Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun sunt concepte aritmetice cheie care vă permit să operați cu ușurință cu fracții obișnuite. LCM și sunt cel mai adesea folosite pentru a găsi numitorul comun al mai multor fracții.
Noțiuni de bază
Împărțitorul unui întreg X este un alt întreg Y prin care X este divizibil fără rest. De exemplu, divizorul lui 4 este 2, iar 36 este 4, 6, 9. Un multiplu al întregului X este un număr Y care este divizibil cu X fără rest. De exemplu, 3 este un multiplu al lui 15, iar 6 este un multiplu al lui 12.
Pentru orice pereche de numere, putem găsi divizorii și multiplii lor comuni. De exemplu, pentru 6 și 9, multiplu comun este 18, iar divizorul comun este 3. Evident, perechile pot avea mai mulți divizori și multipli, astfel încât în calcule se folosesc cel mai mare divizor al MCD și cel mai mic multiplu al LCM. .
Cel mai mic divizor nu are sens, deoarece pentru orice număr este întotdeauna unul. Cel mai mare multiplu este, de asemenea, lipsit de sens, deoarece succesiunea multiplilor tinde spre infinit.
Găsirea GCD
Există multe metode pentru a găsi cel mai mare divizor comun, dintre care cele mai faimoase sunt:
- enumerarea secvențială a divizorilor, selectarea celor comuni pentru o pereche și căutarea celui mai mare dintre ei;
- descompunerea numerelor în factori indivizibili;
- algoritmul lui Euclid;
- algoritm binar.
Astăzi, în instituțiile de învățământ, cele mai populare metode de descompunere în factori primi și algoritmul euclidian. Acesta din urmă, la rândul său, este folosit în rezolvarea ecuațiilor diofantine: căutarea GCD este necesară pentru a verifica ecuația pentru posibilitatea rezolvării ei în numere întregi.
Găsirea NOC
Cel mai mic multiplu comun este, de asemenea, determinat exact de enumerarea iterativă sau factorizarea în factori indivizibili. În plus, este ușor să găsiți LCM dacă cel mai mare divizor a fost deja determinat. Pentru numerele X și Y, LCM și GCD sunt legate prin următoarea relație:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
De exemplu, dacă mcd(15,18) = 3, atunci LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Cea mai evidentă utilizare a LCM este de a găsi numitorul comun, care este cel mai mic multiplu comun al fracții date.
Numerele coprime
Dacă o pereche de numere nu are divizori comuni, atunci o astfel de pereche se numește coprim. MCM pentru astfel de perechi este întotdeauna egal cu unu și, pe baza conexiunii divizorilor și multiplilor, MCM pentru coprime este egal cu produsul lor. De exemplu, numerele 25 și 28 sunt coprime, deoarece nu au divizori comuni, iar LCM(25, 28) = 700, care corespunde produsului lor. Orice două numere indivizibile vor fi întotdeauna coprime.
Divizor comun și calculator multiplu
Cu calculatorul nostru puteți calcula GCD și LCM pentru un număr arbitrar de numere din care să alegeți. Sarcinile pentru calcularea divizorilor comuni și multiplilor se găsesc în aritmetica claselor 5 și 6, cu toate acestea, GCD și LCM sunt conceptele cheie ale matematicii și sunt utilizate în teoria numerelor, planimetrie și algebra comunicativă.
Exemple din viața reală
Numitorul comun al fracțiilor
Cel mai mic multiplu comun este utilizat la găsirea numitorului comun al mai multor fracții. Să presupunem că într-o problemă de aritmetică este necesar să însumăm 5 fracții:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Pentru a adăuga fracții, expresia trebuie redusă la un numitor comun, care se reduce la problema găsirii LCM. Pentru a face acest lucru, selectați 5 numere în calculator și introduceți valorile numitorilor în celulele corespunzătoare. Programul va calcula LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Acum trebuie să calculați factori suplimentari pentru fiecare fracție, care sunt definiți ca raportul dintre LCM și numitorul. Deci, multiplicatorii suplimentari ar arăta astfel:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
După aceea, înmulțim toate fracțiile cu factorul suplimentar corespunzător și obținem:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Putem adăuga cu ușurință astfel de fracții și obținem rezultatul sub forma 159/360. Reducem fracția cu 3 și vedem răspunsul final - 53/120.
Rezolvarea ecuațiilor diofantine liniare
Ecuațiile diofantine liniare sunt expresii de forma ax + by = d. Dacă raportul d / mcd(a, b) este un număr întreg, atunci ecuația este rezolvabilă în numere întregi. Să verificăm câteva ecuații pentru posibilitatea unei soluții întregi. Mai întâi, verificați ecuația 150x + 8y = 37. Folosind un calculator, găsim mcd (150,8) = 2. Împărțiți 37/2 = 18,5. Numărul nu este un întreg, prin urmare, ecuația nu are rădăcini întregi.
Să verificăm ecuația 1320x + 1760y = 10120. Folosește un calculator pentru a găsi mcd(1320, 1760) = 440. Împărțim 10120/440 = 23. Ca rezultat, obținem un număr întreg, prin urmare, ecuația diofantică este coeficientă solubilă în ineficienți. .
Concluzie
GCD și LCM joacă un rol important în teoria numerelor, iar conceptele în sine sunt utilizate pe scară largă în diferite domenii ale matematicii. Utilizați calculatorul nostru pentru a calcula cei mai mari divizori și cei mai mici multipli ai oricărui număr de numere.
Al doilea număr: b=
Separator de cifre Fără separator de spațiu „ ´
Rezultat:
Cel mai mare divizor comun mcd( A,b)=6
Cel mai mic multiplu comun al LCM( A,b)=468
Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt divizibile fără rest cel mai mare divizor comun(mcd) din aceste numere. Notat mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) sau hcf(a,b).
Cel mai mic multiplu comun(LCM) a două numere întregi a și b este cel mai mic număr natural care este divizibil cu a și b fără rest. Notat LCM(a,b) sau lcm(a,b).
Se numesc numere întregi a și b coprime dacă nu au divizori comuni alții decât +1 și −1.
Cel mai mare divizor comun
Să fie date două numere pozitive A 1 și A 2 1). Este necesar să se găsească un divizor comun al acestor numere, de ex. găsiți un astfel de număr λ , care împarte numerele A 1 și A 2 în același timp. Să descriem algoritmul.
1) În acest articol, cuvântul număr va însemna un număr întreg.
Lăsa A 1 ≥ A 2 si lasa
Unde m 1 , A 3 sunt niște numere întregi, A 3 <A 2 (restul din diviziune A 1 pe A 2 ar trebui să fie mai puțin A 2).
Să ne prefacem că λ desparte A 1 și A 2, atunci λ desparte m 1 A 2 și λ desparte A 1 −m 1 A 2 =A 3 (Aserțiunea 2 din articolul „Divizibilitatea numerelor. Semnul divizibilității”). Rezultă că fiecare divizor comun A 1 și A 2 este un divizor comun A 2 și A 3 . Este adevărat și invers dacă λ divizor comun A 2 și A 3, atunci m 1 A 2 și A 1 =m 1 A 2 +A 3 sunt de asemenea împărțite în λ . De aici și divizorul comun A 2 și A 3 este, de asemenea, un divizor comun A 1 și A 2. pentru că A 3 <A 2 ≤A 1 , atunci putem spune că soluția la problema găsirii unui divizor comun al numerelor A 1 și A 2 redus la o problemă mai simplă de găsire a unui divizor comun al numerelor A 2 și A 3 .
În cazul în care un A 3 ≠0, atunci putem împărți A 2 pe A 3 . Apoi
,
Unde m 1 și A 4 sunt niște numere întregi, ( A 4 restul diviziei A 2 pe A 3 (A 4 <A 3)). Prin raționament similar, ajungem la concluzia că divizorii comuni ai numerelor A 3 și A 4 este același cu divizorii comuni ai numerelor A 2 și A 3 și, de asemenea, cu divizori comuni A 1 și A 2. pentru că A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... numere care sunt în continuă scădere și, deoarece există un număr finit de numere întregi între A 2 și 0, apoi la un pas n, restul diviziei A non A n+1 va fi egal cu zero ( A n+2=0).
.
Fiecare divizor comun λ numere A 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor de numere A 2 și A 3 , A 3 și A 4 , .... A n și A n+1. Este adevărat și invers, divizori comuni ai numerelor A n și A n+1 sunt și divizori de numere A n−1 și A n , .... , A 2 și A 3 , A 1 și A 2. Dar divizorul comun A n și A n+1 este un număr A n+1, deoarece A n și A n+1 sunt divizibile cu A n+1 (reamintim că A n+2=0). prin urmare A n+1 este, de asemenea, un divizor de numere A 1 și A 2 .
Rețineți că numărul A n+1 este cel mai mare divizor al numărului A n și A n+1 , deoarece cel mai mare divizor A n+1 este el însuși A n+1. În cazul în care un A n + 1 poate fi reprezentat ca un produs de numere întregi, atunci aceste numere sunt și divizori comuni ai numerelor A 1 și A 2. Număr A sunt numite n+1 cel mai mare divizor comun numere A 1 și A 2 .
Numerele A 1 și A 2 poate fi atât numere pozitive, cât și numere negative. Dacă unul dintre numere este egal cu zero, atunci cel mai mare divizor comun al acestor numere va fi egal cu valoarea absolută a celuilalt număr. Cel mai mare divizor comun al numerelor zero nu este definit.
Algoritmul de mai sus este numit algoritmul lui Euclid pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere întregi.
Un exemplu de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere
Aflați cel mai mare divizor comun al două numere 630 și 434.
- Pasul 1. Împărțiți numărul 630 la 434. Restul este 196.
- Pasul 2. Împărțiți numărul 434 la 196. Restul este 42.
- Pasul 3. Împarte numărul 196 la 42. Restul este 28.
- Pasul 4. Împarte numărul 42 la 28. Restul este 14.
- Pasul 5. Împarte numărul 28 la 14. Restul este 0.
La pasul 5, restul diviziunii este 0. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor 630 și 434 este 14. Rețineți că numerele 2 și 7 sunt, de asemenea, divizori ai numerelor 630 și 434.
Numerele coprime
Definiție 1. Fie cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 este egal cu unu. Apoi aceste numere sunt numite numere coprime care nu au un divizor comun.
Teorema 1. În cazul în care un A 1 și A 2 numere prime relativ și λ un număr, apoi orice divizor comun al numerelor λa 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor comun al numerelor λ și A 2 .
Dovada. Luați în considerare algoritmul lui Euclid pentru găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 (vezi mai sus).
.
Din condițiile teoremei rezultă că cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 și, prin urmare A n și A n+1 este 1. I.e. A n+1=1.
Să înmulțim toate aceste egalități cu λ , apoi
.
Fie divizorul comun A 1 λ și A 2 este δ . Apoi δ intră ca factor în A 1 λ , m 1 A 2 λ si in A 1 λ -m 1 A 2 λ =A 3 λ (Vezi „Divizibilitatea numerelor”, Afirmația 2). Mai departe δ intră ca factor în A 2 λ și m 2 A 3 λ , și deci intră ca factor în A 2 λ -m 2 A 3 λ =A 4 λ .
Raţionând în acest fel, suntem convinşi că δ intră ca factor în A n−1 λ și m n−1 A n λ , și deci în A n−1 λ −m n−1 A n λ =A n+1 λ . pentru că A n+1 =1, atunci δ intră ca factor în λ . De aici și numărul δ este un divizor comun al numerelor λ și A 2 .
Luați în considerare cazuri speciale ale teoremei 1.
Consecinţă 1. Lăsa Ași c numerele prime sunt relativ b. Apoi produsul lor ac este un număr prim în raport cu b.
Într-adevăr. Din teorema 1 acși b au aceiași divizori comuni ca cși b. Dar cifrele cși b coprim, adică au un singur divizor comun 1. Atunci acși b au de asemenea un singur divizor comun 1. Prin urmare acși b reciproc simple.
Consecinţă 2. Lăsa Ași b numere coprime și fie b desparte ak. Apoi b desparte si k.
Într-adevăr. Din condiția afirmației akși b au un divizor comun b. În virtutea teoremei 1, b trebuie să fie un divizor comun bși k. prin urmare b desparte k.
Corolarul 1 poate fi generalizat.
Consecinţă 3. 1. Lasă numerele A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sunt prime în raport cu numărul b. Apoi A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m , produsul acestor numere este prim în raport cu numărul b.
2. Să avem două rânduri de numere
astfel încât fiecare număr din primul rând este prim în raport cu fiecare număr din al doilea rând. Apoi produsul
Este necesar să găsiți astfel de numere care sunt divizibile cu fiecare dintre aceste numere.
Dacă numărul este divizibil cu A 1, atunci se pare sa 1, unde s oarecare număr. În cazul în care un q este cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2, atunci
Unde s 1 este un număr întreg. Apoi
este cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 și A 2 .
A 1 și A 2 coprime, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 și A 2:
Găsiți cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
Din cele de mai sus rezultă că orice multiplu al numerelor A 1 , A 2 , A 3 trebuie să fie un multiplu de numere ε și A 3 și invers. Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε și A 3 este ε unu . În plus, un multiplu de numere A 1 , A 2 , A 3 , A 4 trebuie să fie un multiplu de numere ε 1 și A patru . Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε 1 și A 4 este ε 2. Astfel, am aflat că toți multiplii numerelor A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m coincid cu multiplii unui anumit număr ε n, care se numește cel mai mic multiplu comun al numerelor date.
În cazul particular când numerele A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m coprim, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 , A 2 după cum se arată mai sus are forma (3). Mai departe, din moment ce A 3 prim în raport cu numerele A 1 , A 2, atunci A 3 este un număr relativ prim A unu · A 2 (Corolarul 1). Deci cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 ,A 2 ,A 3 este un număr A unu · A 2 · A 3 . Argumentând în mod similar, ajungem la următoarele afirmații.
Afirmație 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este egal cu produsul lor A unu · A 2 · A 3 ··· A m .
Afirmație 2. Orice număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este de asemenea divizibil cu produsul lor A unu · A 2 · A 3 ··· A m .
Calculatorul online vă permite să găsiți rapid cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun de două sau orice alt număr de numere.
Calculator pentru găsirea GCD și NOC
Găsiți GCD și NOC
GCD și NOC găsite: 5806
Cum se folosește calculatorul
- Introduceți numere în câmpul de introducere
- În cazul introducerii unor caractere incorecte, câmpul de introducere va fi evidențiat cu roșu
- apăsați butonul „Găsiți GCD și NOC”
Cum se introduc numerele
- Numerele sunt introduse separate prin spații, puncte sau virgule
- Lungimea numerelor introduse nu este limitată, deci găsirea mcd și mcm al numerelor lungi nu va fi dificilă
Ce este NOD și NOK?
Cel mai mare divizor comun a mai multor numere este cel mai mare întreg natural prin care toate numerele originale sunt divizibile fără rest. Cel mai mare divizor comun este prescurtat ca GCD.
Cel mai mic multiplu comun mai multe numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele originale fără rest. Cel mai mic multiplu comun este prescurtat ca NOC.
Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?
Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu altul fără rest, puteți folosi unele proprietăți de divizibilitate a numerelor. Apoi, combinându-le, se poate verifica divizibilitatea după unele dintre ele și combinațiile lor.
Câteva semne de divizibilitate a numerelor
1. Semnul divizibilității unui număr cu 2
Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu doi (dacă este par), este suficient să ne uităm la ultima cifră a acestui număr: dacă este egal cu 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul este par, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 2.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 2.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul este divizibil cu doi.
2. Semnul divizibilității unui număr cu 3
Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor sale este divizibil cu 3. Astfel, pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie să calculați suma cifrelor și să verificați dacă este divizibil cu 3. Chiar dacă suma cifrelor s-a dovedit a fi foarte mare, puteți repeta același proces din nou.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 3.
Soluţie: numărăm suma cifrelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu trei.
3. Semnul divizibilității unui număr cu 5
Un număr este divizibil cu 5 când ultima lui cifră este zero sau cinci.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 5.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul NU este divizibil cu cinci.
4. Semnul divizibilității unui număr cu 9
Acest semn este foarte asemănător cu semnul divizibilității cu trei: un număr este divizibil cu 9 când suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 9.
Soluţie: calculăm suma cifrelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu nouă.
Cum să găsiți MCD și LCM a două numere
Cum să găsiți GCD-ul a două numere
Cel mai simplu mod de a calcula cel mai mare divizor comun a două numere este de a găsi toți divizorii posibili ai acelor numere și de a alege cel mai mare dintre ei.
Luați în considerare această metodă folosind exemplul de găsire a GCD(28, 36):
- Factorizăm ambele numere: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
- Găsim factori comuni, adică cei pe care ambele numere îi au: 1, 2 și 2.
- Calculăm produsul acestor factori: 1 2 2 \u003d 4 - acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 36.
Cum se găsește LCM a două numere
Există două modalități cele mai comune de a găsi cel mai mic multiplu a două numere. Prima modalitate este că puteți scrie primii multipli ai două numere și apoi alegeți dintre ei un astfel de număr care va fi comun ambelor numere și, în același timp, cel mai mic. Și al doilea este să găsiți GCD-ul acestor numere. Să ne gândim doar la asta.
Pentru a calcula LCM, trebuie să calculați produsul numerelor originale și apoi să îl împărțiți la GCD găsit anterior. Să găsim LCM pentru aceleași numere 28 și 36:
- Aflați produsul numerelor 28 și 36: 28 36 = 1008
- gcd(28, 36) este deja cunoscut ca fiind 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Găsirea GCD și LCM pentru numere multiple
Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere și nu doar pentru două. Pentru aceasta, numerele care trebuie găsite pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere. De asemenea, pentru a găsi GCD-ul mai multor numere, puteți utiliza următoarea relație: mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c).
O relație similară se aplică și celui mai mic multiplu comun de numere: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Exemplu: găsiți GCD și LCM pentru numerele 12, 32 și 36.
- Mai întâi, să factorizăm numerele: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Să găsim factori comuni: 1, 2 și 2 .
- Produsul lor va da mcd: 1 2 2 = 4
- Acum să găsim LCM: pentru aceasta găsim mai întâi LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- Pentru a găsi LCM a tuturor celor trei numere, trebuie să găsiți MCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , MCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
- LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Cel mai mic multiplu comun a două numere este direct legat de cel mai mare divizor comun al acestor numere. Acest legătura dintre GCD și NOC este definită de următoarea teoremă.
Teorema.
Cel mai mic multiplu comun al două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul dintre a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).
Dovada.
Lăsa M este un multiplu al numerelor a și b. Adică, M este divizibil cu a și, după definiția divizibilității, există un număr întreg k astfel încât egalitatea M=ak·k este adevărată. Dar M este și divizibil cu b, atunci a k este divizibil cu b.
Notați mcd(a, b) ca d . Apoi putem nota egalitățile a=a 1 ·d și b=b 1 ·d, iar a 1 =a:d și b 1 =b:d vor fi numere coprime. Prin urmare, condiția obținută în paragraful anterior că a k este divizibil cu b poate fi reformulată astfel: a 1 d k este divizibil cu b 1 d , iar aceasta, datorită proprietăților divizibilității, este echivalentă cu condiția ca a 1 k este divizibil cu b unu .
De asemenea, trebuie să notăm două corolare importante din teorema considerată.
Multiplii comuni ai două numere sunt la fel cu multiplii celui mai mic multiplu comun al acestora.
Acest lucru este adevărat, deoarece orice multiplu comun al M numere a și b este definit de egalitatea M=LCM(a, b) t pentru o valoare întreagă t .
Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime pozitive a și b este egal cu produsul lor.
Motivul pentru acest fapt este destul de evident. Deoarece a și b sunt între prime, atunci mcd(a, b)=1, prin urmare, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere
Găsirea celui mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea succesivă a LCM a două numere. Cum se face acest lucru este indicat în următoarea teoremă: a 1 , a 2 , …, a k coincid cu multipli comuni ai numerelor m k-1 și a k , prin urmare, coincid cu multiplii lui m k . Și deoarece cel mai mic multiplu pozitiv al numărului m k este numărul m k însuși, atunci cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1 , a 2 , …, a k este m k .
Bibliografie.
- Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
- Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
- Mihailovici Sh.Kh. Teoria numerelor.
- Kulikov L.Ya. şi altele.Culegere de probleme de algebră şi teoria numerelor: Manual pentru studenţii de fiz.-mat. specialităţile institutelor pedagogice.
Pentru a înțelege cum să calculați LCM, ar trebui mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.
Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, 15, 20, 25 și așa mai departe pot fi considerați multipli ai lui 5.
Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.
Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără rest.
Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor
Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil egal cu toate aceste numere.
Pentru a găsi NOC, puteți utiliza mai multe metode.
Pentru numerele mici, este convenabil să scrieți într-o linie toți multiplii acestor numere până când se găsește unul comun printre ei. Multiplii sunt notați în înregistrare cu litera K majusculă.
De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Deci, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această intrare se efectuează după cum urmează:
LCM(4, 6) = 24
Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă modalitate de a calcula LCM.
Pentru a finaliza sarcina, este necesar să descompuneți numerele propuse în factori primi.
Mai întâi trebuie să scrieți extinderea celui mai mare dintre numere dintr-o linie, iar sub ea - restul.
În extinderea fiecărui număr, poate exista un număr diferit de factori.
De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.
În extinderea numărului mai mic, trebuie subliniați factorii care lipsesc în extinderea primului număr cel mai mare și apoi adăugați-i la acesta. În exemplul prezentat, un deuce lipsește.
Acum putem calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Astfel, produsul dintre factorii primi ai numărului mai mare și factorii numărului al doilea, care nu sunt incluși în descompunerea numărului mai mare, va fi cel mai mic multiplu comun.
Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, toate acestea ar trebui descompuse în factori primi, ca în cazul precedent.
De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Astfel, doar doi doi din descompunerea lui șaisprezece nu au fost incluse în factorizarea unui număr mai mare (unul este în descompunerea lui douăzeci și patru).
Astfel, ele trebuie adăugate la descompunerea unui număr mai mare.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.
De exemplu, NOC de doisprezece și douăzeci și patru ar fi douăzeci și patru.
Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au aceiași divizori, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.
De exemplu, LCM(10, 11) = 110.
