Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.

Produsul unui număr A apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Putere sau ecuații exponențiale– acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

În acest exemplu, numărul 6 este baza; este întotdeauna în partea de jos și variabila X grad sau indicator.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumam decizia noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să ne uităm la câteva exemple:

Să începem cu ceva simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem renunța la baza și le putem echivala puterile.

x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Acum este clar că în partea stângă și în dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar ne deranjează alte numere 10 și 24. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Să ne imaginăm 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x – 12*3 x +27= 0

Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei. În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:

Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenind la variabilă X.

Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Acesta este,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.

Pe site poti adresa orice intrebari ai putea avea in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă grupului

În general, o ecuație de grad mai mare de 4 nu poate fi rezolvată în radicali. Dar uneori mai putem găsi rădăcinile unui polinom din stânga într-o ecuație de cel mai înalt grad dacă o reprezentăm ca produs de polinoame la un grad de cel mult 4. Rezolvarea unor astfel de ecuații se bazează pe factorizarea unui polinom, așa că vă sfătuim să revizuiți acest subiect înainte de a studia acest articol.

Cel mai adesea ai de-a face cu ecuații de grade superioare cu coeficienți întregi. În aceste cazuri, putem încerca să găsim rădăcini raționale și apoi factorizați polinomul astfel încât apoi să îl putem transforma într-o ecuație de grad inferior care este ușor de rezolvat. În acest material ne vom uita la astfel de exemple.

Ecuații de grad superior cu coeficienți întregi

Toate ecuațiile de forma a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , putem produce o ecuație de același grad înmulțind ambele părți cu a n n - 1 și făcând o modificare variabilă de forma y = a n x:

un n x n + un n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Coeficienții rezultați vor fi, de asemenea, întregi. Astfel, va trebui să rezolvăm ecuația redusă de gradul al n-lea cu coeficienți întregi, având forma x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Calculăm rădăcinile întregi ale ecuației. Dacă ecuația are rădăcini întregi, trebuie să le căutați printre divizorii termenului liber a 0 . Să le notăm și să le substituim în egalitatea originală unul câte unul, verificând rezultatul. Odată ce am obținut identitatea și am găsit una dintre rădăcinile ecuației, o putem scrie sub forma x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Aici x 1 este rădăcina ecuației, iar P n - 1 (x) este câtul x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 împărțit la x - x 1 .

Înlocuim divizorii rămași scriși în P n - 1 (x) = 0, începând cu x 1, deoarece rădăcinile pot fi repetate. După obținerea identității, rădăcina x 2 se consideră găsită, iar ecuația poate fi scrisă sub forma (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Aici P n - 2 (x) va fi câtul împărțirii P n - 1 (x) la x - x 2.

Continuăm să sortăm prin divizori. Să găsim toate rădăcinile întregi și să le notăm numărul ca m. După aceasta, ecuația inițială poate fi reprezentată ca x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. Aici P n - m (x) este un polinom de n - m grad. Pentru calcul este convenabil să folosiți schema lui Horner.

Dacă ecuația noastră originală are coeficienți întregi, nu putem obține în cele din urmă rădăcini fracționale.

Am ajuns la ecuația P n - m (x) = 0, ale cărei rădăcini pot fi găsite în orice mod convenabil. Ele pot fi iraționale sau complexe.

Să arătăm cu un exemplu specific cum este utilizată această schemă de soluții.

Exemplul 1

Condiție: găsiți soluția ecuației x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Soluţie

Să începem prin a găsi rădăcini întregi.

Avem un termen liber egal cu minus trei. Are divizori egali cu 1, - 1, 3 și - 3. Să le substituim în ecuația originală și să vedem care dintre ele dă identitățile rezultate.

Cu x egal cu unu, obținem 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, ceea ce înseamnă că unul va fi rădăcina acestei ecuații.

Acum să împărțim polinomul x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 la (x - 1) într-o coloană:

Deci x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Am obținut o identitate, ceea ce înseamnă că am găsit o altă rădăcină a ecuației, egală cu - 1.

Împărțiți polinomul x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 la (x + 1) într-o coloană:

Înțelegem asta

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Inlocuim urmatorul divizor in egalitatea x 2 + x + 3 = 0, incepand de la - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Egalitățile rezultate vor fi incorecte, ceea ce înseamnă că ecuația nu mai are rădăcini întregi.

Rădăcinile rămase vor fi rădăcinile expresiei x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

De aici rezultă că acest trinom pătratic nu are rădăcini reale, dar există și conjugate complexe: x = - 1 2 ± i 11 2.

Să clarificăm că în loc să ne împărțim într-o coloană, poate fi folosită schema lui Horner. Acest lucru se face astfel: după ce am determinat prima rădăcină a ecuației, completăm tabelul.

În tabelul de coeficienți putem vedea imediat coeficienții coeficientului împărțirii polinoamelor, ceea ce înseamnă x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

După ce găsim următoarea rădăcină, care este - 1, obținem următoarele:

Răspuns: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.

Exemplul 2

Condiție: rezolvați ecuația x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Soluţie

Termenul liber are divizori 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Să le verificăm în ordine:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Aceasta înseamnă că x = 2 va fi rădăcina ecuației. Împărțiți x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 la x - 2 folosind schema lui Horner:

Ca rezultat, obținem x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Aceasta înseamnă că 2 va fi din nou rădăcina. Împărțiți x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 la x - 2:

Ca rezultat, obținem (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Verificarea divizorilor rămași nu are sens, deoarece egalitatea x 2 + 3 x + 3 = 0 este mai rapidă și mai convenabilă de rezolvat folosind discriminantul.

Să rezolvăm ecuația pătratică:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Obținem o pereche complexă de rădăcini conjugate: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Răspuns: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Exemplul 3

Condiție: Aflați rădăcinile reale pentru ecuația x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Soluţie

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Înmulțim 2 3 de ambele părți ale ecuației:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Înlocuiți variabilele y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

Ca urmare, am obținut o ecuație standard de gradul 4, care poate fi rezolvată conform schemei standard. Să verificăm divizorii, să împărțim și în cele din urmă să obținem că are 2 rădăcini reale y = - 2, y = 3 și două complexe. Nu vom prezenta aici întreaga soluție. Datorită substituției, rădăcinile reale ale acestei ecuații vor fi x = y 2 = - 2 2 = - 1 și x = y 2 = 3 2.

Răspuns: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Sa luam in considerare rezolvarea ecuaţiilor cu o variabilă de grad mai mare decât a doua.

Gradul ecuației P(x) = 0 este gradul polinomului P(x), adică. cea mai mare dintre puterile termenilor săi cu un coeficient diferit de zero.

Deci, de exemplu, ecuația (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 are gradul al cincilea, deoarece în urma operaţiilor de deschidere a parantezelor şi aducere a unora asemănătoare se obţine ecuaţia echivalentă x 5 – 2x 3 + 3 = 0 de gradul al cincilea.

Să ne amintim regulile care vor fi necesare pentru a rezolva ecuații de grad mai mare decât doi.

Afirmații despre rădăcinile unui polinom și divizorii acestuia:

1. Un polinom de gradul al n-lea are un număr de rădăcini care nu depășește n, iar rădăcinile de multiplicitate m apar de exact de m ori.

2. Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Dacă α este rădăcina lui P(x), atunci P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), unde Q n – 1 (x) este un polinom de grad (n – 1) .

4.

5. Polinomul redus cu coeficienți întregi nu poate avea rădăcini raționale fracționale.

6. Pentru un polinom de gradul trei

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d este posibil unul din două lucruri: fie este descompus în produsul a trei binoame

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), sau se descompune în produsul dintre un binom și un trinom pătrat Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ ).

7. Orice polinom de gradul al patrulea poate fi extins în produsul a două trinoame pătrate.

8. Un polinom f(x) este divizibil cu un polinom g(x) fără rest dacă există un polinom q(x) astfel încât f(x) = g(x) · q(x). Pentru a împărți polinoamele, se folosește regula „divizării colțurilor”.

9. Pentru ca polinomul P(x) să fie divizibil cu un binom (x – c), este necesar și suficient ca numărul c să fie rădăcina lui P(x) (Corolarul teoremei lui Bezout).

10. Teorema lui Vieta: Dacă x 1, x 2, ..., x n sunt rădăcini reale ale polinomului

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atunci sunt valabile următoarele egalități:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Rezolvarea exemplelor

Exemplul 1.

Aflați restul diviziunii P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 prin (x – 1/3).

Soluţie.

Prin corolar teoremei lui Bezout: „Rămânul unui polinom împărțit la un binom (x – c) este egal cu valoarea polinomului lui c.” Să găsim P(1/3) = 0. Prin urmare, restul este 0 și numărul 1/3 este rădăcina polinomului.

Răspuns: R = 0.

Exemplul 2.

Împărțiți cu un „colț” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 la (x + 2). Găsiți restul și coeficientul incomplet.

Soluţie:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Răspuns: R = 3; coeficient: 2x 2 – x.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grad superior

1. Introducerea unei noi variabile

Metoda de introducere a unei noi variabile este deja familiară din exemplul ecuațiilor biquadratice. Constă în faptul că pentru rezolvarea ecuației f(x) = 0 se introduce o nouă variabilă (substituție) t = x n sau t = g(x) și se exprimă f(x) prin t, obținându-se o nouă ecuație r (t). Apoi rezolvând ecuația r(t), se găsesc rădăcinile:

(t 1, t 2, …, t n). După aceasta, se obține o mulțime de n ecuații q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n, din care se găsesc rădăcinile ecuației inițiale.

Exemplul 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Soluţie:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Înlocuire (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Substituție inversă:

x 2 + x + 1 = 2 sau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 sau x 2 + x = 0;

Răspuns: Din prima ecuație: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, din a doua: 0 și -1.

2. Factorizarea prin grupare și formule de înmulțire prescurtate

De asemenea, baza acestei metode nu este nouă și constă în gruparea termenilor în așa fel încât fiecare grup să conțină un factor comun. Pentru a face acest lucru, uneori este necesar să folosiți câteva tehnici artificiale.

Exemplul 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Soluţie.

Să ne imaginăm - 3x 2 = -2x 2 – x 2 și grupați:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 sau x 2 + x – 3 = 0.

Răspuns: Nu există rădăcini în prima ecuație, din a doua: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Factorizarea prin metoda coeficienților nedeterminați

Esența metodei este că polinomul original este factorizat cu coeficienți necunoscuți. Folosind proprietatea că polinoamele sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași puteri, se găsesc coeficienții de expansiune necunoscuți.

Exemplul 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Soluţie.

Un polinom de gradul 3 poate fi extins în produsul factorilor liniari și pătratici.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

După ce am rezolvat sistemul:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, adică

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

Rădăcinile ecuației (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 sunt ușor de găsit.

Raspunsul 1; -2.

4. Metoda de selectare a unei rădăcini folosind coeficientul cel mai mare și liber

Metoda se bazează pe aplicarea teoremelor:

1) Fiecare rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber.

2) Pentru ca fracția ireductibilă p/q (p este un număr întreg, q este un număr natural) să fie rădăcina unei ecuații cu coeficienți întregi, este necesar ca numărul p să fie un divizor întreg al termenului liber a 0, și q să fie un divizor natural al coeficientului principal.

Exemplul 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Soluţie:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Prin urmare, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

După ce am găsit o rădăcină, de exemplu – 2, vom găsi alte rădăcini folosind diviziunea colțului, metoda coeficienților nedeterminați sau schema lui Horner.

Răspuns: -2; 1/2; 1/3.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Clasă: 9

Obiective de bază:

1. Întăriți conceptul unei întregi ecuații raționale de gradul al treilea.
2. Formulați metodele de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare (n > 3).
3. Predați metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de ordin superior.
4. Învață să folosești tipul de ecuație pentru a determina cel mai eficient mod de a o rezolva.

Forme, metode și tehnici pedagogice utilizate de profesor în clasă:

• Sistem de predare curs-seminar (prelegeri - explicarea materialului nou, seminarii - rezolvarea problemelor).
• Tehnologiile informației și comunicării (sondaj frontal, lucru oral cu clasa).
• Învățare diferențiată, forme de grup și individuale.
• Utilizarea unei metode de cercetare în predare care vizează dezvoltarea aparatului matematic și a abilităților de gândire ale fiecărui elev în parte.
• Material tipărit – un scurt rezumat individual al lecției (concepte de bază, formule, enunțuri, material de curs condensat sub formă de diagrame sau tabele).

Planul lecției:

1. Organizarea timpului.
   Scopul etapei: includerea elevilor în activități educaționale, determinarea conținutului lecției.
2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.
   Scopul etapei: actualizarea cunoștințelor elevilor cu privire la subiecte conexe studiate anterior
3. Studierea unui subiect nou (prelegerea). Scopul etapei: formularea metodelor de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare (n > 3)
4. Rezumând.
   Scopul etapei: evidențierea din nou a punctelor cheie din materialul studiat în lecție.
5. Teme pentru acasă.
   Scopul etapei: formularea temelor pentru elevi.

Rezumatul lecției

1. Moment organizatoric.

Formularea temei de lecție: „Ecuațiile puterilor superioare. Metode de rezolvare a acestora.”

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

Sondaj teoretic – conversație. Repetarea unor informații studiate anterior din teorie. Elevii formulează definiții de bază și formulează teoremele necesare. Dați exemple pentru a demonstra nivelul de cunoștințe dobândite anterior.

• Conceptul de ecuație cu o variabilă.
• Conceptul de rădăcină a unei ecuații, soluția unei ecuații.
• Conceptul de ecuație liniară cu o variabilă, conceptul de ecuație pătratică cu o variabilă.
• Conceptul de echivalență a ecuațiilor, ecuații-consecințe (conceptul de rădăcini străine), tranziție nu prin consecință (cazul pierderii rădăcinilor).
• Conceptul unei întregi expresii raționale cu o variabilă.
• Conceptul unei întregi ecuații raționale n gradul. Forma standard a unei întregi ecuații raționale. Întreaga ecuație rațională redusă.
• Trecerea la un set de ecuații de grade inferioare prin factorizarea ecuației inițiale.
• Conceptul de polinom n gradul de la X. teorema lui Bezout. Corolare din teorema lui Bezout. Teoreme rădăcinilor ( Z-rădăcini și Q-rădăcini) a unei întregi ecuații raționale cu coeficienți întregi (reduși, respectiv nereduși).
• Schema lui Horner.

3. Studierea unui subiect nou.

Vom lua în considerare întreaga ecuație rațională n-a-a putere de formă standard cu o variabilă necunoscută x:Pn(x)= 0, unde P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinom n gradul de la X, A n ≠ 0. Dacă A n = 1 atunci o astfel de ecuație se numește ecuație rațională cu număr întreg redus n gradul. Să luăm în considerare astfel de ecuații pentru diferite valori nși enumerați principalele metode de rezolvare a acestora.

n= 1 – ecuație liniară.

n= 2 – ecuație pătratică. Formula discriminantă. Formula pentru calcularea rădăcinilor. teorema lui Vieta. Selectarea unui pătrat complet.

n= 3 – ecuație cubică.

Metoda de grupare.

Exemplu: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x 2 = 1,X 3 = -1.

Ecuație cubică reciprocă a formei topor 3 + bx 2 + bx + A= 0. Rezolvăm combinând termeni cu aceiași coeficienți.

Exemplu: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Selectarea rădăcinilor Z pe baza teoremei. Schema lui Horner. La aplicarea acestei metode, este necesar să subliniem că căutarea în acest caz este finită și selectăm rădăcinile folosind un anumit algoritm în conformitate cu teorema Z-rădăcinile întregii ecuații raționale date cu coeficienți întregi.

Exemplu: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. Ecuația este dată. Să notăm divizorii termenului liber ( + 1; + 3; + 5; + 15). Să aplicăm schema lui Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	concluzie
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 – rădăcină
	X 2	X 1	X 0

Primim ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q pe baza teoremei. Schema lui Horner. La aplicarea acestei metode, este necesar să subliniem că căutarea în acest caz este finită și selectăm rădăcinile folosind un anumit algoritm în conformitate cu teorema despre Q-rădăcinile unei ecuații raționale întregi nereduse cu coeficienți întregi.

Exemplu: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. Ecuația este neredusă. Să notăm divizorii termenului liber ( + 1; + 3). Să notăm divizorii coeficientului la cea mai mare putere a necunoscutului. ( + 1; + 3; + 9) În consecință, vom căuta rădăcini printre valori ( + 1; + ; + ; + 3). Să aplicăm schema lui Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	concluzie
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – nu o rădăcină
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – nu o rădăcină
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	rădăcină
	X 2	X 1	X 0

Primim ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Pentru ușurință de calcul atunci când selectați Q -rădăcini Poate fi convenabil să faceți o schimbare a variabilei, să mergeți la ecuația dată și să selectați Z -rădăcini.

• Dacă termenul inactiv este 1

.

• Dacă puteți folosi un înlocuitor al formularului y = kx

.

Formula Cardano. Există o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cubice - aceasta este formula Cardano. Această formulă este asociată cu numele matematicienilor italieni Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557) și Scipione del Ferro (1465–1526). Această formulă depășește domeniul de aplicare al cursului nostru.

n= 4 – ecuația gradului al patrulea.

Metoda de grupare.

Exemplu: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X - 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Metoda de înlocuire variabilă.

• Ecuația biquadratică a formei topor 4 + bx 2 + s = 0 .

Exemplu: X 4 + 5X 2 – 36 = 0. Înlocuire y = X 2. De aici y 1 = 4, y 2 = -9. De aceea X 1,2 = + 2 .

• Ecuația reciprocă a gradului al patrulea al formei topor 4 + bx 3+c X 2 + bx + A = 0.

Rezolvăm combinând termeni cu aceiași coeficienți prin înlocuirea formei

• topor 4 + bx 3 + cx 2 – bx + A = 0.

• Ecuație recurentă generalizată de gradul al patrulea al formei topor 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Înlocuire generală. Câteva înlocuiri standard.

Exemplul 3 . Înlocuirea vederii generale(urmează din tipul de ecuație specifică).

n = 3.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q n = 3.

Formula generala. Există o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea. Această formulă este asociată cu numele lui Ludovico Ferrari (1522–1565). Această formulă depășește domeniul de aplicare al cursului nostru.

n > 5 – ecuații ale gradului cinci și superior.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Z pe baza teoremei. Schema lui Horner. Algoritmul este similar cu cel discutat mai sus pentru n = 3.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q pe baza teoremei. Schema lui Horner. Algoritmul este similar cu cel discutat mai sus pentru n = 3.

Ecuații simetrice. Orice ecuație reciprocă de grad impar are rădăcină X= -1 și după factorizarea în factori găsim că un factor are forma ( X+ 1), iar al doilea factor este o ecuație reciprocă de grad par (gradul său este cu unul mai mic decât gradul ecuației inițiale). Orice ecuație reciprocă de grad par împreună cu o rădăcină a formei x = φ conţine şi rădăcina speciei. Folosind aceste afirmații, rezolvăm problema scăzând gradul ecuației studiate.

Metoda de înlocuire variabilă. Utilizarea omogenității.

Nu există o formulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor întregi de gradul al cincilea (acest lucru a fost arătat de matematicianul italian Paolo Ruffini (1765–1822) și de matematicianul norvegian Niels Henrik Abel (1802–1829)) și de grade superioare (acest lucru a fost demonstrat de către Matematicianul francez Evariste Galois (1811–1832) )).

• Să reamintim încă o dată că în practică este posibil să se utilizeze combinatii metodele enumerate mai sus. Este convenabil să treceți la un set de ecuații de grade inferioare prin factorizarea ecuației inițiale.
• În afara domeniului discuției noastre de astăzi sunt cele utilizate pe scară largă în practică. metode grafice rezolvarea ecuaţiilor şi metode de rezolvare aproximativă ecuații de grade superioare.
• Există situații în care ecuația nu are rădăcini R.
Apoi soluția se reduce la a arăta că ecuația nu are rădăcini. Pentru a demonstra acest lucru, analizăm comportamentul funcțiilor luate în considerare pe intervale de monotonitate. Exemplu: ecuație X 8 – X 3 + 1 = 0 nu are rădăcini.
• Folosind proprietatea monotonității funcțiilor
. Există situații în care utilizarea diferitelor proprietăți ale funcțiilor vă permite să simplificați sarcina.
Exemplul 1: Ecuația X 5 + 3X– 4 = 0 are o rădăcină X= 1. Datorită proprietății de monotonitate a funcțiilor analizate, nu există alte rădăcini.
Exemplul 2: Ecuația X 4 + (X– 1) 4 = 97 are rădăcini X 1 = -2 și X 2 = 3. Analizând comportamentul funcțiilor corespunzătoare pe intervale de monotonitate, concluzionăm că nu există alte rădăcini.

4. Rezumând.

Rezumat: Acum am stăpânit metodele de bază pentru rezolvarea diferitelor ecuații de grade superioare (pentru n > 3). Sarcina noastră este să învățăm cum să folosim eficient algoritmii enumerați mai sus. În funcție de tipul de ecuație, va trebui să învățăm să stabilim care metodă de soluție într-un caz dat este cea mai eficientă, precum și să aplicăm corect metoda aleasă.

5. Tema pentru acasă.

: paragraful 7, p. 164–174, nr. 33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Subiecte posibile pentru rapoarte sau rezumate pe această temă:

• Formula Cardano
• Metoda grafica de rezolvare a ecuatiilor. Exemple de soluții.
• Metode de rezolvare aproximativă a ecuațiilor.

Analiza învățării elevilor și a interesului față de subiect:

Experiența arată că interesul studenților este trezit în primul rând de posibilitatea de a selecta Z-rădăcini și Q-rădăcinile ecuațiilor folosind un algoritm destul de simplu folosind schema lui Horner. Elevii sunt, de asemenea, interesați de diferite tipuri standard de înlocuire a variabilelor, care pot simplifica semnificativ tipul de problemă. Metodele de rezolvare grafică prezintă de obicei un interes deosebit. În acest caz, puteți analiza suplimentar probleme folosind o metodă grafică pentru rezolvarea ecuațiilor; discutați forma generală a graficului pentru un polinom de gradul 3, 4, 5; analizați modul în care numărul de rădăcini ale ecuațiilor de gradul 3, 4, 5 este legat de aspectul graficului corespunzător. Mai jos este o listă de cărți în care puteți găsi informații suplimentare despre acest subiect.

Bibliografie:

1. Vilenkin N.Ya.şi alţii.„Algebră. Manual pentru elevii de clasa a IX-a cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 p.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.„În spatele paginilor unui manual de matematică. Aritmetic. Algebră. clasele 10-11” – M., Educație, 2008 – 192 p.
3. Vygodsky M.Ya.„Manual de matematică” – M., AST, 2010 – 1055 p.
4. Galitsky M.L.„Colecție de probleme în algebră. Manual pentru clasele 8-9 cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 p.
5. Zvovich L.I.şi alţii.„Algebra şi începuturile analizei. 8-11 clase Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Drofa, 1999 - 352 p.
6. Zvavich L.I., Averianov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.„Teme de matematică pentru pregătirea pentru examenul scris în clasa a IX-a” - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 p.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Probe tematice pentru sistematizarea cunoștințelor în matematică” partea 1 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 p.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Probe tematice pentru sistematizarea cunoștințelor în matematică” partea 2 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 p.
9. Ivanov A.P.„Teste și teste la matematică. Tutorial". – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 p.
10. Leibson K.L.„Culegere de sarcini practice la matematică. Partea 2–9 clase” – M., MTSNM, 2009 – 184 p.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebră. Capitole suplimentare pentru manualul școlii de clasa a IX-a. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii.” – M., Educație, 2006 – 224 p.
12. Mordkovich A.G."Algebră. Studiu aprofundat. clasa a 8-a. Manual” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 p.
13. Savin A.P.„Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician” - M., Pedagogie, 1985 - 352 p.
14. Survillo G.S., Simonov A.S.„Materiale didactice despre algebră pentru clasa a 9-a cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 p.
15. Chulkov P.V.„Ecuații și inegalități la cursul de matematică școlară. Prelegeri 1–4” – M., 1 septembrie 2006 – 88 p.
16. Chulkov P.V.„Ecuații și inegalități la cursul de matematică școlară. Prelegeri 5–8” – M., 1 septembrie 2009 – 84 p.