În sarcinile de construcție, vom lua în considerare construcția unei figuri geometrice, care poate fi efectuată folosind o riglă și o busolă.

Cu o riglă, puteți:

linie arbitrară;

o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct dat;

o linie dreaptă care trece prin două puncte date.

Folosind o busolă, puteți descrie un cerc cu o rază dată de la un centru dat.

O busolă poate fi folosită pentru a desena un segment pe o linie dată dintr-un punct dat.

Luați în considerare principalele sarcini pentru construcție.

Sarcina 1. Construiți un triunghi cu laturile date a, b, c (Fig. 1).

Decizie. Cu ajutorul unei rigle, trageți o dreaptă arbitrară și luați pe ea un punct arbitrar B. Cu o deschidere a busolei egală cu a, descriem un cerc cu centrul B și raza a. Fie C punctul de intersecție cu dreapta. Cu o deschidere de busolă egală cu c, descriem un cerc din centrul B, iar cu o deschidere de busolă egală cu b - un cerc de la centrul C. Fie A punctul de intersecție al acestor cercuri. Triunghiul ABC are laturile egale cu a, b, c.

Cometariu. Pentru ca trei segmente de dreaptă să servească drept laturi ale unui triunghi, este necesar ca cea mai mare dintre ele să fie mai mică decât suma celorlalte două (și< b + с).

Sarcina 2.

Decizie. Acest unghi cu vârful A și fasciculul OM sunt prezentate în Figura 2.

Desenați un cerc arbitrar centrat la vârful A al unghiului dat. Fie B și C punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului (Fig. 3, a). Să desenăm un cerc cu raza AB cu centrul în punctul O - punctul de plecare al acestei raze (Fig. 3, b). Punctul de intersecție al acestui cerc cu raza dată va fi notat ca С 1 . Să descriem un cerc cu centrul C 1 și raza BC. Punctul B 1 al intersecției a două cercuri se află pe partea unghiului dorit. Aceasta rezultă din egalitatea Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).

Sarcina 3. Construiți bisectoarea unghiului dat (Fig. 4).

Decizie. Din vârful A unui unghi dat, ca de la centru, desenăm un cerc de rază arbitrară. Fie B și C punctele de intersecție cu laturile unghiului. Din punctele B și C cu aceeași rază descriem cercuri. Fie D punctul lor de intersecție, diferit de A. Raza AD împarte unghiul A la jumătate. Aceasta rezultă din egalitatea ΔABD = ΔACD (al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).

Sarcina 4. Desenați o mediană perpendiculară pe acest segment (Fig. 5).

Decizie. Cu o deschidere de busolă arbitrară, dar identică (mare 1/2 AB), descriem două arce cu centre în punctele A și B, care se vor intersecta în unele puncte C și D. Linia dreaptă CD va fi perpendiculara necesară. Într-adevăr, după cum se poate observa din construcție, fiecare dintre punctele C și D este la fel de îndepărtat de A și B; prin urmare, aceste puncte trebuie să se afle pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB.

Sarcina 5.Împărțiți acest segment în jumătate. Se rezolvă în același mod ca problema 4 (vezi Fig. 5).

Sarcina 6. Printr-un punct dat, trageți o dreaptă perpendiculară pe dreapta dată.

Decizie. Sunt posibile două cazuri:

1) punctul dat O se află pe dreapta dată a (Fig. 6).

Din punctul O desenăm un cerc cu o rază arbitrară care intersectează dreapta a în punctele A și B. Din punctele A și B desenăm cercuri cu aceeași rază. Fie О 1 punctul lor de intersecție diferit de О. Se obține ОО 1 ⊥ AB. De fapt, punctele O și O 1 sunt echidistante de capetele segmentului AB și, prin urmare, se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Construirea unui unghi egal cu unul dat. Dat: semilinie, unghi. Constructie. V. A. C. 7. Pentru a o demonstra, este suficient să remarcăm că triunghiurile ABC și OB1C1 sunt congruente ca triunghiuri cu laturile respectiv egale. Unghiurile A și O sunt unghiurile corespunzătoare acestor triunghiuri. Este necesar: să amânați de la semilinia dată la semiplanul dat un unghi egal cu unghiul dat. C1. ÎN 1. A. 1. Desenați un cerc arbitrar centrat la vârful A al unghiului dat. 2. Fie B și C punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului. 3. Desenați un cerc cu raza AB centrată în punctul O, punctul de plecare al acestei semi-linii. 4. Notați cu B1 punctul de intersecție al acestui cerc cu semi-linia dată. 5. Descrie un cerc cu centrul B1 și raza BC. 6. Punctul de intersecție C1 al cercurilor construite în semiplanul specificat se află pe partea unghiului necesar.

slide 6 din prezentare „Geometrie „Probleme pentru construcție””. Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 234 KB.

Geometrie clasa 7

rezumatul altor prezentări

„Triunghi isoscel” - Teoremă. Un triunghi este cea mai simplă figură rectilinie închisă. Rezolvarea problemelor. Găsiți unghiul KBA. Egalitatea triunghiurilor. Ghici rebus. ABC este isoscel. Enumerați elementele congruente ale triunghiurilor. Clasificarea triunghiurilor după laturi. Într-un triunghi isoscel AMK AM = AK. Clasificarea triunghiurilor după mărimea unghiurilor. Laturile laterale. Un triunghi cu toate laturile egale. Triunghi isoscel.

„Măsurarea segmentelor și unghiurilor” - Comparația segmentelor. http://www.physicsdepartment.ru/blog/images/0166.jpg. F3 = f4. MN > CD. 1m =. Mijlocul tăieturii. 1 km. Care este cel mai mare număr de părți în care un avion poate fi împărțit prin 4 linii distincte? Alte unități de măsură. Compararea formelor folosind suprapunerea. Comparația unghiurilor. Părțile VM și UE s-au unit. În câte părți poate fi împărțit un plan cu 3 drepte diferite? http://www.robertagor.it/calibro.jpg.

„Un triunghi dreptunghic, proprietățile sale” - Unul dintre colțurile unui triunghi dreptunghic. Decizie. Care triunghi se numește triunghi dreptunghic. Triunghi dreptunghic. Proprietățile unui triunghi dreptunghic. Încălzire. Dezvoltarea gândirii logice. Bisectoare. catetul unui triunghi dreptunghic. Să facem o ecuație. Să aruncăm o privire mai atentă asupra desenului. proprietatea unui triunghi dreptunghic. Locuitorii din trei case. Triunghi.

„Definirea unui unghi” - Conceptele de unghiuri. Glisați razele. Etapa pregătitoare a lecției. Injecţie. Explicația noului material. Un unghi desparte planul. Concepte de zone interne și externe ale unui unghi. Interesat de subiect. Raza din figură împarte unghiul. Determinarea unui unghi îndreptat. Dezvoltarea gândirii logice. Unghi obtuz. Colt ascutit. Cuvinte introductive. Vopsea peste interiorul colțului. Unghiuri. Raza BM împarte unghiul ABC în două unghiuri.

„Al doilea și al treilea semn de egalitate a triunghiurilor” - Laturile. Mediana într-un triunghi isoscel. Al doilea și al treilea semn de egalitate a triunghiurilor. Decizie. Trei laturi ale unui triunghi. Baza. Dovedi. Proprietățile unui triunghi isoscel. Semne de egalitate a triunghiurilor. Rezolvarea problemelor. Dictarea matematică. Unghiuri. Sarcină. Perimetrul unui triunghi isoscel.

„Sistem de coordonate carteziene pe plan” - Planul pe care este specificat sistemul de coordonate carteziane. Coordonatele din viața oamenilor. Sistemul de coordonate geografice. Sistemul de coordonate carteziene în plan. Proiect de algebră. Oamenii de știință care sunt autorii coordonatelor. Astronom grec antic Claudius. Celulă pe terenul de joc. Punctul de intersecție al axelor. Introducerea unei notații mai simple în algebră. Loc în cinematograf. Valoarea sistemului de coordonate carteziene.

lecție de îndemânare geometrie matematică

Rezumatul lecției „Construirea unui unghi egal cu unul dat. Construcția unei bisectoare unghiulare»

educațional: pentru a familiariza elevii cu sarcinile de construcție, în soluția cărora se folosesc doar busole și o riglă; învață cum să construiești un unghi egal cu unul dat, să construiești o bisectoare a unghiului;

dezvoltarea: dezvoltarea gândirii spațiale, a atenției;

educațional: educație pentru diligență și acuratețe.

Echipament: tabele cu ordinea rezolvării sarcinilor de construcție; busolă și riglă.

În timpul orelor:

1. Actualizarea principalelor concepte teoretice (5 min).

În primul rând, puteți efectua un sondaj frontal cu privire la următoarele întrebări:

• 1. Ce figură se numește triunghi?
• 2. Ce triunghiuri se numesc egale?
• 3. Formulați semne de egalitate a triunghiurilor.
• 4. Care segment se numește bisectoarea unui triunghi? Câte bisectoare are un triunghi?
• 5. Definiți un cerc. Care este centrul, raza, coarda și diametrul unui cerc?

Pentru a repeta semnele de egalitate ale triunghiurilor, puteți sugera.

Exercițiu: indicați pe care dintre figuri (Fig. 1) există triunghiuri egale.

Orez. 1

Repetarea conceptului de cerc și a elementelor acestuia poate fi organizată oferind clasei următoarele exercițiu, cu executarea ei de către un elev pe tablă: dat o linie a și un punct A situat pe linie și un punct B care nu se află pe linie. Desenați un cerc centrat în punctul A care trece prin punctul B. Marcați punctele de intersecție ale cercului cu linia a. Numiți razele cercului.

2. Învățarea de material nou (lucru practică) (20 min)

Construirea unui unghi egal cu unul dat

Pentru a lua în considerare materiale noi, este util ca profesorul să aibă un tabel (tabelul nr. 1 din anexa 4). Lucrarea cu masa poate fi organizată în diferite moduri: poate ilustra povestea profesorului sau un eșantion de înregistrare a soluției; puteți invita elevii, folosind tabelul, să spună despre soluția problemei și apoi să o completeze independent în caiete. Tabelul poate fi folosit la intervievarea elevilor și la repetarea materialului.

Sarcină. Lăsați deoparte de raza dată un unghi egal cu cel dat.

Decizie. Acest unghi cu vârful A și fasciculul OM sunt prezentate în Figura 2.

Orez. 2

Este necesar să se construiască un unghi egal cu unghiul A, astfel încât una dintre laturi să coincidă cu raza OM. Desenați un cerc de rază arbitrară centrat la vârful A al unghiului dat. Acest cerc intersectează laturile colțului în punctele B și C (Fig. 3, a). Apoi desenăm un cerc de aceeași rază centrat la începutul acestei raze OM. Intersectează fasciculul în punctul D (Fig. 3, b). După aceea, construim un cerc cu centrul D, a cărui rază este egală cu BC. Cercurile cu centrele O și D se intersectează în două puncte. Să notăm unul dintre aceste puncte cu litera E. Să demonstrăm că unghiul MOE este cel necesar.

Luați în considerare triunghiurile ABC și ODE. Segmentele AB și AC sunt razele unui cerc cu centrul A, iar OD și OE sunt razele unui cerc cu centrul O. Deoarece, prin construcție, aceste cercuri au raze egale, atunci AB \u003d OD, AC \u003d OE . De asemenea, conform construcției, BC \u003d DE. Prin urmare, ABC = ODE pe trei laturi. Prin urmare, DOE = YOU, adică unghiul construit MOE este egal cu unghiul dat A.

Orez. 3

Construirea unei bisectoare a unui unghi dat

Sarcină. Construiți bisectoarea unghiului dat.

Decizie. Desenați un cerc de rază arbitrară centrat la vârful A al unghiului dat. Acesta va intersecta laturile colțului în punctele B și C. Apoi desenăm două cercuri de aceeași rază BC cu centre în punctele B și C (doar părți ale acestor cercuri sunt prezentate în Figura 4). Se intersectează în două puncte. Unul dintre aceste puncte care se află în interiorul unghiului BAC va fi notat cu litera E. Să demonstrăm că raza AE este bisectoarea acestui unghi.

Luați în considerare triunghiurile ACE și ABE. Sunt egali pe trei laturi. Într-adevăr, AE este partea comună; AC și AB sunt egale, ca și razele aceluiași cerc; CE=BE prin constructie. Din egalitatea triunghiurilor ACE și ABE rezultă că CAE \u003d BAE, adică. raza AE este bisectoarea unghiului dat.

Orez. 4

Profesorul poate invita elevii să folosească acest tabel (tabelul nr. 2 din Anexa 4) pentru a construi bisectoarea unghiului.

Elevul de la tablă realizează construcția, justificând fiecare pas al acțiunilor efectuate.

Dovada este arătată de profesor, este necesar să ne oprim în detaliu asupra dovedirii faptului că în urma construcției se vor obține într-adevăr unghiuri egale.

3. Fixare (10 min)

Este util să oferim studenților următoarea sarcină pentru a consolida materialul acoperit:

Sarcină. Este dat unghiul obtuz AOB. Construiți raza OX astfel încât unghiurile XOA și XOB să fie unghiuri obtuze egale.

Sarcină. Utilizați o busolă și o linie dreaptă pentru a construi unghiuri de 30º și 60º.

Sarcină. Construiți un triunghi dat de o latură, un unghi adiacent laturii sale și o bisectoare a triunghiului care emană de la vârful unghiului dat.

• 4. Rezumat (3 min)
• 1. În timpul lecției, am rezolvat două probleme de construcție. Studiat:
  • a) construiește un unghi egal cu cel dat;
  • b) construiți bisectoarea unghiului.
• 2. În cursul rezolvării acestor probleme:
  • a) a amintit semnele de egalitate ale triunghiurilor;
  • b) a folosit construcția de cercuri, segmente, raze.
• 5. Spre casă (2 min): Nr. 150-152 (vezi Anexa 1).

Când construiți sau dezvoltați proiecte de amenajare a casei, este adesea necesar să construiți un unghi egal cu cel deja disponibil. Șabloanele și cunoștințele școlare de geometrie vin în ajutor.

Instruire

• Un unghi este format din două drepte care emană din același punct. Acest punct va fi numit vârful colțului, iar liniile vor fi laturile colțului.
• Utilizați trei litere pentru a desemna colțurile: unul în partea de sus, două în lateral. Ei numesc colțul, începând cu litera care stă pe o parte, apoi numesc litera din partea de sus și apoi litera de cealaltă parte. Utilizați alte moduri de a marca colțurile dacă preferați altfel. Uneori se numește o singură literă, care este în partea de sus. Și puteți desemna unghiurile cu litere grecești, de exemplu, α, β, γ.
• Există situații în care este necesar să se deseneze un unghi astfel încât să fie egal cu un unghi deja dat. Dacă nu este posibil să utilizați un raportor atunci când construiți un desen, vă puteți descurca doar cu o riglă și o busolă. Să presupunem că, pe o linie dreaptă, indicată în desen prin literele MN, trebuie să construiți un unghi în punctul K, astfel încât să fie egal cu unghiul B. Adică din punctul K, trebuie să trasați o linie dreaptă care formează un unghi cu dreapta MN, care va fi egal cu unghiul B.
• Mai întâi, marcați un punct de fiecare parte a acestui colț, de exemplu, punctele A și C, apoi conectați punctele C și A cu o linie dreaptă. Obțineți triunghiul ABC.
• Acum construiți același triunghi pe dreapta MN, astfel încât vârful său B să fie pe dreapta în punctul K. Folosiți regula pentru a construi un triunghi pe trei laturi. Lăsați deoparte segmentul KL din punctul K. Trebuie să fie egal cu segmentul BC. Obțineți punctul L.
• Din punctul K, desenați un cerc cu raza egală cu segmentul BA. Din L desenați un cerc cu raza CA. Conectați punctul rezultat (P) al intersecției a două cercuri cu K. Obțineți triunghiul KPL, care va fi egal cu triunghiul ABC. Deci obțineți unghiul K. Va fi egal cu unghiul B. Pentru a face această construcție mai comodă și mai rapidă, lăsați deoparte segmente egale din vârful B, folosind o soluție de busolă, fără a muta picioarele, descrieți cercul cu aceeași rază din punct K.

Obiectivele lecției:

• Formarea deprinderilor de analiză a materialului studiat și deprinderilor de aplicare a acestuia în rezolvarea problemelor;
• Arătați semnificația conceptelor studiate;
• Dezvoltarea activității cognitive și a independenței în obținerea cunoștințelor;
• Creșterea interesului pentru subiect, un sentiment de frumusețe.

Obiectivele lecției:

• Pentru a forma abilități în construirea unui unghi egal cu unul dat folosind o riglă, o busolă, un raportor și un triunghi de desen.
• Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.

Planul lecției:

1. Repetiţie.
2. Construirea unui unghi egal cu unul dat.
3. Analiză.
4. Construcția primului exemplu.
5. Construcția celui de-al doilea exemplu.

Repetiţie.

Injecţie.

colț plat- o figură geometrică nelimitată formată din două raze (laturile unui unghi) care ies dintr-un punct (vârful unghiului).

Un unghi se mai numește și o figură formată din toate punctele planului cuprinse între aceste raze (în general, două astfel de raze corespund la două unghiuri, deoarece împart planul în două părți. Unul dintre aceste unghiuri este numit în mod condiționat intern, iar altele externe.
Uneori, pentru concizie, un unghi se numește măsură unghiulară.

Pentru a desemna un unghi, există un simbol general acceptat: , propus în 1634 de matematicianul francez Pierre Erigon.

Injecţie- este o figură geometrică (Fig. 1), formată din două raze OA și OB (laturile de colț), emanând dintr-un punct O (apexul colțului).

Un unghi este notat printr-un simbol și trei litere indicând capetele razelor și vârful unghiului: AOB (mai mult, litera vârfului este cea din mijloc). Unghiurile sunt măsurate prin cantitatea de rotație a razei OA în jurul vârfului O până când raza OA trece în poziția OB. Există două unități utilizate în mod obișnuit pentru măsurarea unghiurilor: radiani și grade. Pentru măsurarea în radiani a unghiurilor, vezi mai jos sub „Lungimea arcului” și, de asemenea, în capitolul „Trigonometrie”.

Sistem de grade pentru măsurarea unghiurilor.

Aici, unitatea de măsură este gradul (denumirea sa este °) - aceasta este rotația fasciculului cu 1/360 dintr-o tură completă. Astfel, o rotație completă a fasciculului este de 360 ​​o. Un grad este împărțit în 60 de minute (notația ‘); un minut - respectiv timp de 60 de secunde (denumirea „). Un unghi de 90 ° (Fig. 2) se numește drept; un unghi mai mic de 90° (Fig. 3) se numește acut; un unghi mai mare de 90 ° (Fig. 4) se numește obtuz.

Liniile drepte care formează un unghi drept se numesc reciproc perpendiculare. Dacă dreptele AB și MK sunt perpendiculare, atunci aceasta se notează: AB MK.

Construirea unui unghi egal cu unul dat.

Înainte de a începe construcția sau de a rezolva orice problemă, indiferent de subiect, este necesar să se efectueze analiză. Înțelegeți despre ce este sarcina, citiți-o cu atenție și încet. Dacă după prima dată apar îndoieli sau ceva nu a fost clar sau clar, dar nu complet, se recomandă să-l citiți din nou. Dacă faci o temă în clasă, poți să întrebi profesorul. În caz contrar, sarcina ta, pe care ai înțeles-o greșit, s-ar putea să nu fie rezolvată corect, sau s-ar putea să găsești ceva care nu este ceea ce ți s-a cerut și va fi considerat incorect și va trebui să o refaci. Cât despre mine - este mai bine să petreceți puțin mai mult timp studiind sarcina decât să refaceți sarcina din nou.

Analiză.

Fie a o rază dată cu vârful A și fie (ab) unghiul dorit. Alegem punctele B și C pe razele a și, respectiv, b. Conectând punctele B și C, obținem triunghiul ABC. În triunghiuri egale, unghiurile corespunzătoare sunt egale și, prin urmare, urmează metoda de construcție. Dacă punctele C și B sunt alese într-un mod convenabil pe laturile unui unghi dat, se construiește un triunghi AB 1 C 1 egal cu ABC dintr-o rază dată la un semiplan dat (și acest lucru se poate face dacă toate laturile lui triunghiul este cunoscut), atunci problema va fi rezolvată.

La efectuarea vreunei constructii Fiți extrem de atenți și încercați să executați cu atenție toate construcțiile. Deoarece orice neconcordanță poate duce la un fel de erori, abateri, care pot duce la un răspuns incorect. Și dacă o sarcină de acest tip este efectuată pentru prima dată, atunci eroarea va fi foarte dificil de găsit și remediat.

Construcția primului exemplu.

Desenați un cerc centrat la vârful unghiului dat. Fie B și C punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului. Desenați un cerc cu raza AB centrată în punctul A 1 - punctul de plecare al acestei raze. Punctul de intersecție al acestui cerc cu raza dată va fi notat cu B 1 . Să descriem un cerc cu centrul B 1 și raza BC. Punctul de intersecție C 1 al cercurilor construite în semiplanul specificat se află pe partea unghiului necesar.

Triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 sunt egale pe trei laturi. Unghiurile A și A 1 sunt unghiurile corespunzătoare acestor triunghiuri. Prin urmare, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Pentru o mai mare claritate, putem lua în considerare aceleași construcții mai detaliat.

Construcția celui de-al doilea exemplu.

Sarcina rămâne, de asemenea, să amânăm de la semilinia dată la semiplanul dat un unghi egal cu unghiul dat.

Constructie.

Pasul 1. Să desenăm un cerc cu o rază arbitrară și centre la vârful A al unghiului dat. Fie B și C punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului. Și desenați segmentul BC.

Pasul 2 Desenați un cerc cu raza AB centrată în punctul O, punctul de plecare al acestei semi-linii. Se notează punctul de intersecție al cercului cu raza B 1 .

Pasul 3 Acum să descriem un cerc cu centrul B 1 și raza BC. Fie punctul C 1 intersecția cercurilor construite în semiplanul specificat.

Pasul 4 Să desenăm o rază din punctul O prin punctul C 1 . Unghiul C 1 OB 1 va fi cel dorit.

Dovada.

Triunghiurile ABC și OB 1 C 1 sunt congruente ca triunghiuri cu laturile corespunzătoare. Și, prin urmare, unghiurile CAB și C 1 OB 1 sunt egale.

Fapt interesant:

În cifre.

În obiectele lumii din jurul tău, în primul rând, observi proprietățile lor individuale care disting un obiect de altul.

Abundența proprietăților particulare, individuale eclipsează proprietățile generale inerente absolut tuturor obiectelor și, prin urmare, este întotdeauna mai dificil să descoperiți astfel de proprietăți.

Una dintre cele mai importante proprietăți comune ale obiectelor este că toate obiectele pot fi numărate și măsurate. Reflectăm această proprietate comună a obiectelor în conceptul de număr.

Oamenii au stăpânit procesul numărării, adică conceptul de număr, foarte încet, timp de secole, într-o luptă încăpățânată pentru existența lor.

Pentru a număra, este necesar să aveți nu numai obiecte de numărat, ci să aveți deja capacitatea de a fi distras atunci când luați în considerare aceste obiecte de la toate celelalte proprietăți ale lor, cu excepția numărului, iar această abilitate este rezultatul unei lungi studii istorice. dezvoltare bazată pe experiență.

Fiecare om învață acum să numere cu ajutorul numerelor imperceptibil în copilărie, aproape simultan cu modul în care începe să vorbească, dar această numărare cu care suntem obișnuiți a parcurs un drum lung de dezvoltare și a luat forme diferite.

A fost o vreme când doar două numere erau folosite pentru a număra obiectele: unul și doi. În procesul de extindere ulterioară a sistemului de numere, au fost implicate părți ale corpului uman și, în primul rând, degetele, iar dacă nu erau suficiente astfel de „numere”, atunci bețe, pietricele și alte lucruri.

N. N. Miklukho-Maclayîn cartea lui "Excursii" vorbește despre un mod amuzant de numărare folosit de nativii din Noua Guinee:

Întrebări:

1. Care este definiția unghiului?
2. Care sunt tipurile de colțuri?
3. Care este diferența dintre diametru și rază?

Lista surselor folosite:

1. Mazur K. I. „Rezolvarea principalelor probleme competitive de matematică ale colecției editate de M. I. Scanavi”
2. Ingeniozitate matematică. B.A. Kordemsky. Moscova.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 - 9: un manual pentru general institutii de invatamant»

S-a lucrat la lecție:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Puteți ridica o întrebare despre educația modernă, puteți exprima o idee sau rezolva o problemă urgentă la Forumul Educației unde se întrunește la nivel internațional un consiliu educațional de gândire și acțiune proaspătă. După ce a creat blog, Nu numai că îți vei îmbunătăți statutul de profesor competent, dar vei aduce și o contribuție semnificativă la dezvoltarea școlii viitorului. Breasla Liderilor Educației deschide ușa specialiștilor de top și vă invită să cooperați în direcția creării celor mai bune școli din lume.

Subiecte > Matematică > Matematică Clasa a VII-a