Definiție .

Un patrulater circumscris este un patrulater ale cărui laturi ating cercul. În acest caz, se spune că cercul este înscris într-un patrulater.

Ce proprietăți are un cerc înscris într-un patrulater? Când poate fi înscris un cerc într-un patrulater? Unde este centrul cercului înscris?

Teorema 1.

Un cerc poate fi înscris într-un patrulater dacă și numai dacă sumele laturilor sale opuse sunt egale.

Un cerc poate fi înscris într-un patrulater ABCD dacă

Și invers, dacă sumele laturilor opuse ale patrulaterului sunt egale:

atunci un cerc poate fi înscris în patrulater ABCD.

Teorema 2.

Centrul unui cerc înscris într-un patrulater este punctul de intersecție al bisectoarelor acestuia.

O este punctul de intersecție al bisectoarelor patrulaterului ABCD.

AO, BO, CO, DO sunt bisectoarele unghiurilor patrulaterului ABCD,

adică ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO etc.

3. Punctele tangente ale cercului înscris situate pe laturile care se extind de la un vârf sunt echidistante de acest vârf.

AM=AN,

5. Aria unui patrulater este legată de raza cercului înscris în el prin formula

unde p este semiperimetrul patrulaterului.

Deoarece sumele laturilor opuse ale unui patrulater circumscris sunt egale, semiperimetrul este egal cu oricare dintre perechile de sume ale laturilor opuse.

De exemplu, pentru un patrulater ABCD p=AD+BC sau p=AB+CD și

Secțiuni: matematica, Concurs „Prezentare pentru lecție”

Prezentare pentru lecție

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Goluri.

Educational. Crearea condițiilor pentru stăpânirea cu succes a conceptului de patrulater descris, proprietățile sale, caracteristicile și stăpânirea abilităților de a le aplica în practică.

De dezvoltare. Dezvoltarea abilităților matematice, crearea condițiilor pentru capacitatea de a generaliza și de a aplica trenul de gândire înainte și înapoi.

Educational. Cultivarea simțului frumosului prin estetica desenelor, surprindeți neobișnuit

decizie, formarea organizației, responsabilitatea pentru rezultatele muncii cuiva.

1. Studiați definiția unui patrulater circumscris.

2. Demonstrați proprietatea laturilor patrulaterului circumscris.

3. Introduceți dualitatea proprietăților sumelor laturilor opuse și unghiurilor opuse patrulaterelor înscrise și circumscrise.

4. Să ofere experienţă în aplicarea practică a teoremelor avute în vedere la rezolvarea problemelor.

5. Efectuați monitorizarea inițială a nivelului de asimilare a noului material.

Echipament:

• calculator, proiector;
• manual „Geometrie. clasele 10-11” pentru învăţământul general. instituţii: de bază şi de profil. niveluri automate A.V. Pogorelov.

Software: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Utilizarea unui computer atunci când pregătește un profesor pentru o lecție.

Folosind un program standard de sistem de operare Windows, au fost create următoarele pentru lecție:

1. Prezentare.
2. Mese.
3. Planuri.
4. Înmânează.

Planul lecției

Organizarea timpului. (2 minute.)

Verificarea temelor. (5 minute.)

Învățarea de materiale noi. (28 min.)

Muncă independentă. (7 min.)

Tema pentru acasă (1 min.)

Rezumatul lecției. (2 minute.)

În timpul orelor

1. Moment organizatoric. Salutari. Prezentați subiectul și scopul lecției. Înregistrați data și subiectul lecției în caiet.

2. Verificarea temelor.

3. Studierea materialelor noi.

Lucrați conceptul de poligon circumscris.

Definiție. Poligonul se numește descris despre un cerc, dacă Toate laturile lui îngrijorare vreun cerc.

Întrebare. Care dintre poligoane propuse sunt descrise și care nu și de ce?

<Презентация. Слайд №2>

Dovada proprietăților patrulaterului circumscris.

<Презентация. Слайд №3>

Teorema. Într-un patrulater circumscris, sumele laturilor opuse sunt egale.

Elevii lucrează cu manualul și notează formularea teoremei într-un caiet.

1. Prezentați formularea teoremei sub forma unei propoziții condiționate.

2. Care este starea teoremei?

3. Care este concluzia teoremei?

Răspuns. Dacă un patrulater este circumscris unui cerc, Acea sumele laturilor opuse sunt egale.

Dovada este realizată, elevii își fac notițe în caiete.

<Презентация. Слайд №4>

Profesor. Notă dualitate situații pentru laturile și unghiurile patrulaterelor circumscrise și înscrise.

Consolidarea cunoștințelor dobândite.

Sarcini.

Laturile opuse ale patrulaterului descris au 8 m și 12 m. Este posibil să găsim perimetrul?

Sarcini bazate pe desene finite.<Презентация. Слайд №5>

Răspuns. 1. 10 m. 2. 20 m. 3. 21 m

Dovada caracteristicii unui patrulater circumscris.

Prezentați teorema inversă.

Răspuns. Dacă într-un patrulater sumele laturilor opuse sunt egale, atunci se poate înscrie în el un cerc. (Reveniți la diapozitivul 2, Fig. 7) <Презентация. Слайд №2>

Profesor. Clarificați formularea teoremei.

Teorema. Dacă sumele laturilor opuse convex patrulatere sunt egale, atunci poate fi înscris un cerc în el.

Lucrul cu manualul. Familiarizați-vă cu dovada testului pentru un patrulater circumscris folosind manualul.

Aplicarea cunoștințelor dobândite.

3. Sarcini bazate pe desene finite.

1. Este posibil să se înscrie un cerc într-un patrulater cu laturile opuse 9 m și 4 m, 10 m și 3 m?

2. Este posibil să se înscrie un cerc într-un trapez isoscel cu baze de 1 m și 9 m și înălțimea de 3 m?

<Презентация. Слайд №6>

Lucrări scrise în caiete

.

Sarcină. Aflați raza unui cerc înscris într-un romb cu diagonalele 6 m și 8 m.

<Презентация. Слайд № 7>

4. Munca independentă.

1 opțiune

1. Este posibil să se înscrie un cerc

1) într-un dreptunghi cu laturile de 7 m și 10 m,

2. Laturile opuse ale unui patrulater circumscris unui cerc sunt de 7 m si 10 m.

Aflați perimetrul patrulaterului.

3. În jurul unui cerc este descris un trapez echilateral cu bazele 4 m și 16 m.

1) raza cercului înscris,

Opțiunea 2

1. Este posibil să înscrieți un cerc:

1) într-un paralelogram cu laturile de 6 m și 13 m,

2) la pătrat?

2. Laturile opuse ale unui patrulater circumscris unui cerc au 9 m și 11 m. Aflați perimetrul patrulaterului.

3. Un trapez echilateral cu latura laterală de 5 m este circumscris unui cerc cu raza de 2 m.

1) baza trapezului,

2) raza cercului circumscris.

5. Tema pentru acasă. P.86, Nr. 28, 29, 30.

6. Rezumatul lecției. Se verifică munca independentă și se acordă note.

<Презентация. Слайд № 8>

1 . Suma diagonalelor unui patrulater convex este mai mare decât suma celor două laturi opuse ale acestuia.

2 . Dacă segmentele care leagă punctele medii ale laturilor opuse patrulater

a) sunt egale, atunci diagonalele patrulaterului sunt perpendiculare;

b) sunt perpendiculare, atunci diagonalele patrulaterului sunt egale.

3 . Bisectoarele unghiurilor de pe partea laterală a trapezului se intersectează la linia mediană a acestuia.

4 . Laturile paralelogramului sunt egale și . Atunci patrulaterul format din intersecțiile bisectoarelor unghiurilor paralelogramului este un dreptunghi ale cărui diagonale sunt egale cu .

5 . Dacă suma unghiurilor la una dintre bazele trapezului este de 90°, atunci segmentul care leagă punctele medii ale bazelor trapezului este egal cu jumătatea diferenței lor.

6 . Pe laturi ABȘi ANUNȚ paralelogram ABCD puncte luate MȘi N atât de drept DOMNIȘOARĂȘi NCîmpărțiți paralelogramul în trei părți egale. Găsi MN, Dacă BD=d.

7 . Un segment de linie dreaptă paralel cu bazele unui trapez, închis în interiorul trapezului, este împărțit de diagonalele sale în trei părți. Apoi, segmentele adiacente laturilor sunt egale între ele.

8 . Prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului cu bazele, se trasează o linie dreaptă paralelă cu bazele. Segmentul acestei linii închis între laturile laterale ale trapezului este egal cu .

9 . Un trapez este împărțit printr-o dreaptă paralelă cu bazele sale, egală cu și , în două trapeze egale. Atunci segmentul acestei linii cuprins între laturi este egal cu .

10 . Dacă una dintre următoarele condiții este adevărată, atunci cele patru puncte A, B, CȘi D culcați pe același cerc.

A) CAD=CBD= 90°.

b) puncte AȘi ÎN stați pe o parte a unei linii drepte CDși unghi CAD egal cu unghiul CBD.

c) drept ACȘi BD se intersectează într-un punct DESPREȘi O A OS=OV OD.

11 . Linie dreaptă care leagă un punct R intersecția diagonalelor unui patrulater ABCD cu punct Q intersecții de linii ABȘi CD, desparte partea ANUNȚîn jumătate. Apoi ea se împarte în jumătate și în lateral Soare.

12 . Fiecare parte a unui patrulater convex este împărțită în trei părți egale. Punctele de diviziune corespunzătoare de pe laturile opuse sunt conectate prin segmente. Apoi aceste segmente se împart reciproc în trei părți egale.

13 . Două linii drepte împart fiecare dintre cele două laturi opuse ale unui patrulater convex în trei părți egale. Apoi, între aceste linii se află o treime din aria patrulaterului.

14 . Dacă un cerc poate fi înscris într-un patrulater, atunci segmentul care leagă punctele în care cercul înscris atinge laturile opuse ale patrulaterului trece prin punctul de intersecție al diagonalelor.

15 . Dacă sumele laturilor opuse ale unui patrulater sunt egale, atunci un cerc poate fi înscris într-un astfel de patrulater.

16. Proprietățile unui patrulater înscris cu diagonale reciproc perpendiculare. Patrulater ABCDînscris într-un cerc de rază R. Diagonalele sale ACȘi BD reciproc perpendiculare și se intersectează într-un punct R. Apoi

a) mediana unui triunghi ARV perpendicular pe lateral CD;

b) linie întreruptă AOCîmparte un patrulater ABCDîn două figuri de dimensiuni egale;

V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 și AB2 +BC2 +CD2 +AD2 =8R2;

e) distanța de la centrul cercului la latura patrulaterului este jumătate din latura opusă.

e) dacă perpendicularele au coborât în ​​lateral ANUNȚ din vârfuri ÎNȘi CU, traversează diagonalele ACȘi BD la puncte EȘi F, Acea BCFE- romb;

g) un patrulater ale cărui vârfuri sunt proiecții ale unui punct R pe laturile patrulaterului ABCD,- atât inscripționat, cât și descris;

h) un patrulater format din tangente la cercul circumferitor al patrulaterului ABCD, desenat la vârfurile sale, poate fi înscris într-un cerc.

17 . Dacă A, b, c, d- laturile succesive ale unui patrulater, S este aria sa, atunci , iar egalitatea este valabilă numai pentru un patrulater înscris ale cărui diagonale sunt reciproc perpendiculare.

18 . formula lui Brahmagupta. Dacă laturile unui patrulater ciclic sunt egale a, b, cȘi d, apoi zona sa S poate fi calculat folosind formula,

Unde - semiperimetrul unui patrulater.

19 . Dacă un patrulater cu laturi A, b, c, d poate fi înscris și un cerc poate fi descris în jurul lui, atunci aria lui este egală cu .

20 . Punctul P este situat în interiorul pătratului ABCD, iar unghiul PAB egal cu unghiul RVA si este egal 15°. Apoi triunghiul DPC- echilateral.

21 . Dacă pentru un patrulater ciclic ABCD egalitatea este satisfăcută CD=AD+BC, apoi bisectoarele unghiurilor sale AȘi ÎN se intersectează pe lateral CD.

22 . Continuări ale părților opuse ABȘi CD patrulater ciclic ABCD se intersectează într-un punct M,și părțile ANUNȚȘi Soare- la punct N. Apoi

a) bisectoare unghiulare AMDȘi D.N.C. reciproc perpendiculare;

b) drept MQȘi NQ intersectează laturile patrulaterului la vârfurile rombului;

c) punctul de intersecție Q dintre aceste bisectoare se află pe segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor patrulaterului ABCD.

23 . teorema lui Ptolemeu. Suma produselor a două perechi de laturi opuse ale unui patrulater ciclic este egală cu produsul diagonalelor sale.

24 . teorema lui Newton.În orice patrulater circumscris, punctele medii ale diagonalelor și centrul cercului înscris sunt situate pe aceeași linie dreaptă.

25 . teorema lui Monge. Liniile trasate prin punctele medii ale laturilor unui patrulater înscris perpendicular pe laturile opuse se intersectează într-un punct.

27 . Patru cercuri, construite pe laturile unui patrulater convex ca diametre, acoperă întregul patrulater.

29 . Două unghiuri opuse ale unui patrulater convex sunt obtuze. Atunci diagonala care leagă vârfurile acestor unghiuri este mai mică decât cealaltă diagonală.

30. Centrele pătratelor construite pe laturile unui paralelogram în afara acestuia formează ei înșiși un pătrat.

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

• În geometria euclidiană, patrulater înscris este un patrulater ale cărui vârfuri se află toate pe același cerc. Acest cerc se numește cerc circumscris patrulater și se spune că vârfurile se află pe același cerc. Centrul acestui cerc și, respectiv, raza lui se numesc centruȘi rază cerc circumscris. Alți termeni pentru acest patrulater: un patrulater se află pe un cerc, laturile ultimului patrulater sunt coarde ale cercului. Un patrulater convex este de obicei considerat a fi un patrulater convex. Formulele și proprietățile prezentate mai jos sunt valabile în cazul convex.
• Ei spun că dacă se poate trasa un cerc în jurul unui patrulater, Acea patrulaterul este înscris în acest cerc, si invers.

Criterii generale pentru înscrierea unui patrulater

• În jurul unui patrulater convex $\backslash pi$ radiani), adică:

$\backslash unghi\; A+\backslash unghi\; C\; =\; \backslash unghi\; B\; +\; \backslash unghi\; D\; =\; 180^\backslash circ$

sau în notația figură:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• Este posibil să descriem un cerc în jurul oricărui patrulater în care cele patru bisectoare perpendiculare ale laturilor sale se intersectează într-un punct (sau mediatricele laturilor sale, adică perpendicularele pe laturile care trec prin punctele lor medii).
• Puteți descrie un cerc în jurul oricărui patrulater care are un unghi exterior adiacent unghiul intern dat, este exact egal cu celălalt unghi interior opus dat colț interior. În esență, această condiție este condiția de antiparalelism a două laturi opuse ale patrulaterului. În fig. Mai jos sunt colțurile exterioare și interioare adiacente ale unui pentagon verde.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• Intersecție X poate fi intern sau extern cercului. În primul caz, obținem patrulaterul ciclic este ABCD, iar în acest din urmă caz ​​obținem un patrulater înscris ABDC. Când se intersectează în interiorul unui cerc, egalitatea afirmă că produsul lungimilor segmentelor în care punctul Xîmparte o diagonală, este egal cu produsul lungimilor segmentelor în care punctul Xîmparte o altă diagonală. Această condiție este cunoscută sub numele de „teorema coardelor care se intersectează”. În cazul nostru, diagonalele patrulaterului înscris sunt coardele cercului.
• Un alt criteriu de includere. Patrulaterul convex ABCD se înscrie un cerc dacă şi numai dacă

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

Criterii speciale pentru înscrierea unui patrulater

Un patrulater simplu înscris (fără auto-intersecție) este convex. Un cerc poate fi descris în jurul unui patrulater convex dacă și numai dacă suma unghiurilor sale opuse este egală cu 180° ( $\backslash pi$ radian). Puteți descrie un cerc în jurul:

• orice antiparalelogram
• orice dreptunghi (un caz special este un pătrat)
• orice trapez isoscel
• orice patrulater care are două unghiuri drepte opuse.

Proprietăți

Formule cu diagonale

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

În ultima formulă a perechii de laturi adiacente ale numărătorului AȘi d, bȘi c sprijină capetele lor pe o lungime diagonală e. O afirmație similară este valabilă pentru numitor.

• Formule pentru lungimi diagonale(consecințe ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$Și $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Formule cu unghiuri

Pentru un patrulater ciclic cu o succesiune de laturi A , b , c , d, cu semiperimetru pși unghi A intre parti AȘi d, funcții unghiulare trigonometrice A sunt date prin formule

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Colţ θ intre diagonale se afla:p.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Dacă părți opuse AȘi c se intersectează într-un unghi φ , atunci este egal

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

Unde p există un semiperimetru. :p.31

Raza unui cerc circumscris unui patrulater

Formula Parameshvara

Dacă un patrulater cu laturile consecutive A , b , c , d si semiperimetrul pînscris într-un cerc, atunci raza acestuia este egală cu Formula lui Parameshwar:p. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

A fost derivat de matematicianul indian Parameshwar în secolul al XV-lea (c. 1380–1460)

• Patrulater convex (vezi figura din dreapta) format din patru date Liniile drepte ale lui Mikel, este înscris într-un cerc dacă și numai dacă punctul Mikel M a unui patrulater se află pe o dreaptă care leagă două dintre cele șase puncte de intersecție ale dreptelor (cele care nu sunt vârfuri ale patrulaterului). Adică când M se întinde pe E.F..

Un criteriu conform căruia un patrulater compus din două triunghiuri este înscris într-un anumit cerc

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• Ultima condiție dă expresia diagonalei f un patrulater înscris într-un cerc prin lungimile celor patru laturi ale sale ( A, b, c, d). Această formulă urmează imediat la înmulțirea și la echivalarea părților din stânga și din dreapta ale formulelor care exprimă esența Prima și a doua teoremă a lui Ptolemeu(Vezi deasupra).

Un criteriu conform căruia un patrulater tăiat de o linie dreaptă dintr-un triunghi este înscris într-un anumit cerc

• O linie dreaptă, antiparalelă cu latura triunghiului și care îl intersectează, decupează din acesta un patrulater, în jurul căruia poate fi întotdeauna descris un cerc.
• Consecinţă. În jurul unui antiparalelogram, în care două laturi opuse sunt antiparalele, este întotdeauna posibil să descrii un cerc.

Aria unui patrulater înscris într-un cerc

Variații ale formulei lui Brahmagupta

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ unde p este semiperimetrul patrulaterului. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Alte formule de zonă

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

Unde θ oricare dintre unghiurile dintre diagonale. Cu condiția ca unghiul A nu este o linie dreaptă, aria poate fi exprimată și ca :p.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

Unde R este raza cercului circumferitor. Ca o consecință directă avem inegalitatea

$S\backslash le\; 2R^2,$

unde egalitatea este posibilă dacă și numai dacă acest patrulater este un pătrat.

Brahmagupta patrulatere

Quadrunghiul Brahmagupta este un patrulater înscris într-un cerc cu lungimi laturilor întregi, diagonale întregi și zonă întreagă. Toate patrulaterele Brahmagupta posibile cu laturi A , b , c , d, cu diagonale e , f, cu suprafata S, și raza cercului circumscris R poate fi obținut prin eliminarea numitorilor următoarelor expresii care implică parametri raționali t , u, Și v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Exemple

• Patralatere particulare înscrise într-un cerc sunt: ​​dreptunghi, pătrat, trapez isoscel sau isoscel, antiparalelogram.

Patrulatere înscrise într-un cerc cu diagonale perpendiculare (patralatere ortodiagonale înscrise)

Proprietățile patrulaterelor înscrise într-un cerc cu diagonale perpendiculare

Circumrazul și zona

Pentru un patrulater înscris într-un cerc cu diagonale perpendiculare, să presupunem că intersecția diagonalelor împarte o diagonală în segmente de lungime p 1 și p 2 și împarte cealaltă diagonală în segmente de lungime q 1 și q 2. Atunci (prima egalitate este Propunerea 11 a lui Arhimede" Cartea Lemelor)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

Unde D- diametrul cercului. Acest lucru este adevărat deoarece diagonalele sunt perpendiculare pe coarda cercului. Din aceste ecuaţii rezultă că raza cercului circumscris R poate fi scris ca

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

sau în ceea ce privește laturile unui patrulater în formă

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

De asemenea, rezultă că

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Pentru patrulaterele ordiagonale înscrise, teorema lui Brahmagupta este valabilă:

Dacă un patrulater ciclic are diagonale perpendiculare care se intersectează într-un punct $M$, apoi două perechi din el antimediatris trece printr-un punct $M$.

cometariu. În această teoremă sub anti-mediatrixînțelegeți segmentul $F.E.$ patrulater din figura din dreapta (prin analogie cu bisectoarea perpendiculară (mediatria) pe latura triunghiului). Este perpendicular pe o parte și trece în același timp prin mijlocul părții opuse a patrulaterului.

Scrieți o recenzie despre articolul „Cadrilatere înscrise într-un cerc”

Note

1. Bradley, Christopher J. (2007), Algebra geometriei: coordonate carteziene, ariale și proiective,Percepție înaltă, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . Patrulatere înscrise.
3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929) Trigonometrie, Cambridge University Press, p. 202, O.C.L.C.
4. Durell, C. V. & Robson, A. (2003), , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
6. Johnson, Roger A., Geometrie Euclidiană Avansată, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (martie 2000), „Circumradius of a cyclic quadrilateral”, Gazeta Matematică T. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului(ed. a 2-a), Courier Dover, pp. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), , Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea, vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W.(engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld.
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometrie Revizuită, Asociația de matematică din America, pp. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Comori ale Olimpiadei de Matematică, Springer, pp. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), „”, Buletinul Societății Australiane de Matematică T. 59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Geometrie Euclidiană Avansată, Dover Publ. Co., 2007
21. , Cu. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (septembrie 2003), „Maximizarea ariei unui patrulater”, Jurnalul de matematică al colegiului T. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Asociația de matematică din America, p. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Probleme provocatoare în geometrie(ed. a 2-a), Courier Dover, pp. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

Vezi si

După numărul de laturi Corect Triunghiuri Cadrilatere Vezi si

Articolul conține referințe scurte („Harvard”) la publicații care nu sunt enumerate sau descrise incorect în secțiunea bibliografică. Lista de link-uri rupte: , , , , , , , , , – Ei, ce, cazacul meu? (Maria Dmitrievna a numit-o pe Natasha cazac) - a spus ea, mângâindu-l cu mâna pe Natasha, care s-a apropiat de mâna ei fără teamă și veselă. – Știu că poțiunea este o fată, dar o iubesc. Ea a scos cercei de yakhon în formă de para din reticulul ei imens și, dându-i-i Natasha, care radia și roșea de ziua ei, s-a întors imediat de la ea și s-a întors către Pierre. - Eh, eh! drăguț! — Vino aici, spuse ea cu o voce pretins liniştită şi subţire. - Hai, draga mea... Și ea și-a suflecat mânecile în mod amenințător și mai sus. Pierre se apropie, privind-o naiv prin ochelari. - Hai, vino, draga mea! Eu am fost singurul care i-a spus tatălui tău adevărul când a avut ocazia, dar Dumnezeu ți-o poruncește. Ea făcu o pauză. Toată lumea tăcea, așteptând ce se va întâmpla și simțind că există doar o prefață. - Bine, nimic de spus! băiat bun!... Tatăl stă întins pe patul lui, iar el se distrează punându-l pe polițist pe un urs. Păcat, părinte, păcat! Ar fi mai bine să mergem la război. Se întoarse și îi întinse mâna contelui, care cu greu se putea abține să nu râdă. - Păi, vino la masă, am ceai, e timpul? – spuse Maria Dmitrievna. Contele a mers înainte cu Maria Dmitrievna; apoi contesa, care era condusă de un colonel de husar, persoana potrivită cu care Nikolai trebuia să ajungă din urmă regimentul. Anna Mikhailovna - cu Shinshin. Berg îi dădu mâna Verei. O Julie Karagina zâmbitoare a mers cu Nikolai la masă. În spatele lor veneau alte cupluri, care se întindeau pe toată sala, iar în spatele lor, unul câte unul, erau copii, tutori și guvernante. Chelnerii au început să se agite, scaunele zdrăngăneau, muzică a început să sune în cor, iar oaspeții au luat loc. Sunetele muzicii de acasă a contelui au fost înlocuite de sunetele de cuțite și furculițe, zgomotul oaspeților și pașii liniștiți ai chelnilor. La un capăt al mesei, contesa stătea în cap. În dreapta este Marya Dmitrievna, în stânga este Anna Mikhailovna și alți oaspeți. La celălalt capăt stăteau contele, în stânga colonelul husar, în dreapta Shinshin și alți oaspeți bărbați. Pe o parte a mesei lungi sunt tineri mai în vârstă: Vera lângă Berg, Pierre lângă Boris; pe de altă parte - copii, tutori și guvernante. Din spatele cristalului, sticlelor și vaselor cu fructe, contele își privi soția și șapca ei înaltă cu panglici albastre și turna cu sârguință vin pentru vecinii săi, fără a uita de sine. Contesa, de asemenea, din spatele ananasului, fără a uita de îndatoririle ei de gospodină, aruncă priviri semnificative către soțul ei, ale cărui chelie și chip, i se păreau, erau mai puternic diferite de părul lui cărunt în roșeața lor. Din partea doamnelor se auzi un bâlbâit constant; în camera bărbaţilor se auzeau din ce în ce mai tare voci, mai ales colonelul husar, care a mâncat şi a băut atât de mult, roşind din ce în ce mai mult, încât contele îl punea deja ca exemplu celorlalţi oaspeţi. Berg, cu un zâmbet blând, i-a spus Verei că dragostea nu este un sentiment pământesc, ci un sentiment ceresc. Boris l-a numit pe noul său prieten Pierre oaspeții de la masă și a schimbat priviri cu Natasha, care stătea în fața lui. Pierre vorbea puțin, se uita la fețe noi și mânca mult. Pornind de la două supe, dintre care a ales a la tortue, [broasca țestoasă] și kulebyaki și până la cocoși de alun, nu i-a lipsit nici un fel de mâncare și nici un vin, pe care majordomul l-a scos în mod misterios într-o sticlă învelită într-un șervețel. din spatele umărului vecinului, spunând sau „drey Madeira”, sau „maghiară”, sau „vin de Rin”. A așezat primul dintre cele patru pahare de cristal cu monograma contelui care stătea în fața fiecărui aparat și a băut cu plăcere, privind pe oaspeți cu o expresie din ce în ce mai plăcută. Natasha, așezată în fața lui, l-a privit pe Boris așa cum se uită fetele de treisprezece ani la un băiat cu care tocmai s-au sărutat pentru prima dată și de care sunt îndrăgostiți. Aceeași privire a ei se întorcea uneori către Pierre și, sub privirea acestei fete amuzante și pline de viață, voia să râdă el însuși, fără să știe de ce. Nikolai stătea departe de Sonya, lângă Julie Karagina și, din nou, cu același zâmbet involuntar, îi vorbi. Sonya a zâmbit măreț, dar se pare că era chinuită de gelozie: a devenit palidă, apoi s-a înroșit și a ascultat din toate puterile ce își spuneau Nikolai și Julie. Guvernanta se uită neliniștită în jur, parcă s-ar fi pregătit să riposteze dacă cineva decide să jignească copiii. Profesorul german a încercat să memoreze tot felul de feluri de mâncare, deserturi și vinuri pentru a descrie totul în detaliu într-o scrisoare către familia sa din Germania și a fost foarte jignit de faptul că majordomul, cu o sticlă înfășurată într-un șervețel, căra el în jur. Neamțul s-a încruntat, a încercat să arate că nu vrea să primească acest vin, dar a fost jignit pentru că nimeni nu a vrut să înțeleagă că are nevoie de vin pentru a nu-și potoli setea, nu din lăcomie, ci din curiozitate conștiincioasă. La capătul masculin al mesei conversația a devenit din ce în ce mai animată. Colonelul a spus că manifestul de declarare a războiului a fost deja publicat la Sankt Petersburg și că copia pe care o văzuse el însuși fusese acum predată prin curier comandantului șef. - Și de ce ne este greu să ne luptăm cu Bonaparte? - spuse Shinshin. – II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crins, que cette fois ce ne soit notre tour. [Deja a doborât aroganța Austriei. Mă tem că nu ne va veni rândul acum.] Colonelul era un german îndesat, înalt și sangvin, evident un servitor și un patriot. A fost jignit de cuvintele lui Shinshin. „Și atunci, suntem un suveran bun”, a spus el, pronunțând e în loc de e și ъ în loc de ь. "Atunci că împăratul știe acest lucru. El a spus în manifestul său că poate privi cu indiferență pericolele care amenință Rusia și că siguranța imperiului, demnitatea lui și sfințenia alianțelor sale", a spus el, din anumite motive, subliniind în mod special cuvântul „uniuni”, de parcă aceasta ar fi toată esența problemei. Și cu memoria sa caracteristică infailibilă, oficială, a repetat cuvintele de început ale manifestului... „și dorința, unicul și indispensabil scop al suveranului: să instaureze pacea în Europa pe baze solide - au decis să trimită acum o parte din armata în străinătate și depune noi eforturi pentru a realiza această intenție”. „De aceea, suntem un suveran bun”, a concluzionat el, bând edificator un pahar de vin și privind înapoi la numărătoare pentru încurajare. – Connaissez vous le proverbe: [Știi proverbul:] „Erema, Erema, ar trebui să stai acasă, să-ți ascuți fusurile”, a spus Shinshin, tresărind și zâmbind. – Cela nous convient a merveille. [Acest lucru ne este la îndemână.] De ce Suvorov - l-au tăiat, o farfurie, [pe cap,] și unde sunt Suvorov-urile noastre acum? Je vous demande un peu, [te întreb,] - spuse el, sărind constant din rusă în franceză. „Trebuie să luptăm până la ultima picătură de sânge”, a spus colonelul, lovind masa, „și să murim pentru împăratul nostru, și atunci totul va fi bine”. Și să se certe cât mai mult (mai ales și-a scos vocea pe cuvântul „posibil”), cât mai puțin, a terminat el, întorcându-se din nou către conte. „Așa îi judecăm pe vechii husari, asta-i tot.” Cum judeci, tinere și husar tânăr? - adăugă el, întorcându-se către Nikolai, care, auzind că e vorba de război, și-a părăsit interlocutorul și s-a uitat cu toți ochii și l-a ascultat cu toate urechile pe colonel. „Sunt complet de acord cu tine”, a răspuns Nikolai, cu totul înroșit, învârtind farfuria și rearanjând paharele cu o privire atât de hotărâtă și disperată, de parcă în momentul de față s-ar fi expus unui mare pericol, „Sunt convins că rușii trebuie să moară. sau câștigă”, a spus el. simțind la fel ca și alții, după ce cuvântul fusese deja spus, că era prea entuziast și pompos pentru această ocazie și deci incomod. "C"est bien beau ce que vous venez de dire, [Minunat! Ce ai spus este minunat]", a spus Julie, care stătea lângă el, oftând. Sonya a tremurat peste tot și a roșit până la urechi, în spatele urechilor și la gât și umeri, în În timp ce Nikolai vorbea, Pierre ascultă discursurile colonelului și dădu din cap aprobator. „Este frumos”, a spus el. — Un adevărat husar, tinere, strigă colonelul, lovind din nou masa. -Ce faci zgomot acolo? – Vocea de bas a Mariei Dmitrievna s-a auzit brusc peste masă. -De ce bati la masa? - se întoarse ea către husar, - de cine te entuziasmezi? corect, crezi că francezii sunt în fața ta? — Spun adevărul, spuse husarul zâmbind. — Totul despre război, strigă contele peste masă. - La urma urmei, vine fiul meu, Marya Dmitrievna, vine fiul meu. - Și am patru fii în armată, dar nu mă deranjez. Totul este voia lui Dumnezeu: vei muri întins pe aragaz, iar în luptă Dumnezeu va avea milă”, se auzi vocea groasă a Mariei Dmitrievna fără niciun efort de la celălalt capăt al mesei. - Asta este adevărat. Și conversația s-a concentrat din nou - doamnele la capătul mesei, bărbații la ale lui. „Dar nu vei cere”, i-a spus frățiorul către Natasha, „dar nu vei cere!” „Voi întreba”, a răspuns Natasha. Fața ei se îmbujoră brusc, exprimând o determinare disperată și veselă. Se ridică, invitându-l pe Pierre, care stătea în fața ei, să asculte și se întoarse către mama ei: - Mamă! – răsuna vocea ei copilărească și pieptă peste masă. - Ce vrei? – a întrebat înspăimântată contesa, dar, văzând din chipul fiicei ei că este o farsă, a fluturat cu severitate mâna, făcând cu capul un gest amenințător și negativ. Conversația s-a stins. - Mamă! ce fel de prajitura va fi? – Vocea Natașei a sunat și mai hotărât, fără să se strice. Contesa a vrut să se încruntă, dar nu a putut. Marya Dmitrievna își scutură degetul gros. — Cazac, spuse ea amenințător. Majoritatea oaspeților s-au uitat la bătrâni, neștiind cum să ia acest truc. - Iată-mă aici! – spuse contesa. - Mamă! ce fel de prajitura va fi? - strigă acum cu îndrăzneală și capricios veselă Natasha, încrezătoare dinainte că farsa ei va fi bine primită. Sonya și grasa Petya se ascundeau de râs. „De aceea am întrebat”, le-a șoptit Natasha fratelui ei mai mic și lui Pierre, la care s-a uitat din nou. „Înghețată, dar nu ți-o vor da”, a spus Marya Dmitrievna. Natasha a văzut că nu avea de ce să se teamă și, prin urmare, nu i-a fost frică de Marya Dmitrievna. - Maria Dmitrievna? ce inghetata! Nu-mi place crema. - Morcov. - Nu, care? Marya Dmitrievna, care? – aproape a strigat ea. - Vreau să știu! Maria Dmitrievna și contesa au râs și toți oaspeții i-au urmat. Toți râdeau nu de răspunsul Mariei Dmitrievna, ci de curajul și dexteritatea de neînțeles ale acestei fete, care știa și îndrăznea să o trateze așa pe Marya Dmitrievna. Natasha a rămas în urmă doar când i s-a spus că va fi ananas. Sampanie a fost servita inainte de inghetata. Muzica a început să se audă din nou, contele a sărutat-o ​​pe contesa, iar oaspeții s-au ridicat și au felicitat-o ​​pe contesă, clincând paharele peste masă cu contele, copiii și între ei. Chelnerii au alergat din nou, scaunele zdrăngăneau și, în aceeași ordine, dar cu fețele mai roșii, oaspeții s-au întors în salon și în biroul contelui. Mesele din Boston au fost depărtate, petrecerile au fost întocmite, iar oaspeții Contelui s-au instalat în două sufragerie, o cameră cu canapele și o bibliotecă. Contele, învârtindu-și cărțile în evantaie, cu greu a rezistat obiceiului unui pui de somn de după-amiază și a râs de tot. Tineretul, incitat de contesa, s-a adunat in jurul clavicordului si harpei. Julie a fost prima, la cererea tuturor, care a cântat o piesă cu variații la harpă și, împreună cu alte fete, a început să le roage pe Natasha și Nikolai, cunoscuți pentru muzicalitatea lor, să cânte ceva. Natasha, căreia i s-a adresat o fată mare, se pare că era foarte mândră de asta, dar în același timp era timidă. - Ce vom cânta? - ea a intrebat. — Cheia, răspunse Nikolai. - Ei bine, hai să ne grăbim. Boris, vino aici, spuse Natasha. - Unde este Sonya? S-a uitat în jur și, văzând că prietena ei nu era în cameră, a alergat după ea. A alergat în camera Sonyei și nu și-a găsit prietena acolo, Natasha a fugit în creșă - iar Sonya nu era acolo. Natasha și-a dat seama că Sonya era pe coridor de pe piept. Cufărul de pe coridor era locul durerilor tinerei generații feminine a casei Rostov. Într-adevăr, Sonya în rochia ei roz aerisită, zdrobind-o, s-a întins cu fața în jos pe patul murdar de pene cu dungi al dădacii sale, pe piept și, acoperindu-și fața cu degetele, a plâns amar, scuturându-și umerii goi. Fața Natașei, animată, cu o zi de naștere toată ziua, s-a schimbat brusc: ochii i s-au oprit, apoi i-a tremurat gâtul larg, colțurile buzelor i-au căzut. - Sonya! ce esti?... Ce, ce e cu tine? Wow Wow!… Iar Natasha, deschizând gura mare și devenind complet proastă, a început să urle ca un copil, neștiind motivul și doar pentru că Sonya plângea. Sonya a vrut să ridice capul, a vrut să răspundă, dar nu a putut și s-a ascuns și mai mult. strigă Natasha, așezându-se pe patul de pene albastre și îmbrățișându-și prietena. După ce și-a adunat puterile, Sonya s-a ridicat, a început să-și șteargă lacrimile și să povestească. - Nikolenka pleacă peste o săptămână, a... hârtia lui... a ieșit... mi-a spus însuși... Da, tot n-aș plânge... (a arătat bucata de hârtie în care o ținea mâna ei: era poezie scrisă de Nikolai) Tot n-aș plânge, dar n-ai putea... nimeni nu poate înțelege... ce fel de suflet are. Și ea a început din nou să plângă pentru că sufletul lui era atât de bun. „Te simți bine... Nu te invidiez... Te iubesc și pe Boris”, a spus ea, adunând puțină putere, „e drăguț... nu există obstacole pentru tine”. Și Nikolai este vărul meu... am nevoie de... mitropolitul însuși... și asta e imposibil. Și atunci, dacă mama... (Sonya a considerat-o pe contesă și și-a chemat mama), va spune că îi stric cariera lui Nikolai, nu am inimă, că sunt ingrată, dar într-adevăr... pentru numele lui Dumnezeu... (s-a făcut cruce) Și eu o iubesc atât de mult, și pe toți, doar Vera... Pentru ce? Ce i-am făcut? Îți sunt atât de recunoscător că m-aș bucura să sacrific totul, dar nu am nimic... Sonya nu mai putea vorbi și și-a ascuns din nou capul în mâini și în patul de pene. Natasha a început să se calmeze, dar chipul ei arăta că a înțeles importanța durerii prietenei ei. - Sonya! - spuse ea deodată, de parcă ar fi ghicit adevăratul motiv al durerii vărului ei. – Așa e, Vera a vorbit cu tine după prânz? Da? – Da, Nikolai însuși a scris aceste poezii, iar eu am copiat altele; Le-a găsit pe masa mea și a spus că i-ar arăta mamei și, de asemenea, a spus că sunt nerecunoscătoare, că mama nu i-ar permite niciodată să se căsătorească cu mine și el se va căsători cu Julie. Vezi cum e cu ea toată ziua... Natasha! Pentru ce?… Și din nou a plâns mai amar decât înainte. Natasha a ridicat-o, a îmbrățișat-o și, zâmbind printre lacrimi, a început să o liniștească. - Sonya, nu o crede, dragă, nu o crede. Îți amintești cum am vorbit toți trei cu Nikolenka în camera canapelei? iti amintesti dupa cina? La urma urmei, am decis totul cum va fi. Nu-mi amintesc cum, dar îți amintești cum totul a fost bine și totul a fost posibil. Fratele unchiului Shinshin este căsătorit cu un văr, iar noi suntem veri ai doi. Și Boris a spus că acest lucru este foarte posibil. Știi, i-am spus totul. Și este atât de deștept și atât de bun”, a spus Natasha... „Tu, Sonya, nu plânge, draga mea, Sonya.” - Și ea a sărutat-o ​​râzând. - Credința este rea, Dumnezeu să o binecuvânteze! Dar totul va fi bine și ea nu îi va spune mamei; Nikolenka o va spune el însuși și nici măcar nu s-a gândit la Julie. Și ea a sărutat-o ​​pe cap. Sonya s-a ridicat în picioare, iar pisoiul s-a animat, ochii îi scânteiau și părea gata să-și fluture coada, să sară pe labele moi și să se joace din nou cu mingea, așa cum i se cuvine. - Crezi? Dreapta? De către Dumnezeu? – spuse ea, îndreptându-și repede rochia și părul. - Serios, Doamne! – a răspuns Natasha, îndreptând o șuviță de păr aspru sub împletitura prietenei ei. Și au râs amândoi. - Ei bine, hai să cântăm „The Key”. - Să mergem la. „Știi, acest Pierre gras care stătea în fața mea este atât de amuzant!” – spuse deodată Natasha, oprindu-se. - Mă distrez copios! Și Natasha a alergat pe coridor. Sonya, scuturându-se de puful și ascunzându-și poeziile în sân, până la gât cu oasele toracice proeminente, cu pași ușori, veseli, cu fața îmbujorată, alergă după Natasha pe coridor până la canapea. La cererea invitaților, tinerii au cântat cvartetul „Key”, care a plăcut mult tuturor; apoi Nikolai a cântat din nou cântecul pe care îl învățase. Într-o noapte plăcută, în lumina lunii, Imaginați-vă fericit Că mai este cineva pe lume, Cine se gândește și la tine! În timp ce ea, cu mâna ei frumoasă, Mergând de-a lungul harpei de aur, Cu armonia sa pasională Chemând la sine, chemându-te! Încă o zi sau două și va veni raiul... Dar ah! prietenul tău nu va trăi! Și încă nu terminase de cântat ultimele cuvinte când tinerii din sală se pregăteau să danseze și muzicienii din cor au început să bată din picioare și să tușească. Pierre stătea în sufragerie, unde Shinshin, parcă cu un vizitator din străinătate, a început cu el o conversație politică care a fost plictisitoare pentru Pierre, la care și alții s-au alăturat. Când muzica a început să sune, Natasha a intrat în sufragerie și, mergând direct la Pierre, râzând și roșind, a spus: - Mama mi-a spus să te rog să dansezi. „Mi-e teamă să nu încurc cifrele”, a spus Pierre, „dar dacă vrei să fii profesorul meu...” Și îi întinse mâna groasă, coborând-o jos, fetei slabe. În timp ce cuplurile se așezau și muzicienii se aliniau, Pierre s-a așezat cu domnișoara lui. Natasha era complet fericită; a dansat cu unul mare, cu cineva venit din străinătate. S-a așezat în fața tuturor și a vorbit cu el ca o fată mare. Avea un evantai în mână, pe care o domnișoară i-a dat să-l țină. Și, asumându-și cea mai seculară ipostază (Dumnezeu știe unde și când a aflat asta), ea, vântându-se și zâmbind prin evantai, a vorbit cu domnul ei. - Ce este, ce este? Uite, uite, spuse bătrâna contesă, trecând prin hol și arătând spre Natasha. Natasha se înroși și râse. - Ei bine, ce zici de tine, mamă? Ei bine, ce fel de vânătoare cauți? Ce este surprinzător aici? La mijlocul celei de-a treia eco-sesiuni, scaunele din sufragerie, unde se jucau contele și Marya Dmitrievna, au început să se miște, iar majoritatea oaspeților de cinste și bătrâni, întinzându-se după o lungă ședere și punând portofele și poșete. în buzunare, au ieșit pe ușile holului. Marya Dmitrievna a mers înainte cu contele - ambii cu fețe vesele. Contele, cu o politețe jucăușă, ca un balet, îi întinse Mariei Dmitrievna mâna rotunjită. S-a îndreptat, iar chipul i s-a luminat de un zâmbet deosebit de curajos și viclean și, de îndată ce s-a dansat ultima figură a ecosaisei, a bătut din palme muzicienilor și a strigat corului, adresându-se viorii întâi: - Semyon! O cunoști pe Danila Kupor? Acesta a fost dansul preferat al contelui, dansat de el în tinerețe. (Danilo Kupor a fost de fapt o figură a unghiurilor.) „Uită-te la tata”, a strigat Natasha către toată sala (uitând complet că dansa cu una mare), aplecându-și capul creț până la genunchi și izbucnind în hohote de râs. Într-adevăr, toți cei din hol se uitau cu un zâmbet de bucurie la bătrânul vesel, care, alături de demnita sa doamnă, Maria Dmitrievna, care era mai înaltă decât el, și-a rotunjit brațele, scuturându-le la timp, și-a îndreptat umerii, și-a răsucit. picioarele, bătând ușor din picioare și cu un zâmbet din ce în ce mai înflorit pe chipul rotund, a pregătit publicul pentru ceea ce avea să urmeze. De îndată ce s-au auzit sunetele vesele, sfidătoare ale Danilei Kupor, asemănătoare unei vorbe vesele, toate ușile sălii s-au umplut brusc de fețe de bărbați pe de o parte și fețe zâmbitoare de femei ale servitorilor pe de altă parte, care au ieșit să uită-te la stăpânul vesel. - Tatăl este al nostru! Vultur! – spuse dădaca cu voce tare de la o ușă. Contele dansa bine și știa asta, dar doamna lui nu știa cum și nu voia să danseze bine. Corpul ei uriaș stătea drept, cu brațele ei puternice atârnând în jos (i-a întins reticulul contesei); doar chipul ei sever, dar frumos, dansa. Ceea ce s-a exprimat în întreaga siluetă rotundă a contelui, în Maria Dmitrievna s-a exprimat doar într-o față din ce în ce mai zâmbitoare și un nas zvâcnit. Dar dacă contele, devenind din ce în ce mai nemulțumit, a cucerit publicul cu surpriza răsucirilor dibace și a salturilor ușoare ale picioarelor sale moi, Maria Dmitrievna, cu cea mai mică râvnă în a-și mișca umerii sau a rotunji brațele în rânduri și a bătaie, nu a făcut nimic. mai puțin o impresie de merit, pe care toată lumea o aprecia obezitatea și severitatea mereu prezentă. Dansul devenea din ce în ce mai animat. Omologii nu au putut să atragă atenția asupra lor nici măcar un minut și nici nu au încercat să facă acest lucru. Totul era ocupat de conte și Maria Dmitrievna. Natasha a tras de mânecile și rochiile tuturor celor prezenți, care deja țineau ochii pe dansatori și le-a cerut să se uite la tati. În intervalele de dans, contele a tras aer în piept, a făcut cu mâna și a strigat muzicienilor să cânte repede. Din ce în ce mai repede, din ce în ce mai repede, din ce în ce mai repede din ce în ce mai repede, contele se desfășura, când în vârful picioarelor, când pe călcâie, repezindu-se în jurul Mariei Dmitrievna și, în cele din urmă, întorcându-și doamna la locul ei, făcu ultimul pas, ridicându-și piciorul moale din sus. în spate, aplecându-și capul transpirat cu o față zâmbitoare și fluturând rotund mâna dreaptă în mijlocul aplauzelor și râsetelor, în special din partea Natașei. Ambii dansatori se opriră, gâfâind greu și ștergându-se cu batiste cambrice. „Așa dansau pe vremea noastră, ma chere”, a spus contele. - Da Danila Kupor! - spuse Maria Dmitrievna, lăsând să iasă din greu spiritul și mult timp, suflecându-și mânecile. În timp ce rostovii dansau cea de-a șasea engleză în sală, pe sunetele muzicienilor obosiți, deztonați, iar chelnerii obosiți și bucătarii pregăteau cina, a șasea lovitură l-a lovit pe contele Bezukhy. Medicii au declarat că nu există nicio speranță de recuperare; pacientului i s-a dat mărturisire tăcută și împărtășire; făceau pregătiri pentru ungere, iar în casă era forfota și neliniștea așteptării, obișnuită în astfel de momente. În afara casei, în spatele porților, se înghesuiau pompe funebre, ascunzându-se de trăsurile care se apropiau, așteptând o comandă bogată pentru înmormântarea contelui. Comandantul șef al Moscovei, care trimitea constant adjutanți să se intereseze de poziția contelui, în acea seară a venit însuși să-și ia rămas bun de la faimosul nobil al Ecaterinei, contele Bezukhim. Sala magnifică de recepție era plină. Toată lumea s-a ridicat respectuos când comandantul șef, fiind singur cu pacientul de aproximativ o jumătate de oră, a ieșit de acolo, întorcând ușor arcurile și încercând să treacă cât mai repede pe lângă privirile medicilor, clerului și rudelor. fixat pe el. Prințul Vasily, care slăbise și pălise în aceste zile, l-a desprins pe comandantul șef și i-a repetat în liniște ceva de mai multe ori. După ce a dezvăluit comandantul șef, prințul Vasily s-a așezat singur pe un scaun din hol, încrucișându-și picioarele sus, sprijinindu-și cotul pe genunchi și închizând ochii cu mâna. După ce a stat așa ceva timp, s-a ridicat și cu pași neobișnuit de grăbiți, privind în jur cu ochi speriați, a mers pe coridorul lung până în jumătatea din spate a casei, către cea mai mare prințesă. Cei din camera slab luminată își vorbeau în șoaptă neuniformă unul cu celălalt și au tăcut de fiecare dată și, cu ochii plini de întrebări și așteptări, s-au uitat înapoi la ușa care ducea la camerele muribundului și au scos un sunet slab când cineva a ieșit. din ea sau a intrat în ea. „Limita umană”, i-a spus bătrânul, duhovnic, doamnei care s-a așezat lângă el și l-a ascultat naiv, „limita a fost stabilită, dar nu o poți depăși”. „Mă întreb dacă este prea târziu pentru a efectua uncția?” - adăugând titlul duhovnicesc, a întrebat doamna, de parcă n-ar fi avut o părere proprie în această chestiune.

Cercul circumscris unui patrulater. ? ? Un cerc poate fi descris în jurul unui patrulater dacă suma unghiurilor opuse este de 180°: ? + ? =? + ? Dacă un patrulater este înscris într-un cerc, atunci suma unghiurilor opuse este de 180°. ? ? A. d. d1. TEOREMA LUI PTOLOMIE Suma produselor laturilor opuse este egală cu produsul diagonalelor: ac + bd = d1 d2. d2. b. c. b. Aria unui patrulater. A. c. d. Unde p este semiperimetrul patrulaterului.

Slide 9 din prezentare „Raza cercului înscris și circumscris”. Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 716 KB.

Geometrie clasa a IX-a

rezumatul altor prezentări

„Proporția de aur în viață” - Spirala de aur în artă. O călătorie în istoria matematicii. Valuyki. Pânză. Pictura și raportul de aur. Spirala aurie în natură. Raportul de aur este inerent proporțiilor corpului uman. Arhitectul M.F. Kazakov. Conceptul raportului de aur. Împărțirea unui segment. Raportul de aur în natură. Spirala aurie. Aparat științific. Raportul de aur în arhitectură și artă. Dreptunghi auriu. Care este raportul de aur.

„Cum să găsiți produsul scalar al vectorilor” - Găsiți produsul scalar al vectorilor. Pătrat. ABCD este un pătrat. Completați cuvântul care lipsește. Av = soare = ac. Produs scalar. Alege răspunsul corect. Aflați laturile și unghiurile triunghiului. Laturile unui triunghi. Introduceți studenților teorema despre găsirea produsului scalar al vectorilor. Av = soare = ac = 2. Produsul scalar al vectorilor. Unghiul dintre vectori. Umple tabelul.

„Tipuri și proprietăți ale triunghiurilor” - Aria unui triunghi. Probleme de coordonate. Repetarea finală a geometriei. Proprietăți. Triunghi regulat. Triunghi. Verifică-te. Centrul cercului circumscris. Poziția relativă a triunghiului și a segmentelor. Triunghi isoscel. Triunghi dreptunghic. Bisectoare.

„“Triunghiuri” clasa a IX-a” - Isoscel. Triunghiuri. Suma unghiurilor unui triunghi. Dreptunghiular. Bisectoare. Echilateral. Linia de mijloc. Bisectoare perpendiculară. Median. Triunghiuri. Un triunghi obtuz este un triunghi în care unul dintre unghiuri este obtuz. Relația dintre laturile și unghiurile unui triunghi. Inegalitatea triunghiulară. Colț exterior. Înălţime.

„Circumferință și cerc” - Găsiți circumferința unui cerc. Aria unui cerc. Calculati. Aflați raza cercului. Completați declarația. Cerc. Sector circular. Calculați lungimea ecuatorului. Circumferinţă. Muncă independentă. Cerc. Un joc. Găsiți aria figurii umbrite. Desenați un cerc cu centrul K și raza de 2 cm.

„Întrebări despre poliedre” - Ce figură geometrică se va obține pe tăietura cilindrului. Dreptunghi. Obținerea unora dintre solidele lui Arhimede. V = abc. Înălțimea cilindrului. Cub, paralelipiped, piramidă. Unele corpuri geometrice. Găsiți volumul acvariului prezentat în figură. Ce obiecte au formă cilindrică? Con. De ce ați clasificat un cub, un paralelipiped și o piramidă drept poliedre? O minge și un glob sunt sfere. Sferă, cilindru, con, trunchi de con.