Definiția liniilor paralele. Paralele sunt două drepte care se află în același plan și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Liniile drepte AB și CD (Fig. 57) vor fi paralele. Faptul că sunt paralele se exprimă uneori în scris: AB || CD.

Teorema 34. Două drepte perpendiculare pe aceeași treime sunt paralele.

Date drepte CD și EF perpendiculare pe AB (Fig. 58)

CD ⊥ AB și EF ⊥ AB.

Se cere să se dovedească că CD || EF.

Dovada. Dacă dreptele CD și EF nu ar fi paralele, ele s-ar intersecta într-un punct M. În acest caz, două perpendiculare ar fi coborâte din punctul M la dreapta AB, ceea ce este imposibil (Teorema 11), de unde și dreapta CD || EF (CHTD).

Teorema 35. Două linii, dintre care una este perpendiculară și cealaltă oblică pe o a treia, se intersectează întotdeauna.

Având în vedere două drepte EF și CG, dintre care EF ⊥ AB și CG sunt oblice față de AB (Fig. 59).

Este necesar să se demonstreze că CG va întâlni linia EF sau că CG nu este paralel cu EF.

Dovada. Din punctul C restabilim perpendiculara CD pe dreapta AB, apoi in punctul C se formeaza un unghi DCG, pe care il vom repeta de atatea ori incat dreapta CK cade sub linia AB. Să presupunem că pentru aceasta repetăm ​​unghiul DCG de n ori, ca

Într-un mod similar, trasăm linia CE pe linia AB de asemenea de n ori, astfel încât CN = nCE.

Din punctele C, E, L, M, N construim perpendiculare LL", MM", NN". Spatiul continut intre doua segmente paralele CD, NN" si segmentul CN va fi de n ori mai mare decat spatiul cuprins intre doua perpendiculare CD. , EF și segmentul CE, deci DCNN" = nDCEF.

Spațiul închis de unghiul DCK conține spațiul DCNN”, prin urmare,

DCK > CDNN" sau
nDCG > nDCEF, de unde
DCG > DCEF.

Ultima inegalitate poate avea loc numai atunci când linia CG părăsește spațiul DCEF în timpul continuării sale, adică atunci când linia CG se întâlnește cu linia EF, prin urmare linia CG nu este paralelă cu CF (PTD).

Teorema 36. O dreaptă perpendiculară pe una dintre paralele este, de asemenea, perpendiculară pe cealaltă.

Având în vedere două drepte paralele AB și CD și o dreaptă EF perpendiculară pe CD (Fig. 60).

AB || CD, EF ⊥ CD

Se cere să se demonstreze că EF ⊥ AB.

Dovada. Dacă dreapta AB ar fi oblică față de EF, atunci două drepte CD și AB s-ar intersecta, deoarece CD ⊥ EF și AB este oblică față de EF (Teorema 35), iar liniile AB și CD nu ar fi paralele, ceea ce ar contrazice această condiție, prin urmare, linia EF este perpendiculară pe CD (PTD).

Unghiuri formate prin intersecția a două drepte cu o a treia dreaptă. La intersecția a două drepte AB și CD cu a treia dreaptă EF (Fig. 61), se formează opt unghiuri α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ. Aceste colțuri primesc nume speciale.

Cele patru unghiuri α, β, ν și ρ se numesc extern.

Cele patru unghiuri γ, δ, λ, μ se numesc intern.

Cele patru unghiuri β, γ, μ, ν și cele patru unghiuri α, δ, λ, ρ se numesc unilateral, deoarece se află pe o parte a liniei EF.

În plus, unghiurile, atunci când sunt luate în perechi, primesc următoarele nume:

Unghiurile β și μ se numesc relevante . În plus față de această pereche, aceleași unghiuri corespunzătoare vor fi perechi de unghiuri:γ și ν, α și λ, δ și ρ.

Se numesc perechile de unghiuri δ și μ, precum și γ și λ încrucișare internă .

Se numesc perechi de unghiuri β și ρ, precum și α și ν încrucișare externă .

Se numesc perechi de unghiuri γ și μ, precum și δ și λ unilateral intern .

Se numesc perechi de unghiuri β și ν, precum și α și ρ extern unilateral .

Condiții pentru ca două linii să fie paralele

Teorema 37. Două drepte sunt paralele dacă, la intersecția treilea lor, ele sunt egale: 1) unghiurile corespunzătoare, 2) încrucișarea interioară, 3) încrucișarea externă și, în final, dacă 4) suma celor interne. -laturile sunt egale cu două drepte, 5) suma unilateralelor externe este egală cu două drepte.

Să demonstrăm separat fiecare dintre aceste părți ale teoremei.

primul caz. Unghiurile corespunzătoare sunt(Fig. 62).

Dat. Unghiurile β și μ sunt egale.

Dovada. Dacă dreptele AB și CD s-ar intersecta în punctul Q, atunci s-ar obține triunghiul GQH, în care unghiul extern β ar fi egal cu unghiul intern μ, ceea ce ar contrazice teorema 22, prin urmare, dreptele AB și CD nu intersectează sau AB || CD (CHTD).

al 2-lea caz. Unghiurile interioare încrucișate sunt egale, adică δ = μ.

Dovada. δ = β ca verticală, δ = μ prin presupunere, deci β = μ. Adică, unghiurile corespunzătoare sunt egale, iar în acest caz liniile sunt paralele (primul caz).

al 3-lea caz. Unghiurile exterioare încrucișate sunt egale, adică β = ρ.

Dovada. β = ρ prin condiție, μ = ρ ca verticală, deci β = μ, deoarece unghiurile corespunzătoare sunt egale. Aceasta implică faptul că AB || CD (primul caz).

al 4-lea caz. Suma unilateralelor interne este egală cu două drepte sau γ + μ = 2d.

Dovada. β + γ = 2d ca sumă a celor adiacente, γ + μ = 2d prin presupunere. Prin urmare, β + γ = γ + μ, de unde β = μ. Unghiurile corespunzătoare sunt egale, prin urmare, AB || CD.

al 5-lea caz. Suma unilateralelor exterioare este egală cu două linii drepte, adică β + ν = 2d.

Dovada. μ + ν = 2d ca sumă a celor adiacente, β + ν = 2d prin presupunere. Prin urmare, μ + ν = β + ν, de unde μ = β. Unghiurile corespunzătoare sunt egale, prin urmare, AB || CD.

Astfel, în toate cazurile AB || CD (CHTD).

Teorema 38(versul 37). Dacă două drepte sunt paralele, atunci la intersecția celei de-a treia linii vor fi egale: 1) unghiuri transversale interne, 2) unghiuri transversale externe, 3) unghiurile corespunzătoare și sunt egale cu două drepte 4) suma dintre unilateral intern și 5) suma unghiurilor unilaterale externe.

Având în vedere două drepte paralele AB și CD, adică AB || CD (Fig. 63).

Este necesar să se demonstreze că toate condițiile de mai sus sunt îndeplinite.

primul caz. Să intersectăm două drepte paralele AB și CD cu o a treia dreaptă oblică EF. Notați cu G și H punctele de intersecție ale dreptelor AB și CD ale dreptei EF. Din punctul O al punctului mijlociu al dreptei GH aruncăm o perpendiculară pe dreapta CD și o continuăm până când intersectează linia AB în punctul P. Linia OQ perpendiculară pe CD este de asemenea perpendiculară pe AB (Teorema 36). Triunghiurile dreptunghiulare OPG și OHQ sunt egale, deoarece OG = OH prin construcție, ∠ HOQ= ∠ POG ca unghiuri verticale, deci OP = OQ.

De aici rezultă că δ = μ, adică unghiurile interioare încrucișate sunt egale.

al 2-lea caz. Dacă AB || CD, atunci δ = μ, iar din moment ce δ = β și μ = ρ, atunci β = ρ, adică. unghiurile exterioare încrucișate sunt egale.

al 3-lea caz. Dacă AB || CD, atunci δ = μ și, deoarece δ = β, atunci β = μ, prin urmare, unghiurile corespunzătoare sunt egale.

al 4-lea caz. Dacă AB || CD, atunci δ = μ, iar din moment ce δ + γ = 2d, atunci μ + γ = 2d, i.e. suma unilateralelor interne este egală cu două drepte.

al 5-lea caz. Dacă AB || CD, atunci δ = μ.

Deoarece μ + ν = 2d, μ = δ = β, deci ν + β = 2d, i.e. suma unilateralelor exterioare este egală cu două drepte.

Din aceste teoreme rezultă consecinţă. Printr-un punct, doar o singură dreaptă poate fi trasată paralelă cu o altă dreaptă.

Teorema 39. Două linii paralele cu o treime sunt paralele între ele.

Având în vedere trei linii (Fig. 64) AB, CD și EF, dintre care AB || EF, CD || EF.

Se cere să se demonstreze că AB || CD.

Dovada. Să intersectăm aceste drepte cu a patra linie GH.

Dacă AB || EF, atunci ∠ α = ∠ γ Asa Potrivit. Dacă CD || EF, atunci ∠ β = ∠ γ precum şi cele corespunzătoare. Prin urmare, ∠ α = ∠ β .

Dacă unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci liniile sunt paralele, deci AB || CD (CHTD).

Teorema 40. Unghiurile cu același nume cu laturile paralele sunt egale.

Cu același nume (ambele acute sau ambele obtuze) ABC și DEF, laturile lor sunt paralele, adică AB || DE, BC || EF (Fig. 65).

Se cere să se demonstreze că ∠ B= ∠ E.

Dovada. Continuăm partea DE până când intersectează linia BC în punctul G, apoi

∠ E = ∠ G ca corespunzătoare de la intersecția laturilor paralele cu BC și EF ale celei de-a treia linii DG.

∠ B = ∠ G ca corespunzătoare intersecției laturilor paralele AB și DG ale dreptei BC, deci

∠ E = ∠ B (RTD).

Teorema 41. Unghiurile opuse cu laturile paralele se completează între ele în două linii drepte.

Având în vedere două unghiuri opuse ABC și DEF (Fig. 66) cu laturi paralele, deci, AB || DE și BC || EF.

Este necesar să se demonstreze că ABC + DEF = 2d.

Dovada. Continuăm linia DE până când intersectează linia BC în punctul G.

∠B+ ∠ DGB = 2d ca suma unghiurilor unilaterale interioare formate prin intersecția paralelelor AB și DG a celei de-a treia drepte BC.

∠ DGB = ∠ DEF ca fiind corespunzător, prin urmare,

∠B+ ∠ DEF = 2d (PTD).

Teorema 42. Unghiurile asemănătoare cu laturile perpendiculare sunt egale și unghiurile opuse se completează între ele la două drepte.

Luați în considerare două cazuri: când A) unghiurile sunt cu același nume și când B) sunt opuse.

primul caz. Laturile a două unghiuri identice DEF și ABC (Fig. 67) sunt perpendiculare, adică DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.

Este necesar să se demonstreze că ∠ DEF = ∠ ABC.

Dovada. Desenați liniile BM și BN din punctul B paralele cu liniile DE și EF astfel încât

BM || DE, BN || EF.

Aceste drepte sunt de asemenea perpendiculare pe laturile unghiului dat ABC, i.e.

BM ⊥ AB și BN ⊥ BC.

pentru că ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, atunci

∠NBC= ∠MBA(a)

Scăzând din ambele părți ale egalității (a) pentru unghiul NBA, găsim

∠ MBN=∠ABC

Deoarece unghiurile MBN și DEF au același nume și au laturile paralele, ele sunt egale (Teorema 40).

∠ MBN = ∠DEF(b)

Ecuațiile (a) și (b) implică egalitatea

∠ ABC = ∠ DEF (phd).

al 2-lea caz. Unghiurile GED și ABC cu laturile perpendiculare sunt opuse.

Este necesar să se demonstreze că ∠ GED + ∠ ABC = 2d (Fig. 67).

Dovada. Suma unghiurilor GED și DEF este egală cu două unghiuri drepte.

GED + DEF = 2d
DEF = ABC, deci
GED + ABC = 2d (pthd).

Teorema 43. Părțile de linii paralele dintre alte drepte paralele sunt egale.

Având în vedere patru linii AB, BD, CD, AC (Fig. 68), dintre care AB || CD și BD || AC.

Este necesar să se demonstreze că AB = CD și BD = AC.

Dovada. Conectând punctul C cu punctul B prin segmentul BC, obținem două triunghiuri egale ABC și BCD, deoarece

BC - partea comună,

∠ α = ∠ β (ca încrucișare interioară de la intersecția dreptelor paralele AB și CD ale celei de-a treia drepte BC),

∠ γ = ∠ δ (ca linii transversale interioare de la intersecția dreptelor paralele BD și AC ale dreptei BC).

Astfel, triunghiurile au o latură egală și două unghiuri egale situate pe ea.

Unghiurile egale opuse α și β sunt laturi egale AC și BD, iar unghiurile egale opuse γ și δ sunt laturi egale AB și CD, prin urmare,

AC = BD, AB = CD (PTD).

Teorema 44. Liniile paralele sunt echidistante unele de altele pe toată lungimea lor.

Distanța unui punct de la o dreaptă este determinată de lungimea perpendicularei coborâte de la punct la linie. Pentru a determina distanța oricăror două puncte A și B paralele cu AB de la CD, aruncăm perpendicularele AC și BD din punctele A și B.

Având în vedere o dreaptă AB paralelă cu CD, segmentele de dreaptă AC și BD sunt perpendiculare pe dreapta CD, adică AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (Fig. 69).

Se cere să se demonstreze că AC = BD.

Dovada. Dreptele AC și BD, ambele fiind perpendiculare pe CD, sunt paralele și, prin urmare, AC și BD, ca părți ale paralelelor dintre cele paralele, sunt egale, adică AC = BD (phd).

Teorema 45(revers 43). Dacă părțile opuse a patru drepte care se intersectează sunt egale, atunci aceste părți sunt paralele.

Sunt date patru drepte care se intersectează, ale căror părți opuse sunt egale: AB = CD și BD = AC (Fig. 68).

Se cere să se demonstreze că AB || CD și BD || AC.

Dovada. Conectați punctele B și C cu dreapta BC. Triunghiurile ABC și BDC sunt egale deoarece

BC - partea comună,
AB = CD și BD = AC prin convenție.

De aici

∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ

Prin urmare,

AC || BD, AB || CD (CHTD).

Teorema 46. Suma unghiurilor unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte.

Este dat triunghiul ABC (Fig. 70).

Se cere să se demonstreze că A + B + C = 2d.

Dovada. Desenați o dreaptă CF din punctul C paralel cu latura AB. În punctul C se formează trei unghiuri BCA, α și β. Suma lor este egală cu două drepte:

BCA+ α + β = 2d

α = B (ca unghiuri transversale interne la intersecția dreptelor paralele AB și CF cu dreapta BC);

β = A (ca unghiurile corespunzătoare la intersecția dreptelor AB și CF cu dreapta AD).

Înlocuirea unghiurilor α și β valorile lor, obținem:

BCA + A + B = 2d (doctorat).

Următoarele corolare decurg din această teoremă:

Corolarul 1. Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma unghiurilor interioare care nu sunt adiacente acestuia.

Dovada. Într-adevăr, din desenul 70,

∠BCD= ∠ α + ∠ β

Deoarece ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, atunci

∠BCD= ∠ A + ∠ B.

Consecința 2. Într-un triunghi dreptunghic, suma unghiurilor acute este egală cu unghiul drept.

Într-adevăr, într-un triunghi dreptunghic (Fig. 40)

A + B + C = 2d, A = d, prin urmare
B + C = d.

Corolarul 3. Un triunghi nu poate avea mai mult de un unghi drept sau obtuz.

Consecința 4. Într-un triunghi echilateral, fiecare unghi are 2/3 d .

Într-adevăr, într-un triunghi echilateral

A + B + C = 2d.

Deoarece A = B = C, atunci

3A=2d, A=2/3d.

111*. Desenați o perpendiculară din punctul A pe planul dat de: a) triunghiul BCD (Fig. 109, a); b) urme (Fig. 109.6); c) triunghiul BCD (Fig. 109, c). În toate cazurile, construiți baza perpendicularei pe un plan dat.

Rezolvare, a) Prin punctul B (Fig. 109, d) desenăm frontala B-1 a unui plan dat, iar prin punctul D - orizontalul D-2. față. proiectia perpendicularei dorite trece printr-o "perpendiculara pe b" 1 "iar cea orizontala - printr-o perpendiculara pe d-2. Baza perpendicularei (Fig. 109, e) este definita ca punctul de intersectie al acestei. perpendicular cu planul.Îl înglobăm într-un plan proiectat orizontal R (o punem după R h) și găsim linia de intersecție

intersectia acestui plan cu planul triunghiului este dreapta NM. Obținem punctul k "- proiecția frontală a bazei perpendicularei - și prin k" găsim k.

b) În fig. 109, e fata. proiecția perpendicularei este trasată în unghi drept față de urma P ϑ , iar proiecția orizontală este în unghi drept cu Ph h . Pentru a construi baza perpendicularei, o încheiem (Fig. 109, g) în planul frontal R, construim linia de intersecție a planurilor R și P - dreapta MN. Obținem punctul k - orizontul. proiecția bazei perpendicularei; găsim k din el.

c) După ce a tras orizontala B-1 (Fig. 109, a), vedem că această dreaptă este paralelă cu axa x. De aici concluzionăm că planul triunghiului este proiectant de profil. Prin urmare, perpendiculara pe aceasta este un profil drept.

Construim proiecții de profil ale triunghiului și punctului A. Dintr-un „desenăm o perpendiculară pe c” d „. Punctul k” este proiecția de profil a bazei perpendicularei. Prin k" găsim k" și k pe proiecțiile perpendicularei dorite cu același nume.

112. Aflați bazele perpendicularelor trase din punctul A:

a) la un plan definit de drepte paralele BC și DE (Fig. 110, a);

b) la planul feței SCD a piramidei SBCD (Fig. 110, b);

c) la planul feței SBD a piramidei SBCD (Fig. 110, c).

113*. Construiți pe planul dat de dreptele paralele CD și EF locul bazelor perpendicularelor trasate din punctele dreptei AB la acest plan (Fig. 111, a)

Soluţie. Locul dorit al punctelor este (Fig. 111, b) linia de intersecție a planurilor K 1 K 2, 1) dată și 2) perpendiculară pe aceasta, trasată prin dreapta AB.

Efectuăm (Fig. 111, c) într-un plan dat orizontalul C-1 și frontalul C-2. față. proiecțiile perpendicularelor sunt perpendiculare pe c"2", iar proiecțiile orizontale sunt pe c-1.

Pentru a construi locul dorit al punctelor, găsim (rio. 111, d) punctele K 1 și K 2 ale intersecției perpendicularelor trasate cu un plan dat. Linia dreaptă K 1 K 2 este locul dorit.

114. Construiţi pe planul dat de triunghiul CDE locul bazelor perpendicularelor trasate din punctele dreptei AB către acest plan (Fig. 112).

115*. Din vârful A, trageți o perpendiculară pe planul triunghiului ABC (Fig. 113, a) și puneți deoparte un segment de lungime l pe acesta.

Soluţie. Pentru a construi o perpendiculară, se trasează (Fig. 113, 6) linia orizontală A-1 și linia frământată A-2 a planului triunghiului; față. proiecția perpendicularei este perpendiculară pe a"2", iar proiecția orizontală este pe a-1.

Construcția ulterioară (Fig. 113, c) este similară cu cea efectuată în problema 20. Liniile a „d” și ad sunt proiecții ale segmentului dorit.

Această problemă are două soluții. În al doilea caz, este necesar să se continue perpendiculara pe cealaltă parte a planului dat.

116. Din punctul D se trasează o perpendiculară pe planul dat de drepte paralele AB și CD și se lasă deoparte pe ea un segment de lungime l (fig. 114).

117*. Construiți locul punctelor aflate la distanța l de un plan. Dați o soluție pentru cazurile în care planul este dat de triunghiul ABC (Fig. 115, a) sau de urme (Fig. 115, b).

Soluţie. Locul dorit al punctelor sunt două plane paralele cu cel dat și situate pe ambele părți ale acestuia la distanța l.

Pe fig. 115c arată un astfel de plan. Pentru a construi acest plan (Fig. 115, d), desenăm o perpendiculară din orice punct al acestui plan (de exemplu, C)

la plan (atenție la faptul că într-un triunghi dat, latura AC este orizontală, iar BC este frontală) și puneți deoparte pe acesta un segment CS de lungimea l. Apoi prin punctul K (Fig. 115, e) trasăm drepte KN și KM, paralele cel puțin cu laturile BC și AC ale triunghiului ABC.

Dacă planul este dat de urme (Fig. 115, b), atunci este convenabil să se ia un punct pe una dintre urme. Pe fig. 115, e, se ia un punct N pe urma P ϑ . Desenând din acest punct perpendicular pe pătrat. P și lăsând deoparte pe el un segment egal cu l, desenăm prin punctul K (Fig. 1 \ 5, g) CD orizontal și AB frontal al planului dorit.

118. Construiți locul punctelor îndepărtate de pătrat. P (Fig. 116) la distanța l. Dați două soluții.

119*. Desenați o perpendiculară pe dreapta BC din punctul său A până când se intersectează cu dreapta EF (Fig. 117, a).

Soluţie. Locul perpendicularelor pe dreapta BC, trasă din punctul A, este pătrat. P care trece prin punctul A perpendicular pe dreapta BC (Fig. 117, b). Punctul K de intersecție a acestui plan cu dreapta EF este punctul de intersecție al perpendicularei dorite cu dreapta EF.

în fig. 117, în stabilim un plan perpendicular pe BC, frontal AM și orizontal AN. Determinăm punctul K al intersecției dreptei EF cu acest plan (Fig. 117, d), înglobând EF în planul proiectant frontal R (seți-l ca o urmă R ϑ); k"a" și ka - proiecții ale perpendicularei dorite.

120. Desenați o perpendiculară de la punctul A la dreapta BC până când intersectează dreapta EF (Fig. 118).

121*. Desenați o dreaptă prin punctul A care intersectează liniile BC și ED (Fig. 119, a).

Soluţie. Locul dreptelor care trec prin punctul A și intersectează dreapta ED este planul definit de aceste elemente (Fig. 119, b). Dacă construim un astfel de plan și găsim punctul K de intersecție a acestuia cu a doua dreaptă (BC), atunci linia dorită va trece prin punctele A și K. O astfel de construcție se realizează în fig. 119, c și 119, d, unde mai întâi planul definit de punctul A și dreapta ED este exprimat prin triunghiul AED, iar apoi punctul K de intersecție a celei de-a doua drepte (BC) cu planul acestui triunghi este găsite.

Linia dorită trece prin punctele A și K și intersectează dreapta ED în punctul M (fig. 119.6). Desigur, cu construcția exactă a proiecției, m și m „ar trebui să fie pe linia de legătură m” m, perpendicular pe axa x.

Această problemă poate fi rezolvată în alt mod: luați două plane - unul definit de punctul A și dreapta ED (așa cum se face în Fig. 119, c), iar celălalt de punctul A și dreapta BC. Linia de intersecție a acestor două plane n va fi linia dreaptă dorită care trece prin punctul A și se intersectează BC în ED,

122. Desenați o dreaptă prin punctul A care se intersectează:

a) muchia SD și latura BC a bazei piramidei SBCD (Fig. 120, a),

b) muchia BG şi latura EF a bazei superioare a prismei (Fig. 120.6).

123*. Construiți locul punctelor echidistante de punctele A și B (Fig. 121, a).

Soluţie. Locul dorit este un plan care trece prin punctul de mijloc al segmentului AB perpendicular pe acesta.

Împărțim proiecțiile segmentului AB la jumătate (Fig. 121, b). Prin mijloc (punctul C) desenăm orizontalul CD ⊥ AB și frontalul CE ⊥ AB (Fig. 121, c) a planului dorit. Pentru a exprima acest plan în termeni de urme, trebuie să precizăm axa proiecțiilor și să construim cel puțin un front. trasă orizontală (punctul N, fig. 121, a) și prin ea se trage urma corespunzătoare pl. p. Urma Р ϑ ⊥ a"b", și urma P h ⊥ ab (sau || nс).

124. Construiți locul punctelor echidistante de punctele A și B (Fig. 122, a și b). În primul caz, dați răspunsul fără urme, iar în al doilea - în urme.

125*. Construiți proiecția lipsă a punctului K, echidistant de punctele A și B (Fig. 123, a).

Soluţie. Deoarece locul tuturor punctelor din spațiu echidistante de punctele A și B este un plan care trece prin mijlocul segmentului AB perpendicular pe acesta, punctul K trebuie să aparțină acestui plan.

Pe fig. 123b, un astfel de plan este definit de CE frontal și CD orizontal care trece prin mijlocul segmentului AB.

Desenăm (Fig. 123, c) prin k „proiecție frontală la” 1 „orizontale ale planului și construim proiecția orizontală a acestuia, pe care marchem punctul k - proiecția dorită a punctului K-

126. Construiți proiecția lipsă a segmentului CD, al cărui punct este echidistant de punctele A și B (Fig. 124).

127*. Construiți pe plan locul punctelor echidistante de două puncte date A și B: a) planul este dat de drepte paralele (Fig. 125, a); b) planul este dat de urme (Fig. 125, b).

Soluţie. Deoarece locul punctelor echidistant de punctele A și B este un plan care trece prin mijlocul segmentului AB perpendicular pe acesta (Fig. 125, c), locul dorit va fi linia de intersecție a acestui plan cu cel dat ( linie dreaptă MN).

Pe fig. 125, d, planul perpendicular pe segmentul AB din mijlocul său este exprimat prin KS frontal și TS orizontal.

Acum trebuie să găsim linia de intersecție a două plane, ceea ce se face prin găsirea punctelor de intersecție a dreptelor DE și FG (Fig. 125, e), definind un plan dat, cu un plan exprimat prin orizontală TS și KS frontal (vezi problema 86).

Pe fig. 125, e planul Q, perpendicular pe segmentul AB din mijlocul său, se exprimă prin urme. Găsim punctele M și N de intersecție ale urmelor omonime ale planurilor P și Q și trasăm prin ele dreapta dorită MN (Fig. 125, g).

128. Construiți locul punctelor echidistante de punctele A și B:

a) pe planul definit de triunghiul CDE (Fig. 126, a);

b) pe pătrat. P (Fig. 126, b).

129* Se dau planul triunghiului CDE si dreapta AB (Fig. 127, a). Desenați o dreaptă în acest plan care intersectează AB în unghi drept.

Soluţie. Linia dorită se va dovedi (Fig. 127, b) drept linia de intersecție a planului triunghiului (P) cu pl. Q, perpendicular pe AB și care trece prin punctul (K) de intersecție a lui AB cu un plan dat.

Așadar, găsim (Fig. 127, c) punctul K al intersecției dreptei AB cu planul triunghiului CDE. Planul de proiectare froial R, trasat prin dreapta AB, a fost luat ca plan auxiliar. După ce am găsit proiecțiile k și k ", desenăm prin ele proiecțiile orizontalei și ale frontului planului perpendicular pe AB (Fig. 127, d). Pentru a construi linia de intersecție dorită a planurilor, găsim (Fig. . 127, e) punctul (m"; m) de intersecție a triunghiului lateral ED cu un plan prin punctul K. Linia MK (m "k"; mk) este linia dorită

130. Având în vedere o dreaptă AB și un plan definit de drepte paralele CD și EF. Desenați în acest plan o dreaptă care intersectează dreapta AB în unghi drept (Fig. 128).

131. Având în vedere o dreaptă AB și pl. R. Desenați în acest plan o dreaptă care intersectează dreapta AB în unghi drept (Fig. 129).

132*. Având în vedere planul unui triunghi LMN și dreptele AE și FG. Construiți un paralelogram a cărui latură AD se află pe dreapta AE, latura AB este paralelă cu planul triunghiului, vârful B aparține dreptei FG, diagonala BD este perpendiculară pe latura AD (Fig. 130, a).

Soluţie. Să schițăm un plan de soluție (Fig. 130, b și c).

1. Prin punctul A treceți un plan (P) paralel cu planul triunghiului LMN.

2. Aflați punctul de intersecție (B) al dreptei FG cu pl. R.

3. Prin punctul B, trasați un plan (Q) perpendicular pe dreapta AE.

4. Aflați punctul de intersecție (D) al dreptei AE cu pl. Q.

5. Desenați un segment AB și o dreaptă paralelă cu acesta prin punctul D și prin B - o dreaptă paralelă cu AD.

Pe fig. 130, c și d arată construcția pătratului. P paralel cu planul triunghiului LMN. pl. P prin punctul A este dat de două drepte care se intersectează A-1 și A-2, dintre care A-1 este paralelă cu LM și A-2 este paralelă cu LN.

Aceleași figuri arată găsirea punctului B al intersecției dreptei FG cu pl. P, pentru care prin FG este trasat un plan S proiectat frontal, dat de urma S ϑ . orizont. proiecția 1-2 a dreptei de intersecție a planurilor P și S traversează orizontul. proiecția fg la punctul b. Din punctul b găsim proiecția lui b" pe f"g".

Pe fig. 130, d arată construcția pătratului. Q perpendicular pe AE. Acest plan este trasat prin punctul B și este exprimat prin B-4 orizontal și B-3 frontal, perpendicular pe AE. Același desen arată construcția punctului D, în care dreapta AE intersectează pl. Q exprimat prin B-4 orizontal și B-3 frontal.

Un plan T proiectat orizontal este trasat prin AE, exprimat prin urma sa Th , sunt construite proiecțiile 3-4 și 3"4" ale liniei de intersecție a planurilor T și Q și proiecțiile d" și d.

Pe fig. 130, e arată construcția paralelogramului dorit, pentru care proiecțiile a „b” și ab, a „d” și ad a două laturi ale paralelogramului, iar apoi b „c” || anunț"; bc || anunț; d"c" || a „b și dc || ab. Punctele c” și c trebuie să fie pe linia de legătură cc”, perpendiculară pe axa x.

133. Sunt date triunghiul LMN și liniile AE și FG. Construiți un paralelogram a cărui latură AD se află pe dreapta AE, latura AB este paralelă cu planul triunghiului, vârful B aparține dreptei FG, diagonala BD este perpendiculară pe latura AD (Fig. 131).

134*. Prin punctul A, trasați o dreaptă paralelă cu pătratul. P și planul triunghiului CDE (Fig. 132, a).

Soluţie. Dacă linia dorită trebuie să fie paralelă simultan cu două plane, atunci trebuie să fie paralelă cu linia de intersecție a acestor plane

(orez, 132, b). Introducând două plane auxiliare T și S, găsim linia de intersecție a planurilor MN (Fig. 132, c). Proiecțiile dreptei dorite b „f” și bf trec prin a” și a paralelă cu proiecțiile dreptei MN cu același nume cu ele (Fig. 132, d).

i3s. Prin punctul A, trasați o dreaptă paralelă cu pătratul. P și planul dat de dreptele care se intersectează DE și DF (Fig. 133).

136. Desenați o dreaptă prin punctul A paralelă cu pătratul. P și planul dat de drepte paralele DE și FG (Fig. 134).

137*. Desenați linii drepte, fiecare dintre acestea fiind separată de pătrat. P la distanța l 1, iar din planul dat de dreapta BC și punctul A, la distanța l 2 (Fig. 135, a).

Soluţie. Soluția se bazează pe ideea locului liniilor drepte distanțate de un plan dat la o anumită distanță, adică de la un plan paralel cu cel dat.

Dreptele dorite sunt dreptele MN ale intersectiei a doua plane Q, paralele cu patratul. P si situat pe ambele laturi ale acestuia.la distanta l 1, cu doi

plane S paralele cu cel de-al doilea dintre planurile date și distanțate de acesta cu o distanță l 2 . Pot exista patru astfel de linii în total. Pe fig. 135b arată una dintre ele.

Pe fig. 135, c arată: 1) trasarea unei perpendiculare pe pătrat. P din punctul M 1 luat în el și construcția punctului K 1 pe această perpendiculară la o distanță M 1 K 1 \u003d l 1; 2) desenați o perpendiculară pe planul dat de punctul A și dreapta BC din punctul A (folosind linia orizontală A-2 și linia frontală A-3) și construiți punctul K 2 pe această perpendiculară la o distanță AK 2 \u003d l 2

Pe fig. 135, d arată trecerea prin punctul K 1 pl.Q paralel cu pl. P și prin punctul planului K 2 exprimat prin orizontalul K 2 5 și, respectiv, frontalul K 2 6, paralel cu orizontalul A-2 și frontalul A-3, aparținând planului dat de punctul A și linia dreaptă BC.

Pe fig. 135, d o linie de intersecție a pl. Q și planul S, exprimate prin orizontală K 2 5 și frontala K 2 6. Linia rezultată MN este paralelă cu ambele plane date.

138. Desenați una dintre liniile drepte, distanțate de pătrat. P la distanța l 1 și din planul triunghiului ABC la distanța l 2 (Fig. 136).

139*. Desenați o dreaptă care intersectează dreptele date AB și CD și paralelă cu dreapta EF (Fig. 137, a).

Soluţie. Să schițăm un plan pentru rezolvarea problemei (rns. 137, b).

1. Desenați un plan (Q) prin dreapta CD paralelă cu dreapta EF.

2. Găsiți un punct (K) în care dreapta AB intersectează pătratul. Q.

3. Desenați o dreaptă (KM) prin punctul K paralel cu dreapta dată EF.

Pe fig. 137, în construcţia pătratului se arată. Q trecând prin linia CD și linia paralelă EF Pl. Q este exprimat prin dreapta CD și dreapta DG care o intersectează, trasate prin punctul D paralel cu EF.

Pe fig. 137, c arată construcția punctului K, în care dreapta AB intersectează pătratul. Q. Dreapta AB este închisă în planul proiectat frontal R, exprimat prin urma sa R ​​ϑ . pl. R traversează pătratul. Q în linie dreaptă 1-2. La intersecția dintre 1-2 și ab se obține o proiecție a lui k; prin punctul k găsim frontul. proiecția k”.

În sfârșit, în fig. 137, d arată proiecțiile km și k „m” ale dreptei dorite: k „m” || e"f" și km || ef. Desigur, proiecțiile m „și m trebuie obținute pe linia de legătură m” m, perpendiculară pe axa x.

140. Desenați o dreaptă care intersectează dreptele date AB și CD și paralelă cu dreapta EF (Fig. 138).

141. Desenați o dreaptă care intersectează dreptele date AB și CD, paralelă cu dreapta EF (Fig. 139).

142*. Liniile date EF, MN, KL și HI. Construiți un dreptunghi ABCD, în care latura AB este paralelă cu dreapta EF, vârful A se află pe dreapta KL, vârful B se află pe dreapta MN și vârful C se află pe dreapta HI (Fig. 140, a).

Soluţie. Latura AB trebuie să intersecteze KL și MN și să fie paralelă cu EF (vezi problema 139).

Dacă (Fig. 140.6) trageți cel puțin prin punctul G, situat pe KL, o dreaptă paralelă cu EF, atunci obținem pl. Q paralel cu EF. Apoi, trebuie să găsiți punctul B al intersecției acestui plan cu dreapta MN și să trageți prin punctul B până la pătrat. Q. Linie dreaptă paralelă cu EF. Această dreaptă AB intersectează liniile MN și KL și este paralelă cu EF.

Construcția este prezentată în fig. 140, c. Deoarece laturile BC și AB trebuie să fie reciproc perpendiculare, desenăm (Fig. 140, ghid) prin punctul B pl. P, perpendicular pe latura AB, și construiți un punct C de intersecție cu dreapta HI.

Desenați drepte prin punctele A și C (Fig. 140, d și e), paralele cu liniile BC și AB, până când se intersectează în punctul D.

143.. Dată piramida SEFG și linia MN (Fig. 141). Construiți un dreptunghi ABCD cu latura AB paralelă cu dreapta MN, vârful A se află pe muchia SF, vârful AB se află pe latura bazei EG, vârful D se află pe muchia SE.

144. Sunt date piramida SEFG și linia MN (Fig. 142). Construiți un dreptunghi ABCD cu latura AB paralelă cu dreapta MN, vârful A situat pe muchia SG, vârful B pe latura bazei EF și vârful D pe muchia SF.

145*. Desenați o dreaptă prin punctul A paralel cu planul dat de drepte paralele ED și FG și care intersectează dreapta BC (Fig. 143, a).

Soluţie. Puteți întocmi următorul plan pentru rezolvarea problemei (Fig. 143, b):

1) trageți un plan (P) prin punctul A paralel cu un plan dat;

2) găsiți punctul (K) de intersecție a aeronavei pe pătrat. R;

3) trageți linia dorită AK.

Pe fig. 143, în pl. P, tras prin punctul A, se exprimă printr-o dreaptă AM || ED (a „m” || e „d”, am || ed) și AN orizontal, pentru menținerea orizontului. ale căror proiecţii

orizontalul E-1 este luat în planul definit de liniile ED și FG (an || ef). Pe fig. 143, d arată construcția punctului K, în care dreapta dată BC intersectează pătratul. R: un plan proiectat frontal este trasat prin BC (este exprimat

urmând R ϑ), se construiesc proiecțiile 2 „3” și 2-3 ale dreptei de intersecție a planelor P și R, se obține un punct k la intersecția dreptei 2-3 și bс. Prin proiecția k se găsește proiecția k.Proiecțiile dreptei dorite a „k” și ak.

146. Prin punctul A (Fig. 144) trageți o dreaptă paralelă cu pătratul. P și dreapta de intersectare BC.

147. Desenați o dreaptă prin punctul A (Fig. 145) paralelă cu planul dat de dreptele care se intersectează DE și DF și care intersectează dreapta BC.

148*. Construiți locul punctelor echidistante de punctele date A, B și C (Fig. 146, a),

Soluţie. Locul geometric dorit este linia de intersecție MN (Fig. 146, b) a planurilor P și, respectiv, Q, perpendiculară pe segmentele AB și BC și care trece prin punctele K 1 și K 2 din punctele medii ale acestor segmente. Pe fig. 146, acestea

avioanele sunt exprimate prin urmele lor. Folosind (Fig. 146, d) punctele de intersecție ale urmelor cu același nume ale planelor, construim linia intersecției lor MN.

149. Construiți locul punctelor echidistante de punctele date A, B și C (Fig. 147).

150*. Este dat triunghiul ABC (Fig. 148, a). Construiți o piramidă SABC, al cărei vârf S este echidistant de punctele A, B și C. Distanța de la punctul S la pătrat. V este de 1,7 ori distanța sa față de pătrat. N.

Soluţie. Locul punctelor echidistant de punctele A, B și C (vezi problema 148 *) este linia de intersecție a MN planelor Q și P, trasată prin punctele medii (K 1 și K 2) ale segmentelor AB și BC perpendiculare pe acestea. (Fig. 148, b și c). Vârful S trebuie să se afle pe această linie. Locul punctelor pentru care ordonata este de 1,7 ori aplicatul este planul axial T; urma sa de profil T ω trece (Fig. 148, c) prin punctul O și punctul a cărui distanță până la

axa y este de 10 unități, iar până la axa z este de 17 unități. Punctul S aparține acestui plan. Proiecția de profil s " a vârfului piramidei este situată la intersecția m " n " cu urma T ω (în figură, pentru a simplifica desenul, se construiește proiecția de profil a punctului D situat pe dreapta MN ). Din s" găsim s "și s. În Fig. 148, sunt prezentate d proiecții ale piramidei dorite.

151. Este dat triunghiul ABC (Fig. 149). Construiți proiecții ale piramidei SABC, al cărei vârf S este echidistant de vârfurile bazei lui ABC și se află în pătrat. v.

152*. Sunt date punctele A, L, M și N (Fig. 150, a). Construiți un paralelogram ABCD al cărui vârf B se află pe pătrat. H, latura CD - pe o linie dreaptă echidistant de punctele L, M și N, vârful D echidistant de planurile V și H.

Soluţie. Deoarece latura CD a paralelogramului dorit trebuie să se afle pe o dreaptă echidistantă de cele trei puncte, începem prin a construi această dreaptă. O construcție asemănătoare a fost deja întâlnită: dreapta EF se obține ca o dreaptă de intersecție a două plane (Fig. 150, 6 și c) P și Q, trasate perpendicular pe segmentele LM și MN prin punctele mijlocii ale acestora. Punctul D de pe această dreaptă se găsește din condiția ca

este echidistant de pătrat. V și pl. H (Fig. 150, d): tragem o linie auxiliară f "5 prin punctul f la același unghi față de axa x ca și dreapta f" e ", obținem un punct d pe proiecția ef și de-a lungul ei d", în plus, d " 6 = d-6.

Deci, am obținut unul dintre vârfurile paralelogramului necesar (punctul D) și direcția laturii care trece prin acest punct (linia dreaptă EF). Trecând prin dat

punctul A este o dreaptă paralelă cu EF, obținem latura AB, știind că, prin condiție, punctul B trebuie să fie în pătrat. N.

Rămâne de finalizat construcția proiecțiilor paralelogramului desenând a „b” și ab (Fig. 150.6), b „c” || a"d" și bc || anunț. Punctele c" și c trebuie să fie pe linia de comunicație cu" c, perpendicular pe axa x.

153. Sunt date punctele A, L, M și N (Fig. 151). Construiți un paralelogram ABCD al cărui vârf B se află pe pătrat. H, latura CD se află pe o dreaptă echidistant de punctele L, M și N, vârful D este echidistant de pl. V şi pl.H

154. Este dat triunghiul ABC (Fig. 152). Construiți proiecții ale piramidei SABC, al cărei vârf S este echidistant de punctele A, B și C și se află la distanțe egale de pătrat. V și pl. H.

INTERSECȚIA UNEI LINEI CU UN AVION ȘI INTERCECTAREA A DOUA PLANURI

Construcția punctului de intersecție a unei drepte cu un plan proeminent se reduce la construirea unei a doua proiecții a unui punct pe diagramă, deoarece o proiecție a unui punct se află întotdeauna pe urma planului de proiectare, deoarece tot ceea ce este în planul de proiectare este proiectat pe una dintre urmele planului. Pe fig. 224,a arată construcția punctului de intersecție al dreptei EF cu planul frontal al triunghiului ABC (perpendicular pe planul V) Pe planul V, triunghiul ABC este proiectat în segmentul a „c” a dreptei, iar punctul k "va fi de asemenea situat pe această linie și va fi în punctul de intersecție a lui e "f" cu un "c". O proiecție orizontală este construită folosind o linie de conexiune de proiecție. Vizibilitatea unui linia dreaptă relativă la planul triunghiului ABC este determinată de poziția relativă a proiecțiilor triunghiului ABC și a dreptei EF pe planul V. Direcția de vedere din Fig. 224, a este indicată de o săgeată Secțiunea respectivă a liniei drepte, a cărei proiecție frontală este deasupra proiecției triunghiului, va fi vizibilă. La stânga punctului k „proiecția liniei drepte este deasupra proiecției triunghiului, prin urmare, această secțiune este vizibilă. pe planul H.

Pe fig. 224, b, dreapta EF intersectează planul orizontal P. Proiecția frontală k „a punctului K - punctul de intersecție al dreptei EF cu planul P - va fi în punctul de intersecție al proiecției e” f „cu urma planului Pv, deoarece planul orizontal este un plan frontal proiectat. Proiecția orizontală k a punctului K se găsește folosind linia de legătură a proiecției.

Construirea unei linii de intersecție a două plane se reduce la găsirea a două puncte comune acestor două planuri. Acest lucru este suficient pentru a construi o linie de intersecție, deoarece linia de intersecție este o linie dreaptă, iar o linie dreaptă este definită de două puncte. Când un plan proiectant se intersectează cu un plan în poziție generală, una dintre proiecțiile dreptei de intersecție coincide cu urma planului situat în planul proiecțiilor pe care planul proiectant este perpendicular. Pe fig. 225, iar proiecția frontală m „n” a dreptei de intersecție MN coincide cu urma Pv a planului P proeminent frontal, iar în fig. 225b, proiecția orizontală kl coincide cu traseul planului proiectat orizontal R. Alte proiecții ale liniei de intersecție sunt construite folosind linii de legătură de proiecție.

Construcția punctului de intersecție a unei drepte cu un plan poziția generală (Fig. 226, a) se realizează cu ajutorul unui plan auxiliar de proiectare R, care este trasat printr-o dreaptă dată EF. Se construiește o dreaptă de intersecție 12 a planului auxiliar R cu un plan dat al triunghiului ABC, se obțin două drepte în planul R: EF - o dreaptă dată și 12 - o dreaptă de intersecție construită, care se intersectează în punctul K. .

Găsirea proiecțiilor punctului K este prezentată în fig. 226b. Construcțiile sunt realizate în următoarea secvență.

Prin dreapta EF este trasat un plan auxiliar de proiecție orizontală R. Urma sa R ​​H coincide cu proiecția orizontală ef a dreptei EF.

O proiecție frontală 1"2" a dreptei de intersecție 12 a planului R cu planul dat al triunghiului ABC este construită folosind linii de proiecție, deoarece proiecția orizontală a dreptei de intersecție este cunoscută. Coincide cu urma orizontală R H a planului R.

Se determină proiecția frontală k" a punctului dorit K, care se află la intersecția proiecției frontale a acestei drepte cu proiecția 1"2" a liniei de intersecție. Proiecția orizontală a punctului se construiește folosind o proiecție. linie de conectare.

Vizibilitatea unei linii în raport cu planul triunghiului ABC este determinată de metoda punctelor concurente. Pentru a determina vizibilitatea unei linii drepte pe planul frontal al proiecțiilor (Fig. 226, b), comparăm coordonatele Y ale punctelor 3 și 4, ale căror proiecții frontale coincid. Coordonata Y a punctului 3, care se află pe dreapta BC, este mai mică decât coordonata Y a punctului 4, care se află pe dreapta EF. În consecință, punctul 4 este mai aproape de observator (direcția de vedere este indicată de o săgeată) și proiecția dreptei este reprezentată pe planul vizibil V. Linia trece prin fața triunghiului. La stânga punctului K" linia este închisă de planul triunghiului ABC.

Vizibilitatea pe planul orizontal de proiecție este afișată prin compararea coordonaților Z ale punctelor 1 și 5. Deoarece Z 1 > Z 5 , punctul 1 este vizibil. Prin urmare, în dreapta punctului 1 (până la punctul K), linia EF este invizibilă.

Pentru a construi o linie de intersecție a două plane în poziție generală, se folosesc plane secante auxiliare. Acest lucru este prezentat în fig. 227 a. Un plan este dat de triunghiul ABC, celălalt este dat de drepte paralele EF și MN. Planurile date (Fig. 227, a) sunt străbătute de al treilea plan auxiliar. Pentru ușurința construcției, planurile orizontale sau frontale sunt luate ca planuri auxiliare. ÎN acest caz planul auxiliar R este planul orizontal. El intersectează planurile date de-a lungul liniilor drepte 12 și 34, care la intersecție dau punctul K, care aparține tuturor celor trei planuri și, în consecință, a două plane date, adică situate pe linia de intersecție a planurilor date. Al doilea punct se găsește folosind al doilea plan auxiliar Q. Cele două puncte K și L găsite determină linia de intersecție a celor două plane.

Pe fig. 227b, planul auxiliar R este dat de trezirea frontală. Proiecțiile frontale ale liniilor de intersecție 1 „2” și 3”4 ale planului R cu planurile date coincid cu trasarea frontală Rv a planului R, deoarece planul R este perpendicular pe planul V și tot ceea ce este în el (inclusiv liniile de intersecție) este proiectat pe traseul său frontal Rv. Proiecțiile orizontale ale acestor linii sunt construite folosind linii de legătură de proiecție trase din proiecțiile frontale ale punctelor 1", 2", 3", 4" la intersecție. cu proiecțiile orizontale ale liniilor corespunzătoare în punctele 1, 2, 3, 4. Construite proiecțiile orizontale ale liniilor de intersecție se prelungesc până se intersectează între ele în punctul k, care este proiecția orizontală a punctului K aparținând linia de intersecție a celor două plane.Proiecția frontală a acestui punct se află pe urma Rv.

Pentru a construi al doilea punct aparținând dreptei de intersecție, se trasează un al doilea plan auxiliar Q. Pentru comoditatea construcției, planul Q este trasat prin punctul C paralel cu planul R. Apoi, pentru a construi proiecții orizontale ale dreptelor de intersecție a planului Q cu planul triunghiului ABC și cu planul dat de drepte paralele, este suficient să găsiți două puncte: c și 5 și să trasați prin ele drepte paralele cu proiecțiile construite anterior ale dreptelor de intersecție 12 și 34, din moment ce planul Q ║ R. Continuând aceste drepte până se intersectează între ele, se obține o proiecție orizontală l a punctului L aparținând dreptei de intersecție a planurilor date. Proiecția frontală l" a punctului L se află pe traseul Q v și se construiește folosind linia conexiunii de proiecție. Prin legarea proiecțiilor cu același nume ale punctelor K și L se obțin proiecțiile dreptei de intersecție dorite. .

Dacă luăm o dreaptă într-unul dintre planurile care se intersectează și construim un punct de intersecție al acestei drepte cu un alt plan, atunci acest punct va aparține dreptei de intersecție a acestor plane, deoarece aparține ambelor plane date. Să construim al doilea punct în același mod, putem găsi linia de intersecție a două plane, deoarece două puncte sunt suficiente pentru a construi o dreaptă. Pe fig. 228 prezintă o astfel de construcție a dreptei de intersecție a două plane date prin triunghiuri.

Pentru această construcție se ia una dintre laturile triunghiului și se construiește punctul de intersecție al acestei laturi cu planul celuilalt triunghi. Dacă acest lucru nu reușește, luați cealaltă parte a aceluiași triunghi, apoi a treia. Dacă acest lucru nu a condus la găsirea punctului dorit, se construiesc punctele de intersecție a laturilor celui de-al doilea triunghi cu primul.

Pe fig. 228 se construiește punctul de intersecție al dreptei EF cu planul triunghiului ABC. Pentru a face acest lucru, se trasează un plan auxiliar care se proiectează orizontal S prin linia dreaptă EF și se construiește o proiecție frontală 1 „2” a liniei de intersecție a acestui plan cu planul triunghiului ABC. Proiecția frontală 1 „2” a dreptei de intersecție, care se intersectează cu proiecția frontală e „f” a dreptei EF, dă proiecția frontală m „a punctului de intersecție M. Proiecția orizontală m a punctului M se găsește folosind linia de legătură a proiecției.Al doilea punct aparținând dreptei de intersecție a planelor triunghiurilor date , - punctul N - punctul de intersecție a dreptei BC cu planul triunghiului DEF.Prin dreapta BC, un front- se trasează planul de proiectare R, iar pe planul H, intersecția proiecțiilor orizontale ale dreptei BC și a liniei de intersecție 34 dă punctul n - proiecția orizontală a punctului dorit.Secțiunile vizibile ale triunghiurilor date sunt determinate folosind puncte concurente. pentru fiecare plan de proiecție separat. Pentru a face acest lucru, selectați un punct pe unul dintre planurile de proiecție, care este proiecția a două puncte concurente. Vizibilitatea este determinată din a doua proiecție a acestor puncte comparând coordonatele acestora.

De exemplu, punctele 5 și 6 sunt punctele de intersecție ale proiecțiilor orizontale bc și de. Pe planul de proiecție frontală, proiecțiile acestor puncte nu coincid. Comparând coordonatele lor Z, ei descoperă că punctul 5 închide punctul 6, deoarece coordonata Z 5 este mai mare decât coordonata Z 6. Prin urmare, în stânga punctului 5, partea DE este invizibilă.

Vizibilitatea pe planul frontal al proiecțiilor se determină folosind punctele concurente 4 și 7 aparținând segmentelor DE și BC, comparând coordonatele lor Y 4 și Y 7 Deoarece Y 4 > Y 7, latura DE pe planul V este vizibilă.

Trebuie remarcat faptul că atunci când se construiește punctul de intersecție al unei linii drepte cu planul unui triunghi, punctul de intersecție poate fi în afara planului triunghiului. În acest caz, conectând punctele obținute aparținând dreptei de intersecție, se conturează doar acea parte a acesteia care aparține ambelor triunghiuri.

ÎNTREBĂRI DE REVIZUIRE

1. Ce coordonate ale unui punct determină poziția sa în planul V?

2. Care este coordonatele Y și coordonatele Z ale unui punct?

3. Cum sunt situate pe diagramă proiecțiile segmentului perpendicular pe planul proiecțiilor H? Perpendicular pe planul de proiecție V?

4. Cum sunt situate proiecțiile orizontale și frontale pe diagramă?

5. Formulați poziția principală despre apartenența unui punct la o dreaptă.

6. Cum să distingem liniile care se intersectează de cele care se intersectează într-o diagramă?

7. Ce puncte se numesc concurente?

8. Cum se determină care dintre cele două puncte este vizibil dacă proiecțiile lor pe planul de proiecție frontală coincid?

9. Formulați poziția principală despre paralelismul unei drepte și al unui plan.

10. Care este procedura de construire a punctului de intersecție al unei drepte cu un plan în poziție generală?

11. Care este procedura de construire a unei linii de intersecție a două plane în poziție generală?