În acest articol, ne vom opri în detaliu asupra unuia dintre conceptele primare ale geometriei - asupra conceptului de linie dreaptă pe un plan. Mai întâi, să definim termenii de bază și notația. În continuare, discutăm poziția relativă a unei drepte și a unui punct, precum și a două drepte pe un plan și dăm axiomele necesare. În concluzie, vom lua în considerare modalități de a stabili o linie dreaptă pe un plan și de a oferi ilustrații grafice.

Navigare în pagină.

O linie dreaptă pe un plan este un concept.

Înainte de a da conceptul de linie dreaptă pe un plan, ar trebui să înțelegem clar ce este un plan. Reprezentarea avionului vă permite să obțineți, de exemplu, o suprafață plană a mesei sau a peretelui casei. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că dimensiunile tabelului sunt limitate, iar planul se extinde dincolo de aceste limite până la infinit (ca și cum am avea un tabel arbitrar de mare).

Dacă luăm un creion bine ascuțit și îi atingem miezul de suprafața „mesei”, atunci vom obține o imagine a unui punct. Deci primim reprezentarea unui punct pe un plan.

Acum poți merge la conceptul de linie dreaptă pe un plan.

Să punem pe suprafața mesei (pe avion) ​​o coală de hârtie curată. Pentru a trage o linie dreaptă, trebuie să luăm o riglă și să trasăm o linie cu un creion, în măsura în care dimensiunile riglei și foii de hârtie utilizate permit. Trebuie remarcat faptul că în acest fel obținem doar o parte din linia dreaptă. O linie dreaptă în întregime, care se extinde până la infinit, ne putem doar imagina.

Poziția reciprocă a unei linii și a unui punct.

Ar trebui să începeți cu o axiomă: există puncte pe fiecare linie dreaptă și în fiecare plan.

Punctele sunt de obicei notate cu majuscule latine, de exemplu, punctele A și F. La rândul lor, liniile drepte sunt notate cu litere mici latine, de exemplu, liniile drepte a și d.

Posibil două opțiuni pentru poziția relativă a unei drepte și a unui punct pe un plan: fie punctul se află pe linie (în acest caz se spune că linia trece și prin punct), fie punctul nu se află pe linie (se mai spune că punctul nu aparține dreptei, fie linia nu trece prin punct).

Pentru a indica faptul că un punct aparține unei anumite linii, se folosește simbolul „”. De exemplu, dacă punctul A se află pe linia a, atunci puteți scrie. Dacă punctul A nu aparține dreptei a, atunci scrieți.

Următoarea afirmație este adevărată: prin oricare două puncte există o singură linie dreaptă.

Această afirmație este o axiomă și ar trebui acceptată ca un fapt. În plus, acest lucru este destul de evident: notăm două puncte pe hârtie, le aplicăm o riglă și trasăm o linie dreaptă. O linie dreaptă care trece prin două puncte date (de exemplu, prin punctele A și B) poate fi notă cu aceste două litere (în cazul nostru, linia dreaptă AB sau BA).

Trebuie înțeles că pe o dreaptă dată pe un plan, există infinit de multe puncte diferite și toate aceste puncte se află în același plan. Această afirmație este stabilită de axioma: dacă două puncte ale unei drepte se află într-un anumit plan, atunci toate punctele acestei drepte se află în acest plan.

Se numește mulțimea tuturor punctelor situate între două puncte date pe o linie dreaptă, împreună cu aceste puncte linie dreapta sau pur și simplu segment. Punctele care delimitează segmentul se numesc capete ale segmentului. Un segment este notat cu două litere corespunzătoare punctelor capetelor segmentului. De exemplu, punctele A și B sunt capetele unui segment, atunci acest segment poate fi notat AB sau BA. Vă rugăm să rețineți că această denumire a unui segment este aceeași cu desemnarea unei linii drepte. Pentru a evita confuzia, vă recomandăm să adăugați cuvântul „segment” sau „direct” la denumire.

Pentru o scurtă înregistrare a apartenenței și a nu aparține unui anumit punct la un anumit segment, se folosesc toate aceleași simboluri și. Pentru a arăta că un segment se află sau nu pe o linie dreaptă, se folosesc simbolurile și, respectiv. De exemplu, dacă segmentul AB aparține dreptei a, puteți scrie pe scurt.

Ar trebui să ne oprim și asupra cazului în care trei puncte diferite aparțin aceleiași linii. În acest caz, unul, și doar un punct, se află între celelalte două. Această afirmație este o altă axiomă. Fie că punctele A, B și C se află pe aceeași linie dreaptă, iar punctul B se află între punctele A și C. Atunci putem spune că punctele A și C sunt pe părți opuse ale punctului B. De asemenea, puteți spune că punctele B și C se află de aceeași parte a punctului A, iar punctele A și B sunt de aceeași parte a punctului C.

Pentru a completa imaginea, observăm că orice punct al unei linii drepte împarte această linie dreaptă în două părți - două grindă. În acest caz, se dă o axiomă: un punct arbitrar O, aparținând unei linii, împarte această linie în două raze, iar oricare două puncte ale unei raze se află de aceeași parte a punctului O și oricare două puncte de raze diferite. se află pe părțile opuse ale punctului O.

Dispunerea reciprocă a liniilor drepte pe un plan.

Acum să răspundem la întrebarea: „Cum pot fi situate două linii pe un plan una față de alta”?

În primul rând, două linii într-un avion pot coincide.

Acest lucru este posibil atunci când liniile au cel puțin două puncte în comun. Într-adevăr, în virtutea axiomei exprimate în paragraful precedent, o singură linie dreaptă trece prin două puncte. Cu alte cuvinte, dacă două drepte trec prin două puncte date, atunci ele coincid.

În al doilea rând, două linii drepte într-un plan pot cruce.

În acest caz, liniile au un punct comun, care se numește punctul de intersecție al liniilor. Intersecția liniilor este notă cu simbolul „”, de exemplu, înregistrarea înseamnă că liniile a și b se intersectează în punctul M. Liniile care se intersectează ne conduc la conceptul de unghi dintre liniile care se intersectează. Separat, merită să luați în considerare locația liniilor drepte pe un plan atunci când unghiul dintre ele este de nouăzeci de grade. În acest caz, liniile sunt numite perpendicular(recomandăm articolul linii perpendiculare, perpendicularitatea liniilor). Dacă linia a este perpendiculară pe dreapta b, atunci se poate folosi notația scurtă.

În al treilea rând, două drepte dintr-un plan pot fi paralele.

Din punct de vedere practic, este convenabil să se ia în considerare o dreaptă pe un plan împreună cu vectorii. De o importanță deosebită sunt vectorii nenuli care se află pe o linie dată sau pe oricare dintre liniile paralele, ei se numesc vectorii de direcție ai dreptei. Articolul vector de direcție al unei linii drepte pe un plan oferă exemple de vectori de direcție și arată opțiuni pentru utilizarea lor în rezolvarea problemelor.

De asemenea, ar trebui să acordați atenție vectorilor non-zero care se află pe oricare dintre liniile perpendiculare pe cea dată. Astfel de vectori se numesc vectori normali ai dreptei. Utilizarea vectorilor normali ai unei linii drepte este descrisă în articolul vector normal al unei linii drepte pe un plan.

Când trei sau mai multe linii drepte sunt date pe un plan, există multe opțiuni diferite pentru poziția lor relativă. Toate liniile pot fi paralele, altfel unele sau toate se intersectează. În acest caz, toate liniile se pot intersecta într-un singur punct (vezi articolul creion de linii) sau pot avea puncte de intersecție diferite.

Nu ne vom opri asupra acestui lucru în detaliu, dar vom cita câteva fapte remarcabile și foarte des folosite fără dovezi:

• dacă două drepte sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci sunt paralele între ele;
• dacă două drepte sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci sunt paralele între ele;
• dacă într-un plan o dreaptă intersectează una dintre două drepte paralele, atunci ea intersectează și a doua dreaptă.

Metode de stabilire a unei linii drepte pe un plan.

Acum vom enumera principalele moduri în care puteți defini o anumită linie în plan. Aceste cunoștințe sunt foarte utile din punct de vedere practic, deoarece soluția atâtor exemple și probleme se bazează pe ea.

În primul rând, o linie dreaptă poate fi definită prin specificarea a două puncte pe plan.

Într-adevăr, din axioma avută în vedere în primul paragraf al acestui articol, știm că o dreaptă trece prin două puncte și, mai mult, doar unul.

Dacă coordonatele a două puncte nepotrivite sunt indicate într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan, atunci este posibil să scrieți ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

În al doilea rând, o dreaptă poate fi specificată prin specificarea punctului prin care trece și a dreptei cu care este paralelă. Această metodă este valabilă, deoarece o singură dreaptă trece printr-un punct dat al planului, paralelă cu o dreaptă dată. Dovada acestui fapt a fost făcută la orele de geometrie din liceu.

Dacă o dreaptă pe un plan este stabilită în acest fel în raport cu sistemul de coordonate carteziene dreptunghiular introdus, atunci este posibil să-i compune ecuația. Aceasta este scrisă în articol ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu o dreaptă dată.

În al treilea rând, o linie poate fi definită prin specificarea punctului prin care trece și a vectorului său de direcție.

Dacă o linie dreaptă este dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular în acest fel, atunci este ușor să compuneți ecuația sa canonică a unei drepte pe un plan și ecuații parametrice a unei drepte pe un plan.

A patra modalitate de a specifica o linie este de a specifica punctul prin care trece și linia pe care este perpendiculară. Într-adevăr, există o singură dreaptă printr-un punct dat al planului care este perpendiculară pe dreapta dată. Să lăsăm acest fapt fără dovezi.

În sfârșit, o dreaptă din plan poate fi specificată prin specificarea punctului prin care trece și a vectorului normal al dreptei.

Dacă sunt cunoscute coordonatele unui punct situat pe o dreaptă dată și coordonatele vectorului normal al dreptei, atunci este posibil să scrieți ecuația generală a dreptei.

Bibliografie.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Apropo, ultima inegalitate vorbește doar despre non-paralelismul vectorilor lor normali.

Dacă liniile sunt paralele, atunci sistemul nu are soluție. Analitic ar arata asa:

Dar dacă toate cele trei fracții sunt egale, atunci liniile coincid între ele și, prin urmare, sistemul are un număr infinit de soluții.

Unghiul dintre două linii poate fi găsit folosind două formule.

Dacă liniile sunt date prin ecuații generale, atunci unghiul dintre ele coincide cu unghiul dintre vectorii lor normali. Se calculează prin formula (6.9) din prelegerea anterioară. Pentru cazul nostru, va arăta astfel:

. (7.7)

Starea liniilor paralele:

;

Stare perpendiculara:

.

Dacă dreptele sunt date prin ecuații cu coeficienți de pantă de forma:

și ,

atunci tangenta unghiului dintre ele este determinată de formula:

. (7.8)

stare paralela:

Stare perpendiculara:

.

Exemplul 7.4. Aflați punctul de intersecție al dreptelor și și unghiul dintre ele.

Soluții e. Să găsim punctul de intersecție al dreptelor rezolvând sistemul de ecuații prin metoda Cramer:

, , ,

Unghiul dintre linii este definit ca unghiul dintre vectorii lor normali (2, 5) și (5, –2). Prin formula (7.7) avem:

.

Ce spune acest răspuns? Liniile sunt perpendiculare, deoarece .

Exemplul 7.5. La ce valoare a parametrilor Ași b directă şi : A) se intersectează, b) sunt paralele, în) Meci?

Soluții e. Două linii se intersectează dacă condiția este îndeplinită. În cazul nostru

.

Liniile sunt paralele dacă , adică

.

Și, în sfârșit, două rânduri coincid, cu condiția ca , adică dacă .

Exemplul 7.6. Dat un punct și o linie . Scrieți ecuații de drepte L 1 și L 2 trecând prin punct A, si si .

Soluții e. Să facem o schiță.

Orez. 7.6

Panta liniei originale L egală k= -2. Prin condiție, așadar . Prin formula (7.4) găsim ecuația dreptei L 1:

, sau .

Pentru că atunci . Apoi ecuația dreptei L 2 va arăta astfel:

, sau .

7.4. Definirea unei curbe de ordinul doi

Definiție 7.1.Curba de ordinul doi numită linie definită de o ecuație de gradul doi în raport cu coordonatele curente. În general, această ecuație are forma:

unde sunt toate numerele DAR, LA, DIN, etc. sunt numere reale și, în plus, cel puțin unul dintre numere DAR, LA, DIN- diferit de zero.

Înainte de introducerea sistemului de coordonate carteziene, toate curbele au fost descrise verbal, pe baza proprietăților geometrice ale curbei luate în considerare. Deci, definiția unui cerc citește astfel:

Definiție 7.2. Cerc – este locul punctelor dintr-un plan echidistant de un punct dat, numit centru.

Ecuația cercului, centrat în punctul ( A,b) și raza Rîn coordonate carteziene, cel pe care l-ai primit la școală arată așa:

Dacă deschidem parantezele, obținem o ecuație similară cu ecuația (7.9), în care nu există niciun termen care să conțină produsul coordonatelor curente, iar coeficienții la puteri mai mari sunt egali între ei.

Derivarea tuturor ecuațiilor de ordinul doi este similară cu derivarea ecuațiilor în linie dreaptă și urmează același algoritm.

Deducem ecuația unei parabole pe baza definiției sale.

7.5. Ecuația parabolei canonice

Definiție 7.3. parabolă este locul punctelor dintr-un plan care sunt echidistante de un punct dat F numit se concentreze, și această linie dreaptă, numită directoare.

Să notăm distanța de la focar la directrice ca p. Această valoare este numită parametru parabole.

1. Poziționați axa x astfel încât să treacă prin focalizare, să fie perpendiculară pe directrice și să aibă o direcție pozitivă de la directrice la focalizare.

2. Plasați originea coordonatelor în mijlocul acestei perpendiculare. Atunci vor fi coordonatele punctului F(p/2, 0), și ecuația directricei: .

3. Luați punctul curent de pe parabolă M(X y).

4. Prin definiția unei parabole, distanța MN din punct de vedere M față de directrice este egală cu distanța sa MF din focalizare: MF= MN. După cum se poate observa din desen (Fig. 7.7), coordonatele punctului N(–p/2, y). Să găsim aceste distanțe folosind formula pentru distanța dintre două puncte din paragraful 1 al prelegerii anterioare.

, .

Echivalând părțile drepte ale acestor expresii și punând la pătrat ambele părți ale egalității, obținem:

,

sau după abrevieri

. (7.11)

Ecuația (7.11) se numește ecuația canonică a parabolei. Doar punctele situate pe curbă îl vor satisface, iar restul nu. Să studiem forma graficului său conform ecuației canonice.

Pentru că y intră la o putere uniformă, apoi axa OH va fi axa de simetrie, i.e. o singură valoare X se va potrivi cu două valori Y- pozitiv și negativ. pentru că partea dreaptă este nenegativă la, apoi și cea din stânga. pentru că R este distanța dintre focalizare și directrix, care este întotdeauna mai mare decât zero, atunci X. În cazul în care un X=0, atunci la=0, adică parabola trece prin origine. Cu o creștere nelimitată X valoare absolută la va crește și la nesfârșit.

Graficul parabolei definite prin ecuația (7.11) este prezentat în fig. 7.7.

Orez. 7.7 fig. 7.8

Axa de simetrie a parabolei se numește axă focală, deoarece are focus. Dacă axa focală a parabolei este luată ca axa y, atunci ecuația ei va lua forma:

.

Desenul său este prezentat în Fig. 7.8. În acest caz, focalizarea va fi la punct F(0, p/2), iar ecuația directricei va avea forma la = –R/2.

Astfel, am considerat o parabolă, am găsit ecuația acesteia și am arătat locații posibile în raport cu originea.

Dacă vârful parabolei este deplasat la un punct , atunci ecuația canonică va arăta astfel:

.

Nu ne vom ocupa de derivarea altor curbe de ordinul doi. Cei care doresc pot găsi toate calculele în literatura recomandată.

Ne limităm la definițiile și ecuațiile lor.

În mai puțin de un minut, am creat un nou fișier Verdov și am continuat cu un subiect atât de interesant. Trebuie să surprindeți momentele stării de spirit de lucru, așa că nu va exista nicio introducere lirică. Va fi bătaie prozaică =)

Cele două spații drepte pot:

1) se încrucișează;

2) se intersectează în punctul ;

3) să fie paralel;

4) potrivire.

Cazul #1 este fundamental diferit de celelalte cazuri. Două drepte se intersectează dacă nu se află în același plan.. Ridicați un braț în sus și întindeți celălalt braț înainte - iată un exemplu de linii care se intersectează. În punctele 2-4, liniile se află în mod necesar într-un singur plan.

Cum se află poziția relativă a liniilor în spațiu?

Luați în considerare două spații drepte:

este o dreaptă dată de un punct și un vector de direcție;
este o dreaptă definită de un punct și un vector de direcție.

Pentru o mai bună înțelegere, să facem un desen schematic:

Desenul prezintă linii oblice ca exemplu.

Cum să te descurci cu aceste rânduri?

Deoarece punctele sunt cunoscute, este ușor să găsiți vectorul.

Dacă drept se încrucișează, apoi vectorii nu coplanare(vezi lecția Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială), ceea ce înseamnă că determinantul compus din coordonatele lor este diferit de zero. Sau, care este de fapt același, va fi diferit de zero: .

În cazurile nr. 2-4, construcția noastră „cade” într-un singur plan, în timp ce vectorii coplanare, iar produsul mixt al vectorilor dependenți liniar este egal cu zero: .

Am extins algoritmul în continuare. Să ne prefacem că , prin urmare, liniile fie se intersectează, fie sunt paralele, fie coincid.

Dacă vectorii de direcţie coliniare, atunci liniile sunt fie paralele, fie coincid. Ca final, propun următoarea tehnică: luăm orice punct al unei drepte și înlocuim coordonatele acestuia în ecuația celei de-a doua drepte; dacă coordonatele „s-au apropiat”, atunci liniile coincid, dacă „nu s-au apropiat”, atunci liniile sunt paralele.

Cursul algoritmului este nepretențios, dar exemplele practice încă nu interferează:

Exemplul 11

Aflați poziția relativă a două drepte

Soluţie: ca și în multe probleme de geometrie, este convenabil să aranjați soluția punct cu punct:

1) Extragem puncte și vectori direcție din ecuații:

2) Găsiți vectorul:

Astfel, vectorii sunt coplanari, ceea ce înseamnă că dreptele se află în același plan și se pot intersecta, fi paralele sau coincide.

4) Verificați coliniaritatea vectorilor de direcție.

Să compunem un sistem din coordonatele corespunzătoare acestor vectori:

Din toata lumea Ecuația implică că, prin urmare, sistemul este consistent, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor sunt proporționale, iar vectorii sunt coliniari.

Concluzie: liniile sunt paralele sau coincid.

5) Aflați dacă liniile au puncte comune. Să luăm un punct aparținând primei drepte și să înlocuim coordonatele acestuia în ecuațiile dreptei:

Astfel, liniile nu au puncte comune și nu le mai rămâne nimic decât să fie paralele.

Răspuns:

Un exemplu interesant de rezolvat singur:

Exemplul 12

Aflați poziția relativă a liniilor

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rețineți că a doua linie are litera ca parametru. Logic. În cazul general, acestea sunt două linii diferite, deci fiecare linie are propriul parametru.

Și, din nou, vă îndemn să nu săriți peste exemple, voi scăpa sarcinile pe care le propun sunt departe de a fi aleatorii ;-)

Probleme cu o linie dreaptă în spațiu

În partea finală a lecției, voi încerca să iau în considerare suma maxima diverse probleme cu liniile spațiale. În acest caz, se va respecta ordinea începută a narațiunii: mai întâi vom lua în considerare problemele cu liniile care se intersectează, apoi cu liniile care se intersectează, iar la final vom vorbi despre liniile paralele în spațiu. Totuși, trebuie să spun că unele dintre sarcinile acestei lecții pot fi formulate pentru mai multe cazuri de linii drepte deodată și, în acest sens, împărțirea secțiunii în paragrafe este oarecum arbitrară. Există exemple mai simple, sunt exemple mai complexe și sperăm că fiecare va găsi ceea ce are nevoie.

Liniile încrucișate

Vă reamintesc că liniile se intersectează dacă nu există un plan în care să se afle ambele. Când mă gândeam la practică, mi-a venit în minte o sarcină monstruoasă, iar acum mă bucur să vă prezint atenției un dragon cu patru capete:

Exemplul 13

Sunt date linii drepte. Necesar:

a) să demonstreze că liniile se intersectează;

b) găsiți ecuațiile dreptei care trece prin punctul perpendicular pe dreptele date;

c) alcătuiţi ecuaţiile unei drepte care conţine perpendiculară comună linii de intersectare;

d) aflați distanța dintre linii.

Soluţie: Drumul va fi stăpânit de cel plimbat:

a) Să demonstrăm că dreptele se intersectează. Să găsim punctele și vectorii direcție ai acestor drepte:

Să găsim vectorul:

Calcula produs mixt al vectorilor:

Deci vectorii nu coplanare, ceea ce înseamnă că liniile se intersectează, ceea ce urma să fie demonstrat.

Probabil, toată lumea a observat de mult că pentru liniile oblice, algoritmul de verificare se dovedește a fi cel mai scurt.

b) Să aflăm ecuațiile dreptei care trece prin punctul și este perpendiculară pe drepte. Să facem un desen schematic:

Pentru varietate, am postat un direct PE linii drepte, vezi cum se șterge ușor la punctele de trecere. Încrucișări? Da, în cazul general, linia „de” se va intersecta cu liniile originale. Deși nu ne interesează acest moment, trebuie doar să construim o linie perpendiculară și atât.

Ce se știe despre „de” direct? Punctul care îi aparține este cunoscut. Lipsește vectorul direcție.

Prin condiție, linia trebuie să fie perpendiculară pe linii, ceea ce înseamnă că vectorul său de direcție va fi ortogonal cu vectorii de direcție. Motivul deja familiar din Exemplul nr. 9, să găsim produsul vectorial:

Să compunem ecuațiile dreptei „de” după punct și vectorul de direcție:

Gata. În principiu, se pot schimba semnele la numitori și se pot scrie răspunsul în formă , dar nu este nevoie de asta.

Pentru a verifica, este necesar să înlocuiți coordonatele punctului în ecuațiile obținute ale dreptei, apoi folosind produs scalar al vectorilor asigurați-vă că vectorul este într-adevăr ortogonal cu vectorii de direcție „pe unu” și „pe doi”.

Cum se găsesc ecuațiile unei drepte care conține o perpendiculară comună?

c) Această problemă este mai dificilă. Recomand totuși să sară peste acest paragraf, nu vreau să vă răcoresc simpatia sinceră pentru geometria analitică =) Apropo, probabil că este mai bine să aștepte și cititorii mai pregătiți, adevărul este că exemplul ar trebui pus ultimul în articol din punct de vedere al complexității, dar conform logicii prezentării ar trebui să fie localizat aici.

Deci, este necesar să se găsească ecuațiile dreptei, care conține perpendiculara comună a liniilor oblice.

este un segment de dreaptă care leagă dreptele date și este perpendicular pe liniile date:

Iată bărbatul nostru frumos: - perpendiculară comună a liniilor care se intersectează. El este singurul. Nu există altul ca acesta. De asemenea, trebuie să compunem ecuațiile unei linii drepte care conține un segment dat.

Ce se știe despre „uh” direct? Este cunoscut vectorul său de direcție, găsit în paragraful anterior. Dar, din păcate, nu cunoaștem un singur punct care să aparțină dreptei „em”, nu cunoaștem capetele perpendicularei - puncte. Unde intersectează această dreaptă perpendiculară cele două drepte originale? Africa, Antarctica? Din revizuirea și analiza inițială a stării, nu este deloc clar cum se rezolvă problema .... Dar există o mișcare dificilă asociată cu utilizarea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte.

Să luăm o decizie punct cu punct:

1) Să rescriem ecuațiile primei drepte în formă parametrică:

Să luăm în considerare un punct. Nu știm coordonatele. DAR. Dacă un punct aparține unei linii date, atunci coordonatele acestuia corespund cu , notați-l cu . Apoi coordonatele punctului vor fi scrise ca:

Viața devine din ce în ce mai bună, o necunoscută - până la urmă, nu trei necunoscute.

2) Aceeași ultraj trebuie făcută și asupra celui de-al doilea punct. Să rescriem ecuațiile celei de-a doua drepte în formă parametrică:

Dacă un punct aparține unei linii date, atunci cu un sens foarte specific coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuațiile parametrice:

Sau:

3) Vectorul , ca și vectorul găsit anterior , va fi vectorul de direcție al dreptei . Cum se compune un vector din două puncte a fost luat în considerare în timpuri imemoriale în lecție Vectori pentru manechine. Acum diferența este că coordonatele vectorilor sunt scrise cu valori ale parametrilor necunoscute. Şi ce dacă? Nimeni nu interzice scăderea coordonatele corespunzătoare ale începutului vectorului din coordonatele sfârșitului vectorului.

Există două puncte: .

Găsirea unui vector:

4) Deoarece vectorii de direcție sunt coliniari, atunci un vector este exprimat liniar prin celălalt cu un coeficient de proporționalitate „lambda”:

Sau în coordonate:

S-a dovedit a fi cel mai obișnuit sistem de ecuații liniare cu trei necunoscute, care este solubil standard, de exemplu, metoda lui Cramer. Dar aici există o oportunitate de a scăpa cu puțin sânge, din a treia ecuație vom exprima „lambda” și o vom înlocui în prima și a doua ecuație:

În acest fel: , și „lambda” nu avem nevoie. Faptul că valorile parametrilor s-au dovedit a fi aceleași este pură întâmplare.

5) Cerul se limpezește complet, înlocuiți valorile găsite către locațiile noastre:

Vectorul direcție nu este deosebit de necesar, deoarece omologul său a fost deja găsit.

După o călătorie lungă, este întotdeauna interesant să efectuați o verificare.

:

Se obțin egalitățile corecte.

Înlocuiți coordonatele punctului în ecuații :

Se obțin egalitățile corecte.

6) Coarda finală: vom compune ecuațiile unei drepte pentru un punct (puteți lua) și un vector de direcție:

În principiu, puteți ridica un punct „bun” cu coordonate întregi, dar acest lucru este cosmetic.

Cum să găsiți distanța dintre liniile care se intersectează?

d) Tăiem al patrulea cap al dragonului.

Metoda unu. Nici măcar un mod, ci un mic caz special. Distanța dintre liniile care se intersectează este egală cu lungimea perpendicularei lor comune: .

Punctele extreme ale perpendicularei comune găsite în paragraful anterior, iar sarcina este elementară:

Metoda a doua. În practică, cel mai adesea capetele perpendicularei comune sunt necunoscute, așa că se folosește o abordare diferită. Prin două linii care se intersectează se pot trasa planuri paralele, iar distanța dintre planurile date este egală cu distanța dintre liniile date. În special, o perpendiculară comună iese între aceste planuri.

În cursul geometriei analitice, din considerentele de mai sus, a fost derivată o formulă pentru găsirea distanței dintre liniile oblice:
(în loc de punctele noastre „em unu, doi” putem lua puncte arbitrare ale liniilor).

Produs mixt al vectorilor găsit deja în paragraful „a”: .

Produsul încrucișat al vectorilor găsit în paragraful „fi”: , calculează-i lungimea:

În acest fel:

Așează cu mândrie trofeele pe un rând:

Răspuns:
A) , prin urmare, liniile se intersectează, ceea ce se cerea a fi demonstrat;
b) ;
în) ;
G)

Ce se mai poate spune despre liniile care se intersectează? Între ele este definit un unghi. Dar luați în considerare formula unghiului universal din următorul paragraf:

Liniile drepte care se intersectează se află în mod necesar în același plan:

Primul gând este să te sprijini pe punctul de intersecție cu toată puterea ta. Și imediat m-am gândit, de ce să-ți refuzi dorințele potrivite?! Să sărim pe ea chiar acum!

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor spațiale?

Exemplul 14

Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Soluţie: Să rescriem ecuațiile liniilor în formă parametrică:

Această sarcină a fost analizată în detaliu în Exemplul nr. 7 al acestei lecții (vezi. Ecuațiile unei linii drepte în spațiu). Și liniile drepte în sine, apropo, am luat-o din Exemplul nr. 12. Nu voi minți, îmi este prea lene să inventez altele noi.

Soluția este standard și a fost deja întâlnită când am elaborat ecuațiile perpendicularei comune a liniilor oblice.

Punctul de intersecție al dreptelor aparține dreptei, prin urmare coordonatele acesteia satisfac ecuațiile parametrice ale acestei drepte și corespund cu o valoare a parametrului foarte specific:

Dar același punct aparține celei de-a doua linii, prin urmare:

Echivalăm ecuațiile corespunzătoare și facem simplificări:

Se obține un sistem de trei ecuații liniare cu două necunoscute. Dacă liniile se intersectează (după cum se dovedește în Exemplul 12), atunci sistemul este în mod necesar consistent și are o soluție unică. Se poate rezolva metoda Gauss, dar nu vom păcătui cu un astfel de fetișism de grădiniță, să o facem mai ușor: din prima ecuație exprimăm „te zero” și îl înlocuim în a doua și a treia ecuație:

Ultimele două ecuații s-au dovedit a fi în esență aceleași și din ele rezultă că . Apoi:

Să substituim valoarea găsită a parametrului în ecuații:

Răspuns:

Pentru a verifica, înlocuim valoarea găsită a parametrului în ecuații:
Au fost obținute aceleași coordonate așa cum se cere pentru a fi verificate. Cititorii meticuloși pot înlocui coordonatele punctului în ecuațiile canonice originale ale dreptelor.

Apropo, a fost posibil să faceți opusul: găsiți punctul prin „es zero” și verificați-l prin „te zero”.

Un semn matematic binecunoscut spune: acolo unde se discută intersecția liniilor drepte, există întotdeauna un miros de perpendiculare.

Cum se construiește o linie de spațiu perpendiculară pe una dată?

(liniile se intersecteaza)

Exemplul 15

a) Compuneți ecuațiile unei drepte care trece printr-un punct perpendicular pe dreaptă (liniile se intersectează).

b) Aflați distanța de la punct la linie.

Notă : clauza „liniile se intersectează” - semnificativ. Prin punct
este posibil să se traseze un număr infinit de drepte perpendiculare care se vor intersecta cu dreapta „el”. Singura soluție apare atunci când o dreaptă este trasată printr-un punct dat perpendicular pe Două linii drepte date (vezi Exemplul nr. 13, paragraful „b”).

A) Soluţie: Notați linia necunoscută cu . Să facem un desen schematic:

Ce se știe despre linie? După condiție, se acordă un punct. Pentru a compune ecuațiile unei drepte este necesar să se găsească vectorul direcție. Ca un astfel de vector, vectorul este destul de potrivit și ne vom ocupa de el. Mai precis, să luăm capătul necunoscut al vectorului la strâns.

1) Vom extrage vectorul său de direcție din ecuațiile dreptei „el”, și vom rescrie ecuațiile în sine în formă parametrică:

Mulți au ghicit că acum, pentru a treia oară într-o lecție, magicianul va scoate o lebădă albă din pălărie. Luați în considerare un punct cu coordonate necunoscute. Deoarece punctul , atunci coordonatele sale satisfac ecuațiile parametrice ale dreptei „el” și corespund unei valori specifice parametrului:

Sau într-o singură linie:

2) Prin condiție, liniile trebuie să fie perpendiculare, prin urmare, vectorii lor de direcție sunt ortogonali. Și dacă vectorii sunt ortogonali, atunci lor produs scalar este egal cu zero:

Ce s-a întâmplat? Cea mai simplă ecuație liniară cu o necunoscută:

3) Valoarea parametrului este cunoscută, să găsim punctul:

Și vectorul direcție:
.

4) Vom compune ecuațiile dreptei după punctul și vectorul direcție :

Numitorii proporției s-au dovedit a fi fracționali, și exact acesta este cazul când este potrivit să scapi de fracții. Le voi înmulți doar cu -2:

Răspuns:

Notă : o finalitate mai riguroasă a soluției se întocmește astfel: compunem ecuațiile unei drepte printr-un punct și un vector de direcție . Într-adevăr, dacă un vector este un vector de direcție al unei linii drepte, atunci vectorul coliniar cu acesta va fi în mod natural și un vector de direcție al acestei linii drepte.

Verificarea constă în două etape:

1) verificați vectorii de direcție ai liniilor pentru ortogonalitate;

2) substituim coordonatele punctului în ecuațiile fiecărei linii drepte, acestea ar trebui să se „podă” atât aici, cât și acolo.

S-a vorbit mult despre acțiuni tipice, așa că am făcut o verificare a unui draft.

Apropo, am uitat un alt mod - să construiesc un punct „sue” simetric cu punctul „en” în raport cu linia dreaptă „el”. Cu toate acestea, există un bun „analog plat”, care poate fi găsit în articol Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Aici, toată diferența va fi în coordonatele suplimentare „Z”.

Cum se află distanța de la un punct la o linie în spațiu?

b) Soluţie: Găsiți distanța de la un punct la o linie.

Metoda unu. Aceasta distanta este exact egala cu lungimea perpendicularei: . Soluția este evidentă: dacă se cunosc punctele , apoi:

Metoda a doua. În problemele practice, baza perpendicularei este adesea un mister, așa că este mai rațional să folosiți o formulă gata făcută.

Distanța de la un punct la o linie este exprimată prin formula:
, unde este vectorul de direcție al dreptei „el” și - arbitrar un punct pe o dreaptă dată.

1) Din ecuațiile dreptei obținem vectorul direcție și punctul cel mai accesibil .

2) Punctul este cunoscut din condiția, ascuți vectorul:

3) Să găsim produs vectorial si calculeaza-i lungimea:

4) Calculați lungimea vectorului direcție:

5) Astfel, distanța de la un punct la o dreaptă:

Acest articol este despre linii paralele și despre linii paralele. În primul rând, este dată definiția dreptelor paralele în plan și în spațiu, este introdusă notația, sunt date exemple și ilustrații grafice ale dreptelor paralele. În continuare, sunt analizate semnele și condițiile de paralelism ale dreptelor. În concluzie, sunt prezentate soluții pentru probleme tipice de demonstrare a paralelismului dreptelor, care sunt date de unele ecuații ale unei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan și în spațiu tridimensional.

Navigare în pagină.

Linii paralele - informații de bază.

Definiție.

Se numesc două drepte dintr-un plan paralel dacă nu au puncte comune.

Definiție.

Se numesc două linii în trei dimensiuni paralel dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Rețineți că clauza „dacă se află în același plan” din definiția dreptelor paralele în spațiu este foarte importantă. Să lămurim acest punct: două drepte în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele, ci sunt oblice.

Iată câteva exemple de linii paralele. Marginile opuse ale foii de caiet se află pe linii paralele. Liniile drepte de-a lungul cărora planul peretelui casei intersectează planurile tavanului și podelei sunt paralele. Căile ferate pe teren plan pot fi, de asemenea, considerate linii paralele.

Simbolul „” este folosit pentru a desemna linii paralele. Adică, dacă liniile a și b sunt paralele, atunci puteți scrie pe scurt a b.

Rețineți că dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem spune că linia a este paralelă cu linia b și, de asemenea, că linia b este paralelă cu linia a.

Să exprimăm o afirmație care joacă un rol important în studiul dreptelor paralele în plan: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație este acceptată ca fapt (nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei) și se numește axioma dreptelor paralele.

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă poate fi demonstrată cu ușurință folosind axioma de mai sus a dreptelor paralele (demonstrația ei o puteți găsi în manualul de geometrie clasa 10-11, care este enumerată la sfârșitul articolului în bibliografie).

Pentru cazul spațiului, teorema este adevărată: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă se demonstrează cu ușurință folosind axioma dreptelor paralele prezentată mai sus.

Paralelismul liniilor - semne și condiții de paralelism.

Un semn de linii paralele este o condiție suficientă pentru liniile paralele, adică o astfel de condiție, a cărei îndeplinire garantează linii paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a afirma faptul că liniile sunt paralele.

Există, de asemenea, condiții necesare și suficiente pentru liniile paralele în plan și în spațiul tridimensional.

Să explicăm sensul expresiei „condiție necesară și suficientă pentru linii paralele”.

Ne-am ocupat deja de condiția suficientă pentru liniile paralele. Și care este „condiția necesară pentru linii paralele”? Prin denumirea de „necesar” este clar că îndeplinirea acestei condiții este necesară pentru ca liniile să fie paralele. Cu alte cuvinte, dacă nu este îndeplinită condiția necesară pentru liniile paralele, atunci liniile nu sunt paralele. În acest fel, condiție necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele este o condiție a cărei îndeplinire este atât necesară, cât și suficientă pentru liniile paralele. Adică, pe de o parte, acesta este un semn al liniilor paralele și, pe de altă parte, aceasta este o proprietate pe care o au liniile paralele.

Înainte de a afirma condiția necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele, este util să amintim câteva definiții auxiliare.

linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre cele două drepte non-coincidente date.

La intersecția a două linii ale unei secante se formează opt nedesfășurate. Asa numitul culcat în cruce, corespunzătorși colțuri unilaterale. Să le arătăm pe desen.

Teorema.

Dacă două drepte pe un plan sunt încrucișate de o secantă, atunci pentru paralelismul lor este necesar și suficient ca unghiurile transversale să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 de grade. .

Să arătăm o ilustrare grafică a acestei condiții necesare și suficiente pentru drepte paralele în plan.

Poți găsi dovezi ale acestor condiții pentru linii paralele în manualele de geometrie pentru clasele 7-9.

Rețineți că aceste condiții pot fi utilizate și în spațiul tridimensional - principalul lucru este că cele două linii și secanta se află în același plan.

Iată câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra paralelismul liniilor.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici rezultă din axioma dreptelor paralele.

Există o condiție similară pentru liniile paralele în spațiul tridimensional.

Teorema.

Dacă două linii din spațiu sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele. Dovada acestei caracteristici este luată în considerare la lecțiile de geometrie din clasa a 10-a.

Să ilustrăm teoremele vocale.

Să mai dăm o teoremă care ne permite să demonstrăm paralelismul dreptelor în plan.

Teorema.

Dacă două drepte dintr-un plan sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.

Teorema.

Dacă două drepte din spațiul tridimensional sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele.

Să desenăm imagini corespunzătoare acestor teoreme.

Toate teoremele formulate mai sus, semnele și condițiile necesare și suficiente sunt perfect potrivite pentru demonstrarea paralelismului dreptelor prin metode de geometrie. Adică, pentru a demonstra paralelismul a două drepte date, este necesar să se arate că acestea sunt paralele cu a treia dreaptă sau să se arate egalitatea unghiurilor încrucișate etc. Multe dintre aceste probleme sunt rezolvate la orele de geometrie din liceu. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că în multe cazuri este convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor într-un plan sau în spațiul tridimensional. Să formulăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor care sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

Paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

În această secțiune a articolului, vom formula condiţii necesare şi suficiente pentru liniile paraleleîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuații care determină aceste drepte, și vom oferi și soluții detaliate la probleme tipice.

Să începem cu condiția de paralelism a două drepte pe plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy . Dovada lui se bazează pe definiția vectorului de direcție al dreptei și definiția vectorului normal al dreptei pe plan.

Teorema.

Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele într-un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul de direcție al unei linii să fie perpendicular pe normal vector al celei de-a doua linii.

Evident, condiția de paralelism a două drepte în plan se reduce la (vectori de direcție ai dreptelor sau vectori normali ai liniilor) sau la (vector de direcție a unei linii și vector normal a celei de-a doua linii). Astfel, dacă și sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b și și sunt vectorii normali ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci condiția necesară și suficientă pentru liniile paralele a și b poate fi scrisă ca , sau , sau , unde t este un număr real. La rândul lor, coordonatele vectorilor de direcție și (sau) normali ai dreptelor a și b se găsesc din ecuațiile cunoscute ale dreptelor.

În special, dacă linia a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan definește ecuația generală a dreptei de forma , iar linia dreaptă b - , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și respectiv, iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se va scrie ca .

Dacă linia dreaptă a corespunde ecuaţiei dreptei cu coeficientul de pantă al formei . Prin urmare, dacă liniile drepte pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt paralele și pot fi date prin ecuații de drepte cu coeficienți de pantă, atunci coeficienții de pantă ai liniilor vor fi egali. Și invers: dacă liniile drepte necoincidente pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular pot fi date de ecuațiile unei drepte cu coeficienți egali de pantă, atunci astfel de drepte sunt paralele.

Dacă linia a și linia b într-un sistem de coordonate dreptunghiular definesc ecuațiile canonice ale dreptei pe planul formei și , sau ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan al formei și respectiv, atunci vectorii de direcție ai acestor drepte au coordonatele și , iar condiția de paralelism pentru liniile a și b se scrie ca .

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Sunt liniile paralele? și ?

Soluţie.

Rescriem ecuația unei linii drepte în segmente sub forma unei ecuații generale a unei linii drepte: . Acum putem vedea că este vectorul normal al dreptei , și este vectorul normal al dreptei. Acești vectori nu sunt coliniari, deoarece nu există un număr real t pentru care egalitatea ( ). În consecință, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe plan nu este îndeplinită, prin urmare, dreptele date nu sunt paralele.

Răspuns:

Nu, liniile nu sunt paralele.

Exemplu.

Sunt drepte și paralele?

Soluţie.

Aducem ecuația canonică a unei drepte la ecuația unei drepte cu pantă: . Evident, ecuațiile dreptelor și nu sunt aceleași (în acest caz, dreptele date ar fi aceleași) și pantele dreptelor sunt egale, prin urmare, liniile inițiale sunt paralele.

Acum să avem două ecuații:

Să vedem când dreptele d și d definite de aceste ecuații sunt paralele în sens larg, când coincid, când sunt paralele în sens propriu (adică nu au un singur punct comun).

Răspunsul la prima întrebare se obține imediat: dreptele d și d sunt paralele în sens larg dacă și numai dacă vectorii lor de direcție sunt coliniari, adică atunci când are loc proporția și, prin urmare, proporția.

Dacă această proporţie poate fi extinsă la proporţie

atunci liniile coincid: în acest caz, toți coeficienții uneia dintre cele două ecuații (1), (D) se obțin din coeficienții celeilalte prin înmulțirea cu unii și, prin urmare, cu ecuațiile (1) și sunt echivalenti (oricare punct care satisface o ecuație o satisface pe cealaltă).

În schimb, dacă două linii coincid, atunci proporția (3) este valabilă.

Să demonstrăm mai întâi acest lucru în cazul în care liniile noastre sunt paralele cu axa y. Apoi, și trebuie doar să dovedim egalitatea.

Dar ultima egalitate (în care rezultă din faptul că ambele drepte (coincidente) intersectează axa absciselor în același punct cu abscisa .

Acum să fie primarele coincidente să nu fie paralele cu axa y. Apoi îl intersectează în același punct Q cu ordonata și avem proporția , care împreună cu proporția (2) (exprimând paralelismul dreptelor în sens larg) ne dă proporția necesară (3).

Paralelismul în sensul propriu înseamnă că există paralelism în sens larg (adică condiția (2) este satisfăcută), dar nu există coincidență (adică nu este satisfăcută). Aceasta înseamnă că proporția

are loc, în timp ce

Combinația a două relații (2) și (4) este de obicei scrisă ca o singură formulă:

Să rezumăm ceea ce s-a dovedit.

Teorema 1. Orice dreaptă d pe un plan echipat cu un sistem de coordonate afín este determinată de o ecuație de gradul I între coordonatele punctelor sale. Dimpotrivă, orice ecuație de gradul întâi

este o ecuație a unei linii (unice) d; în plus, toți vectorii sunt coliniari cu această dreaptă și numai ei satisfac ecuația omogenă