Lecția: Cum se construiește o parabolă sau o funcție pătratică?

PARTEA TEORETICĂ

O parabolă este un grafic al unei funcții descrisă prin formula ax 2 +bx+c=0.
Pentru a construi o parabolă trebuie să urmați un algoritm simplu:

1) Formula parabolă y=ax 2 +bx+c,
Dacă a>0 apoi ramurile parabolei sunt dirijate sus,
în caz contrar ramurile parabolei sunt îndreptate jos.
Membru gratuit c acest punct intersectează parabola cu axa OY;

2), se găsește folosind formula x=(-b)/2a, înlocuim x găsit în ecuația parabolă și găsim y;

3)Zerourile funcției sau, cu alte cuvinte, punctele de intersecție ale parabolei cu axa OX, se mai numesc și rădăcinile ecuației. Pentru a găsi rădăcinile echivalăm ecuația cu 0 ax 2 +bx+c=0;

Tipuri de ecuații:

a) Ecuația pătratică completă are forma ax 2 +bx+c=0și este rezolvată de discriminant;
b) Ecuație pătratică incompletă de formă ax 2 +bx=0. Pentru a o rezolva, trebuie să scoateți x din paranteze, apoi să echivalați fiecare factor cu 0:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 și ax+b=0;
c) Ecuație pătratică incompletă de formă ax 2 +c=0. Pentru a o rezolva, trebuie să mutați necunoscutele într-o parte și cele cunoscute în cealaltă. x =±√(c/a);

4) Găsiți mai multe puncte suplimentare pentru a construi funcția.

PARTEA PRACTICĂ

Și acum, folosind un exemplu, vom analiza totul pas cu pas:
Exemplul #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 înseamnă că parabola intersectează OY în punctul x=0 y=3. Ramurile parabolei caută în sus din moment ce a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vârful este în punctul (-2;-1)
Să găsim rădăcinile ecuației x 2 +4x+3=0
Folosind discriminantul găsim rădăcinile
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Să luăm câteva puncte arbitrare care sunt situate în apropierea vârfului x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Înlocuiți în loc de x în ecuația y=x 2 +4x+3 valori
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Din valorile funcției se poate observa că parabola este simetrică față de linia dreaptă x = -2

Exemplul #2:
y=-x 2 +4x
c=0 înseamnă că parabola intersectează OY în punctul x=0 y=0. Ramurile parabolei privesc în jos deoarece a=-1 -1 Să găsim rădăcinile ecuației -x 2 +4x=0
Ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0. Pentru a o rezolva, trebuie să scoateți x din paranteze, apoi să echivalați fiecare factor cu 0.
x(-x+4)=0, x=0 și x=4.

Să luăm câteva puncte arbitrare care sunt situate în apropierea vârfului x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Înlocuiți în loc de x în ecuația y=-x 2 +4x valori
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Din valorile funcției se poate observa că parabola este simetrică față de linia dreaptă x = 2

Exemplul nr. 3
y=x 2 -4
c=4 înseamnă că parabola intersectează OY în punctul x=0 y=4. Ramurile parabolei caută în sus din moment ce a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 vârful este în punctul (0;- 4)
Să găsim rădăcinile ecuației x 2 -4=0
Ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0. Pentru a o rezolva, trebuie să mutați necunoscutele într-o parte și cele cunoscute în cealaltă. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Să luăm câteva puncte arbitrare care sunt situate în apropierea vârfului x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Înlocuiți în loc de x în ecuația y= x 2 -4 valori
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Din valorile funcției se poate observa că parabola este simetrică față de linia dreaptă x = 0

Abonati-va pe canalul de pe YOUTUBE pentru a fi la curent cu toate noile produse și a se pregăti cu noi pentru examene.

După cum arată practica, sarcinile privind proprietățile și graficele unei funcții pătratice provoacă dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece ei studiază funcția pătratică în clasa a 8-a, iar apoi pe parcursul primului trimestru al clasei a IX-a „chinuiază” proprietățile parabolei și își construiesc grafice pentru diferiți parametri.

Acest lucru se datorează faptului că atunci când îi forțează pe elevi să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirii” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după construirea unei duzini sau două grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspectul graficului. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare, este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o posedă. Între timp, Inspectoratul de Stat propune să se determine semnele coeficienților folosind graficul.

Nu vom cere imposibilul de la școlari și vom oferi pur și simplu unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

Deci, o funcție a formei y = ax 2 + bx + c numit pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, termenul principal este toporul 2. Acesta este A nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bȘi Cu) poate fi egal cu zero.

Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul unei parabole.

Cea mai simplă dependență pentru coeficient A. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă A> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

În acest caz A = 0,5

Și acum pentru A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = - 0,5

Impactul coeficientului Cu De asemenea, este destul de ușor de urmărit. Să ne imaginăm că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:

y = A 0 2 + b 0 + c = c. Se pare că y = c. Acesta este Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De obicei, acest punct este ușor de găsit pe grafic. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Acesta este Cu> 0 sau Cu < 0.

Cu > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Cu < 0

y = x 2 + 4x - 3

În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:

y = x 2 + 4x

Mai dificil cu parametrul b. Punctul în care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din A. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în = - b/(2a). Prin urmare, b = - 2ax in. Adică, procedăm astfel: găsim vârful parabolei pe grafic, determinăm semnul abscisei sale, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.

Cu toate acestea, asta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului A. Adică, uită-te la locul în care sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.

Să ne uităm la un exemplu:

Ramurile sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă A> 0, parabola intersectează axa la sub zero, adică Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Cu < 0.

Note de lecție de algebră pentru clasa a VIII-a

Subiectul lecției: Funcție

Scopul lecției:

· Educational: definiți conceptul de funcție pătratică a formei (comparați graficele funcțiilor și ), afișați formula pentru găsirea coordonatelor vârfului unei parabole (învățați cum să aplicați această formulă în practică); pentru a dezvolta capacitatea de a determina proprietățile unei funcții pătratice dintr-un grafic (găsirea axei de simetrie, coordonatele vârfului unei parabole, coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele de coordonate).

· De dezvoltare: dezvoltarea vorbirii matematice, capacitatea de a-și exprima corect, consecvent și rațional gândurile; dezvoltarea deprinderii de a scrie corect textul matematic folosind simboluri și notații; dezvoltarea gândirii analitice; dezvoltarea activității cognitive a elevilor prin capacitatea de a analiza, sistematiza și generaliza materialul.

· Educational: promovarea independenței, a capacității de a-i asculta pe ceilalți, dezvoltarea acurateței și a atenției în vorbirea matematică scrisă.

Tipul de lecție: învățarea de material nou.

Metode de predare:

euristică generalizată reproductivă, inductivă.

Cerințe pentru cunoștințele și aptitudinile elevilor

cunoașteți ce este o funcție pătratică a formei, formula pentru găsirea coordonatelor vârfului unei parabole; să poată găsi coordonatele vârfului unei parabole, coordonatele punctelor de intersecție ale graficului unei funcții cu axele de coordonate și să folosească graficul unei funcții pentru a determina proprietățile unei funcții pătratice.

Echipamente:

Planul lecției

I. Moment organizatoric (1-2 min)

II. Actualizarea cunoștințelor (10 min)

III. Prezentarea de material nou (15 min)

IV. Consolidarea materialului nou (12 min)

V. Rezumat (3 min)

VI. Temă pentru acasă (2 min)

În timpul orelor

I. Moment organizatoric

Salutarea, verificarea absenților, strângerea caietelor.

II. Actualizarea cunoștințelor

Profesor: În lecția de astăzi vom studia o nouă temă: „Funcția”. Dar mai întâi, să repetăm ​​materialul studiat anterior.

Studiu frontal:

1) Ce se numește funcție pătratică? (O funcție în care numere reale date, , este o variabilă reală, se numește funcție pătratică.)

2) Care este graficul unei funcții pătratice? (Graficul unei funcții pătratice este o parabolă.)

3) Care sunt zerourile unei funcții pătratice? (Zerourile unei funcții pătratice sunt valorile la care aceasta devine zero.)

4) Enumerați proprietățile funcției. (Valorile funcției sunt pozitive la și egale cu zero la; graficul funcției este simetric față de axele ordonatelor; la - funcția crește, la - scade.)

5) Enumerați proprietățile funcției. (Dacă , atunci funcția ia valori pozitive la , dacă , atunci funcția ia valori negative la , valoarea funcției este doar 0; parabola este simetrică față de axa ordonatelor; dacă , atunci funcția crește la și scade la , dacă , atunci funcția crește la , scade – la .)

III. Prezentarea noului material

Profesor: Să începem să învățăm material nou. Deschide-ți caietele, notează data și subiectul lecției. Atenție la bord.

Scrierea pe tablă: Număr.

Funcţie.

Profesor: Pe tablă vezi două grafice de funcții. Primul grafic, iar al doilea. Să încercăm să le comparăm.

Cunoașteți proprietățile funcției. Pe baza acestora și comparând graficele noastre, putem evidenția proprietățile funcției.

Deci, ce credeți că va determina direcția ramurilor parabolei?

Elevi: Direcția ramurilor ambelor parabole va depinde de coeficient.

Profesor: Absolut corect. De asemenea, puteți observa că ambele parabole au o axă de simetrie. În primul grafic al funcției, care este axa de simetrie?

Elevi: Pentru o parabolă, axa de simetrie este axa ordonatelor.

Profesor: Dreapta. Care este axa de simetrie a unei parabole?

Elevi: Axa de simetrie a unei parabole este dreapta care trece prin vârful parabolei, paralelă cu axa ordonatelor.

Profesor: Dreapta. Deci, axa de simetrie a graficului unei funcții se va numi dreptă care trece prin vârful parabolei, paralelă cu axa ordonatelor.

Iar vârful unei parabole este un punct cu coordonate. Ele sunt determinate de formula:

Scrieți formula în caiet și încercuiți-o într-un cadru.

Scrierea la tablă și în caiete

Coordonatele vârfului parabolei.

Profesor: Acum, pentru a fi mai clar, să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1: Aflați coordonatele vârfului parabolei.

Rezolvare: Conform formulei

Profesor: După cum am observat deja, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Uită-te la tablă. Desenați această imagine în caiet.

Scrieți pe tablă și în caiete:

Profesor:În desen: - ecuația axei de simetrie a unei parabole cu vârful în punctul în care abscisa este vârful parabolei.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 2: Folosind graficul funcției, determinați ecuația pentru axa de simetrie a parabolei.

Ecuația pentru axa de simetrie are forma: , ceea ce înseamnă că ecuația pentru axa de simetrie a acestei parabole este .

Raspuns: - ecuatia axei de simetrie.

IV.Consolidarea materialului nou

Profesor: Sarcinile care trebuie rezolvate la clasă sunt scrise pe tablă.

Scrierea pe tablă: № 609(3), 612(1), 613(3)

Profesor: Dar mai întâi, să rezolvăm un exemplu care nu este din manual. Vom decide la consiliu.

Exemplul 1: Aflați coordonatele vârfului unei parabole

Rezolvare: Conform formulei

Răspuns: coordonatele vârfului parabolei.

Exemplul 2: Aflați coordonatele punctelor de intersecție ale parabolei cu axe de coordonate.

Rezolvare: 1) Cu axa:

Acestea.

Conform teoremei lui Vieta:

Punctele de intersecție cu axa x sunt (1;0) și (2;0).

2) Cu axă:

Punctul de intersecție cu axa ordonatelor (0;2).

Răspuns: (1;0), (2;0), (0;2) – coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate.

nr. 609(3). Aflați coordonatele vârfului parabolei

Determinarea valorilor coeficienților unei funcții pătratice dintr-un grafic.

Dezvoltarea metodologică de către Sagnaeva A.M.

Școala secundară MBOU nr. 44, Surgut, regiunea autonomă Khanty-Mansi, Yugra .

eu. Aflarea coeficientului A

• Folosind graficul unei parabole, determinăm coordonatele vârfului (m,n)

2. Folosind graficul unei parabole, determinăm coordonatele oricărui punct A (X 1 ;y 1 )

3. Substituim aceste valori în formula unei funcții pătratice specificate într-o formă diferită:

y=a(x-m)2+n

4. rezolvați ecuația rezultată.

Oh 1 ;y 1 )

parabolă

eu. Aflarea coeficientului b

1. Mai întâi găsim valoarea coeficientului A

2. În formula pentru abscisa unei parabole m= -b/2aînlocuiți valorile mȘi A

3. Calculați valoarea coeficientului b .

Oh 1 ;y 1 )

parabolă

eu. Aflarea coeficientului c

1. Găsim ordonata punctului de intersecție a graficului parabolei cu axa Oy, această valoare este egală cu coeficientul Cu, adică punct (0;s)-punctul de intersecție a graficului parabolei cu axa Oy.

2. Dacă din grafic este imposibil să găsim punctul de intersecție al parabolei cu axa Oy, atunci găsim coeficienții a,b

(vezi pașii I, I)

3. Înlocuiți valorile găsite a, b, A(x 1; la 1 ) în ecuație

y=ax 2 +bx+c si gasim Cu.

Oh 1 ;y 1 )

parabolă

Sarcini

cheie

Ιx 2 Ι și x 1 0, deoarece a Ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa OY este coeficientul c Răspuns: 5 c x 1 x 2 "width="640"

• Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos,

• Rădăcinile au semne diferite, Ι x 1 ΙΙх 2 Ι și x 1 0, deoarece A
• Coeficientul este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa OY Cu

X 1

X 2

P Cheie

0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Răspuns: 5 "width="640"

1. Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, ceea ce înseamnă a

• x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.

0 pentru că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus; 2. c=y(0)3. Vârful parabolei are o abscisă pozitivă: în acest caz a este 0, deci b4. D0, pentru că parabola intersectează axa OX în două puncte diferite. "width="640"

Figura prezintă un grafic al funcției y=ax 2 +bx+c. Indicați semnele coeficienților a, b, c și discriminantul D.

Soluţie:

1. a0, deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus;

3. Vârful parabolei are o abscisă pozitivă:

în acest caz a 0, deci b

4. D0, deoarece parabola intersectează axa OX în două puncte diferite.

Imaginea prezintă o parabolă

Specificați valori kȘi t .

Aflați coordonatele vârfului parabolei și scrieți funcția al cărei grafic este prezentat în figură.

Aflați unde sunt abscisele punctelor de intersecție

parabole și linii drepte orizontale (vezi figura).

Prezentarea „Funcția y=ax 2, graficul și proprietățile sale” este un ajutor vizual care a fost creat pentru a însoți explicația profesorului pe această temă. Această prezentare discută în detaliu funcția pătratică, proprietățile acesteia, caracteristicile graficului și aplicarea practică a metodelor utilizate pentru rezolvarea problemelor din fizică.

Oferind un grad ridicat de claritate, acest material va ajuta profesorul să sporească eficacitatea predării și să ofere o oportunitate de a distribui mai rațional timpul în lecție. Cu ajutorul efectelor de animație, evidențierea conceptelor și a punctelor importante în culoare, atenția elevilor este concentrată asupra subiectului studiat și se realizează o mai bună memorare a definițiilor și a cursului de raționament la rezolvarea problemelor.

Prezentarea începe cu o introducere la titlul prezentării și conceptul de funcție pătratică. Se subliniază importanța acestui subiect. Elevii sunt rugați să-și amintească definiția unei funcții pătratice ca dependență funcțională de forma y=ax 2 +bx+c, în care este o variabilă independentă și sunt numere, cu a≠0. Separat, pe slide-ul 4 se remarcă pentru a ne aminti că domeniul de definire a acestei funcții este întreaga axă a valorilor reale. În mod convențional, această afirmație este notă cu D(x)=R.

Un exemplu de funcție pătratică este aplicarea sa importantă în fizică - formula pentru dependența căii în timpul mișcării accelerate uniform în timp. În același timp, la lecțiile de fizică, elevii studiază formule pentru diferite tipuri de mișcare, așa că vor avea nevoie de capacitatea de a rezolva astfel de probleme. Pe diapozitivul 5, elevilor li se amintește că atunci când un corp se mișcă cu accelerație și la începutul timpului se numără distanța parcursă și viteza de deplasare sunt cunoscute, atunci dependența funcțională reprezentând o astfel de mișcare va fi exprimată prin formula S = (la 2)/2+v0 t+S0. Mai jos este un exemplu de transformare a acestei formule într-o funcție pătratică dată dacă valorile accelerației = 8, viteza inițială = 3 și calea inițială = 18. În acest caz, funcția va lua forma S=4t 2 +3t+18.

Slide 6 examinează forma funcției pătratice y=ax 2, în care este reprezentată la. Dacă =1, atunci funcția pătratică are forma y=x 2. Se observă că graficul acestei funcții va fi o parabolă.

Următoarea parte a prezentării este dedicată trasării unei funcții pătratice. Se propune să se ia în considerare reprezentarea grafică a funcției y=3x 2 . În primul rând, tabelul indică corespondența dintre valorile funcției și valorile argumentului. Se observă că diferența dintre graficul construit al funcției y=3x 2 și graficul funcției y=x 2 este că fiecare valoare va fi de trei ori mai mare decât cea corespunzătoare. Această diferență este bine urmărită în vizualizarea tabelului. În apropiere, în reprezentarea grafică, se vede clar și diferența de îngustare a parabolei.

Următorul diapozitiv privește trasarea funcției pătratice y=1/3 x 2. Pentru a construi un grafic, trebuie să indicați în tabel valorile funcției la un număr de puncte ale acesteia. Se observă că fiecare valoare a funcției y=1/3 x 2 este de 3 ori mai mică decât valoarea corespunzătoare a funcției y=x 2. Această diferență, pe lângă tabel, este clar vizibilă în grafic. Parabola sa este mai extinsă în raport cu axa ordonatelor decât parabola funcției y=x 2.

Exemplele ajută la înțelegerea regulii generale, conform căreia puteți construi mai simplu și mai rapid graficele corespunzătoare. Pe slide 9 se evidențiază o regulă separată că graficul funcției pătratice y=ax 2 poate fi construit în funcție de valoarea coeficientului prin întinderea sau îngustarea graficului. Dacă a>1, atunci graficul se întinde de pe axa x cu un factor. Daca 0

Concluzia despre simetria graficelor funcțiilor y=ax 2 și y=-ax2 (la ≠0) față de axa absciselor este evidențiată separat pe slide 12 pentru memorare și este afișată clar pe graficul corespunzător. În continuare, conceptul de grafic al unei funcții pătratice y=x 2 este extins la cazul mai general al funcției y=ax 2, precizând că un astfel de grafic va fi numit și parabolă.

Slide 14 discută proprietățile funcției pătratice y=ax 2 când este pozitivă. Se observă că graficul său trece prin origine și toate punctele, cu excepția planului, se află în semiplanul superior. Se notează simetria graficului față de axa ordonatelor, specificând că valorile opuse ale argumentului corespund acelorași valori ale funcției. Se indică faptul că intervalul de scădere a acestei funcții este (-∞;0], iar creșterea funcției se efectuează pe interval. Valorile acestei funcții acoperă întreaga parte pozitivă a axei reale, este egal cu zero în punct și nu are cea mai mare valoare.

Slide 15 descrie proprietățile funcției y=ax 2 dacă este negativ. Se observă că graficul său trece și prin origine, dar toate punctele sale, cu excepția, se află în semiplanul inferior. Graficul este simetric față de axă, iar valorile opuse ale argumentului corespund valorilor egale ale funcției. Funcția crește pe interval și scade pe. Valorile acestei funcții se află în interval, este egală cu zero într-un punct și nu are o valoare minimă.

Rezumând caracteristicile luate în considerare, pe slide 16 se concluzionează că ramurile parabolei sunt îndreptate în jos spre, și în sus către. Parabola este simetrică față de axă, iar vârful parabolei este situat în punctul de intersecție cu axa. Vârful parabolei y=ax 2 este originea.

De asemenea, o concluzie importantă despre transformările parabolelor este afișată în diapozitivul 17. Acesta prezintă opțiuni pentru transformarea graficului unei funcții pătratice. Se observă că graficul funcției y=ax 2 este transformat prin afișarea simetrică a graficului relativ la axă. De asemenea, este posibil să comprimați sau să întindeți graficul în raport cu axa.

Ultimul diapozitiv trage concluzii generale despre transformările graficului unei funcții. Sunt prezentate concluziile că graficul unei funcții se obține printr-o transformare simetrică în jurul axei. Iar graficul funcției se obține prin comprimarea sau întinderea graficului original de pe axă. În acest caz, se observă extinderea la tracțiune față de axă în cazul în care. Prin comprimarea axei de 1/a ori se formează graficul în caz.

Prezentarea „Funcția y=ax 2, graficul și proprietățile sale” poate fi folosită de un profesor ca ajutor vizual într-o lecție de algebră. De asemenea, acest manual acoperă bine subiectul, oferind o înțelegere aprofundată a subiectului, astfel încât să poată fi oferit studiului independent de către studenți. Acest material îl va ajuta și pe profesor să dea explicații în timpul învățământului la distanță.