Să fie date două avioane

Primul plan are un vector normal (A 1; B 1; C 1), al doilea plan (A 2; B 2; C 2).

Dacă planurile sunt paralele, atunci vectorii și sunt coliniari, adică. = l pentru un număr l. De aceea

─ condiția de paralelism a planului.

Condiția coincidenței avioanelor:

,

întrucât în ​​acest caz, înmulțind a doua ecuație cu l = , obținem prima ecuație.

Dacă nu este îndeplinită condiția de paralelism, atunci planurile se intersectează. În special, dacă planurile sunt perpendiculare, atunci vectorii sunt și perpendiculari. Prin urmare, produsul lor scalar este egal cu 0, i.e. = 0, sau

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0.

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru ca planurile să fie perpendiculare.

Unghiul dintre două plane.

Unghiul dintre două plane

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

este unghiul dintre vectorii lor normali și , deci

cosj = =
.

linie dreaptă în spațiu.

Ecuația vectorială-parametrică a unei linii drepte.

Definiție. Vector de direcție drept Orice vector situat pe o dreaptă sau paralel cu ea este numit.

Compuneți ecuația unei drepte care trece prin punctul M 0 (x 0; y 0; z 0) și având un vector de direcție = (a 1; a 2; a 3).

Lăsați deoparte din punctul M 0 vectorul . Fie M(x; y; z) un punct arbitrar al dreptei date și ─ raza-vector al punctului М 0 . Apoi , , de aceea . Această ecuație se numește ecuația vector-parametrică a unei linii drepte.

Ecuații parametrice ale unei linii drepte.

În ecuația vector-parametrică a dreptei va trece la relațiile de coordonate (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. De aici ajungem ecuații parametrice ale dreptei

x \u003d x 0 + a 1 t,

y = y 0 + a 2 t, (4)

Ecuații canonice ale unei linii drepte.

Din ecuațiile (4) exprimăm t:

t = , t = , t = ,

unde ajungem ecuații canonice ale dreptei

= = (5)

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Să fie date două puncte M 1 (x 1; y 1; z 1) și M 2 (x 2; y 2; z 2). Ca vector de direcție al dreptei, puteți lua vectorul = (x 2 - x 1; y 2 ​​​​- y 1; z 2 - z 1). Deoarece linia trece prin punctul M 1 (x 1; y 1; z 1), atunci ecuațiile ei canonice în conformitate cu (5) se vor scrie sub forma

(6)

Unghiul dintre două linii.

Se consideră două drepte cu vectori de direcție = (a 1; a 2; a 3) și .

Unghiul dintre linii este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție, deci

cosj = =
(7)

Condiția de perpendicularitate a liniilor:

un 1 în 1 + un 2 în 2 + un 3 în 3 = 0.

Starea liniilor paralele:

eu

. (8)

Dispunerea reciprocă a liniilor în spațiu.

Să fie date două linii
și
.

În mod evident, liniile se află în același plan dacă și numai dacă vectorii , și coplanare, adică

= 0 (9)

Dacă în (9) primele două rânduri sunt proporționale, atunci liniile sunt paralele. Dacă toate cele trei linii sunt proporționale, atunci liniile coincid. Dacă condiția (9) este îndeplinită și primele două rânduri nu sunt proporționale, atunci liniile se intersectează.

Dacă
¹ 0, atunci liniile sunt oblice.

Probleme pe o linie dreaptă și un plan în spațiu.

O linie dreaptă este intersecția a două plane.

Să fie date două avioane

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

Dacă planurile nu sunt paralele, atunci condiția este încălcată

.

Fie, de exemplu, ¹ .

Să găsim ecuația dreptei de-a lungul căreia se intersectează planele.

Ca vector de direcție al dreptei dorite, putem lua vectorul

= × = =
.

Pentru a găsi un punct aparținând dreptei dorite, fixăm o anumită valoare

z = z 0 și rezolvarea sistemului

,

obținem valorile \u200b\u200bx \u003d x 0, y \u003d y 0. Deci, punctul dorit este M (x 0; y 0; z 0).

Ecuația necesară

.

Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan.

Să fie dată linia dreaptă x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

si avionul

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0.

Pentru a găsi puncte comune ale unei drepte și ale unui plan, este necesar să se rezolve sistemul de ecuații ale acestora

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Dacă A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, atunci sistemul are o soluție unică

t = t 0 = -
.

În acest caz, linia și planul se intersectează într-un singur punct M 1 (x 1; y 1; z 1), unde

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0.

Dacă A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, atunci linia și planul nu au puncte comune , adică . sunt paralele.

Dacă A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 \u003d 0, atunci linia aparține planului.

Unghiul dintre o linie și un plan.

Dispunerea reciprocă a avioanelor în spațiu

Cu aranjarea reciprocă a două planuri în spațiu, unul dintre cele două cazuri care se exclud reciproc este posibil.

1. Două planuri au un punct comun. Apoi, după axioma intersecției a două plane, ele au o dreaptă comună. Axioma R5 spune: dacă două plane au un punct comun, atunci intersecția acestor plane este linia lor comună. Din această axiomă rezultă că pentru planuri Asemenea planuri se numesc intersectare.

Cele două avioane nu au un punct comun.

3. Două planuri coincid

3. Vectori în plan și în spațiu

Un vector este un segment de linie direcționată. Lungimea sa este considerată lungimea segmentului. Dacă sunt date două puncte M1 (x1, y1, z1) și M2 (x2, y2, z2), atunci vectorul

Dacă sunt dați doi vectori și atunci

1. Lungimile vectorilor

2. Suma vectorilor:

3. Suma a doi vectori a si b este diagonala paralelogramului construit pe acesti vectori, provenind dintr-un punct comun al aplicarii lor (regula paralelogramului); sau un vector care leagă începutul primului vector cu sfârșitul ultimului - conform regulii triunghiului. Suma a trei vectori a, b, c este diagonala paralelipipedului construit pe acești vectori (regula paralelipipedului).

Considera:

• 1. Originea coordonatelor este în punctul A;
• 2. Latura cubului este un singur segment.
• 3. Îndreptăm axa OX de-a lungul muchiei AB, OY de-a lungul muchiei AD și axa OZ de-a lungul muchiei AA1.

Pentru planul inferior al cubului

Def. Se spune că două plane din spațiu sunt paralele dacă nu se intersectează, altfel se intersectează.

Teorema 1: Dacă două drepte care se intersectează dintr-un plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele.

Dovada:

Fie și date plane, a1 și a2 - drepte în planul care se intersectează în punctul A, b1 și b2 - drepte paralele cu acestea, respectiv în

avioane. Să presupunem că planele și nu sunt paralele, adică. se intersectează de-a lungul unei linii. După teoremă, dreptele a1 și a2, fiind paralele cu dreptele b1 și b2, sunt paralele cu planul și, prin urmare, nu sunt

intersectează dreapta c situată în acest plan. Astfel, două drepte (a1 și a2) trec prin punctul A în plan, paralele cu dreapta c. Dar acest lucru este imposibil conform axiomei paralele. Am ajuns la o contradicție a CTD.

Planuri perpendiculare: Două plane care se intersectează sunt numite perpendiculare dacă un al treilea plan, perpendicular pe linia de intersecție a acestor plane, le intersectează de-a lungul unor linii perpendiculare.

Teorema 2: Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.

Dovada:

Fie un plan, β o dreaptă perpendiculară pe acesta, fie un plan care trece prin dreapta β, c o dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planele. Să demonstrăm că planele și sunt perpendiculare. Să desenăm în planul prin punctul de intersecție al dreptei în cu planul drepta a,

perpendicular pe dreapta. Să desenăm prin liniile a și în plan. Este perpendicular pe dreapta c, deoarece dreapta c este perpendiculară pe liniile a și b. Deoarece dreptele a și b sunt perpendiculare, planele și sunt perpendiculare. h.t.d.

42. Ecuația normală a planului și proprietățile acestuia

Ecuație plană normală (normalizată).

în formă vectorială:

unde este un vector unitar, este distanța lui P. de la origine. Ecuația (2) poate fi obținută din ecuația (1) prin înmulțirea cu factorul de normalizare

(semne și opus).

43. Ecuațiile unei drepte în spațiu: Ecuații generale, ecuații canonice și parametrice.

Ecuații canonice:

Deducem ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat și paralelă cu un vector de direcție dat. Rețineți că un punct se află pe această dreaptă dacă și numai dacă vectorii și sunt coliniari. Aceasta înseamnă că coordonatele acestor vectori sunt proporționale:

Aceste ecuații se numesc canonice. Rețineți că una sau două dintre coordonatele vectorului de direcție pot fi zero. Dar o percepem ca o proporție: o înțelegem ca egalitate.

Ecuații generale:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

În cazul în care coeficienții A1-C1 nu sunt proporționali cu A2-C2, ceea ce este echivalent cu stabilirea acestuia ca o linie de intersecție a planurilor

Parametric:

Amânând de la vectorii punctuali pentru diferite valori, coliniari cu vectorul de direcție, vom obține diferite puncte ale dreptei noastre la sfârșitul vectorilor amânați. Din egalitate rezultă:

Variabila se numește parametru. Deoarece pentru orice punct al liniei există o valoare a parametrului corespunzătoare și deoarece diferite puncte ale liniei corespund diferitelor valori ale parametrului, există o corespondență unu-la-unu între valorile parametrilor și punctele liniei . Când parametrul trece prin toate numerele reale de la până la, punctul corespunzător trece prin întreaga linie.

44. Conceptul de spațiu liniar. Axiome. Exemple de spații liniare

Un exemplu de spațiu liniar este mulțimea tuturor vectorilor geometrici.

Liniar, sau vectorspaţiu deasupra câmpului P- acesta este un set nevid L, pe care se introduc operațiuni

adiție, adică fiecare pereche de elemente a mulțimii este asociată cu un element din aceeași mulțime, notat cu

înmulțirea cu un scalar (adică un element al câmpului P), adică orice element și orice element se vor potrivi cu elementul din, notat.

În acest caz, operațiunii sunt impuse următoarele condiții:

Pentru orice ( comutativitatea adunării);

Pentru orice ( asociativitatea adițională);

există un element astfel încât pentru orice ( existența unui element neutru în raport cu adaosul), în special L nu gol;

pentru orice există un element astfel încât (existenţa unui element opus).

(asociativitatea înmulțirii cu un scalar);

(înmulțire cu un element de câmp neutru (prin multiplicare).Psalvează vectorul).

(distributivitatea înmulțirii cu un vector în raport cu adăugarea scalarilor);

(distributivitatea înmulțirii cu un scalar în raport cu adunarea vectorială).

Set elemente L numit vectori, și elemente de câmp P-scalari. Proprietățile 1-4 coincid cu axiomele grupului abelian.

Cele mai simple proprietăți

Spațiul vectorial este un grup abelian prin adunare.

Elementul neutru este singurul care rezultă din proprietățile grupului.

pentru oricine .

Pentru orice element opus este singurul care rezultă din proprietățile grupului.

pentru oricine .

pentru orice și

pentru oricine .

Elementele unui spațiu liniar se numesc vectori. Un spațiu se numește real dacă operația de înmulțire a vectorilor cu un număr din el este definită numai pentru numere reale și complex dacă această operație este definită doar pentru numere complexe.

45. Baza și dimensiunea unui spațiu liniar, legătura dintre ele.

Suma finală a vederii

se numește combinație liniară de elemente cu coeficienți.

O combinație liniară se numește netrivială dacă cel puțin unul dintre coeficienții săi este diferit de zero.

Elementele se numesc dependente liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu θ. În caz contrar, aceste elemente sunt numite liniar independente.

O submulțime infinită de vectori din L se numește dependentă liniar dacă o submulțime finită a acestuia este dependentă liniar și independentă liniar dacă oricare dintre submulțimile sale finite este liniar independentă.

Numărul de elemente (cardinalitate) al submulțimii maxime liniar independentă a spațiului nu depinde de alegerea acestei submulțimi și se numește rangul, sau dimensiunea spațiului, iar acest submult în sine se numește bază (baza Hamel sau baza liniară). Elementele unei baze sunt numite și vectori de bază. Proprietăți de bază:

Orice n elemente liniar independente ale unui spațiu n-dimensional formează o bază a acestui spațiu.

Orice vector poate fi reprezentat (unic) ca o combinație liniară finită de elemente de bază:

46. ​​​​Coordonate vectoriale într-o bază dată. Operații liniare cu vectori sub formă de coordonate

punctul 4. Operații liniare cu vectori încoordonaformăînregistrări.

Fie un spațiu de bază și să fie cei doi vectori arbitrari ai săi. Fie și reprezentarea acestor vectori în formă de coordonate. Fie, în continuare, un număr real arbitrar. În aceste notații, este valabilă următoarea teoremă.

Teorema. (Despre operațiile liniare cu vectori sub formă de coordonate.)

Fie Ln un spațiu arbitrar n-dimensional, B = (e1,….,en) să fie o bază fixă ​​în el. Atunci orice vector x aparținând lui Ln are o corespondență unu-la-unu cu o coloană a coordonatelor sale în această bază.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Pentru două planuri sunt posibile următoarele variante de aranjare reciprocă: sunt paralele sau se intersectează în linie dreaptă.

Din stereometrie se știe că două plane sunt paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale celuilalt plan. Această condiție se numește un semn de planuri paralele.

Dacă două plane sunt paralele, atunci ele se intersectează cu un al treilea plan de-a lungul unor linii paralele. Pe baza acesteia, planuri paralele Rși Q urmele lor sunt drepte paralele (Fig. 50).

Când două avioane Rși Q paralel cu axa X, urmele lor orizontale și frontale cu o aranjare reciprocă arbitrară a planurilor vor fi paralele cu axa x, adică reciproc paralele. În consecință, în asemenea condiții, paralelismul urmelor este un semn suficient care caracterizează paralelismul planurilor în sine. Pentru paralelismul unor astfel de planuri, trebuie să vă asigurați că urmele profilului lor sunt, de asemenea, paralele. P baghetă Q w. avioane Rși Qîn figura 51 sunt paralele, iar în figura 52 nu sunt paralele, în ciuda faptului că P v || Q v, și P h y || Q h .

În cazul în care planurile sunt paralele, orizontalele unui plan sunt paralele cu orizontalele celuilalt. În acest caz, fronturile unui plan trebuie să fie paralele cu fronturile celuilalt, deoarece aceste planuri au urme paralele cu același nume.

Pentru a construi două plane care se intersectează unul cu celălalt, este necesar să găsim dreapta de-a lungul căreia se intersectează cele două plane. Pentru a construi această linie, este suficient să găsiți două puncte care îi aparțin.

Uneori, când planul este dat de urme, este ușor să găsiți aceste puncte folosind o diagramă și fără construcții suplimentare. Aici, direcția dreptei definite este cunoscută, iar construcția acesteia se bazează pe utilizarea unui punct pe diagramă.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține:

Geometrie descriptivă. Note de curs prelegere. Despre proiecții

Informații de curs despre proiecții conceptul de proiecții citind un desen .. proiecție centrală .. o idee despre proiecția centrală poate fi obținută prin studierea imaginii pe care ochiul uman o dă ..

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:

tweet

Toate subiectele din această secțiune:

Conceptul de proiectii
Geometria descriptivă este o știință care stă la baza teoretică a desenului. În această știință, sunt studiate metode de reprezentare a diferitelor corpuri și elementele lor pe un plan.

Proiecție paralelă
Proiecția paralelă este un tip de proiecție care utilizează raze proiectate paralele. Când construiți proiecții paralele, trebuie să porniți

Proiecții ale unui punct pe două planuri de proiecție
Luați în considerare proiecțiile punctelor pe două plane, pentru care luăm două plane perpendiculare (Fig. 4), pe care le vom numi frontal și planuri orizontale. Linie plată de intersecție a datelor

Lipsește axa de proiecție
Pentru a explica cum se obține pe model proiecții ale unui punct pe planuri de proiecție perpendiculare (Fig. 4), este necesar să se ia o bucată de hârtie groasă sub forma unui dreptunghi alungit. Trebuie să fie îndoit între

Proiecții ale unui punct pe trei planuri de proiecție
Luați în considerare planul de profil al proiecțiilor. Proiecțiile pe două planuri perpendiculare determină de obicei poziția figurii și fac posibilă aflarea dimensiunilor și formei sale reale. Dar sunt momente când

Coordonatele punctului
Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată folosind trei numere, numite coordonatele sale. Fiecare coordonata corespunde distantei unui punct fata de un plan pr

Proiectia unei linii drepte
Sunt necesare două puncte pentru a defini o linie. Un punct este definit de două proiecții pe planul orizontal și frontal, adică o linie dreaptă este definită folosind proiecțiile celor două puncte ale sale pe orizontală.

Urme drepte
Urma unei drepte este punctul de intersecție a acesteia cu un plan sau suprafață (Fig. 20). Urma orizontală a unei linii este un punct H

Diferite poziții ale liniei
O dreaptă se numește dreptă în poziție generală dacă nu este nici paralelă, nici perpendiculară pe niciun plan de proiecție. De asemenea, proiecțiile unei drepte în poziție generală nu sunt nici paralele, nici perpendiculare.

Dispunerea reciprocă a două linii drepte
Sunt posibile trei cazuri de aranjare a liniilor în spațiu: 1) liniile se intersectează, adică au un punct comun; 2) dreptele sunt paralele, adică nu au un punct comun, dar se află în același plan

Linii perpendiculare
Luați în considerare teorema: dacă o latură a unui unghi drept este paralelă cu planul de proiecție (sau se află în el), atunci unghiul drept este proiectat pe acest plan fără distorsiune. Vă prezentăm o dovadă pentru

Determinarea poziţiei planului
Pentru un plan de proiecție situat în mod arbitrar, punctele sale umplu toate cele trei planuri de proiecție. Prin urmare, nu are sens să vorbim despre proiecția întregului avion, trebuie să luați în considerare doar proiecțiile

Urme de avion
Urma planului P este linia de intersecție a acestuia cu un plan sau o suprafață dată (Fig. 36). Linia de intersecție a planului P cu planul orizontal se numește

Contururi și fronturi plane
Dintre liniile care se află într-un anumit plan se pot distinge două clase de drepte, care joacă un rol important în rezolvarea diferitelor probleme. Acestea sunt linii drepte, care se numesc orizontale.

Construcția de urme de avion
Luați în considerare construcția de urme ale planului P, care este dată de o pereche de drepte care se intersectează I și II (Fig. 45). Dacă o dreaptă este în planul P, atunci urmele ei se află pe urmele cu același nume

Diferite poziții ale avionului
Un plan în poziție generală este un plan care nu este nici paralel, nici perpendicular pe niciunul dintre planurile de proiecție. Urmele unui astfel de plan nu sunt nici paralele, nici perpendiculare.

Linie dreaptă paralelă cu planul
Pot exista mai multe poziții ale unei linii drepte în raport cu un anumit plan. 1. Linia se află într-un anumit plan. 2. O dreaptă este paralelă cu un plan. 3. Transfer direct

Linie dreaptă care intersectează un plan
Pentru a găsi punctul de intersecție a unei drepte și a unui plan, este necesar să construiți linii de intersecție a două plane. Luați în considerare dreapta I și planul P (Fig. 54).

Prismă și piramidă
Luați în considerare o prismă dreaptă care stă pe un plan orizontal (Fig. 56). Boabele ei laterale

Cilindru și con
Un cilindru este o figură a cărei suprafață se obține prin rotirea dreptei m în jurul axei i, situată în același plan cu această dreaptă. În cazul în care linia m

Minge, torus și inel
Când o axă de rotație I este diametrul unui cerc, atunci se obține o suprafață sferică (Fig. 66).

Linii folosite la desen
În desen sunt utilizate trei tipuri principale de linii (solide, punctate și punctate) de diferite grosimi (Fig. 76).

Locația vizualizărilor (proiecții)
În desen, sunt utilizate șase tipuri, care sunt prezentate în Figura 85. Figura arată proiecțiile literei „L”.

Abatere de la regulile de mai sus pentru aranjarea vederilor
În unele cazuri, sunt permise abateri de la regulile de construire a proiecțiilor. Dintre aceste cazuri se pot distinge: vederi parțiale și vederi situate fără o legătură de proiecție cu alte vederi.

Numărul de proiecții care definesc acest corp
Poziția corpurilor în spațiu, forma și dimensiunea sunt de obicei determinate de un număr mic de puncte selectate corespunzător. Dacă, atunci când înfățișați o proiecție a unui corp, acordați atenție

Rotirea unui punct în jurul unei axe perpendiculare pe planul proiecțiilor
Figura 91 prezintă axa de rotație I, care este perpendiculară pe planul orizontal, și un punct A situat arbitrar în spațiu.La rotirea în jurul axei I, acest punct descrie

Determinarea lungimii naturale a unui segment prin rotire
Un segment paralel cu orice plan de proiecție este proiectat pe acesta fără distorsiuni. Dacă rotiți segmentul astfel încât să devină paralel cu unul dintre planurile de proiecție, atunci puteți defini

Construcția proiecțiilor figurii secțiunii se poate face în două moduri
1. Puteți găsi punctele de întâlnire ale marginilor poliedrului cu planul de tăiere și apoi conectați proiecțiile punctelor găsite. Ca urmare a acestui fapt, se vor obține proiecții ale poligonului dorit. În acest caz,

Piramidă
Figura 98 prezintă intersecția suprafeței piramidei cu planul de proiecție frontală P. Figura 98b prezintă proiecția frontală a punctului de întâlnire al nervurii KS cu planul

secțiuni oblice
Secțiunile oblice sunt înțelese ca o serie de sarcini pentru construirea unor tipuri naturale de secțiuni ale corpului luate în considerare de către planul proiectat. Pentru a efectua o secțiune oblică, este necesar să se dezmembraze

Hiperbola ca secțiune a suprafeței unui con de către planul frontal
Să fie necesar să se construiască o secțiune a suprafeței unui con aflat pe un plan orizontal de planul P, care este paralel cu planul V. Figura 103 arată frontala

Secțiunea suprafeței cilindrului
Există următoarele cazuri de secțiune a suprafeței unui cilindru circular drept printr-un plan: 1) un cerc, dacă planul secant P este perpendicular pe axa cilindrului și este paralel cu bazele

Secțiunea suprafeței conului
În cazul general, o suprafață conică circulară include două cavități complet identice care au un vârf comun (Fig. 107c). Generatoarele unei cavități sunt o continuare a

Secțiunea suprafeței mingii
Orice secțiune a suprafeței bilei de către un plan este un cerc, care este proiectat fără distorsiuni numai dacă planul secant este paralel cu planul proiecțiilor. În cazul general, noi

secțiuni oblice
Să fie necesar să se construiască o vedere naturală a secțiunii prin planul care se proiectează frontal al corpului. Figura 110a consideră un corp delimitat de trei suprafețe cilindrice (1, 3 și 6), suprafața

Piramidă
Pentru a găsi urme ale unei linii drepte pe suprafața unui corp geometric, trebuie să desenați printr-un plan auxiliar drept, apoi să găsiți secțiunea suprafeței corpului după acest plan. Doritul va fi

Helix cilindric
Formarea unui helix. Luați în considerare Figura 113a în care punctul M se mișcă uniform de-a lungul unui anumit cerc, care este o secțiune a unui cilindru circular de planul P. Aici acest plan

Două corpuri de revoluție
Metoda de desenare a planurilor auxiliare este utilizată la construirea unei linii de intersecție a suprafețelor a două corpuri de revoluție. Esența acestei metode este următoarea. Efectuați un plan auxiliar

Secțiuni
Există câteva definiții și reguli care se aplică secțiunilor. O secțiune este o figură plată care a fost obținută ca urmare a intersecției unui corp dat cu unele

tăieturi
Definiții și reguli care se aplică tăierilor. O tăietură este o astfel de imagine condiționată a unui obiect când partea sa, situată între ochiul observatorului și planul de tăiere

Tăiere sau ruptură parțială
Tăierea se numește completă dacă obiectul reprezentat este tăiat în întregime, tăieturile rămase se numesc parțiale sau tăieturi. În figura 120, în vedere din stânga și pe plan, sunt realizate secțiuni complete. coafura