Sarcini pentru definirea clasică a probabilității.
Exemple de soluții

În a treia lecție, vom lua în considerare diverse probleme legate de aplicarea directă a definiției clasice a probabilității. Pentru a studia eficient materialele acestui articol, vă recomand să vă familiarizați cu conceptele de bază teoria probabilitățiiși bazele combinatoriei. Problema determinării clasice a probabilității cu o probabilitate care tinde spre unu va fi prezentă în munca dumneavoastră independentă / de control pe terver, așa că ne pregătim pentru o muncă serioasă. Ce e atât de grav, întrebi? ... doar o formulă primitivă. Avertizez împotriva frivolității - sarcinile tematice sunt destul de diverse și multe dintre ele pot confunda cu ușurință. În acest sens, pe lângă elaborarea lecției principale, încercați să studiați sarcini suplimentare pe subiect care se află în pușculiță soluții gata făcute la matematică superioară. Metodele de decizie sunt metode de decizie, dar „prietenii” încă „trebuie cunoscuți din vedere”, pentru că chiar și o imaginație bogată este limitată și există și suficiente sarcini tipice. Ei bine, voi încerca să fac numărul maxim de ele de bună calitate.

Să ne amintim de clasicii genului:

Probabilitatea ca un eveniment să apară într-un proces este egală cu raportul, unde:

este numărul total al tuturor la fel de posibil, elementar rezultatele acestui test, care formează grup complet de evenimente;

- Cantitate elementar rezultate care favorizează evenimentul.

Și imediat o oprire imediată. Înțelegi termenii subliniați? Înseamnă înțelegere clară, nu intuitivă. Dacă nu, atunci este mai bine să reveniți la primul articol pe teoria probabilitățiiși abia apoi mergi mai departe.

Vă rugăm să nu sări peste primele exemple - în ele voi repeta un punct fundamental important și, de asemenea, vă voi spune cum să formatați corect o soluție și în ce moduri se poate face:

Sarcina 1

O urnă conține 15 bile albe, 5 roșii și 10 negre. Se extrage la întâmplare 1 minge, aflați probabilitatea ca aceasta să fie: a) albă, b) roșie, c) neagră.

Soluţie: cea mai importantă condiție prealabilă pentru utilizarea definiției clasice a probabilității este capacitatea de a calcula numărul total de rezultate.

Există 15 + 5 + 10 = 30 de bile în urnă și, evident, următoarele fapte sunt adevărate:

– extragerea oricărei mingi este la fel de posibilă (oportunitate egala rezultate), în timp ce rezultatele elementar și formă grup complet de evenimente (adică, ca rezultat al testului, una dintre cele 30 de bile va fi cu siguranță îndepărtată).

Astfel, numărul total de rezultate:

Luați în considerare următorul eveniment: – din urnă va fi extrasă o minge albă. Acest eveniment este favorizat elementar rezultate, deci după definiția clasică:
este probabilitatea ca o bila alba sa fie extrasa din urna.

În mod ciudat, chiar și într-o problemă atât de simplă, se poate face o gravă inexactitate, pe care m-am concentrat deja în primul articol despre teoria probabilității. Unde este capcana aici? Este incorect să argumentăm aici că „Deoarece jumătate dintre bile sunt albe, atunci probabilitatea de a extrage o minge albă» . Definiția clasică a probabilității este ELEMENTAR rezultate, iar fracția trebuie scrisă!

Cu alte puncte în mod similar, luați în considerare următoarele evenimente:

- se va extrage o bila rosie din urna;
- Din urnă va fi extrasă o bilă neagră.

Evenimentul este favorizat de 5 rezultate elementare, iar evenimentul este favorizat de 10 rezultate elementare. Deci probabilitățile corespunzătoare sunt:

O verificare tipică a multor probleme terver se face folosind teoreme privind suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet. În cazul nostru, evenimentele formează un grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților corespunzătoare trebuie să fie neapărat egală cu unu: .

Să verificăm dacă este așa: , de care am vrut să mă asigur.

Răspuns:

În principiu, răspunsul poate fi scris mai detaliat, dar personal sunt obișnuit să pun acolo doar numere - din motivul că atunci când începi să „timbrați” sarcini în sute și mii, vă străduiți să minimizați introducerea soluției. Apropo, despre concizie: în practică, o opțiune de design „de mare viteză” este comună. solutii:

Total: 15 + 5 + 10 = 30 de bile în urnă. Conform definiției clasice:
este probabilitatea ca o bila alba sa fie extrasa din urna;
este probabilitatea ca o bila rosie sa fie extrasa din urna;
este probabilitatea ca o bila neagra sa fie extrasa din urna.

Răspuns:

Cu toate acestea, dacă există mai multe puncte în stare, atunci soluția este adesea mai convenabilă de a întocmi în primul mod, ceea ce durează puțin mai mult timp, dar apoi „pune totul pe rafturi” și facilitează navigarea prin sarcină.

Încălzire:

Sarcina 2

Magazinul a primit 30 de frigidere, dintre care cinci au un defect de fabrica. Un frigider este selectat aleatoriu. Care este probabilitatea ca acesta să fie fără defecte?

Alegeți opțiunea de design care vi se potrivește și verificați șablonul din partea de jos a paginii.

În cele mai simple exemple, numărul de rezultate comune și numărul de rezultate favorabile se află la suprafață, dar în cele mai multe cazuri trebuie să dezgropați singur cartofii. Seria canonică de probleme despre abonatul uituc:

Sarcina 3

La formarea unui număr de telefon, abonatul a uitat ultimele două cifre, dar își amintește că una dintre ele este zero, iar cealaltă este impară. Găsiți probabilitatea ca el să formeze numărul corect.

Notă : zero este un număr par (divizibil cu 2 fără rest)

Soluţie: mai întâi găsiți numărul total de rezultate. Prin condiție, abonatul își amintește că una dintre cifre este zero, iar cealaltă cifră este impară. Aici este mai rațional să nu fii mai înțelept cu combinatoria și utilizarea enumerarea directă a rezultatelor . Adică, atunci când luăm o decizie, pur și simplu notăm toate combinațiile:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Și le numărăm - în total: 10 rezultate.

Există un singur rezultat favorabil: numărul potrivit.

Conform definiției clasice:
este probabilitatea ca abonatul să formeze numărul corect

Răspuns: 0,1

Fracțiile zecimale în teoria probabilității par destul de potrivite, dar puteți urma și stilul tradițional Vyshmatov, operând numai cu fracții obișnuite.

Sarcină avansată pentru soluție independentă:

Sarcina 4

Abonatul a uitat codul PIN al cartelei SIM, dar își amintește că acesta conține trei „cinci”, iar unul dintre numere este fie „șapte”, fie „opt”. Care este probabilitatea de autorizare cu succes la prima încercare?

Aici puteți dezvolta în continuare ideea probabilității ca abonatul să aștepte o pedeapsă sub forma unui cod puk, dar, din păcate, raționamentul va depăși deja scopul acestei lecții.

Soluție și răspuns mai jos.

Uneori, enumerarea combinațiilor se dovedește a fi o sarcină foarte minuțioasă. În special, acesta este cazul în următorul grup de probleme, nu mai puțin popular, în care sunt aruncate 2 zaruri (mai rar - mai mult):

Sarcina 5

Aflați probabilitatea ca atunci când sunt aruncate două zaruri, totalul să fie:

a) cinci puncte
b) nu mai mult de patru puncte;
c) de la 3 la 9 puncte inclusiv.

Soluţie: găsiți numărul total de rezultate:

Modalități pot scăpa fața primului zar și fața celui de-al 2-lea zar poate cădea în anumite moduri; pe regula înmulțirii combinațiilor, Total: combinatii posibile. Cu alte cuvinte, fiecare fața primului cub poate fi ordonat cuplu cu fiecare fata celui de-al 2-lea cub. Suntem de acord să scriem o astfel de pereche în forma , unde este numărul care a căzut pe primul zar, este numărul care a căzut pe al 2-lea zar. De exemplu:

- 3 puncte la primul zar, 5 puncte la al doilea, total puncte: 3 + 5 = 8;
- pe primul zar au căzut 6 puncte, pe al doilea - 1 punct, suma punctelor: 6 + 1 = 7;
- ambele zaruri au aruncat 2 puncte, suma: 2 + 2 = 4.

Evident, cea mai mică cantitate este dată de o pereche, iar cea mai mare de două „șase”.

a) Luați în considerare evenimentul: - când aruncați două zaruri, vor cădea 5 puncte. Să notăm și să numărăm numărul de rezultate care favorizează acest eveniment:

Total: 4 rezultate favorabile. Conform definiției clasice:
este probabilitatea dorită.

b) Luați în considerare evenimentul: - nu vor cădea mai mult de 4 puncte. Adică fie 2, fie 3, fie 4 puncte. Din nou, enumerăm și numărăm combinațiile favorabile, în stânga voi nota numărul total de puncte, iar după două puncte - perechi potrivite:

Total: 6 combinatii favorabile. În acest fel:
- probabilitatea ca nu mai mult de 4 puncte să cadă.

c) Să luăm în considerare evenimentul: - de la 3 la 9 puncte vor cădea inclusiv. Aici poți merge pe un drum drept, dar... ceva nu se simte așa. Da, unele perechi sunt deja enumerate în paragrafele anterioare, dar mai este mult de făcut.

Care este cel mai bun mod de a o face? În astfel de cazuri, un ocol se dovedește a fi rațional. Considera eveniment opus: - 2 sau 10 sau 11 sau 12 puncte vor cădea.

Care e ideea? Evenimentul opus este favorizat de un număr mult mai mic de perechi:

Total: 7 rezultate favorabile.

Conform definiției clasice:
- probabilitatea ca mai puțin de trei sau mai mult de 9 puncte să cadă.

Pe lângă enumerarea directă și calcularea rezultatelor, diverse formule combinatorii. Și din nou sarcina epică despre lift:

Sarcina 7

3 persoane au intrat în liftul unui bloc de 20 de etaje de la primul etaj. Și să mergem. Găsiți probabilitatea ca:

a) vor ieși pe etaje diferite
b) doi vor ieși la același etaj;
c) toți vor ieși la același etaj.

Lecția noastră fascinantă a luat sfârșit și, în sfârșit, încă o dată, recomand cu tărie, dacă nu să rezolvăm, atunci măcar să înțelegem sarcini suplimentare privind definiția clasică a probabilității. După cum am observat, „îndestul mâinii” contează și el!

Mai jos pe curs - Definiția geometrică a probabilitățiiși Teoreme ale adunării și înmulțirii probabilitățilorși... noroc în principal!

Soluții și răspunsuri:

Sarcina 2: Soluţie: 30 - 5 = 25 frigidere nu au nici un defect.

este probabilitatea ca un frigider selectat aleatoriu să nu aibă un defect.
Răspuns :

Sarcina 4: Soluţie: găsiți numărul total de rezultate:
moduri în care puteți alege locul în care se află figura dubioasă iar pe fiecare dintre aceste 4 locuri pot fi localizate 2 cifre (șapte sau opt). Conform regulii înmulțirii combinațiilor, numărul total de rezultate: .
Alternativ, în soluție, puteți enumera pur și simplu toate rezultatele (din fericire, nu sunt multe dintre ele):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Există un singur rezultat favorabil (codul PIN corect).
Astfel, după definiția clasică:
- probabilitatea ca abonatul să fie autorizat la prima încercare
Răspuns :

Sarcina 6: Soluţie: găsiți numărul total de rezultate:
moduri pot arunca numere pe 2 zaruri.

a) Luați în considerare evenimentul: - la aruncarea a două zaruri, produsul punctelor va fi egal cu șapte. Pentru acest eveniment, nu există rezultate favorabile, conform definiției clasice a probabilității:
, adică acest eveniment este imposibil.

b) Să luăm în considerare evenimentul: - la aruncarea a două zaruri, produsul punctelor va fi de cel puțin 20. Acest eveniment este favorizat de următoarele rezultate:

Total: 8
Conform definiției clasice:
este probabilitatea dorită.

c) Luați în considerare evenimente opuse:
– produsul punctelor va fi par;
– produsul punctelor va fi impar.
Să enumerăm toate rezultatele care favorizează evenimentul:

Total: 9 rezultate favorabile.
Conform definiției clasice a probabilității:
Evenimentele opuse formează un grup complet, deci:
este probabilitatea dorită.

Răspuns :

Sarcina 8: Soluţie: calculați numărul total de rezultate: 10 monede pot cădea în anumite moduri.
Alt mod: prima monedă poate cădea în anumite moduri și A doua monedă poate cădea în anumite moduri și … și moduri în care moneda a zecea poate cădea. Conform regulii înmulțirii combinațiilor, pot cădea 10 monede moduri.
a) Luați în considerare evenimentul: - toate monedele vor cădea capete. Acest eveniment este favorizat de un singur rezultat, conform definiției clasice a probabilității: .
b) Luați în considerare evenimentul: - 9 monede vor veni cu cap, iar una va veni cozi.
Există monede care pot ateriza cozi. Conform definiției clasice a probabilității: .
c) Să luăm în considerare următorul eveniment: - capete vor cădea pe jumătate din monede.
Există combinații unice de cinci monede care pot ateriza capete. Conform definiției clasice a probabilității:
Răspuns :

Probabilitate evenimentul este raportul dintre numărul de rezultate elementare care favorizează un anumit eveniment și numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile ale experienței în care poate apărea acest eveniment. Probabilitatea unui eveniment A se notează cu P(A) (aici P este prima literă a cuvântului francez probabilite - probabilitate). Conform definiţiei
(1.2.1)
unde este numărul de rezultate elementare care favorizează evenimentul A; - numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile ale experienței, formând un grup complet de evenimente.
Această definiție a probabilității se numește clasică. A apărut în stadiul inițial al dezvoltării teoriei probabilităților.

Probabilitatea unui eveniment are următoarele proprietăți:
1. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu. Să desemnăm un anumit eveniment prin litera . Pentru un anumit eveniment, deci
(1.2.2)
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Notăm evenimentul imposibil prin litera . Pentru un eveniment imposibil, deci
(1.2.3)
3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este exprimată ca un număr pozitiv mai mic decât unu. Deoarece inegalitățile , sau sunt satisfăcute pentru un eveniment aleatoriu, atunci
(1.2.4)
4. Probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitățile
(1.2.5)
Aceasta rezultă din relațiile (1.2.2) -(1.2.4).

Exemplul 1 O urnă conține 10 bile de aceeași dimensiune și greutate, dintre care 4 roșii și 6 albastre. Din urnă se extrage o minge. Care este probabilitatea ca mingea extrasă să fie albastră?

Soluţie. Evenimentul „bila extrasă s-a dovedit a fi albastră” va fi notat cu litera A. Această încercare are 10 rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 favorizează evenimentul A. În conformitate cu formula (1.2.1), obținem

Exemplul 2 Toate numerele naturale de la 1 la 30 sunt scrise pe carduri identice și plasate într-o urnă. După amestecarea temeinică a cărților, o carte este scoasă din urnă. Care este probabilitatea ca numărul de pe cardul extras să fie multiplu de 5?

Soluţie. Notați cu A evenimentul „numărul de pe cardul luat este multiplu de 5”. În acest test, există 30 de rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 rezultate favorizează evenimentul A (numerele 5, 10, 15, 20, 25, 30). Prin urmare,

Exemplul 3 Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Aflați probabilitatea evenimentului B, constând în faptul că fețele superioare ale cuburilor vor avea în total 9 puncte.

Soluţie. Există 6 2 = 36 de rezultate elementare la fel de posibile în acest studiu. Evenimentul B este favorizat de 4 rezultate: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), deci

Exemplul 4. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 10. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?

Soluţie. Notează cu litera C evenimentul „numărul ales este prim”. În acest caz, n = 10, m = 4 (prime 2, 3, 5, 7). Prin urmare, probabilitatea dorită

Exemplul 5 Sunt aruncate două monede simetrice. Care este probabilitatea ca ambele monede să aibă cifre pe fețele de sus?

Soluţie. Să notăm cu litera D evenimentul „a fost un număr pe partea de sus a fiecărei monede”. Există 4 rezultate elementare la fel de posibile în acest test: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notația (G, C) înseamnă că pe prima monedă există o stemă, pe a doua - un număr). Evenimentul D este favorizat de un rezultat elementar (C, C). Deoarece m = 1, n = 4, atunci

Exemplul 6 Care este probabilitatea ca cifrele dintr-un număr de două cifre alese aleatoriu să fie aceleași?

Soluţie. Numerele din două cifre sunt numere de la 10 la 99; sunt în total 90 de astfel de numere.9 numere au aceleași cifre (acestea sunt numerele 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Deoarece în acest caz m = 9, n = 90, atunci
,
unde A este evenimentul „număr cu aceleași cifre”.

Exemplul 7 Din literele cuvântului diferenţial o literă este aleasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca această literă să fie: a) o vocală b) o consoană c) o literă h?

Soluţie. Există 12 litere în cuvântul diferențial, dintre care 5 sunt vocale și 7 sunt consoane. Scrisori h acest cuvânt nu. Să notăm evenimentele: A - „vocală”, B - „consoană”, C - „litera h„. Numărul de rezultate elementare favorabile: - pentru evenimentul A, - pentru evenimentul B, - pentru evenimentul C. Deoarece n \u003d 12, atunci
, și .

Exemplul 8 Se aruncă două zaruri, se notează numărul de puncte de pe fața de sus a fiecărui zar. Aflați probabilitatea ca ambele zaruri să aibă același număr de puncte.

Soluţie. Să notăm acest eveniment cu litera A. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). În total, există rezultate elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, în acest caz n=6 2 =36. Deci probabilitatea dorită

Exemplul 9 Cartea are 300 de pagini. Care este probabilitatea ca o pagină deschisă aleatoriu să aibă un număr de secvență care este multiplu de 5?

Soluţie. Din condițiile problemei rezultă că vor exista n = 300 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, dintre care m = 60 favorizează apariția evenimentului specificat. Într-adevăr, un număr care este un multiplu al lui 5 are forma 5k, unde k este un număr natural și , de unde . Prin urmare,
, unde A - evenimentul „pagină” are un număr de secvență care este un multiplu de 5”.

Exemplul 10. Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțină un total de 7 sau 8?

Soluţie. Să desemnăm evenimentele: A – „7 puncte au căzut”, B – „8 puncte au căzut”. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) și evenimentul B - de 5 rezultate: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Există n = 6 2 = 36 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile. Prin urmare, și .

Deci, P(A)>P(B), adică obținerea unui total de 7 puncte este un eveniment mai probabil decât obținerea unui total de 8 puncte.

Sarcini

1. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie multiplu de 3?
2. În urnă A roşu şi b bile albastre de aceeași dimensiune și greutate. Care este probabilitatea ca o minge extrasă aleatoriu din această urnă să fie albastră?
3. Se alege la întâmplare un număr care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie divizor al lui zo?
4. În urnă A albastru și b bile roșii de aceeași dimensiune și greutate. Din această urnă se extrage o minge și se pune deoparte. Această minge este roșie. Apoi se extrage o altă minge din urnă. Găsiți probabilitatea ca a doua bilă să fie și roșie.
5. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 50. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?
6. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțineți un total de 9 sau 10 puncte?
7. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor aruncate. Ce este mai probabil să obțină un total de 11 (evenimentul A) sau 12 puncte (evenimentul B)?

Răspunsuri

1. 1/3. 2 . b/(A+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(A+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - probabilitatea de a obține 9 puncte în total; p 2 \u003d 27/216 - probabilitatea de a obține 10 puncte în total; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Întrebări

1. Ce se numește probabilitatea unui eveniment?
2. Care este probabilitatea unui anumit eveniment?
3. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?
4. Care sunt limitele probabilității unui eveniment aleatoriu?
5. Care sunt limitele probabilității oricărui eveniment?
6. Ce definiție a probabilității se numește clasică?

Fundamentele teoriei probabilităților

Plan:

1. Evenimente aleatorii

2. Definiția clasică a probabilității

3. Calculul probabilităților de evenimente și combinatorie

4. Probabilitate geometrică

Informații teoretice

Evenimente aleatorii.

fenomen aleatoriu- un fenomen, al cărui rezultat este determinat fără ambiguitate. Acest concept poate fi interpretat într-un sens destul de larg. Și anume: totul în natură este destul de accidental, apariția și nașterea oricărui individ este un fenomen aleatoriu, alegerea mărfurilor într-un magazin este, de asemenea, un fenomen aleatoriu, obținerea unei note la un examen este un fenomen aleatoriu, boala și recuperarea sunt întâmplătoare. fenomene etc.

Exemple de fenomene aleatorii:

~ Tragerea se efectuează dintr-un pistol așezat la un unghi dat față de orizont. Lovirea acestuia de țintă este accidentală, dar lovirea unui proiectil într-o anumită „furcă” este un model. Puteți specifica distanța mai aproape și dincolo de care proiectilul nu va zbura. Obțineți niște „dispersie furculiță de scoici”

~ Același corp este cântărit de mai multe ori. Strict vorbind, de fiecare dată se vor obține rezultate diferite, deși diferă printr-o cantitate neglijabil de mică, dar diferite.

~ O aeronavă care zboară pe aceeași rută are un anumit coridor de zbor în interiorul căruia aeronava poate manevra, dar nu va avea niciodată exact aceeași rută

~ Un atlet nu va putea niciodată să alerge pe aceeași distanță cu același timp. Rezultatele sale vor fi, de asemenea, într-un anumit interval numeric.

Experiența, experimentul, observația sunt teste

Proces- observarea sau îndeplinirea unui anumit set de condiții care se efectuează în mod repetat, și se repetă regulat în această și aceeași secvență, durată, cu respectarea altor parametri identici.

Să luăm în considerare performanța sportivului la o lovitură pe țintă. Pentru ca acesta să fie produs, este necesar să se îndeplinească condiții precum pregătirea sportivului, încărcarea armei, țintirea etc. „Lovitură” și „rată” sunt evenimente ca urmare a unei lovituri.

Eveniment– rezultatul testului calitativ.

Un eveniment poate avea loc sau nu. Evenimentele sunt indicate cu majuscule latine. De exemplu: D ="Trugătorul a lovit ținta". S="Minge albă extrasă". K="Bilet de loterie aleatoriu fără câștig.".

Aruncarea unei monede este un test. Căderea „stemei” ei este un eveniment, căderea „numărului” ei este al doilea eveniment.

Orice test presupune apariția mai multor evenimente. Unele dintre ele pot fi necesare la un moment dat de către cercetător, în timp ce altele pot să nu fie necesare.

Evenimentul se numește aleatoriu, dacă sub implementarea unui anumit set de condiții S se poate întâmpla sau nu. În cele ce urmează, în loc să spunem „setul de condiții S este îndeplinit”, vom spune pe scurt: „testul a fost efectuat”. Astfel, evenimentul va fi considerat ca rezultat al testului.

~ Trăgătorul trage într-o țintă împărțită în patru zone. Lovitura este un test. Lovirea unei anumite zone a țintei este un eveniment.

~ În urnă sunt bile colorate. O minge este extrasă la întâmplare din urnă. Scoaterea unei mingi dintr-o urna este un test. Apariția unei mingi de o anumită culoare este un eveniment.

Tipuri de evenimente aleatorii

1. Se spune că evenimentele sunt incompatibile dacă producerea unuia dintre ele exclude apariţia altor evenimente în cadrul aceluiaşi proces.

~ O piesă a fost luată la întâmplare dintr-o cutie cu piese. Aspectul unei piese standard exclude aspectul unei piese nestandard. Evenimente € a apărut o parte standard" și a apărut o parte non-standard" - incompatibil.

~ Se aruncă o monedă. Aspectul „stemei” exclude aspectul inscripției. Evenimentele „a apărut o stemă” și „a apărut o inscripție” sunt incompatibile.

Se formează mai multe evenimente grup complet, dacă cel puţin unul dintre ele apare în urma testului. Cu alte cuvinte, apariția a cel puțin unuia dintre evenimentele grupului complet este un anumit eveniment.

În special, dacă evenimentele care formează un grup complet sunt incompatibile perechi, atunci unul și numai unul dintre aceste evenimente va apărea ca rezultat al testului Acest caz special este de cel mai mare interes pentru noi, deoarece este folosit mai jos.

~ Au fost achiziționate două bilete de la loteria de bani și îmbrăcăminte. Trebuie să aibă loc unul și doar unul dintre următoarele evenimente:

1. „câștigurile au căzut pe primul bilet și nu au căzut pe al doilea”,

2. „câștigurile nu au căzut pe primul bilet și au căzut pe al doilea”,

3. „câștigurile au scăzut pe ambele bilete”,

4. „ambele bilete nu au câștigat”.

Aceste evenimente formează un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi,

~ Trăgătorul a tras în țintă. Cu siguranță va avea loc unul dintre următoarele două evenimente: lovit, ratat. Aceste două evenimente disjunse formează, de asemenea, un grup complet.

2. Evenimentele sunt numite la fel de posibil dacă există motive să credem că niciunul nu este mai posibil decât celălalt.

~ Apariția unei „steme” și apariția unei inscripții atunci când este aruncată o monedă sunt evenimente la fel de posibile. Într-adevăr, se presupune că moneda este realizată dintr-un material omogen, are o formă cilindrică obișnuită, iar prezența unei monede nu afectează pierderea uneia sau alteia fețe a monedei.

~ Apariția unuia sau altuia de puncte pe un zar aruncat este un eveniment la fel de probabil. Într-adevăr, se presupune că matrița este realizată dintr-un material omogen, are forma unui poliedru regulat, iar prezența punctelor nu afectează pierderea niciunei fețe.

3. Evenimentul este numit autentic, dacă nu se poate întâmpla

4. Evenimentul este numit nu e de incredere dacă nu se poate întâmpla.

5. Evenimentul este numit opus la un eveniment dacă constă în neapariția evenimentului dat. Evenimentele opuse nu sunt compatibile, dar unul dintre ele trebuie neapărat să aibă loc. Evenimentele opuse sunt denumite în mod obișnuit negații, adică. deasupra literei este scrisă o liniuță. Evenimentele sunt opuse: A și Â; U și Ū etc. .

Definiția clasică a probabilității

Probabilitatea este unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților.

Există mai multe definiții ale acestui concept. Să dăm o definiție care se numește clasică. În continuare, subliniem punctele slabe ale acestei definiții și dăm alte definiții care fac posibilă depășirea deficiențelor definiției clasice.

Luați în considerare situația: O cutie conține 6 bile identice, 2 fiind roșii, 3 fiind albastre și 1 fiind albă. Evident, posibilitatea de a extrage o minge colorată (adică roșie sau albastră) dintr-o urnă la întâmplare este mai mare decât posibilitatea de a extrage o minge albă. Această posibilitate poate fi caracterizată printr-un număr, care se numește probabilitatea unui eveniment (apariția unei mingi colorate).

Probabilitate- un număr care caracterizează gradul de posibilitate de producere a evenimentului.

În situația luată în considerare, notăm:

Evenimentul A = „Străgerea unei mingi colorate”.

Se numește fiecare dintre rezultatele posibile ale testului (testul constă în extragerea unei mingi din urnă). rezultat și eveniment elementar (posibil). Rezultatele elementare pot fi notate prin litere cu indici de mai jos, de exemplu: k 1 , k 2 .

În exemplul nostru, există 6 bile, deci există 6 rezultate posibile: a apărut o bilă albă; a apărut o minge roșie; a apărut o minge albastră și așa mai departe. Este ușor de observat că aceste rezultate formează un grup complet de evenimente incompatibile în perechi (va apărea neapărat o singură minge) și sunt la fel de probabile (mingea este scoasă la întâmplare, bilele sunt aceleași și bine amestecate).

Rezultate elementare, în care apare evenimentul care ne interesează, vom apela rezultate favorabile acest eveniment. În exemplul nostru, evenimentul este favorizat DAR(apariția unei mingi colorate) următoarele 5 rezultate:

Astfel evenimentul DAR observat dacă unul apare în test, indiferent care dintre rezultatele elementare care favorizează DAR. Acesta este aspectul oricărei mingi colorate, din care sunt 5 bucăți în cutie

În exemplul considerat al rezultatelor elementare 6; dintre care 5 favorizează evenimentul DAR. Prin urmare, P(A)= 5/6. Acest număr oferă acea cuantificare a gradului de posibilitate a apariției unei mingi colorate.

Definiția probabilității:

Probabilitatea evenimentului A este raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile care formează un grup complet.

P(A)=m/n sau P(A)=m: n, unde:

m este numărul de rezultate elementare care favorizează DAR;

P- numărul tuturor rezultatelor elementare posibile ale testului.

Se presupune aici că rezultatele elementare sunt incompatibile, la fel de probabile și formează un grup complet.

Următoarele proprietăți rezultă din definiția probabilității:

1. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu.

Într-adevăr, dacă evenimentul este de încredere, atunci fiecare rezultat elementar al testului favorizează evenimentul. În acest caz m = n deci p=1

2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

Într-adevăr, dacă evenimentul este imposibil, atunci niciunul dintre rezultatele elementare ale procesului nu favorizează evenimentul. În acest caz m=0, deci p=0.

3.Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu. 0t< n.

În temele ulterioare se vor da teoreme care permit, din probabilitățile cunoscute ale unor evenimente, să se afle probabilitățile altor evenimente.

Măsurare. În grupul de elevi sunt 6 fete și 4 băieți. Care este probabilitatea ca o elevă aleasă aleatoriu să fie fată? va fi un tânăr?

p dev = 6 / 10 = 0,6 p jun = 4 / 10 = 0,4

Conceptul de „probabilitate” în cursurile moderne riguroase de teoria probabilității este construit pe o bază teoretică a mulțimilor. Să aruncăm o privire la o parte din această abordare.

Să presupunem că în urma testului are loc unul și numai unul dintre următoarele evenimente: w i(i=1, 2, .... n). Evoluții w i, se numește evenimente elementare (rezultate elementare). O rezultă că evenimentele elementare sunt incompatibile perechi. Se numește setul tuturor evenimentelor elementare care pot apărea într-un proces spațiu de eveniment elementarΩ (litera greacă omega majusculă) și evenimentele elementare în sine - puncte din acest spațiu..

Eveniment DAR identificat cu o submulţime (a spaţiului Ω) ale cărei elemente sunt rezultate elementare favorizante DAR; eveniment LA este o submulțime Ω ale cărei elemente sunt rezultate care favorizează LA, etc. Astfel, mulțimea tuturor evenimentelor care pot apărea în test este mulțimea tuturor submulților de Ω. Ω însuși apare pentru orice rezultat al testului, prin urmare Ω este un anumit eveniment; o submulțime goală a spațiului Ω este un eveniment -imposibil (nu are loc pentru niciun rezultat al testului).

Evenimentele elementare se disting de toate evenimentele pe subiecte, „fiecare dintre ele conține un singur element Ω

La fiecare rezultat elementar w i potrivește un număr pozitiv p i este probabilitatea acestui rezultat și suma tuturor p i egal cu 1 sau cu semnul sumei, acest fapt se va scrie ca expresie:

Prin definiție, probabilitatea P(A) evoluții DAR este egală cu suma probabilităților de favorizare a rezultatelor elementare DAR. Prin urmare, probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu, imposibil - până la zero, arbitrar - este între zero și unu.

Să luăm în considerare un caz particular important, când toate rezultatele sunt la fel de probabile.Numărul de rezultate este egal cu n, suma probabilităților tuturor rezultatelor este egală cu unu; prin urmare, probabilitatea fiecărui rezultat este 1/n. Lasă evenimentul DAR favorizează m rezultate.

Probabilitatea evenimentului DAR este egală cu suma probabilităților de favorizare a rezultatelor DAR:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Se obţine definiţia clasică a probabilităţii.

Incă mai este axiomatic abordare a conceptului de „probabilitate”. În sistemul de axiome propus. Kolmogorov A.N., conceptele nedefinite sunt eveniment elementar și probabilitate. Construcția unei teorii a probabilității complete logic se bazează pe definiția axiomatică a unui eveniment aleatoriu și a probabilității acestuia.

Iată axiomele care definesc probabilitatea:

1. Fiecare eveniment DAR atribuit un număr real nenegativ P(A). Acest număr se numește probabilitatea evenimentului. DAR.

2. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu:

3. Probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre evenimentele incompatibile în perechi este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Pe baza acestor axiome, proprietățile probabilităților pentru relația dintre ele sunt derivate ca teoreme.

INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT MUNICIPALĂ

GIMNAZIUL Nr 6

pe tema „Definiția clasică a probabilității”.

Completat de un elev din clasa a VIII-a „B”.

Klimantova Alexandra.

Profesor de matematică: Videnkina V. A.

Voronej, 2008

Multe jocuri folosesc un zar. Zarul are 6 fețe, pe fiecare față este marcat un număr diferit de puncte - de la 1 la 6. Jucătorul aruncă zarul și se uită la câte puncte sunt pe fața aruncată (pe fața care se află deasupra). Destul de des, punctele de pe marginea zarului sunt înlocuite cu numărul corespunzător și apoi vorbesc despre o aruncare de 1, 2 sau 6. Aruncarea unui zar poate fi considerată o experiență, un experiment, un test și rezultatul obținut. este rezultatul unui test sau al unui eveniment elementar. Oamenii sunt interesați să ghicească debutul unui eveniment, să prezică rezultatul acestuia. Ce predicții pot face atunci când un zar este aruncat? De exemplu, acestea:

1. evenimentul A - numărul 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 cade;
2. evenimentul B - numărul 7, 8 sau 9 cade;
3. evenimentul C - numărul 1 cade.

Evenimentul A, prezis în primul caz, va veni cu siguranță. În general, se numește un eveniment care va avea loc cu siguranță într-o anumită experiență anumit eveniment.

Evenimentul B, prezis în al doilea caz, nu va avea loc niciodată, este pur și simplu imposibil. În general, se numește un eveniment care nu poate avea loc într-un anumit experiment eveniment imposibil.

Se va întâmpla sau nu evenimentul C, prezis în al treilea caz? Nu putem răspunde la această întrebare cu deplină certitudine, deoarece 1 poate cădea sau nu. Se numește un eveniment care într-o anumită experiență poate sau nu să apară eveniment aleatoriu.

Gândindu-ne la debutul unui anumit eveniment, cel mai probabil nu vom folosi cuvântul „probabil”. De exemplu, dacă astăzi este miercuri, atunci mâine este joi, acesta este un anumit eveniment. Miercuri nu vom spune: „Probabil că mâine este joi”, vom spune pe scurt și clar: „Mâine este joi”. Adevărat, dacă suntem predispuși la fraze frumoase, atunci putem spune așa: „Cu o probabilitate sută la sută spun că mâine este joi”. Dimpotrivă, dacă astăzi este miercuri, atunci venirea zilei de mâine este vineri — un eveniment imposibil. Evaluând acest eveniment de miercuri, putem spune așa: „Sunt sigur că mâine nu este vineri”. Sau așa: „Este de necrezut că mâine e vineri”. Ei bine, dacă suntem predispuși la fraze frumoase, atunci putem spune acest lucru: „Probabilitatea ca mâine să fie vineri este zero”. Deci, un anumit eveniment este un eveniment care are loc în condiții date. cu certitudine 100%.(adică venind în 10 cazuri din 10, în 100 de cazuri din 100 etc.). Un eveniment imposibil este un eveniment care nu are loc niciodată în condiții date, un eveniment cu probabilitate zero.

Dar, din păcate (și poate din fericire), nu totul în viață este atât de clar și clar: va fi întotdeauna (un anumit eveniment), acest lucru nu se va întâmpla niciodată (eveniment imposibil). Cel mai adesea, ne confruntăm cu evenimente aleatorii, dintre care unele sunt mai probabile, altele mai puțin probabile. De obicei oamenii folosesc cuvintele „mai probabil” sau „mai puțin probabil”, după cum se spune, la un capriciu, bazându-se pe ceea ce se numește bunul simț. Dar de foarte multe ori astfel de estimări se dovedesc a fi insuficiente, deoarece este important să știți cât costă la sută probabil un eveniment aleatoriu sau De câte ori un eveniment aleatoriu este mai probabil decât altul. Cu alte cuvinte, avem nevoie de exact cantitativ caracteristici, trebuie să fiți capabil să caracterizați probabilitatea printr-un număr.

Am făcut deja primii pași în această direcție. Am spus că probabilitatea ca un anumit eveniment să se producă este caracterizată ca suta la suta, și probabilitatea ca un eveniment imposibil să se producă ca zero. Având în vedere că 100% este egal cu 1, oamenii au căzut de acord cu următoarele:

1. probabilitatea unui anumit eveniment este considerată egală cu 1;
2. probabilitatea unui eveniment imposibil este considerată egală cu 0.

Cum se calculează probabilitatea unui eveniment aleatoriu? La urma urmei, s-a întâmplat întâmplător, ceea ce înseamnă că nu se supune legilor, algoritmilor, formulelor. Se dovedește că anumite legi funcționează în lumea aleatoriei, permițându-ți să calculezi probabilități. Aceasta este ramura matematicii care se numește- teoria probabilității.

Matematica se ocupa de model vreun fenomen al realității din jurul nostru. Dintre toate modelele folosite în teoria probabilității, ne vom limita la cele mai simple.

Schema probabilistica clasica

Pentru a găsi probabilitatea unui eveniment A în timpul unui experiment, ar trebui:

1) găsiți numărul N al tuturor rezultatelor posibile ale acestei experiențe;

2) acceptați presupunerea că toate aceste rezultate sunt la fel de probabile (la fel de posibile);

3) găsiți numărul N(A) al acelor rezultate ale experienței în care are loc evenimentul A;

4) găsi un privat ; va fi egală cu probabilitatea evenimentului A.

Se obișnuiește să se desemneze probabilitatea unui eveniment A ca P(A). Explicația pentru această denumire este foarte simplă: cuvântul „probabilitate” în franceză este probabilitate, în limba engleză- probabilitate.Desemnarea folosește prima literă a cuvântului.

Folosind această notație, probabilitatea unui eveniment A conform schemei clasice poate fi găsită folosind formula

P(A)=.

Adesea, toate punctele schemei probabilistice clasice date sunt exprimate într-o frază destul de lungă.

Definiția clasică a probabilității

Probabilitatea unui eveniment A în timpul unui anumit test este raportul dintre numărul de rezultate, în urma căruia are loc evenimentul A, și numărul total al tuturor rezultatelor la fel de posibile ale acestui test.

Exemplul 1. Aflați probabilitatea ca într-o aruncare de zar: a) 4; b) 5; c) un număr par de puncte; d) numărul de puncte mai mare de 4; e) numărul de puncte nu este un multiplu de trei.

Soluţie. În total, există N=6 rezultate posibile: scăparea unei fețe a unui cub cu un număr de puncte egal cu 1, 2, 3, 4, 5 sau 6. Credem că niciunul dintre ele nu are avantaje față de celelalte, adică, acceptăm ipoteza asemănării acestor rezultate.

a) Exact într-unul dintre rezultate, va avea loc evenimentul care ne interesează A - pierderea numărului 4. Prin urmare, N (A) \u003d 1 și

P(A)= =.

b) Soluția și răspunsul sunt aceleași ca în paragraful anterior.

c) Evenimentul B care ne interesează va avea loc exact în trei cazuri când numărul de puncte este 2, 4 sau 6. Prin urmare,

N(B)=3 șiP(B)==.

d) Evenimentul C care ne interesează va avea loc exact în două cazuri când numărul de puncte este 5 sau 6. Prin urmare,

N(C) =2 și P(C)=.

e) Din cele șase numere posibile extrase, patru (1, 2, 4 și 5) nu sunt multipli de trei, iar celelalte două (3 și 6) sunt divizibile cu trei. Aceasta înseamnă că evenimentul care ne interesează are loc exact în patru din șase rezultate posibile și la fel de probabile între ei și la fel de probabile între ele rezultate ale experienței. Deci răspunsul este.

Raspuns: a); b) ; în); G) ; e).

Un zar de joc adevărat poate diferi de un zar ideal (model), prin urmare, pentru a-i descrie comportamentul, este necesar un model mai precis și mai detaliat, ținând cont de avantajele unei fețe față de alta, posibila prezență a magneților etc. Dar „diavolul este în detalii”, iar mai multă acuratețe tinde să ducă la mai multă complexitate, iar obținerea unui răspuns devine o problemă. Ne limităm să luăm în considerare cel mai simplu model probabilist, în care toate rezultatele posibile sunt la fel de probabile.

Observație 1. Să luăm în considerare un alt exemplu. A fost pusă întrebarea: „Care este probabilitatea de a obține un trei la o singură aruncare a zarului?” Elevul a răspuns astfel: „Probabilitatea este de 0,5”. Și și-a explicat răspunsul: „Cei trei ori vor cădea sau nu. Aceasta înseamnă că există două rezultate în total și într-un singur eveniment are loc evenimentul care ne interesează. Conform schemei probabilistice clasice, obținem răspunsul 0,5. Există o eroare în acest raționament? La prima vedere, nu. Cu toate acestea, este încă acolo și într-un moment fundamental. Da, într-adevăr, triplul fie va cădea, fie nu, adică cu o astfel de definiție a rezultatului aruncării, N = 2. De asemenea, este adevărat că N(A)=1 și, desigur, este adevărat că =0, 5, adică trei puncte ale schemei probabilistice sunt luate în considerare, dar îndeplinirea punctului 2) este îndoielnică. Desigur, din punct de vedere pur legal, avem dreptul să credem că pierderea unui triplu este la fel de probabil să eșueze. Dar putem să gândim așa fără să ne încălcăm propriile noastre presupuneri naturale despre „asemănarea” fețelor? Desigur că nu! Aici avem de-a face cu raționament corect în cadrul unui model. Doar acest model în sine este „greșit”, necorespunzătoare fenomenului real.

Observația 2. Când discutați despre probabilitate, nu pierdeți din vedere următoarea circumstanță importantă. Dacă spunem că atunci când arunci un zar, probabilitatea de a obține un punct este egală cu , asta nu înseamnă deloc că, aruncând zarul de 6 ori, vei obține un punct exact o dată, aruncând zarul de 12 ori, vei obține obțineți un punct de exact de două ori, aruncând zarul de 18 ori, obțineți un punct de exact trei ori și așa mai departe. Cuvântul este probabil speculativ. Presupunem că este posibil să se întâmple. Probabil dacă aruncăm zarul de 600 de ori, un punct va apărea de 100 de ori, sau aproximativ 100.

Teoria probabilității a apărut în secolul al XVII-lea, când s-a analizat diverse jocuri de noroc. Nu este, așadar, de mirare că primele exemple sunt de natură jucăușă. Din exemplele de zaruri, să trecem la extragerea aleatorie a cărților de joc din pachet.

Exemplul 2. Dintr-un pachet de 36 de cărți, 3 cărți sunt extrase aleatoriu în același timp. Care este probabilitatea ca printre ei să nu existe Queen of Spades?

Soluţie. Avem un set de 36 de elemente. Selectăm trei elemente, a căror ordine nu este importantă. Prin urmare, este posibil să se obțină rezultate N=C. Vom acționa conform schemei probabilistice clasice, adică vom presupune că toate aceste rezultate sunt la fel de probabile.

Rămâne de calculat probabilitatea necesară conform definiției clasice:

Și care este probabilitatea ca printre cele trei cărți alese să existe o Regina de pică? Numărul tuturor acestor rezultate nu este greu de calculat, trebuie doar să scădeți din toate rezultatele N toate acele rezultate în care nu există regina de pică, adică să scădeți numărul N(A) găsit în exemplul 3. Atunci această diferență N - N (A) în conformitate cu schema probabilistică clasică ar trebui împărțită la N. Iată ce obținem:

Vedem că există o anumită relație între probabilitățile celor două evenimente. Dacă evenimentul A constă în absența Reginei de pică, iar evenimentul B constă în prezența ei printre cele trei cărți alese, atunci

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

Din păcate, în egalitatea P(A)+P(B)=1 nu există informații despre relația dintre evenimentele A și B; trebuie să avem în vedere această legătură. Ar fi mai convenabil să dai evenimentului B un nume și o denumire în prealabil, indicând clar legătura sa cu A.

Definiția 1. Evenimentul B numit opus evenimentului Ași notăm B=Â dacă evenimentul B are loc dacă și numai dacă evenimentul A nu are loc.

TTeorema 1. Pentru a găsi probabilitatea evenimentului opus, scădeți probabilitatea evenimentului însuși din unitate: Р(Ā)= 1—Р(А). Intr-adevar,

În practică, ei calculează ceea ce este mai ușor de găsit: fie P(A), fie P(Ā). După aceea, ei folosesc formula din teoremă și găsesc, respectiv, fie P(Ā)= 1-P(A), fie P(A)= 1-P(Ā).

Adesea folosită este metoda de rezolvare a unei anumite probleme prin „enumerarea cazurilor”, atunci când condițiile problemei sunt împărțite în cazuri care se exclud reciproc, fiecare dintre acestea fiind luate în considerare separat. De exemplu, „dacă mergi la dreapta, îți vei pierde calul, dacă mergi drept, vei rezolva o problemă conform teoriei probabilităților, dacă mergi la stânga...”. Sau atunci când trasați funcția y=│x+1│—│2x—5│, luați în considerare cazurile lui x

Exemplul 3. Din cele 50 de puncte, 17 sunt umbrite în albastru și 13 sunt portocalii. Găsiți probabilitatea ca un punct selectat aleatoriu să fie umbrit.

Soluţie. În total, sunt umbrite 30 de puncte din 50. Prin urmare, probabilitatea este = 0,6.

Răspuns: 0,6.

Să aruncăm o privire mai atentă la acest exemplu simplu, totuși. Fie evenimentul A că punctul selectat este albastru, iar evenimentul B că punctul selectat este portocaliu. Prin convenție, evenimentele A și B nu pot avea loc în același timp.

Notăm cu litera C evenimentul care ne interesează. Evenimentul C are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre evenimentele A sau B. Este clar că N(C)= N(A)+N(B).

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități la N, numărul tuturor rezultatelor posibile ale experimentului dat; primim

Am analizat o situație importantă și care apare frecvent folosind un exemplu simplu. Există un nume special pentru ea.

Definiția 2. Evenimentele A și B sunt numite incompatibil dacă nu pot apărea în același timp.

Teorema 2. Probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre cele două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestora.

La traducerea acestei teoreme în limbaj matematic, devine necesară cumva denumirea și desemnarea unui eveniment constând în apariția a cel puțin unuia dintre cele două evenimente date A și B. Un astfel de eveniment se numește suma evenimentelor A și B și se notează cu A+B.

Dacă A și B sunt incompatibile, atunci P(A+B)= P(A)+P(B).

Intr-adevar,

Incompatibilitatea evenimentelor A și B poate fi ilustrată convenabil printr-o figură. Dacă toate rezultatele experienței sunt un set de puncte din figură, atunci evenimentele A și B sunt câteva submultimi ale unei multimi date. Incompatibilitatea lui A și B înseamnă că aceste două submulțimi nu se intersectează. Un exemplu tipic de evenimente incompatibile este orice eveniment A și evenimentul opus Â.

Desigur, această teoremă este valabilă pentru trei, patru și pentru orice număr finit de evenimente incompatibile în perechi. Probabilitatea sumei oricărui număr de evenimente incompatibile în perechi este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. Această afirmație importantă corespunde exact metodei de rezolvare a problemelor prin „enumerarea cazurilor”.

Între evenimentele care au loc ca urmare a unei anumite experiențe și între probabilitățile acestor evenimente pot exista unele relații, dependențe, conexiuni etc. De exemplu, evenimentele pot fi „adăugate”, iar probabilitatea sumei incompatibile evenimentele este egală cu suma probabilităților lor.

În concluzie, discutăm următoarea întrebare fundamentală: este posibil să dovedi, că probabilitatea de a obține „cozi” la o aruncare a unei monede este egală cu

Raspunsul este negativ. În general, întrebarea în sine nu este corectă, sensul exact al cuvântului „demonstrează” nu este clar. La urma urmei, întotdeauna dovedim ceva în cadrul unora modele, în care sunt deja cunoscute regulile, legile, axiomele, formulele, teoremele etc.. Dacă vorbim de o monedă imaginară, „ideală”, atunci de aceea este considerată ideală deoarece, prin definitie, probabilitatea de a obține capete este egală cu probabilitatea de a obține capete. Și, în principiu, putem considera un model în care probabilitatea de cădere a „cozilor” este de două ori mai mare decât probabilitatea de a cădea „vulturii”, sau de trei ori mai mică etc. Atunci se pune întrebarea: din ce motiv alegem unul în care ambele rezultate ale aruncării la sorți sunt la fel de probabile?

Un răspuns complet frontal este: „Dar este mai ușor, mai clar și mai natural pentru noi!” Dar există și argumente mai de fond. Ele provin din practică. Marea majoritate a manualelor de teoria probabilităților oferă exemple ale naturalistului francez J. Buffon (secolul al XVIII-lea) și ale matematicianului-statistician englez C. Pearson (sfârșitul secolului al XIX-lea), care au aruncat o monedă de 4040, respectiv 24000 de ori și au numărat numărul de „vulturi” sau „cozi” care cad. „Cozile” le-au căzut, respectiv, de 1992 și, respectiv, de 11998. Daca numarati frecvența de scădere„cozi”, atunci obțineți = = 0,493069 ... pentru Buffon și = 0,4995 pentru Pearson. Apare natural presupunere că, odată cu creșterea nelimitată a numărului de aruncări ale unei monede, frecvența căderii „cozilor”, precum și frecvența căderii „vulturii”, se va apropia din ce în ce mai mult de 0,5. Această presupunere, bazată pe date practice, este baza pentru alegerea unui model cu rezultate echiprobabile.

Acum putem rezuma. Conceptul de bază este probabilitatea unui eveniment aleatoriu, care se calculează în cadrul celui mai simplu model— schema probabilistica clasica. Conceptul este important atât în ​​teorie, cât și în practică. eveniment opusși formula Р(Ā)= 1—Р(А) pentru găsirea probabilității unui astfel de eveniment.

În sfârșit, ne-am întâlnit evenimente incompatibile si cu formule.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

permițând găsirea probabilităților sume astfel de evenimente.

Bibliografie

1. Evenimente. Probabilități. Prelucrarea datelor statistice: Add. paragrafe la cursul algebrei 7-9 celule. instituţii de învăţământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.—ed. a IV-a—M.: Mnemozina, 2006.—112 p.: ill.

2.Da. N. Makarychev, N. G. Mindyuk „Algebră. Elemente de statistică și teoria probabilității. — Moscova, Iluminismul, 2006.