3.1. Coordonate polare

Deseori folosit într-un avion sistem de coordonate polare . Se definește dacă este dat un punct O, numit pol, și raza care emană din pol (pentru noi aceasta este axa Ox) – axa polară. Poziția punctului M este fixată de două numere: raza (sau raza vector) și unghiul φ dintre axa polară și vector. Unghiul φ se numește unghi polar; măsurată în radiani și numărată în sens invers acelor de ceasornic de la axa polară.

Poziția unui punct în sistemul de coordonate polar este dată de o pereche ordonată de numere (r; φ). La Pol r = 0, iar φ nu este definit. Pentru toate celelalte puncte r > 0, iar φ este definit până la un termen care este un multiplu de 2π. În acest caz, perechile de numere (r; φ) și (r 1 ; φ 1) sunt asociate cu același punct dacă .

Pentru un sistem de coordonate dreptunghiular xOy Coordonatele carteziene ale unui punct sunt ușor de exprimat în termeni de coordonatele sale polare, după cum urmează:

3.2. Interpretarea geometrică a numărului complex

Să considerăm un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular pe plan xOy.

Orice număr complex z=(a, b) este asociat cu un punct din planul cu coordonate ( X y), Unde coordonata x = a, i.e. partea reală a numărului complex, iar coordonata y = bi este partea imaginară.

Un plan ale cărui puncte sunt numere complexe este un plan complex.

În figură, numărul complex z = (a, b) corespunde unui punct M(x, y).

Exercițiu.Desenați numere complexe pe planul de coordonate:

3.3. Forma trigonometrică a unui număr complex

Un număr complex din plan are coordonatele unui punct M(x;y). în care:

Scrierea unui număr complex - forma trigonometrică a unui număr complex.

Se numește numărul r modul număr complex z si este desemnat . Modulul este un număr real nenegativ. Pentru .

Modulul este zero dacă și numai dacă z = 0, adică a = b = 0.

Se numește numărul φ argument z si este desemnat. Argumentul z este definit ambiguu, ca și unghiul polar din sistemul de coordonate polar, și anume până la un termen care este multiplu de 2π.

Apoi acceptăm: , unde φ este cea mai mică valoare a argumentului. Este evident că

.

La studierea mai profundă a temei se introduce un argument auxiliar φ*, astfel încât

Exemplul 1. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex.

Soluţie. 1) luați în considerare modulul: ;

2) căutând φ: ;

3) forma trigonometrică:

Exemplul 2. Aflați forma algebrică a unui număr complex .

Aici este suficient să înlocuiți valorile funcțiilor trigonometrice și să transformați expresia:

Exemplul 3. Găsiți modulul și argumentul unui număr complex;

1) ;

2) ; φ – în 4 sferturi:

3.4. Operații cu numere complexe în formă trigonometrică

· Adunare si scadere Este mai convenabil să faci cu numere complexe în formă algebrică:

· Multiplicare– folosind transformări trigonometrice simple se poate demonstra că La înmulțire, modulele de numere sunt înmulțite și se adaugă argumentele: ;

Lectura

Forma trigonometrică a unui număr complex

Plan

1. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

2. Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

3. Acţiuni asupra numerelor complexe în formă trigonometrică.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

a) Numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe un plan conform următoarei reguli: A + bi = M ( A ; b ) (Fig. 1).

Poza 1

b) Un număr complex poate fi reprezentat printr-un vector care începe în punctDESPRE iar sfârșitul într-un punct dat (Fig. 2).

Figura 2

Exemplul 7. Construiți puncte reprezentând numere complexe:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Fig. 3).

Figura 3

Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

Număr complexz = A + bi poate fi specificat folosind vectorul rază cu coordonate( A ; b ) (Fig. 4).

Figura 4

Definiție . Lungimea vectorului , reprezentând un număr complexz , se numește modulul acestui număr și se notează saur .

Pentru orice număr complexz modulul acestuiar = | z | este determinată în mod unic de formulă .

Definiție . Mărimea unghiului dintre direcția pozitivă a axei reale și vector , reprezentând un număr complex, se numește argumentul acestui număr complex și se noteazăA rg z sauφ .

Argumentul numărului complexz = 0 nedefinit. Argumentul numărului complexz≠ 0 – o cantitate cu mai multe valori și este determinată într-un termen2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Undearg z – valoarea principală a argumentului cuprins în interval(-π; π] , acesta este-π < arg z ≤ π (uneori o valoare aparținând intervalului este luată ca valoare principală a argumentului .

Această formulă cândr =1 numită adesea formula lui Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Exemplul 11: Calculați(1 + i ) 100 .

Să scriem un număr complex1 + i în formă trigonometrică.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + eu păcătuiesc )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i păcat ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complex.

Când luăm rădăcina pătrată a unui număr complexA + bi avem doua cazuri:

Dacăb >o , Acea ;

NUMERE COMPLEXE XI

§ 256. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie un număr complex a + bi corespunde vectorului O.A.> cu coordonate ( a, b ) (vezi Fig. 332).

Să notăm lungimea acestui vector cu r , și unghiul pe care îl face cu axa X , prin φ . Prin definiția sinusului și cosinusului:

A / r =cos φ , b / r = păcat φ .

De aceea A = r cos φ , b = r păcat φ . Dar în acest caz numărul complex a + bi poate fi scris ca:

a + bi = r cos φ + ir păcat φ = r (cos φ + i păcat φ ).

După cum știți, pătratul lungimii oricărui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale. De aceea r 2 = A 2 + b 2, de unde r = √a 2 + b 2

Asa de, orice număr complex a + bi poate fi reprezentat sub formă :

a + bi = r (cos φ + i păcat φ ), (1)

unde r = √a 2 + b 2 și unghiul φ se determină din condiția:

Această formă de scriere a numerelor complexe se numește trigonometric.

Număr r în formula (1) se numește modul, și unghiul φ - argument, număr complex a + bi .

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci modulul său este pozitiv; dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0 și apoi r = 0.

Modulul oricărui număr complex este determinat în mod unic.

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci argumentul său este determinat de formulele (2) categoric precis la un unghi divizibil cu 2 π . Dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0. În acest caz r = 0. Din formula (1) este ușor de înțeles că ca argument φ în acest caz, puteți alege orice unghi: la urma urmei, pentru orice φ

0 (cos φ + i păcat φ ) = 0.

Prin urmare, argumentul nul este nedefinit.

Modulul unui număr complex r uneori notat | z |, iar argumentul arg z . Să ne uităm la câteva exemple de reprezentare a numerelor complexe în formă trigonometrică.

Exemplu. 1. 1 + i .

Să găsim modulul r si argument φ acest număr.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Prin urmare păcatul φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, de unde φ = π / 4 + 2nπ .

Prin urmare,

1 + i = √ 2 ,

Unde P - orice număr întreg. De obicei, din setul infinit de valori ale argumentului unui număr complex, se alege unul care este între 0 și 2 π . În acest caz, această valoare este π / 4 . De aceea

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i păcat π / 4)

Exemplul 2. Scrieți un număr complex în formă trigonometrică √ 3 - i . Avem:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, sin φ = - 1 / 2

Prin urmare, până la un unghi divizibil cu 2 π , φ = 11 / 6 π ; prin urmare,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i păcatul 11/6 π ).

Exemplul 3 Scrieți un număr complex în formă trigonometrică i.

Număr complex i corespunde vectorului O.A.> , care se termină în punctul A al axei la cu ordonata 1 (Fig. 333). Lungimea unui astfel de vector este 1, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este egal cu π / 2. De aceea

i =cos π / 2 + i păcat π / 2 .

Exemplul 4. Scrieți numărul complex 3 în formă trigonometrică.

Numărul complex 3 corespunde vectorului O.A. > X abscisa 3 (Fig. 334).

Lungimea unui astfel de vector este 3, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este 0. Prin urmare

3 = 3 (cos 0 + i păcat 0),

Exemplul 5. Scrieți numărul complex -5 în formă trigonometrică.

Numărul complex -5 corespunde unui vector O.A.> se termină într-un punct de axă X cu abscisă -5 (Fig. 335). Lungimea unui astfel de vector este 5, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este egal cu π . De aceea

5 = 5(cos π + i păcat π ).

Exerciții

2047. Scrieți aceste numere complexe în formă trigonometrică, definindu-și modulele și argumentele:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Indicați pe plan o mulțime de puncte reprezentând numere complexe ale căror module r și argumente φ îndeplinesc condițiile:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Pot numerele să fie simultan modulul unui număr complex? r Și - r ?

2050. Argumentul unui număr complex poate fi simultan unghiuri? φ Și - φ ?

Prezentați aceste numere complexe în formă trigonometrică, definindu-și modulele și argumentele:

2051*. 1 + cos α + i păcat α . 2054*. 2(cos 20° - i păcatul 20°).

2052*. păcat φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i păcatul 15°).

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie specificat vectorul pe plan complex prin numărul .

Să notăm cu φ unghiul dintre semiaxa pozitivă Ox și vector (unghiul φ este considerat pozitiv dacă se măsoară în sens invers acelor de ceasornic, iar negativ în caz contrar).

Să notăm lungimea vectorului cu r. Apoi . Notăm și noi

Scrierea unui număr complex diferit de zero z sub forma

se numește forma trigonometrică a numărului complex z. Numărul r se numește modulul numărului complex z, iar numărul φ se numește argumentul acestui număr complex și se notează cu Arg z.

Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex - (formula lui Euler) - formă exponențială de scriere a unui număr complex:

Numărul complex z are infinit de argumente: dacă φ0 este orice argument al numărului z, atunci toate celelalte pot fi găsite folosind formula

Pentru un număr complex, argumentul și forma trigonometrică nu sunt definite.

Astfel, argumentul unui număr complex diferit de zero este orice soluție a sistemului de ecuații:

(3)

Valoarea φ a argumentului unui număr complex z, care satisface inegalitățile, se numește valoare principală și se notează cu arg z.

Argumentele Arg z și arg z sunt legate prin

, (4)

Formula (5) este o consecință a sistemului (3), prin urmare toate argumentele unui număr complex satisfac egalitatea (5), dar nu toate soluțiile φ ale ecuației (5) sunt argumente ale numărului z.

Valoarea principală a argumentului unui număr complex diferit de zero se găsește după formulele:

Formulele pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică sunt următoarele:

. (7)

Când ridicați un număr complex la o putere naturală, se utilizează formula Moivre:

La extragerea rădăcinii unui număr complex, se utilizează formula:

, (9)

unde k=0, 1, 2, …, n-1.

Problema 54. Calculați unde .

Să prezentăm soluția acestei expresii în formă exponențială a scrierii unui număr complex: .

Daca atunci.

Apoi , . Prin urmare, atunci Și , Unde .

Răspuns: , la .

Problema 55. Scrieți numere complexe în formă trigonometrică:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; și) .

Deoarece forma trigonometrică a unui număr complex este , atunci:

a) Într-un număr complex: .

,

De aceea

b) , Unde ,

G) , Unde ,

e) .

și) , A , Acea .

De aceea

Răspuns: ; 4; ; ; ; ; .

Problema 56. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex

.

Lăsa , .

Apoi , , .

Din moment ce și , , apoi , și

Prin urmare, , prin urmare

Răspuns: , Unde .

Problema 57. Folosind forma trigonometrică a unui număr complex, efectuați următoarele acțiuni: .

Să ne imaginăm numerele și în formă trigonometrică.

1), unde Apoi

Găsiți valoarea argumentului principal:

Să înlocuim valorile și în expresie, obținem

2) , atunci unde

Apoi

3) Să găsim coeficientul

Presupunând k=0, 1, 2, obținem trei valori diferite ale rădăcinii dorite:

Daca atunci

daca atunci

daca atunci .

Răspuns: :

:

: .

Problema 58. Fie , , , numere complexe diferite și . Demonstrează asta

un număr este un număr real pozitiv;

b) egalitatea este valabilă:

a) Să reprezentăm aceste numere complexe în formă trigonometrică:

Deoarece .

Să ne prefacem că. Apoi

.

Ultima expresie este un număr pozitiv, deoarece semnele sinusului conțin numere din interval.

din moment ce numărul reale si pozitive. Într-adevăr, dacă a și b sunt numere complexe și sunt reale și mai mari decât zero, atunci .

In afara de asta,

prin urmare, egalitatea cerută este dovedită.

Problema 59. Scrieți numărul în formă algebrică .

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică și apoi să îi găsim forma algebrică. Avem . Pentru obținem sistemul:

Aceasta implică egalitatea: .

Aplicând formula lui Moivre: ,

primim

Se găsește forma trigonometrică a numărului dat.

Să scriem acum acest număr în formă algebrică:

.

Răspuns: .

Problema 60. Aflați suma , ,

Să luăm în considerare suma

Aplicând formula lui Moivre, găsim

Această sumă este suma a n termeni ai unei progresii geometrice cu numitorul iar primul membru .

Aplicând formula pentru suma termenilor unei astfel de progresii, avem

Izolând partea imaginară în ultima expresie, găsim

Izolând partea reală, obținem și următoarea formulă: , , .

Problema 61. Aflați suma:

A) ; b) .

Conform formulei lui Newton pentru exponențiere, avem

Folosind formula lui Moivre găsim:

Echivalând părțile reale și imaginare ale expresiilor rezultate pentru , avem:

Și .

Aceste formule pot fi scrise în formă compactă după cum urmează:

,

, unde este partea întreagă a numărului a.

Problema 62. Aflați toate , pentru care .

Deoarece , apoi, folosind formula

, Pentru a extrage rădăcinile, obținem ,

Prin urmare, , ,

, .

Punctele corespunzătoare numerelor sunt situate la vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc de rază 2 cu centrul în punctul (0;0) (Fig. 30).

Răspuns: , ,

, .

Problema 63. Rezolvați ecuația , .

După condiție; prin urmare, această ecuație nu are rădăcină și, prin urmare, este echivalentă cu ecuația.

Pentru ca numărul z să fie rădăcina acestei ecuații, numărul trebuie să fie rădăcina a n-a a numărului 1.

De aici concluzionăm că ecuația originală are rădăcini determinate din egalități

,

Prin urmare,

,

adică ,

Răspuns: .

Problema 64. Rezolvați ecuația din mulțimea numerelor complexe.

Deoarece numărul nu este rădăcina acestei ecuații, atunci pentru această ecuație este echivalentă cu ecuația

Adică ecuația.

Toate rădăcinile acestei ecuații sunt obținute din formula (vezi problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Desenați pe planul complex o mulțime de puncte care satisfac inegalitățile: . (a doua modalitate de a rezolva problema 45)

Lăsa .

Numerele complexe cu module identice corespund punctelor din plan situate pe un cerc centrat la origine, deci inegalitatea satisface toate punctele unui inel deschis delimitate de cercuri cu un centru comun la origine și razele și (Fig. 31). Fie ca un punct al planului complex să corespundă numărului w0. Număr , are un modul de câteva ori mai mic decât modulul w0 și un argument mai mare decât argumentul w0. Din punct de vedere geometric, punctul corespunzător lui w1 poate fi obținut folosind o homotezie cu un centru la origine și un coeficient, precum și o rotație față de origine printr-un unghi în sens invers acelor de ceasornic. Ca urmare a aplicării acestor două transformări la punctele inelului (Fig. 31), acesta din urmă se va transforma într-un inel delimitat de cercuri cu același centru și raze 1 și 2 (Fig. 32).

Conversie implementat folosind transferul paralel la un vector. Transferând inelul cu centrul în punct către vectorul indicat, obținem un inel de aceeași dimensiune cu centrul în punct (Fig. 22).

Metoda propusă, care utilizează ideea transformărilor geometrice ale unui plan, este probabil mai puțin convenabilă de descris, dar este foarte elegantă și eficientă.

Problema 66. Aflați dacă .

Să , atunci și . Egalitatea inițială va lua forma . Din condiția de egalitate a două numere complexe obținem , , din care , . Prin urmare, .

Să scriem numărul z în formă trigonometrică:

, Unde , . Conform formulei lui Moivre, găsim .

Răspuns: – 64.

Problema 67. Pentru un număr complex, găsiți toate numerele complexe astfel încât , și .

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică:

. De aici, . Pentru numărul pe care îl obținem , poate fi egal cu sau .

În primul caz , in secunda

.

Răspuns: , .

Problema 68. Aflați suma unor astfel de numere care . Vă rugăm să indicați unul dintre aceste numere.

Rețineți că din formularea problemei se poate înțelege că suma rădăcinilor ecuației poate fi găsită fără a calcula rădăcinile în sine. Într-adevăr, suma rădăcinilor ecuației este coeficientul pentru , luat cu semnul opus (teorema generalizată a lui Vieta), adică.

Elevii, documentația școlară, trag concluzii despre gradul de stăpânire a acestui concept. Rezumați studiul trăsăturilor gândirii matematice și procesul de formare a conceptului de număr complex. Descrierea metodelor. Diagnostic: stadiul I. Conversația a fost purtată cu un profesor de matematică care predă algebră și geometrie în clasa a X-a. Conversația a avut loc după ce a trecut ceva timp de la început...

Rezonanță” (!)), care include și o evaluare a propriului comportament. 4. Evaluarea critică a înțelegerii situației de către cineva (îndoieli). 5. În final, utilizarea recomandărilor din psihologia juridică (avocatul ține cont de aspectele psihologice). aspecte ale acțiunilor profesionale efectuate - pregătirea psihologică profesională). Să luăm acum în considerare analiza psihologică a faptelor juridice...

Matematica substituției trigonometrice și testarea eficacității metodologiei de predare elaborate. Etapele lucrării: 1. Elaborarea unui curs opțional pe tema: „Aplicarea substituției trigonometrice la rezolvarea problemelor algebrice” cu elevii din clasele cu matematică avansată. 2. Desfășurarea cursului opțional dezvoltat. 3. Efectuarea unui test de diagnostic...

Sarcinile cognitive sunt destinate doar să completeze mijloacele didactice existente și trebuie să fie într-o combinație adecvată cu toate mijloacele și elementele tradiționale ale procesului educațional. Diferența dintre problemele educaționale din predarea științelor umaniste și cele exacte, de la problemele de matematică, este doar că în problemele istorice nu există formule, algoritmi stricti etc., ceea ce complică rezolvarea acestora. ...