spre deosebire de cele axiale, momentele de inerție centrifuge pot fi atât cantități pozitive, cât și negative și, în special, cu un anumit mod de alegere a axelor, pot deveni zero.

Axele principale de inerție. Să considerăm un corp omogen având o axă de simetrie. Să desenăm axele de coordonate Oxyz astfel încât axa să fie îndreptată de-a lungul axei de simetrie (Fig. 279). Apoi, din cauza simetriei, fiecărui punct al unui corp cu masa mk și coordonate îi va corespunde un punct cu un indice diferit, dar cu aceeași masă și cu coordonate egale cu . Ca rezultat, obținem că, deoarece în aceste sume toți termenii sunt identici în perechi ca mărime și opuși ca semn; de aici, ținând cont de egalitățile (10), găsim:

Astfel, simetria în distribuția maselor în raport cu axa z este caracterizată prin dispariția a două momente de inerție centrifuge. Axa Oz, pentru care momentele de inerție centrifuge care conțin numele acestei axe în indicii lor sunt egale cu zero, se numește axa principală de inerție a corpului pentru punctul O.

Din cele de mai sus rezultă că, dacă un corp are o axă de simetrie, atunci această axă este axa principală de inerție a corpului pentru oricare dintre punctele sale.

Axa principală de inerție nu este neapărat axa de simetrie. Să considerăm un corp omogen care are un plan de simetrie (în Fig. 279 planul de simetrie al corpului este planul ). Să desenăm câteva axe și o axă perpendiculară pe acestea în acest plan.Atunci, din cauza simetriei, fiecărui punct cu masă și coordonate îi va corespunde un punct cu aceeași masă și coordonate egale cu . Ca urmare, ca și în cazul precedent, aflăm că sau de unde rezultă că axa este axa principală de inerție pentru punctul O. Astfel, dacă un corp are un plan de simetrie, atunci orice axă perpendiculară pe acest plan va fi axa principală de inerție a corpului pentru punctul O, în care axa intersectează planul.

Egalitățile (11) exprimă condițiile că axa este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (origine).

În mod similar, dacă atunci axa Oy va fi axa principală de inerție pentru punctul O. Prin urmare, dacă toate momentele de inerție centrifuge sunt egale cu zero, i.e.

atunci fiecare dintre axele de coordonate este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (origine).

De exemplu, în Fig. 279 toate cele trei axe sunt principalele axe de inerție pentru punctul O (axa este axa de simetrie, iar axele Ox și Oy sunt perpendiculare pe planurile de simetrie).

Momentele de inerție ale unui corp în raport cu axele principale de inerție sunt numite momente de inerție principale ale corpului.

Principalele axe de inerție construite pentru centrul de masă al corpului sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului. Din cele demonstrate mai sus rezultă că, dacă un corp are o axă de simetrie, atunci această axă este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului, deoarece centrul de masă se află pe această axă. Dacă corpul are un plan de simetrie, atunci axa perpendiculară pe acest plan și care trece prin centrul de masă al corpului va fi, de asemenea, una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului.

În exemplele date au fost luate în considerare corpuri simetrice, ceea ce este suficient pentru a rezolva problemele pe care le vom întâlni. Cu toate acestea, se poate dovedi că prin orice punct al oricărui corp este posibil să se deseneze cel puțin trei axe reciproc perpendiculare pentru care se vor îndeplini egalitățile (11), adică care vor fi principalele axe de inerție ale corpului pentru acest punct. .

Conceptul de axe principale de inerție joacă un rol important în dinamica unui corp rigid. Dacă axele de coordonate Oxyz sunt direcționate de-a lungul lor, atunci toate momentele de inerție centrifuge devin zero și ecuațiile sau formulele corespunzătoare sunt simplificate semnificativ (vezi § 105, 132). Acest concept este asociat și cu rezolvarea problemelor privind ecuația dinamică a corpurilor în rotație (vezi § 136), asupra centrului de impact (vezi § 157), etc.

Să ne uităm la câteva caracteristici geometrice suplimentare ale figurilor plate. Una dintre aceste caracteristici se numește axial sau ecuatorial moment de inerție. Această caracteristică este relativă la axele și
(Fig.4.1) ia forma:

;
. (4.4)

Principala proprietate a momentului de inerție axial este că acesta nu poate fi mai mic de zero sau egal cu zero. Acest moment de inerție este întotdeauna mai mare decât zero:
;
. Unitatea de măsură pentru momentul axial de inerție este (lungimea 4).

Conectați originea coordonatelor cu un segment de linie dreaptă cu arie infinitezimală
și notează acest segment cu literă (Fig.4.4). Momentul de inerție al unei figuri în raport cu pol - originea - se numește momentul polar de inerție:

. (4.5)

Acest moment de inerție, ca și cel axial, este întotdeauna mai mare decât zero (
) și are dimensiunea – (lungime 4).

Să-l notăm condiție de invarianță suma momentelor de inerție ecuatoriale în jurul a două axe reciproc perpendiculare. Din fig. 4.4 este clar că
.

Înlocuind această expresie în formula (4.5), obținem:

Condiția de invarianță este formulată după cum urmează: suma momentelor axiale de inerție față de oricare două axe reciproc perpediculare este o valoare constantă și egală cu momentul polar de inerție față de punctul de intersecție al acestor axe.

Se numește momentul de inerție al unei figuri plane față de două axe perpendiculare simultan biaxiale sau centrifugal moment de inerție. Momentul de inerție centrifugal are următoarea formă:

. (4.7)

Momentul de inerție centrifugal are dimensiunea – (lungime 4). Poate fi pozitiv, negativ sau zero. Se numesc axe în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero axele principale de inerție. Să demonstrăm că axa de simetrie a unei figuri plane este axa principală.

Luați în considerare figura plată prezentată în Fig. 4.5.

Selectați stânga și dreapta din axa de simetrie două elemente cu arie infinitezimală
. Centrul de greutate al întregii figuri este în punctul C. Să plasăm originea coordonatelor în punctul C și să notăm coordonatele verticale ale elementelor selectate cu litera „ ”, pe orizontală – pentru elementul din stânga “
”, pentru elementul potrivit “ " Să calculăm suma momentelor de inerție centrifuge pentru elementele selectate cu o suprafață infinitezimală în raport cu axele Și :

Dacă integrăm expresia (4.8) din stânga și dreapta, obținem:

, (4.9)

deoarece dacă axa este o axă de simetrie, atunci pentru orice punct situat la stânga acestei axe există întotdeauna un punct simetric cu acesta.

Analizând soluția obținută ajungem la concluzia că axa de simetrie este axa principală de inerție. Axa centrală este și axa principală, deși nu este o axă de simetrie, deoarece momentul de inerție centrifugal a fost calculat simultan pentru două axe. Și și s-a dovedit a fi zero.

DEFINIȚIE

Momentul de inerție axial (sau ecuatorial). secțiunea relativă la axă se numește mărime care este definită ca:

Expresia (1) înseamnă că pentru a calcula momentul axial de inerție, suma produselor ariilor infinitezimale () înmulțită cu pătratele distanțelor de la acestea la axa de rotație este luată pe întreaga suprafață S:

Suma momentelor axiale de inerție ale secțiunii în raport cu axele reciproc perpendiculare (de exemplu, în raport cu axele X și Y în sistemul de coordonate carteziene) dă momentul polar de inerție () relativ la punctul de intersecție al acestor axe:

DEFINIȚIE

Moment polar inerția se numește secțiunea momentului de inerție față de un anumit punct.

Momentele axiale de inerție sunt întotdeauna mai mari decât zero, deoarece în definițiile lor (1) sub semnul integral există valoarea ariei ariei elementare (), întotdeauna pozitivă, și pătratul distanței de la această zonă la axa.

Dacă avem de-a face cu o secțiune de formă complexă, atunci adesea în calcule folosim faptul că momentul de inerție axial al unei secțiuni complexe în raport cu axa este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale părților acestei secțiuni. raportat la aceeași axă. Cu toate acestea, trebuie amintit că este imposibil să însumăm momentele de inerție care se găsesc în raport cu diferite axe și puncte.

Momentul axial de inerție față de axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii are cea mai mică valoare dintre toate momentele față de axele paralele cu acesta. Momentul de inerție față de orice axă () cu condiția ca aceasta să fie paralelă cu axa care trece prin centrul de greutate este egal cu:

unde este momentul de inerție al secțiunii în raport cu axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii; - arie a secțiunii transversale; - distanta intre axe.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercițiu	Care este momentul axial de inerție al unei secțiuni transversale triunghiulare isoscelă față de axa Z care trece prin centrul de greutate () al triunghiului, paralel cu baza acestuia? Înălțimea triunghiului este .
Soluţie	Să selectăm o zonă elementară dreptunghiulară pe o secțiune triunghiulară (vezi Fig. 1). Este situat la o distanță de axa de rotație, lungimea unei laturi este , cealaltă parte este . Din fig. 1 rezultă că: Aria dreptunghiului selectat, ținând cont de (1.1), este egală cu: Pentru a găsi momentul axial de inerție, folosim definiția acestuia sub forma:
Răspuns

EXEMPLUL 2

Exercițiu	Aflați momentele de inerție axiale în raport cu axele perpendiculare X și Y (Fig. 2) ale unei secțiuni sub forma unui cerc al cărui diametru este egal cu d.
Soluţie	Pentru a rezolva problema, este mai convenabil să începeți prin a găsi momentul polar relativ la centrul secțiunii (). Să împărțim întreaga secțiune în inele infinit de subțiri de grosime, a căror rază va fi notă cu . Apoi găsim zona elementară ca:

produs al inerției, una dintre mărimile care caracterizează distribuția maselor într-un corp (sistem mecanic). C. m. și. sunt calculate ca sume de produse ale maselor m la puncte ale corpului (sistemului) la două dintre coordonate x k, y k, z k aceste puncte:

Valorile C. m. și. depind de direcțiile axelor de coordonate. În acest caz, pentru fiecare punct al corpului există cel puțin trei astfel de axe reciproc perpendiculare, numite axe principale de inerție, pentru care masa centrifugă și. sunt egale cu zero.

Conceptul de C. m. și. joacă un rol important în studiul mișcării de rotație a corpurilor. Din valorile lui C. m. și. depind de mărimea forțelor de presiune asupra lagărelor în care este fixată axa corpului rotativ. Aceste presiuni vor fi cele mai mici (egale cu statice) dacă axa de rotație este axa principală de inerție care trece prin centrul de masă al corpului.

• - ...

  Enciclopedie fizică

• - ...

  Enciclopedie fizică

• - vezi Eferent...

  Mare enciclopedie psihologică

• - caracteristica geometrică a secțiunii transversale a unei tije deschise cu pereți subțiri, egală cu suma produselor ariilor elementare ale secțiunii transversale cu pătratele ariilor sectoriale - moment de inerție sectorial -...

  Dicționar de construcții

• - caracteristica geometrică a secțiunii transversale a tijei, egală cu suma produselor secțiunilor elementare ale secțiunii prin pătratele distanțelor acestora față de axa luată în considerare - moment de inerție - moment setrvačnosti - Trägheitsmoment -...

  Dicționar de construcții

• - o mărime care caracterizează distribuția maselor în corp și este, alături de masă, o măsură a inerției corpului atunci când nu se mișcă. circulaţie. Există M. axiale şi centrifuge şi. Axial M. și. egal cu suma produselor...
• - principale, trei axe reciproc perpendiculare, care pot fi desenate prin orice punct de pe televizor. corpuri, diferă prin aceea că, dacă un corp fixat în acest punct este adus în rotație în jurul unuia dintre ele, atunci în absența...

  Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

• - o axă în planul secțiunii transversale a unui corp solid, în raport cu care se determină momentul de inerție al secțiunii - inertial os - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - inertial tenkhleg - oś bezwładności - axă de inerție - osa inercije - eje...

  Dicționar de construcții

• - momentul în care produsele expediate cumpărătorului sunt considerate vândute...

  Dicţionar enciclopedic de economie şi drept

• - acest concept a fost introdus în știință de Euler, deși Huygens folosise anterior o expresie de același fel, fără a-i da o denumire specială: una dintre căile care conduc la definirea lui este următoarea...

  Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Euphron

• - o mărime care caracterizează distribuția maselor într-un corp și este, împreună cu masa, o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării netranslaționale. În mecanică se face o distincție între mecanisme și axial si centrifugal...
• - principale, trei axe reciproc perpendiculare trase printr-un punct al corpului, având proprietatea că, dacă sunt luate ca axe de coordonate, atunci momentele de inerție centrifuge ale corpului față de...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - produsul inerției, una dintre mărimile care caracterizează distribuția maselor într-un corp...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - o mărime care caracterizează distribuția maselor în corp și este, alături de masă, o măsură a inerției corpului atunci când nu se mișcă. circulaţie. Există momente de inerție axiale și centrifuge...
• - principal - trei axe reciproc perpendiculare care pot fi trase prin orice punct al unui corp solid, caracterizate prin aceea că, dacă un corp fixat în acest punct este adus în rotație în jurul uneia dintre ele, atunci...

  Dicționar enciclopedic mare

• - ...

  Forme de cuvinte

„Momentul de inerție centrifugal” în cărți

Contrar inerției

Din cartea Sfinxii secolului al XX-lea autor Petrov Rem Viktorovici

Contrar inerției

Din cartea Sfinxii secolului al XX-lea autor Petrov Rem Viktorovici

Contrar inerției „În ultimele două decenii, natura imunologică a respingerii transplantului de țesut a devenit general acceptată și toate aspectele proceselor de respingere sunt sub control experimental strict.” Amprentele Leslie Brent Deci, la întrebarea „Ce

Prin inerție

Din cartea Cât valorează o persoană? Povestea experienței în 12 caiete și 6 volume. autor

Prin inerție

Din cartea Cât valorează o persoană? Caiet zece: Sub „aripa” minei autor Kersnovskaya Evfrosiniya Antonovna

Prin inerție Pentru a aprecia peisajul, trebuie să priviți imaginea de la o oarecare distanță. Pentru a evalua corect un eveniment este nevoie și de o anumită distanță. Legea inerției era în vigoare. În timp ce spiritul schimbării a ajuns la Norilsk, multă vreme părea că totul alunecă

24. Puterea de inerție

Din cartea Ethereal Mechanics autoarea Danina Tatyana

24. Forța de inerție Eterul emis de emisfera posterioară a unei particule care se mișcă inerțial este Forța de inerție. Această forță inerțială este respingerea eterului care umple particula cu eterul emis de la sine. Mărimea forței inerțiale este proporțională cu viteza de emisie.

3.3.1. Pompa centrifuga submersibila

Din cartea Your Own Plumber. Instalații de comunicații de țară autor Kashkarov Andrei Petrovici

3.3.1. Pompa centrifuga submersibila In aceasta sectiune vom lua in considerare varianta cu pompa centrifuga submersibila NPTs-750. Folosesc apa de izvor din aprilie pana in octombrie. Îl pompez cu o pompă centrifugă submersibilă NPTs-750/5nk (primul număr indică consumul de energie în wați,