Probleme cu necunoscute întregi
Pavlovskaya Nina Mihailovna,
profesor de matematică MBOU „Școala Gimnazială Nr.92
Kemerovo
Ecuațiile algebrice sau sistemele de ecuații algebrice cu coeficienți întregi, având mai multe necunoscute decât numărul de ecuații și pentru care se caută soluții întregi sau raționale, se numesc ecuații diofantine .
Problema rezolvării ecuațiilor în numere întregi a fost rezolvată complet doar pentru ecuațiile cu o necunoscută, pentru ecuațiile de gradul I și pentru ecuațiile de gradul doi cu două necunoscute. Pentru ecuațiile de peste gradul doi cu două sau mai multe necunoscute, chiar și problema dovedirii existenței soluțiilor întregi este dificilă. Mai mult, s-a dovedit că nu există un singur algoritm care să permită rezolvarea unor ecuații diofantine arbitrare în numere întregi într-un număr finit de pași.
- Cele mai simple ecuații diofantine sunt ecuații de formă
ax + by = c , a ≠ 0; b ≠ 0
În cazul în care un c = 0 , atunci soluția este evident x = 0, y = 0.
În cazul în care un c ≠ 0 , și soluția (X 0 ; la 0 ) , apoi un număr întreg
topor 0 +de către 0 impartit de d = (a; b) , De aceea cu ar trebui să fie, de asemenea, divizibil cu un divizor comun a și b .
De exemplu: 3x + 6y = 5 nu are soluții întregi, deoarece (3; 6) = 3, iar c = 5 nu este divizibil cu 3 fără rest.
- Dacă ecuaţia ax + by = c are o solutie (X 0 ; la 0 ) , și (a; b) = 1 , atunci toate soluțiile ecuației sunt date prin formule x = x 0 +bn; y = y 0 – un, unde n este orice soluție întreagă.
De exemplu: 3x + 5y = 13, (3; 5) = 1, deci ecuația are infinite de soluții, X 0 =1; la 0 =2
Marea (Marea) Teoremă a lui Fermat spune: ecuația formei nu are soluții în numere naturale.
Această teoremă a fost formulată de matematicianul italian Pierre Fermat cu mai bine de 300 de ani în urmă și a fost demonstrată abia în 1993.
Metoda de factorizare .
1) Rezolvați ecuația în numere întregi
x + y = xy.
Decizie. Scriem ecuația sub forma
(x - 1)(y - 1) = 1.
Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai dacă ambele sunt egale cu 1. Adică, ecuația inițială este echivalentă cu mulțimea
cu soluțiile (0,0) și (2,2).
2. Rezolvați ecuația în numere întregi:
3x² + 4xy - 7y² = 13.
Decizie: 3x² - 3xy + 7xy - 7y² \u003d 13,
3x(x - y) + 7y(x - y) = 13,
(x - y) (3x + 7y) \u003d 13.
Deoarece 13 are divizori întregi ±1 și ±13,
1. x - y \u003d 1, 7x - 7y \u003d 7, x \u003d 2,
3x + 7y = 13; 3x + 7y = 13; de unde y = 1
2. x - y \u003d 13, 7x - 7y \u003d 91, x \u003d 9,2,
3x + 7y = 1; 3x + 7y = 1; de unde y \u003d - 3.8.
3 . x - y \u003d -1, 7x - 7y \u003d -7, x \u003d -2,
3x + 7y \u003d -13; 3x + 7y = -13; de unde y = -1.
4. x - y \u003d -13, 7x - 7y \u003d -91, x \u003d -9,2,
3x + 7y \u003d -1; 3x + 7y \u003d -1; de unde y = 3,8.
Prin urmare, ecuația are două soluții întregi: (2;1) și (-2;-1)
3 . Rezolvați ecuația în numere întregi:
9x² + 4x - xy + 3y \u003d 88.
Decizie: 9x² + 4x - 88 \u003d xy - 3y,
9x² + 4x - 88 \u003d y (x - 3)
deoarece 5 are divizori întregi ± 1 și ± 5, atunci
Ecuații în numere întregi sunt ecuații algebrice cu două sau mai multe variabile necunoscute și coeficienți întregi. Soluțiile unei astfel de ecuații sunt toate seturi întregi (uneori naturale sau raționale) de valori ale variabilelor necunoscute care satisfac această ecuație. Astfel de ecuații se mai numesc și diofantina, în onoarea matematicianului grec antic, care a explorat unele tipuri de astfel de ecuații înainte de epoca noastră.
Formularea modernă a problemelor diofantine o datorăm matematicianului francez. El a fost cel care a pus în fața matematicienilor europeni problema rezolvării ecuațiilor nedefinite numai în numere întregi. Cea mai cunoscută ecuație în numere întregi este Ultima Teoremă a lui Fermat: ecuația
nu are soluții raționale diferite de zero pentru toate numerele naturale n > 2.
Interesul teoretic pentru ecuațiile în numere întregi este destul de mare, deoarece aceste ecuații sunt strâns legate de multe probleme din teoria numerelor.
În 1970, matematicianul de la Leningrad Yuri Vladimirovici Matiyasevich a demonstrat că nu există o metodă generală care să permită rezolvarea ecuațiilor diofantine arbitrare în numere întregi într-un număr finit de pași și nu poate exista. Prin urmare, este necesar să alegeți propriile metode de rezolvare pentru diferite tipuri de ecuații.
Când se rezolvă ecuații în numere întregi și naturale, se pot distinge în mod convențional următoarele metode:
mod de a enumera opțiunile;
aplicarea algoritmului Euclid;
reprezentarea numerelor sub formă de fracții continue (continue);
factorizări;
rezolvarea ecuațiilor în numere întregi ca pătrat (sau altfel) în raport cu o variabilă;
metoda reziduală;
metoda coborârii infinite.
Probleme cu soluțiile
1. Rezolvați ecuația x 2 - xy - 2y 2 \u003d 7 în numere întregi.
Să scriem ecuația sub forma (x - 2y)(x + y) = 7.
Deoarece x, y sunt numere întregi, găsim soluții pentru ecuația originală ca soluții pentru următoarele patru sisteme:
1) x - 2y = 7, x + y = 1;
2) x - 2y = 1, x + y = 7;
3) x - 2y = -7, x + y = -1;
4) x - 2y = -1, x + y = -7.
După rezolvarea acestor sisteme, obținem soluții ale ecuației: (3; -2), (5; 2), (-3; 2) și (-5; -2).
Răspuns: (3; -2), (5; 2), (-3; 2), (-5; -2).
a) 20x + 12y = 2013;
b) 5x + 7y = 19;
c) 201x - 1999y = 12.
a) Deoarece pentru orice valori întregi ale lui x și y, partea stângă a ecuației este divizibilă cu doi, iar partea dreaptă este un număr impar, ecuația nu are soluții în numere întregi.
Răspuns: Nu există soluții.
b) Mai întâi alegem o soluție specifică. LA acest caz, este simplu, de exemplu,
x 0 = 1, y 0 = 2.
5x0 + 7y0 = 19,
5(x - x 0) + 7(y - y 0) = 0,
5 (x - x 0) \u003d -7 (y - y 0).
Deoarece numerele 5 și 7 sunt între prime, atunci
x - x 0 \u003d 7k, y - y 0 \u003d -5k.
Deci solutia generala este:
x = 1 + 7k, y = 2 - 5k,
unde k este un întreg arbitrar.
Răspuns: (1+7k; 2–5k), unde k este un număr întreg.
c) Este destul de dificil să găsești o soluție specifică prin selecție în acest caz. Să folosim algoritmul Euclid pentru numerele 1999 și 201:
mcd(1999, 201) = mcd(201, 190) = mcd(190, 11) = mcd(11, 3) = mcd(3, 2) = mcd(2, 1) = 1.
Să scriem acest proces în ordine inversă:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =
121 11 - 7 190 = 121(201 - 190) - 7 190 = 121 201 - 128 190 =
121 201 - 128(1999 - 9 201) = 1273 201 - 128 1999.
Prin urmare, perechea (1273, 128) este o soluție a ecuației 201x - 1999y = 1. Atunci perechea de numere
x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536
este o soluție a ecuației 201x - 1999y = 12.
Soluția generală a acestei ecuații poate fi scrisă ca
x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, unde k este un număr întreg,
sau, după redenumire (folosim că 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),
x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, unde n este un număr întreg.
Răspuns: (1283+1999n, 129+201n), unde n este un număr întreg.
3. Rezolvați ecuația în numere întregi:
a) x 3 + y 3 = 3333333;
b) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).
a) Deoarece x 3 și y 3 pot da numai resturile 0, 1 și 8 atunci când sunt împărțite la 9 (vezi tabelul din secțiune), x 3 + y 3 poate da doar resturile 0, 1, 2, 7 și 8. Dar numărul 3333333 când este împărțit la 9 dă un rest de 3. Prin urmare, ecuația inițială nu are soluții în numere întregi.
b) Rescrieți ecuația inițială ca (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Deoarece cuburile întregi, împărțite la 7, dau resturile 0, 1 și 6, dar nu 4, ecuația nu are soluții întregi.
Răspuns: nu există soluții întregi.
a) în numere prime, ecuația x 2 - 7x - 144 \u003d y 2 - 25y;
b) în numere întregi, ecuația x + y \u003d x 2 - xy + y 2.
a) Rezolvăm această ecuație ca una pătratică în raport cu variabila y. obține
y \u003d x + 9 sau y \u003d 16 - x.
Deoarece numărul x + 9 este par pentru x impar, singura pereche de numere prime care satisface prima egalitate este (2; 11).
Deoarece x, y sunt simple, atunci din egalitatea y \u003d 16 - x avem
2 x 16,2 la 16.
Folosind enumerarea opțiunilor, găsim soluțiile rămase: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Răspuns: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
b) Considerați această ecuație ca o ecuație pătratică pentru x:
x 2 - (y + 1) x + y 2 - y \u003d 0.
Discriminantul acestei ecuații este –3y 2 + 6y + 1. Este pozitiv doar pentru următoarele valori ale lui y: 0, 1, 2. Pentru fiecare dintre aceste valori, din ecuația inițială obținem o ecuație pătratică pentru x , care este ușor de rezolvat.
Răspuns: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
5. Există un număr infinit de triple de numere întregi x, y, z astfel încât x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?
Să încercăm să selectăm astfel de triple, unde y = –z. Apoi y 3 și z 3 se vor anula întotdeauna unul pe celălalt, iar ecuația noastră va arăta ca
x2 + 2y2 = x3
sau altfel,
x 2 (x–1) = 2y 2 .
Pentru ca o pereche de numere întregi (x; y) să satisfacă această condiție, este suficient ca numărul x–1 să fie de două ori pătratul întregului. Există o infinitate de astfel de numere, și anume, toate sunt numere de forma 2n 2 +1. Înlocuind un astfel de număr în x 2 (x–1) = 2y 2, după transformări simple obținem:
y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.
Toate tripletele obținute în acest fel au forma (2n 2 +1; 2n 3 + n; -2n 3 - n).
Răspuns: există.
6. Găsiți numere întregi x, y, z, u astfel încât x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.
Numărul x 2 + y 2 + z 2 + u 2 este par, deci printre numerele x, y, z, u există un număr par de numere impare.
Dacă toate cele patru numere x, y, z, u sunt impare, atunci x 2 + y 2 + z 2 + u 2 este divizibil cu 4, dar 2xyzu nu este divizibil cu 4 - o discrepanță.
Dacă exact două dintre numerele x, y, z, u sunt impare, atunci x 2 + y 2 + z 2 + u 2 nu este divizibil cu 4, dar 2xyzu este divizibil cu 4 - din nou o discrepanță.
Prin urmare, toate numerele x, y, z, u sunt pare. Atunci se poate scrie asta
x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,
iar ecuația inițială va lua forma
x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .
Acum rețineți că (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 când este împărțit la 8 dă un rest de 1. Prin urmare, dacă toate numerele x 1 , y 1 , z 1 , u 1 sunt impare, atunci x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 nu este divizibil cu 8. Și dacă exact două dintre aceste numere sunt impare, atunci x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 nu este divizibil par cu 4. Deci,
x 1 \u003d 2x 2, y 1 \u003d 2y 2, z 1 \u003d 2z 2, u 1 \u003d 2u 2,
și obținem ecuația
x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .
Repetând din nou același raționament, obținem că x, y, z, u sunt divizibili cu 2 n pentru tot n natural, ceea ce este posibil numai atunci când x = y = z = u = 0.
Răspuns: (0; 0; 0; 0).
7. Demonstrați că ecuația
(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 \u003d 30
nu are soluții în numere întregi.
Să folosim următoarea identitate:
(x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 \u003d 3 (x - y) (y - z) (z - x).
Atunci ecuația originală poate fi scrisă ca
(x - y) (y - z) (z - x) = 10.
Notați a = x – y, b = y – z, c = z – x și scrieți egalitatea rezultată ca
Mai mult, este evident că a + b + c = 0. Este ușor de observat că, până la o permutare, din egalitatea abc = 10 rezultă că numerele |a|, |b|, |c| sunt fie 1, 2, 5, fie 1, 1, 10. Dar în toate aceste cazuri, pentru orice alegere de semne a, b, c, suma a + b + c este diferită de zero. Astfel, ecuația originală nu are soluții în numere întregi.
8. Rezolvați ecuația 1 în numere întregi! +2! + . . . + x! = y 2 .
Este evident că
dacă x = 1, atunci y 2 = 1,
dacă x = 3, atunci y 2 = 9.
Aceste cazuri corespund următoarelor perechi de numere:
x 1 = 1, y 1 = 1;
x 2 \u003d 1, y 2 \u003d -1;
x 3 \u003d 3, y 3 \u003d 3;
x 4 \u003d 3, y 4 \u003d -3.
Rețineți că pentru x = 2 avem 1! +2! = 3, pentru x = 4 avem 1! +2! + 3! +4! = 33 și nici 3, nici 33 nu sunt pătrate întregi. Dacă x > 5, atunci, deoarece
5! +6! + . . . + x! = 10n,
putem scrie asta
unu! +2! + 3! +4! +5! + . . . + x! = 33 + 10n.
Deoarece 33 + 10n este un număr care se termină cu 3, nu este un pătrat al unui număr întreg.
Răspuns: (1; 1), (1; -1), (3; 3), (3; -3).
9. Rezolvați următorul sistem de ecuații în numere naturale:
a 3 - b 3 - c 3 \u003d 3abc, a 2 \u003d 2 (b + c).
3abc > 0, apoi a 3 > b 3 + c 3 ;
astfel avem
Adăugând aceste inegalități, obținem asta
Ținând cont de ultima inegalitate, din a doua ecuație a sistemului obținem că
Dar a doua ecuație a sistemului arată, de asemenea, că a este un număr par. Astfel, a = 2, b = c = 1.
Răspuns: (2; 1; 1)
10. Aflați toate perechile de numere întregi x și y care satisfac ecuația x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.
Factorizând ambele părți ale acestei ecuații, obținem:
x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),
x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)
O astfel de egalitate este posibilă dacă părțile din stânga și din dreapta sunt egale cu zero sau sunt produsul a două numere întregi consecutive. Prin urmare, echivalând anumiți factori cu zero, obținem 4 perechi de valori dorite de variabile:
x 1 = 0, y 1 = 0;
x 2 \u003d 0, y 2 \u003d -1;
x 3 \u003d -1, y 3 \u003d 0;
x 4 \u003d -1, y 4 \u003d -1.
Produsul (y 2 + y) (y 2 + 1) poate fi considerat produsul a două numere întregi consecutive diferite de zero numai atunci când y \u003d 2. Prin urmare, x (x + 1) \u003d 30, de unde x 5 \ u003d 5, x 6 = -6. Aceasta înseamnă că mai există două perechi de numere întregi care satisfac ecuația inițială:
x 5 = 5, y 5 = 2;
x 6 \u003d -6, y 6 \u003d 2.
Răspuns: (0; 0), (0; -1), (-1; 0), (-1; -1), (5; 2), (-6; 2.)
Probleme fără soluții
1. Rezolvați ecuația în numere întregi:
a) xy = x + y + 3;
b) x 2 + y 2 \u003d x + y + 2.
2. Rezolvați ecuația în numere întregi:
a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;
b) 15x 2 - 7y 2 \u003d 9.
3. Rezolvați ecuația în numere naturale:
a) 2 x + 1 \u003d y 2;
b) 3 2 x + 1 \u003d y 2.
4. Demonstrați că ecuația x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz în numere raționale are o soluție unică
5. Demonstrați că ecuația x 2 + 5 = y 3 în numere întregi nu are soluții.
Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF
Obiect de studiu.
Cercetarea vizează una dintre cele mai interesante ramuri ale teoriei numerelor - soluția ecuațiilor în numere întregi.
Subiect de studiu.
Soluția în numere întregi a ecuațiilor algebrice cu coeficienți întregi în mai mult de o necunoscută este una dintre cele mai dificile și străvechi probleme de matematică și nu este suficient de profund reprezentată în cursul de matematică școlar. În lucrarea mea, voi prezenta o analiză destul de completă a ecuațiilor în numere întregi, o clasificare a acestor ecuații în funcție de metodele de rezolvare a acestora, o descriere a algoritmilor de rezolvare a acestora, precum și exemple practice de aplicare a fiecărei metode pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.
Ţintă.
Aflați cum să rezolvați ecuații în numere întregi.
Sarcini:
Studiază literatură educațională și de referință;
Colectați material teoretic despre cum să rezolvați ecuații;
Analizați algoritmi de rezolvare a ecuațiilor de acest tip;
Descrieți soluții;
Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor folosind aceste metode.
Ipoteză:
În fața ecuațiilor în numere întregi în sarcinile olimpiadei, am presupus că dificultățile în rezolvarea lor se datorează faptului că nu îmi sunt cunoscute toate modalitățile de rezolvare a acestora.
Relevanţă:
La rezolvarea unor variante aproximative ale sarcinilor USE, am observat că există adesea sarcini pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II în numere întregi. În plus, sarcinile olimpiadei de diferite niveluri conțin și ecuații în numere întregi sau probleme care sunt rezolvate folosind abilitățile de a rezolva ecuații în numere întregi. Importanța de a ști cum să rezolv ecuații în numere întregi determină relevanța cercetării mele.
Metode de cercetare
Analiza teoretică și generalizarea informațiilor din literatura științifică despre ecuații în numere întregi.
Clasificarea ecuațiilor în numere întregi după metodele soluționării lor.
Analiza și generalizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.
Rezultatele cercetării
Lucrarea descrie metode de rezolvare a ecuațiilor, are în vedere materialul teoretic al teoremei lui Fermat, teorema lui Pitagora, algoritmul lui Euclid, prezintă exemple de rezolvare a problemelor și ecuațiilor de diferite niveluri de complexitate.
2.Istoria ecuațiilor în numere întregi
Diophantus - un om de știință - algebriist al Greciei Antice, conform unor surse, a trăit până în 364 d.Hr. e. S-a specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. De aici și denumirea de ecuații diofantine. Cea mai cunoscută, rezolvată de Diophantus, este problema „descompunerii în două pătrate”. Echivalentul său este binecunoscuta teoremă a lui Pitagora. Viața și opera lui Diofant au continuat în Alexandria, el a adunat și a rezolvat probleme cunoscute și a inventat noi probleme. Mai târziu le-a combinat într-o mare lucrare numită Aritmetică. Din cele treisprezece cărți care compun Aritmetica, doar șase au supraviețuit până în Evul Mediu și au devenit o sursă de inspirație pentru matematicienii Renașterii.Aritmetica lui Diofant este o colecție de probleme, fiecare include o soluție și explicația necesară. Colecția include o varietate de probleme, iar soluția lor este adesea foarte ingenioasă. Diophantus este interesat doar de soluții întregi pozitive și raționale. El numește soluțiile iraționale „imposibile” și selectează cu atenție coeficienții astfel încât să se obțină soluțiile pozitive, raționale dorite.
Teorema lui Fermat este folosită pentru a rezolva ecuații în numere întregi. Istoria a cărei dovezi este destul de interesantă. Mulți matematicieni eminenti au lucrat la o demonstrație completă a Marii Teoreme, iar aceste eforturi au condus la multe rezultate în teoria numerelor modernă. Se crede că teorema este pe primul loc în ceea ce privește numărul de demonstrații incorecte.
Remarcabilul matematician francez Pierre Fermat a afirmat că ecuația pentru un întreg n ≥ 3 nu are soluții în numere întregi pozitive x, y, z (xyz = 0 este exclus de pozitivitatea lui x, y, z. Pentru cazul n = 3, această teoremă a fost încercată în secolul al X-lea, demonstrată de matematicianul din Asia Centrală al-Khojandi, dar demonstrația sa nu a fost păstrată. Ceva mai târziu, Fermat însuși a publicat o demonstrație a unui caz particular pentru n = 4.
Euler în 1770 a demonstrat teorema pentru cazul n = 3, Dirichlet și Legendre în 1825 pentru n = 5, Lame pentru n = 7. Kummer a arătat că teorema este adevărată pentru toți primii n mai mici de 100, cu posibila excepție a 37 , 59, 67.
În anii 1980, a apărut o nouă abordare pentru rezolvarea problemei. Din conjectura Mordell, demonstrată de Faltings în 1983, rezultă că ecuația
pentru n > 3 poate avea doar un număr finit de soluții coprime.
Ultimul, dar cel mai important pas în demonstrarea teoremei a fost făcut în septembrie 1994 de către Wiles. Dovada sa de 130 de pagini a fost publicată în Annals of Mathematics. Dovada se bazează pe presupunerea matematicianului german Gerhard Frey că Ultima Teoremă a lui Fermat este o consecință a ipotezei Taniyama-Shimura (această ipoteză a fost dovedită de Ken Ribet cu participarea lui J.-P. Serra). Wiles a publicat prima versiunea dovezii sale în 1993 (după 7 ani de muncă grea), dar în ea s-a descoperit curând un decalaj serios; cu ajutorul lui Richard Lawrence Taylor, decalajul a fost rapid închis. Versiunea finală a fost publicată în 1995. 15 martie 2016 Andrew Wiles primește Premiul Abel. În prezent, prima este de 6 milioane de coroane norvegiene, adică aproximativ 50 de milioane de ruble. Potrivit lui Wiles, premiul a fost o „surpriză completă” pentru el.
3.Ecuații liniare în numere întregi
Ecuațiile liniare sunt cele mai simple dintre toate ecuațiile diofante.
O ecuație de forma ax=b, unde a și b sunt niște numere și x este o variabilă necunoscută, se numește ecuație liniară cu o necunoscută. Aici este necesar să se găsească numai soluții întregi ale ecuației. Se poate observa că dacă a ≠ 0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă numai dacă b este complet divizibil cu a și această soluție este x = b / f. Dacă a=0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă când b=0 și în acest caz x este orice număr.
deoarece 12 este divizibil egal cu 4, atunci
pentru că a=o și b=0, atunci x este orice număr
pentru că 7 nici măcar nu este divizibil cu 10, atunci nu există soluții.
4. Mod de enumerare a opțiunilor.
În metoda de enumerare a opțiunilor, este necesar să se țină cont de semnele de divizibilitate a numerelor, să se ia în considerare toate opțiunile posibile pentru egalitatea enumerării finale. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva aceste probleme:
№1 Aflați mulțimea tuturor perechilor de numere naturale care sunt soluția ecuației 49x+69y=602
Exprimăm din ecuația x =,
pentru că x și y sunt numere naturale, atunci x = ≥ 1, înmulțiți întreaga ecuație cu 49 pentru a scăpa de numitor:
Mutați 602 în partea stângă:
51y ≤ 553, exprimă y, y= 10
O enumerare completă a opțiunilor arată că soluțiile naturale ale ecuației sunt x=5, y=7.
Răspuns: (5,7).-
№2 Rezolvați problema
Din numerele 2, 4, 7, ar trebui să se facă un număr de trei cifre, în care niciun număr nu poate fi repetat de mai mult de două ori.
Să găsim numărul tuturor numerelor din trei cifre care încep cu numărul 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - sunt 8 dintre ele.
În mod similar, găsim toate numerele din trei cifre care încep cu numerele 4 și 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).
(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - sunt și câte 8 numere fiecare. Sunt doar 24 de numere.
Răspuns: 24.
5. Fracția continuă și algoritmul lui Euclid
O fracție continuă este o expresie a unei fracții obișnuite sub forma
unde q 1 este un număr întreg și q 2 , … ,qn sunt numere naturale. O astfel de expresie se numește fracție continuă (finită continuă). Există fracții continue finite și infinite.
Pentru numerele raționale, fracția continuă are o formă finită. În plus, șirul a i este exact șirul de câte care se obține prin aplicarea algoritmului euclidian la numărătorul și numitorul unei fracții.
Rezolvând ecuații cu fracții continuate, am compilat un algoritm general de acțiuni pentru această metodă de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.
Algoritm
1) Compilați raportul coeficienților pentru necunoscute sub forma unei fracții
2) Convertiți expresia în fracție improprie
3) Selectați partea întreagă a unei fracții improprie
4) Înlocuiți o fracție adecvată cu o fracție egală
5) Faceți 3.4 cu fracția greșită obținută la numitor
6) Repetați 5 până la rezultatul final
7) În expresia rezultată, aruncați ultima verigă a fracției continuate, transformați noua fracție continuată rezultată într-una simplă și scădeți-o din fracția inițială.
Exemplu#1 Rezolvați ecuația 127x- 52y+ 1 = 0 în numere întregi
Să transformăm raportul coeficienților în necunoscute.
În primul rând, selectăm partea întreagă a fracției improprie; = 2 +
Înlocuiți o fracție adecvată cu o fracție egală.
Unde = 2+
Să facem aceleași transformări cu fracția improprie obținută la numitor.
Acum fracția inițială va lua forma: Repetând același raționament pentru fracție, obținem
Am primit o expresie numită fracția finală continuată sau continuată. După ce am renunțat la ultima verigă a acestei fracții continuate - o cincime, transformăm noua fracție continuă rezultată într-una simplă și o scădem din fracția inițială:
Să aducem expresia rezultată la un numitor comun și să o renunțăm.
De unde 127∙9-52∙22+1=0. Comparând egalitatea obținută cu ecuația 127x- 52y+1 = 0, rezultă că atunci x= 9, y= 22 este o soluție a ecuației inițiale, iar conform teoremei, toate soluțiile acesteia vor fi conținute în progresiile x = 9+ 52t, y= 22+ 127t , unde t=(0; ±1; ±2....). , aruncați ultima verigă și faceți calcule similare celor date mai sus.
Pentru a demonstra această ipoteză, vom avea nevoie de unele proprietăți ale fracțiilor continue.
Luați în considerare o fracție ireductibilă. Notați cu q 1 câtul și cu r 2 restul împărțirii a la b. Atunci obținem:
Atunci b=q 2 r 2 +r 3 ,
Similar
r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;
r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;
………………………………..
Mărimile q 1 , q 2 ,… se numesc coeficienti incompleti. Procesul de mai sus de formare a coeficientilor incompleti se numeste algoritmul lui Euclid. Resturile din diviziunea r 2 , r 3 ,... satisfac inegalitățile
acestea. formează o serie de numere nenegative descrescătoare.
Exemplul #2 Rezolvați ecuația 170x+190y=3000 în numere întregi
După reducerea cu 10, ecuația arată astfel:
Pentru a găsi o anumită soluție, folosim expansiunea unei fracții într-o fracție continuă
După ce a prăbușit penultima fracție potrivită pentru ea într-un obișnuit
O soluție particulară a acestei ecuații are forma
X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,
iar generalul este dat de formula
x=2700-19k, y=-2400+17k.
de unde obținem condiția asupra parametrului k
Acestea. k=142, x=2, y=14. .
6. Metoda factoring
Metoda de enumerare a opțiunilor este o modalitate incomodă, deoarece există cazuri în care este imposibil să se găsească soluții complete prin enumerare, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Metoda factorizării este o tehnică foarte interesantă și se regăsește atât în matematica elementară, cât și în matematica superioară.
Esența constă în transformare identică. Sensul oricărei transformări identice este de a scrie o expresie într-o formă diferită, păstrându-i în același timp esența. Luați în considerare exemple de aplicare a acestei metode.
№1 Rezolvați ecuația în numere întregi y 3 -X 3 = 91.
Folosind formulele de înmulțire abreviate, descompunem partea dreaptă a ecuației în factori:
(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91
Scriem toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91
Rețineți că pentru orice număr întreg x și y numărul
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,
prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația inițială este echivalentă cu setul de sisteme de ecuații:
După ce am rezolvat sistemele, selectăm acele rădăcini care sunt numere întregi.
Obținem soluții pentru ecuația originală: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).
Răspuns: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
№2 Aflați toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația x 2 -y 2 = 69
Factorizăm partea stângă a ecuației și scriem ecuația ca
pentru că divizorii numărului 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, atunci 69 se poate obține în două moduri: 69=1 69 și 69=3 23. Având în vedere că x-y > 0, obținem două sisteme de ecuații, prin rezolvarea cărora putem găsi numerele dorite:
După ce am exprimat o variabilă și înlocuind-o în a doua ecuație, găsim rădăcinile ecuațiilor Primul sistem are o soluție x=35;y=34 , iar al doilea sistem are o soluție x=13, y=10.
Răspuns: (35; 34), (13; 10).
№3 Rezolvați ecuația x + y \u003d xy în numere întregi:
Scriem ecuația sub forma
Să factorizăm partea stângă a ecuației. obține
Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:
Primul sistem are o soluție x=2, y=2, iar al doilea sistem are o soluție x=0, y=0. Răspuns: (2; 2), (0; 0).
№4 Demonstrați că ecuația (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nu are soluții în numere întregi.
Factorizăm partea stângă a ecuației și împărțim ambele părți ale ecuației la 3, ca rezultat obținem ecuația:
(x - y)(y - z)(z - x) = 10
Divizorii lui 10 sunt numerele ±1, ±2, ±5, ±10. Rețineți, de asemenea, că suma factorilor din partea stângă a ecuației este egală cu 0. Este ușor de verificat că suma oricăror trei numere din mulțimea divizorilor numărului 10, dând 10 în produs, nu va egal cu 0. Prin urmare, ecuația originală nu are soluții în numere întregi.
7. Metoda reziduurilor
Sarcina principală a metodei este de a găsi restul împărțirii ambelor părți ale ecuației cu un număr întreg, pe baza rezultatelor obținute. Adesea informațiile obținute reduc posibilitățile mulțimilor de soluții ale ecuației. Luați în considerare exemple:
№1 Demonstrați că ecuația x 2 = 3y + 2 nu are soluții în numere întregi.
Dovada.
Luați în considerare cazul în care x, y ∈ N. Luați în considerare resturile ambelor părți împărțite la 3. Partea dreaptă a ecuației dă un rest de 2 când este împărțit la 3 pentru orice valoare a lui y. Partea stângă, care este pătratul unui număr natural, atunci când este împărțită la 3, dă întotdeauna un rest de 0 sau 1. Pe baza acestui lucru, concluzionăm că nu există o soluție pentru această ecuație în numerele naturale.
Luați în considerare cazul în care unul dintre numere este egal cu 0. Atunci, evident, nu există soluții în numere întregi.
Cazul în care y este un întreg negativ nu are soluții, deoarece partea dreaptă va fi negativă, iar partea stângă pozitivă.
De asemenea, cazul în care x este un întreg negativ nu are soluții, deoarece se încadrează într-unul dintre cazurile avute în vedere mai devreme datorită faptului că (-x) 2 = (x) 2 .
Rezultă că ecuația indicată nu are soluții în numere întregi, ceea ce trebuia să fie demonstrat.
№2 Rezolvați în numere întregi 3 X = 1 + y 2 .
Nu este greu de observat că (0; 0) este soluția acestei ecuații. Rămâne de demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini întregi.
Luați în considerare cazurile:
1) Dacă x∈N, y∈N, atunci Z este divizibil cu trei fără rest, iar 1 + y 2 când este împărțit la 3 dă
restul este fie 1, fie 2. Prin urmare, egalitate pentru numere întregi pozitive
valorile lui x, y este imposibil.
2) Dacă x este un număr întreg negativ, y∈Z , atunci 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и
egalitatea este de asemenea imposibilă. Prin urmare, (0; 0) este singurul
Răspuns: (0; 0).
№3 Rezolvați ecuația 2x 2 -2xy+9x+y=2 în numere întregi:
Să exprimăm din ecuație necunoscuta care intră în ea doar până la gradul I, adică variabila y:
2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, de unde
Selectăm partea întreagă a fracției folosind regula împărțirii unui polinom la un „unghi” polinom. Primim:
Evident, o diferență de 2x-1 poate lua doar valorile -3, -1, 1 și 3.
Rămâne de enumerat aceste patru cazuri, în urma cărora obținem soluții: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
Răspuns: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
8. Un exemplu de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile în numere întregi ca pătrate în raport cu una dintre variabile
№1 Rezolvați ecuația 5x în numere întregi 2 +5 ani 2 + 8xy+2y-2x +2=0
Această ecuație poate fi rezolvată prin metoda factorizării, totuși, această metodă, așa cum este aplicată acestei ecuații, este destul de laborioasă. Să luăm în considerare o modalitate mai rațională.
Scriem ecuația sub forma unei pătratice în raport cu variabila x:
5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0
Îi găsim rădăcinile.
Această ecuație are o soluție dacă și numai dacă discriminantul
din această ecuație este egală cu zero, adică - 9(y+1) 2 =0, deci y= - 1.
Dacă y=-1, atunci x=1.
Răspuns: (1; - 1).
9. Un exemplu de rezolvare a problemelor folosind ecuații în numere întregi.
№ 1. Rezolvați ecuația în numere naturale : unde n>m
Să exprimăm variabila n în termenii variabilei m:
Să aflăm divizorii numărului 625: acesta este 1; 5; 25; 125; 625
1) dacă m-25 =1, atunci m=26, n=25+625=650
2) m-25 =5, apoi m=30, n=150
3) m-25 =25, apoi m=50, n=50
4) m-25 =125, apoi m=150, n=30
5) m-25 =625, apoi m=650, n=26
Răspuns: m=150, n=30
№ 2. Rezolvați ecuația în numere naturale: mn +25 = 4m
Rezolvare: mn +25 = 4m
1) exprimați variabila 4m în termeni de n:
2) găsiți divizorii naturali ai numărului 25: acesta este 1; 5; 25
dacă 4-n=1, atunci n=3, m=25
4-n=5, apoi n=-1, m=5; 4-n =25, apoi n=-21, m=1 (rădăcini străine)
Răspuns: (25;3)
Pe lângă sarcinile de rezolvare a ecuației în numere întregi, există sarcini pentru a demonstra faptul că ecuația nu are rădăcini întregi.
Când rezolvați astfel de probleme, este necesar să vă amintiți următoarele proprietăți de divizibilitate:
1) Dacă n Z; n este divizibil cu 2, atunci n = 2k, k ∈ Z.
2) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 2, atunci n = 2k+1, k ∈ Z.
3) Dacă n ∈ Z; n este divizibil cu 3, atunci n = 3k, k ∈ Z.
4) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 3, atunci n = 3k±1, k ∈ Z.
5) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 4, atunci n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.
6) Dacă n ∈ Z; n(n+1) este divizibil cu 2, atunci n (n+1)(n+2) este divizibil cu 2;3;6.
7) n; n+1 sunt coprime.
№3 Demonstrați că ecuația x 2 - 3y = 17 nu are soluții întregi.
Dovada:
Fie x; y - soluții ale ecuației
x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z atunci y+6 ∈ Z , deci 3(y+6) este divizibil cu 3, deci 3(y+6)-1 nu este divizibil cu 3, deci x 2 nu este divizibil cu 3, deci x nu este divizibil cu 3, deci x = 3k±1, k ∈ Z.
Înlocuiți acest lucru în ecuația originală.
Avem o contradicție. Aceasta înseamnă că ecuația nu are soluții întregi, ceea ce trebuia să fie demonstrat.
10.Formula de vârf
Formula lui Pick a fost descoperită de matematicianul austriac Georg Pick în 1899. Formula este legată de ecuații în numere întregi, prin aceea că numai nodurile întregi sunt preluate din poligoane, precum și numerele întregi din ecuații.
Folosind această formulă, puteți găsi aria unei figuri construite pe o foaie într-o celulă (triunghi, pătrat, trapez, dreptunghi, poligon).
În această formulă, vom găsi puncte întregi în interiorul poligonului și pe marginea acestuia.
În sarcinile care vor fi la examen, există un întreg grup de sarcini în care se dă un poligon construit pe o foaie într-o celulă și se pune întrebarea despre găsirea zonei. Scara celulei este de un centimetru pătrat.
Exemplul #1
M - numărul de noduri de pe marginea triunghiului (pe laturi și vârfuri)
N este numărul de noduri din interiorul triunghiului.
*La „noduri” ne referim la intersecția liniilor. Aflați aria triunghiului:
Observați nodurile:
M = 15 (indicat cu roșu)
N = 34 (marcat cu albastru)
Exemplul #2
Găsiți aria poligonului: Observați nodurile:
M = 14 (indicat cu roșu)
N = 43 (marcat cu albastru)
12.Metoda de coborâre
Una dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi - metoda coborârii - se bazează pe teorema lui Fermat.
Metoda coborârii este o metodă care constă în construirea unei soluții la o succesiune infinită de soluții cu z pozitiv infinit descrescător.
Vom lua în considerare algoritmul acestei metode folosind exemplul de rezolvare a unei anumite ecuații.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația în numere întregi 5x + 8y = 39.
1) Să alegem necunoscuta care are cel mai mic coeficient (în cazul nostru, este x) și să o exprimăm în termenii unei alte necunoscute:
2) Selectați partea întreagă: Evident, x va fi întreg dacă expresia se dovedește a fi întreg, care, la rândul său, va avea loc atunci când numărul 4 - 3y este divizibil cu 5 fără rest.
3) Să introducem o variabilă întreagă suplimentară z astfel: 4 -3y = 5z. Ca urmare, obținem o ecuație de același tip cu cea inițială, dar cu coeficienți mai mici.
4) O rezolvăm deja în raport cu variabila y, argumentând exact la fel ca în paragrafele 1, 2: Selectând partea întreagă, obținem:
5) Argumentând similar celei precedente, introducem o nouă variabilă u: 3u = 1 - 2z.
6) Exprimați necunoscuta cu cel mai mic coeficient, în acest caz variabila z: . Cerând ca acesta să fie un întreg, obținem: 1 - u = 2v, de unde u = 1 - 2v. Nu mai sunt fracții, coborârea s-a încheiat (continuăm procesul până când nu mai rămân fracții în expresia pentru următoarea variabilă).
7) Acum trebuie să „mergi în sus”. Exprimați prin variabila v mai întâi z, apoi y și apoi x:
8) Formulele x = 3+8v și y = 3 - 5v, unde v este un întreg arbitrar, reprezintă soluția generală a ecuației inițiale în numere întregi.
Astfel, metoda coborârii implică mai întâi exprimarea secvenţială a unei variabile printr-o alta, până când nu mai rămân fracţii în reprezentarea variabilei, iar apoi, „ascensiunea” secvenţială de-a lungul lanţului de egalităţi pentru a obţine o soluţie generală a ecuaţiei.
12.Concluzie
În urma studiului, s-a confirmat ipoteza că dificultățile în rezolvarea ecuațiilor în numere întregi se datorează faptului că nu mi-au fost cunoscute toate metodele de rezolvare a acestora. Pe parcursul cercetărilor, am reușit să găsesc și să descriu modalități puțin cunoscute de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi, să le ilustrez cu exemple. Rezultatele cercetării mele pot fi utile tuturor studenților interesați de matematică.
13. Bibliografie
Resurse de carte:
1. N. Ya. Vilenkin et al., Algebră și analiză matematică / Clasa 10, Clasa 11 / / M., „Prosveshchenie”, 1998;
2. A. F. Ivanov et al., Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea pentru examen // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007
3. A. O. Gel’fond, Matematică, teoria numerelor// Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi// Casa de carte LIBROCOM
Resurse de internet:
4. Versiuni demonstrative ale materialelor de măsurare de control ale examenului de stat unificat la matematică http://fipi.ru/
5. Exemple de soluții de ecuații în numere întregi http://reshuege.ru
6. Exemple de soluții de ecuații în numere întregi http://mat-ege.ru
7.Istoria ecuațiilor diofantine http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html
8. Istoria lui Diophantus http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm
9.Istoria ecuațiilor diofantine http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html
10. Istoria lui Diophantus http://www.studfiles.ru/preview/4518769/
Heinrich G.N. FMSh nr. 146, Perm
54 ≡ 6× 5≡ 2(mod 7),
55 ≡ 2× 5≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5≡ 1(mod 7).
Ridicând puterea k, obținem 56k ≡ 1(mod 7) pentru orice k natural. Prin urmare 5555 = 56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).
(Geometric, această egalitate înseamnă că ocolim cercul, începând de la 5, nouăzeci și două de cicluri și încă trei numere). Astfel, numărul 222555 dă un rest de 6 când este împărțit la 7.
Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.
Fără îndoială, una dintre subiectele interesante ale matematicii este soluția ecuațiilor diofantine. Această temă este studiată în clasele a VIII-a, apoi în clasele a X-a și a XI-a.
Orice ecuație care trebuie rezolvată în numere întregi se numește ecuație diofantină. Cea mai simplă dintre acestea este o ecuație de forma ax + prin \u003d c, unde a, b și cÎ Z. La rezolvarea acestei ecuații se folosește următoarea teoremă.
Teorema. O ecuație diofantină liniară ax+by=c, unde a, b și cÎZ are o soluție dacă și numai dacă c este divizibil cu mcd-ul numerelor a și b. Dacă d=gcd (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d și (x0 , y0 ) este o soluție a ecuației ax+by=c, atunci toate soluțiile sunt date de x= x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, unde t este un întreg arbitrar.
1. Rezolvați ecuațiile în numere întregi:
3xy–6x2 = y–2x+4; | |||
(x–2)(xy+4)=1; | y–x–xy=2; |
||
2x2 + xy = x + 7; | 3xy+2x+3y=0; |
||
х2 –xy–х+y=1; | |||
x2 –3xy=x–3y+2; | 10. x2 – xy – y = 4. |
||
2. Au fost luate în considerare următoarele sarcini cu absolvenții în pregătirea examenului de matematică pe această temă.
unu). Rezolvați ecuația în numere întregi: xy + 3y + 2x + 6 = 13. Soluţie:
Să factorizăm partea stângă a ecuației. Primim:
y(x+3)+2(x+3)=13; | (x+3)(y+2)=13. |
Deoarece x,yО Z, obținem un set de sisteme de ecuații:
Heinrich G.N.
м x + | ||||
м x + | ||||
м x + | ||||
ê ì x + |
||||
FMSh nr. 146, Perm
м x = | |||||
м x = | |||||
м x = | |||||
ê ì x = | |||||
Răspuns: (-2; 11), (10; -1), (-4; -15), (-15, -3)
2). Rezolvați ecuația în numere naturale: 3x + 4y \u003d 5z.
nouă). Aflați toate perechile de numere naturale m și n pentru care egalitatea 3m +7=2n este adevărată.
zece). Aflați toate triplele numerelor naturale k, m și n pentru care egalitatea este adevărată: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)
unsprezece). Toți membrii șirului finit sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând cu al doilea, este fie de 14 ori mai mare, fie de 14 ori mai mic decât cel precedent. Suma tuturor termenilor din succesiune este 4321.
c) Care este cel mai mare număr de termeni pe care îl poate avea o secvență? Decizie:
a) Fie a1 = x, apoi a2 = 14x sau a1 = 14x, apoi a2 = x. Apoi, prin condiție, a1 + a2 = 4321. Se obține: x + 14x = 4321, 15x = 4321, dar 4321 nu este un multiplu de 15, ceea ce înseamnă că nu pot exista doi membri în succesiune.
b) Fie a1 =x, apoi a2 = 14x, a3 =x sau 14x+x+14x=4321, sau x+14x+x=4321. 29x=4321, apoi x=149, 14x=2086. Deci secvența poate avea trei membri. În al doilea caz 16x=4321, dar atunci x nu este un număr natural.
Nici un raspuns; b) da; c) 577.
Heinrich G.N. | FMSh nr. 146, Perm |
12). Toți membrii șirului finit sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând cu al doilea, sau în 10; ori mai mult sau de 10 ori mai puțin decât precedentul. Suma tuturor membrilor secvenței este 1860.
a) Poate o secvență să aibă doi termeni? b) O succesiune poate avea trei termeni?
c) Care este cel mai mare număr de termeni pe care îl poate avea o secvență?
Este evident că se poate vorbi despre divizibilitatea numerelor întregi și se poate lua în considerare problemele pe această temă la nesfârșit. Am încercat să consider această temă în așa fel încât să-i intereseze într-o măsură mai mare pe elevi, să le arăt frumusețea matematicii și din acest punct de vedere.
Heinrich G.N. | FMSh nr. 146, Perm |
Bibliografie:
1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Cum sunt rezolvate sarcinile non-standard Moscova MCNMO 2001
2. A.V. Spivak. Supliment la revista Kvant nr. 4/2000 Sărbătoare matematică, Moscova 2000
3. A.V. Spivak. Cercul matematic, „Semănat” 2003
4. Saint Petersburg palatul orașului al creativității tineretului. Cercul matematic. Cartea cu probleme din primul-al doilea an de studiu. St.Petersburg. 1993
5. Algebră pentru clasa a VIII-a. Manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii. Editat de N.Ya.Vilenkin. Moscova, 1995
6. M.L.Galitsky, A.M.Goldman, L.I.Zvavich. Culegere de probleme în algebră pentru 8-9 clase. Manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii. Moscova, Iluminismul. 1994
7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algebră clasa a VIII-a. Manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Moscova, 2001
8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. nivel de profil. Manual pentru clasa a 11-a. Binom din Moscova. Knowledge Lab 2009
9. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev, T.A.Oleynik, T.V.Sokolova. UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. Nivel de profil Caiet de sarcini pentru clasa a 11-a. Binom din Moscova. Knowledge Lab 2009
10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematică. Colectarea testelor conform planului EGE 2010
11. USE-2010. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009
12. EGE EMC „Matematică. Pregătirea pentru examen. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Pregătirea pentru USE-2011. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2010
13. UMK „Matematică. USE-2010”. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. MATEMATICĂ Pregătire pentru USE-2010. Teste de antrenament. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009
14. UTILIZARE FIPI. Materiale universale pentru pregătirea elevilor MATEMATICĂ 2010 Centrul de Intelect 2010
15. A.Zh.Zhafarov. Matematică. USE-2010 Consultare expresă. Editura Universității din Siberia, 2010
Introducere
Există multe probleme de matematică care au drept răspuns unul sau mai multe numere întregi. Ca exemplu, putem cita patru probleme clasice rezolvate în numere întregi - problema cântăririi, problema împărțirii unui număr, problema schimbului și problema celor patru pătrate. De remarcat că, în ciuda formulării destul de simple a acestor probleme, ele sunt foarte greu de rezolvat, folosind aparatul de analiză matematică și combinatorică. Ideile pentru rezolvarea primelor două probleme aparțin matematicianului elvețian Leonhard Euler (1707–1783). Cu toate acestea, cel mai adesea puteți găsi probleme în care se propune rezolvarea ecuației în numere întregi (sau în numere naturale). Unele dintre aceste ecuații sunt rezolvate destul de ușor prin metoda de selecție, dar acest lucru ridică o problemă serioasă - este necesar să se demonstreze că toate soluțiile acestei ecuații sunt epuizate de cele selectate (adică nu există soluții care să fie diferite de cele selectate). cele alese). Acest lucru poate necesita o varietate de tehnici, atât standard, cât și artificiale. O analiză a literaturii matematice suplimentare arată că astfel de sarcini sunt destul de comune în olimpiadele de matematică de diferiți ani și niveluri diferite, precum și în sarcina 19 din USE în matematică (nivel de profil). În același timp, acest subiect practic nu este luat în considerare în cursul de matematică școlar, astfel încât școlarii, care participă la olimpiade de matematică sau care susțin examenul de profil la matematică, se confruntă de obicei cu dificultăți semnificative în îndeplinirea unor astfel de sarcini. În acest sens, este recomandabil să se evidențieze un sistem de metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi, mai ales că această problemă nu este discutată în mod explicit în literatura matematică studiată. Problema descrisă a determinat scopul acestei lucrări: evidențierea principalelor metode de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi. Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:
1) Analizează materialele olimpiadei, precum și materialele examenului de profil la matematică;
2) Desemnați metode de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi și evidențiați-le pe cele predominante;
3) Ilustrați rezultatele obținute cu exemple;
4) Compune mai multe sarcini de instruire pe această temă;
5) Folosind sarcinile dezvoltate, se determină gradul de pregătire al elevilor de clasa a IX-a ai școlii gimnaziale MBOU Nr. 59 pentru a rezolva astfel de probleme și a trage concluzii practice.
Parte principală
O analiză a diverselor literaturi matematice arată că dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi se pot distinge ca principale următoarele:
- Reprezentarea ecuației ca produs al mai multor factori egali cu un număr întreg;
- Reprezentarea ecuației ca sumă de pătrate a mai multor termeni, egală cu un număr întreg;
- Utilizarea proprietăților de divizibilitate, factoriale și pătratele exacte;
- Utilizarea teoremelor mici și mari ale lui Fermat;
- Metoda coborârii infinite;
- Exprimarea unui necunoscut prin altul;
- Rezolvarea ecuației ca una pătratică în raport cu una dintre necunoscute;
- Luarea în considerare a resturilor din împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr.
Imediat este necesar să precizăm ce înțelegem prin principalele metode de rezolvare a ecuațiilor. Cele mai frecvent utilizate metode le vom numi principalele, ceea ce, desigur, nu exclude posibilitatea de a folosi periodic noi metode „neașteptate”. În plus, în majoritatea covârșitoare a cazurilor, sunt utilizate diferitele lor combinații, adică sunt combinate mai multe metode.
Ca exemplu de combinație de metode, luați în considerare ecuația propusă la USE la matematică din 2013 (sarcina C6).
Sarcină. Rezolvați ecuația în numere naturale n! + 5n + 13 = k 2 .
Decizie. Rețineți că se termină cu zero la n> 4. În plus, pentru orice n ∈ N, se termină fie cu cifra 0, fie cu cifra 5. Prin urmare, pentru n> 4 partea stângă a ecuației se termină fie cu numărul 3, fie cu numărul 8. Dar este și egală cu pătratul exact, care nu se poate termina cu aceste numere. Deci, există doar patru opțiuni din care să alegeți: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.
Deci ecuația are o soluție naturală unică n = 2, k = 5.
Această problemă a folosit proprietățile pătratelor exacte, proprietățile factoriale și restul împărțirii ambelor părți ale ecuației la 10.
Sarcina 1. n 2 - 4y! = 3.
Decizie. Mai întâi, rescriem ecuația originală ca n 2 = 4y! + 3. Dacă priviți această relație din punctul de vedere al teoremei împărțirii cu rest, atunci puteți vedea că pătratul exact din partea stângă a ecuației dă un rest de 3 atunci când este împărțit la 4, ceea ce este imposibil . Într-adevăr, orice număr întreg poate fi reprezentat într-una dintre următoarele patru forme:
Astfel, pătratul exact atunci când este împărțit la 4 dă un rest fie de 0, fie de 1. Prin urmare, ecuația inițială nu are soluții.
Idee cheie– aplicarea proprietăților pătratelor exacte.
Sarcina 2. 8z 2 = (t!) 2 + 2.
Decizie. Verificarea directă arată că t= 0 și t= 1 nu sunt soluții ale ecuației. În cazul în care un t> 1, atunci t! este un număr par, adică poate fi reprezentat ca t! = 2s. În acest caz, ecuația poate fi convertită în forma 4 z 2 = 2s 2 + 1. Cu toate acestea, ecuația rezultată în mod evident nu are soluții, deoarece există un număr par în partea stângă și un număr impar în dreapta.
Idee cheie– aplicarea proprietăților factorilor.
Sarcina 3. Rezolvați ecuația x 2 + y 2 - 2x + 6y + 5 = 0 în numere întregi.
Decizie. Ecuația originală poate fi rescrisă după cum urmează: ( X – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.
Din condiția ca ( X – 1), (y+ 3) sunt numere întregi. Prin urmare, această ecuație este echivalentă cu următoarea mulțime:
Acum putem nota toate soluțiile întregi posibile ale ecuației.
Sarcina 4. Rezolvați ecuația în numere întregi zt + t – 2z = 7.
Decizie. Ecuația inițială poate fi transformată în forma ( z + 1) (t– 2) = 5. Numere ( z + 1), (t– 2) sunt numere întregi, deci au loc următoarele opțiuni:
Deci, ecuația are exact patru soluții întregi.
Idee cheie- reprezentarea ecuaţiei sub forma unui produs egal cu un număr întreg.
Sarcina 5. Rezolvați ecuația în numere întregi n(n + 1) = (2k+ 1)‼
Decizie. Numarul 2 k+ 1)‼ este impar pentru toate valorile nenegative k conform definiției (cu negativ k nu este definit deloc). Pe de altă parte, este egal cu n(n+ 1), care este par pentru toate valorile întregi k. Contradicţie.
Idee cheie– utilizarea părților pare/impare ale ecuației.
Sarcina 6. Rezolvați ecuația în numere întregi X y + X + 2y = 1.
Decizie. Prin transformare, ecuația poate fi redusă la următoarele:
Această transformare nu a schimbat ODZ a necunoscutelor incluse în ecuație, de la înlocuire y= -1 în ecuația originală duce la egalitatea absurdă -2 = 1. Conform condiției, X este un număr întreg. Cu alte cuvinte, tot un număr întreg. Dar atunci numărul trebuie să fie un întreg. O fracție este un număr întreg dacă și numai dacă numărătorul este divizibil cu numitorul. Divizori ai numărului 3: 1,3 -1, -3. Prin urmare, există patru cazuri posibile pentru necunoscut: y = 0, y = 2, y= –2, y = –4. Acum putem calcula valorile corespunzătoare ale necunoscutului X. Deci, ecuația are exact patru soluții întregi: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).
Idee cheie este o expresie a unei necunoscute în termenii altuia.
Sarcina 7. m= n 2 + 2.
Decizie. În cazul în care un m= 0, atunci ecuația ia forma n 2 = -1. Nu are soluții întregi. În cazul în care un m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n, nu va fi un număr întreg. Mijloace, m> 0. Atunci partea dreaptă a ecuației (precum și partea stângă) va fi un multiplu de 5. Dar în acest caz n 2 atunci când este împărțit la 5 ar trebui să dea un rest de 3, ceea ce este imposibil (acest lucru este dovedit prin metoda de enumerare a resturilor, care a fost descrisă în rezolvarea problemei 1). Prin urmare, această ecuație nu are soluții în numere întregi.
Idee cheie– găsirea resturilor din împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr natural.
Sarcina 8. Rezolvați ecuația în numere întregi ( X!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .
Decizie. Rețineți că, deoarece exponenții sunt pare, ecuația este echivalentă cu următoarea: ( X!) 4 + |y – 1| 4 = |z+ 1| 4 . Apoi X!, |y – 1|, |z+ 1| - numere întregi. Cu toate acestea, conform ultimei teoreme a lui Fermat, aceste numere naturale nu pot satisface ecuația originală. Astfel, ecuația este de nerezolvat în numere întregi.
Idee cheie- Utilizarea ultimei teoreme a lui Fermat.
Sarcina 9. Rezolvați ecuația în numere întregi X 2 + 4y 2 = 16X y.
Decizie. Din starea problemei rezultă că X- număr par. Apoi X 2 = 4X 12 . Ecuația este convertită în formă X 1 2 + y 2 = 8X 1 y. De aici rezultă că numerele X 1 , y au aceeași paritate. Să luăm în considerare două cazuri.
1 caz. Lasa X 1 , y- numere impare. Apoi X 1 = 2t + 1, y = 2s+ 1. Înlocuind aceste expresii în ecuație, obținem:
Să efectuăm transformările corespunzătoare:
Reducând ambele părți ale ecuației rezultate cu 2, obținem?
În partea stângă este un număr impar, iar în partea dreaptă este un număr par. Contradicţie. Deci 1 caz este imposibil.
2 caz. Lasa X 1 , y- numere pare. Apoi X 1 = 2X 2 + 1, y = 2y unu . Înlocuind aceste valori în ecuație, obținem:
Astfel, se obține o ecuație, exact aceeași ca în pasul precedent. Este investigat într-un mod similar, așa că la pasul următor obținem ecuația 
etc. De fapt, efectuând aceste transformări pe baza parității necunoscutelor, obținem următoarele expansiuni: . Dar cantitățile nși k nu sunt limitate, deoarece la orice pas (cu un număr arbitrar de mare) vom obține o ecuație echivalentă cu cea anterioară. Adică, acest proces nu poate fi oprit. Cu alte cuvinte, numerele X, y sunt de nenumărate ori divizibile cu 2. Dar aceasta are loc numai cu condiţia ca X = y= 0. Astfel, ecuația are exact o soluție întreagă (0; 0).
Idee cheie– utilizarea metodei coborârii infinite.
Sarcina 10. Rezolvați ecuația 5 în numere întregi X 2 – 3X y + y 2 = 4.
Decizie. Să rescriem această ecuație sub forma 5 X 2 – (3X)y + (y 2 – 4) = 0. Poate fi considerat ca un pătrat în raport cu necunoscutul X. Să calculăm discriminantul acestei ecuații:
Pentru ca ecuația să aibă soluții, este necesar și suficient ca , adică, prin urmare, avem următoarele posibilități pentru y: y = 0, y = 1, y = –1, y= 2, y= –2.
Deci, ecuația are exact 2 soluții întregi: (0;2), (0;–2).
Idee cheie– luarea în considerare a ecuației ca fiind una pătratică în raport cu una dintre necunoscute.
Sarcinile compilate de autor au fost folosite în experiment, care a constat în următoarele. Tuturor elevilor clasei a IX-a li s-au propus sarcini dezvoltate pentru a identifica nivelul de pregătire al copiilor pe această temă. Fiecare dintre elevi a trebuit să ofere o metodă de găsire a soluțiilor întregi ale ecuațiilor. La experiment au participat 64 de elevi. Rezultatele obţinute sunt prezentate în tabelul 1.
TABELUL 1
| Numărul postului | Numărul de studenți care au finalizat sarcina (procent) |
Acești indicatori indică faptul că nivelul de pregătire al elevilor de clasa a IX-a pe această temă este foarte scăzut. De aceea, pare oportună organizarea unui curs special „Ecuații în numere întregi”, care va avea ca scop îmbunătățirea cunoștințelor studenților în acest domeniu. În primul rând, aceștia sunt studenți care participă sistematic la concursuri și olimpiade de matematică și, de asemenea, intenționează să susțină examenul de specialitate la matematică.
constatări
În timpul acestei lucrări:
1) Au fost analizate materialele olimpiadei, precum și materialele Examenului Unificat de Stat la matematică;
2) Se indică metodele de rezolvare a ecuaţiilor în numere întregi şi se evidenţiază cele predominante;
3) Rezultatele obţinute sunt ilustrate cu exemple;
4) Sarcini de pregătire compilate pentru elevii clasei a IX-a;
5) S-a realizat un experiment pentru a identifica nivelul de pregătire pe această temă a elevilor de clasa a IX-a;
6) Se analizează rezultatele experimentului și se trag concluzii despre oportunitatea studierii ecuațiilor în numere întregi într-un curs special de matematică.
Rezultatele obținute în cursul acestui studiu pot fi folosite în pregătirea pentru olimpiadele matematice, examenul de stat unificat la matematică, precum și în conducerea orelor într-un cerc matematic.
Bibliografie
1. Gelfond A.O. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi. - M.: Nauka, 1983 - 64 p.
2. Alfutova N.B. Ustinov A.V. Algebră și teoria numerelor. Culegere de probleme pentru școlile de matematică - M.: MTsNMO, 2009 - 336 p.
3. Galperin G.A., Tolpygo A.K. Olimpiadele de matematică de la Moscova: carte. pentru elevi / Ed. UN. Kolmogorov. - M.: Iluminismul, 1986. - 303 p., ill.
4. Dalinger V.A. Probleme în numere întregi - Omsk: Amphora, 2010 - 132 p.
5. Yu. A. Gastev și M. L. Smolyanskii, „Câteva cuvinte despre ultima teoremă a lui Fermat”, Kvant, august 1972.
Glosar
Metoda de coborâre infinită- o metodă elaborată de matematicianul francez P. Fermat (1601–1665), care constă în obţinerea unei contradicţii prin construirea unei succesiuni infinit descrescătoare de numere naturale. Un fel de dovadă prin contradicție.
Pătrat exact (plin). este pătratul unui număr întreg.
Factorial al unui număr natural n este produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv.
