Fie cunoscute probabilitățile lor și probabilitățile condiționate corespunzătoare. Atunci probabilitatea producerii evenimentului este:
Această formulă se numește formule de probabilitate totală. În manuale, ea este formulată printr-o teoremă a cărei demonstrație este elementară: conform algebra evenimentelor, (evenimentul a avut loc și sau s-a întâmplat un eveniment și după ce a venit evenimentul sau s-a întâmplat un eveniment și după ce a venit evenimentul sau …. sau s-a întâmplat un eveniment și eveniment urmat). Din moment ce ipotezele 
sunt incompatibile, iar evenimentul este dependent, apoi conform teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile (primul pas)și teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor dependente (al doilea pas):
Probabil, mulți anticipează conținutul primului exemplu =)
Oriunde scuipi - peste tot urna:
Sarcina 1
Sunt trei urne identice. Prima urnă conține 4 bile albe și 7 negre, a doua urnă conține doar bile albe, iar a treia urnă conține doar bile negre. O urna este aleasa la intamplare si din ea se extrage o bila la intamplare. Care este probabilitatea ca această minge să fie neagră?
Soluţie: luați în considerare evenimentul - o bilă neagră va fi extrasă dintr-o urna aleasă aleatoriu. Acest eveniment poate apărea ca urmare a implementării uneia dintre următoarele ipoteze:
– se va selecta prima urna;
– se va alege a 2-a urna;
– se va alege a 3-a urna.
Deoarece urna este aleasă la întâmplare, alegerea oricăreia dintre cele trei urne la fel de posibil, Prin urmare: 
Rețineți că se formează ipotezele de mai sus grup complet de evenimente, adică în funcție de condiție, o minge neagră poate apărea doar din aceste urne și, de exemplu, nu zbura de la o masă de biliard. Să facem o verificare intermediară simplă: 
OK, hai sa mergem mai departe:
Prima urna contine 4 albe + 7 negre = 11 bile, fiecare definiție clasică:
este probabilitatea de a extrage o bilă neagră cu conditia că se va alege prima urnă.
A doua urnă conține doar bile albe, deci dacă este ales aspectul unei bile negre devine imposibil: .
Și, în sfârșit, în a treia urnă sunt doar bile negre, ceea ce înseamnă că corespunzătoare probabilitate condițională extragerea bilei negre va fi (evenimentul este sigur).
este probabilitatea ca o bilă neagră să fie extrasă dintr-o urna aleasă aleatoriu.
Răspuns:
Exemplul analizat sugerează din nou cât de important este să ÎNȚELEGEȚI CONDIȚIA. Să luăm aceleași probleme cu urnele și bile - cu similitudinea lor externă, metodele de rezolvare pot fi complet diferite: undeva este necesar să se aplice numai definiția clasică a probabilității, undeva evenimente independent, undeva dependent, iar undeva vorbim de ipoteze. În același timp, nu există un criteriu formal clar pentru alegerea unei căi de soluție - aproape întotdeauna trebuie să te gândești la asta. Cum să-ți îmbunătățești abilitățile? Rezolvăm, rezolvăm și rezolvăm din nou!
Sarcina 2
Există 5 puști diferite în poligonul de tragere. Probabilitățile de a lovi ținta pentru un anumit trăgător sunt, respectiv, egale cu 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 și 0,4. Care este probabilitatea de a lovi ținta dacă trăgătorul trage o singură lovitură dintr-o pușcă aleasă la întâmplare?
Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.
În majoritatea problemelor tematice, ipotezele nu sunt, desigur, la fel de probabile:
Sarcina 3
Există 5 puști în piramidă, dintre care trei sunt echipate cu o vizor optic. Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta atunci când este tras de la o pușcă cu o vizor telescopic este de 0,95; pentru o pușcă fără vizor telescopic, această probabilitate este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie lovită dacă trăgătorul trage o lovitură dintr-o pușcă luată la întâmplare.
Soluţie: în această problemă, numărul puștilor este exact același ca în cea precedentă, dar există doar două ipoteze:
- trăgatorul va alege o pușcă cu vizor optic;
- trăgătorul va selecta o pușcă fără o vizor telescopic.
De definiția clasică a probabilității: 
.
Control:
Luați în considerare evenimentul: - trăgătorul lovește ținta cu o pușcă aleasă aleatoriu.
După condiție: .
Conform formulei probabilității totale:
Răspuns: 0,85
În practică, un mod scurtat de proiectare a unei sarcini, cu care sunteți familiarizat, este destul de acceptabil:
Soluţie: conform definiției clasice: 
sunt probabilitățile de a alege o pușcă cu și, respectiv, o optic.
După condiție, 
– probabilități de lovire a țintei cu tipurile respective de puști.
Conform formulei probabilității totale:
este probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta cu o pușcă aleasă aleatoriu.
Răspuns: 0,85
Următoarea sarcină pentru o soluție independentă:
Sarcina 4
Motorul funcționează în trei moduri: normal, forțat și ralanti. În modul inactiv, probabilitatea eșecului său este de 0,05, în modul normal - 0,1 și în modul forțat - 0,7. 70% din timp motorul funcționează în modul normal și 20% în modul forțat. Care este probabilitatea defecțiunii motorului în timpul funcționării?
Pentru orice eventualitate, permiteți-mi să vă reamintesc - pentru a obține probabilitățile, procentele trebuie împărțite la 100. Fiți foarte atenți! Conform observațiilor mele, condițiile problemelor pentru formula probabilității totale sunt adesea încercate să fie confundate; și am ales în mod special un astfel de exemplu. Îți spun un secret - aproape că m-am încurcat și eu =)
Soluție la sfârșitul lecției (formulată pe scurt)
Probleme pentru formulele Bayes
Materialul este strâns legat de conținutul paragrafului anterior. Fie ca evenimentul să se producă ca urmare a implementării uneia dintre ipoteze 
. Cum se determină probabilitatea ca o anumită ipoteză să aibă loc?
Cu conditia acel eveniment sa întâmplat deja, probabilități de ipoteze supraestimat după formulele care au primit numele preotului englez Thomas Bayes:
- probabilitatea ca ipoteza să fi avut loc; 
- probabilitatea ca ipoteza să fi avut loc;
…
este probabilitatea ca ipoteza să fie adevărată.
La prima vedere, pare o absurditate totală - de ce să recalculăm probabilitățile ipotezelor, dacă sunt deja cunoscute? Dar, de fapt, există o diferență:
- aceasta este a priori(estimat inainte de teste) probabilităţi.
- aceasta este a posteriori(estimat după teste) probabilitățile acelorași ipoteze, recalculate în legătură cu „împrejurări nou descoperite” - ținând cont de faptul că evenimentul s-a întâmplat.
Să ne uităm la această diferență cu un exemplu specific:
Sarcina 5
Depozitul a primit 2 loturi de produse: primul - 4000 de bucăți, al doilea - 6000 de bucăți. Procentul mediu de produse non-standard în primul lot este de 20%, iar în al doilea - 10%. Luat aleatoriu din depozit, produsul s-a dovedit a fi standard. Aflați probabilitatea ca acesta să fie: a) din primul lot, b) din al doilea lot.
Prima parte solutii constă în folosirea formulei probabilităţii totale. Cu alte cuvinte, calculele sunt efectuate în ipoteza că testul neprodus încăși eveniment „produsul s-a dovedit a fi standard” până vine.
Să luăm în considerare două ipoteze:
- un produs luat la întâmplare va fi din primul lot;
- un produs luat la întâmplare va fi din al 2-lea lot.
Total: 4000 + 6000 = 10000 articole în stoc. Conform definiției clasice:
.
Control:
Luați în considerare evenimentul dependent: – un articol luat la întâmplare din depozit va fi standard.
În primul lot 100% - 20% = 80% produse standard, prin urmare: 
cu conditia că aparține părții I.
În mod similar, în al doilea lot 100% - 10% = 90% produse standard și 
este probabilitatea ca un articol selectat aleatoriu din depozit să fie un articol standard cu conditia că aparține părții a 2-a.
Conform formulei probabilității totale:
este probabilitatea ca un produs ales la întâmplare din depozit să fie un produs standard.
Partea a doua. Să presupunem că un produs luat la întâmplare din depozit s-a dovedit a fi standard. Această expresie este scrisă direct în condiție și afirmă faptul că evenimentul s-a întâmplat.
Conform formulelor lui Bayes:
a) - probabilitatea ca produsul standard selectat să aparțină lotului I;
b) - probabilitatea ca produsul standard selectat să aparțină lotului 2.
După reevaluare ipotezele, desigur, încă se formează grup complet:
(examinare;-))
Răspuns: 
Ivan Vasilyevich, care și-a schimbat din nou profesia și a devenit directorul fabricii, ne va ajuta să înțelegem sensul reevaluării ipotezelor. El știe că astăzi primul magazin a expediat 4000 de articole la depozit, iar al 2-lea magazin - 6000 de produse și vine să se asigure de asta. Să presupunem că toate produsele sunt de același tip și sunt în același recipient. Desigur, Ivan Vasilyevici a calculat anterior că produsul pe care acum îl va scoate pentru verificare va fi cel mai probabil produs de primul atelier și cu o probabilitate până la al doilea. Dar după ce elementul selectat se dovedește a fi standard, el exclamă: „Ce șurub tare! - a fost mai degrabă lansat de al 2-lea atelier. Astfel, probabilitatea celei de-a doua ipoteze este supraestimată în bine, iar probabilitatea primei ipoteze este subestimată: . Și această supraestimare nu este nerezonabilă - la urma urmei, al 2-lea atelier nu numai că a produs mai multe produse, dar funcționează și de 2 ori mai bine!
Spui, subiectivism pur? Parțial - da, în plus, a interpretat însuși Bayes a posteriori probabilitati ca nivel de încredere. Cu toate acestea, nu totul este atât de simplu - există un granul obiectiv în abordarea bayesiană. La urma urmei, probabilitatea ca produsul să fie standard (0,8 și 0,9 pentru primul și, respectiv, al 2-lea magazin) aceasta este preliminar(a priori) și mediu estimări. Dar, vorbind filozofic, totul curge, totul se schimbă, inclusiv probabilitățile. Este foarte posibil ca la momentul studiului al 2-lea magazin mai de succes a crescut procentul de produse standard (și/sau primul magazin redus), iar dacă verificați mai multe sau toate cele 10 mii de articole din stoc, atunci valorile supraestimate vor fi mult mai aproape de adevăr.
Apropo, dacă Ivan Vasilyevich extrage o piesă nestandard, atunci invers - el va „bănui” primul magazin mai mult și mai puțin - al doilea. Vă sugerez să verificați singur:
Sarcina 6
Depozitul a primit 2 loturi de produse: primul - 4000 de bucăți, al doilea - 6000 de bucăți. Procentul mediu de produse non-standard în primul lot este de 20%, în al doilea - 10%. Un produs luat la întâmplare din depozit s-a dovedit a fi nu standard. Aflați probabilitatea ca acesta să fie: a) din primul lot, b) din al doilea lot.
Condiția se va distinge prin două litere, pe care le-am evidențiat cu caractere aldine. Problema poate fi rezolvată de la zero sau puteți folosi rezultatele calculelor anterioare. În eșantion, am realizat o soluție completă, dar pentru a evita o suprapunere formală cu Sarcina nr. 5, evenimentul „Un produs luat la întâmplare din depozit va fi nestandard” marcat cu .
Schema bayesiană de reevaluare a probabilităților se găsește peste tot și este, de asemenea, exploatată activ de diferite tipuri de escroci. Luați în considerare o societate pe acțiuni de trei litere care a devenit un nume de familie, care atrage depozite din partea populației, se presupune că le investește undeva, plătește în mod regulat dividende etc. Ce se întâmplă? Trece zi după zi, lună după lună, iar tot mai multe fapte noi, transmise prin publicitate și prin gură în gură, nu fac decât să mărească nivelul de încredere în piramida financiară. (reevaluare Bayesiană posterioară din cauza evenimentelor trecute!). Adică, în ochii deponenților, există o creștere constantă a probabilității ca „Acesta este un birou serios”; în timp ce probabilitatea ipotezei opuse („aceștia sunt escroci obișnuiți”), desigur, scade și scade. Restul, cred, este clar. Este de remarcat faptul că reputația câștigată le oferă organizatorilor timp să se ascundă cu succes de Ivan Vasilyevich, care a rămas nu numai fără un lot de șuruburi, ci și fără pantaloni.
Vom reveni la exemple nu mai puțin interesante puțin mai târziu, dar pentru moment, probabil cel mai frecvent caz cu trei ipoteze este următorul:
Sarcina 7
Lămpile electrice sunt fabricate în trei fabrici. Prima fabrică produce 30% din numărul total de lămpi, a 2-a - 55%, iar a 3-a - restul. Produsele primei fabrici conțin 1% lămpi defecte, a 2-a - 1,5%, a 3-a - 2%. Magazinul primește produse de la toate cele trei fabrici. Lampa pe care am cumparat-o era defecta. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost produs de planta 2?
Rețineți că în probleme cu formulele Bayes în stare neapărat niste Ce s-a întâmplat un eveniment, în acest caz, achiziționarea unei lămpi.
Evenimentele au crescut și soluţie este mai convenabil să aranjați într-un stil „rapid”.
Algoritmul este exact același: la primul pas, găsim probabilitatea ca lampa achiziționată să o facă va fi defect.
Folosind datele inițiale, traducem procentele în probabilități:
sunt probabilitățile ca lampa să fie produsă de fabricile 1, 2 și, respectiv, 3.
Control:
La fel: - probabilitatile de fabricare a unei lampi defectuoase pentru fabricile respective.
Conform formulei probabilității totale:
- probabilitatea ca lampa achizitionata sa fie defecta.
Pasul doi. Lăsați lampa achiziționată să fie defectă (evenimentul a avut loc)
Conform formulei Bayes: 
- probabilitatea ca lampa defectă achiziționată să fie fabricată de a doua fabrică
Răspuns:
De ce a crescut probabilitatea inițială a celei de-a doua ipoteze după reevaluare? La urma urmei, a doua fabrică produce lămpi de calitate medie (prima este mai bună, a treia este mai proastă). Deci de ce a crescut a posteriori probabilitatea ca lampa defectă să fie din a 2-a fabrică? Acest lucru nu se mai datorează „reputației”, ci dimensiunii. Deoarece fabrica nr. 2 a produs cel mai mare număr de lămpi, atunci ei dau vina (cel puțin subiectiv): „Cel mai probabil, această lampă defectă este de acolo”.
Este interesant de observat că probabilitățile primei și a treia ipoteze au fost supraestimate în direcțiile așteptate și au devenit egale:
Control: 
, care urma să fie verificat.
Apropo, despre subestimat și supraestimat:
Sarcina 8
În grupul de studenți, 3 persoane au un nivel ridicat de pregătire, 19 persoane au un nivel mediu și 3 persoane au un nivel scăzut. Probabilitățile de promovare cu succes a examenului pentru acești studenți sunt respectiv: 0,95; 0,7 și 0,4. Se știe că un student a promovat examenul. Care este probabilitatea ca:
a) era foarte bine pregătit;
b) a fost moderat preparat;
c) a fost prost pregătit.
Efectuează calcule și analizează rezultatele reevaluării ipotezelor.
Sarcina este apropiată de realitate și este plauzibilă în special pentru un grup de studenți cu fracțiune de normă, unde profesorul practic nu cunoaște abilitățile unuia sau aceluia elev. În acest caz, rezultatul poate provoca consecințe destul de neașteptate. (mai ales pentru examenele din semestrul I). Dacă un elev prost pregătit are norocul să obțină un bilet, atunci profesorul este probabil să-l considere un elev bun sau chiar un elev puternic, ceea ce va aduce dividende bune în viitor (desigur, trebuie să „ridicați ștacheta” și să vă mențineți imaginea). Dacă un student a studiat, a înghesuit, a repetat timp de 7 zile și 7 nopți, dar a avut pur și simplu ghinion, atunci evenimentele ulterioare se pot dezvolta în cel mai rău mod posibil - cu numeroase reluări și echilibrări în pragul plecării.
Inutil să spun că reputația este cel mai important capital, nu întâmplător multe corporații poartă numele părinților lor fondatori, care au condus afacerea acum 100-200 de ani și au devenit faimoși pentru reputația lor impecabilă.
Da, abordarea bayesiană este subiectivă într-o anumită măsură, dar... așa funcționează viața!
Să consolidăm materialul cu un exemplu industrial final, în care voi vorbi despre subtilitățile tehnice ale soluției care nu au fost încă întâlnite:
Sarcina 9
Trei ateliere ale fabricii produc piese de același tip, care sunt asamblate într-un container comun pentru asamblare. Se știe că primul magazin produce de 2 ori mai multe piese decât al doilea magazin și de 4 ori mai multe decât al treilea magazin. În primul atelier, defectul este de 12%, în al doilea - 8%, în al treilea - 4%. Pentru control, o parte este luată din container. Care este probabilitatea ca acesta să fie defect? Care este probabilitatea ca piesa defectă extrasă să fie produsă de al 3-lea magazin?
Taki Ivan Vasilyevich este din nou călare =) Filmul trebuie să aibă un final fericit =)
Soluţie: spre deosebire de Sarcinile nr. 5-8, aici se pune explicit o întrebare, care este rezolvată folosind formula probabilității totale. Dar, pe de altă parte, condiția este puțin „criptată”, iar îndemânarea școlii de a compune cele mai simple ecuații ne va ajuta să rezolvăm acest rebus. Pentru „x” este convenabil să luați cea mai mică valoare:
Să fie ponderea pieselor produse de al treilea atelier.
Conform condiției, primul atelier produce de 4 ori mai mult decât al treilea atelier, deci ponderea primului atelier este de .
În plus, primul atelier produce de 2 ori mai multe produse decât al doilea atelier, ceea ce înseamnă că ponderea acestuia din urmă: .
Să facem și să rezolvăm ecuația:
Astfel: - probabilitățile ca piesa scoasă din container să fi fost eliberată de atelierele 1, 2 și, respectiv, 3.
Control: . În plus, nu va fi de prisos să te uiți din nou la frază „Se știe că primul atelier produce produse de 2 ori mai mult decât al doilea atelier și de 4 ori mai mult decât al treilea atelier”și asigurați-vă că probabilitățile obținute corespund cu adevărat acestei condiții.
Pentru „X” a fost inițial posibil să luați cota magazinului 1 sau cota celui de-al 2-lea - probabilitățile vor ieși la fel. Dar, într-un fel sau altul, cea mai dificilă secțiune a fost trecută, iar soluția este pe drumul cel bun:
Din starea găsim:
- probabilitatea producerii unei piese defectuoase pentru atelierele corespunzătoare.
Conform formulei probabilității totale: 
este probabilitatea ca o parte extrasă aleatoriu din container să nu fie standard.
Întrebarea a doua: care este probabilitatea ca piesa defectă extrasă să fi fost produsă de al 3-lea atelier? Această întrebare presupune că piesa a fost deja îndepărtată și se constată că este defectă. Reevaluăm ipoteza folosind formula Bayes: 
este probabilitatea dorită. Destul de așteptat - la urma urmei, al treilea atelier produce nu numai cea mai mică parte de piese, ci și lider în calitate!
În acest caz, a trebuit simplificați fracția cu patru etaje, ceea ce în problemele cu formulele Bayes trebuie făcut destul de des. Dar pentru această lecție, am luat cumva din greșeală exemple în care multe calcule pot fi făcute fără fracții obișnuite.
Deoarece nu există puncte „a” și „fi” în condiție, este mai bine să oferiți răspunsul cu comentarii de text:
Răspuns: 
- probabilitatea ca piesa scoasă din container să fie defectă; - probabilitatea ca piesa defecta extrasa sa fie eliberata de catre atelierul 3.
După cum puteți vedea, problemele privind formula probabilității totale și formulele Bayes sunt destul de simple și, probabil, din acest motiv încearcă atât de des să complice condiția, despre care am menționat-o deja la începutul articolului.
Exemple suplimentare sunt în fișierul cu soluții gata făcute pentru F.P.V. și formule Bayes, în plus, sunt probabil cei care doresc să se familiarizeze mai profund cu acest subiect în alte surse. Și subiectul este într-adevăr foarte interesant - ce merită singur paradoxul bayes, care confirmă sfatul de zi cu zi că, dacă o persoană este diagnosticată cu o boală rară, atunci are sens ca acesta să efectueze oa doua și chiar două examinări independente repetate. S-ar părea că o fac doar din disperare... - dar nu! Dar să nu vorbim despre lucruri triste.
este probabilitatea ca un elev ales aleatoriu să promoveze examenul.
Lăsați studentul să treacă examenul. Conform formulelor lui Bayes:
A)
- probabilitatea ca elevul care a promovat examenul să fi fost pregătit foarte bine. Probabilitatea inițială obiectivă este supraestimată, întrucât aproape întotdeauna unii „medii” au noroc la întrebări și răspund foarte puternic, ceea ce dă impresia eronată de pregătire impecabilă.b)
este probabilitatea ca studentul care a promovat examenul să fie moderat pregătit. Probabilitatea inițială se dovedește a fi ușor supraestimată, deoarece elevii cu un nivel mediu de pregătire sunt de obicei majoritari, în plus, profesorul va include aici „elevi excelenți” cărora li s-a răspuns fără succes și, ocazional, un elev cu performanțe slabe care a avut mare noroc cu un bilet.în)
- probabilitatea ca elevul care a promovat examenul să fie prost pregătit. Probabilitatea inițială a fost supraestimată în rău. Nesurprinzător.Examinare:
Răspuns :
Corolarul ambelor teoreme principale - teorema de adunare a probabilității și teorema de înmulțire a probabilității - este așa-numita formulă a probabilității totale.
Să fie necesar să se determine probabilitatea unui eveniment care poate apărea împreună cu unul dintre evenimentele:
formând un grup complet de evenimente incompatibile. Vom numi aceste evenimente ipoteze.
Să demonstrăm că în acest caz
, (3.4.1)
acestea. probabilitatea unui eveniment se calculează ca suma produselor dintre probabilitatea fiecărei ipoteze și probabilitatea evenimentului conform acestei ipoteze.
Formula (3.4.1) se numește formula probabilității totale.
Dovada. Deoarece ipotezele formează un grup complet, evenimentul poate apărea numai în combinație cu oricare dintre aceste ipoteze:
Întrucât ipotezele sunt inconsistente, combinațiile 
de asemenea incompatibil; aplicându-le teorema adunării, obținem:
Aplicând teorema înmulțirii evenimentului, obținem:
,
Q.E.D.
Exemplul 1. Există trei urne cu aspect identic; prima urnă conține două bile albe și una neagră; în al doilea - trei albi și unul negru; în al treilea - două bile albe și două negre. Cineva alege una dintre urne la întâmplare și trage o minge din ea. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Soluţie. Să luăm în considerare trei ipoteze:
Alegerea primei urne,
Alegerea celei de-a doua urne,
Alegerea celei de-a treia urne
iar evenimentul este apariția unei mingi albe.
Întrucât ipotezele, după starea problemei, sunt la fel de probabile, atunci
.
Probabilitățile condiționate ale evenimentului conform acestor ipoteze sunt, respectiv, egale:
Conform formulei probabilității totale
.
Exemplul 2. Trei focuri simple sunt trase într-o aeronavă. Probabilitatea de a lovi cu prima lovitură este de 0,4, cu a doua - 0,5, cu a treia 0,7. Trei lovituri sunt, evident, suficiente pentru a dezactiva o aeronavă; cu o lovitură, aeronava eșuează cu o probabilitate de 0,2, cu două lovituri, cu o probabilitate de 0,6. Găsiți probabilitatea ca, în urma a trei lovituri, aeronava să fie scoasă din funcțiune.
Soluţie. Să luăm în considerare patru ipoteze:
Niciun obuz nu a lovit avionul,
Un obuz a lovit avionul
Avionul a fost lovit de două obuze.
Trei obuze au lovit avionul.
Folosind teoremele de adunare și înmulțire, găsim probabilitățile acestor ipoteze:
Probabilitățile condiționate ale evenimentului (defecțiunea aeronavei) conform acestor ipoteze sunt:
Aplicând formula probabilității totale, obținem:
Rețineți că prima ipoteză nu ar fi putut fi introdusă în considerare, deoarece termenul corespunzător din formula probabilității totale dispare. Acest lucru se face de obicei atunci când se aplică formula probabilității totale, luând în considerare nu grupul complet de ipoteze inconsistente, ci doar pe acelea dintre ele în baza cărora este posibil un anumit eveniment.
Exemplul 3. Funcționarea motorului este controlată de două regulatoare. Se are în vedere o anumită perioadă de timp, în care este de dorit să se asigure funcționarea fără probleme a motorului. Dacă ambele regulatoare sunt prezente, motorul se defectează cu probabilitate, dacă doar primul dintre ele funcționează, cu probabilitate, dacă doar al doilea funcționează, dacă ambele regulatoare se defectează, cu probabilitate. Primul dintre reglementatori are fiabilitate, al doilea -. Toate elementele eșuează independent unele de altele. Găsiți fiabilitatea totală (probabilitatea de funcționare fără defecțiuni) a motorului.
Formularul evenimentelor grup complet, dacă cel puțin unul dintre ele va apărea în mod necesar ca rezultat al experimentului și sunt inconsecvenți în perechi.
Să presupunem că evenimentul A poate apărea numai împreună cu unul dintre mai multe evenimente incompatibile perechi care formează un grup complet. Să numim evenimentele i= 1, 2,…, n) ipoteze experiență suplimentară (a priori). Probabilitatea de apariție a evenimentului A este determinată de formula probabilitate deplină :
Exemplul 16 Sunt trei urne. Prima urna contine 5 bile albe si 3 negre, a doua urna contine 4 bile albe si 4 negre, iar a treia urna contine 8 bile albe. Una dintre urne este aleasă la întâmplare (aceasta poate însemna, de exemplu, că se face o selecție dintr-o urna auxiliară care conține trei bile numerotate 1, 2 și 3). Din această urnă se extrage la întâmplare o minge. Care este probabilitatea ca acesta să fie negru?
Soluţie. Eveniment A– se extrage mingea neagră. Dacă s-ar ști din ce urnă este extrasă mingea, atunci probabilitatea necesară ar putea fi calculată conform definiției clasice a probabilității. Să introducem ipoteze (ipoteze) cu privire la ce urnă este aleasă pentru extragerea mingii.
Mingea poate fi extrasa fie din prima urna (ipoteza), fie din a doua (ipoteza), fie din a treia (ipoteza). Din moment ce există șanse egale să alegeți oricare dintre urne, atunci 
.
De aici rezultă că
Exemplul 17. Lămpile electrice sunt fabricate în trei fabrici. Prima fabrică produce 30% din numărul total de lămpi electrice, a doua - 25%,
iar al treilea pentru restul. Produsele primei fabrici conțin 1% lămpi electrice defecte, a doua - 1,5%, a treia - 2%. Magazinul primește produse de la toate cele trei fabrici. Care este probabilitatea ca o lampă cumpărată din magazin să fie defectă?
Soluţie. Trebuie introduse ipoteze cu privire la fabrica în care a fost fabricat becul. Știind acest lucru, putem găsi probabilitatea ca acesta să fie defect. Să introducem notația pentru evenimente: A– lampa electrică achiziționată s-a dovedit a fi defectă, – lampa a fost fabricată de prima fabrică, – lampa a fost fabricată de a doua fabrică,
– lampa este fabricată de a treia fabrică.
Probabilitatea dorită se găsește prin formula probabilității totale:
Formula Bayes. Fie un grup complet de evenimente incompatibile în perechi (ipoteze). DAR este un eveniment aleatoriu. Apoi,
Ultima formulă care vă permite să supraestimați probabilitățile ipotezelor după ce rezultatul testului devine cunoscut, în urma căreia a apărut evenimentul A, se numește Formula Bayes .
Exemplul 18.În medie, 50% dintre pacienții cu boală sunt internați într-un spital de specialitate La, 30% cu boală L, 20 % –
cu boala M. Probabilitatea unei vindecări complete a bolii K este egal cu 0,7 pentru boli Lși M aceste probabilități sunt, respectiv, 0,8 și respectiv 0,9. Pacientul internat la spital a fost externat sănătos. Găsiți probabilitatea ca acest pacient să aibă boala K.
Soluţie. Introducem ipoteze: - pacientul suferea de o boala La L, pacienta suferea de boala M.
Apoi, după condiția problemei, avem . Să introducem un eveniment DAR Pacientul internat la spital a fost externat sănătos. După condiție
Conform formulei probabilității totale, obținem:
Formula Bayes.
Exemplul 19. Să fie cinci bile în urnă și toate ipotezele despre numărul de bile albe sunt la fel de probabile. O minge este luată la întâmplare din urnă și se dovedește a fi albă. Care este cea mai probabilă ipoteză despre compoziția inițială a urnei?
Soluţie. Să fie ipoteza că în urna de bile albe 
, adică este posibil să se facă șase ipoteze. Apoi, după condiția problemei, avem .
Să introducem un eveniment DAR O minge albă extrasă aleatoriu. Să calculăm. Deoarece , atunci conform formulei Bayes avem: 
Astfel, ipoteza este cea mai probabilă, întrucât .
Exemplul 20. Două din trei elemente care funcționează independent ale dispozitivului de calcul au eșuat. Găsiți probabilitatea ca primul și al doilea element să eșueze dacă probabilitățile de eșec ale primului, celui de-al doilea și, respectiv, al treilea element sunt egale cu 0,2; 0,4 și 0,3.
Soluţie. Notează prin DAR eveniment - două elemente au eșuat. Se pot formula urmatoarele ipoteze:
- primul și al doilea element au eșuat, iar al treilea element este funcțional. Deoarece elementele funcționează independent, se aplică teorema înmulțirii:
Exemplul #1. O companie producătoare de calculatoare obține aceleași piese de la trei furnizori. Primul furnizează 50% din toate componentele, al doilea - 20%, al treilea - 30% din piese.Se știe că calitatea pieselor furnizate este diferită, iar la produsele primului furnizor, procentul de defecte este de 4%, al doilea - 5%, al treilea - 2%. Determinați probabilitatea ca o piesă selectată la întâmplare dintre toate primite să fie defectă.
Soluţie. Să notăm evenimentele: A - „articolul selectat este defect”, H i - „articolul selectat primit de la al-lea furnizor”, i =1, 2, 3 Ipotezele H 1 , H 2 , H 3 formează un grup complet de evenimente incompatibile. După condiție
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02
Conform formulei probabilității totale (1.11), probabilitatea evenimentului A este egală cu
P(A) = P(H1) P(A|H1) + P(H2) P(A|H2) + P(H3) P(A|H3) = 0,5 0,04 + 0,2 0,05 + 0,3 0,02=0,036
Probabilitatea ca o piesă aleasă la întâmplare să fie defectă este de 0,036.
Fie ca evenimentul A să fi avut deja loc în condițiile exemplului anterior: piesa selectată s-a dovedit a fi defectă. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost primit de la primul furnizor? Răspunsul la această întrebare este dat de formula Bayes.
Am început analiza probabilităților doar cu valori preliminare, a priori, ale probabilităților de evenimente. Apoi a fost făcut un experiment (a fost selectată o parte) și am primit informații suplimentare despre evenimentul care ne interesează. Cu aceste noi informații, putem rafina valorile probabilităților anterioare. Noile valori ale probabilităților acelorași evenimente vor fi deja probabilități a posteriori (post-experimentale) ale ipotezelor (Fig. 1.5).
Schema de reevaluare a ipotezelor
Fie ca evenimentul A să se realizeze numai împreună cu una dintre ipotezele H 1 , H 2 , …, H n (grup complet de evenimente incompatibile). Am notat a priori probabilități ale ipotezelor P(H i) probabilități condiționate ale evenimentului A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Dacă experimentul a fost deja efectuat și ca urmare a acestuia a avut loc evenimentul A, atunci probabilitățile a posteriori ale ipotezelor vor fi probabilitățile condiționate P(H i |A), i = 1, 2,…, n. În notarea exemplului anterior, P(H 1 |A) este probabilitatea ca piesa selectată, care s-a dovedit a fi defectă, să fi fost primită de la primul furnizor.
Suntem interesați de probabilitatea evenimentului H k |A Se consideră apariția în comun a evenimentelor H k și A, adică evenimentul AH k . Probabilitatea sa poate fi găsită în două moduri, folosind formulele de înmulțire (1.5) și (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).
Echivalează părțile corecte ale acestor formule
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),
deci probabilitatea posterioară a ipotezei H k este 
Numitorul este probabilitatea totală a evenimentului A. Înlocuind în loc de P(A) valoarea acestuia conform formulei probabilității totale (1.11), obținem: 
(1.12)
Formula (1.12) se numește Formula Bayes
și este folosit pentru a reevalua probabilitățile ipotezelor.
În condițiile exemplului anterior, găsim probabilitatea ca piesa defectă să fi fost primită de la primul furnizor. Să rezumam într-un tabel probabilitățile a priori ale ipotezelor P(H i) cunoscute nouă prin condiția, probabilitățile condiționate P(A|H i) probabilitățile comune calculate în procesul de rezolvare a P(AH i) = P(H i) P(A|H i) și calculată prin formula (1.12) probabilități a posteriori P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (Tabelul 1.3).
Tabelul 1.3 - Reevaluarea ipotezelor
| Ipoteze Bună | Probabilități | |||
| P(H i) anterior | Condițional P(A|H i) | Articulație P(AH i) | A posteriori P(H i |A) | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
H 1 - piesa primita de la primul furnizor | 0.5 | 0.04 | 0.02 | |
H 2 - piesa primita de la un al doilea furnizor | 0.2 | 0.05 | 0.01 | |
H 3 - parte primită de la un terț furnizor | 0.3 | 0.02 | 0.006 | |
| Sumă | 1.0 | - | 0.036 | 1 |
P(Ω) = P(H1 + H2 + H3) = P(H1) + P(H2) + P(H3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
În a patra coloană, valoarea din fiecare rând (probabilități comune) se obține prin regula înmulțirii probabilităților prin înmulțirea valorilor corespunzătoare din coloana a doua și a treia, iar în ultimul rând 0,036 este probabilitatea totală a evenimentului A. (prin formula probabilității totale).
În coloana 5, probabilitățile posterioare ale ipotezelor sunt calculate folosind formula Bayes (1.12):
Probabilitățile posterioare P(H 2 |A) și P(H 3 |A) se calculează în mod similar, numărătorul fracției fiind probabilitățile comune înregistrate în rândurile corespunzătoare ale coloanei 4, iar numitorul fiind probabilitatea totală a evenimentul A înregistrat în ultimul rând al coloanei 4.
Suma probabilităților ipotezelor după experiment este egală cu 1 și se scrie în ultima linie a coloanei a cincea.
Deci, probabilitatea ca piesa defectă să fie primită de la primul furnizor este de 0,555. Probabilitatea post-experimentală este mai mare decât cea a priori (datorită volumului mare de ofertă). Probabilitatea post-experimentala ca piesa defecta sa fie primita de la al doilea furnizor este de 0,278 si este, de asemenea, mai mare decat cea pre-experimentala (datorita numarului mare de refuzuri). Probabilitatea post-experimentală ca o piesă defectă să fi fost obținută de la un al treilea furnizor este de 0,167.
Exemplul #3. Există trei urne identice; prima urnă conține două bile albe și una neagră; în al doilea, trei albi și unul negru; în al treilea - două bile albe și două negre. Pentru experiment, o urna este aleasa la intamplare si se scoate o bila din ea. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Soluţie. Să luăm în considerare trei ipoteze: H 1 - se alege prima urna, H 2 - se alege a doua urna, H 3 - se alege a treia urna și evenimentul A - se scoate mingea albă.
Întrucât ipotezele sunt la fel de probabile după condiția problemei, atunci
Probabilitățile condiționate ale evenimentului A în aceste ipoteze sunt, respectiv, egale:
Conform formulei probabilității totale 
Exemplul #4. Există 19 puști în piramidă, 3 dintre ele cu vizor optic. Trăgătorul, trăgând dintr-o pușcă cu vizor optic, poate lovi ținta cu o probabilitate de 0,81, iar trăgând dintr-o pușcă fără vizor optic, cu o probabilitate de 0,46. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta trăgând dintr-o pușcă aleasă aleatoriu.
Soluţie. Aici primul test este o alegere aleatorie a puștii, al doilea este tragerea la țintă. Luați în considerare următoarele evenimente: A - trăgătorul va lovi ținta; H 1 - trăgătorul va lua o pușcă cu vizor optic; H 2 - trăgătorul va lua o pușcă fără vizor optic. Folosim formula probabilității totale. Avem
Având în vedere că puștile sunt selectate pe rând și folosind formula clasică de probabilitate, obținem: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Probabilitățile condiționate sunt date în enunțul problemei: P(A|H 1) = 0;81 și P(A|H 2) = 0;46. Prin urmare,
Exemplul numărul 5. Dintr-o urna care contine 2 bile albe si 3 negre, se extrag doua bile la intamplare si se adauga 1 bila alba in urna. Găsiți probabilitatea ca o minge extrasă aleatoriu să fie albă.
Soluţie. Evenimentul „se extrage o bilă albă” va fi notat cu A. Evenimentul H 1 - se extrag la întâmplare două bile albe; H 2 - două bile negre au fost extrase la întâmplare; H 3 - au fost extrase o bilă albă și una neagră. Apoi probabilitățile ipotezelor propuse
Probabilitățile condiționate din aceste ipoteze sunt, respectiv, egale: P(A|H 1) = 1/4 - probabilitatea de a extrage o bilă albă dacă în prezent există o bile albă și trei negre în urnă, P(A|H 2) = 3/ 4 - probabilitatea de a extrage o bilă albă dacă în prezent există trei bile albe și una neagră în urnă, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - probabilitatea de a extrage o bilă albă dacă există două bile albe și una neagră în urnă momentan două bile negre. Conform formulei probabilității totale
Exemplul numărul 6. Două focuri sunt trase în țintă. Probabilitatea de a lovi cu prima lovitură este de 0,2, cu a doua - 0,6. Probabilitatea de a distruge ținta cu o lovitură este de 0,3, cu două - 0,9. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie distrusă.
Soluţie. Fie evenimentul A scopul este distrus. Pentru a face acest lucru, este suficient să loviți cu o lovitură din două sau să loviți ținta la rând cu două lovituri fără ratare. Să propunem ipoteze: H 1 - ambele lovituri lovesc ținta. Atunci P(H1) = 0,2 0,6 = 0;12. H 2 - fie prima dată, fie a doua oară s-a greșit. Apoi P (H 2) \u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \u003d 0,56. Ipoteza H 3 - ambele lovituri au fost ratate - nu este luată în considerare, deoarece probabilitatea de a distruge ținta este zero. Atunci probabilitățile condiționate sunt, respectiv, egale: probabilitatea de distrugere a țintei în condițiile ambelor lovituri reușite este P(A|H 1) = 0,9, iar probabilitatea de distrugere a țintei în condițiile unei singure lovituri reușite este P( A|H2) = 0,3. Atunci probabilitatea de a distruge ținta conform formulei probabilității totale este egală cu.
