Ecuații diferențiale în diferențiale totale. Ecuație în diferenţiale totale Integrale curbilinii restaurarea diferenţialului total

Având forma standard $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, în care partea stângă este diferența totală a unei funcții $F \left(x,y\right)$ se numește ecuație diferențială totală.

Ecuația în diferențiale totale poate fi întotdeauna rescrisă ca $dF\left(x,y\right)=0$, unde $F\left(x,y\right)$ este o funcție astfel încât $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Să integrăm ambele părți ale ecuației $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrala laturii din dreapta zero este egală cu o constantă arbitrară $C$. Astfel, soluția generală a acestei ecuații în formă implicită este $F\left(x,y\right)=C$.

Pentru ca o ecuație diferențială dată să fie o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient ca condiția $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ fi satisfacut. Dacă condiția specificată este îndeplinită, atunci există o funcție $F\left(x,y\right)$, pentru care putem scrie: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, din care obținem două relații : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ și $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

Integram prima relatie $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ peste $x$ si obtinem $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, unde $U\left(y\right)$ este o funcție arbitrară a lui $y$.

Să o selectăm astfel încât a doua relație $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ să fie satisfăcută. Pentru a face acest lucru, diferențiam relația rezultată pentru $F\left(x,y\right)$ față de $y$ și echivalăm rezultatul cu $Q\left(x,y\right)$. Se obține: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\dreapta)$.

Soluția suplimentară este:

din ultima egalitate găsim $U"\left(y\right)$;
integrați $U"\left(y\right)$ și găsiți $U\left(y\right)$;
înlocuiți $U\left(y\right)$ în egalitatea $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ și în final obținem funcția $F\left(x,y\right)$.

Găsim diferența:

Integram $U"\left(y\right)$ peste $y$ si gasim $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Găsiți rezultatul: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Scriem soluția generală sub forma $F\left(x,y\right)=C$ și anume:

Găsiți o anumită soluție $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, unde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Soluția parțială are forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

unele functii. Dacă restabilim o funcție din diferența sa totală, vom găsi integrala generală a ecuației diferențiale. Mai jos vom vorbi despre metoda de restabilire a unei funcţii din diferenţialul ei total.

Partea stângă a unei ecuații diferențiale este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0, dacă condiția este îndeplinită.

Deoarece funcție diferențială completă U(x, y) = 0 Acest , ceea ce înseamnă că atunci când condiția este îndeplinită, se precizează că .

Apoi, .

Din prima ecuație a sistemului obținem . Găsim funcția folosind a doua ecuație a sistemului:

Astfel vom găsi funcția necesară U(x, y) = 0.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Soluţie.

În exemplul nostru. Condiția este îndeplinită deoarece:

Apoi, partea stângă a ecuației diferențiale inițiale este diferența totală a unei funcții U(x, y) = 0. Trebuie să găsim această funcție.

Deoarece este diferența totală a funcției U(x, y) = 0, Mijloace:

Ne integrăm prin X prima ecuație a sistemului și diferențiați în raport cu y rezultat:

Din ecuația a 2-a a sistemului obținem . Mijloace:

Unde CU- constantă arbitrară.

Astfel, integrala generală a ecuației date va fi .

Există un al doilea metoda de calcul a unei funcţii din diferenţialul ei total. Constă în luarea integralei drepte a unui punct fix (x 0 , y 0) până la un punct cu coordonate variabile (X y): . În acest caz, valoarea integralei este independentă de calea integrării. Este convenabil să luăm ca traseu de integrare o linie întreruptă ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate.

Exemplu.

Să găsim soluția generală a DE .

Soluţie.

Verificăm îndeplinirea condiției:

Astfel, partea stângă a ecuației diferențiale este diferența completă a unei funcții U(x, y) = 0. Să găsim această funcție calculând integrala curbilinie a punctului (1; 1) inainte de (X y). Ca cale de integrare luăm o linie întreruptă: prima secțiune a liniei întrerupte este trecută de-a lungul unei linii drepte y = 1 din punct (1, 1) inainte de (x, 1), ca a doua secțiune a traseului luăm un segment de linie dreaptă din punct (x, 1) inainte de (X y):

Deci, soluția generală a telecomenzii arată astfel: .

Exemplu.

Să determinăm soluția generală a DE.

Soluţie.

Deoarece , ceea ce înseamnă că condiția nu este îndeplinită, atunci partea stângă a ecuației diferențiale nu va fi o diferență completă a funcției și trebuie să utilizați a doua metodă de soluție (această ecuație este o ecuație diferențială cu variabile separabile).

În acest subiect, ne vom uita la metoda de reconstrucție a unei funcții din diferența sa totală și vom oferi exemple de probleme cu o analiză completă a soluției.

Se întâmplă ca ecuațiile diferențiale (DE) de forma P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 să conțină diferențiale complete ale unor funcții pe laturile stângi. Atunci putem găsi integrala generală a ecuației diferențiale dacă reconstruim mai întâi funcția din diferența sa totală.

Exemplul 1

Se consideră ecuația P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Partea stângă conține diferența unei anumite funcții U(x, y) = 0. Pentru a face acest lucru, condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x trebuie îndeplinită.

Diferenţialul total al funcţiei U (x, y) = 0 are forma d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Ținând cont de condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x obținem:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformând prima ecuație din sistemul de ecuații rezultat, putem obține:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Putem găsi funcția φ (y) din a doua ecuație a sistemului obținut anterior:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Așa am găsit funcția dorită U (x, y) = 0.

Exemplul 2

Aflați soluția generală pentru ecuația diferențială (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Soluţie

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Condiția noastră este îndeplinită.

Pe baza calculelor, putem concluziona că partea stângă a ecuației diferențiale inițiale este diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0. Trebuie să găsim această funcție.

Deoarece (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y este diferența totală a funcției U (x, y) = 0, atunci

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Să integrăm prima ecuație a sistemului în raport cu x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Acum diferențiam rezultatul rezultat în raport cu y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Transformând a doua ecuație a sistemului, obținem: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Înseamnă că
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

unde C este o constantă arbitrară.

Se obține: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Integrala generală a ecuației inițiale este x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Să ne uităm la o altă metodă pentru găsirea unei funcții folosind o diferenţială totală cunoscută. Implica utilizarea unei integrale curbilinii de la un punct fix (x 0, y 0) la un punct cu coordonate variabile (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

În astfel de cazuri, valoarea integralei nu depinde în niciun fel de calea integrării. Putem lua ca cale de integrare o linie întreruptă, ale cărei legături sunt situate paralel cu axele de coordonate.

Exemplul 3

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Soluţie

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Rezultă că partea stângă a ecuației diferențiale este reprezentată de diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0. Pentru a găsi această funcție, este necesar să se calculeze integrala dreaptă a punctului (1 ; 1) inainte de (X y). Să luăm ca cale de integrare o linie întreruptă, a cărei secțiuni vor trece în linie dreaptă y = 1 de la punctul (1, 1) la (x, 1) și apoi de la punctul (x, 1) la (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Am obținut o soluție generală a unei ecuații diferențiale de forma x y - x y 2 + C = 0.

Exemplul 4

Să se determine soluția generală a ecuației diferențiale y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Soluţie

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Deoarece ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, atunci condiția nu va fi îndeplinită. Aceasta înseamnă că partea stângă a ecuației diferențiale nu este diferența completă a funcției. Aceasta este o ecuație diferențială cu variabile separabile și alte soluții sunt potrivite pentru a o rezolva.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Diferenţial numită ecuație a formei

P(X y)dx + Q(X y)dy = 0 ,

unde partea stângă este diferența totală a oricărei funcții a două variabile.

Să notăm funcția necunoscută a două variabile (acesta este ceea ce trebuie găsit atunci când rezolvăm ecuații în diferențiale totale) prin Fși vom reveni la el în curând.

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este că trebuie să existe un zero în partea dreaptă a ecuației, iar semnul care leagă cei doi termeni din partea stângă trebuie să fie un plus.

În al doilea rând, trebuie observată o oarecare egalitate, ceea ce confirmă că această ecuație diferențială este o ecuație în diferențiale totale. Această verificare este o parte obligatorie a algoritmului de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale (este în al doilea paragraf al acestei lecții), deci procesul de găsire a unei funcții F destul de intensivă în muncă și este important să ne asigurăm, la etapa inițială, că nu pierdem timpul.

Deci, funcția necunoscută care trebuie găsită este notată cu F. Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Prin urmare, dacă ecuația este o ecuație diferențială totală, partea stângă a ecuației este suma diferențialelor parțiale. Apoi, prin definiție

dF = P(X y)dx + Q(X y)dy .

Să ne amintim formula de calcul a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Rezolvând ultimele două egalități, putem scrie

Diferențiam prima egalitate în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”:

care este o condiție pentru ca o ecuație diferențială dată să fie cu adevărat o ecuație diferențială totală.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este o ecuație diferențială totală. Pentru expresia a fost diferența totală a unei funcții F(X y) este necesar şi suficient pentru ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luați derivata parțială cu privire la X iar derivata parțială în raport cu y un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație diferențială totală.

Pasul 2. Scrieți un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Integrați prima ecuație a sistemului - prin X (y F:

,
y.

O opțiune alternativă (dacă este mai ușor să găsiți integrala în acest fel) este să integrați a doua ecuație a sistemului - prin y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). În acest fel, funcția este restabilită F:

,
unde este o funcție încă necunoscută a X.

Pasul 4. Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y(alternativ - conform X) și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

și într-o versiune alternativă - la prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm (alternativ)

Pasul 5. Rezultatul pasului 4 este de a integra și de a găsi (alternativ, găsiți).

Pasul 6.Înlocuiți rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. Constanta arbitrara C scris adesea după semnul egal - în partea dreaptă a ecuației. Astfel obținem o soluție generală a ecuației diferențiale în diferențiale totale. După cum am menționat deja, are forma F(X y) = C.

Exemple de soluții ale ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemplul 1.

Pasul 1. ecuație în diferențiale totale X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2. F:

Pasul 3. De X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. y

Pasul 5.

Pasul 6. F. Constanta arbitrara C :
.

Ce eroare este cel mai probabil să apară aici? Cele mai frecvente greșeli sunt să luați o integrală parțială peste una dintre variabile pentru integrala obișnuită a unui produs de funcții și să încercați să integrați prin părți sau o variabilă de înlocuire și, de asemenea, să luați derivata parțială a doi factori ca derivată a unui produs al funcțiilor și căutați derivata folosind formula corespunzătoare.

Acest lucru trebuie reținut: atunci când se calculează o integrală parțială față de una dintre variabile, cealaltă este o constantă și este scoasă din semnul integralei, iar când se calculează derivata parțială față de una dintre variabile, cealaltă este de asemenea o constantă și derivata expresiei se găsește ca derivată a variabilei „acționante” înmulțită cu constanta.

Printre ecuații în diferențiale totale Nu este neobișnuit să găsiți exemple cu o funcție exponențială. Acesta este următorul exemplu. Se remarcă și prin faptul că soluția sa folosește o opțiune alternativă.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la X un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2. Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Să integrăm a doua ecuație a sistemului - prin y (X rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a X.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu X

și echivalează cu prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:
.

Pasul 6.Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. Constanta arbitrara C scrie după semnul egal. Astfel obținem totalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

În exemplul următor ne întoarcem de la o opțiune alternativă la cea principală.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu X alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2. Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Să integrăm prima ecuație a sistemului - De X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 4. Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 2. Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Să integrăm prima ecuație a sistemului - De X (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 5. Rezolvați ecuația diferențială

Definiție 8.4. Ecuația diferențială a formei

Unde
se numește ecuație diferențială totală.

Rețineți că partea stângă a unei astfel de ecuații este diferența totală a unei anumite funcții
.

În general, ecuația (8.4) poate fi reprezentată ca

În loc de ecuația (8.5), putem lua în considerare ecuația

a cărei soluție este integrala generală a ecuației (8.4). Astfel, pentru a rezolva ecuația (8.4) este necesar să găsim funcția
. În conformitate cu definiția ecuației (8.4), avem

(8.6)

Funcţie
vom căuta o funcție care îndeplinește una dintre aceste condiții (8.6):

Unde - o funcţie arbitrară independentă de .

Funcţie
este definită astfel încât a doua condiție a expresiei (8.6) să fie îndeplinită

(8.7)

Din expresia (8.7) se determină funcția
. Înlocuindu-l în expresia pentru
și obțineți integrala generală a ecuației inițiale.

Problema 8.3. Integrarea ecuației

Aici
.

Prin urmare, această ecuație aparține tipului de ecuații diferențiale în diferențiale totale. Funcţie
îl vom căuta în formă

Pe de alta parte,

În unele cazuri, starea
poate să nu fie îndeplinită.

Atunci astfel de ecuații sunt reduse la tipul luat în considerare prin înmulțirea cu așa-numitul factor de integrare, care, în cazul general, este doar o funcție sau .

Dacă o ecuație are un factor de integrare care depinde numai de , atunci este determinat de formula

unde este relația ar trebui să fie doar o funcție .

În mod similar, factorul integrator depinde doar de , este determinat de formula

unde este relația
ar trebui să fie doar o funcție .

Absența în relațiile date, în primul caz, a variabilei , iar în al doilea - variabila , sunt un semn al existenței unui factor integrator pentru o ecuație dată.

Problema 8.4. Reduceți această ecuație la o ecuație în diferențe totale.

Luați în considerare relația:

Subiectul 8.2. Ecuații diferențiale liniare

Definiție 8.5. Ecuație diferențială
se numeste liniar daca este liniar fata de functia dorita , derivatul său și nu conține produsul funcției dorite și derivata acesteia.

Forma generală a unei ecuații diferențiale liniare este reprezentată de următoarea relație:

(8.8)

Dacă în relaţia (8.8) partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește omogenă liniară. În cazul în care partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește liniară neomogenă.

Să arătăm că ecuația (8.8) poate fi integrată în cuadraturi.

În prima etapă, considerăm o ecuație liniară omogenă.

O astfel de ecuație este o ecuație cu variabile separabile. Într-adevăr,

;

Ultima relație determină soluția generală a unei ecuații liniare omogene.

Pentru a găsi o soluție generală a unei ecuații liniare neomogene, se utilizează metoda de variație a derivatei unei constante. Ideea metodei este că soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este în aceeași formă ca soluția ecuației omogene corespunzătoare, dar o constantă arbitrară înlocuit cu o anumită funcție
a fi determinat. Deci avem:

(8.9)

Substituind în relația (8.8) expresiile corespunzătoare
Și
, primim

Înlocuind ultima expresie în relația (8.9), obținem integrala generală a ecuației liniare neomogene.

Astfel, soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este determinată de două pătraturi: soluția generală a unei ecuații liniare omogene și o soluție particulară a unei ecuații liniare neomogene.

Problema 8.5. Integrarea ecuației