Instruire

Videoclipuri similare

Notă

Când se calculează laturile unui triunghi dreptunghic, cunoașterea caracteristicilor acestuia poate juca:
1) Dacă catetul unui unghi drept este opus unui unghi de 30 de grade, atunci este egal cu jumătate din ipotenuză;
2) Ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât oricare dintre catete;
3) Dacă un cerc este circumscris unui triunghi dreptunghic, atunci centrul său trebuie să se afle în mijlocul ipotenuzei.

Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade. Pentru a-i calcula lungimea este suficient să cunoaștem lungimea unuia dintre catete și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului.

Instruire

Anunțați-ne unul dintre picioare și unghiul adiacent acestuia. Pentru certitudine, să fie piciorul |AB| și unghiul α. Apoi putem folosi formula pentru raportul cosinus - cosinus trigonometric al catetei adiacente la. Acestea. în notația noastră cos α = |AB| / |AC|. De aici obținem lungimea ipotenuzei |AC| = |AB| / cosα.
Dacă cunoaștem piciorul |BC| si unghiul α, atunci folosim formula de calcul a sinusului unghiului - sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus fata de ipotenuza: sin α = |BC| / |AC|. Obținem că lungimea ipotenuzei se găsește ca |AC| = |BC| / cosα.

Pentru claritate, luați în considerare un exemplu. Fie lungimea piciorului |AB| = 15. Iar unghiul α = 60°. Obținem |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Luați în considerare cum puteți verifica rezultatul folosind teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm lungimea celui de-al doilea segment |BC|. Folosind formula tangentei unghiului tg α = |BC| / |AC|, obținem |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Apoi, aplicăm teorema lui Pitagora, obținem 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verificarea este făcută.

Sfat util

După calcularea ipotenuzei, verificați dacă valoarea rezultată satisface teorema lui Pitagora.

Surse:

• Tabelul numerelor prime de la 1 la 10000

Picioarele numiți cele două laturi scurte ale unui triunghi dreptunghic care alcătuiesc vârful acestuia, a cărui valoare este de 90 °. A treia latură a unui astfel de triunghi se numește ipotenuză. Toate aceste laturi și unghiuri ale triunghiului sunt interconectate prin anumite relații care vă permit să calculați lungimea piciorului dacă sunt cunoscuți câțiva alți parametri.

Instruire

Utilizați teorema lui Pitagora pentru catetul (A) dacă cunoașteți lungimea celorlalte două laturi (B și C) ale triunghiului dreptunghic. Această teoremă afirmă că suma lungimilor catetelor la pătrat este egală cu pătratul ipotenuzei. De aici rezultă că lungimea fiecărui catete este egală cu rădăcina pătrată a lungimii ipotenuzei și a celui de-al doilea catet: A=√(C²-B²).

Utilizați definiția funcției trigonometrice directe „sinus” pentru un unghi ascuțit, dacă cunoașteți valoarea unghiului (α) opus catetei calculate și lungimea ipotenuzei (C). Aceasta afirmă că sinusul acestui cunoscut este raportul dintre lungimea catetei dorite și lungimea ipotenuzei. Aceasta este că lungimea catetei dorite este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și sinusul unghiului cunoscut: A=C∗sin(α). Pentru aceleași valori cunoscute, puteți utiliza cosecanta și calcula lungimea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la cosecanta unghiului cunoscut A=C/cosec(α).

Utilizați definiția funcției cosinus trigonometric direct dacă, pe lângă lungimea ipotenuzei (C), se cunoaște și valoarea unghiului ascuțit (β) adiacent celui cerut. Cosinusul acestui unghi este raportul dintre lungimile catetei dorite și ale ipotenuzei, iar din aceasta putem concluziona că lungimea catetei este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și cosinusul unghiului cunoscut: A=C∗cos(β). Puteți folosi definiția funcției secante și calcula valoarea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la secantei unghiului cunoscut A=C/sec(β).

Deduceți formula necesară dintr-o definiție similară pentru derivata funcției trigonometrice tangente, dacă, în plus față de valoarea unghiului ascuțit (α) situat opus catetului dorit (A), lungimea celui de-al doilea catet (B) este cunoscut. Tangenta unghiului opus catetei dorite este raportul dintre lungimea acestui picior și lungimea celui de-al doilea picior. Aceasta înseamnă că valoarea dorită va fi egală cu produsul dintre lungimea catetei cunoscute și tangentei unghiului cunoscut: A=B∗tg(α). Din aceleași cantități cunoscute, poate fi derivată o altă formulă folosind definiția funcției cotangente. În acest caz, pentru a calcula lungimea piciorului, va fi necesar să se găsească raportul dintre lungimea piciorului cunoscut și cotangentei unghiului cunoscut: A=B/ctg(α).

Videoclipuri similare

Cuvântul „katet” a venit în rusă din greacă. În traducere exactă, înseamnă un plumb, adică perpendicular pe suprafața pământului. În matematică, catetele sunt numite laturi care formează un unghi drept al unui triunghi dreptunghic. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză. Termenul „picior” este folosit și în arhitectură și tehnologia de sudare.

Secanta acestui unghi se obține prin împărțirea ipotenuzei la catetul adiacent, adică secCAB=c/b. Rezultă reciproca cosinusului, adică poate fi exprimată prin formula secCAB=1/cosSAB.
Cosecanta este egală cu câtul împărțirii ipotenuzei la catetul opus și este reciproca sinusului. Poate fi calculat folosind formula cosecCAB=1/sinCAB

Ambele picioare sunt interconectate și cotangente. LA acest caz tangenta va fi raportul dintre latura a și latura b, adică piciorul opus celui alăturat. Acest raport poate fi exprimat prin formula tgCAB=a/b. În consecință, raportul invers va fi cotangenta: ctgCAB=b/a.

Raportul dintre dimensiunile ipotenuzei și ambele picioare a fost determinat de grecul antic Pitagora. Teorema, numele lui, oamenii încă o folosesc. Se spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică c2 \u003d a2 + b2. În consecință, fiecare catete va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catete. Această formulă poate fi scrisă ca b=√(c2-a2).

Lungimea piciorului poate fi exprimată și prin relațiile pe care le cunoașteți. Conform teoremelor sinusurilor și cosinusurilor, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și una dintre aceste funcții. Îl poți exprima și sau cotangent. Piciorul a poate fi găsit, de exemplu, prin formula a \u003d b * tan CAB. Exact în același mod, în funcție de tangenta dată sau , se determină a doua catenă.

În arhitectură se folosește și termenul „picior”. Se aplică pe un capitel ionic și trece prin mijlocul spatelui. Adică, în acest caz, prin acest termen, perpendiculara pe dreapta dată.

În tehnologia de sudare, există o „picior de sudură în unghi”. Ca și în alte cazuri, aceasta este distanța cea mai scurtă. Aici vorbim despre decalajul dintre una dintre piesele care trebuie sudate la marginea cusăturii situată pe suprafața celeilalte părți.

Videoclipuri similare

Surse:

• care este catetul și ipotenuza în 2019

Nivel mediu

Triunghi dreptunghic. Ghid ilustrat complet (2019)

TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.

În probleme, un unghi drept nu este deloc necesar - cel din stânga jos, așa că trebuie să învățați cum să recunoașteți un triunghi dreptunghic sub această formă,

si in asa ceva

si in asa ceva

Ce este bun la un triunghi dreptunghic? Ei bine... în primul rând, există nume deosebite frumoase pentru petrecerile lui.

Atentie la desen!

Amintiți-vă și nu confundați: catete - două, iar ipotenuza - doar una(singura, unică și cea mai lungă)!

Ei bine, am discutat despre nume, acum cel mai important lucru: Teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora.

Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora în vremuri cu totul imemoriale, iar de atunci a adus multe beneficii celor care îl cunosc. Și cel mai bun lucru la ea este că este simplă.

Asa de, Teorema lui Pitagora:

Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?

Să desenăm acești pantaloni foarte pitagoreici și să ne uităm la ei.

Chiar arată ca niște pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, mai exact de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat astfel:

"Sumă suprafata de patrate, construit pe picioare, este egal cu suprafata patrata construit pe ipotenuză.

Nu sună puțin diferit, nu-i așa? Și așa, atunci când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, s-a dovedit o astfel de imagine.

În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh a inventat această glumă despre pantalonii pitagoreici.

De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?

A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?

Vezi tu, în vremurile străvechi nu exista... algebră! Nu erau semne și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de groaznic a fost pentru bieții studenți antici să memoreze totul cu cuvinte?! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm ​​din nou pentru a ne aminti mai bine:

Acum ar trebui să fie ușor:

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre un triunghi dreptunghic. Dacă sunteți interesat de modul în care se dovedește, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să mergem mai departe... în pădurea întunecată... a trigonometriei! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.

De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vrei, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

De ce este totul despre colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!

1.
De fapt sună așa:

Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Bineînțeles că au! Acesta este un catet!

Dar ce zici de unghi? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, pisica. Deci, pentru unghi, piciorul este adiacent și

Și acum, atenție! Uite ce avem:

Vezi ce grozav este:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum să o exprim în cuvinte acum? Ce este piciorul în raport cu colțul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Și catetul? Adiacent colțului. Deci ce am primit?

Vedeți cum sunt inversate numărătorul și numitorul?

Și acum din nou colțurile și am făcut schimbul:

rezumat

Să scriem pe scurt ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Teorema principală a triunghiului dreptunghic este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată. Cum ai dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de viclean i-am împărțit laturile în segmente de lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, însă, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la poză și te gândești de ce.

Care este aria pătratului mai mare? Corect, . Dar zona mai mică? Desigur, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că am luat doi dintre ei și ne-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Deci, aria „butașilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.

Și încă o dată, toate acestea sub formă de farfurie:

Este foarte confortabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe două picioare

II. Prin catete și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

A)

b)

Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „corespondente”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Trebuie sa în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele - opuse.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Priviți subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. E grozav, nu?

Aproximativ aceeași situație cu semne de asemănare a triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Colţ acut

II. Pe două picioare

III. Prin catete și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi dreptunghic.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a întâmplat că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.

La ce se poate câștiga din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale, iar acesta este CENTRUL CIRCULUI descris. Deci ce s-a întâmplat?

Deci, să începem cu acest „în afară de...”.

Să ne uităm la eu.

Dar în triunghiuri similare toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce folos se poate trage din această asemănare „trilă”.

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Scriem relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea care este mai convenabilă de aplicat. Să le scriem din nou.

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:.

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua picioare:
• de-a lungul catetei și ipotenuzei: or
• de-a lungul piciorului și unghiului ascuțit adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colţ ascuţit: sau
• din proporționalitatea celor două picioare:
• din proporționalitatea catetei și ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel alăturat:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:.

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin catetere:

Se numește raportul dintre catetul opus și ipotenuză sinusul unui unghi ascuțit triunghi dreptunghic.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre catetul cel mai apropiat și ipotenuză se numește cosinusul unui unghi ascuțit triunghi dreptunghic.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent se numește tangenta unghiului ascutit triunghi dreptunghic.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangente a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus se numește cotangenta unui unghi ascutit triunghi dreptunghic.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinusul unui unghi arbitrar

Se numește ordonata punctului de pe cercul unitar căruia îi corespunde unghiul \alpha sinusul unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

\sin \alpha=y

Cosinusul unui unghi arbitrar

Se numește abscisa unui punct de pe cercul unitar căruia îi corespunde unghiul \alpha cosinus al unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta unui unghi arbitrar

Raportul dintre sinusul unui unghi arbitrar de rotație \alpha și cosinusul său se numește tangenta unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangenta unui unghi arbitrar

Raportul dintre cosinusul unui unghi arbitrar de rotație \alpha și sinusul său se numește cotangenta unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Un exemplu de găsire a unui unghi arbitrar

Dacă \alpha este un unghi AOM , unde M este un punct pe cercul unității, atunci

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

De exemplu, dacă \angle AOM = -\frac(\pi)(4), atunci: ordonata punctului M este -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa este \frac(\sqrt(2))(2) si de aceea

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabelul valorilor sinusurilor cosinusurilor tangentelor cotangentelor

Valorile principalelor unghiuri întâlnite frecvent sunt date în tabel:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\dreapta)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\stanga(\pi\dreapta)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\stanga(2\pi\dreapta)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Instruire

Un triunghi se numește triunghi dreptunghic dacă unul dintre unghiurile lui are 90 de grade. Este format din două catete și o ipotenuză. Ipotenuza este cea mai lungă latură a acestui triunghi. Se întinde pe un unghi drept. Picioarele, respectiv, sunt numite laturile sale mai mici. Ele pot fi fie egale între ele, fie au dimensiuni diferite. Egalitatea catetelor pe care le lucrați cu un triunghi dreptunghic. Frumusețea sa este că combină două figuri: un triunghi dreptunghiular și un triunghi isoscel. Dacă picioarele nu sunt egale, atunci triunghiul este arbitrar și conform legii de bază: cu cât unghiul este mai mare, cu atât se rostogolește cel care se află vizavi.

Există mai multe moduri de a găsi ipotenuza prin și unghi. Dar înainte de a utiliza unul dintre ele, ar trebui să determinați care și unghiul sunt cunoscute. Având în vedere un unghi și catetul adiacent acestuia, este mai ușor să găsiți ipotenuza după cosinusul unghiului. Cosinusul unui unghi ascuțit (cos a) dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză. Aceasta implică faptul că ipotenuza (c) va fi egală cu raportul catetei adiacente (b) și cosinusul unghiului a (cos a). Aceasta se poate scrie astfel: cos a=b/c => c=b/cos a.

Dacă se oferă un unghi și un picior opus, atunci trebuie să se lucreze. Sinusul unui unghi ascuțit (sin a) într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus (a) și ipotenuza (c). Aici principiul este același ca în exemplul anterior, în locul funcției cosinus este luat doar sinusul. sin a=a/c => c=a/sin a.

De asemenea, puteți utiliza o funcție trigonometrică, cum ar fi . Dar găsirea valorii dorite este puțin mai complicată. Tangenta unui unghi ascuțit (tg a) într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus (a) și cel alăturat (b). După ce am găsit ambele catete, aplică teorema lui Pitagora (pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor) și se va găsi cea mai mare.

Notă

Când lucrați cu teorema lui Pitagora, nu uitați că aveți de-a face cu o diplomă. După ce ați găsit suma pătratelor picioarelor, pentru a obține răspunsul final, ar trebui să luați rădăcina pătrată.

Surse:

• cum să găsiți catetul și ipotenuza

Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade. Pentru a-i calcula lungimea este suficient să cunoaștem lungimea unuia dintre catete și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului.

Instruire

Cu un unghi drept cunoscut și ascuțit, atunci dimensiunea ipotenuzei este raportul dintre catete și / din acest unghi, dacă unghiul dat este opus / adiacent acestuia:

h = C1(sau C2)/sinα;

h = С1(sau С2)/cosα.

Exemplu: Fie ABC dat cu ipotenuza AB și C. Fie unghiul B de 60 de grade și unghiul A de 30 de grade Lungimea catetei BC este de 8 cm. Aveți nevoie de lungimea ipotenuzei AB. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza oricare dintre metodele sugerate mai sus:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Cuvântul " picior„ vine de la cuvintele grecești „perpendicular” sau „vertical” - asta explică de ce ambele laturi ale unui triunghi dreptunghic, care formează unghiul său de nouăzeci de grade, au fost numite astfel. Găsiți lungimea oricăreia dintre picior ov nu este dificil dacă se cunoaște valoarea unghiului adiacent acestuia și unul dintre ceilalți parametri, deoarece în acest caz, valorile tuturor celor trei unghiuri vor deveni de fapt cunoscute.

Instruire

Dacă, pe lângă valoarea unghiului adiacent (β), lungimea celui de-al doilea picior a (b), apoi lungimea piciorși (a) poate fi definită ca coeficientul lungimii cunoscutului picior iar la un unghi cunoscut: a=b/tg(β). Aceasta rezultă din definiția acestui trigonometric. Poți să faci fără tangentă dacă folosești teorema. Din aceasta rezultă că lungimea dorită la sinusul unghiului opus raportului dintre lungimea unghiului cunoscut. picior ci la sinusul unui unghi cunoscut. Opus celui dorit picior y un unghi ascuțit poate fi exprimat în termenii unui unghi cunoscut ca 180°-90°-β = 90°-β, deoarece suma tuturor unghiurilor oricărui triunghi trebuie să fie 180°, iar unul dintre unghiurile sale este egal cu 90 °. Deci lungimea dorită piciorși poate fi calculată prin formula a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Dacă se cunosc mărimea unghiului adiacent (β) și lungimea ipotenuzei (c), atunci lungimea piciorși (a) poate fi calculată ca produsul dintre lungimea ipotenuzei și cosinusul unghiului cunoscut: a=c∗cos(β). Aceasta rezultă din definiția cosinusului ca funcție trigonometrică. Dar puteți folosi, ca în pasul anterior, teorema sinusului și apoi lungimea dorită picior a va fi egal cu produsul sinusului între 90° și unghiul cunoscut înmulțit cu raportul dintre lungimea ipotenuzei și sinusul unghiului drept. Și întrucât sinusul de 90° este egal cu unu, se poate scrie astfel: a=sin(90°-β)∗c.

Calcule practice pot fi efectuate, de exemplu, folosind calculatorul software inclus în sistemul de operare Windows. Pentru a-l rula, puteți selecta elementul „Run” din meniul principal de pe butonul „Start”, tastați comanda calc și faceți clic pe butonul „OK”. Cea mai simplă versiune a interfeței acestui program care se deschide implicit nu oferă funcții trigonometrice, așa că după lansarea acesteia, trebuie să faceți clic pe secțiunea „Vizualizare” din meniu și să selectați linia „Științific” sau „Inginerie” (în funcție de versiunea sistemului de operare pe care o utilizați).

Videoclipuri similare

Cuvântul „katet” a venit în rusă din greacă. În traducere exactă, înseamnă un plumb, adică perpendicular pe suprafața pământului. În matematică, catetele sunt numite laturi care formează un unghi drept al unui triunghi dreptunghic. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză. Termenul „picior” este folosit și în arhitectură și tehnologia de sudare.

Desenați un triunghi dreptunghic ACB. Etichetează-i catetele a și b și etichetează-i ipotenuza c. Toate laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic sunt definite între ele. Raportul catetului opus unuia dintre unghiurile ascuțite față de ipotenuză se numește sinusul acestui unghi. În acest triunghi sinCAB=a/c. Cosinusul este raportul la ipotenuza catetei adiacente, adică cosCAB=b/c. Relațiile inverse se numesc secante și cosecante.

Secanta acestui unghi se obține prin împărțirea ipotenuzei la catetul adiacent, adică secCAB=c/b. Rezultă reciproca cosinusului, adică poate fi exprimată prin formula secCAB=1/cosSAB.
Cosecanta este egală cu câtul împărțirii ipotenuzei la catetul opus și este reciproca sinusului. Poate fi calculat folosind formula cosecCAB=1/sinCAB

Ambele picioare sunt interconectate și cotangente. În acest caz, tangenta va fi raportul dintre latura a și latura b, adică piciorul opus celui alăturat. Acest raport poate fi exprimat prin formula tgCAB=a/b. În consecință, raportul invers va fi cotangenta: ctgCAB=b/a.

Raportul dintre dimensiunile ipotenuzei și ambele picioare a fost determinat de grecul antic Pitagora. Teorema, numele lui, oamenii încă o folosesc. Se spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică c2 \u003d a2 + b2. În consecință, fiecare catete va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catete. Această formulă poate fi scrisă ca b=√(c2-a2).

Lungimea piciorului poate fi exprimată și prin relațiile pe care le cunoașteți. Conform teoremelor sinusurilor și cosinusurilor, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și una dintre aceste funcții. Îl poți exprima și sau cotangent. Piciorul a poate fi găsit, de exemplu, prin formula a \u003d b * tan CAB. Exact în același mod, în funcție de tangenta dată sau , se determină a doua catenă.

În arhitectură se folosește și termenul „picior”. Se aplică pe un capitel ionic și trece prin mijlocul spatelui. Adică, în acest caz, prin acest termen, perpendiculara pe dreapta dată.

În tehnologia de sudare, există o „picior de sudură în unghi”. Ca și în alte cazuri, aceasta este distanța cea mai scurtă. Aici vorbim despre decalajul dintre una dintre piesele care trebuie sudate la marginea cusăturii situată pe suprafața celeilalte părți.

Videoclipuri similare

Surse:

• care este catetul și ipotenuza în 2019

În acest articol, vom arăta cum definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului și numărului în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notație, vom da exemple de înregistrări, vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să urmăm cum se formează conceptul de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă la cursul de matematică din școală. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care se referă la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și a numărului. Dăm toate aceste definiții, dăm exemple și dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul geometriei se cunosc definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Vă prezentăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.

Definiție.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.

Acolo este introdusă și notația sinus, cosinus, tangente și cotangente - sin, cos, tg și respectiv ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul catetului opus BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinusului, tangentă, cotangentă și lungimea uneia dintre laturi, găsiți lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este 3 și ipotenuza AB este 7 , atunci am putea calcula cosinusul unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Unghiul de rotație

În trigonometrie, încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Unghiul de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitat de cadre de la 0 la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei nu mai sunt un unghi ascuțit, ci un unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1 , în care trece așa-numitul punct inițial A(1, 0) după ce se rotește printr-un unghi α în jurul punctului O - începutul unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1 , adică sinα=y .

Definiție.

cosinus al unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1 , adică cosα=x .

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tgα=y/x .

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y .

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α , deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata unui punct, care se obține prin rotirea punctului de plecare prin unghiul α . Și tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul inițial merge într-un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1) , iar aceasta are loc la unghiurile 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul de plecare merge la un punct cu ordonată zero (1, 0) sau (−1, 0) și acesta este cazul unghiurilor de 180° k , k ∈Z (π k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), iar cotangenta este pentru toate unghiurile cu excepția 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notațiile deja cunoscute nouă apar în definițiile sin, cos, tg și ctg, ele sunt folosite și pentru a desemna sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentele unghiului de rotație (uneori puteți găsi notația tan și cot corespunzătoare tangentei și cotangentă). Deci sinusul unghiului de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, înregistrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, notația „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rads este de obicei notat cos3 π .

În încheierea acestui paragraf, este de remarcat faptul că, vorbind despre sinus, cosinus, tangentă și cotangente ale unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, este de obicei folosită expresia „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurtă - „sinus al unghiului alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus și tangente și cotangente.

Să spunem, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90. grade. Vom fundamenta acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul lui 8 π este, prin definiție, un număr egal cu cosinusul unui unghi de 8 π rad. Și cosinusul unghiului în 8 π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8 π este egal cu 1.

Există o altă abordare a definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se atribuie un punct al cercului unitar centrat la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește corespondența dintre numerele reale și punctele cercului:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0) ;
• un număr pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• un număr negativ t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum să trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct al cercului A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1) ).

Definiție.

Sinusul unui număr t este ordonata punctului cerc unitar corespunzător numărului t , adică sint=y .

Definiție.

Cosinusul unui număr t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t , adică cost=x .

Definiție.

Tangenta unui număr t este raportul dintre ordonata și abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta numărului t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost .

Definiție.

Cotangente a unui număr t este raportul dintre abscisa și ordonata punctului cerc unitar corespunzător numărului t, adică ctgt=x/y. O altă formulare este următoarea: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t : ctgt=cost/sint .

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în acord cu definiția dată la începutul acestei subsecțiuni. Într-adevăr, punctul cercului unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare printr-un unghi de t radiani.

De asemenea, merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem o intrare sin3. Cum să înțelegeți dacă sinusul numărului 3 sau sinusul unghiului de rotație de 3 radiani este în discuție? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu contează.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definiţiilor date în paragraful precedent, fiecărui unghi de rotaţie α îi corespunde o valoare bine definită sin α , precum şi valoarea cos α . În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) corespund valorilor tgα și altele decât 180° k, k∈Z (π k rad) sunt valorile ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tgα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori bine definite a sint , precum și costului . În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k , k∈Z corespund valorilor tgt , iar numerele π·k , k∈Z corespund valorilor ctgt .

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, din context, este clar că avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau unui argument numeric. În caz contrar, putem considera variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argumentul unghiului), cât și ca argument numeric.

Totuși, școala studiază în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbim de funcții, atunci este indicat să considerăm funcțiile trigonometrice drept funcții ale argumentelor numerice.

Legarea definițiilor din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α de la 0 la 90 de grade, atunci datele din contextul trigonometriei definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație sunt pe deplin în concordanță cu definițiile sinusului, cosinusului , tangente și cotangente ale unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul geometriei. Să argumentăm acest lucru.

Să desenăm un cerc unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Observați punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y) . Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opus unghiului este egala cu ordonata punctului A 1 , adica |A 1 H|=y , iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egala cu unu. , deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α pentru α de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: studii. pentru invatamantul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev și alții]. - Ed. a 20-a. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: Proc. pentru 7-9 celule. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - Ed. a II-a - M.: Iluminismul, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Manual pentru elevii clasei a 9-a de liceu / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. Moscova: Educație, 1969.
4. Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. La ora 14:00 Partea 1: un manual pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adaos. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I .: Educaţie, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.