Systémy rovníc sú široko používané v hospodárskom priemysle pri matematickom modelovaní rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických ciest (problém dopravy) alebo rozmiestnenia zariadení.

Systémy rovníc sa využívajú nielen v oblasti matematiky, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Sústava lineárnych rovníc je označenie pre dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice vynesením jej grafu bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešením polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Najjednoduchšie sú príklady sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Vyriešte sústavu rovníc - znamená to nájsť také hodnoty (x, y), pre ktoré sa systém stáva skutočnou rovnosťou, alebo zistiť, že neexistujú žiadne vhodné hodnoty x a y.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako bodové súradnice, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak majú systémy jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom „rovná sa“ hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém nie je homogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Tvárou v tvár systémom školáci predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľké množstvo.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Neexistuje žiadny všeobecný analytický spôsob riešenia takýchto systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafická a maticová metóda, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy aplikácie konkrétnej metódy.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc 7. ročníka všeobecnovzdelávacieho školského programu je pomerne jednoduché a je veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc metódou Gaussovej a Cramerovej sa podrobnejšie študuje v prvých kurzoch vysokých škôl.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej prostredníctvom druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice a potom sa zredukuje na jednu premennú formu. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme príklad sústavy lineárnych rovníc 7. triedy substitučnou metódou:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu nespôsobuje ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola získaných hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej v zmysle druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, substitučné riešenie je tiež nepraktické.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešenia systémov sčítacou metódou sa vykonáva sčítanie po členoch a násobenie rovníc rôznymi číslami. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica s jednou premennou.

Aplikácia tejto metódy si vyžaduje prax a pozorovanie. Riešiť sústavu lineárnych rovníc metódou sčítania s počtom premenných 3 a viac nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je užitočné, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné čísla.

Algoritmus akcie riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice nejakým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie sa jeden z koeficientov premennej musí rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Metóda riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém potrebuje nájsť riešenie pre nie viac ako dve rovnice, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši vzhľadom na zadanú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Z príkladu je vidieť, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardnú štvorcovú trojčlenku. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú multiplikátory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje len jedno riešenie: x= -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre systémy s 3 rovnicami. Metóda spočíva vo vynesení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovú os. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.

Grafická metóda má množstvo odtieňov. Zvážte niekoľko príkladov riešenia systémov lineárnych rovníc vizuálnym spôsobom.

Ako je zrejmé z príkladu, pre každý riadok boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

V nasledujúcom príklade musíte nájsť grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, sústava nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrix a jeho odrody

Matice slúžia na stručný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je špeciálny typ tabuľky naplnenej číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je jednostĺpcová matica s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a iných nulových prvkov sa nazýva identita.

Inverzná matica je taká matica, ktorou sa po vynásobení pôvodná zmení na jednotkovú, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre transformáciu sústavy rovníc na maticu

Pri sústavách rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako čísla matice, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa nazýva nenulový, ak sa aspoň jeden prvok v riadku nerovná nule. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x je možné zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvý, koeficient neznámej y - iba do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| - maticový determinant. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva na dva, je len potrebné prvky navzájom diagonálne vynásobiť. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že musíte vziať jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca, aby sa čísla stĺpcov a riadkov prvkov v produkte neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje znížiť ťažkopádne zadania pri riešení systémov s veľkým počtom premenných a rovníc.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie sústav Gaussovou metódou

Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešenia systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na nájdenie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná substitučným a algebraickým riešeniam sčítania, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa Gaussovo riešenie používa pre sústavy 3 a 4 rovníc. Účelom metódy je priviesť systém do tvaru obráteného lichobežníka. Algebraickými transformáciami a substitúciami sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi a 3 a 4 - s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad gaussovského riešenia opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Riešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre stredoškolákov ťažko pochopiteľná, no je jedným z najzaujímavejších spôsobov, ako rozvíjať vynaliezavosť detí študujúcich v nadstavbovom študijnom programe na hodinách matematiky a fyziky.

Pre uľahčenie zaznamenávania výpočtov je obvyklé robiť nasledovné:

Koeficienty rovníc a voľné členy sa zapisujú vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej strany. Rímske číslice označujú počet rovníc v sústave.

Najprv si zapíšu maticu, s ktorou majú pracovať, potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica sa zapíše za znak „šípky“ a pokračuje vo vykonávaní potrebných algebraických operácií, kým sa nedosiahne výsledok.

V dôsledku toho by sa mala získať matica, v ktorej je jedna z uhlopriečok 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednu formu. Nesmieme zabudnúť na výpočty s číslami oboch strán rovnice.

Tento zápis je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatná aplikácia akéhokoľvek spôsobu riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy sa používajú. Niektoré spôsoby hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na účely učenia.

Lineárne rovnice sú celkom neškodná a zrozumiteľná téma školskej matematiky. Ale napodiv, počet chýb z ničoho nič pri riešení lineárnych rovníc je len o niečo menší ako v iných témach - kvadratické rovnice, logaritmy, trigonometria a iné. Príčinou väčšiny chýb sú banálne identické transformácie rovníc. V prvom rade ide o zmätok v znamienkach pri prenose výrazov z jednej časti rovnice do druhej, ako aj o chyby pri práci so zlomkami a zlomkovými koeficientmi. Áno áno! Zlomky v lineárnych rovniciach sa tiež vyskytujú! Všade okolo. O niečo nižšie budeme analyzovať aj takéto zlé rovnice.)

No neťahajme mačku za chvost a nezačnime to riešiť, nie? Potom čítame a rozumieme.)

Čo je lineárna rovnica? Príklady.

Lineárna rovnica má zvyčajne nasledujúci tvar:

sekera + b = 0,

Kde a a b sú ľubovoľné čísla. Čokoľvek: celé číslo, zlomok, zápor, iracionálne - každý môže byť!

Napríklad:

7x + 1 = 0 (tu a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (tu a = 1, b = -3)

x/2 - 1,1 = 0 (tu a = 1/2, b = -1,1)

Vo všeobecnosti chápete, dúfam.) Všetko je jednoduché, ako v rozprávke. Zatiaľ... A keď sa pozrieme bližšie na bežné označenie ax+b=0 a trochu sa zamyslíme? Pretože a a b akékoľvek čísla! A ak máme, povedzme, a = 0 a b = 0 (možno vziať akékoľvek čísla!), čo potom dostaneme?

0 = 0

Ale to nie je všetko zábavné! A ak povedzme a = 0, b = -10? Potom sa ukáže celkom nezmysel:

0 = 10.

Čo je veľmi, veľmi nepríjemné a podkopáva to dôveru v matematiku vybojovanú potom a krvou... Najmä v testoch a skúškach. Ale z týchto nepochopiteľných a zvláštnych rovností musíte nájsť aj X! Ktorý vôbec neexistuje! A tu môžu niekedy aj dobre pripravení študenti upadnúť, ako sa hovorí, do strnulosti ... Ale nebojte sa! V tejto lekcii tiež zvážime všetky takéto prekvapenia. A x z takých rovníc sa určite nájde.) Navyše práve toto x sa hľadá veľmi, veľmi jednoducho. Áno áno! Prekvapivé, ale pravdivé.)

Dobre, to je pochopiteľné. Ale ako môžete podľa vzhľadu úlohy vedieť, že máme lineárnu rovnicu a nie nejakú inú? Žiaľ, nie vždy je možné typ rovnice rozpoznať len podľa vzhľadu. Ide o to, že lineárne sa nazývajú nielen rovnice tvaru ax + b = 0, ale aj akékoľvek iné rovnice, ktoré sa identickými transformáciami tak či onak redukujú na tento tvar. Ako viete, či to sedí alebo nie? Kým takmer nevyriešite príklad – takmer nič. Je to znepokojujúce. Ale pri niektorých typoch rovníc je možné jedným letmým pohľadom okamžite s istotou povedať, či sú lineárne alebo nie.

Aby sme to dosiahli, znova sa obrátime na všeobecnú štruktúru akejkoľvek lineárnej rovnice:

sekera + b = 0

Všimnite si, že v lineárnej rovnici vždy existuje len premenná x v prvom stupni a nejaké čísla! A je to! Nič viac. Zároveň neexistujú žiadne x na druhú, kocky, pod odmocninou, pod logaritmom a iné exotické. A (hlavne!) žiadne zlomky s x v menovateľoch! Ale zlomky s číslami v menovateľoch alebo delení za číslo- ľahko!

Napríklad:

Toto je lineárna rovnica. Rovnica obsahuje iba x k prvej mocnine a číslam. A vo vyšších mocninách nie sú žiadne x - na druhú, na kocky atď. Áno, sú tu zlomky, no zároveň sedia v menovateľoch zlomkov iba čísla. Totiž dva a tri. Inými slovami, neexistuje delenie x.

A tu je rovnica

Už sa to nedá nazvať lineárnym, aj keď aj tu sú len čísla a x do prvého stupňa. Lebo okrem iného existujú aj zlomky s x v menovateľoch. A po zjednodušeniach a transformáciách sa takáto rovnica môže stať čímkoľvek: lineárnou a štvorcovou - kýmkoľvek.

Ako riešiť lineárne rovnice? Príklady.

Ako teda riešite lineárne rovnice? Čítajte ďalej a nechajte sa prekvapiť.) Celé riešenie lineárnych rovníc je založené len na dvoch hlavných veciach. Poďme si ich vymenovať.

1) Súbor elementárnych úkonov a pravidiel matematiky.

Ide o používanie zátvoriek, otváranie zátvoriek, prácu so zlomkami, prácu so zápornými číslami, tabuľku násobenia atď. Tieto znalosti a zručnosti sú potrebné nielen pre riešenie lineárnych rovníc, ale pre celú matematiku všeobecne. A ak je to problém, pamätajte na nižšie ročníky. Inak to budeš mať ťažké...

2)

Sú len dvaja. Áno áno! Navyše, tieto úplne základné identické transformácie sú základom riešenia nielen lineárnych, ale vo všeobecnosti akýchkoľvek matematických rovníc! Jedným slovom, riešenie akejkoľvek inej rovnice - kvadratickej, logaritmickej, trigonometrickej, iracionálnej atď. - spravidla začína týmito veľmi základnými transformáciami. Ale riešenie presne lineárnych rovníc na nich v skutočnosti končí (transformácie). Hotová odpoveď.) Tak nebuďte leniví a prejdite sa po odkaze.) Okrem toho sú tam podrobne analyzované aj lineárne rovnice.

Myslím, že je čas začať s analýzou príkladov.

Na začiatok, ako rozcvičku, zvážte niektoré elementárne. Bez akýchkoľvek zlomkov a iných zvončekov a píšťaliek. Napríklad táto rovnica:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Toto je klasická lineárna rovnica. Všetky x sú maximálne na prvú mocninu a nikde nie je delenie x. Schéma riešenia v takýchto rovniciach je vždy rovnaká a na hrôzu jednoduchá: všetky členy s x musia byť zhromaždené naľavo a všetky členy bez x (t. j. čísla) musia byť zhromaždené napravo. Začnime teda zbierať.

Za týmto účelom spustíme prvú identickú transformáciu. Musíme sa pohnúť -5x doľava a -2 doprava. So zmenou znamenia, samozrejme.) Takže prenášame:

x + 5x = 4 + 2

Nech sa páči. Polovica bitky je hotová: x sú zhromaždené na hromade, čísla tiež. Teraz dávame podobné vľavo a počítame vpravo. Dostaneme:

6x = 6

Čo nám teraz chýba k úplnému šťastiu? Áno, takže na ľavej strane zostane čisté X! A šestka prekáža. Ako sa toho zbaviť? Teraz začneme druhú identickú transformáciu - obe strany rovnice vydelíme 6. A - voilá! Odpoveď pripravená.)

x = 1

Samozrejme, príklad je dosť primitívny. Aby ste získali všeobecnú predstavu. No, urobme niečo podstatnejšie. Zvážte napríklad nasledujúcu rovnicu:

Rozoberme si to podrobne.) Toto je tiež lineárna rovnica, aj keď by sa zdalo, že sú tu zlomky. Ale v zlomkoch existuje delenie dvoma a existuje delenie tromi, ale neexistuje delenie výrazom s x! Tak sa rozhodneme. Áno, pomocou všetkých rovnakých identických transformácií.)

Čo urobíme ako prvé? S X - doľava, bez X - doprava? V princípe je to možné a tak. Leťte do Soči cez Vladivostok.) Alebo môžete ísť najkratšou cestou, ihneď pomocou univerzálnej a výkonnej metódy. Ak poznáte rovnaké premeny, samozrejme.)

Na začiatok položím kľúčovú otázku: čo si na tejto rovnici najviac všímate a čo sa vám nepáči? 99 zo 100 ľudí hovorí: zlomky! A budú mať pravdu.) Najprv sa ich teda zbavme. Bezpečné pre samotnú rovnicu.) Začnime teda hneď s druhá identická transformácia- z násobenia. Čím sa má vynásobiť ľavá strana, aby sa menovateľ bezpečne zmenšil? Presne tak, dvojito. A pravá strana? Za troch! Ale ... Matematika je rozmarná dáma. Ona, viete, vyžaduje iba znásobenie oboch častí za rovnaké číslo! Vynásobte každú časť jej vlastným číslom - nefunguje to ... Čo budeme robiť? Niečo... Hľadaj kompromis. Aby sme splnili naše želania (zbavili sa zlomkov) a neurazili matematiku.) A vynásobme obe časti šiestimi!) Teda spoločným menovateľom všetkých zlomkov zahrnutých v rovnici. Potom sa jedným ťahom znížia dva a tri!)

Tu sa množíme. Celá ľavá strana a celá pravá strana úplne! Preto používame zátvorky. Takto vyzerá postup:

Teraz otvorme tieto zátvorky:

Teraz, reprezentujúc 6 ako 6/1, vynásobte šesť každým zlomkom vľavo a vpravo. Toto je obvyklé násobenie zlomkov, ale nech je to tak, napíšem podrobne:

A tu - pozor! Zobral som čitateľa (x-3) v zátvorkách! To všetko preto, že pri násobení zlomkov sa čitateľ násobí celý, úplne a úplne! A s výrazom x-3 je potrebné pracovať ako s jednou pevnou konštrukciou. Ale ak napíšete čitateľa takto:

6x - 3,

Ale máme všetko v poriadku a musíme to dokončiť. Čo urobiť ďalej? Otvoriť zátvorky v čitateli vľavo? V žiadnom prípade! Vy a ja sme vynásobili obe časti 6, aby sme sa zbavili zlomkov a nie parný kúpeľ s otváracími zátvorkami. V tejto fáze potrebujeme znížiť naše zlomky. S pocitom hlbokej spokojnosti zredukujeme všetky menovatele a dostaneme rovnicu bez zlomkov v pravítku:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

A teraz je možné otvoriť zostávajúce zátvorky:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Rovnica je stále lepšia a lepšia! Teraz si opäť pripomenieme prvú identickú transformáciu. S kamennou tvárou opakujeme kúzlo z nižších ročníkov: s x - doľava, bez x - doprava. A použite túto transformáciu:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Podobné dávame vľavo a počítame vpravo:

13x = 39

Zostáva vydeliť obe časti 13. To znamená, že znova použite druhú transformáciu. Rozdelíme a dostaneme odpoveď:

x = 3

Práca je hotová. Ako vidíte, v tejto rovnici sme museli použiť prvú transformáciu (prenos členov) raz a druhú dvakrát: na začiatku riešenia sme použili násobenie (6), aby sme sa zbavili zlomkov a na konci riešenia sme použili delenie (13), aby sme sa zbavili koeficientu pred x. A riešenie akejkoľvek (áno, akejkoľvek!) lineárnej rovnice pozostáva z kombinácie tých istých transformácií v jednej alebo druhej postupnosti. Kde presne začať, závisí od konkrétnej rovnice. Niekde je výhodnejšie začať prevodom a niekde (ako v tomto príklade) - násobením (alebo delením).

Pracujeme od jednoduchých po zložité. Zvážte teraz Frank cín. S kopou zlomkov a zátvoriek. A poviem vám, ako sa nepreťažovať.)

Napríklad tu je rovnica:

Minútu sa pozeráme na rovnicu, sme zhrození, ale aj tak sa dávame dokopy! Hlavným problémom je, kde začať? Na pravej strane môžete pridať zlomky. Zlomky v zátvorkách môžete odčítať. Obidve časti môžete niečím vynásobiť. Alebo zdieľajte... Čo je teda ešte možné? Odpoveď: Všetko je možné! Matematika nezakazuje žiadnu z uvedených činností. A bez ohľadu na to, akú postupnosť akcií a premien zvolíte, odpoveď bude vždy rovnaká – tá správna. Pokiaľ, samozrejme, v určitom kroku neporušíte identitu svojich transformácií, a tým neurobíte chyby ...

A aby sme sa nemýlili, v takých vychytených príkladoch, ako je tento, je vždy najužitočnejšie zhodnotiť jeho vzhľad a prísť na to vo svojej mysli: čo sa dá na príklade urobiť, aby maximálne zjednodušiť to v jednom kroku?

Tu hádame. Vľavo sú v menovateloch šestky. Mne osobne sa nepáčia, no veľmi ľahko sa odstraňujú. Dovoľte mi vynásobiť obe strany rovnice 6! Potom sa šestky vľavo bezpečne zredukujú, zlomky v zátvorkách zatiaľ nikam nepôjdu. No nič veľké. Budeme sa im venovať trochu neskôr.) Ale vpravo sa znížia menovatele 2 a 3. Práve touto akciou (násobením 6) dosiahneme maximálne zjednodušenia v jednom kroku!

Po vynásobení celá naša rovnica zla vyzerá takto:

Ak presne nerozumiete, ako táto rovnica dopadla, potom ste dobre nerozumeli analýze predchádzajúceho príkladu. A mimochodom, skúšal som...

Tak to otvoríme:

Teraz by najlogickejším krokom bolo izolovať zlomky naľavo a poslať 5x na pravú stranu. Zároveň dávame podobné na pravú stranu. Dostaneme:

Už oveľa lepšie. Teraz sa ľavá strana pripravila na násobenie. Čo treba vynásobiť ľavou stranou, aby sa hneď zmenšila päťka aj štvorka? O 20! Máme však aj nevýhody na oboch stranách rovnice. Preto bude najvýhodnejšie vynásobiť obe strany rovnice nie 20, ale -20. Potom jedným ťahom zmiznú mínusy a zlomky.

Tu vynásobíme:

Pre tých, ktorí tomuto kroku stále nerozumejú, to znamená, že problémy nie sú v rovniciach. Problémy sú v jadre! Opäť si pamätajte na zlaté pravidlo otvárania zátvoriek:

Ak sa číslo vynásobí nejakým výrazom v zátvorkách, potom toto číslo treba postupne vynásobiť každým výrazom práve tohto výrazu. Navyše, ak je číslo kladné, znaky výrazov po expanzii sa zachovajú. Ak sú záporné, sú obrátené:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Mínusy zmizli po vynásobení oboch častí -20. A teraz vynásobíme zátvorky so zlomkami vľavo celkom sami kladné číslo 20. Preto pri otváraní týchto zátvoriek sú zachované všetky znaky, ktoré boli v nich. Ale odkiaľ sa vzali zátvorky v čitateloch zlomkov, som už podrobne vysvetlil v predchádzajúcom príklade.

A teraz môžete znížiť zlomky:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Rozbaľte zostávajúce zátvorky. Opäť otvárame správne. Prvé zátvorky sú vynásobené kladným číslom 4, a preto sa pri otvorení zachovajú všetky znaky. Ale druhé zátvorky sú vynásobené negatívnečíslo je -5, a preto sú všetky znamienka obrátené:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Zostávajú voľné miesta. S x vľavo, bez x vpravo:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

To je skoro všetko. Naľavo potrebujete čisté X a do cesty vám prekáža číslo -35. Obe časti teda vydelíme (-35). Pripomínam, že druhá transformácia identity nám umožňuje znásobiť a rozdeliť obe časti Hocičočíslo. Vrátane záporákov.) Keby len nie na nulu! Neváhajte a zdieľajte a získajte odpoveď:

X = 2/35

Tentokrát sa X ukázalo ako zlomkové. Je to v poriadku. Taký príklad.)

Ako vidíme, princíp riešenia lineárnych rovníc (aj tých najprekrúcanejších) je celkom jednoduchý: vezmeme pôvodnú rovnicu a identickými transformáciami ju postupne zjednodušíme až po odpoveď. So základmi, samozrejme! Hlavné problémy sú tu práve v nedodržiavaní základov (povedzme, že pred zátvorkami je mínus a pri otváraní zabudli zmeniť znamienka), ako aj v banálnej aritmetike. Nezanedbávajte teda základy! Sú základom celej zvyšku matematiky!

Niektoré triky pri riešení lineárnych rovníc. Alebo špeciálne príležitosti.

Všetko by bolo ničím. Avšak ... Medzi lineárnymi rovnicami sú také vtipné perly, ktoré v procese ich riešenia môžu viesť k silnej strnulosti. Dokonca vynikajúci študent.)

Tu je napríklad neškodne vyzerajúca rovnica:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Široko zívajúc a mierne znudení zbierame všetky X naľavo a všetky čísla napravo:

7x-4x-3x = 5-2-3

Dávame podobné, zvážime a získame:

0 = 0

To je všetko! Vydané primerchik zameranie! Táto rovnosť sama o sebe nevyvoláva žiadne námietky: nula sa skutočne rovná nule. Ale X je preč! Bez stopy! A do odpovede musíme napísať, čomu sa x rovná. Inak sa na rozhodnutie neprihliada, áno.) Čo robiť?

Žiadna panika! V takýchto neštandardných prípadoch šetria najvšeobecnejšie pojmy a princípy matematiky. čo je rovnica? Ako riešiť rovnice? Čo znamená vyriešiť rovnicu?

Riešiť rovnicu znamená nájsť všetky hodnoty premennej x, ktoré pri dosadení do originálny rovnica nám dá správnu rovnosť (identitu)!

Ale máme správnu rovnosť už hotový! 0=0, alebo skôr nikde!) Zostáva hádať, pri ktorých x dostaneme túto rovnosť. Do akých x možno dosadiť originálny rovnica ak pri dosadzovaní všetky stále sa zmenšovať na nulu? Ešte ste na to neprišli?

Určite! Xs môžu byť substituované akýkoľvek!!! Absolútne akékoľvek. Čokoľvek chcete, vložte ich. Aspoň 1, aspoň -23, aspoň 2,7 - čokoľvek! Stále sa budú zmenšovať a v dôsledku toho zostane čistá pravda. Vyskúšajte, nahraďte a presvedčte sa sami.)

Tu je vaša odpoveď:

x je ľubovoľné číslo.

Vo vedeckej notácii je táto rovnosť napísaná takto:

Tento záznam znie takto: "X je akékoľvek reálne číslo."

Alebo inou formou, v intervaloch:

Ako chcete, usporiadajte si to. Toto je správna a úplne úplná odpoveď!

A teraz zmením len jedno číslo v našej pôvodnej rovnici. Poďme teraz vyriešiť túto rovnicu:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Opäť prenášame podmienky, počítame a dostávame:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

A ako sa vám páči tento vtip? Existovala obyčajná lineárna rovnica, ale bola tam nepochopiteľná rovnosť

0 = 1…

Z vedeckého hľadiska máme nesprávna rovnosť. Ale v ruštine to nie je pravda. Hovadina. Nezmysel.) Lebo nula sa nerovná jednotke!

A teraz opäť premýšľame, aké x dostaneme pri dosadzovaní do pôvodnej rovnice správna rovnosť? ktoré? Ale žiadny! Bez ohľadu na to, čo X nahradíte, všetko sa aj tak zníži a bude to svinstvo.)

Tu je odpoveď: žiadne riešenia.

V matematickom zápise je takáto odpoveď zostavená takto:

Znie: "X patrí do prázdnej množiny."

Takéto odpovede v matematike sú tiež celkom bežné: nie vždy má každá rovnica v princípe korene. Niektoré rovnice nemusia mať vôbec korene. Vôbec.

Tu sú dve prekvapenia. Dúfam, že teraz vás náhle zmiznutie X v rovnici nebude navždy zmiasť. Prípad je celkom známy.)

A potom počujem logickú otázku: budú v OGE alebo v USE? Na skúške, sami ako úloha - č. Príliš jednoduché. Ale v OGE alebo v textových problémoch - jednoducho! Takže teraz - trénujeme a rozhodujeme sa:

Odpovede (v neporiadku): -2; - jeden; akékoľvek číslo; 2; žiadne riešenia; 7/13.

Všetko vyšlo? Dobre! Na skúške máte dobré šance.

Niečo nesedí? Hm... Smútok, samozrejme. Takže niekde sú medzery. Buď v bázach alebo v identických premenách. Alebo je to záležitosť banálnej nepozornosti. Znova si prečítajte lekciu. Lebo toto nie je téma, bez ktorej sa v matematike tak ľahko nezaobídete...

Veľa štastia! Určite sa na teba usmeje, ver mi!)

Rovnice. Inými slovami, riešenie všetkých rovníc začína týmito transformáciami. Pri riešení lineárnych rovníc to (riešenie) na identických transformáciách a končí konečnou odpoveďou.

Prípad nenulového koeficientu pre neznámu premennú.

ax+b=0, a ≠ 0

Prenesieme členy s x na jednu stranu a čísla na druhú stranu. Nezabudnite, že pri prenose výrazov na opačnú stranu rovnice musíte zmeniť znamienko:

ax:(a)=-b:(a)

Zredukujeme ale pri X a dostaneme:

x=-b:(a)

Toto je odpoveď. Ak chcete skontrolovať, či je číslo -b: (a) koreň našej rovnice, potom musíme nahradiť v počiatočnej rovnici namiesto X toto je to isté číslo:

a(-b:(a))+b=0 ( tie. 0=0)

Pretože táto rovnosť je teda pravdivá -b: (a) a pravda je koreňom rovnice.

odpoveď: x=-b:(a), a ≠ 0.

Prvý príklad:

5x+2=7x-6

Prenášame na jednu stranu pojmy z X a na druhej strane čísla:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Neznámym koeficientom ho znížili a dostali odpoveď:

Toto je odpoveď. Ak potrebujete skontrolovať, či je číslo 4 skutočne koreňom našej rovnice, dosadíme do pôvodnej rovnice toto číslo namiesto x:

5*4+2=7*4-6 ( tie. 22=22)

Pretože táto rovnosť je pravdivá, potom je 4 koreňom rovnice.

Druhý príklad:

Vyriešte rovnicu:

5x+14=x-49

Prenesením neznámych a čísel v rôznych smeroch sme dostali:

Časti rovnice delíme koeficientom at X(na 4) a získajte:

Tretí príklad:

Vyriešte rovnicu:

Najprv sa zbavíme iracionality v koeficiente neznáma vynásobením všetkých členov takto:

Tento formulár sa považuje za zjednodušený, pretože číslo má koreň čísla v menovateli. Musíme zjednodušiť odpoveď vynásobením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom, máme toto:

Prípad bez riešenia.

Vyriešte rovnicu:

2x+3=2x+7

Pre všetkých X naša rovnica sa nestane skutočnou rovnosťou. To znamená, že naša rovnica nemá korene.

Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.

Špeciálnym prípadom je nekonečné množstvo riešení.

Vyriešte rovnicu:

2x+3=2x+3

Prenesením x a čísel v rôznych smeroch a vytvorením podobných výrazov dostaneme rovnicu:

Ani tu nie je možné deliť obe časti 0, pretože je zakázané. Avšak, uvedenie na miesto X akékoľvek číslo, dostaneme správnu rovnosť. To znamená, že každé číslo je riešením takejto rovnice. Riešení je teda nekonečné množstvo.

Odpoveď: nekonečné množstvo riešení.

Prípad rovnosti dvoch úplných foriem.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

odpoveď: x=(d-b):(a-c), ak d≠b a a≠c, inak riešení je nekonečne veľa, ale keby a=c, ale d≠b, potom neexistujú žiadne riešenia.

Lineárna rovnica je algebraická rovnica, ktorej plný stupeň polynómov sa rovná jednej. Riešenie lineárnych rovníc je súčasťou školských osnov a nie je to najťažšie. Niektorí však stále majú ťažkosti s prechodom na túto tému. Dúfame, že po prečítaní tohto materiálu zostanú všetky ťažkosti pre vás v minulosti. Takže, poďme na to. ako riešiť lineárne rovnice.

Všeobecná forma

Lineárna rovnica je znázornená ako:

• ax + b = 0, kde a a b sú ľubovoľné čísla.

Aj keď a a b môžu byť ľubovoľné číslo, ich hodnoty ovplyvňujú počet riešení rovnice. Existuje niekoľko špeciálnych prípadov riešenia:

• Ak a=b=0, rovnica má nekonečný počet riešení;
• Ak a=0, b≠0, rovnica nemá riešenie;
• Ak a≠0, b=0, rovnica má riešenie: x = 0.

V prípade, že obe čísla majú nenulové hodnoty, je potrebné vyriešiť rovnicu, aby sa odvodil konečný výraz pre premennú.

ako sa rozhodnúť?

Riešenie lineárnej rovnice znamená nájsť, čomu sa premenná rovná. Ako to spraviť? Áno, je to veľmi jednoduché – pomocou jednoduchých algebraických operácií a dodržiavaním pravidiel prenosu. Ak sa pred vami rovnica objavila vo všeobecnej forme, máte šťastie, všetko, čo musíte urobiť, je:

1. Presuňte b na pravú stranu rovnice, pričom nezabudnite zmeniť znamienko (pravidlo prevodu!), Teda z vyjadrenia v tvare ax + b = 0 by sa malo získať vyjadrenie v tvare ax = -b.
2. Použite pravidlo: ak chcete nájsť jeden z faktorov (x - v našom prípade), musíte rozdeliť súčin (v našom prípade -b) iným faktorom (a - v našom prípade). Malo by sa teda získať vyjadrenie tvaru: x \u003d -b / a.

To je všetko - riešenie sa našlo!

Teraz sa pozrime na konkrétny príklad:

1. 2x + 4 = 0 - pohyb b, ktorý je v tomto prípade 4, doprava
2. 2x = -4 - vydeľte b a (nezabudnite na znamienko mínus)
3. x=-4/2=-2

To je všetko! Naše riešenie: x = -2.

Ako vidíte, nájsť riešenie lineárnej rovnice s jednou premennou je celkom jednoduché, ale všetko je také jednoduché, ak máme to šťastie, že rovnicu stretneme vo všeobecnej forme. Vo väčšine prípadov je pred riešením rovnice v dvoch vyššie popísaných krokoch tiež potrebné uviesť existujúci výraz do všeobecnej podoby. To však tiež nie je náročná úloha. Pozrime sa na niektoré špeciálne prípady s príkladmi.

Riešenie špeciálnych prípadov

Najprv sa pozrime na prípady, ktoré sme opísali na začiatku článku a vysvetlíme si, čo znamená mať nekonečné množstvo riešení a žiadne riešenie.

• Ak a=b=0, rovnica bude vyzerať takto: 0x + 0 = 0. Po vykonaní prvého kroku dostaneme: 0x = 0. Zvoláte, čo znamená tento nezmysel! Koniec koncov, bez ohľadu na to, aké číslo vynásobíte nulou, vždy dostanete nulu! Správny! Preto sa hovorí, že rovnica má nekonečný počet riešení - bez ohľadu na číslo, ktoré vezmete, rovnosť bude pravdivá, 0x \u003d 0 alebo 0 \u003d 0.
• Ak a=0, b≠0, rovnica bude vyzerať takto: 0x + 3 = 0. Vykonáme prvý krok, dostaneme 0x = -3. Opäť nezmysel! Je zrejmé, že táto rovnosť nikdy nebude pravdivá! Preto hovoria, že rovnica nemá riešenia.
• Ak a≠0, b=0, rovnica bude vyzerať takto: 3x + 0 = 0. Prvým krokom je: 3x = 0. Aké je riešenie? Je to jednoduché, x = 0.

Ťažkosti s prekladom

Opísané konkrétne prípady nie sú všetko, čím nás môžu lineárne rovnice prekvapiť. Niekedy je rovnica vo všeobecnosti na prvý pohľad ťažko identifikovateľná. Vezmime si príklad:

• 12x - 14 = 2x + 6

Je to lineárna rovnica? Ale čo tá nula na pravej strane? Nebudeme sa ponáhľať k záverom, budeme konať - prenesieme všetky zložky našej rovnice na ľavú stranu. Dostaneme:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Ak teraz odpočítame like od like, dostaneme:

• 10x - 20 = 0

Učil sa? Najlineárnejšia rovnica všetkých čias! Čí riešenie: x = 20/10 = 2.

Čo ak máme tento príklad:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 – 3x/4)

Áno, toto je tiež lineárna rovnica, len je potrebné urobiť viac transformácií. Najprv rozvinieme zátvorky:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - teraz vykonajte prenos:
4. 25x - 4 = 0 - zostáva nájsť riešenie podľa už známej schémy:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Ako vidíte, všetko je vyriešené, hlavnou vecou nie je obávať sa, ale konať. Pamätajte, že ak vaša rovnica obsahuje iba premenné prvého stupňa a čísla, ide o lineárnu rovnicu, ktorú je možné bez ohľadu na to, ako na začiatku vyzerá, zredukovať na všeobecnú formu a vyriešiť. Dúfame, že vám všetko vyjde! Veľa štastia!

V tomto článku uvažujeme o princípe riešenia takýchto rovníc ako lineárnych rovníc. Zapíšme si definíciu týchto rovníc a nastavme všeobecný tvar. Rozoberieme si všetky podmienky na hľadanie riešení lineárnych rovníc, okrem iného na príkladoch z praxe.

Upozorňujeme, že nižšie uvedený materiál obsahuje informácie o lineárnych rovniciach s jednou premennou. Lineárnym rovniciam s dvoma premennými sa venujeme v samostatnom článku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo je lineárna rovnica

Definícia 1

Lineárna rovnica je rovnica napísaná takto:
a x = b, kde X- variabilný, a A b- nejaké čísla.

Táto formulácia je použitá v učebnici algebry (7. ročník) od Yu.N. Makarycheva.

Príklad 1

Príklady lineárnych rovníc by boli:

3x=11(jedna premenná rovnica X pri a = 5 A b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( lineárna rovnica s premennou r, kde a \u003d - 3, 1 A b = 0);

x = -4 A − x = 5, 37(lineárne rovnice, kde číslo a napísané výslovne a rovné 1 a - 1, v tomto poradí. Pre prvú rovnicu b = -4; za druhé - b = 5,37) atď.

Rôzne učebné materiály môžu obsahovať rôzne definície. Napríklad Vilenkin N.Ya. lineárna zahŕňa aj tie rovnice, ktoré je možné transformovať do tvaru a x = b prenášaním výrazov z jednej časti do druhej so zmenou znamienka a prinášaním podobných výrazov. Ak sa budeme riadiť týmto výkladom, rovnica 5 x = 2 x + 6 – aj lineárne.

A tu je učebnica algebry (7. ročník) Mordkovich A.G. špecifikuje nasledujúci popis:

Definícia 2

Lineárna rovnica s jednou premennou x je rovnica tvaru a x + b = 0, kde a A b sú niektoré čísla, nazývané koeficienty lineárnej rovnice.

Príklad 2

Príkladom lineárnych rovníc tohto druhu môže byť:

3 x - 7 = 0 (a = 3, b = - 7) ;

1,8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Existujú však aj príklady lineárnych rovníc, ktoré sme už použili vyššie: a x = b, napríklad, 6 x = 35.

Hneď sa zhodneme, že v tomto článku pod lineárnou rovnicou s jednou premennou pochopíme rovnicu zápisu a x + b = 0, kde X– variabilný; a , b sú koeficienty. Túto formu lineárnej rovnice vidíme ako najoprávnenejšiu, keďže lineárne rovnice sú algebraické rovnice prvého stupňa. A ostatné rovnice uvedené vyššie a rovnice dané ekvivalentnými transformáciami do tvaru a x + b = 0, definujeme ako rovnice redukujúce na lineárne rovnice.

Pri tomto prístupe je rovnica 5 x + 8 = 0 lineárna a 5 x = -8- rovnica, ktorá sa redukuje na lineárnu.

Princíp riešenia lineárnych rovníc

Zvážte, ako určiť, či daná lineárna rovnica bude mať korene, a ak áno, koľko a ako ich určiť.

Definícia 3

Skutočnosť, že sú korene lineárnej rovnice, je určená hodnotami koeficientov a A b. Napíšme si tieto podmienky:

• pri a ≠ 0 lineárna rovnica má jeden koreň x = - b a ;
• pri a = 0 A b ≠ 0 lineárna rovnica nemá korene;
• pri a = 0 A b = 0 lineárna rovnica má nekonečne veľa koreňov. V skutočnosti sa v tomto prípade môže každé číslo stať koreňom lineárnej rovnice.

Dajme vysvetlenie. Vieme, že v procese riešenia rovnice je možné danú rovnicu transformovať na ekvivalentnú, čo znamená, že má rovnaké korene ako pôvodná rovnica, alebo tiež nemá žiadne korene. Môžeme vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie:

• presunúť výraz z jednej časti do druhej a zmeniť znamienko na opačný;
• vynásobte alebo vydeľte obe strany rovnice rovnakým nenulovým číslom.

Takto transformujeme lineárnu rovnicu a x + b = 0, presun výrazu b z ľavej strany na pravú so zmenou znamienka. Dostaneme: a · x = - b .

Obidve časti rovnice teda vydelíme nenulovým číslom ale, výsledkom je rovnosť tvaru x = - b a . Teda kedy a ≠ 0 pôvodná rovnica a x + b = 0 je ekvivalentná rovnosti x = - b a , v ktorej je zrejmý koreň - b a.

Protirečením je možné preukázať, že nájdený koreň je jediný. Nastavíme označenie nájdeného koreňa - b a ako x 1. Predpokladajme, že existuje ešte jeden koreň lineárnej rovnice so zápisom x 2. A samozrejme: x 2 ≠ x 1, a to je zase na základe definície rovnakých čísel prostredníctvom rozdielu ekvivalentné podmienke x 1 - x 2 ≠ 0. Vzhľadom na vyššie uvedené môžeme nahradením koreňov vytvoriť nasledujúce rovnosti:
a x 1 + b = 0 a a x2 + b = 0.
Vlastnosť číselnej rovnosti umožňuje vykonávať odčítanie častí rovnosti po členoch:

a x 1 + b - (a x 2 + b) = 0 - 0, odtiaľ: a (x 1 - x 2) + (b - b) = 0 a za a (x 1 - x 2) = 0. Rovnosť a (x 1 − x 2) = 0 je nepravdivá, pretože podmienka bola predtým daná takto a ≠ 0 A x 1 - x 2 ≠ 0. Získaný rozpor slúži ako dôkaz, že pri a ≠ 0 lineárna rovnica a x + b = 0 má iba jeden koreň.

Doložme ešte dve vety podmienok, ktoré obsahujú a = 0.

Kedy a = 0 lineárna rovnica a x + b = 0 bude napísané ako 0 x + b = 0. Vlastnosť vynásobenia čísla nulou nám dáva právo tvrdiť, že bez ohľadu na to, aké číslo sa berie ako X, čím sa dosadí do rovnosti 0 x + b = 0, dostaneme b = 0 . Rovnosť platí pre b = 0; v iných prípadoch kedy b ≠ 0 rovnosť sa stáva neplatnou.

Teda kedy a = 0 a b = 0 , každé číslo môže byť koreňom lineárnej rovnice a x + b = 0, keďže za týchto podmienok nahrádzanie namiesto X akékoľvek číslo, dostaneme správnu číselnú rovnosť 0 = 0 . Kedy a = 0 A b ≠ 0 lineárna rovnica a x + b = 0 nebude mať korene vôbec, pretože za špecifikovaných podmienok sa namiesto toho nahradí X akékoľvek číslo, dostaneme nesprávnu číselnú rovnosť b = 0.

Všetky vyššie uvedené úvahy nám dávajú príležitosť napísať algoritmus, ktorý umožňuje nájsť riešenie akejkoľvek lineárnej rovnice:

• podľa typu záznamu určujeme hodnoty koeficientov a A b a analyzovať ich;
• pri a = 0 A b = 0 rovnica bude mať nekonečne veľa koreňov, t.j. akékoľvek číslo sa stane koreňom danej rovnice;
• pri a = 0 A b ≠ 0
• pri a, odlišný od nuly, začneme hľadať jediný koreň pôvodnej lineárnej rovnice:

1. prevodný koeficient b na pravú stranu so zmenou znamienka na opačný, čím sa lineárna rovnica dostane do tvaru a x = -b;
2. obe časti výslednej rovnosti vydeľte číslom a, čím dostaneme želaný koreň danej rovnice: x = - b a .

V skutočnosti je opísaná postupnosť akcií odpoveďou na otázku, ako nájsť riešenie lineárnej rovnice.

Nakoniec objasníme rovnice formulára a x = b sú riešené podobným algoritmom len s tým rozdielom, že číslo b v takomto zápise už bola prenesená na požadovanú časť rovnice a kedy a ≠ 0časti rovnice môžete okamžite rozdeliť číslom a.

Teda nájsť riešenie rovnice a x = b, používame nasledujúci algoritmus:

• pri a = 0 A b = 0 rovnica bude mať nekonečne veľa koreňov, t.j. každé číslo sa môže stať jeho koreňom;
• pri a = 0 A b ≠ 0 daná rovnica nebude mať korene;
• pri a, nerovná sa nule, obe strany rovnice sú deliteľné číslom a, čo umožňuje nájsť jeden koreň, ktorý sa rovná b a.

Príklady riešenia lineárnych rovníc

Príklad 3

Je potrebné vyriešiť lineárnu rovnicu 0 x - 0 = 0.

Riešenie

Napísaním danej rovnice to vidíme a = 0 A b = -0(alebo b = 0čo je to isté). Daná rovnica teda môže mať nekonečne veľa koreňov alebo ľubovoľné číslo.

odpoveď: X- ľubovoľné číslo.

Príklad 4

Je potrebné určiť, či rovnica má korene 0 x + 2, 7 = 0.

Riešenie

Zo záznamu určíme, že a \u003d 0, b \u003d 2, 7. Daná rovnica teda nebude mať korene.

odpoveď: pôvodná lineárna rovnica nemá korene.

Príklad 5

Daná lineárna rovnica 0, 3 x − 0, 027 = 0. Treba to vyriešiť.

Riešenie

Napísaním rovnice určíme, že a \u003d 0, 3; b = - 0 , 027 , čo nám umožňuje tvrdiť, že daná rovnica má jeden koreň.

Podľa algoritmu prenesieme b na pravú stranu rovnice, pričom zmeníme znamienko, dostaneme: 0,3 x = 0,027.Ďalej vydelíme obe časti výslednej rovnosti a \u003d 0, 3, potom: x \u003d 0, 027 0, 3.

Rozdeľme desatinné čísla:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Získaný výsledok je koreňom danej rovnice.

Stručne napíšte riešenie takto:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09.

odpoveď: x = 0,09.

Pre názornosť uvádzame riešenie rovnice záznamu a x = b.

Príklad N

Sú dané rovnice: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = - 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Je potrebné ich riešiť.

Riešenie

Všetky uvedené rovnice zodpovedajú záznamu a x = b. Pozrime sa na to postupne.

V rovnici 0 x = 0 , a = 0 a b = 0, čo znamená: každé číslo môže byť koreňom tejto rovnice.

V druhej rovnici 0 x = − 9: a = 0 a b = − 9 , teda táto rovnica nebude mať korene.

Tvarom poslednej rovnice - 3 8 x = - 3 3 4 zapíšeme koeficienty: a = - 3 8, b = - 3 3 4, t.j. rovnica má jeden koreň. Poďme ho nájsť. Vydelme obe strany rovnice a , dostaneme: x = - 3 3 4 - 3 8 . Zjednodušme zlomok aplikovaním pravidla na delenie záporných čísel, potom premenou zmiešaného čísla na obyčajný zlomok a delením obyčajných zlomkov:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Stručne napíšte riešenie takto:

3 8 x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

odpoveď: 1) X- ľubovoľné číslo, 2) rovnica nemá korene, 3) x = 10 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter