Punctul extremum al unei funcții este punctul din domeniul de definire al funcției la care valoarea funcției capătă o valoare minimă sau maximă. Valorile funcției în aceste puncte se numesc extreme (minim și maxim) ale funcției.

Definiție. Punct X1 domeniul functional f(X) se numește punctul maxim al funcției , dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea este valabilă f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maxim.

Definiție. Punct X2 domeniul functional f(X) se numește punctul minim al funcției, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea este valabilă f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). În acest caz spunem că funcția are la punctul X2 minim.

Să spunem punct X1 - punctul maxim al functiei f(X). Apoi în intervalul până la X1 funcția crește, prin urmare derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0 ), iar în intervalul de după X1 funcția scade, prin urmare, derivata unei functii mai putin de zero ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Să presupunem, de asemenea, că ideea X2 - punctul minim al funcției f(X). Apoi în intervalul până la X2 funcția este în scădere, iar derivata funcției este mai mică decât zero ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funcția este în creștere, iar derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0 ). În acest caz și la punct X2 derivata functiei este zero sau nu exista.

Teorema lui Fermat (un semn necesar al existenței unui extremum al unei funcții). Dacă punctul X0 - punctul extremum al funcției f(X) atunci în acest moment derivata funcției este egală cu zero ( f "(X) = 0 ) sau nu există.

Definiție. Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este zero sau nu există puncte critice .

Exemplul 1. Să luăm în considerare funcția.

La punctul X= 0 derivata functiei este zero, deci punctul X= 0 este punctul critic. Cu toate acestea, după cum se poate vedea pe graficul funcției, aceasta crește pe întregul domeniu de definiție, deci punctul X= 0 nu este punctul extrem al acestei funcții.

Astfel, condițiile ca derivata unei funcții într-un punct să fie egală cu zero sau să nu existe sunt condiții necesare pentru un extremum, dar nu suficiente, deoarece pot fi date și alte exemple de funcții pentru care aceste condiții sunt îndeplinite, dar funcția nu are un extremum în punctul corespunzător. De aceea trebuie să existe suficiente dovezi, permițând cuiva să judece dacă există un extremum într-un anumit punct critic și ce fel de extremum este - maxim sau minim.

Teoremă (primul semn suficient al existenței unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 f(X) dacă, la trecerea prin acest punct, derivata funcției își schimbă semnul, iar dacă semnul se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci este un punct maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci este un punct minim.

Dacă aproape de punct X0 , la stânga și la dreapta acesteia, derivata își păstrează semnul, asta înseamnă că funcția fie doar scade, fie crește doar într-o anumită vecinătate a punctului X0 . În acest caz, la punctul X0 nu exista extrema.

Asa de, pentru a determina punctele extreme ale funcției, trebuie să faceți următoarele :

1. Aflați derivata funcției.
2. Echivalează derivata cu zero și determină punctele critice.
3. Mental sau pe hârtie, marcați punctele critice pe dreapta numerică și determinați semnele derivatei funcției în intervalele rezultate. Dacă semnul derivatei se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim.
4. Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

Exemplul 2. Găsiți extremele funcției .

Soluţie. Să găsim derivata funcției:

Să echivalăm derivata cu zero pentru a găsi punctele critice:

.

Deoarece pentru orice valoare a lui „x” numitorul nu este egal cu zero, echivalăm numărătorul cu zero:

Am un punct critic X= 3 . Să determinăm semnul derivatei în intervalele delimitate de acest punct:

în intervalul de la minus infinit la 3 - un semn minus, adică funcția scade,

în intervalul de la 3 la plus infinit există un semn plus, adică funcția crește.

Adică punct X= 3 este punctul minim.

Să găsim valoarea funcției în punctul minim:

Astfel, punctul extremum al funcției se găsește: (3; 0), și este punctul minim.

Teoremă (al doilea semn suficient al existenței unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 este punctul extremum al funcției f(X) dacă derivata a doua a funcției în acest punct nu este egală cu zero ( f ""(X) ≠ 0 ), iar dacă derivata a doua este mai mare decât zero ( f ""(X) > 0 ), atunci punctul maxim și dacă derivata a doua este mai mică decât zero ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Notă 1. Dacă la punct X0 Dacă ambele derivate prima și a doua dispar, atunci în acest moment este imposibil să se judece prezența unui extremum pe baza celui de-al doilea criteriu suficient. În acest caz, trebuie să utilizați primul criteriu suficient pentru extremul unei funcții.

Observația 2. Al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții nu este aplicabil chiar și atunci când derivata întâi nu există într-un punct staționar (atunci nici derivata a doua nu există). În acest caz, trebuie să utilizați și primul semn suficient al unui extremum al unei funcții.

Natura locală a extremelor funcției

Din definițiile de mai sus rezultă că extremul unei funcții este de natură locală - este cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției în comparație cu valorile apropiate.

Să presupunem că vă uitați la câștigurile dvs. pe o perioadă de un an. Dacă în mai ați câștigat 45.000 de ruble, iar în aprilie 42.000 de ruble și în iunie 39.000 de ruble, atunci câștigurile din mai sunt maximul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Dar în octombrie ai câștigat 71.000 de ruble, în septembrie 75.000 de ruble și în noiembrie 74.000 de ruble, deci câștigurile din octombrie sunt minimul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Și puteți observa cu ușurință că maximul dintre valorile lunilor aprilie-mai-iunie este mai mic decât cel minim din septembrie-octombrie-noiembrie.

În general, pe un interval o funcție poate avea mai multe extreme și se poate dovedi că un anumit minim al funcției este mai mare decât orice maxim. Deci, pentru funcția prezentată în figura de mai sus, .

Adică, nu trebuie să credem că maximul și minimul unei funcții sunt, respectiv, valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe întregul segment luat în considerare. În punctul maxim, funcția are cea mai mare valoare doar în comparație cu acele valori pe care le are în toate punctele suficient de aproape de punctul maxim, iar în punctul minim are cea mai mică valoare doar în comparație cu acele valori. că are în toate punctele suficient de aproape de punctul minim.

Prin urmare, putem clarifica conceptul de mai sus de puncte extreme ale unei funcții și putem numi puncte minime puncte minime locale și puncte maxime puncte maxime locale.

Căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 3.

Soluție: Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică. Derivatul său există și pe întreaga linie numerică. Prin urmare, în acest caz, punctele critice sunt doar cele în care, i.e. , de unde și . Puncte critice și împărțiți întregul domeniu de definire al funcției în trei intervale de monotonitate: . Să selectăm un punct de control în fiecare dintre ele și să găsim semnul derivatei în acest punct.

Pentru interval, punctul de control poate fi: găsi. Luând un punct în interval, obținem, și luând un punct în interval, avem. Deci, în intervalele și , și în intervalul . Conform primului criteriu suficient pentru un extremum, nu există un extremum la punct (deoarece derivata își păstrează semnul în interval), iar în punct funcția are un minim (deoarece derivata își schimbă semnul din minus în plus când trece). prin acest punct). Să găsim valorile corespunzătoare ale funcției: , a . În interval funcția scade, deoarece în acest interval , iar în interval crește, deoarece în acest interval .

Pentru a clarifica construcția graficului, găsim punctele de intersecție ale acestuia cu axele de coordonate. Când obținem o ecuație ale cărei rădăcini sunt și , adică se găsesc două puncte (0; 0) și (4; 0) ale graficului funcției. Folosind toate informațiile primite, construim un grafic (vezi începutul exemplului).

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator derivat online .

Exemplul 4. Găsiți extremele funcției și construiți graficul acesteia.

Domeniul de definire al unei funcții este întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului, i.e. .

Pentru a scurta studiul, puteți folosi faptul că această funcție este uniformă, deoarece . Prin urmare, graficul său este simetric față de axă Oi iar studiul poate fi efectuat numai pentru interval.

Găsirea derivatei și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

dar funcția suferă o discontinuitate în acest punct, deci nu poate fi un punct extremum.

Astfel, funcția dată are două puncte critice: și . Ținând cont de paritatea funcției, vom verifica doar punctul folosind al doilea criteriu suficient pentru un extremum. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a doua și determinați-i semnul la: obținem . Deoarece și , este punctul minim al funcției, și .

Pentru a obține o imagine mai completă a graficului unei funcții, să aflăm comportamentul acesteia la granițele domeniului de definiție:

(aici simbolul indică dorința X la zero din dreapta și X rămâne pozitivă; în mod similar înseamnă aspirație X la zero de la stânga și X rămâne negativ). Astfel, dacă , atunci . În continuare, găsim

,

acestea. daca atunci .

Graficul unei funcții nu are puncte de intersecție cu axele. Imaginea este la începutul exemplului.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator derivat online .

Continuăm să căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 8. Găsiți extremele funcției.

Soluţie. Să găsim domeniul de definire al funcției. Deoarece inegalitatea trebuie satisfăcută, obținem din .

Să găsim prima derivată a funcției.

Teorema. (o condiție necesară pentru existența unui extremum) Dacă funcția f(x) este diferențiabilă în punctul x = x 1 și punctul x 1 este un punct extremum, atunci derivata funcției dispare în acest punct.

Dovada. Să presupunem că funcția f(x) are un maxim în punctul x = x 1.

Atunci pentru Dх>0 pozitiv suficient de mic următoarea inegalitate este adevărată:

Prioritate A:

Acestea. dacă Dх®0, dar Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, apoi f¢(x 1) £ 0.

Și acest lucru este posibil numai dacă la Dх®0 f¢(x 1) = 0.

Pentru cazul în care funcția f(x) are un minim în punctul x 2, teorema se demonstrează în mod similar.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Afirmația inversă nu este adevărată. Dacă derivata unei funcții într-un anumit punct este egală cu zero, aceasta nu înseamnă că funcția are un extremum în acest punct. Un exemplu elocvent în acest sens este funcția y = x 3, a cărei derivată în punctul x = 0 este egală cu zero, dar în acest punct funcția are doar o inflexiune, și nu un maxim sau un minim.

Definiție. Puncte critice funcțiile sunt punctele în care derivata funcției nu există sau este egală cu zero.

Teorema discutată mai sus ne oferă condițiile necesare pentru existența unui extremum, dar acest lucru nu este suficient.

Exemplu: f(x) = ôxô Exemplu: f(x) =

y y

În punctul x = 0 funcția are un minim, dar în punctul x = 0 funcția nu are niciunul

nu are derivat. maxim, fără minim, fără producție

În general, funcția f(x) poate avea un extrem în punctele în care derivata nu există sau este egală cu zero.

Teorema. (Condiții suficiente pentru existența unui extremum)

Fie funcția f(x) continuă în intervalul (a, b), care conține punctul critic x 1 și diferențiabilă în toate punctele acestui interval (cu excepția, poate, a punctului x 1 însuși).

Dacă, la trecerea prin punctul x 1 de la stânga la dreapta, derivata funcției f¢(x) își schimbă semnul din „+” în „-“, atunci în punctul x = x 1 funcția f(x) are un maxim, iar dacă derivata își schimbă semnul de la „- „ la „+” - atunci funcția are un minim.

Dovada.

Lăsa

Conform teoremei lui Lagrange: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), unde x< e < x 1 .

Atunci: 1) Dacă x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Dacă x > x 1, atunci e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Deoarece răspunsurile coincid, putem spune că f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Dovada teoremei pentru punctul minim este similară.

Teorema a fost demonstrată.

Pe baza celor de mai sus, puteți dezvolta o procedură unificată pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un segment:

1) Aflați punctele critice ale funcției.

2) Găsiți valorile funcției în punctele critice.

3) Găsiți valorile funcției la capetele segmentului.

4) Selectați cea mai mare și cea mai mică dintre valorile obținute.

Studierea unei funcții pentru un extremum folosind

derivate de ordin superior.

Fie în punctul x = x 1 f¢(x 1) = 0 și f¢¢(x 1) există și este continuă într-o vecinătate a punctului x 1.

Teorema. Dacă f¢(x 1) = 0, atunci funcția f(x) în punctul x = x 1 are un maxim dacă f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Dovada.

Fie f¢(x 1) = 0 și f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Deoarece f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 la x x 1 . Aceasta înseamnă că la trecerea prin punctul x = x 1, derivata f¢(x) își schimbă semnul din „+” în „-“, adică.

în acest moment funcția f(x) are un maxim.

Pentru cazul unei funcții minime, teorema este demonstrată într-un mod similar.

Dacă f¢¢(x) = 0, atunci natura punctului critic este necunoscută. Sunt necesare cercetări suplimentare pentru a-l determina.

Convexitatea și concavitatea unei curbe.

Puncte de inflexiune.

Definiție. Curba este convexă sus pe intervalul (a, b) dacă toate punctele sale se află sub oricare dintre tangentele sale pe acest interval. O curbă convexă în sus se numește convex, iar o curbă orientată convex în jos se numește concav.

la

Figura prezintă o ilustrare a definiției de mai sus.

Teorema 1. Dacă în toate punctele intervalului (a, b) derivata a doua a funcției f(x) este negativă, atunci curba y = f(x) este convexă în sus (convexă).

Dovada. Fie x 0 О (a, b). Să desenăm o tangentă la curbă în acest punct.

Ecuația curbei: y = f(x);

Ecuația tangentei:

Trebuie dovedit că .

Prin teorema lui Lagrange pentru f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

Conform teoremei lui Lagrange pentru

Fie x > x 0 apoi x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 și c – x 0 > 0, și în plus, prin condiție

Prin urmare, .

Fie x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Se dovedește în mod similar că dacă f¢¢(x) > 0 pe intervalul (a, b), atunci curba y=f(x) este concavă pe intervalul (a, b).

Teorema a fost demonstrată.

Definiție. Se numește punctul care separă partea convexă a curbei de partea concavă punct de inflexiune.

Evident, în punctul de inflexiune tangenta intersectează curba.

Teorema 2. Fie curba definită de ecuația y = f(x). Dacă derivata a doua f¢¢(a) = 0 sau f¢¢(a) nu există și la trecerea prin punctul x = a f¢¢(x) își schimbă semnul, atunci punctul curbei cu abscisa x = a este un punct de inflexiune.

Dovada. 1) Fie f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 pentru x > a. Apoi la

X< a кривая выпукла, а при x >a curba este concavă, adică punctul x = a – punctul de inflexiune.

2) Fie f¢¢(x) > 0 pentru x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b – convex în sus. Atunci x = b este punctul de inflexiune.

Teorema a fost demonstrată.

Asimptote.

Când studiem funcțiile, se întâmplă adesea ca atunci când coordonata x a unui punct dintr-o curbă se mișcă la infinit, curba se apropie la infinit de o anumită linie dreaptă.

Definiție. Linia dreaptă se numește asimptotă curbă dacă distanța de la punctul variabil al curbei la această linie dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul se deplasează la infinit.

Trebuie remarcat faptul că nu orice curbă are o asimptotă. Asimptotele pot fi drepte sau oblice. Studierea funcțiilor pentru prezența asimptotelor este de mare importanță și vă permite să determinați mai precis natura funcției și comportamentul graficului curbei.

În general, o curbă, care se apropie la infinit de asimptota sa, o poate intersecta și nu la un moment dat, așa cum se arată în graficul funcției de mai jos . Asimptota sa oblică este y = x.

Să luăm în considerare mai detaliat metodele de găsire a asimptotelor curbelor.

Asimptote verticale.

Din definiția unei asimptote rezultă că dacă sau sau , atunci linia dreaptă x = a este asimptota curbei y = f(x).

De exemplu, pentru o funcție, linia x = 5 este o asimptotă verticală.

Asimptote oblice.

Să presupunem că curba y = f(x) are o asimptotă înclinată y = kx + b.

Să notăm punctul de intersecție al curbei și perpendiculara pe asimptotă - M, P - punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu asimptota. Să notăm unghiul dintre asimptotă și axa Ox ca j. Perpendiculara MQ pe axa Ox intersectează asimptota în punctul N.

Atunci MQ = y este ordonata punctului de pe curbă, NQ = este ordonata punctului N de pe asimptotă.

După condiţia: , ÐNMP = j, .

Atunci unghiul j este constant și nu este egal cu 90 0

Apoi .

Deci, linia dreaptă y = kx + b este asimptota curbei. Pentru a determina cu precizie această linie, este necesar să găsiți o modalitate de a calcula coeficienții k și b.

În expresia rezultată scoatem x din paranteze:

Deoarece x®¥, atunci , deoarece b = const, atunci .

Apoi , prin urmare,

.

Deoarece , Acea , prin urmare,

Rețineți că asimptotele orizontale sunt un caz special de asimptote oblice pentru k = 0.

Exemplu. .

1) Asimptote verticale: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, prin urmare, x = 0 este o asimptotă verticală.

2) Asimptote oblice:

Astfel, linia dreaptă y = x + 2 este o asimptotă oblică.

Să diagramăm funcția:

Exemplu. Găsiți asimptote și reprezentați grafic funcția.

Liniile x = 3 și x = -3 sunt asimptote verticale ale curbei.

Să găsim asimptotele oblice:

y = 0 – asimptotă orizontală.

Exemplu. Găsiți asimptote și reprezentați grafic funcția .

Linia dreaptă x = -2 este asimptota verticală a curbei.

Să găsim asimptotele oblice.

În total, linia dreaptă y = x – 4 este o asimptotă oblică.

Schema de studiu a funcției

Procesul de cercetare a funcției constă din mai multe etape. Pentru o înțelegere cât mai completă a comportamentului funcției și a naturii graficului acesteia, este necesar să găsiți:

1) Domeniul de existență al funcției.

Acest concept include atât domeniul valorilor, cât și domeniul definirii unei funcții.

2) Puncte de rupere. (Daca este disponibil).

3) Intervale de crestere si scadere.

4) Puncte maxime și minime.

5) Valoarea maximă și minimă a unei funcții pe domeniul său de definire.

6) Zone de convexitate și concavitate.

7) Puncte de inflexiune (dacă există).

8) Asimptote (dacă există).

9) Construirea unui grafic.

Să ne uităm la aplicarea acestei scheme folosind un exemplu.

Exemplu. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

Găsim domeniul de existență al funcției. Este evident că domeniul definirii funcția este aria (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

La rândul lor, este clar că liniile drepte x = 1, x = -1 sunt asimptote verticale strâmb.

Gama de valori al acestei funcții este intervalul (-¥; ¥).

Puncte de pauză funcțiile sunt puncte x = 1, x = -1.

Găsim puncte critice.

Să găsim derivata funcției

Puncte critice: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Să găsim derivata a doua a funcției

Să determinăm convexitatea și concavitatea curbei la intervale.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, curbă concavă

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, curbă concavă

< x < ¥, y¢¢ >0, curbă concavă

Găsirea golurilor crescândȘi Descendentă funcții. Pentru a face acest lucru, determinăm semnele derivatei funcției pe intervale.

-¥ < x < - , y¢ >0, funcția este în creștere

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, funcția este în creștere

Se poate observa că punctul x = - este un punct maxim, iar punctul x = este un punct minim. Valorile funcției în aceste puncte sunt egale cu -3 /2 și, respectiv, 3 /2.

Despre verticală asimptote s-a spus deja mai sus. Acum să găsim asimptote oblice.

În total, ecuația asimptotei oblice este y = x.

Să construim programa Caracteristici:

Funcțiile mai multor variabile

Când luăm în considerare funcțiile mai multor variabile, ne vom limita la o descriere detaliată a funcțiilor a două variabile, deoarece toate rezultatele obţinute vor fi valabile pentru funcţii ale unui număr arbitrar de variabile.

Definiție: Dacă fiecare pereche de numere reciproc independente (x, y) dintr-o anumită mulțime, conform unei reguli, este asociată cu una sau mai multe valori ale variabilei z, atunci variabila z se numește o funcție a două variabile.

Definiție: Dacă o pereche de numere (x, y) corespunde unei valori z, atunci funcția este numită lipsit de ambiguitate, iar dacă mai mult de unul, atunci - polisemantic.

Definiție: Domeniul definiției funcția z este mulțimea de perechi (x, y) pentru care există funcția z.

Definiție: Vecinătatea unui punct M 0 (x 0, y 0) cu raza r este mulțimea tuturor punctelor (x, y) care îndeplinesc condiția .

Definiție: Se numește numărul A limită funcția f(x, y) deoarece punctul M(x, y) tinde către punctul M 0 (x 0, y 0), dacă pentru fiecare număr e > 0 există un număr r > 0 astfel încât pentru orice punct M (x, y), pentru care condiția este adevărată

conditia este si ea adevarata .

Scrie:

Definiție: Fie punctul M 0 (x 0, y 0) să aparțină domeniului de definiție al funcției f(x, y). Atunci se numește funcția z = f(x, y). continuuîn punctul M 0 (x 0, y 0), dacă

(1)

iar punctul M(x, y) tinde spre punctul M 0 (x 0, y 0) într-o manieră arbitrară.

Dacă în orice punct condiția (1) nu este îndeplinită, atunci acest punct este numit punct de rupere funcțiile f(x, y). Acest lucru poate fi în următoarele cazuri:

1) Funcția z = f(x, y) nu este definită în punctul M 0 (x 0, y 0).

2) Nu există limită.

3) Această limită există, dar nu este egală cu f(x 0 , y 0).

Proprietate. Dacă funcția f(x, y, …) este definită și continuă într-un și închis

domeniul mărginit D, atunci în acest domeniu există cel puțin un punct

N(x 0 , y 0 , …), astfel încât pentru punctele rămase inegalitatea este adevărată

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

precum și punctul N 1 (x 01, y 01, ...), astfel încât pentru toate celelalte puncte inegalitatea este adevărată

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

atunci f(x 0 , y 0 , …) = M – cea mai mare valoare funcții și f(x 01 , y 01 , ...) = m – cea mai mică valoare funcțiile f(x, y, …) în domeniul D.

O funcție continuă într-un domeniu închis și mărginit D atinge cea mai mare valoare cel puțin o dată și cea mai mică o dată.

Proprietate. Dacă funcția f(x, y, …) este definită și continuă într-un domeniu închis și mărginit D, iar M și m sunt, respectiv, cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției din acest domeniu, atunci pentru orice punct m О există un punct

N 0 (x 0 , y 0 , …) astfel încât f(x 0 , y 0 , …) = m.

Mai simplu spus, o funcție continuă preia în domeniul D toate valorile intermediare dintre M și m. O consecință a acestei proprietăți poate fi concluzia că dacă numerele M și m sunt de semne diferite, atunci în domeniul D funcția dispare cel puțin o dată.

Proprietate. Funcția f(x, y, …), continuă într-un domeniu mărginit închis D, limitatîn această regiune, dacă există un număr K astfel încât pentru toate punctele din regiune inegalitatea este adevărată .

Proprietate. Dacă o funcție f(x, y, …) este definită și continuă într-un domeniu închis și mărginit D, atunci aceasta uniform continuuîn acest domeniu, adică pentru orice număr pozitiv e există un număr D > 0 astfel încât pentru oricare două puncte (x 1, y 1) și (x 2, y 2) ale regiunii situate la o distanță mai mică decât D, inegalitatea este valabilă

Proprietățile de mai sus sunt similare cu proprietățile funcțiilor unei variabile care sunt continue pe un interval. Consultați Proprietățile funcțiilor continue pe un interval.

Derivate și diferențiale de funcții

mai multe variabile.

Definiție. Fie dată o funcție z = f(x, y) într-un anumit domeniu. Să luăm un punct arbitrar M(x, y) și să setăm incrementul Dx la variabila x. Atunci cantitatea D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) se numește creșterea parțială a funcției în x.

Puteți nota

.

Apoi se numește derivat parțial funcțiile z = f(x, y) în x.

Desemnare:

Derivata parțială a unei funcții în raport cu y este determinată în mod similar.

Simțul geometric derivata parțială (să zicem) este tangenta unghiului de înclinare a tangentei trasate în punctul N 0 (x 0, y 0, z 0) la secțiunea suprafeței de către planul y = y 0.

Increment complet și diferențial complet.

plan tangent

Fie N și N 0 puncte ale acestei suprafețe. Să desenăm o linie dreaptă NN 0. Se numeste planul care trece prin punctul N 0 plan tangent la suprafață dacă unghiul dintre secanta NN 0 și acest plan tinde spre zero, când distanța NN 0 tinde spre zero.

Definiție. Normal fata de suprafata in punctul N 0 este o dreapta care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la aceasta suprafata.

În orice punct suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu îl are deloc.

Dacă suprafața este dată de ecuația z = f(x, y), unde f(x, y) este o funcție derivabilă în punctul M 0 (x 0, y 0), planul tangent în punctul N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) există și are ecuația:

Ecuația normalei la suprafață în acest punct este:

Simțul geometric diferența totală a unei funcții a două variabile f(x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonatele z) ale planului tangent la suprafață la deplasarea din punctul (x 0). , y 0) până la punctul (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

După cum puteți vedea, semnificația geometrică a diferenţialului total al unei funcții a două variabile este un analog spațial al semnificației geometrice a diferenţialului unei funcţii a unei variabile.

Exemplu. Aflați ecuațiile planului tangent și normala la suprafață

în punctul M(1, 1, 1).

Ecuația planului tangent:

Ecuația normală:

Calcule aproximative folosind diferențele totale.

Diferenţiala totală a funcţiei u este egală cu:

Valoarea exactă a acestei expresii este 1,049275225687319176.

Derivate parțiale de ordin superior.

Dacă o funcție f(x, y) este definită într-un domeniu D, atunci derivatele sale parțiale vor fi, de asemenea, definite în același domeniu sau o parte a acestuia.

Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi.

Derivatele acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi.

Continuând să diferențiem egalitățile rezultate, obținem derivate parțiale de ordin superior.

Funcția și studiul trăsăturilor sale ocupă unul dintre capitolele cheie ale matematicii moderne. Componenta principală a oricărei funcții sunt graficele care descriu nu numai proprietățile sale, ci și parametrii derivatei acestei funcții. Să înțelegem acest subiect dificil. Deci, care este cel mai bun mod de a găsi punctele maxime și minime ale unei funcții?

Funcție: definiție

Orice variabilă care depinde într-un fel de valorile unei alte mărimi poate fi numită funcție. De exemplu, funcția f(x 2) este pătratică și determină valorile pentru întreaga mulțime x. Să presupunem că x = 9, atunci valoarea funcției noastre va fi egală cu 9 2 = 81.

Funcțiile vin în multe tipuri diferite: logice, vectoriale, logaritmice, trigonometrice, numerice și altele. Au fost studiate de minți remarcabile precum Lacroix, Lagrange, Leibniz și Bernoulli. Lucrările lor servesc drept pilon în modurile moderne de studiere a funcțiilor. Înainte de a găsi punctele minime, este foarte important să înțelegeți sensul însuși al funcției și al derivatei sale.

Derivatul și rolul său

Toate funcțiile depind de variabilele lor, ceea ce înseamnă că își pot schimba valoarea în orice moment. Pe grafic, aceasta va fi reprezentată ca o curbă care fie scade, fie se ridică de-a lungul axei ordonatelor (acesta este întregul set de numere „y” de-a lungul graficului vertical). Deci, determinarea punctelor maxime și minime ale unei funcții este legată tocmai de aceste „oscilații”. Să explicăm care este această relație.

Derivata oricărei funcții este reprezentată grafic pentru a studia caracteristicile sale de bază și pentru a calcula cât de repede se schimbă funcția (adică își schimbă valoarea în funcție de variabila „x”). În momentul în care funcția crește, graficul derivatei sale va crește și el, dar în orice secundă funcția poate începe să scadă, iar apoi graficul derivatei va scădea. Acele puncte în care derivata se schimbă de la semnul minus la semnul plus se numesc puncte minime. Pentru a ști cum să găsești puncte minime, ar trebui să înțelegi mai bine

Cum se calculează derivata?

Definiția și funcțiile implică mai multe concepte din În general, însăși definiția unei derivate poate fi exprimată astfel: aceasta este mărimea care arată rata de schimbare a funcției.

Modul matematic de a-l determina pare complicat pentru mulți elevi, dar în realitate totul este mult mai simplu. Trebuie doar să urmați planul standard pentru a găsi derivata oricărei funcții. Mai jos descriem cum puteți găsi punctul minim al unei funcții fără a aplica regulile de diferențiere și fără a memora tabelul derivatelor.

1. Puteți calcula derivata unei funcții folosind un grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să descrieți funcția în sine, apoi luați un punct pe ea (punctul A din figură). Desenați o linie vertical în jos până la axa absciselor (punctul x 0), iar în punctul A trageți o tangentă la graficul funcției. Axa x și tangenta formează un anumit unghi a. Pentru a calcula valoarea cât de repede crește o funcție, trebuie să calculați tangentei acestui unghi a.
2. Rezultă că tangenta unghiului dintre tangentă și direcția axei x este derivata funcției într-o zonă mică cu punctul A. Această metodă este considerată o metodă geometrică pentru determinarea derivatei.

Metode de studiere a funcției

În programa școlară de matematică, este posibil să găsiți punctul minim al unei funcții în două moduri. Am discutat deja despre prima metodă folosind un grafic, dar cum putem determina valoarea numerică a derivatei? Pentru a face acest lucru, va trebui să învățați mai multe formule care descriu proprietățile derivatei și vă ajută să convertiți variabile precum „x” în numere. Următoarea metodă este universală, deci poate fi aplicată aproape tuturor tipurilor de funcții (atât geometrice, cât și logaritmice).

1. Este necesar să echivalăm funcția cu funcția derivată și apoi să simplificați expresia folosind regulile de diferențiere.
2. În unele cazuri, atunci când i se oferă o funcție în care variabila „x” este în divizor, este necesar să se determine intervalul de valori acceptabile, excluzând punctul „0” din aceasta (din simplul motiv că în matematică nu trebuie niciodată împărțiți la zero).
3. După aceasta, ar trebui să transformați forma originală a funcției într-o ecuație simplă, echivalând întreaga expresie cu zero. De exemplu, dacă funcția arată astfel: f(x) = 2x 3 +38x, atunci, conform regulilor de diferențiere, derivata sa este egală cu f"(x) = 3x 2 +1. Apoi transformăm această expresie într-o ecuație de următoarea formă: 3x 2 +1 = 0 .
4. După rezolvarea ecuației și găsirea punctelor „x”, ar trebui să le trasați pe axa x și să determinați dacă derivata din aceste secțiuni între punctele marcate este pozitivă sau negativă. După desemnare, va deveni clar în ce moment funcția începe să scadă, adică schimbă semnul de la minus la opus. În acest fel puteți găsi atât punctele minime, cât și cele maxime.

Reguli de diferențiere

Cea mai de bază componentă în studierea unei funcții și a derivatei sale este cunoașterea regulilor de diferențiere. Numai cu ajutorul lor puteți transforma expresii greoaie și funcții complexe mari. Să facem cunoștință cu ele, sunt destul de multe, dar toate sunt foarte simple datorită proprietăților naturale atât ale funcțiilor de putere, cât și ale funcțiilor logaritmice.

1. Derivata oricărei constante este egală cu zero (f(x) = 0). Adică, derivata f(x) = x 5 + x - 160 va lua următoarea formă: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Derivată a sumei a doi termeni: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivată a unei funcții logaritmice: (log a d)" = d/ln a*d. Această formulă se aplică tuturor tipurilor de logaritmi.
4. Derivată a puterii: (x n)"= n*x n-1. De exemplu, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Derivata funcției sinusoidale: (sin a)" = cos a. Dacă sinul unghiului a este 0,5, atunci derivata sa este √3/2.

Puncte extreme

Am discutat deja despre cum să găsim punctele minime, dar există și conceptul de puncte maxime ale unei funcții. Dacă minimul denotă acele puncte în care funcția se schimbă de la un semn minus la un plus, atunci punctele maxime sunt acele puncte de pe axa x la care derivata funcției se schimbă de la plus la opus - minus.

Îl puteți găsi folosind metoda descrisă mai sus, dar ar trebui să țineți cont de faptul că acestea indică acele zone în care funcția începe să scadă, adică derivata va fi mai mică decât zero.

În matematică, se obișnuiește să generalizeze ambele concepte, înlocuindu-le cu expresia „puncte de extremă”. Când o sarcină vă cere să determinați aceste puncte, înseamnă că trebuie să calculați derivata unei anumite funcții și să găsiți punctele minime și maxime.

Din acest articol cititorul va afla despre ce este un extremum de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în activități practice. Studierea unui astfel de concept este extrem de importantă pentru înțelegerea fundamentelor matematicii superioare. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai profund al cursului.

In contact cu

Ce este un extremum?

În cursul școlar, sunt date multe definiții ale conceptului „extremum”. Acest articol are scopul de a oferi cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei care nu cunosc problema. Deci, termenul este înțeles în ce măsură intervalul funcțional capătă o valoare minimă sau maximă pe o anumită mulțime.

Un extremum este atât valoarea minimă a unei funcții, cât și valoarea maximă în același timp. Există un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe grafic. Principalele științe care folosesc acest concept sunt:

• statistici;
• controlul mașinii;
• econometrie.

Punctele extreme joacă un rol important în determinarea succesiunii unei anumite funcții. Sistemul de coordonate din grafic arată cel mai bine schimbarea poziției extreme în funcție de schimbarea funcționalității.

Extreme ale funcției derivate

Există, de asemenea, un astfel de fenomen ca „derivat”. Este necesar să se determine punctul extremum. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și cele mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare.

Valoarea funcției este factorul principal în determinarea modului de găsire a punctului maxim. Derivata nu se formează din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-una sau alta ordine.

Derivata în sine este determinată pe baza acestor puncte extreme, și nu pe cea mai mare sau mai mică valoare. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este clar trasată, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general.

Să considerăm acum un astfel de concept drept „extremul acut”. Astăzi, există o valoare minimă acută și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificarea rusă a punctelor critice ale unei funcții. Conceptul de punct extremum este baza pentru găsirea punctelor critice pe un grafic.

Pentru a defini un astfel de concept, ei recurg la utilizarea teoremei lui Fermat. Este cel mai important în studiul punctelor extreme și oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremitatea, este important să se creeze anumite condiții pentru o scădere sau creștere pe grafic.

Pentru a răspunde cu exactitate la întrebarea „cum să găsiți punctul maxim”, trebuie să urmați aceste instrucțiuni:

1. Găsirea domeniului exact de definiție pe grafic.
2. Căutați derivata unei funcții și punctul extremum.
3. Rezolvați inegalitățile standard pentru domeniul în care se găsește argumentul.
4. Să fie capabil să demonstreze în ce funcții este definit și continuu un punct dintr-un grafic.

Atenţie! Căutarea punctului critic al unei funcții este posibilă numai dacă există o derivată de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție mare a prezenței unui punct extremum.

Condiție necesară pentru extremul unei funcții

Pentru ca un extremum să existe, este important să existe atât puncte minime, cât și maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția existenței unui extremum este încălcată.

Fiecare funcție în orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și identifica noile semnificații. Este important de înțeles că cazul unui punct care merge la zero nu este principiul principal pentru găsirea unui punct diferențiabil.

Un extremum acut, precum și un minim al unei funcții, este un aspect extrem de important al rezolvării unei probleme matematice folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să vă referiți la valorile tabelare pentru specificarea funcționalității.

Cercetare completă a sensului

Trasarea unui grafic de valoare

1. Determinarea punctelor de valori crescătoare și descrescătoare. 2. Găsirea punctelor de discontinuitate, extremum și intersecție cu axele de coordonate. 3. Procesul de determinare a modificărilor de poziţie pe un grafic. 4. Determinarea indicatorului și direcției convexității și convexității, ținând cont de prezența asimptotelor. 5. Realizarea unui tabel rezumativ al cercetării din punctul de vedere al determinării coordonatelor acestuia. 6. Găsirea intervalelor de creștere și scădere a punctelor extreme și ascuțite. 7. Determinarea convexității și concavității unei curbe. 8. Trasarea unui grafic ținând cont de cercetare vă permite să găsiți minimul sau maximul.

Elementul principal atunci când vine vorba de lucrul cu extreme este construcția precisă a graficului său. Profesorii școlii nu acordă adesea maximă atenție unui aspect atât de important, care este o încălcare gravă a procesului educațional. Construirea unui grafic are loc numai pe baza rezultatelor studierii datelor funcționale, identificând extremele acute, precum și punctele din grafic. Extremele ascuțite ale funcției derivate sunt afișate pe un grafic de valori exacte, folosind o procedură standard pentru determinarea asimptotelor. Punctele maxime și minime ale funcției sunt însoțite de construcții grafice mai complexe. Acest lucru se datorează unei nevoi mai profunde de a rezolva problema extremului acut. De asemenea, este necesar să se găsească derivata unei funcții complexe și simple, deoarece acesta este unul dintre cele mai importante concepte în problema extremumului.

Extremul funcționalului

Pentru a găsi valoarea de mai sus, trebuie să respectați următoarele reguli:

• determinați condiția necesară pentru o relație extremă;
• luați în considerare starea suficientă a punctelor extreme de pe grafic;
• efectuați calculul extremului acut.

Sunt folosite și concepte precum minim slab și minim puternic. Acest lucru trebuie luat în considerare la determinarea extremului și calculul precis al acestuia. În același timp, funcționalitatea acută este căutarea și crearea tuturor condițiilor necesare pentru a lucra cu graficul unei funcții.

Maximul este cel mai mare număr sau cea mai mare limită care poate fi atinsă. Minimul este, după cum știm cu toții foarte bine, direct opusul maximului, adică. acesta este cel mai mic număr și cea mai mică limită. Cuvintele minim și maxim, precum și derivatele lor, se găsesc în expresii și expresii precum:

Profitați la maximum de comunicare.

Pentru a învăța o poezie trebuie să o citești de cel puțin 3-4 ori.

Maximul pe care îl poate face este...

Au cel puțin doi prieteni comuni.

A primit punctajul maxim.

Profită la maximum de oportunitățile tale!

Acesta este minimul pe care trebuie să-l știți.

Salariul de trai.

Presiunea atmosferică minimă.

Vreme rece minim/maxim timp de ….. ani.

Veți avea nevoie de cel puțin câteva ore pentru a finaliza această lucrare.

Concepte precum maxim și minim pot fi găsite și în termeni științifici speciali. De exemplu, în matematică există un astfel de concept ca maxim și minim al unei funcții.

Astfel, în matematică valoarea maximă a unei funcții se numește maximă. În acest caz, valoarea maximă a funcției este mai mare decât toate valorile învecinate. Maximul unei funcții este valoarea acesteia atunci când valoarea crește mai întâi și apoi începe imediat să scadă, în timp ce are un maxim în locul în care creșterea și scăderea funcției trec de la una la alta. Minimul unei funcții este, în consecință, cea mai mică valoare a funcției.

Prima derivată a unei funcții poate fi considerată pozitivă dacă crește atunci când creștem variabila, atunci funcția poate fi considerată pozitivă. Dacă prima variabilă scade pe măsură ce derivata crește, atunci funcția ar trebui considerată negativă.

Derivata este valoarea de bază folosită în calculele diferențiale (studiul derivatelor și diferențialelor, care ajută la studiul funcțiilor matematice), poate fi înțeleasă ca rata de schimbare a unei funcții la un anumit punct. Cu cât viteza este mai mare, cu atât funcția se schimbă mai mult; cu atât mai puțin, cu atât mai lent (acest lucru, însă, este adevărat numai dacă funcția este pozitivă). Astfel, rata de schimbare a funcției la un punct dat este cea care determină pantele și convexitățile acesteia. O variabilă este o cantitate care își poate schimba valoarea. Este notat cu x sau timp.

O variabilă poate fi considerată un atribut al unui sistem (atât fizic, cât și abstract) care își poate schimba valoarea. Într-un sens mai global, o variabilă poate fi numită timp, temperatură și, în general, întreaga viață (se pot schimba). O variabilă are multe valori pe care le poate prelua. Putem presupune că această mulțime este o variabilă.

În ceea ce privește funcția în sine, aceasta trebuie să treacă de la o valoare pozitivă la o valoare negativă prin zero. Astfel, la valoarea variabilei căreia îi corespunde maximul funcției, derivata acesteia va fi egală cu zero. Această proprietate a funcției ne permite să determinăm valorile lui x la care funcția atinge maximul. Totuși, dacă creștem variabila și, în același timp, funcția crește mai întâi și apoi scade, atunci funcția, la trecerea de la o valoare negativă la o valoare pozitivă (trecând prin zero), nu va atinge maximul, dar, dimpotrivă, valoarea minimă. Deși, logic, aceasta ar putea fi luată ca valoare maximă (este situată în punctul de sus al funcției).

Punctele maxime și minime ale unei funcții sunt numite și puncte extreme.

Astfel, atât în ​​viața obișnuită, cât și în matematică, maximul și minimul sunt două extreme opuse care înseamnă ceva cel mai mare și ceva cel mai mic.