Dragi prieteni! Pentru tine, un alt articol cu prisme. Există un tip de sarcini în examen în care este necesar să se determine volumul poliedrului. Mai mult, nu este dat într-o „formă pură”, dar mai întâi trebuie construit. Aș spune așa - trebuie „văzut” într-un alt corp dat.
Un articol despre astfel de sarcini era deja pe blog. În sarcinile de mai jos, sunt date prisme regulate drepte - triunghiulare sau hexagonale. Dacă ai uitat complet ce este o prismă, atunci.
O prismă regulată are la bază un poligon regulat. Prin urmare, la baza unei prisme triunghiulare regulate se află un triunghi echilateral, iar la baza unei prisme hexagonale regulate se află un hexagon regulat.
La rezolvarea problemelor se folosește formula de volum piramidală, recomand să te uiți la informații.Va fi util și cu paralelipipede, principiul rezolvării sarcinilor este similar.Privește din nou formulele pe care trebuie să le cunoști.
Volumul prismei:
Volumul piramidei:
245340. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele A, B, C, A 1 prismă triunghiulară regulată ABCA 1 în 1 cu 1 , a cărui suprafață de bază este 2 și a cărei margine laterală este 3.
Avem o piramidă cu baza ABC și vârful A 1 . Aria bazei sale este egală cu aria bazei prismei (baza este comună). Înălțimea este, de asemenea, comună. Volumul piramidei este:
Raspuns: 2
245341. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele A, B, C, A 1, C 1, ale unei prisme triunghiulare regulate ABCA 1 B 1 C 1, a cărei arie de bază este 3, iar muchia laterală este 2.
Să construim poliedrul specificat pe schiță:
Aceasta este o piramidă cu bază AA 1 din 1 C și o înălțime egală cu distanța dintre muchia AC și vârful B. Dar în acest caz calcularea ariei acestei baze și a înălțimii specificate este mult prea lungă pentru a ajunge la rezultat. Este mai ușor să faci asta:
Pentru a obține volumul poliedrului specificat, este necesar din volumul prismei ABCA date 1 în 1 cu 1 scade volumul piramidei BA 1 în 1 cu 1 . Hai să scriem:
Raspuns: 4
245342. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele A 1, B 1, B, C, ale unei prisme triunghiulare regulate ABCA 1 B 1 C 1, a cărei arie de bază este 4, iar marginea laterală este 3.
Să construim poliedrul specificat pe schiță:
Pentru a obține volumul poliedrului indicat, este necesar din volumul prismei ABCA 1 în 1 cu 1 scădeți volumele a două corpuri - piramide ABCA 1 și piramidele CA 1 B 1 C 1 . Hai să scriem:
Raspuns: 4
245343. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele A, B, C, D, E, F, A 1 ale unei prisme hexagonale regulate ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , a cărei aria bazei este 4, și a cărui margine laterală este 3.
Să construim poliedrul specificat pe schiță:
Aceasta este o piramidă având o bază comună cu o prismă și o înălțime egală cu înălțimea prismei. Volumul piramidei va fi:
Raspuns: 4
245344. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele A, B, C, A 1 , B 1 , C 1 ale unei prisme hexagonale regulate ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 a cărui aria bazei este 6 și a cărei marginea laterală este 3.
Să construim poliedrul specificat pe schiță:
Poliedrul rezultat este o prismă dreaptă. Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
Înălțimea prismei originale și a celei rezultate este egală cu trei (aceasta este lungimea marginii laterale). Rămâne să se determine aria bazei, adică triunghiul ABC.
Deoarece prisma este regulată, atunci la baza ei se află un hexagon regulat. Aria triunghiului ABC este egală cu o șesime din acest hexagon, mai multe despre aceasta (articolul 6). Deci aria lui ABC este 1. Calculam:
Raspuns: 3
245345. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele A, B, D, E, A 1 , B 1 , D 1 , E 1 ale unei prisme hexagonale regulate ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 a cărei bază aria este 6, iar marginea laterală este 2.
Să construim poliedrul specificat pe schiță:
Înălțimea prismei originale și a celei rezultate este egală cu doi (aceasta este lungimea marginii laterale). Rămâne de determinat aria bazei, adică patrulaterul ABDE.
Deoarece prisma este regulată, atunci la baza ei se află un hexagon regulat. Aria cvadrilateralului ABDE este egală cu patru șesime din acel hexagon. De ce? Vezi mai multe despre aceasta (punctul 6). Prin urmare, aria ABDE va fi egală cu 4. Calculăm:
Raspuns: 8
245346. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 ale unei prisme hexagonale regulate ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 a cărei bază aria este 6, iar marginea laterală este 2.
Să construim poliedrul specificat pe schiță:
Poliedrul rezultat este o prismă dreaptă.
Înălțimea prismei originale și a celei rezultate este egală cu doi (aceasta este lungimea marginii laterale). Rămâne de determinat aria bazei, adică patrulaterul ABCD. Segmentul AD conectează punctele diametral opuse ale unui hexagon regulat, ceea ce înseamnă că îl împarte în două trapeze egale. Prin urmare, aria patrulaterului ABCD (trapez) este egală cu trei.
Calculam:
Raspuns: 6
245347. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele A, B, C, B 1 ale unei prisme hexagonale regulate ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 cu o suprafață de bază de 6 și o margine laterală de 3.
Să construim poliedrul specificat pe schiță:
Poliedrul rezultat este o piramidă cu baza ABC și înălțimea BB 1 .
* Înălțimea prismei originale și a celei rezultate este egală cu trei (aceasta este lungimea marginii laterale).
Rămâne de determinat aria bazei piramidei, adică triunghiul ABC. Este egal cu o șesime din aria unui hexagon obișnuit, care este baza prismei. Calculam:
Raspunsul 1
245357. Aflați volumul unei prisme hexagonale regulate, ale cărei margini sunt egale cu rădăcina lui trei.
Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei prismei și înălțimea acesteia.
Înălțimea unei prisme drepte este egală cu marginea ei laterală, adică ne este deja dată - aceasta este rădăcina lui trei. Calculați aria hexagonului obișnuit situat la bază. Aria sa este egală cu șase zone de triunghiuri regulate egale între ele, iar latura unui astfel de triunghi este egală cu marginea hexagonului:
* Am folosit formula ariei triunghiului - aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente cu sinusul unghiului dintre ele.
Calculați volumul prismei:
Răspuns: 13.5
Ce se poate observa mai ales? Construiește cu grijă un poliedru, nu mental, ci desenează-l pe o bucată de hârtie. Atunci probabilitatea unei erori din cauza neatenției va fi exclusă. Amintiți-vă proprietățile unui hexagon obișnuit. Ei bine, este important să ne amintim formulele de volum care au fost folosite.
Rezolvați singur două probleme de volum:
27084. Aflați volumul unei prisme hexagonale regulate cu laturile bazei egale cu 1 și marginile laterale egale cu √3.
27108. Aflați volumul unei prisme ale cărei baze sunt hexagoane regulate cu laturile 2 și muchiile laterale egale cu 2√3 și înclinate față de planul bazei la un unghi de 30 0 .
Asta e tot. Noroc!
Cu stimă, Alexandru.
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare
Determinarea volumelor corpurilor geometrice este una dintre sarcinile importante ale geometriei spațiale. Acest articol discută întrebarea ce este o prismă cu o bază hexagonală și oferă, de asemenea, o formulă pentru volumul unei prisme hexagonale obișnuite.
Definiția prismei
Din punct de vedere al geometriei, o prismă este o figură în spațiu, care este formată din două poligoane identice situate în planuri paralele. Precum și mai multe paralelograme pe care aceste poligoane le leagă într-o singură figură.
În spațiul tridimensional, o prismă de formă arbitrară poate fi obținută prin luarea oricărui poligon și segment. Mai mult, ultimul plan al poligonului nu va aparține. Apoi, plasând acest segment din fiecare vârf al poligonului, se poate obține un transfer paralel al acestuia din urmă într-un alt plan. Figura formată în acest fel va fi o prismă.
Pentru a avea o reprezentare vizuală a clasei de figuri luate în considerare, prezentăm un desen al unei prisme patrulatere.
Mulți oameni cunosc această figură sub numele de paralelipiped. Se poate observa că două poligoane identice ale prismei sunt pătrate. Ele se numesc bazele figurii. Celelalte patru laturi ale acestuia sunt dreptunghiuri, adică sunt un caz special de paralelograme.
Prisma hexagonală: definiție și tipuri
Înainte de a da formula, cum este determinat volumul unei prisme regulate hexagonale, este necesar să înțelegem clar despre ce figură vorbim. are o bază hexagonală. Adică un poligon plat cu șase laturi, același număr de unghiuri. Laturile figurii, precum și pentru orice prismă, sunt în general paralelograme. Observăm imediat că baza hexagonală poate fi reprezentată atât prin hexagoane regulate, cât și neregulate.
Distanța dintre bazele unei figuri este înălțimea acesteia. În cele ce urmează, îl vom desemna cu litera h. Geometric, înălțimea h este un segment perpendicular pe ambele baze. Dacă această perpendiculară:
- coborât din centrul geometric al uneia dintre baze;
- intersectează baza a doua tot în centrul geometric.
Figura în acest caz se numește linie dreaptă. În orice alt caz, prisma va fi oblică sau oblică. Diferența dintre aceste tipuri de prisme hexagonale poate fi văzută dintr-o privire.
O prismă hexagonală dreaptă este o figură care are hexagoane regulate la bază. Cu toate acestea, este drept. Să aruncăm o privire mai atentă asupra proprietăților sale.
Elemente ale unei prisme hexagonale regulate
Pentru a înțelege cum să calculați volumul unei prisme hexagonale obișnuite (formula este dată mai jos în articol), trebuie să vă dați seama și din ce elemente constă figura, precum și ce proprietăți are. Pentru a facilita analiza figurii, o vom arăta în figură.
Elementele sale principale sunt fețele, muchiile și vârfurile. Numărul acestor elemente se supune teoremei lui Euler. Dacă notăm P - numărul de muchii, B - numărul de vârfuri și G - fețe, atunci putem scrie egalitatea:
Hai să verificăm. Numărul de fețe ale figurii luate în considerare este 8. Două dintre ele sunt hexagoane regulate. Șase fețe sunt dreptunghiuri, așa cum se poate vedea din figură. Numărul de vârfuri este 12. Într-adevăr, 6 vârfuri aparțin unei baze, iar 6 alteia. Conform formulei, numărul de margini ar trebui să fie 18, ceea ce este corect. 12 margini se află la baze și 6 formează laturile dreptunghiurilor paralele între ele.
Revenind la obținerea formulei pentru volumul unei prisme hexagonale obișnuite, ar trebui să ne concentrăm pe o proprietate importantă a acestei figuri: dreptunghiurile care formează suprafața laterală sunt egale între ele și perpendiculare pe ambele baze. Acest lucru duce la două consecințe importante:
- Înălțimea figurii este egală cu lungimea marginii sale laterale.
- Orice secțiune laterală realizată folosind un plan de tăiere care este paralel cu bazele este un hexagon regulat egal cu aceste baze.
Zona hexagonală
Se poate ghici intuitiv că această zonă a bazei figurii va apărea în formula pentru volumul unei prisme hexagonale regulate. Prin urmare, în acest paragraf al articolului vom găsi această zonă. Un hexagon regulat împărțit în 6 triunghiuri identice ale căror vârfuri se intersectează în centrul său geometric este prezentat mai jos:
Fiecare dintre aceste triunghiuri este echilateral. Nu este foarte greu să demonstrezi acest lucru. Deoarece întregul cerc are 360 o , unghiurile triunghiurilor din apropierea centrului geometric al hexagonului sunt 360 o /6=60 o . Distanțele de la centrul geometric la vârfurile hexagonului sunt aceleași.
Acesta din urmă înseamnă că toate cele 6 triunghiuri vor fi isoscele. Deoarece unul dintre unghiurile triunghiurilor isoscele este egal cu 60 o , atunci celelalte două unghiuri sunt de asemenea egale cu 60 o . ((180 o -60 o) / 2) - triunghiuri echilaterale.
Indicați lungimea laturii hexagonului cu litera a. Atunci aria unui triunghi va fi egală cu:
S 1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a 2 .
Formula este derivată din expresia standard pentru aria unui triunghi. Atunci aria S 6 pentru hexagon va fi:
S 6 \u003d 6 * S 1 \u003d 6 * √3 / 4 * a 2 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2.
Formula pentru determinarea volumului unei prisme hexagonale regulate
Pentru a scrie formula pentru volumul cifrei în cauză, trebuie luate în considerare informațiile de mai sus. Pentru o prismă arbitrară, volumul spațiului delimitat de fețele sale se calculează după cum urmează:
Adică, V este egal cu produsul dintre aria bazei S o și înălțimea h. Deoarece știm că înălțimea h este egală cu lungimea muchiei laterale b pentru o prismă regulată hexagonală, iar aria bazei de biți corespunde cu S 6, atunci formula pentru volumul unei prisme hexagonale regulate va lua forma:
V 6 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2 * b.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme geometrice
Având în vedere o prismă regulată hexagonală. Se știe că este înscris într-un cilindru cu raza de 10 cm. Înălțimea prismei este de două ori latura bazei acesteia. Aflați volumul figurii.
Pentru a găsi valoarea necesară, trebuie să cunoașteți lungimea laterală și a nervurii laterale. Luând în considerare un hexagon obișnuit, s-a arătat că centrul său geometric este situat în mijlocul cercului descris în jurul lui. Raza acestuia din urmă este egală cu distanța de la centru până la oricare dintre vârfuri. Adică este egală cu lungimea laturii hexagonului. Aceste considerații conduc la următoarele rezultate:
a = r = 10 cm;
b = h = 2*a = 20 cm.
Înlocuind aceste date în formula pentru volumul unei prisme hexagonale regulate, obținem răspunsul: V 6 ≈5196 cm 3 sau aproximativ 5,2 litri.
O prismă este una dintre figurile volumetrice, ale căror proprietăți sunt studiate la școală în cursul geometriei spațiale. În acest articol, vom lua în considerare o prismă specifică - una hexagonală. Ce fel de figură este aceasta, cum se găsește volumul unei prisme hexagonale obișnuite și aria sa suprafeței? Răspunsurile la aceste întrebări sunt cuprinse în articol.
prismă figură
Să presupunem că avem un poligon arbitrar cu n laturi, care se află într-un anumit plan. Pentru fiecare vârf al acestui poligon, construim un vector care nu se va afla în planul poligonului. Cu această operație, obținem n vectori identici, ale căror vârfuri formează un poligon exact egal cu cel inițial. O figură delimitată de două poligoane identice și linii paralele care leagă vârfurile se numește prismă.
Fețele prismei sunt două baze, reprezentate prin poligoane cu n laturi, iar latura n suprafețe-paralelograme. Numărul de muchii P ale unei figuri este legat de numărul vârfurilor sale B și ale fețelor G prin formula lui Euler:
Pentru un poligon cu n laturi, obținem n + 2 fețe și 2 * n vârfuri. Atunci numărul de muchii va fi:
P \u003d C + D - 2 \u003d 2 * n + n + 2 - 2 \u003d 3 * n
Cea mai simplă prismă este triunghiulară, adică baza sa este un triunghi.
Clasificarea prismelor este destul de diversă. Deci, pot fi regulate și neregulate, dreptunghiulare și oblice, convexe și concave.
Prismă hexagonală
Acest articol este dedicat problemei volumului unei prisme hexagonale regulate. În primul rând, să aruncăm o privire mai atentă la această cifră.
După cum sugerează și numele, baza unei prisme hexagonale este un poligon cu șase laturi și șase colțuri. În cazul general, astfel de poligoane pot fi formate dintr-o mare varietate, cu toate acestea, pentru practică și pentru rezolvarea problemelor geometrice, un singur caz este important - un hexagon obișnuit. Are toate laturile egale între ele, iar fiecare dintre cele 6 unghiuri are 120 o. Puteți construi cu ușurință acest poligon dacă împărțiți cercul în 6 părți egale cu trei diametre (trebuie să se intersecteze la unghiuri de 60 o).
O prismă hexagonală regulată implică nu numai prezența unui poligon regulat la baza sa, ci și faptul că toate laturile figurii trebuie să fie dreptunghiuri. Acest lucru este posibil numai dacă fețele laterale sunt perpendiculare pe bazele hexagonale.
O prismă hexagonală obișnuită este o figură destul de perfectă care se găsește în viața de zi cu zi și în natură. Trebuie doar să ne gândim la forma unui fagure sau a unei chei hexagonale. În domeniul nanotehnologiei, prismele hexagonale sunt de asemenea comune. De exemplu, rețelele cristaline de hcp și C32, care sunt realizate în anumite condiții în titan și zirconiu, precum și rețelele de grafit, au forma unor prisme hexagonale.
Suprafața unei prisme hexagonale
Să trecem acum direct la problema calculării ariei și volumului prismei. Mai întâi, calculați suprafața acestei figuri.
Aria suprafeței oricărei prisme este calculată folosind următoarea ecuație:
Adică, aria dorită S este egală cu suma ariilor celor două baze S o și aria suprafeței laterale S b . Pentru a determina valoarea lui S o se poate face în două moduri:
- Calculați-l singur. Pentru a face acest lucru, hexagonul este împărțit în 6 triunghiuri echilaterale. Știind că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul înălțimii și bazei (lungimea laturii hexagonului), puteți găsi aria poligonului în cauză.
- Utilizați formula cunoscută. Este listat mai jos:
S n = n / 4 * a 2 * ctg(pi / n)
Aici a este lungimea laturii unui poligon regulat cu n vârfuri.
Evident, ambele metode duc la același rezultat. Pentru un hexagon obișnuit, aria este:
S o \u003d S 6 \u003d 3 * √3 * a 2 / 2
Este ușor să găsiți suprafața laterală, pentru aceasta trebuie să înmulțiți baza fiecărui dreptunghi a cu înălțimea prismei h, să înmulțiți valoarea rezultată cu numărul de astfel de dreptunghiuri, adică cu 6. Ca rezultat :
Folosind formula pentru suprafața totală, pentru o prismă hexagonală obișnuită, obținem:
S = 3 * √3 * a 2 + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)
Cum se află volumul unei prisme?
Volumul este o mărime fizică care reflectă aria spațiului ocupată de un obiect. Pentru o prismă, această valoare poate fi calculată folosind următoarea formulă:
Această expresie oferă un răspuns la întrebarea cum să găsiți volumul unei prisme de formă arbitrară, adică este necesar să înmulțiți aria bazei S o cu înălțimea figurii h ( distanța dintre baze).
Rețineți că expresia de mai sus este valabilă pentru orice prismă, inclusiv pentru figurile concave și oblice formate din poligoane neregulate la bază.
Formula pentru volumul unei prisme regulate hexagonale
În acest moment, am avut în vedere toate calculele teoretice necesare pentru a obține o expresie pentru volumul prismei luate în considerare. Pentru a face acest lucru, este suficient să înmulțiți zona de bază cu lungimea marginii laterale, care este înălțimea figurii. Ca rezultat, prisma hexagonală va lua forma:
V = 3 * √3 * a 2 * h / 2
Astfel, calculul volumului prismei luate în considerare necesită cunoașterea doar a două mărimi: lungimea laturii bazei acesteia și înălțimea. Aceste două cantități determină în mod unic volumul figurii.
Comparația volumelor și cilindrului
S-a spus mai sus că baza unei prisme hexagonale poate fi construită cu ușurință folosind un cerc. De asemenea, se știe că dacă creșteți numărul de laturi ale unui poligon obișnuit, atunci forma acestuia se va apropia de cerc. În acest sens, este interesant să se calculeze cât de mult diferă volumul unei prisme hexagonale obișnuite de această valoare pentru un cilindru.
Pentru a răspunde la această întrebare, este necesar să se calculeze lungimea laturii unui hexagon înscris într-un cerc. Se poate arăta cu ușurință că este egală cu raza. Notăm raza cercului cu litera R. Să presupunem că înălțimea cilindrului și a prismei este egală cu o anumită valoare h. Atunci volumul prismei este egal cu următoarea valoare:
V p = 3 * √3 * R 2 * h / 2
Volumul unui cilindru este determinat de aceeași formulă ca și volumul unei prisme arbitrare. Având în vedere că aria cercului este pi * R 2 , pentru volumul cilindrului avem:
Să aflăm raportul dintre volumele acestor cifre:
V p / V c = 3 * √3 * R 2 * h / 2 / (pi * R 2 * h) = 3 * √3 / (2 * pi)
Numărul „pi” este 3,1416. Înlocuindu-l, obținem:
Astfel, volumul unei prisme hexagonale obișnuite este de aproximativ 83% din volumul cilindrului în care este înscrisă.
Site-ul a trecut deja în revistă unele tipuri de sarcini de stereometrie care sunt incluse într-o singură bancă de sarcini pentru examenul de matematică.De exemplu, sarcini despre.
O prismă se numește regulată dacă laturile sale laterale sunt perpendiculare pe baze și un poligon regulat se află în baze. Adică, o prismă regulată este o prismă dreaptă, care are un poligon regulat la bază.
O prismă hexagonală obișnuită este un hexagon regulat la bază, fețele laterale sunt dreptunghiuri.
În acest articol, pentru tine, sarcini pentru rezolvarea unei prisme, care se bazează pe un hexagon obișnuit. Nu există particularități și dificultăți în soluție. Care este scopul? Având în vedere o prismă hexagonală obișnuită, trebuie să calculați distanța dintre două vârfuri sau să găsiți un unghi dat. Sarcinile sunt de fapt simple, până la urmă soluția se rezumă la găsirea unui element într-un triunghi dreptunghic.
Se folosește teorema lui Pitagora și. Este necesar să se cunoască definițiile funcțiilor trigonometrice dintr-un triunghi dreptunghic.
Asigurați-vă că vă uitați la informațiile despre hexagonul obișnuit în.Veți avea nevoie, de asemenea, de abilitatea de a extrage un număr mare de ele. Puteți rezolva poliedre, au calculat și distanța dintre vârfuri și unghiuri.
Pe scurt: ce este un hexagon obișnuit?
Știm că laturile unui hexagon obișnuit sunt egale. În plus, unghiurile dintre laturi sunt de asemenea egale.
* Laturile opuse sunt paralele.
informatii suplimentare
Raza unui cerc circumscris unui hexagon regulat este egală cu latura acestuia. *Acest lucru se confirmă foarte simplu: dacă conectăm vârfurile opuse ale hexagonului, obținem șase triunghiuri echilaterale egale. De ce echilateral?
Pentru fiecare triunghi, unghiul la vârful său situat în centru este 60 0 (360:6=60). Deoarece triunghiul are două laturi care au un vârf comun în centru sunt egale (acestea sunt razele cercului circumscris), atunci fiecare unghi de la baza unui astfel de triunghi isoscel este, de asemenea, egal cu 60 de grade.
Adică, un hexagon regulat, la figurat vorbind, este format din șase triunghiuri echilaterale egale.
Ce alt fapt util pentru rezolvarea problemelor ar trebui remarcat? Unghiul de vârf al unui hexagon (unghiul dintre laturile sale adiacente) este de 120 de grade.
*Nu s-a atins în mod deliberat de formulele unui N-gon obișnuit. Vom lua în considerare aceste formule în detaliu în viitor, pur și simplu nu sunt necesare aici.
Luați în considerare sarcinile:
272533. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 toate muchiile sunt egale cu 48. Aflați distanța dintre punctele A și E 1 .
Să considerăm un triunghi dreptunghic AA 1 E 1 . Conform teoremei lui Pitagora:
*Unghiul dintre laturile unui hexagon obișnuit este de 120 de grade.
Secțiunea AE 1 este ipotenuza, AA 1 și A 1 E 1 picioare. Coasta AA 1 noi stim. Piciorul A 1 E 1 putem găsi folosind folosind .
Teoremă: Pătratul oricărei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi ale sale fără a dubla produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele.
prin urmare
Conform teoremei lui Pitagora:
Raspuns: 96
*Vă rugăm să rețineți că 48 nu trebuie deloc să fie pătrat.
Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 toate muchiile sunt egale cu 35. Aflați distanța dintre punctele B și E.
Se spune că toate marginile sunt egale cu 35, adică latura hexagonului care se află la bază este 35. Și, de asemenea, așa cum am menționat deja, raza cercului descris în jurul lui este egală cu același număr.
În acest fel,
Raspuns: 70
273353. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, toate muchiile sunt egale cu patruzeci de rădăcini din cinci. Găsiți distanța dintre puncte Bși E1.
Să considerăm un triunghi dreptunghic BB 1 E 1 . Conform teoremei lui Pitagora:
Secțiunea B 1 E 1 este egală cu două raze ale unui cerc circumscris unui hexagon regulat, iar raza sa este egală cu latura hexagonului, adică
În acest fel,
Raspuns: 200
273683. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 toate muchiile sunt egale cu 45. Aflați tangenta unghiului AD 1 D.
Să considerăm un triunghi dreptunghic ADD 1 în care ANUNȚ egal cu diametrul unui cerc circumscris bazei. Se știe că raza unui cerc circumscris în jurul unui hexagon regulat este egală cu latura acestuia.
În acest fel,
Raspuns: 2
Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 toate muchiile sunt egale cu 23. Aflați unghiul DAB. Dați răspunsul în grade.
Luați în considerare un hexagon obișnuit:
În ea, unghiurile dintre laturi sunt de 120 °. Mijloace,
Lungimea muchiei în sine nu contează, nu afectează valoarea unghiului.
Raspuns: 60
Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 toate muchiile sunt egale cu 10. Aflați unghiul AC 1 C. Dați răspunsul în grade.
Să considerăm un triunghi dreptunghic AC 1 C:
Sa gasim AC. Într-un hexagon obișnuit, unghiurile dintre laturile sale sunt de 120 de grade, apoi după teorema cosinusului pentru un triunghiABC:
În acest fel,
Deci unghiul AC 1 C este egal cu 60 de grade.
Raspuns: 60
274453. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 toate muchiile sunt egale cu 10. Aflați unghiul AC 1 C. Dați răspunsul în grade.
Diferitele prisme sunt diferite unele de altele. În același timp, au multe în comun. Pentru a găsi aria bazei unei prisme, trebuie să vă dați seama ce fel arată.
Teoria generală
O prismă este orice poliedru ale cărui laturi au forma unui paralelogram. Mai mult, orice poliedru poate fi la baza sa - de la un triunghi la un n-gon. În plus, bazele prismei sunt întotdeauna egale între ele. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale - acestea pot varia semnificativ în dimensiune.
La rezolvarea problemelor, nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate fi necesar să se cunoască suprafața laterală, adică toate fețele care nu sunt baze. Suprafața completă va fi deja unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.
Uneori în sarcini apar înălțimi. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui poliedru este un segment care leagă în perechi oricare două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.
Trebuie remarcat faptul că aria bazei unei prisme drepte sau înclinate nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași cifre în fețele superioare și inferioare, atunci zonele lor vor fi egale.
prisma triunghiulara
Are la bază o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. Se știe că este diferit. Dacă atunci este suficient să ne amintim că aria sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.
Notația matematică arată astfel: S = ½ av.
Pentru a afla aria bazei într-o formă generală, formulele sunt utile: Heron și cea în care jumătate din latură este dusă la înălțimea trasă la ea.
Prima formulă ar trebui scrisă astfel: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Această intrare conține un semiperimetru (p), adică suma a trei laturi împărțită la două.
Al doilea: S = ½ n a * a.
Dacă doriți să cunoașteți aria bazei unei prisme triunghiulare, care este regulată, atunci triunghiul se dovedește a fi echilateral. Are propria formulă: S = ¼ a 2 * √3.
prismă pătrangulară
Baza sa este oricare dintre patrulaterele cunoscute. Poate fi un dreptunghi sau un pătrat, un paralelipiped sau un romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, veți avea nevoie de propria formulă.
Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa se determină astfel: S = av, unde a, b sunt laturile dreptunghiului.
Când vine vorba de o prismă patruunghiulară, aria bazei unei prisme obișnuite este calculată folosind formula pentru un pătrat. Pentru că el este cel care stă la bază. S \u003d a 2.
În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S \u003d a * n a. Se întâmplă să fie date o latură a unui paralelipiped și unul dintre unghiuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, va trebui să utilizați o formulă suplimentară: na \u003d b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii „b”, iar înălțimea este na opusă acestui unghi.
Dacă un romb se află la baza prismei, atunci va fi necesară aceeași formulă pentru a-i determina aria ca și pentru un paralelogram (deoarece este un caz special al acestuia). Dar îl puteți folosi și pe acesta: S = ½ d 1 d 2. Aici d 1 și d 2 sunt două diagonale ale rombului.
Prismă pentagonală regulată
Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri, ale căror zone sunt mai ușor de aflat. Deși se întâmplă ca figurile să poată fi cu un număr diferit de vârfuri.
Deoarece baza prismei este un pentagon regulat, aceasta poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, aria bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus), înmulțită cu cinci.
Prismă hexagonală regulată
Conform principiului descris pentru o prismă pentagonală, este posibil să se împartă hexagonul de bază în 6 triunghiuri echilaterale. Formula pentru aria bazei unei astfel de prisme este similară cu cea anterioară. Numai în ea ar trebui înmulțit cu șase.
Formula va arăta astfel: S = 3/2 și 2 * √3.
Sarcini
Nr. 1. Este dată o linie dreaptă regulată. Diagonala sa este de 22 cm, înălțimea poliedrului este de 14 cm. Calculați aria bazei prismei și întreaga suprafață.
Decizie. Baza unei prisme este un pătrat, dar latura acesteia nu este cunoscută. Puteți găsi valoarea sa din diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și de înălțimea acesteia (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Pe de altă parte, acest segment „x” este ipotenuza dintr-un triunghi ale cărui catete sunt egale cu latura pătratului. Adică x 2 \u003d a 2 + a 2. Astfel, se dovedește că a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Înlocuiți numărul 22 în loc de d și înlocuiți „n” cu valoarea sa - 14, se dovedește că latura pătratului este de 12 cm. Acum este ușor să aflați aria de bază: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori valoarea suprafeței de bază și să multiplicați de patru ori latura. Acesta din urmă este ușor de găsit prin formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și latura bazei. Adică, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm 2. Suprafața totală a prismei este de 960 cm 2 .
Răspuns. Aria de bază a prismei este de 144 cm2. Toata suprafata - 960 cm 2 .
Nr 2. Dana La baza se afla un triunghi cu latura de 6 cm.In acest caz diagonala fetei laterale este de 10 cm.Calculeaza ariile: baza si suprafata laterala.
Decizie. Deoarece prisma este regulată, baza sa este un triunghi echilateral. Prin urmare, aria sa se dovedește a fi egală cu 6 pătrat ori ¼ și rădăcina pătrată de 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm 2. Aceasta este aria unei baze a prismei.
Toate fețele laterale sunt aceleași și sunt dreptunghiuri cu laturile de 6 și 10 cm Pentru a calcula suprafețele lor, este suficient să înmulțim aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, pentru că prisma are exact atâtea fețe laterale. Apoi, zona suprafeței laterale este înfășurată 180 cm 2 .
Răspuns. Suprafețe: bază - 9√3 cm 2, suprafața laterală a prismei - 180 cm 2.
