După cum știți, un corp care nu este limitat în niciun fel în mișcările sale se numește liber, deoarece se poate mișca în orice direcție. Prin urmare, fiecare corp rigid liber are șase grade de libertate de mișcare. Are capacitatea de a produce următoarele mișcări: trei mișcări de translație, corespunzătoare la trei sisteme de coordonate principale și trei mișcări de rotație în jurul acestor trei axe de coordonate.

Impunerea conexiunilor (fixarea) reduce numărul de grade de libertate. Astfel, dacă un corp este fixat într-un punct, acesta nu se poate mișca de-a lungul axelor de coordonate; mișcările sale sunt limitate doar la rotația în jurul acestor axe, adică. corpul are trei grade de libertate. În cazul în care două puncte sunt fixe, corpul are un singur grad de libertate; se poate roti doar în jurul unei linii (axa) care trece prin ambele puncte. Și în sfârșit, cu trei puncte fixe care nu se află pe aceeași linie, numărul de grade de libertate este zero și nu pot apărea mișcări ale corpului. La oameni, aparatul pasiv al mișcării este format din părți ale corpului său numite verigi. Toate sunt conectate între ele, astfel încât își pierd capacitatea de a efectua trei tipuri de mișcări de-a lungul axelor de coordonate. Au doar capacitatea de a se roti în jurul acestor axe. Astfel, numărul maxim de grade de libertate pe care le poate avea o legătură de corp în raport cu o altă legătură adiacentă acesteia este de trei.

Aceasta se referă la cele mai mobile articulații ale corpului uman, care au o formă sferică.

Conexiunile secvențiale sau ramificate ale părților corpului (legături) formează lanțuri cinematice.

La om există:

• - lanțuri cinematice deschise având un capăt mobil liber, fixat doar la un capăt (de exemplu, un braț în raport cu corpul);
• - lanţuri cinematice închise, fixat la ambele capete (de exemplu, vertebră - coastă - stern - coastă - vertebră).

Trebuie remarcat faptul că aceasta se referă la gama potențială de mișcări în articulații. În realitate, la o persoană în viață, acești indicatori sunt întotdeauna mai mici, ceea ce a fost dovedit de numeroase lucrări ale cercetătorilor autohtoni - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin etc. Cu privire la cantitatea de mobilitate a articulațiilor osoase într-o viață persoană, este influențată de o serie de factori legați de vârstă, sex, caracteristici individuale, starea funcțională a sistemului nervos, gradul de întindere a mușchilor, temperatura ambiantă, ora din zi și, în sfârșit, ceea ce este important pentru sportivi, gradul de pregătire. Astfel, în toate conexiunile osoase (discontinue și continue), gradul de mobilitate la tineri este mai mare decât la persoanele în vârstă; În medie, femeile au mai mult decât bărbații. Gradul de mobilitate este influențat de gradul de întindere a acelor mușchi care se află pe partea opusă mișcării, precum și de puterea mușchilor care produc această mișcare. Cu cât primul dintre acești mușchi este mai elastic și cu cât al doilea este mai puternic, cu atât este mai mare gama de mișcări într-o anumită conexiune osoasă și invers. Se știe că într-o cameră rece mișcările au o amploare mai mică decât într-o cameră caldă; dimineața sunt mai puține decât seara. Utilizarea diferitelor exerciții are efecte diferite asupra mobilității articulațiilor. Astfel, antrenamentul sistematic cu exerciții de „flexibilitate” mărește gama de mișcare a articulațiilor, în timp ce exercițiile de „forță”, dimpotrivă, o reduc, ducând la „rigidizarea” articulațiilor. Cu toate acestea, o scădere a amplitudinii de mișcare a articulațiilor atunci când se utilizează exerciții de forță nu este absolut inevitabilă. Poate fi prevenit prin combinația potrivită de antrenament de forță și exerciții de întindere pentru aceleași grupe musculare.

În lanțurile cinematice deschise ale corpului uman, mobilitatea este calculată în zeci de grade de libertate. De exemplu, mobilitatea încheieturii mâinii față de scapula și mobilitatea tarsului față de pelvis au șapte grade de libertate, iar vârfurile degetelor mâinii față de piept au 16 grade de libertate. Dacă însumăm toate gradele de libertate ale membrelor și ale capului în raport cu corp, atunci aceasta va fi exprimată prin numărul 105, compus din următoarele poziții:

• - cap - 3 grade de libertate;
• - brate - 14 grade de libertate;
• - picioare - 12 grade de libertate;
• - maini si picioare - 76 de grade de libertate.

Pentru comparație, subliniem că marea majoritate a mașinilor au un singur grad de libertate de mișcare.

În articulațiile sferice, sunt posibile rotații în jurul a trei axe reciproc perpendiculare. Numărul total de axe în jurul cărora sunt posibile rotații în aceste articulații este infinit de mare. În consecință, în ceea ce privește îmbinările sferice, putem spune că legăturile articulate în acestea, din șase grade posibile de libertate de mișcare, au trei grade de libertate și trei grade de cuplare.

Articulațiile cu două grade de libertate de mișcare și patru grade de cuplare au o mobilitate mai mică. Acestea includ articulații de formă ovoidă sau eliptică și forme de șa, de ex. biaxiale. Ele permit mișcări în jurul acestor două axe.

Corpul se leagă în acele articulații care au o axă de rotație, adică au un grad de libertate de mobilitate și, în același timp, cinci grade de conectivitate. au două puncte fixe.

Majoritatea articulațiilor din corpul uman au două sau trei grade de libertate. Cu mai multe grade de libertate de mișcare (două sau mai multe), este posibil un număr infinit de traiectorii. Conexiunile oaselor craniului au șase grade de conexiune și sunt imobile. Legarea oaselor cu ajutorul cartilajelor si ligamentelor (sincondroza si sindesmoza) poate avea in unele cazuri o mobilitate semnificativa, care depinde de elasticitate si de marimea formatiunilor cartilaginoase sau de tesut conjunctiv situate intre aceste oase.

Sistemele cu două grade de libertate sunt un caz special de sisteme cu mai multe grade de libertate. Dar aceste sisteme sunt cele mai simple, permițând obținerea în formă finală a formulelor de calcul pentru determinarea frecvențelor vibrațiilor, amplitudinilor și deflexiunilor dinamice.

yDeviațiile fasciculului datorate forțelor de inerție:

P2 =1 (1)

Semnele (-) din expresiile (1) se datorează faptului că forțele și unitățile inerțiale. mișcările sunt în sens invers.

Considerăm că vibrațiile de masă apar conform legii armonice:

(2)

Să aflăm accelerația mișcării masei:

(3)

Înlocuind expresiile (2) și (3) în ecuația (1) obținem:

(5)

Considerăm amplitudinile oscilațiilor A 1 și A 2 necunoscute și transformăm ecuațiile:

(6)

Rezolvarea sistemului de ecuații omogene A 1 = A 2 =0 nu ne convine; pentru a obține o soluție diferită de zero, echivalăm determinanții sistemului (6) cu zero:

(7)

Să transformăm ecuația (8), având în vedere frecvența circulară a oscilațiilor naturale  necunoscută:

Ecuația (9) se numește ecuația biharmonică a oscilațiilor libere ale sistemelor cu două grade de libertate.

Înlocuind variabila  2 =Z, obținem

de aici determinăm Z 1 și Z 2.

Ca urmare, se pot trage următoarele concluzii:

1. Vibrațiile libere ale sistemelor cu două grade de libertate apar cu două frecvențe  1 și  2. Frecvența inferioară 1 se numește ton fundamental sau fundamental, frecvența superioară 2 se numește a doua frecvență sau armonizare.

Vibrațiile libere ale sistemelor cu n grade de libertate sunt n-tonuri, constând din n vibrații libere.

2. Mișcările maselor m 1 și m 2 se exprimă prin următoarele formule:

adică dacă au loc oscilații cu o frecvență  1, atunci în orice moment de timp mișcările de masă au aceleași semne.

Dacă oscilațiile apar numai cu o frecvență  2, atunci mișcările de masă în orice moment au semne opuse.

Cu oscilații simultane ale maselor cu frecvențele  1 și  2, sistemul oscilează în principal la frecvența  1 și un ton cu frecvența  2 se încadrează în aceste oscilații.

Dacă un sistem cu două grade de libertate este supus unei forțe motrice cu frecvența , atunci este necesar ca:

  0,7  1 .

Cursul 9

Oscilații ale sistemelor cu un număr infinit de grade de libertate.

Teoria vibrațiilor mecanice are aplicații numeroase și foarte diverse în aproape toate domeniile tehnologiei. Indiferent de scopul și soluția de proiectare a diferitelor sisteme mecanice, vibrațiile acestora sunt supuse acelorași legi fizice, al căror studiu este subiectul teoriei vibrațiilor sistemelor elastice. Teoria liniară a oscilațiilor a fost dezvoltată cel mai pe deplin. Teoria oscilațiilor sistemelor cu mai multe grade de libertate a fost dată înapoi în secolul al XVIII-lea de Lagrange în lucrarea sa clasică „Mecanica analitică”.

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) - profesor de matematică la Torino de la vârsta de 19 ani. Din 1759 - membru, iar din 1766 - președinte al Academiei de Științe din Berlin; din 1787 a locuit la Paris. În 1776 a fost ales membru străin de onoare al Academiei de Științe din Sankt Petersburg.

La sfârșitul secolului al XIX-lea, Rayleigh a pus bazele teoriei liniare a oscilațiilor sistemelor cu un grad infinit de grade de libertate (adică, cu o distribuție continuă a masei pe întregul volum al sistemului deformabil). În secolul al XX-lea s-ar putea spune că teoria liniară a fost finalizată (metoda Bubnov-Galerkin, care face posibilă și determinarea frecvențelor de oscilație mai mari folosind aproximări succesive).

John William Strett (Lord Rayleigh) (1842 - 1919) - fizician englez, autor al unui număr de lucrări despre teoria oscilațiilor.

Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - unul dintre fondatorii mecanicii structurale a navelor. Profesor la Institutul Politehnic din Sankt Petersburg, din 1910 - la Academia Maritimă.

Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) - profesor la Institutul Politehnic din Leningrad.

Formula lui Rayleigh este cea mai populară în teoria vibrațiilor și stabilității sistemelor elastice. Ideea care stă la baza derivării formulei lui Rayleigh se rezumă la următoarele. Cu oscilații libere monoarmonice (un-ton) ale unui sistem elastic cu frecvența , mișcările punctelor sale au loc în timp conform legii armonice:

unde  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) sunt funcții ale coordonatelor spațiale ale punctului care determină forma de oscilație în cauză (amplitudine).

Dacă aceste funcții sunt cunoscute, atunci frecvența vibrațiilor libere poate fi găsită din condiția ca suma energiei cinetice și potențiale a corpului să fie constantă. Această condiție conduce la o ecuație care conține o singură cantitate necunoscută.

Cu toate acestea, aceste funcții nu sunt cunoscute în avans. Ideea călăuzitoare a metodei Rayleigh este de a specifica aceste funcții, potrivindu-le alegerea cu condițiile la limită și cu forma așteptată a vibrațiilor.

Să luăm în considerare mai detaliat implementarea acestei idei pentru vibrațiile plane de încovoiere ale unei tije; forma vibrațiilor este descrisă de funcția =(x). Oscilațiile libere sunt descrise de dependență

energia potențială a unei tije îndoite

(2)

energie kinetică

(3)

Unde l- lungimea tijei, m=m(x) intensitatea masei distribuite a tijei;

Curbura axei curbe a tijei; - viteza vibratiilor transversale.

dat (1)

.

(4)

(5)

În timp, fiecare dintre aceste mărimi se modifică continuu, dar, conform legii conservării energiei, suma lor rămâne constantă, adică.

sau prin substituirea expresiilor (4), (5) aici

(7)

Aceasta duce la formula lui Rayleigh:

(8)

Dacă sarcinile concentrate cu mase M i sunt asociate cu o tijă cu masa distribuită m, atunci formula lui Rayleigh ia forma:

(9)

Întregul curs al derivației arată că, în cadrul ipotezelor acceptate (validitatea teoriei tehnice a îndoirii tijelor, absența rezistenței inelastice), această formulă este corectă dacă (x) este adevărata formă a vibrațiilor. . Cu toate acestea, funcția(x) este necunoscută în avans. Semnificația practică a formulei lui Rayleigh este că poate fi folosită pentru a găsi frecvența naturală, având în vedere forma vibrației(x). Totodată, în decizie se introduce un element de proximitate mai mult sau mai puțin serios. Din acest motiv, formula lui Rayleigh este uneori numită formulă aproximativă.

m=cosnt Să luăm ca formă de vibrație funcția:(x)=ax 2, care satisface condițiile cinematice la limită ale problemei.

Definim:

Conform formulei (8)

Acest rezultat diferă semnificativ de cel exact

Mai precisă este formula Grammel, care nu a devenit încă la fel de populară ca formula Rayleigh (poate datorită „tinereții” sale relative - a fost propusă în 1939).

Să ne oprim din nou asupra aceleiași probleme a vibrațiilor libere de îndoire ale unei tije.

Fie (x) forma specificată a oscilațiilor libere ale tijei. Atunci intensitatea forțelor maxime de inerție este determinată de expresia m 2 , unde, ca și mai înainte, m=m(x) este intensitatea masei distribuite a tijei;  2 este pătratul frecvenței naturale. Aceste forțe ating valoarea specificată în momentul în care deviațiile sunt maxime, adică. sunt determinate de funcţia(x).

Să scriem expresia pentru cea mai mare energie potențială de încovoiere în termeni de momente de încovoiere cauzate de forțele de inerție maxime:

. (10)

Aici - momentele încovoietoare cauzate de sarcina m 2 . Să notăm momentul încovoietor cauzat de sarcina condiționată m, adică.  de 2 ori mai mică decât forța de inerție.

, (11)

iar expresia (10) poate fi scrisă ca:

. (12)

Cea mai mare energie cinetică, la fel ca mai sus

. (13)

Echivalând expresiile (12) și (13) ajungem la formula Grammel:

(14)

Pentru a calcula folosind această formulă, trebuie mai întâi să specificați o funcție adecvată (x). După aceasta se determină sarcina condiționată m=m(x)(x) și se scriu expresiile pentru încovoiere cauzată de sarcina condiționată m. Folosind formula (14), se determină frecvența naturală de oscilație a sistemului.

Exemplu: (luați în considerare cel precedent)

y

m(x)·(x)=max 2

Să luăm în considerare micile oscilații ale unui sistem cu două grade de libertate, care este supus forțelor unui câmp potențial și forțelor care se modifică periodic în timp. Mișcările rezultate ale sistemului se numesc oscilații forțate.

Fie ca forțele generalizate perturbatoare să varieze după o lege armonică cu timpul, având perioade și faza inițială egale. Atunci ecuațiile de mișcare ale sistemului luat în considerare vor fi de forma:

Ecuațiile de mișcare din cazul în cauză sunt un sistem de ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți și o parte dreaptă.

Accesați coordonatele principale

Pentru comoditatea studierii ecuațiilor de mișcare, să trecem la coordonatele principale ale sistemului.Relația dintre coordonate este determinată de formulele paragrafului anterior al formei:

Notam prin corespunzator fortele generalizate corespunzatoare coordonatelor normale.Intrucat fortele generalizate reprezinta coeficienti pentru variatiile corespunzatoare ale coordonatelor generalizate in expresia muncii elementare a fortelor care actioneaza asupra sistemului, atunci

Prin urmare:

Astfel, ecuațiile de mișcare în coordonatele principale iau forma:

Ecuațiile oscilațiilor forțate ale unui sistem cu două grade de libertate în coordonate normale sunt independente unele de altele și pot fi integrate separat.

Frecvențele critice ale forței perturbatoare

Ecuația pentru sau determină natura oscilativă a modificării coordonatelor normale, studiată în detaliu atunci când se consideră oscilația forțată a unui punct de-a lungul unei drepte, deoarece ecuațiile diferențiale ale mișcării sunt aceleași în ambele cazuri. În special, dacă frecvența forței perturbatoare este egală cu frecvența uneia dintre oscilațiile naturale ale sistemului, sau atunci soluția va include timpul t ca factor. În consecință, una dintre coordonatele generalizate normale pentru un t suficient de mare va fi arbitrar mare, sau avem fenomenul de rezonanță.

Oscilații cu mai multe grade de libertate.

Scurte informații din teorie.

Sisteme cu n puterilibertateîn dinamică se obișnuiește să se numească astfel de sisteme, pentru a fixa complet starea geometrică a cărei în orice moment este necesar să se stabilească P parametri, de exemplu poziție (deviații) P puncte. Poziția altor puncte este determinată de tehnici statice convenționale.

Un exemplu de sistem cu P gradele de libertate pot fi un fascicul sau un cadru plat dacă masele părților sau elementelor sale individuale sunt considerate condiționat (pentru a facilita calculele dinamice) concentrate în P puncte, sau dacă poartă n mase mari (motoare, motoare), în comparație cu care se poate neglija greutatea proprie a elementelor. Dacă masele individuale concentrate („punctuale”) se pot deplasa, atunci când oscilează, în două direcții, atunci numărul de grade de libertate al sistemului va fi egal cu numărul de conexiuni care ar trebui impuse sistemului pentru a elimina deplasările. a tuturor maselor.

Dacă un sistem cu n grade de libertate este scos din echilibru, acesta se va angaja vibratii libere, iar fiecare „punct” (masă) va efectua oscilații poliarmonice complexe de tipul:

constantele A iși B i depind de condițiile inițiale de mișcare (abateri ale maselor de la nivelul static și viteze în momentul de timp t=0). Numai în unele cazuri speciale de excitare a oscilațiilor se poate transforma mișcarea poliarmonică pentru mase individuale în armonică, adică ca într-un sistem cu un grad de libertate:

Numărul de frecvențe naturale ale unui sistem este egal cu numărul gradelor sale de libertate.

Pentru a calcula frecvențele naturale, este necesar să se rezolve așa-numitul determinant al frecvenței, scris sub această formă:

Această condiție în formă extinsă dă ecuația P gradul de determinat P valorile lui ω 2, care se numește ecuație de frecvență.

Prin δ 11, δ 12, δ 22 etc. sunt indicate posibilele mișcări. Astfel, δ 12 este deplasarea în prima direcție a punctului de localizare a primei mase de la o forță unitară aplicată în a doua direcție la punctul de amplasare a celei de-a doua mase etc.

Cu două grade de libertate, ecuația frecvenței ia forma:

Unde pentru două frecvențe avem:

În cazul în care masele individuale M i poate efectua și mișcări de rotație sau numai de rotație în combinație cu mișcări liniare, atunci i-acea coordonata va fi unghiul de rotatie, iar in determinantul de frecventa masa

M i trebuie înlocuit cu momentul de inerție al masei J i; în consecință, posibile mișcări în direcție i--lea coordonate ( δ i 2 , δ i 2 etc.) vor fi mişcări unghiulare.

Dacă orice masă oscilează în mai multe direcții - i-mu și k-th (de exemplu, verticală și orizontală), atunci o astfel de masă participă la determinant de mai multe ori sub numerele M i lor kși corespunde mai multor mișcări posibile ( δ ii, δ kk, δ ik, etc.).

Rețineți că fiecare frecvență naturală are propria sa formă specială de oscilație (natura unei axe curbe, a unei linii de deviere, a deplasării etc.), care în cazuri individuale, speciale, se poate dovedi a fi o formă validă de oscilație, chiar dacă este liberă. oscilațiile sunt excitate corespunzător (impulsuri de selecție adecvate, puncte de aplicare a acestora etc.). În acest caz, sistemul va oscila în conformitate cu legile mișcării sistemului cu un grad de libertate.

În cazul general, după cum reiese din expresia (9.1), sistemul efectuează oscilații poliarmonice, dar este evident că orice linie elastică complexă, care reflectă influența tuturor frecvențelor naturale, poate fi descompusă în componente individuale ale formei, fiecare dintre care corespunde propriei frecvenţe Procesul de descompunere a adevăratului mod de vibrație în componente (care este necesar atunci când se rezolvă probleme complexe de dinamică structurală) se numește descompunere în moduri de vibrații naturale.

Dacă în fiecare masă, mai precis - în direcția fiecărui grad de libertate, se aplică o forță perturbatoare, variind în timp conform legii armonice

sau, care este indiferent pentru scopuri ulterioare, iar amplitudinile forțelor pentru fiecare masă sunt diferite, iar frecvența și fazele sunt aceleași, atunci, cu acțiunea prelungită a unor astfel de forțe perturbatoare, sistemul va efectua oscilații forțate în stare staționară cu frecvența a forţei motrice. Amplitudini de mișcări în orice direcție i-actul grad în acest caz va fi:

unde determinantul D se scrie conform (9.2) cu ω înlocuit cu θ și, prin urmare, D≠0; D i este determinată de expresia:

acestea. i Coloana a treia a determinantului D se înlocuiește cu o coloană compusă din termeni de forma: Pentru cazul a două grade de libertate: (9.6)

Și în mod corespunzător

La calcularea vibrațiilor forțate ale grinzilor cu secțiune transversală constantă care transportă mase concentrate (Fig. 9.1).

Este mai ușor, totuși, să folosiți următoarele formule pentru amplitudinile deformarii, unghiul de rotație, momentul încovoietor și forța tăietoare în orice secțiune a grinzii:

(9.7)

Unde y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – amplitudini de deformare, rotație, moment și forță tăietoare a secțiunii inițiale (parametri inițiali); M iȘi J i- masa si momentul ei de inertie (masele concentrate); semnul ∑ se aplică tuturor forțelor și maselor concentrate situate de la secțiunea inițială la subiect.

Formulele indicate (9.7) pot fi folosite și la calcularea frecvențelor naturale, pentru care este necesar să se ia în considerare forțele perturbatoare ∑ Riși momentele ∑ Mi egal cu zero, înlocuiți frecvența oscilațiilor forțate θ cu frecvența oscilațiilor naturale ω și, presupunând existența oscilațiilor (oscilații libere), scrieți expresiile (9.7) în raport cu secțiunile în care sunt situate mase concentrate și amplitudinile sunt deja cunoscute ( secțiuni de referință, axa de simetrie etc.). Obținem un sistem de ecuații liniare omogene. Echivalând determinantul acestui sistem cu zero, vom putea calcula frecvențele naturale.

Se dovedește a fi recomandabil să folosiți expresiile (9.4) și (9.5) pentru a determina amplitudinile ( y 0 , φ 0 , etc.) la X=0, apoi folosind (9.7) se calculează toate celelalte elemente de deviere.

Mai complexă este problema calculării mișcărilor unui sistem cu mai multe grade de libertate sub acțiunea unei sarcini arbitrare care se modifică în timp și se aplică diferitelor mase.

Când rezolvați o astfel de problemă, ar trebui să procedați după cum urmează:

a) determina frecventele naturale si modurile de vibratii naturale;

b) regrupați sarcina dată între mase sau, după cum se spune, descompuneți-o conform modurilor de vibrații naturale. Numărul de grupuri de sarcină este egal cu numărul de frecvențe naturale ale sistemului;

c) după efectuarea celor două operații auxiliare de mai sus, se face un calcul pentru fiecare grupă de încărcări folosind formule cunoscute din teoria oscilațiilor unui sistem cu un grad de libertate, iar frecvența oscilațiilor naturale în aceste formule se consideră a fi aceea căruia îi corespunde acest grup de sarcină;

d) se însumează soluții parțiale din fiecare categorie de sarcini, ceea ce determină soluția finală a problemei.

Determinarea frecvenţelor naturale se realizează conform (9.2). În ceea ce privește identificarea formelor de vibrații naturale, aici este necesar să ne ghidăm după proprietatea de bază a oricărei forme de vibrații naturale, aceea că reprezintă linia de influență a deviației de la forțe (al căror număr este egal cu numărul de vibrații naturale). grade de libertate) proporțională cu produsul maselor și ordonatele deformațiilor punctelor de atașare ale maselor. Pentru mase egale, forma vibrațiilor naturale reprezintă linia de deviere a forțelor proporționale cu ordonatele deformarii; diagrama de sarcină este similară cu diagrama de deformare.

Cea mai joasă frecvență corespunde celei mai simple forme de vibrație. Pentru grinzi, cel mai adesea această formă corespunde îndeaproape axei curbe a sistemului sub influența propriei greutăți. Dacă această structură se dovedește a fi mai puțin rigidă în orice direcție, de exemplu în orizontală, atunci pentru a identifica natura axei curbe dorite, trebuie să se aplice în mod condiționat propria greutate în această direcție.

MECANICA TEORETICĂ

UDC 531.8:621.8

D.M. Kobylyansky, V.F. Gorbunov, V.A. Gogolin

COMPATIBILITATEA ROTIȚII ȘI VIBRAȚIILE CORPURILOR CU UN GRAD DE LIBERTATE

Să considerăm un corp plat T, căruia îi sunt impuse trei constrângeri ideale, împiedicând doar mișcarea corpului în toate direcțiile, așa cum se arată în Fig. 1a. Legăturile sunt punctele A, B, C, situate la vârfurile unui triunghi echilateral. După ce am ales un sistem de coordonate astfel încât centrul acestuia să coincidă cu centrul triunghiului și să fie aliniat cu acesta (Fig. 1a), avem coordonatele legăturilor: A(0;R), B(^l/3 /2 -R/2), C^-Ld/e/2; -I/2), unde I este distanța de la centrul triunghiului până la vârfurile acestuia, adică raza cercului care trece prin punctele A, B, C. În această poziție, corpul va avea un grad de libertate. numai dacă normalele la limita sa în punctele A, B, C se intersectează într-un punct, care va fi centrul instantaneu al vitezelor. În caz contrar, numărul de grade de libertate al corpului este zero și nu se poate mișca numai translațional, ci și efectuează mișcare de rotație. Când un corp are un grad de libertate, acesta poate începe să se rotească cu centrul de rotație instantaneu în punctul de intersecție al normalelor de mai sus. Fie acest punct originea coordonatelor, punctul O. Dacă centrul de rotație instantaneu nu își schimbă poziția, atunci singura formă posibilă a corpului T este un cerc cu raza R cu centrul în punctul O.

Se pune problema: există alte forme ale corpului care îi permit să se rotească în raport cu un centru în mișcare, astfel încât

corpul corpului a trecut continuu prin trei puncte A, B, C fără a rupe aceste conexiuni? În literatura de specialitate cunoscută de noi, o astfel de problemă nu a fost luată în considerare și, aparent, este rezolvată pentru prima dată.

Pentru a rezolva această problemă, considerăm mai întâi mișcarea triunghiului ABC ca un corp rigid, raportat la sistemul de coordonate X1O1Y1 asociat cu corpul T (Fig. 1b). Apoi, dacă mișcarea triunghiului are loc în așa fel încât vârfurile sale să rămână continuu la limita corpului în timpul unei rotații complete a triunghiului cu 360°, atunci corpul va efectua și mișcarea necesară în sens invers față de cel fix. triunghiul ABC și sistemul de coordonate asociat XOU.

Definim mișcarea triunghiului ABC ca o rotație față de centrul O și o mișcare a centrului O de-a lungul axei ОіХі cu /(g), de-a lungul axei ОіУі cu g(t). Atunci ecuația parametrică a traiectoriei punctului A va avea forma: x = ryaSh +/(r); уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)

Deoarece la g=0 punctul O trebuie să coincidă cu punctul O1, atunci condiția /(0)= g(0)=0 trebuie îndeplinită. Cerem ca atunci când este rotit printr-un unghi r = 2n/3, punctul A coincide cu punctul B1, punctul B coincide cu punctul C și punctul C

Cu punctul A1. La întoarcerea printr-un unghi r = 4n/3, punctul A ar trebui să meargă în punctul C1, punctul B în punctul A1 și punctul C în punctul B1. Combinarea acestor cerințe pentru mișcarea vârfurilor triunghiului conduce la condiții pentru valorile funcțiilor de deplasare a centrului de rotație /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0 . (2) Condițiile (2) sunt îndeplinite de o clasă largă de funcții, în special funcții de forma sin(3mt/2), unde m este un număr întreg, și combinațiile lor liniare cu coeficienți în general variabili de forma:

H (g) = ^ bt (g) 8Іп(3тґ / 2)

Mai mult, ca

Fig.1. Schema de calcul: a) - poziţia corpului staţionar şi conexiunile acestuia în sistemul XOU; b) - poziția sistemului fix X1O1U1 asociat corpului și a sistemului mobil XOU asociat triunghiului ABC

Mecanica teoretică

Fig.2. Formele corpurilor și traiectoriile de mișcare ale centrelor lor de rotație

Orez. 3. Poziția corpului la întoarcerea în unghi și traiectoria corespunzătoare de mișcare a centrului său de rotație

pot fi luate funcţii de deplasare, funcţii care definesc curbe închise, precum cicloidele, trohoidele, lemniscatele, cu parametri potriviţi conform condiţiei (2). În acest caz, toate funcțiile posibile trebuie să fie periodice cu o perioadă de 2n/3.

Astfel, sistemul de ecuații parametrice (1) cu condiții asupra valorilor funcțiilor /(^, g(t) (2) sau în forma lor (3) oferă ecuația dorită pentru limita corpului T. Figura 2 prezintă exemple de posibile forme ale corpului care satisfac condițiile sarcinii.În centrul fiecărei figuri este prezentată traiectoria centrului de rotație O1, iar conexiunile punctuale A, B, C sunt mărite pentru o mai bună vizualizare a acestora. Aceste exemple arată că chiar și tipuri simple de funcții din clasa definită de expresia (3) cu coeficienți constanți dau avem un set destul de larg de curbe care descriu limitele corpurilor aflate în rotație și

oscilaţii simultan cu un singur grad de libertate. Curbele limită a), c) din Fig. 2 corespund mișcării centrului de rotație numai de-a lungul axei orizontale

ОіХі conform legii armonice și, după cum se poate observa, au două axe de simetrie și pot fi fie pur convexe, ovale (Fig. 2a), fie combina convexitatea cu concavitatea (Fig. 2b). Cu o lege armonică verticală și orizontală cu aceeași amplitudine de mișcare a centrului de rotație, curbele limită își pierd simetria (Fig. 2 c, d). Influența semnificativă a frecvenței vibrațiilor armonice asupra formei curbei de frontieră a unui corp este prezentată în Fig. 2 d, f. Fără a efectua o analiză completă a influenței amplitudinii și frecvenței asupra formei și proprietăților geometrice ale limitei curbe în această lucrare, aș dori să remarc că exemplele prezentate în Fig. 2 arată deja capacitatea de a rezolva probleme tehnice în alegerea formei dorite

corpul să-și combine mișcarea de rotație cu oscilațiile în planul de rotație.

Acum luând în considerare mișcarea corpului în raport cu sistemul de coordonate fix XOU asociat cu triunghiul ABC, adică trecând de la sistemul de coordonate X1O1U1 la sistemul de coordonate XOU, obținem următoarele ecuații parametrice ale curbei la graniță a corpului la un unghi de rotație dat p x = cosp-

Cosp(4)

sau ținând cont de ecuațiile (1), ecuațiile (4) iau forma x = cosp-

- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +

Pentru că p.

Ecuațiile (5) fac posibilă descrierea traiectoriei oricărui punct al corpului în funcție de polaritățile sale date.

t-g.i m*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. d-0

Orez. 4. Variante de forme ale corpului cu numere diferite de conexiuni, asigurând compatibilitatea rotației și vibrațiilor corpurilor

coordonatele finale R,t. În special, la R=0, t=0 avem un punct care coincide cu originea coordonatelor Ob, adică centrul de rotație, a cărui traiectorie în schema luată în considerare este descrisă de ecuațiile care urmează din (5) :

*0 = -f (ph) cos ph + g (ph) sin ph, y0 = - f (ph) sin ph- g (ph) cos r.

Figura 3 prezintă un exemplu de poziții ale corpului (Figura 2b) atunci când acesta este rotit printr-un unghi φ, iar în centrul fiecărei figuri este afișată traiectoria centrului de rotație

Oi, corespunzătoare rotației corpului prin acest unghi. Din punct de vedere tehnic, nu este dificil să faci animație

a mișcării corpului prezentată în Fig. 3 în locul unui model fizic, cu toate acestea, cadrul unui articol de jurnal poate permite acest lucru doar într-o versiune electronică. Exemplul prezentat era încă

O generalizare a problemei luate în considerare este un sistem de n conexiuni ideale sub formă de puncte situate la vârfurile unui triunghi regulat, împiedicând doar mișcările de translație ale corpului. Prin urmare, ca și în cazul unui triunghi, corpul poate începe să se rotească în raport cu centrul de rotație, care este punctul de intersecție al normalelor cu limita corpului la punctele de legătură. În acest caz, ecuația pentru traiectoria unui punct al corpului A, situat pe axa OU, și situat la o distanță H de centrul de rotație, va avea aceeași formă ca (1). Condițiile pentru valorile funcțiilor de deplasare a centrului de rotație (2) în acest caz vor lua

Kobylyansky Gorbunov

Dmitri Mihailovici Valeri Fedorovici

Student postuniversitar al catedrei. staționar și - doc. tehnologie. științe, prof. departament sută

vehicule de transport, vehicule staţionare şi vehicule de transport

f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)

Condiția (7) corespunde funcțiilor periodice cu o perioadă de 2n/n, de exemplu 8m(n-m4/2), precum și combinațiilor lor liniare ale formei (3) și altor funcții care descriu curbe închise. Raționament similar cu cel menționat mai sus duce la aceleași ecuații (4-6), care fac posibilă calcularea formei corpului, a poziției acestuia în timpul rotației și a traiectoriei centrului de rotație cu oscilații ale corpului compatibile cu rotația. . Un exemplu de astfel de calcule este Fig. 4, în care linia punctată arată poziția inițială a corpurilor, linia continuă arată poziția corpurilor când se rotesc printr-un unghi l/3, iar în centrul fiecărei figuri se află traiectoria completă a centrului de rotație în timpul unei rotații complete a corpului. Și deși în acest exemplu este luată în considerare doar mișcarea orizontală a centrului de rotație O, ca centru al unui n-gon, rezultatele obținute arată o gamă largă de forme posibile ale unui corp cu un grad de libertate, combinând mișcarea de rotație. cu oscilații în prezența a patru, cinci și șase conexiuni.

Metoda rezultată pentru calcularea compatibilității mișcărilor de rotație și oscilație a corpurilor cu un grad de libertate poate fi utilizată și fără adăugiri pentru corpurile spațiale pentru care sunt interzise mișcările de-a lungul celei de-a treia coordonate și rotațiile în alte planuri de coordonate.

Gogolin Viaceslav Anatolievici

Dr. tehnologie. științe, prof. departament matematician aplicat şi