Peevid și proprietățile sale

O funcție antiderivată f(x) pe intervalul (a; b) este o astfel de funcție F(x) încât egalitatea este valabilă pentru orice x dintr-un interval dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea . Astfel, funcția f(x) are un set de antiderivate F(x)+C, pentru o constantă arbitrară C, iar aceste antiderivate diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

proprietăţile primitivului.

Dacă funcția F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x) pe un interval X, atunci funcția f(x) + C, unde C este o constantă arbitrară, va fi, de asemenea, o antiderivată pentru f(x) pe acest interval.

Dacă funcția F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x) pe intervalul X=(a,b), atunci orice altă antiderivată F1(x) poate fi reprezentată ca F1(x) = F(x) + C, unde C este o funcție constantă pe X.

2 Definiția integralei nedefinite.

Întregul set de antiderivate ale funcției f(x) se numește integrală nedefinită a acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrand, iar f(x) se numește integrand. Integrandul este diferența funcției f(x).

Acțiunea de a găsi o funcție necunoscută prin diferența ei dată se numește integrare nedefinită, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F(x), ci mulțimea antiderivatelor sale F(x)+C.

proprietățile integralei nedefinite (proprietățile antiderivatei).

Derivata rezultatului integrării este egală cu integrandul.

Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu suma funcţiei în sine şi a unei constante arbitrare.

unde k este o constantă arbitrară. Coeficientul poate fi scos din semnul integralei nedefinite.

Integrala nedefinită a sumei/diferențelor de funcții este egală cu suma/diferenței integralelor nedefinite de funcții.

Schimbarea variabilei în integrală nedefinită

Substituție variabilăîn integrala nedefinită se realizează folosind substituții de două tipuri:

a) unde este o funcție monotonă, continuu diferențiabilă a noii variabile t. Formula de substituție variabilă în acest caz:

Unde U este o variabilă nouă. Formula de substituție variabilă pentru această înlocuire:

Integrare pe părți

Aflarea integralei prin formula se numește integrare pe părți. Aici U=U(x), υ=υ(x) sunt funcții diferențiabile continuu ale lui x. Cu ajutorul acestei formule, găsirea integralei se reduce la găsirea unei alte integrale; utilizarea acesteia este oportună în cazurile în care ultima integrală este fie mai simplă decât cea inițială, fie similară cu aceasta.

În acest caz, υ este considerată o astfel de funcție care se simplifică prin diferențiere, iar dU este acea parte a integrandului, a cărei integrală este cunoscută sau poate fi găsită.

formula Newton-Leibniz

Continuitatea unei integrale definite în funcție de limita superioară

Dacă funcția y = f (x) este integrabilă pe segmentul , atunci, evident, este integrabilă și pe un segment arbitrar [a, x] încorporat în . Funcţie ,

unde x О , se numește integrală cu limită superioară variabilă. Valoarea funcției Ф (x) în punctul x este egală cu aria S (x) de sub curba y \u003d f (x) pe segmentul [a, x]. Acesta este sensul geometric al unei integrale cu o limită superioară variabilă.

Teorema. Dacă funcția f(x) este continuă pe interval, atunci și funcția Φ(x) este continuă pe [a, b].

Fie Δх astfel încât x + Δ x О . Avem

Prin teorema valorii medii, există o astfel de valoare cu н [ x, x + Δ x] încât Deoarece cu н , iar funcția f (x) este mărginită, trecând la limită ca Δ x → 0, obținem

ODR ordinul 1

Care este diferența dintre ecuațiile diferențiale omogene și alte tipuri de DE? Acest lucru este cel mai ușor de explicat imediat cu un exemplu specific.

Rezolvați ecuația diferențială

Ce ar trebui analizat în primul rând la rezolvarea oricărei ecuații diferențiale de ordinul întâi? În primul rând, este necesar să se verifice dacă este posibil să se separe imediat variabilele folosind acțiuni „școală”? De obicei, o astfel de analiză este efectuată mental sau încercând să se separe variabilele într-o schiță.

În acest exemplu, variabilele nu pot fi împărțite (puteți încerca să răsturnați termenii de la o parte la alta, să scoateți factorii dintre paranteze etc.). Apropo, în acest exemplu, faptul că variabilele nu pot fi împărțite este destul de evident datorită prezenței multiplicatorului

Apare întrebarea - cum se rezolvă acest diffur?

Trebuie să verificați dacă această ecuație este omogenă? Verificarea este simplă, iar algoritmul de verificare în sine poate fi formulat după cum urmează:

La ecuația inițială:

În loc de x, înlocuiți în loc de y, înlocuiți derivata, nu atingeți: Litera lambda este un parametru numeric abstract, punctul nu se află în lambda în sine și nu în valorile lor, dar punctul este acesta:

Dacă, ca urmare a transformărilor, este posibil să se reducă TOATE „lambde” (adică, să se obțină ecuația originală), atunci această ecuație diferențială este omogenă.

Evident, lambda se anulează imediat în exponent: Acum, în partea dreaptă, scoatem lambda din paranteze: Ambele părți ale ecuației pot fi reduse la aceeași lambda: ca rezultat, toate lambda au dispărut ca un vis, ca o ceață de dimineață și am obținut ecuația originală.

Concluzie: Această ecuație este omogenă

LOU.Proprietăți generale ale soluțiilor

adică este liniară în raport cu funcția necunoscută yși derivatele sale și . Coeficienții și și partea dreaptă a acestei ecuații sunt continui.

Dacă partea dreaptă a ecuației , atunci ecuația se numește liniară neomogenă. Dacă , atunci ecuația are forma

(9)

și se numește omogen liniar.

Fie și orice soluție particulară a ecuației (9), adică nu conțin constante arbitrare.

Teorema 1. Dacă și sunt două soluții parțiale ale unei ecuații liniare omogene de ordinul doi, atunci este și o soluție a acestei ecuații.

Deoarece și sunt soluții ale ecuației (9), ele transformă această ecuație într-o identitate, adică

Și

(10)

Înlocuiți în ecuația (9). Atunci noi avem:

Datorită (10). Prin urmare, este o soluție a ecuației.

Teorema 2. Dacă este o soluție a unei ecuații liniare omogene de ordinul doi și C este o constantă, atunci este și o soluție a acestei ecuații.

Dovada.Înlocuiți în ecuația (9). Se obține: adică soluția ecuației.

Consecinţă. Dacă și sunt soluții ale ecuației (9), atunci la fel este și soluția acesteia în virtutea teoremelor (1) și (2).

Definiție. Două soluții și ecuații (9) se numesc dependente liniar (de segmentul ) dacă este posibil să se aleagă astfel de numere și , care nu sunt simultan egale cu zero, astfel încât combinația liniară a acestor soluții să fie identic egală cu zero pe , încât este, dacă .

Dacă astfel de numere nu pot fi alese, atunci soluțiile și sunt numite liniar independente (pe intervalul ).

În mod evident, soluțiile și vor fi liniar dependente dacă și numai dacă raportul lor este constant, adică (sau invers).

Într-adevăr, dacă și sunt dependente liniar, atunci , unde cel puțin o constantă sau este diferită de zero. Să fie, de exemplu, . Atunci , , Indicând obținem , adică raportul este constant.

În schimb, dacă . Aici, coeficientul de la , adică este diferit de zero, ceea ce prin definiție înseamnă că și sunt dependente liniar.

Cometariu. Din definiția soluțiilor liniar independente și raționamentul de mai sus, putem concluziona că dacă și sunt liniar independente, atunci raportul lor nu poate fi constant.

De exemplu, funcțiile și for sunt liniar independente, deoarece , deoarece . Și iată 5 caracteristici XȘi X sunt dependente liniar, deoarece raportul lor este .

Teorema. Dacă și sunt soluții particulare independente liniar ale unei ecuații omogene liniare de ordinul doi, atunci combinația lor liniară , unde și sunt constante arbitrare, este o soluție generală a acestei ecuații.

Dovada.În virtutea teoremelor 1 și 2 (și a corolarelor acestora), este o soluție a ecuației (9) pentru orice alegere de constante și .

Dacă soluțiile și sunt liniar independente, atunci este o soluție generală, deoarece această soluție conține două constante arbitrare care nu pot fi reduse la una.

În același timp, chiar dacă ar fi soluții dependente liniar, nu ar mai fi o soluție generală. În acest caz unde α -constant. Atunci , unde este o constantă. nu poate fi o soluție generală pentru o ecuație diferențială de ordinul doi, deoarece depinde doar de o singură constantă.

Deci, soluția generală a ecuației (9):

19. Conceptul de sistem de funcții liniar independent. determinantul lui Vronsky. condiție suficientă pentru independența liniară. conceptul de sistem fundamental al unei funcţii. Exemple. Condiție necesară și suficientă pentru diferența de la zero a determinantului Wronsky pe intervalul [a, c]

Conceptul de sistem liniar independent de funcții

Funcții sunt numite dependente liniar de dacă una dintre ele este o combinație liniară a celorlalte. Cu alte cuvinte, funcțiile sunt numite dependente liniar de dacă există numere, dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero, astfel încât

Dacă identitatea (4) este valabilă numai dacă toate , atunci funcțiile sunt numite liniar independente pe .

Sistem de soluții liniar independent pe un interval

ecuația diferențială omogenă de ordinul al-lea (3) cu coeficienți continui se numește sistemul fundamental de soluții al acestei ecuații.

Pentru a rezolva o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul al treilea (3) cu coeficienți continui, trebuie să găsim sistemul său fundamental de soluții.

Conform teoremei 1, o combinație liniară arbitrară de soluții, adică suma

, (5)

unde sunt numere arbitrare, este la rândul său soluția ecuației (3) pe . Dar se dovedește că invers, orice soluție a ecuației diferențiale (3) pe un interval este o anumită combinație liniară a soluțiilor particulare indicate (interdependente) ale acesteia (a se vedea teorema 4 de mai jos), care formează un sistem fundamental de soluții.

Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale omogene (3) are forma (5), unde sunt constante arbitrare și sunt soluții particulare (3), care formează sistemul fundamental de soluții al ecuației omogene.

Rețineți că soluția generală a ecuației neomogene (1) este suma oricăreia dintre soluțiile sale particulare și soluția generală a ecuației omogene

. (6)

Într-adevăr,

.

Pe de altă parte, dacă există o soluție arbitrară pentru ecuația (1), atunci

și, prin urmare, este o soluție a ecuației omogene; dar apoi există numere astfel încât

,

adică, egalitatea (6) este valabilă pentru aceste numere.

determinantul lui Vronsky.

Teorema 2. Dacă funcţiile sunt dependente liniar de și au derivate până la ordinul al-lea, apoi determinantul

. (7)

eu

Determinantul (7) se numește determinant Wronsky sau Wronskian și este notat cu simbolul .

Dovada. Din moment ce funcţiile sunt dependente liniar de , atunci există numere diferite de zero astfel încât identitatea (4) se menține pe . Diferențiând timpii, obținem sistemul de ecuații

Acest sistem omogen, prin presupunere, are o soluție netrivială (adică cel puțin una ) pentru . Acesta din urmă este posibil atunci când determinantul sistemului, care este determinantul Wronsky, este identic egal cu zero. Teorema a fost demonstrată.

Cometariu. Teorema 2 implică că dacă cel puțin într-un punct, atunci funcțiile sunt liniar independente de .

Exemplul 2. Funcțiile sunt liniar independente pe orice , deoarece

.

Exemplul 3. Funcțiile sunt liniar independente pe orice , dacă - numere diferite (reale sau complexe).

Într-adevăr.

,

deoarece ultimul determinant este un determinant Vandermonde, care nu este egal cu zero pentru diverse.

Exemplul 4 Funcții sunt liniar independente de orice .

Din moment ce și

atunci din cel de-al doilea exemplu rezultă independența liniară a acestor funcții.

Teorema 3. În ordinea soluţiilor ecuația diferențială liniară omogenă cu coeficienți continui sunt liniar independente de , este necesar și suficient ca pentru toate .

Dovada. 1) Dacă este activat , atunci funcțiile sunt liniar independente, indiferent dacă sunt sau nu soluții ale ecuației (vezi Observație).

2) Fie funcții liniar independente pe și fie soluții ale ecuației .

Să demonstrăm că peste tot pe . Presupunem dimpotrivă că există un punct în care . Alegem numere care nu sunt egale cu zero în același timp, astfel încât să fie soluții ale sistemului

(8)

Acest lucru se poate face, deoarece determinantul sistemului (8) este . Apoi, în virtutea teoremei 1, funcția va fi o soluție a ecuației cu condiții inițiale zero (prin (8))

Dar și banala soluție îndeplinește aceleași condiții. În virtutea teoremei existenței și unicității, poate exista o singură soluție care să satisfacă aceste condiții inițiale; prin urmare, pe , adică funcțiile sunt dependente liniar de , ceea ce nu a fost presupus. Teorema a fost demonstrată.

Dacă sunt funcții discontinue în intervalul în care căutăm o soluție, atunci ecuația poate avea mai multe soluții care îndeplinesc condițiile inițiale și atunci este posibil ca pe .

Exemplul 5. Este ușor să verificați dacă funcțiile

sunt liniar independente pe și pentru ei pe .

Acest lucru se datorează faptului că funcția este o soluție generală a ecuației

,

Unde discontinuă la punctul . Pentru această ecuație, teorema existenței și unicității nu este valabilă (în vecinătatea punctului ). Nu numai funcția , ci și funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale care îndeplinește condițiile și pentru .

Structura soluției generale.

eu ndex.Direct Toate anunturile Rezolvarea ecuatiilor online! Calculator LoviOtvet - rezolvă ecuații cu un singur clic! Descarcă gratuit!loviotvet.ru Cine este Isus Cum să afli cine este cu adevărat Iisus Hristos?godlovesrussia.com

Teorema 4. Dacă - independent liniar pe soluțiile unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul al-lea cu coeficienți continui , apoi funcția

, (9)

unde sunt constante arbitrare, este o soluție generală a ecuației , adică suma (9) pentru orice , este o soluție a acestei ecuații și, invers, orice soluție a acestei ecuații poate fi reprezentată ca o sumă (9) pentru valorile corespunzătoare de .

Dovada. Știm deja că suma (9) pentru oricare este o soluție a ecuației . Fie, invers, o soluție arbitrară a acestei ecuații. Sa punem

Pentru numerele primite vom compune un sistem liniar de ecuații pentru numere necunoscute : , este suficient să găsim unele - constante reale. Pentru a găsi soluția generală a ecuației (8), procedăm după cum urmează. Compunem o ecuație caracteristică pentru ecuația (8): . Folosind condițiile inițiale, definim

Luați în considerare ecuația diferențială liniară n-a ordine

y (n) + un n -1 (X)y (n- 1) + ... + A 1 (X)y" + A 0 (X)y = f(X).

cu coeficienți continui un n -1 (X), un n -2 (X), ..., A 1 (X), A 0 (X) și partea dreaptă continuă f(X).

Principiul suprapunerii pe baza următoarelor proprietățile soluțiilor ecuațiilor diferențiale liniare.

1. Dacă y 1 (X) Și y 2 (X) sunt două soluții ale ecuației diferențiale liniare omogene

y (n) + un n -1 (X)y (n- 1) + ... + A 1 (X)y" + A 0 (X)y = 0

apoi orice combinație liniară a acestora y(X) = C 1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X) este o soluție a acestei ecuații omogene.

2. Dacă y 1 (X) Și y 2 (X) sunt două soluții ale ecuației liniare neomogene L(y) = f(X), apoi diferența lor y(X) = y 1 (X) − y 2 (X) este o soluție a ecuației omogene L(y) = 0 .

3. Orice soluție a unei ecuații liniare neomogene L(y) = f(X) este suma oricărei soluții fixe (particulare) a unei ecuații neomogene și a unei soluții a unei ecuații omogene.

4. Dacă y 1 (X) Și y 2 (X) - soluții de ecuații liniare neomogene L(y) = f 1 (X) Și L(y) = f 2 (X), respectiv, apoi suma lor y(X) =y 1 (X) + y 2 (X) este o soluție a ecuației neomogene L(y) = f 1 (X) + f 2 (X).

Această ultimă afirmație este de obicei numită principiul suprapunerii.

Metoda variației constante

Se consideră ecuația neomogenă de ordinul --lea

unde coeficienții și partea dreaptă sunt date funcții continue pe intervalul .

Să presupunem că cunoaștem sistemul fundamental de soluții ecuația omogenă corespunzătoare

După cum am arătat în § 1.15 (formula (6)), soluția generală a ecuației (1) este egală cu suma soluției generale a ecuației (2) și a oricărei soluții a ecuației (1).

Soluția ecuației neomogene (1) poate fi

Modificarea variabilei în integrala nedefinită este utilizată pentru a găsi integrale în care una dintre funcții este derivata unei alte funcții. Să fie o integrală $ \int f(x) dx $, să facem înlocuirea $ x=\phi(t) $. Rețineți că funcția $ \phi(t) $ este diferențiabilă, deci $ dx = \phi"(t) dt $ poate fi găsită.

Acum înlocuim $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ în integrală și obținem:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

Acesta este formula de modificare a variabilei în integrală nedefinită.

Algoritmul metodei de înlocuire a variabilei

Astfel, dacă în problemă este dată o integrală de forma: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Este indicat să înlocuiți variabila cu una nouă: $ $ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

După aceea, integrala va fi prezentată într-o formă ușor de luat cu principalele metode de integrare: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

Nu uitați să setați și variabila înlocuită înapoi la $x$.

Exemple de soluții

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită prin metoda schimbării variabilei: $$ \int e^(3x) dx $$

Soluţie

Schimbăm variabila din integrală în $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Integrala exponentă este în continuare aceeași conform tabelului de integrare, deși $ t $ este scris în loc de $ x $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vă vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util!

Răspuns

$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

Integrarea prin substituire (modificarea variabilei). Să fie necesar să se calculeze integrala, care nu este tabelară. Esența metodei de substituție este că în integrală variabila x este înlocuită cu variabila t conform formulei x \u003d q (t), de unde dx \u003d q "(t) dt.

Teorema. Fie definită și diferențiabilă funcția x=u(t) pe o mulțime T și fie X mulțimea de valori a acestei funcții pe care este definită funcția f(x). Atunci dacă pe mulțimea X funcția f(x) are o antiderivată, atunci pe mulțimea T este valabilă formula:

Formula (1) se numește modificarea formulei variabilei în integrala nedefinită.

Integrare pe părți. Metoda de integrare pe părți decurge din formula pentru diferența produsului a două funcții. Fie u(x) și v(x) două funcții diferențiabile ale lui x. Apoi:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

Integrând ambele părți ale egalității (3), obținem:

Dar de atunci:

Relația (4) se numește formula de integrare prin părți. Folosind această formulă, găsiți integrala. Este recomandabil să îl utilizați atunci când integrala din partea dreaptă a formulei (4) este mai ușor de calculat decât cea originală.

În formula (4) nu există o constantă arbitrară C, deoarece partea dreaptă a acestei formule conține o integrală nedefinită care conține o constantă arbitrară.

Să prezentăm câteva tipuri comune de integrale calculate prin metoda integrării pe părți.

I. Integrale de forma, (P n (x) este un polinom de grad n, k este un număr). Pentru a găsi aceste integrale, este suficient să punem u=P n (x) și să aplicați formula (4) de n ori.

II. Integrale de forma, (Pn(x) este un polinom de grad n în raport cu x). Ele pot fi găsite de către cele frecvente, luând pentru u funcția care este factor la P n (x).

Cu ajutorul unei schimbări de variabilă, puteți calcula integrale simple și, în unele cazuri, puteți simplifica calculul celor mai complexe.

Metoda de înlocuire a variabilei este că trecem de la variabila de integrare inițială, fie x , la o altă variabilă, pe care o notăm t . În același timp, presupunem că variabilele x și t sunt legate printr-o relație x = x (t), sau t = t (X). De exemplu x = log t, x = sin t, t = 2 x + 1, și așa mai departe. Sarcina noastră este să alegem o astfel de relație între x și t, astfel încât integrala originală fie să se reducă la una tabelară, fie să devină mai simplă.

Formula de bază pentru modificarea variabilei

Luați în considerare expresia care se află sub semnul integral. Constă din produsul integrandului, pe care îl vom desemna f (X) si diferential dx : . Să trecem la o nouă variabilă t alegând o relație x = x (t). Atunci trebuie să exprimăm funcția f (X) iar diferenţialul dx în ceea ce priveşte variabila t .

Pentru a exprima integrandul f (X) prin variabila t, trebuie doar să înlocuiți raportul ales x = x în loc de variabila x (t).

Transformarea diferenţială se face astfel:
.
Adică diferența dx este egală cu produsul derivatei lui x față de t și diferența dt.

Apoi
.

În practică, cel mai frecvent caz este atunci când efectuăm o înlocuire prin alegerea unei variabile noi în funcție de cea veche: t = t (X). Dacă am ghici că integrandul poate fi reprezentat ca
,
unde t′ (X) este derivata lui t în raport cu x, atunci
.

Deci, formula de bază a schimbării variabilei poate fi reprezentată în două forme.
(1) ,
unde x este o funcție a lui t .
(2) ,
unde t este o funcție a lui x.

Notă importantă

În tabelele de integrale, variabila de integrare este cel mai adesea notă cu x . Cu toate acestea, merită luat în considerare faptul că variabila de integrare poate fi notată cu orice literă. Mai mult, orice expresie poate fi folosită ca variabilă de integrare.

Ca exemplu, luați în considerare integrala tabelului
.

Aici x poate fi înlocuit cu orice altă variabilă sau cu o funcție a unei variabile. Iată exemple de opțiuni posibile:
;
;
.

În ultimul exemplu, trebuie să țineți cont de faptul că la trecerea la variabila de integrare x , diferența este transformată după cum urmează:
.
Apoi
.

Acest exemplu este esența integrării substituției. Adică trebuie să ghicim asta
.
După aceea, integrala este redusă la una tabelară.
.

Puteți evalua această integrală folosind o schimbare de variabilă, aplicând formula (2) . Fie t = x 2+x. Apoi
;
;

.

Exemple de integrare prin schimbarea variabilei

1) Calculăm integrala
.
Observăm că (sin x)′ = cos x. Apoi

.
Aici am aplicat substituția t = sin x.

2) Calculăm integrala
.
Observăm că. Apoi

.
Aici am realizat integrarea prin modificarea variabilei t = arctg x.

3) Să ne integrăm
.
Observăm că. Apoi

. Aici, în timpul integrării, modificarea variabilei t = x 2 + 1 .

Substituții liniare

Poate că cele mai comune sunt substituțiile liniare. Aceasta este o înlocuire a variabilei de formă
t = ax + b
unde a și b sunt constante. Sub o astfel de schimbare, diferențele sunt legate prin relație
.

Exemple de integrare prin substituții liniare

A) Calculați integrala
.
Soluţie.
.

b) Găsiți integrala
.
Soluţie.
Să folosim proprietățile funcției exponențiale.
.
ln 2- este o constantă. Calculăm integrala.

.

c) Calculați integrala
.
Soluţie.
Aducem polinomul pătrat din numitorul unei fracții la suma pătratelor.
.
Calculăm integrala.

.

D) Găsiți integrala
.
Soluţie.
Transformăm polinomul sub rădăcină.

.
Integram folosind metoda schimbarii variabilei.

.
Am obținut anterior formula
.
De aici
.
Înlocuind această expresie, obținem răspunsul final.

e) Calculați integrala
.
Soluţie.
Aplicați formula pentru produsul dintre sinus și cosinus.
;
.
Ne integrăm și facem substituții.


.

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, Lan, 2003.

În această lecție, ne vom familiariza cu unul dintre cele mai importante și mai comune trucuri care este utilizat în cursul rezolvării integralelor nedefinite - metoda schimbării variabilei. Pentru stăpânirea cu succes a materialului, sunt necesare cunoștințe inițiale și abilități de integrare. Dacă există senzația unui ceainic plin gol în calcul integral, atunci ar trebui să citiți mai întâi materialul, unde am explicat într-o formă accesibilă ce este o integrală și am analizat în detaliu exemplele de bază pentru începători.

Din punct de vedere tehnic, metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită este implementată în două moduri:

– Aducerea funcţiei sub semnul diferenţialului;
– Modificarea efectivă a variabilei.

De fapt, este același lucru, dar designul soluției arată diferit.

Să începem cu un caz mai simplu.

Aducerea unei funcții sub semnul diferențial

La lectie Integrală nedefinită. Exemple de soluții am învățat cum să deschidem diferența, îmi amintesc exemplul pe care l-am dat:

Adică, a deschide diferența este în mod formal aproape la fel cu a găsi derivata.

Exemplul 1

Efectuați o verificare.

Ne uităm la tabelul integralelor și găsim o formulă similară: . Dar problema este că avem sub sinus nu doar litera „x”, ci o expresie complexă. Ce să fac?

Aducem funcția sub semnul diferenţialului:

Extinderea diferenţialului, este uşor de verificat că:

De fapt şi este o înregistrare a aceleiași.

Dar, cu toate acestea, rămâne întrebarea, cum am ajuns la ideea că la primul pas trebuie să ne scriem integrala exact așa: ? De ce asa, si nu altfel?

Formulă (și toate celelalte formule tabelare) sunt valide și aplicabile NU NUMAI pentru o variabilă, ci și pentru orice expresie complexă NUMAI ARGUMENTUL FUNCȚIEI(- în exemplul nostru) ȘI EXPRESIA DE SUB SEMNUL DIFERENȚIAL A FOST ACEEAȘI .

Prin urmare, raționamentul mental atunci când rezolvăm ar trebui să fie ceva de genul: „Trebuie să rezolv integrala. M-am uitat la tabel și am găsit o formulă similară . Dar am un argument complex și nu pot folosi imediat formula. Totuși, dacă reușesc să intru sub semnul diferenţialului, atunci totul va fi bine. Daca scriu, atunci. Dar nu există un factor triplu în integrala originală, prin urmare, pentru ca integrantul să nu se schimbe, trebuie să-l înmulțesc cu ". În cursul unui astfel de raționament mental, se naște o înregistrare:

Acum puteți folosi foaia de calcul :

Gata

Singura diferență este că nu avem litera „x”, ci o expresie complexă.

Hai să facem o verificare. Deschideți tabelul de derivate și diferențiați răspunsul:

S-a obținut integrandul original, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Vă rugăm să rețineți că în timpul verificării am folosit regula de diferențiere a unei funcții complexe . De fapt, aducând funcţia sub semnul diferenţialului şi sunt două reguli reciproc inverse.

Exemplul 2

Analizăm funcția integrand. Aici avem o fracție, iar numitorul este o funcție liniară (cu „x” în gradul I). Ne uităm în tabelul de integrale și găsim cel mai asemănător lucru: .

Aducem funcția sub semnul diferenţialului:

Cei cărora le este greu să-și dea seama imediat cu ce fracție să se înmulțească pot dezvălui rapid diferența pe un draft:. Da, se pare, ca să nu se schimbe nimic, trebuie să înmulțesc integrala cu .
Apoi, folosim formula foii de calcul :

Examinare:


S-a obținut integrandul original, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Răspuns la sfârșitul lecției.

Cu ceva experiență în rezolvarea integralelor, astfel de exemple vor părea ușoare și se vor crăpa ca nucile:

La sfârșitul acestui paragraf, aș dori să mă opresc și asupra cazului „liber” când o variabilă intră într-o funcție liniară cu un coeficient unitar, de exemplu:

Strict vorbind, soluția ar trebui să arate astfel:

După cum puteți vedea, aducerea funcției sub semnul diferenţialului a mers „fără durere”, fără înmulţiri. Prin urmare, în practică, o soluție atât de lungă este adesea neglijată și imediat scrisă ca . Dar fii pregătit, dacă este necesar, să-i explici profesorului cum te-ai hotărât! Deoarece nu există nicio integrală în tabel.

Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

Ne întoarcem la considerarea cazului general - metoda de schimbare a variabilelor în integrala nedefinită.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Ca exemplu, am luat integrala, pe care am considerat-o chiar la începutul lecției. După cum am spus deja, pentru a rezolva integrala, ne-a plăcut formula tabelară , și aș vrea să reduc totul la ea.

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.
În acest caz se întreabă:
A doua cea mai populară scrisoare de înlocuire este litera .
În principiu, puteți folosi și alte litere, dar rămânem în continuare la tradiții.

Asa de:
Dar la înlocuire, am rămas! Probabil, mulți au ghicit că, dacă se face o tranziție la o nouă variabilă, atunci în noua integrală totul trebuie exprimat prin literă și nu există deloc loc pentru diferenţial.
Urmează o concluzie logică că este necesar se transformă într-o expresie care depinde numai de.

Acțiunea este următoarea. După ce am ales un înlocuitor, în acest exemplu, , trebuie să găsim diferența . Cu diferențele, cred că s-a stabilit deja prietenia pentru toată lumea.

De atunci

După confruntarea cu diferența, recomand să rescrieți rezultatul final cât mai scurt posibil:
Acum, conform regulilor proporției, o exprimăm pe cea de care avem nevoie:

În cele din urmă:
Prin urmare:

Și aceasta este cea mai tabelară integrală (tabelul de integrale, desigur, este valabil și pentru variabilă).

În concluzie, rămâne de efectuat înlocuirea inversă. Ne amintim că.

Gata.

Designul final al acestui exemplu ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu poartă nicio semnificație matematică, înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când faceți un exemplu într-un caiet, este mai bine să suprascriptați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Și acum este timpul să ne amintim de prima soluție:

Care este diferența? Nu există nicio diferență fundamentală. De fapt, este același lucru. Dar din punctul de vedere al proiectării sarcinii, metoda de aducere a funcției sub semnul diferenţialului este mult mai scurtă.

Se pune întrebarea. Dacă prima cale este mai scurtă, atunci de ce să folosiți metoda de înlocuire? Faptul este că pentru un număr de integrale nu este atât de ușor să „potriviți” funcția sub semnul diferenţialului.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Să facem un înlocuitor: (este greu să te gândești la un alt înlocuitor aici)

După cum puteți vedea, ca urmare a înlocuirii, integrala originală a fost mult simplificată - redusă la o funcție de putere obișnuită. Acesta este scopul înlocuirii - de a simplifica integrala.

Persoanele avansate leneși pot rezolva cu ușurință această integrală aducând funcția sub semnul diferențial:

Un alt lucru este că o astfel de soluție nu este evidentă pentru toți studenții. În plus, deja în acest exemplu, utilizarea metodei de aducere a unei funcții sub semnul diferențial crește semnificativ riscul de confuzie în decizie.

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită. Efectuați o verificare.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Înlocuire:
Rămâne de văzut ce va deveni

Ei bine, ne-am exprimat, dar ce să facem cu „X” rămas în numărător?!
Din când în când, în cursul rezolvării integralelor, apare următorul truc: vom exprima din aceeași înlocuire !

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Cu siguranță unii au observat că tabelul meu de referință nu are o regulă de înlocuire a variabilelor. S-a făcut în mod deliberat. Regula ar încurca explicația și înțelegerea, deoarece nu apare explicit în exemplele de mai sus.

Este timpul să vorbim despre premisa de bază a utilizării metodei de substituție a variabilelor: integrandul trebuie să conțină o funcție și derivata ei:(funcțiile pot să nu fie în produs)

În acest sens, atunci când găsim integrale, de multe ori trebuie să te uiți în tabelul derivatelor.

În acest exemplu, observăm că gradul numărătorului este cu unul mai mic decât gradul numitorului. În tabelul derivatelor găsim formula, care doar scade gradul cu unul. Și, prin urmare, dacă desemnați pentru numitor, atunci sunt șanse mari ca numărătorul să se transforme în ceva bun.