Operația de găsire a unei derivate se numește diferențiere.
Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului dintre increment și increment al argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) au fost primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor.
Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu este necesar să se calculeze limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să se utilizeze tabelul a derivatelor şi regulile de diferenţiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.
Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul stroke descompune funcții simpleși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În plus, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.
Exemplul 1 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata sumei funcțiilor este suma derivatelor funcțiilor, adică.
Din tabelul derivatelor, aflăm că derivata lui „X” este egală cu unu, iar derivata sinusului este cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:
Exemplul 2 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Diferențiați ca derivată a sumei, în care al doilea termen cu un factor constant, poate fi scos din semnul derivatei:
Dacă există încă întrebări despre unde vine ceva, acestea, de regulă, devin clare după citirea tabelului de derivate și a celor mai simple reguli de diferențiere. Mergem la ei chiar acum.
Tabel de derivate ale funcțiilor simple
| 1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Mereu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des | |
| 2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „x”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut | |
| 3. Derivată de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate într-o putere. | |
| 4. Derivată a unei variabile la puterea lui -1 | |
| 5. Derivată a rădăcinii pătrate | |
| 6. Derivat sinus | |
| 7. Derivat de cosinus |  |
| 8. Derivată tangentă |  |
| 9. Derivat de cotangente |  |
| 10. Derivată a arcsinusului |  |
| 11. Derivată a arccosinusului |  |
| 12. Derivata arc tangentei |  |
| 13. Derivată a tangentei inverse |  |
| 14. Derivată a logaritmului natural | |
| 15. Derivata unei functii logaritmice |  |
| 16. Derivată a exponentului | |
| 17. Derivată a funcției exponențiale |
Reguli de diferențiere
| 1. Derivată a sumei sau a diferenței |  |
| 2. Derivat al unui produs |  |
| 2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant | |
| 3. Derivată a coeficientului |  |
| 4. Derivată a unei funcții complexe |  |
Regula 1Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, apoi în același punct funcțiile
și
acestea. derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.
Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-o constantă, atunci derivatele lor sunt, adică
Regula 2Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este, de asemenea, diferențiabil în același punct
și
acestea. derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.
Consecința 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:
Consecința 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecaruia dintre factori si a tuturor celorlalti.
De exemplu, pentru trei multiplicatori:
Regula 3Dacă funcţiile
diferentiabil la un moment dat și , atunci în acest moment și câtul lor este diferențiabil.u/v și
acestea. derivata unui cât de două funcții este egală cu o fracție al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul numărătorului anterior .
Unde să te uiți pe alte pagini
Când găsiți derivata produsului și coeficientul în probleme reale, este întotdeauna necesar să aplicați mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că mai multe exemple despre aceste derivate sunt în articol.„Derivata unui produs și a unui coeficient”.
Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen din sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o greșeală tipică care apare în etapa inițială a studiului derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una-două componente, această greșeală nu mai face.
Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, în care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (un astfel de caz este analizat în exemplul 10) .
O altă greșeală comună este soluția mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe dedicat unui articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.
Pe parcurs, nu te poți lipsi de transformări ale expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți în noi manuale Windows Acțiuni cu puteri și rădăciniși Acțiuni cu fracții .
Dacă cauți soluții la derivate cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca 
, apoi urmează lecția „Derivată a sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini”.
Dacă aveți o sarcină ca 
, atunci te afli la lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.
Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul
Exemplul 3 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Determinăm părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă produsul, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte:
În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă, al doilea termen cu semnul minus. În fiecare sumă, vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „x” se transformă în unu, iar minus 5 - în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori ale derivatelor:
Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:
Exemplul 4 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicam formula de diferentiere a unui cat: derivata unui cat de doua functii este egala cu o fractiune al carei numarator este diferenta dintre produsele numitorului si derivata numaratorului si numaratorului si derivata numitorului, si numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:
Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:
Dacă căutați soluții la astfel de probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și grade, cum ar fi, de exemplu, 
atunci bun venit la curs „Derivata sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini” .
Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci ai o lecție „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .
Exemplul 5 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. În această funcție, vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, cu derivata căreia ne-am familiarizat în tabelul derivatelor. Conform regulii de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Exemplul 6 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. În această funcție, vedem coeficientul, al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Conform regulii de diferențiere a coeficientului, pe care am repetat-o și aplicat în exemplul 4, și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Pentru a scăpa de fracția din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .
Este absolut imposibil să rezolvi probleme fizice sau exemple de matematică fără cunoștințe despre derivată și metode de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?
Sensul geometric și fizic al derivatului
Să existe o funcție f(x) , dat într-un anumit interval (a,b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența valorilor sale x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. Modificarea sau creșterea unei funcții este diferența dintre valorile funcției în două puncte. Definiție derivată:
Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.
Altfel se poate scrie asa:
Ce rost are să găsești o astfel de limită? Dar care:
derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.
Sensul fizic al derivatului: derivata în timp a traseului este egală cu viteza mișcării rectilinie.
Într-adevăr, încă din vremea școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:
Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:
Prima regulă: scoateți constanta
Constanta poate fi scoasă din semnul derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .
Exemplu. Să calculăm derivata:
Regula a doua: derivata sumei functiilor
Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.
Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.
Aflați derivata unei funcții:
Regula trei: derivata produsului de funcții
Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:
Exemplu: găsiți derivata unei funcții:
Soluţie: 
Aici este important de spus despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.
În exemplul de mai sus, întâlnim expresia:
În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, luăm în considerare mai întâi derivata funcției externe față de argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar însuși față de variabila independentă.
Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții
Formula pentru determinarea derivatei unui cât de două funcții:
Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.
Cu orice întrebare pe acest subiect și alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil control și să vă ocupați de sarcini, chiar dacă nu v-ați mai ocupat niciodată de calculul derivatelor.
În această lecție vom învăța cum să aplicăm formule și reguli de diferențiere.
Exemple. Găsiți derivate ale funcțiilor.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Aplicarea Regulii eu, formule 4, 2 și 1. Primim:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. Rezolvăm similar, folosind aceleași formule și formula 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Aplicarea Regulii eu, formule 3, 5
și 6
și 1.
Aplicarea Regulii IV, formule 5
și 1
.
În al cincilea exemplu, conform regulii eu derivata sumei este egală cu suma derivatelor și tocmai am găsit derivata primului termen (exemplu 4 ), prin urmare, vom găsi derivate al 2-leași al 3-lea termeni, și pentru 1 termen, putem scrie imediat rezultatul.
Diferențierea al 2-leași al 3-lea termeni conform formulei 4
. Pentru a face acest lucru, convertim rădăcinile gradului al treilea și al patrulea în numitori în puteri cu exponenți negativi și apoi, conform 4
formula, găsim derivatele puterilor.
Priviți acest exemplu și rezultatul. Ai prins modelul? Bun. Aceasta înseamnă că avem o formulă nouă și o putem adăuga la tabelul nostru de derivate.
Să rezolvăm al șaselea exemplu și să obținem încă o formulă.
Folosim regula IV si formula 4
. Reducem fracțiile rezultate.
Ne uităm la această funcție și derivata ei. Desigur, ați înțeles modelul și sunteți gata să numiți formula:
Învățați formule noi!
Exemple.
1. Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției y= x2 dacă valoarea iniţială a argumentului a fost 4 , și noul 4,01 .
Soluţie.
Noua valoare a argumentului x \u003d x 0 + Δx. Înlocuiți datele: 4.01=4+Δx, de unde și incrementul argumentului Δх=4,01-4=0,01. Creșterea unei funcții, prin definiție, este egală cu diferența dintre valorile noi și anterioare ale funcției, adică Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Din moment ce avem o funcție y=x2, apoi Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Răspuns: increment de argument Δх=0,01; creșterea funcției Δy=0,0801.
A fost posibil să găsiți incrementul funcției într-un alt mod: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.
2. Aflați unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției y=f(x) la punct x 0, dacă f "(x 0) \u003d 1.
Soluţie.
Valoarea derivatei la punctul de contact x 0și este valoarea tangentei pantei tangentei (sensul geometric al derivatei). Avem: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, deoarece tg45°=1.
Răspuns: tangenta la graficul acestei functii formeaza un unghi cu directia pozitiva a axei Ox, egal cu 45°.
3. Deduceți formula derivatei unei funcții y=xn.
Diferenţiere este actul de a găsi derivata unei funcții.
La găsirea derivatelor, se folosesc formule care au fost derivate pe baza definiției derivatei, în același mod în care am derivat formula pentru gradul derivat: (x n)" = nx n-1.
Iată formulele.
Tabel de derivate va fi mai ușor de memorat pronunțând formulări verbale:
1. Derivata unei valori constante este zero.
2. Cursa X este egală cu unu.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei.
4. Derivata unui grad este egală cu produsul exponentului acestui grad cu gradul cu aceeași bază, dar exponentul este cu unul mai puțin.
5. Derivata rădăcinii este egală cu una împărțită la două din aceleași rădăcini.
6. Derivata lui unu împărțit la x este minus unu împărțit la x pătrat.
7. Derivata sinusului este egală cu cosinusul.
8. Derivata cosinusului este egală cu minus sinus.
9. Derivata tangentei este egală cu unu împărțit la pătratul cosinusului.
10. Derivata cotangentei este minus unu împărțit la pătratul sinusului.
Noi predam reguli de diferențiere.
1.
Derivata sumei algebrice este egală cu suma algebrică a termenilor derivați.
2. Derivata produsului este egală cu produsul derivatei primului factor cu al doilea plus produsul primului factor cu derivata celui de-al doilea.
3. Derivata lui „y” împărțită la „ve” este egală cu o fracție, în numărătorul căreia „y este o lovitură înmulțită cu „ve” minus „y, înmulțit cu o lovitură”, iar la numitor - „ve pătrat ”.
4. Un caz special al formulei 3.
Să învățăm împreună!
Pagina 1 din 1 1
Dacă urmărim definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la incrementul argumentului Δ X:
Totul pare a fi clar. Dar încercați să calculați prin această formulă, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.
Pentru început, observăm că așa-numitele funcții elementare pot fi distinse de întreaga varietate de funcții. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și introduse în tabel. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut, împreună cu derivatele lor.
Derivate ale funcţiilor elementare
Funcțiile elementare sunt toate enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. Mai mult, nu este greu să le memorezi - de aceea sunt elementare.
Deci, derivatele funcțiilor elementare:
| Nume | Funcţie | Derivat |
| Constant | f(X) = C, C ∈ R | 0 (da, da, zero!) |
| Gradul cu exponent rațional | f(X) = X n | n · X n − 1 |
| Sinusul | f(X) = păcat X | cos X |
| Cosinus | f(X) = cos X | − păcat X(minus sinus) |
| Tangentă | f(X) = tg X | 1/cos 2 X |
| Cotangentă | f(X) = ctg X | − 1/sin2 X |
| logaritmul natural | f(X) = jurnal X | 1/X |
| Logaritmul arbitrar | f(X) = jurnal A X | 1/(X ln A) |
| Functie exponentiala | f(X) = e X | e X(Nimic nu s-a schimbat) |
Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:
(C · f)’ = C · f ’.
În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:
(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .
Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu prea elementare, dar și diferențiabile după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.
Derivată a sumei și diferenței
Lasă funcțiile f(X) și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare, diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.
f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.
Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, deci:
f ’(X) = (X 2+ păcat X)’ = (X 2)' + (păcat X)’ = 2X+ cosx;
Argumentăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):
g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).
Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X
2 + 1).
Derivat al unui produs
Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata sumei este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„\u003e egal cu produsul derivatelor. Dar smochine pentru tine! Derivatul produsului este calculat folosind o formulă complet diferită. Și anume:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formula este simplă, dar adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.
O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .
Funcţie f(X) este un produs al două funcții elementare, deci totul este simplu:
f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X păcat X)
Funcţie g(X) primul multiplicator este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă de la aceasta. Evident, primul multiplicator al funcției g(X) este un polinom, iar derivata sa este derivata sumei. Avem:
g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .
Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e
X
.
Rețineți că în ultimul pas, derivata este factorizată. Formal, acest lucru nu este necesar, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a explora funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi găsite și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie descompusă în factori.
Dacă există două funcții f(X) și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție, puteți găsi și derivata:
Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Dar așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.
O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:
Există funcții elementare în numărătorul și numitorul fiecărei fracții, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:
Prin tradiție, factorăm numărătorul în factori - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:
O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luăm funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2+ln X. Se dovedește f(X) = păcat ( X 2+ln X) este o funcție complexă. Ea are și un derivat, dar nu va funcționa să-l găsești conform regulilor discutate mai sus.
Cum să fii? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și formula pentru derivata unei funcții complexe ajută:
f ’(X) = f ’(t) · t', dacă X este înlocuit cu t(X).
De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este mai bine să-l explicați cu exemple specifice, cu o descriere detaliată a fiecărui pas.
O sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2+ln X)
Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci obținem o funcție elementară f(X) = e X. Prin urmare, facem o substituție: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe prin formula:
f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Și acum - atenție! Efectuarea unei înlocuiri inverse: t = 2X+ 3. Obținem:
f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3
Acum să ne uităm la funcție g(X). Evident că trebuie înlocuit. X 2+ln X = t. Avem:
g ’(X) = g ’(t) · t' = (păcat t)’ · t' = cos t · t ’
Înlocuire inversă: t = X 2+ln X. Apoi:
g ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).
Asta e tot! După cum se poate observa din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea derivatei sumei.
Răspuns:
f ’(X) = 2 e
2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2+ln X).
Foarte des în lecțiile mele, în locul termenului „derivat”, folosesc cuvântul „accident vascular cerebral”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.
Astfel, calculul derivatei se rezumă la a scăpa chiar de aceste lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:
(X n)’ = n · X n − 1
Puțini știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5 . Dar dacă există ceva complicat sub rădăcină? Din nou, se va dovedi o funcție complexă - le place să ofere astfel de construcții în teste și examene.
O sarcină. Aflați derivata unei funcții:
Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:
f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .
Acum facem o înlocuire: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata prin formula:
f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.
Facem o substituție inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:
f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .
În sfârșit, înapoi la rădăcini:
