Transformarea unei fracții într-o zecimală

Să presupunem că vrem să convertim fracția comună 11/4 într-o zecimală. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este următorul:

						2∙2∙5∙5

Am reușit pentru că în acest caz factorizarea numitorului în factori primi constă doar din doi. Am completat această expansiune cu încă două cinci, am profitat de faptul că 10 = 2∙5 și am obținut o fracție zecimală. O astfel de procedură este în mod evident posibilă dacă și numai dacă factorizarea numitorului în factori primi nu conține decât doi și cinci. Dacă orice alt număr prim este prezent în expansiunea numitorului, atunci o astfel de fracție nu poate fi convertită într-o zecimală. Cu toate acestea, vom încerca să facem acest lucru, dar numai într-un mod diferit, cu care ne vom familiariza cu exemplul aceleiași fracții 11/4. Să împărțim 11 la 4 „colț”:

În linia de răspuns, avem partea întreagă ( 2 ), și avem și restul ( 3 ). Anterior, am încheiat împărțirea pe aceasta, dar acum știm că o virgulă și câteva zerouri pot fi atribuite dividendului ( 11 ) din dreapta, ceea ce vom face mental acum. După virgulă vine locul al zecelea. Zero, care reprezintă dividendul din această categorie, îl vom atribui restului rezultat ( 3 ):

Acum împărțirea poate continua ca și cum nimic nu s-ar fi întâmplat. Trebuie doar să vă amintiți să puneți o virgulă după partea întreagă în linia de răspuns:

Acum atribuim restului ( 2 ) zero, care reprezintă dividendul pe locul sutimilor și aducem împărțirea la sfârșit:

Drept urmare, obținem, ca și înainte,

Acum să încercăm să calculăm exact în același mod cu ce este egală fracția 27/11:

Am primit numărul 2,45 în linia de răspuns, iar numărul 5 în linia de rest. Dar am mai văzut o astfel de rămășiță. Prin urmare, putem spune imediat că dacă ne continuăm împărțirea după „colț”, atunci următoarea cifră din linia de răspuns va fi 4, apoi va merge numărul 5, apoi din nou 4 și din nou 5 și așa mai departe, la infinit :

27 / 11 = 2,454545454545...

Am primit așa-numitul periodic o fracție zecimală cu o perioadă de 45. Pentru astfel de fracții, se folosește o notație mai compactă, în care perioada este scrisă o singură dată, dar în același timp este inclusă în paranteze:

2,454545454545... = 2,(45).

În general, dacă împărțim un număr natural la un „colț”, scriind răspunsul ca fracție zecimală, atunci sunt posibile doar două rezultate: (1) fie mai devreme sau mai târziu vom obține zero în linia rămasă, (2) sau va exista un astfel de rest, pe care l-am întâlnit deja înainte (mulțimea de reziduuri posibile este limitată, deoarece toate sunt în mod evident mai mici decât divizorul). În primul caz, rezultatul împărțirii este o fracție zecimală finală, în al doilea caz, una periodică.

Conversia unei zecimale periodice într-o fracție comună

Să ni se dea o fracție zecimală periodică pozitivă cu o parte întreagă zero, de exemplu:

A = 0,2(45).

Cum pot converti această fracție înapoi într-o fracție comună?

Să o înmulțim cu 10 k, Unde k este numărul de cifre dintre virgulă și paranteza de deschidere care indică începutul punctului. În acest caz k= 1 și 10 k = 10:

A∙ 10 k = 2,(45).

Înmulțiți rezultatul cu 10 n, Unde n- „lungimea” perioadei, adică numărul de cifre cuprinse între paranteze. În acest caz n= 2 și 10 n = 100:

A∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Acum să calculăm diferența

A∙ 10 k ∙ 10 n − A∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Deoarece părțile fracționale ale minuendului și ale subtraendului sunt aceleași, atunci partea fracțională a diferenței este zero și ajungem la o ecuație simplă pentru A:

A∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Această ecuație se rezolvă folosind următoarele transformări:

A∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

A∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

În mod deliberat, nu ducem încă la sfârșit calculele, astfel încât să se vadă clar cum acest rezultat poate fi scris imediat, omițând argumentele intermediare. Descrescătoare cu numărătorul ( 245 ) este partea fracționară a numărului

A = 0,2(45)

dacă ștergeți parantezele din intrarea ei. Subtraendul din numărătorul ( 2 ) este partea neperiodică a numărului A, situat între virgulă și paranteza de deschidere. Primul factor din numitorul ( 10 ) este unul, căruia îi sunt atribuite atâtea zerouri câte cifre sunt în partea neperiodică ( k). Al doilea factor din numitor ( 99 ) este atât de multe nouă câte cifre există în perioada ( n).

Acum calculele noastre pot fi finalizate:

Aici există o perioadă la numărător și tot atâtea nouă în numitor câte cifre sunt în perioadă. După reducerea cu 9, fracția rezultată este egală cu

In acelasi fel,

O zecimală are două părți separate prin virgule. Prima parte este o unitate întreagă, a doua parte este zeci (dacă numărul după virgulă este unu), sute (două numere după virgulă, ca două zerouri într-o sută), miimi etc. Să ne uităm la exemple de zecimale: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Toate acestea sunt zecimale. Cum transformi o zecimală într-o fracție comună?

Exemplul unu

Avem o fracție, de exemplu, 0,5. După cum am menționat mai sus, este format din două părți. Primul număr, 0, arată câte unități întregi are fracția. În cazul nostru, nu sunt. Al doilea număr arată zeci. Fracția citește chiar zero virgulă cinci zecimi. Numar decimal converti in fractie acum nu va fi greu, scriem 5/10. Dacă vezi că numerele au un divizor comun, poți reduce fracția. Avem acest număr 5, împărțind ambele părți ale fracției la 5, obținem - 1/2.

Exemplul doi

Să luăm o fracție mai complexă - 2,25. Se citește așa - două întregi și douăzeci și cinci de sutimi. Atenție - sutimi, deoarece există două numere după virgulă. Acum puteți converti într-o fracție comună. Notăm - 2 25/100. Partea întreagă este 2, partea fracțională este 25/100. Ca și în primul exemplu, această parte poate fi scurtată. Divizorul comun pentru 25 și 100 este 25. Rețineți că alegem întotdeauna cel mai mare divizor comun. Împărțind ambele părți ale fracției la GCD, obținem 1/4. Deci 2, 25 este 2 1/4.

Exemplul trei

Și pentru a consolida materialul, să luăm fracția zecimală 4,112 - patru întregi și o sută douăsprezece miimi. De ce miile, cred, este clar. Acum notăm 4 112/1000. Conform algoritmului, găsim GCD-ul numerelor 112 și 1000. În cazul nostru, acesta este numărul 6. Obținem 4 14/125.

Concluzie

1. Împărțim fracția în părți întregi și fracționale.
2. Ne uităm la câte cifre după virgulă zecimală. Dacă unul este zeci, două sunt sute, trei sunt miimi etc.
3. Scriem fracția în forma obișnuită.
4. Reducem numărătorul și numitorul fracției.
5. Notați fracția rezultată.
6. Efectuăm o verificare, împărțim partea superioară a fracției la cea inferioară. Dacă există o parte întreagă, adăugați la fracția zecimală rezultată. S-a dovedit versiunea originală - grozavă, așa că ați făcut totul bine.

Folosind exemple, am arătat cum puteți converti o fracție zecimală într-una obișnuită. După cum puteți vedea, este foarte ușor și simplu să faceți acest lucru.

O fracție poate fi convertită într-un număr întreg sau într-o zecimală. O fracție improprie, al cărei numărător este mai mare decât numitorul și este divizibil cu acesta fără rest, este convertită într-un număr întreg, de exemplu: 20/5. Împărțiți 20 la 5 și obțineți numărul 4. Dacă fracția este corectă, adică numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci convertiți-l într-un număr (fracție zecimală). Puteți afla mai multe despre fracții din secțiunea noastră -.

Modalități de a converti o fracție într-un număr

• Prima modalitate de a converti o fracție într-un număr este potrivită pentru o fracție care poate fi convertită într-un număr care este o fracție zecimală. Mai întâi, să aflăm dacă este posibil să convertim o anumită fracție într-o fracție zecimală. Pentru a face acest lucru, acordați atenție numitorului (numărul care se află sub linie sau în dreapta oblicului). Dacă numitorul poate fi descompus în factori (în exemplul nostru - 2 și 5), care se pot repeta, atunci această fracție poate fi într-adevăr convertită într-o fracție zecimală finală. De exemplu: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Această fracție comună va fi convertită într-un număr (fracție zecimală) cu un număr finit de zecimale. Dar fracția 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) va fi tradusă într-un număr cu un număr infinit de zecimale. Adică, atunci când se calculează cu precizie o valoare numerică, este destul de dificil să se determine semnul final după virgulă zecimală, deoarece există un număr infinit de astfel de semne. Prin urmare, pentru a rezolva probleme, de obicei trebuie să rotunjiți valoarea la sutimi sau miimi. În plus, este necesar să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu un astfel de număr încât numitorul să aibă numerele 10, 100, 1000 etc. De exemplu: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• A doua modalitate de a converti o fracție într-un număr este mai simplă: trebuie să împărțiți numărătorul la numitor. Pentru a aplica această metodă, facem pur și simplu împărțirea, iar numărul rezultat va fi fracția zecimală dorită. De exemplu, trebuie să convertiți fracția 2/15 într-un număr. Împărțim 2 la 15. Obținem 0, 1333 ... - o fracție infinită. O notăm astfel: 0.13(3). Dacă fracția este incorectă, adică numărătorul este mai mare decât numitorul (de exemplu, 345/100), atunci, ca urmare a conversiei acesteia la un număr, o valoare numerică întreagă sau o fracție zecimală cu o parte fracțională întreagă va să fie obținut. În exemplul nostru, acesta va fi 3,45. Pentru a converti o fracție mixtă precum 3 2 / 7 într-un număr, trebuie mai întâi să o transformați într-o fracție improprie: (3∙7+2)/7 =23/7. Apoi, împărțim 23 la 7 și obținem numărul 3,2857143, pe care îl reducem la 3,29.

Cel mai simplu mod de a converti o fracție într-un număr este să folosești un calculator sau alt dispozitiv de calcul. Mai întâi indicăm numărătorul fracției, apoi apăsăm butonul cu pictograma „împărțire” și introducem numitorul. După apăsarea tastei „=", obținem numărul dorit.

numere zecimale, cum ar fi 0,2; 1,05; 3.017 etc. precum sunt auzite, așa sunt scrise. Punctul zero doi, obținem o fracție. O întreagă cinci sutimi, obținem o fracțiune. Trei șaptesprezece miimi întregi, obținem o fracțiune. Cifrele dinaintea punctului zecimal într-un număr zecimal sunt partea întreagă a fracției. Numărul de după virgulă este numărătorul fracției viitoare. Dacă există un număr cu o cifră după virgulă, numitorul va fi 10, dacă este format din două cifre - 100, trei cifre - 1000 etc. Unele dintre fracțiile rezultate pot fi reduse. În exemplele noastre

Transformarea unei fracții într-un număr zecimal

Acesta este inversul transformării anterioare. Ce este o fracție zecimală? Numitorul ei este întotdeauna 10, sau 100, sau 1000, sau 10.000 și așa mai departe. Dacă fracția ta obișnuită are un astfel de numitor, nu este nicio problemă. De exemplu, sau

Dacă o fracție, de exemplu . În acest caz, trebuie să utilizați proprietatea de bază a fracției și să convertiți numitorul la 10 sau 100 sau 1000 ... În exemplul nostru, dacă înmulțim numărătorul și numitorul cu 4, obținem o fracție care poate fi scrisă ca număr zecimal 0,12.

Unele fracții sunt mai ușor de împărțit decât de transformat numitorul. De exemplu,

Unele fracții nu pot fi convertite în numere zecimale!
De exemplu,

Transformarea unei fracții mixte într-o fracție improprie

O fracție mixtă, cum ar fi , este ușor convertită într-o fracție improprie. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți partea întreagă cu numitorul (jos) și să o adăugați la numărător (sus), lăsând numitorul (jos) neschimbat. Acesta este

Când convertiți o fracție mixtă într-una necorespunzătoare, vă puteți aminti că puteți utiliza adăugarea de fracții

Transformarea unei fracții improprie într-una mixtă (evidențiind întreaga parte)

O fracție necorespunzătoare poate fi convertită într-o fracție mixtă prin evidențierea întregii părți. Luați în considerare un exemplu, . Determinați de câte ori întregi „3” se potrivesc în „23”. Sau împărțim 23 la 3 pe calculator, numărul întreg până la virgulă zecimală este cel dorit. Acesta este „7”. În continuare, determinăm numărătorul fracției viitoare: înmulțim „7” rezultat cu numitorul „3” și scădem rezultatul de la numărătorul „23”. Cum am găsi excesul care rămâne de la numărătorul „23”, dacă eliminăm numărul maxim de „3”. Numitorul rămâne neschimbat. Totul este făcut, notează rezultatul

Toate fracțiile sunt împărțite în două tipuri: ordinare și zecimale. Fracțiile de acest tip se numesc ordinare: 9 / 8,3 / 4,1 / 2,1 3/4. Ele disting numărul superior (numărătorul) și numărul inferior (numitorul). Când numărătorul este mai mic decât numitorul, fracția este numită proprie, în caz contrar, fracția este improprie. Fracțiile precum 1 7/8 constau dintr-o parte întreagă (1) și o parte fracțională (7/8) și se numesc mixte.

Deci fracțiile sunt:

1. Comun
   1. Corect
   2. Gresit
   3. amestecat
2. Zecimal

Cum se transformă o fracție comună într-o zecimală

Cum se transformă o fracție obișnuită într-o zecimală, predă un curs de bază de matematică școlar. Totul este extrem de simplu: trebuie să împărțiți „manual” numărătorul la numitor sau, dacă sunteți complet leneș, atunci pe un microcalculator. Iată un exemplu: 2/5=0,4;3/4=0,75; 1/2=0,5. Nu este mult mai greu de convertit într-o fracție zecimală improprie. Exemplu: 1 3/4= 7/4= 1,75. Ultimul rezultat se poate obține fără împărțire, dacă ținem cont de faptul că 3/4 = 0,75 și adunăm unul: 1 + 0,75 = 1,75.

Cu toate acestea, nu toate fracțiile obișnuite sunt atât de simple. De exemplu, să încercăm să convertim 1/3 din fracții obișnuite în zecimale. Chiar și cei care au avut un triplu la matematică (după un sistem cu cinci puncte) vor observa că, indiferent cât de mult va continua împărțirea, după zero și virgulă va exista un număr infinit de triple 1/3 = 0,3333... . . Se obișnuiește să se citească după cum urmează: zero numere întregi, trei într-o perioadă. Se scrie în mod corespunzător astfel: 1/3=0,(3). O situație similară va apărea dacă încercați să convertiți 5/6 într-o fracție zecimală: 5/6=0,8(3). Astfel de fracții se numesc periodic infinit. Iată un exemplu pentru fracția 3/7: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, adică 3/7=0,(428571).

Deci, ca rezultat al transformării unei fracții obișnuite într-o zecimală, se poate obține:

1. zecimală neperiodică;
2. zecimală periodică.

De remarcat că există și fracții neperiodice infinite, care se obțin prin efectuarea unor astfel de acțiuni: luarea rădăcinii gradului n, luarea logaritmilor, potențarea. De exemplu, √3= 1,732050807568877…. Celebrul număr π≈ 3,1415926535897932384626433832795…. .

Să înmulțim acum 3 cu 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Se dovedește că 0,(9) este o formă diferită de scriere a unității. În mod similar, 9=9/9,16=16,0 etc.

Este legitimă și întrebarea opusă celei din titlul acestui articol: „cum se transformă o fracție zecimală într-una obișnuită”. Răspunsul la această întrebare oferă un exemplu: 0,5= 5/10=1/2. În ultimul exemplu, am redus numărătorul și numitorul fracției 5/10 cu 5. Adică, pentru a transforma o fracție zecimală într-una obișnuită, trebuie să o reprezentați ca o fracție cu numitorul 10.

Va fi interesant să vizionați un videoclip despre ce sunt fracțiile în general:

Pentru a afla cum să convertiți o zecimală într-o fracție comună, vedeți aici: