Pentru un punct material, legea de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca
Înmulțind ambele părți ale acestei relații din stânga vectorial cu vectorul rază (Fig. 3.9), obținem
(3.32)
În partea dreaptă a acestei formule avem momentul de forță relativ la punctul O. Transformăm partea stângă aplicând formula pentru derivata unui produs vectorial
Dar 
ca produs vectorial al vectorilor paraleli. După asta primim
(3.33)
Prima derivată în raport cu timpul a momentului de impuls al unui punct relativ la orice centru este egală cu momentul de forță relativ la același centru.
 |
Un exemplu de calcul al momentului unghiular al unui sistem. Calculați momentul cinetic relativ la punctul O al unui sistem format dintr-un arbore cilindric de masă M = 20 kg și rază R = 0,5 m și o sarcină descendentă de masă m = 60 kg (Figura 3.12). Arborele se rotește în jurul axei Oz cu o viteză unghiulară ω = 10 s -1.
Figura 3.12
; ; 
Pentru datele de intrare date, momentul unghiular al sistemului
Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui sistem. Aplicăm forțele interne și externe rezultate în fiecare punct al sistemului. Pentru fiecare punct al sistemului, puteți aplica teorema privind modificarea momentului unghiular, de exemplu în forma (3.33)
Însumând toate punctele sistemului și ținând cont de faptul că suma derivatelor este egală cu derivata sumei, obținem
Prin determinarea momentului cinetic al sistemului și a proprietăților forțelor externe și interne
Prin urmare, relația rezultată poate fi reprezentată ca
Prima derivată temporală a momentului unghiular al unui sistem în raport cu orice punct este egală cu momentul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului în raport cu același punct.
3.3.5. Munca de forta
1) Lucrul elementar al unei forțe este egal cu produsul scalar al forței și raza diferențială a vectorului punctului de aplicare a forței (Fig. 3.13)
Figura 3.13
Expresia (3.36) poate fi scrisă și în următoarele forme echivalente
unde este proiecția forței pe direcția vitezei punctului de aplicare a forței.
2) Munca de forta la deplasarea finala
Integrând munca elementară a forței, obținem următoarele expresii pentru munca forței la deplasarea finală din punctul A în punctul B
3) Munca de forta constanta
Dacă forța este constantă, atunci din (3.38) rezultă
Munca unei forțe constante nu depinde de forma traiectoriei, ci depinde doar de vectorul deplasării punctului de aplicare al forței.
4) Munca de forta de greutate
Pentru forța de greutate (Fig. 3.14) și din (3.39) obținem
Figura 3.14
Dacă mișcarea are loc din punctul B în punctul A, atunci
În general
Semnul „+” corespunde mișcării în jos a punctului de aplicare a forței, semnul „-” – în sus.
4) Lucru de forță elastică
Fie ca axa arcului să fie îndreptată de-a lungul axei x (Fig. 3.15), iar capătul arcului se deplasează din punctul 1 în punctul 2, apoi din (3.38) obținem 
Dacă rigiditatea arcului este Cu, deci
A 
(3.41)
Dacă capătul arcului se deplasează de la punctul 0 la punctul 1, atunci în această expresie înlocuim , , atunci lucrul forței elastice va lua forma
(3.42)
unde este alungirea arcului.
Figura 3.15
5) Lucrul de forță aplicat unui corp în rotație. Lucrarea momentului.
În fig. Figura 3.16 prezintă un corp în rotație căruia i se aplică o forță arbitrară. În timpul rotației, punctul de aplicare al acestei forțe se mișcă într-un cerc.
În unele probleme, în locul impulsului în sine, momentul său relativ la un centru sau o axă este considerat o caracteristică dinamică a unui punct în mișcare. Aceste momente sunt definite în același mod ca și momentele de forță.
Cantitatea de impuls a mișcării punctul material relativ la un centru O se numește vector definit de egalitate
Momentul unghiular al unui punct se mai numește moment cinetic .
Impuls față de orice axă, care trece prin centrul O, este egală cu proiecția vectorului moment pe această axă.
Dacă momentul este dat de proiecțiile sale pe axele de coordonate și sunt date coordonatele punctului din spațiu, atunci momentul unghiular relativ la origine se calculează după cum urmează:
Proiecțiile momentului unghiular pe axele de coordonate sunt egale cu:
Unitatea SI a impulsului este – .
Sfârșitul lucrării -
Acest subiect aparține secțiunii:
Dinamica
Prelegere.. sumar introducere în dinamică, axiome ale mecanicii clasice.. introducere..
Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:
Ce vom face cu materialul primit:
Dacă acest material ți-a fost util, îl poți salva pe pagina ta de pe rețelele sociale:
| Tweet |
Toate subiectele din această secțiune:
Sisteme unitare
SGS Si Tehnic [L] cm m m [M]
Ecuații diferențiale ale mișcării unui punct
Ecuația de bază a dinamicii poate fi scrisă după cum urmează
Sarcini de bază ale dinamicii
Prima problemă sau directă: Se cunosc masa unui punct și legea mișcării acestuia; este necesar să se găsească forța care acționează asupra punctului. m
Cele mai importante cazuri
1. Forța este constantă.
Cantitatea de mișcare a punctului
Mărimea mișcării unui punct material este un vector egal cu produsul m
Impuls de forță elementară și completă
Acțiunea unei forțe asupra unui punct material în timp
Teorema privind modificarea impulsului unui punct
Teorema. Derivată în timp a impulsului unui punct este egală cu forța care acționează asupra punctului. Să scriem legea de bază a dinamicii
Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct
Teorema. Derivată în timp a momentului de impuls al unui punct luat în raport cu un anumit centru este egală cu momentul forței care acționează asupra punctului relativ la același
Munca de forta. Putere
Una dintre principalele caracteristici ale forței care evaluează efectul forței asupra unui corp în timpul unei mișcări.
Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct
Teorema. Diferența energiei cinetice a unui punct este egală cu munca elementară a forței care acționează asupra punctului.
Principiul lui D'Alembert pentru un punct material
Ecuația mișcării unui punct material față de un sistem de referință inerțial sub acțiunea forțelor active aplicate și a forțelor de reacție de cuplare are forma:
Dinamica unui punct material neliber
Un punct material neliber este un punct a cărui libertate de mișcare este limitată. Corpurile care limitează libertatea de mișcare a unui punct se numesc conexiuni
Mișcarea relativă a unui punct material
În multe probleme de dinamică, mișcarea unui punct material este considerată relativ la un cadru de referință care se mișcă în raport cu un cadru de referință inerțial.
Cazuri speciale de mișcare relativă
1. Mișcare relativă prin inerție Dacă un punct material se mișcă în raport cu un cadru de referință în mișcare rectiliniu și uniform, atunci o astfel de mișcare se numește relativă
Geometria maselor
Luați în considerare un sistem mecanic care constă dintr-un număr finit de puncte materiale cu mase
Momente de inerție
Pentru a caracteriza distribuția maselor în corpuri atunci când se iau în considerare mișcările de rotație, este necesar să se introducă conceptele de momente de inerție. Moment de inerție în jurul unui punct
Momentele de inerție ale celor mai simple corpuri
1. Tijă uniformă 2. Placă dreptunghiulară 3. Disc rotund uniform
Cantitatea de mișcare a sistemului
Cantitatea de mișcare a unui sistem de puncte materiale este suma vectorială a mărimilor
Teorema privind modificarea impulsului unui sistem
Această teoremă vine în trei forme diferite. Teorema. Derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma vectorială a tuturor forțelor externe care acționează asupra lor
Legile conservării impulsului
1. Dacă vectorul principal al tuturor forțelor externe ale sistemului este zero (), atunci cantitatea de mișcare a sistemului este constantă
Teorema asupra mișcării centrului de masă
Teorema Centrul de masă al unui sistem se mișcă în același mod ca un punct material, a cărui masă este egală cu masa întregului sistem, dacă asupra punctului acționează toate forțele externe aplicate punctului.
Momentul sistemului
Momentul unghiular al unui sistem de puncte materiale relativ la unele
Momentul impulsului unui corp rigid față de axa de rotație în timpul mișcării de rotație a unui corp rigid
Să calculăm momentul unghiular al unui corp rigid în raport cu axa de rotație.
Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui sistem
Teorema. Derivata în timp a momentului de impuls al sistemului, luată relativ la un centru, este egală cu suma vectorială a momentelor forțelor externe care acționează asupra
Legile conservării momentului unghiular
1. Dacă momentul principal al forțelor externe ale sistemului relativ la punct este egal cu zero (
Energia cinetică a sistemului
Energia cinetică a unui sistem este suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor sistemului.
Energia cinetică a unui solid
1. Mișcarea înainte a corpului. Energia cinetică a unui corp rigid în timpul mișcării de translație se calculează în același mod ca pentru un punct a cărui masă este egală cu masa acestui corp.
Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem
Această teoremă vine în două forme. Teorema. Diferența energiei cinetice a sistemului este egală cu suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor externe și interne care acționează asupra sistemului.
În primul rând, să luăm în considerare cazul unui punct material. Fie masa punctului material M, viteza acestuia și cantitatea de mișcare.
Să selectăm un punct O din spațiul înconjurător și să construim momentul vectorului relativ la acest punct după aceleași reguli după care se calculează momentul de forță în statică. Obținem mărimea vectorială
care se numește momentul unghiular al punctului material față de centrul O (Fig. 31).
Să construim un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian Oxyz cu originea în centrul O și să proiectăm vectorul ko pe aceste axe. Proiecțiile sale pe aceste axe, egale cu momentele vectorului în raport cu axele de coordonate corespunzătoare, se numesc momentele de impuls ale punctului material în raport cu axele de coordonate:
Să avem acum un sistem mecanic format din N puncte de material. În acest caz, momentul unghiular poate fi determinat pentru fiecare punct al sistemului:
Suma geometrică a momentului unghiular al tuturor punctelor materiale care alcătuiesc sistemul se numește momentul unghiular principal sau momentul cinetic al sistemului.
Mărimea mișcării sistemului, ca mărime vectorială, este determinată de formulele (4.12) și (4.13).
Teorema. Derivata impulsului sistemului în raport cu timpul este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra acestuia.
În proiecțiile axelor carteziene obținem ecuații scalare.
Puteți scrie un vector
(4.28)
și ecuații scalare
Care exprimă teorema despre modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor din aceeași perioadă de timp. La rezolvarea problemelor se folosesc mai des ecuațiile (4.27).
Legea conservării impulsului
Teorema privind modificarea momentului unghiular
Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct față de centru: derivata în timp a momentului unghiular al unui punct față de un centru fix este egală cu momentul vectorial de forță care acționează asupra punctului relativ la același centru.
Sau 
(4.30)
Comparând (4.23) și (4.30), vedem că momentele vectorilor și sunt legate prin aceeași dependență ca și vectorii și ei înșiși sunt legate (Fig. 4.1). Dacă proiectăm egalitatea pe axa care trece prin centrul O, obținem
(4.31)
Această egalitate exprimă teorema momentului unghiular a unui punct relativ la o axă.
|
(4.32)
Dacă proiectăm expresia (4.32) pe axa care trece prin centrul O, obținem o egalitate care caracterizează teorema privind modificarea momentului unghiular în raport cu axa.
(4.33)
Înlocuind (4.10) în egalitate (4.33), putem scrie ecuația diferențială a unui corp rigid rotativ (roți, osii, arbori, rotoare etc.) în trei forme.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Astfel, este recomandabil să folosiți teorema privind modificarea impulsului cinetic pentru a studia mișcarea unui corp rigid, care este foarte comună în tehnologie, rotația acestuia în jurul unei axe fixe.
Legea conservării momentului unghiular al unui sistem
1. Fiți în expresia (4.32) .
Apoi din ecuația (4.32) rezultă că, i.e. dacă suma momentelor tuturor forțelor externe aplicate sistemului în raport cu un centru dat este egală cu zero, atunci momentul cinetic al sistemului în raport cu acest centru va fi constant numeric și direcțional.
2. Dacă , atunci . Astfel, dacă suma momentelor forțelor exterioare care acționează asupra sistemului în raport cu o anumită axă este zero, atunci momentul cinetic al sistemului față de această axă va fi o valoare constantă.
Aceste rezultate exprimă legea conservării momentului unghiular.
În cazul unui corp rigid rotativ, din egalitatea (4.34) rezultă că, dacă , atunci . De aici ajungem la următoarele concluzii:
Dacă sistemul este imuabil (corp absolut rigid), atunci, în consecință, corpul rigid se rotește în jurul unei axe fixe cu o viteză unghiulară constantă.
Dacă sistemul este modificabil, atunci . Cu o creștere (atunci elementele individuale ale sistemului se îndepărtează de axa de rotație), viteza unghiulară scade, deoarece , iar la scădere crește, astfel, în cazul unui sistem variabil, cu ajutorul forțelor interne se poate modifica viteza unghiulară.
A doua sarcină D2 a testului este dedicată teoremei privind modificarea momentului unghiular al sistemului în raport cu axa.
Problema D2
O platformă orizontală omogenă (circulară cu raza R sau dreptunghiulară cu laturile R și 2R, unde R = 1,2 m) cu o masă de kg se rotește cu viteză unghiulară în jurul axei verticale z, distanțată de centrul de masă C al platformei la un distanța OC = b (Fig. E2.0 – D2.9, tabel D2); Dimensiunile pentru toate platformele dreptunghiulare sunt prezentate în Fig. D2.0a (vedere de sus).
În momentul de față, o sarcină D cu o masă de kg începe să se deplaseze de-a lungul jgheabului platformei (sub influența forțelor interne) conform legii, unde s este exprimat în metri, t - în secunde. În același timp, o pereche de forțe cu un moment M (specificat în newtonometre; la M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Determinați, neglijând masa arborelui, dependența i.e. viteza unghiulară a platformei în funcție de timp.
În toate figurile, sarcina D este prezentată într-o poziție în care s > 0 (când s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Directii. Problema D2 – aplicarea teoremei asupra modificării momentului unghiular al sistemului. Atunci când se aplică teorema unui sistem format dintr-o platformă și o sarcină, momentul unghiular al sistemului în raport cu axa z este determinat ca suma momentelor platformei și sarcinii. Trebuie avut în vedere că viteza absolută a sarcinii este suma vitezelor relative și portabile, adică. . Prin urmare, cantitatea de mișcare a acestei sarcini 
. Apoi puteți folosi teorema lui Varignon (statică), conform căreia ; aceste momente sunt calculate în același mod ca și momentele forțelor. Soluția este explicată mai detaliat în exemplul D2.
Când rezolvați o problemă, este util să reprezentați într-un desen auxiliar o vedere a platformei de sus (de la capătul z), așa cum se face în Fig. D2.0, a – D2.9, a.
Momentul de inerție al unei plăci cu masa m față de axa Cz, perpendicular pe placă și care trece prin centrul ei de masă, este egal cu: pentru o placă dreptunghiulară cu laturile și
;
Pentru o placă rotundă cu raza R
| Numărul condiției | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5t -0.6t 0.8t 0.4 0.5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Exemplul D2. O platformă orizontală omogenă (dreptunghiulară cu laturile 2l și l), având o masă, este atașată rigid de un arbore vertical și se rotește odată cu aceasta în jurul unei axe z cu viteza unghiulara (Fig. E2a ). În momentul de față, un cuplu M începe să acționeze asupra arborelui, îndreptat opus ; simultan marfa D masă situată în șanț AB la punct CU,începe să se deplaseze de-a lungul jgheabului (sub influența forțelor interne) conform legii s = CD = F(t).
Dat: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - în metri, t - în secunde), M= kt, Unde k=6 Nm/s. Determinaţi: - legea modificării vitezei unghiulare a platformei.
Soluţie. Luați în considerare un sistem mecanic format dintr-o platformă și o sarcină D. Pentru a determina w, aplicăm teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului în raport cu axa z:
(1)
Să descriem forțele externe care acționează asupra sistemului: forța gravitațională a reacției și cuplul M. Deoarece forțele și sunt paralele cu axa z, iar reacțiile intersectează această axă, momentele lor relativ la axa z sunt egale cu zero. Apoi, luând în considerare direcția pozitivă pentru moment (adică, în sens invers acelor de ceasornic), obținem 
iar ecuația (1) va lua această formă.
Direcția și mărimea momentului de impuls se determină exact în același mod ca și în cazul estimării momentului de forță (secțiunea 1.2.2).
În același timp definim ( principal) moment unghiular ca suma vectoriala a momentelor numarului de miscari ale punctelor sistemului luat in considerare. Are și un al doilea nume - moment cinetic :
Să găsim derivata în timp a expresiei (3.40), folosind regulile de diferențiere a produsului a două funcții, precum și faptul că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor (adică, semnul sumei poate fi mutat ca coeficient în timpul diferențierii):
.
Să luăm în considerare egalitățile cinematice evidente: 
. Apoi: 
. Folosim ecuația medie din formulele (3.26) 
, precum și faptul că produsul vectorial al doi vectori coliniari ( și ) este egal cu zero, obținem:
Aplicând proprietatea forțelor interne (3.36) la al 2-lea termen, obținem o expresie pentru teorema privind modificarea momentului principal al impulsului unui sistem mecanic:
 .
| (3.42) |
Derivata în timp a momentului cinetic este egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe care acționează în sistem.
Această formulare este adesea numită pe scurt: teorema momentului .
Trebuie remarcat faptul că teorema momentelor este formulată într-un cadru de referință fix în raport cu un anumit centru fix O. Dacă un corp rigid este considerat un sistem mecanic, atunci este convenabil să alegeți centrul O pe axa de rotație. a corpului.
Trebuie remarcată o proprietate importantă a teoremei momentului (o prezentăm fără derivare). Teorema momentelor este adevărată și într-un sistem de referință care se mișcă translațional dacă centrul de masă (punctul C) al corpului (sistemul mecanic) este ales ca centru:
Formularea teoremei în acest caz rămâne practic aceeași.
Corolarul 1
Fie partea dreaptă a expresiei (3.42) egală cu zero =0, - sistemul este izolat. Apoi din ecuația (3.42) rezultă că .
Pentru un sistem mecanic izolat, vectorul momentului cinetic al sistemului nu se modifică nici în direcție, nici în mărime în timp.
Corolarul 2
Dacă partea dreaptă a oricăreia dintre expresiile (3.44) este egală cu zero, de exemplu, pentru axa Oz: =0 (sistem parțial izolat), atunci din ecuațiile (3.44) rezultă: =const.
În consecință, dacă suma momentelor forțelor externe în raport cu orice axă este zero, atunci momentul cinetic axial al sistemului de-a lungul acestei axe nu se modifică în timp.
Formulările date mai sus în corolare sunt expresiile legea conservării momentului unghiular în sisteme izolate .
Momentul unui corp rigid
Să luăm în considerare un caz special - rotația unui corp rigid în jurul axei Oz (Fig. 3.4).
Fig.3.4
Un punct de pe un corp separat de axa de rotație printr-o distanță h k, se rotește într-un plan paralel cu Oxy cu o viteză de . În conformitate cu definiția momentului axial, folosim expresia (1.19), înlocuind proiecția F Forța XY pe acest plan cu cantitatea de mișcare a punctului 
. Să estimăm momentul cinetic axial al corpului:
Conform teoremei lui Pitagora 
, prin urmare (3.46) se poate scrie după cum urmează:
 | (3.47) |
Atunci expresia (3.45) va lua forma:
| (3.48) |
Dacă folosim legea conservării momentului unghiular pentru un sistem parțial izolat (Corolarul 2) în raport cu un corp solid (3.48), obținem . În acest caz, puteți lua în considerare două opțiuni:
ÎNTREBĂRI PENTRU AUTOCONTROL
1. Cum se determină momentul unghiular al unui corp rigid rotativ?
2. Cum diferă momentul axial de inerție de momentul cinetic axial?
3. Cum se modifică viteza de rotație a unui corp rigid în timp în absența forțelor externe?
Momentul axial de inerție al unui corp rigid
După cum vom vedea mai târziu, momentul axial de inerție al unui corp are aceeași semnificație pentru mișcarea de rotație a unui corp ca și masa unui corp în timpul mișcării sale de translație. Aceasta este una dintre cele mai importante caracteristici ale corpului, determinând inerția corpului în timpul rotației acestuia. După cum se poate observa din definiția (3.45), aceasta este o mărime scalară pozitivă, care depinde de masele punctelor sistemului, dar într-o măsură mai mare de distanța punctelor față de axa de rotație.
Pentru corpurile solide omogene de forme simple, valoarea momentului axial de inerție, ca și în cazul estimării poziției centrului de masă (3.8), se calculează prin metoda integrării, folosind masa unui volum elementar în loc de o masă discretă dm=ρdV:
 | (3.49) |
Pentru referință, prezentăm valorile momentelor de inerție pentru unele corpuri simple:
m si lungime l raportat la axa care trece perpendicular pe tija prin mijlocul acesteia (Fig. 3.5).
Fig.3.5
Momentul de inerție al unei tije omogene subțiri cu o masă m si lungime l faţă de axa care trece perpendicular pe tijă prin capătul acesteia (fig. 3.6).
Fig.3.6
Momentul de inerție al unui inel subțire omogen de masă m si raza R raportat la axa care trece prin centrul ei perpendicular pe planul inelului (fig. 3.7).
Fig.3.7
Momentul de inerție al unui disc subțire omogen cu o masă m si raza R raportat la axa care trece prin centrul ei perpendicular pe planul discului (fig. 3.7).
Fig.3.8
· Momentul de inerție al unui corp de formă arbitrară.
Pentru corpurile de formă arbitrară, momentul de inerție se scrie sub următoarea formă:
Unde ρ - așa-zisul rază de girație corp, sau raza unui anumit inel convențional cu masă m, al cărui moment de inerție axial este egal cu momentul de inerție al corpului dat.
Teorema Huygens-Steiner
Fig.3.9
Să asociem două sisteme de coordonate paralele cu corpul. Primul Cx"y"z", cu originea în centrul de masă, se numește central, iar al doilea Oxyz, cu centrul O, situat pe axa Cx" la distanță CO = d(Fig. 3.9). Este ușor să stabiliți conexiuni între coordonatele punctelor corpului din aceste sisteme:
În conformitate cu formula (3.47), momentul de inerție al corpului față de axa Oz:
Aici factorii 2 sunt constanți pentru toți termenii sumei a 2-a și a 3-a a părții drepte dȘi d scoase din sumele corespunzătoare. Suma maselor din al treilea termen este masa corporală. A doua sumă, în conformitate cu (3.7), determină coordonata centrului de masă C pe axa Cx" (), iar egalitatea este evidentă: . Ținând cont că primul termen, prin definiție, este momentul de inerția corpului față de axa centrală Cz" (sau Z C ) 
, obținem formularea teoremei Huygens - Steiner:
 | (3.50) |
Momentul de inerție al unui corp față de o anumită axă este egal cu suma momentului de inerție al corpului față de o axă centrală paralelă și produsul masei corpului cu pătratul distanței dintre aceste axe.
ÎNTREBĂRI PENTRU AUTOCONTROL
1. Dați formule pentru momentele axiale de inerție ale unei tije, inel, disc.
2. Aflați raza de rotație a unui cilindru solid rotund în raport cu axa lui centrală.
