Tam, kde sa zvažovali úlohy na riešenie pravouhlého trojuholníka, som sľúbil, že predstavím techniku na zapamätanie si definícií sínusu a kosínusu. Pomocou nej si vždy rýchlo zapamätáte, ktorá noha patrí do prepony (susednej alebo opačnej). Rozhodla som sa to neodkladať na neurčito, potrebný materiál je nižšie, prečítajte si ho 😉
Faktom je, že som opakovane pozoroval, ako žiaci 10. – 11. ročníka majú problém zapamätať si tieto definície. Veľmi dobre si pamätajú, že noha odkazuje na preponu, ale na ktorú- zabudnúť a zmätený. Cenou za chybu, ako viete na skúške, je stratené skóre.
Informácie, ktoré uvediem priamo do matematiky, nemajú nič spoločné. Je spojená s obrazným myslením a metódami verbálno-logického spojenia. Presne tak, ja sám som si raz a navždy spomenuldefiničné údaje. Ak ich stále zabudnete, pomocou prezentovaných techník je vždy ľahké si ich zapamätať.
Dovoľte mi pripomenúť vám definície sínusu a kosínusu v pravouhlom trojuholníku:
Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone:
Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:
Aké asociácie vo vás teda vyvoláva slovo kosínus?
Asi každý má tú svojuZapamätajte si odkaz:
Takto budete mať okamžite v pamäti výraz -
«… pomer priľahlej nohy k prepone».
Problém s definíciou kosínusu je vyriešený.
Ak si potrebujete zapamätať definíciu sínusu v pravouhlom trojuholníku a potom si zapamätať definíciu kosínusu, môžete ľahko zistiť, že sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone. Koniec koncov, existujú iba dve nohy, ak je susedná noha „obsadená“ kosínusom, pre sínus zostáva iba opačná strana.
A čo tangens a kotangens? Rovnaký zmätok. Študenti vedia, že ide o pomer nôh, ale problém je zapamätať si, ktorá sa vzťahuje na ktorú – buď opačne k susednej, alebo naopak.
Definície:
Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve:
Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej nohy k opačnej strane:
Ako si zapamätať? Sú dva spôsoby. Jeden používa aj verbálno-logické spojenie, druhý - matematické.
MATEMATICKÁ METÓDA
Existuje taká definícia - dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:
* Pri zapamätaní si vzorca môžete vždy určiť, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomerom protiľahlej vetvy k susednej.
Podobne.Kotangens ostrého uhla je pomer kosínusu uhla k jeho sínusu:
Takže! Zapamätaním si týchto vzorcov môžete vždy určiť, že:
- dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k susednej
- kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k protiľahlej.
VERBÁLNO-LOGICKÁ METÓDA
O dotyčnici. Zapamätajte si odkaz:
To znamená, že ak si potrebujete zapamätať definíciu dotyčnice, pomocou tohto logického spojenia si ľahko zapamätáte, čo to je
"... pomer protiľahlej nohy k susednej"
Pokiaľ ide o kotangens, potom, keď si zapamätáte definíciu tangenty, môžete ľahko vyjadriť definíciu kotangensu -
"... pomer priľahlej nohy k opačnej"
Na stránke je zaujímavá technika na zapamätanie tangens a kotangens " Matematický tandem " pozri.
METÓDA UNIVERZÁLNA
Môžete len brúsiť.Ale ako ukazuje prax, vďaka verbálno-logickým spojeniam si človek dlho pamätá informácie, a to nielen matematické.
Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.
S pozdravom Alexander Krutitskikh
P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Poučenie
Metóda 1. Použitie Pytagorovej vety. Veta hovorí: druhá mocnina prepony sa rovná súčtuštvorce nôh. Z toho vyplýva, že ktorúkoľvek zo strán pravouhlého trojuholníka je možné vypočítať so znalosťou jeho ďalších dvoch strán (obr. 2).
Metóda 2. Vyplýva to zo skutočnosti, že medián od prepony tvorí medzi sebou 3 podobné trojuholníky (obr. 3). Na tomto obrázku sú trojuholníky ABC, BCD a ACD podobné.
Príklad 6: Použitie jednotkových kruhov na nájdenie súradníc
Najprv nájdeme referenčný uhol zodpovedajúci danému uhlu. Potom vezmeme sínusové a kosínusové hodnoty referenčného uhla a dáme im znamienka zodpovedajúce y- a x-hodnotám kvadrantu. Ďalej nájdeme kosínus a sínus daného uhla.
Uhol sita, uhlový trojuholník a odmocnina kocky
Medzi mnohouholníky, ktoré je možné postaviť pomocou kompasu a pravítka.Poznámka: Uhol sita nie je možné vykresliť pomocou kružidla a pravítka. Vynásobením dĺžky strany kocky odmocninou z 2 dostaneme dĺžku strany kocky s dvojnásobným objemom. Pomocou inovatívnej teórie francúzskeho matematika Évarista Galoisa možno ukázať, že pre všetky tri klasické problémy je konštrukcia s kruhom a pravítkom nemožná.
Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a hodnotu jedného z ostrých uhlov trojuholníka.
Majte na pamäti: trojzložková uhlová a kubická konštrukcia nie je možná s kružidlom a pravítkom. 
Na druhej strane, riešenie rovnice tretieho stupňa podľa Cardanovho vzorca možno znázorniť delením uhla a odmocniny. V budúcnosti postavíme nejaký uhol s kruhom a pravítkom. Po trojuholníku tohto uhla a určení odmocniny však možno pomocou kružidla a pravítka dokončiť stavbu sitového štvorca.
Konštrukcia priehradovej paluby podľa tohto výpočtu
Algebraická formulácia konštrukčného problému vedie k rovnici, ktorej štruktúrna analýza poskytne dodatočné informácie o konštrukcii ternárnej štruktúry. Používa sa tu pomer uhla ku jeho kosínusu jedna k jednej: ak je známa veľkosť uhla, dĺžka kosínusu uhla môže byť jednoznačne zostrojená na jednotkovej kružnici a naopak.
Poučenie
So známou nohou a ostrým uhlom pravouhlého trojuholníka sa veľkosť prepony môže rovnať pomeru nohy ku kosínusu / sínusu tohto uhla, ak je tento uhol opačný / susediaci s ním:
h = Cl(alebo C2)/sina;
h = С1 (alebo С2)/cosα.
Príklad: Je daný pravouhlý trojuholník ABC s preponou AB a pravým uhlom C. Nech je uhol B 60 stupňov a uhol A 30 stupňov. Dĺžka nohy BC je 8 cm. Nájdite dĺžku prepony AB. Na tento účel môžete použiť ktorúkoľvek z vyššie uvedených metód:
Táto individuálna úloha vám umožňuje prejsť od definície uhla k definícii kosínusu uhla. V nasledujúcom texte 3 φ označuje uhol, ktorý sa má rozdeliť. φ je teda uhol, ktorého hodnotu treba určiť pre dané 3 φ. Počnúc zlúčeninami známymi z trigonometrie.
Nasleduje pod daným uhlom 3 φ. Algebraická úvaha o riešiteľnosti trojrozmernej rovnice vedie priamo k otázke možnosti konštrukcie riešení a následne k otázke možnosti alebo nemožnosti konštruktívneho trojitého uhla daného uhla.
AB = BC/cos60 = 8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti pravému uhlu. Je to najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka. Môžete ho vypočítať pomocou Pytagorovej vety alebo pomocou vzorcov goniometrických funkcií.
Hodnota výstupného uhla má veľký vplyv na možnosť prepojenia tretieho uhla, keďže tento ako absolútny pojem rozhodujúcim spôsobom určuje typ riešení v trojrozmernej rovnici. Ak má triangulačná rovnica aspoň jedno reálne riešenie, ktoré možno získať racionálnymi operáciami alebo vzorom druhej odmocniny pre daný počiatočný uhol, toto riešenie je konštruktívne.
Breidenbach formuloval ako kritérium, že trojsekundový uhol možno interpretovať len pri racionálnom riešení trojdielnej rovnice. Ak takéto riešenie nie je k dispozícii, problém trojdielnej konštrukcie je nezlučiteľný s kružidlom a pravítkom. Klastrová analýza je všeobecná technika na zostavovanie malých skupín z veľkého súboru údajov. Podobne ako diskriminačná analýza sa klastrová analýza používa aj na klasifikáciu pozorovaní v skupinách. Na druhej strane, diskriminačná analýza vyžaduje znalosť členstva v skupine v prípadoch použitých na odvodenie klasifikačného pravidla.
Poučenie
Nohy sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka susediace s pravým uhlom. Na obrázku sú nohy označené ako AB a BC. Nech sú uvedené dĺžky oboch nôh. Označme ich ako |AB| a |BC|. Aby sme našli dĺžku prepony |AC|, použijeme Pytagorovu vetu. Podľa tejto vety sa súčet štvorcov nôh rovná druhej mocnine prepony, t.j. v zápise našej kresby |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Zo vzorca dostaneme, že dĺžku prepony AC nájdeme ako |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
Klastrová analýza je primitívnejšia metóda, pretože nerobí žiadne predpoklady o počte skupín alebo členstve v skupine. Klastrová analýza poskytuje spôsob, ako objaviť potenciálne vzťahy a vytvoriť systematickú štruktúru naprieč veľkým počtom premenných a pozorovaní. Hierarchická zhluková analýza je hlavnou štatistickou metódou na nájdenie relatívne homogénnych zhlukov prípadov na základe nameraných charakteristík. Začína sa s každým prípadom ako samostatný zhluk.
Klastre sa potom postupne spájajú, pričom počet zhlukov sa každým krokom znižuje, až kým nezostane iba jeden zhluk. Metóda zhlukovania využíva rozdiely medzi objektmi na vytváranie zhlukov. Hierarchická zhluková analýza je najlepšia pre malé vzorky.
Zvážte príklad. Nech sú dĺžky nôh |AB| = 13, |BC| = 21. Podľa Pytagorovej vety dostaneme, že |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. od čísla 610: |AC| = √610. Pomocou tabuľky druhých mocnín celých čísel zistíme, že číslo 610 nie je dokonalou druhou mocninou žiadneho celého čísla. Aby sme dostali konečnú hodnotu dĺžky prepony, skúsme vybrať celý štvorec spod znamienka odmocniny. Aby sme to dosiahli, rozložíme číslo 610 na faktory. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Podľa tabuľky prvočísel vidíme, že 61 je prvočíslo. Preto je ďalšie zníženie čísla √610 nemožné. Dostávame konečnú odpoveď |AC| = √610.
Ak by druhá mocnina prepony bola napríklad 675, potom √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Ak je takýto odliatok možný, vykonajte spätnú kontrolu - umocnite výsledok a porovnajte s pôvodnou hodnotou.
Hierarchická zhluková analýza je len jedným zo spôsobov, ako pozorovať vytváranie homogénnych variabilných skupín. Neexistuje žiadny konkrétny spôsob, ako nastaviť počet klastrov pre vašu analýzu. Možno sa budete musieť pozrieť na dendrogram, ako aj na charakteristiky klastrov a potom upraviť počet v krokoch, aby ste získali dobré klastrové riešenie.
Keď sa premenné merajú na rôznych mierkach, máte tri spôsoby štandardizácie premenných. Výsledkom je, že všetky premenné s približne rovnakými proporciami prispievajú k meraniu vzdialenosti, aj keď môžete stratiť informácie o rozptyle premenných.
Dajte nám vedieť jednu z nôh a uhol, ktorý k nej prilieha. Pre istotu nech je to noha |AB| a uhol α. Potom môžeme použiť vzorec pre goniometrickú funkciu kosínus - kosínus uhla sa rovná pomeru priľahlého ramena k prepone. Tie. v našom zápise cos α = |AB| / |AC|. Odtiaľ dostaneme dĺžku prepony |AC| = |AB| / cosα.
Ak poznáme nohu |BC| a uhla α, potom použijeme vzorec na výpočet sínusu uhla - sínus uhla sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone: sin α = |BC| / |AC|. Dostaneme, že dĺžka prepony sa zistí ako |AC| = |BC| / cosα.
Euklidovská vzdialenosť: Euklidovská vzdialenosť je najbežnejšou metódou merania. Štvorcová euklidovská vzdialenosť: Štvorcová euklidovská vzdialenosť zameriava pozornosť na objekty, ktoré sú od seba ďalej. Vzdialenosť mestských blokov: Mestské bloky aj euklidovská vzdialenosť sú špeciálnymi prípadmi Minkowského metriky. Zatiaľ čo euklidovská vzdialenosť zodpovedá dĺžke najkratšej cesty medzi dvoma bodmi, vzdialenosť mestských blokov je súčtom vzdialeností pozdĺž každej dimenzie. Pearsonova korelačná vzdialenosť Rozdiel medzi 1 a kosínusovým koeficientom dvoch pozorovaní Kosínusový koeficient je kosínus uhla medzi dvoma vektormi. Jaccardova vzdialenosť Rozdiel medzi 1 a Jacquardovým koeficientom pre dve pozorovania Pre binárne dáta sa Jaccardov koeficient rovná pomeru veľkosti prekrytia a súčtu dvoch pozorovaní. Najbližší sused Táto metóda predpokladá, že vzdialenosť medzi dvoma zhlukami zodpovedá vzdialenosti medzi objektmi v ich najbližšom susedstve. Najlepší sused V tejto metóde vzdialenosť medzi dvoma zhlukami zodpovedá maximálnej vzdialenosti medzi dvoma objektmi v rôznych zhlukoch. Skupinový priemer: Pri tejto metóde vzdialenosť medzi dvoma klastrami zodpovedá priemernej vzdialenosti medzi všetkými pármi objektov v rôznych zhlukoch. Táto metóda sa všeobecne odporúča, pretože obsahuje väčšie množstvo informácií. Medián Táto metóda je identická s metódou ťažiska okrem toho, že je nevážená. Potom sa pre každý prípad vypočíta kvadratická euklidovská vzdialenosť k priemeru klastra. Klaster, ktorý sa má zlúčiť, je ten, ktorý zvýši súčet aspoň. To znamená, že táto metóda minimalizuje nárast celkového súčtu štvorcových vzdialeností v rámci klastrov. Táto metóda má tendenciu vytvárať menšie zhluky.
- Ide o geometrickú vzdialenosť vo viacrozmernom priestore.
- Je vhodný len pre spojité premenné.
- Kosínusová vzdialenosť Kosínus uhla medzi dvoma vektormi hodnôt.
- Táto metóda sa odporúča pri kreslení nakreslených zhlukov.
- Ak nakreslené zhluky tvoria jedinečné „zhluky“, metóda je vhodná.
- Ťažisko klastra je stredom vo viacrozmernom priestore.
- Nemal by sa používať, ak sú veľkosti klastrov veľmi rozdielne.
- Pre každý klaster sa vypočítajú stredné hodnoty Ward pre všetky premenné.
- Tieto vzdialenosti sú sčítané pre všetky prípady.
Pre jasnosť zvážte príklad. Nech je dĺžka nohy |AB| = 15. A uhol α = 60°. Získame |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Zvážte, ako môžete skontrolovať svoj výsledok pomocou Pytagorovej vety. Aby sme to dosiahli, musíme vypočítať dĺžku druhého úseku |BC|. Pomocou vzorca pre tangens uhla tg α = |BC| / |AC|, získame |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Ďalej použijeme Pytagorovu vetu, dostaneme 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Overenie je hotové.
Funkcia sínus je definovaná z pojmu sínus, keďže uhol musí byť vždy vyjadrený v radiánoch. Môžeme pozorovať niekoľko charakteristík sínusovej funkcie.
- Vaša doména obsahuje všetko skutočné.
- V tomto prípade sa hovorí, že funkcia je periodická s periódou 2π.
Môžeme pozorovať niekoľko charakteristík funkcie kosínus. Ide teda o periodickú periódu 2π. . Obmedzenie neodstraňuje všeobecnosť vzorca, pretože vždy môžeme zmenšiť uhly druhého, tretieho a štvrtého kvadrantu na prvý. Cvičenie. - Vypočítajte sinus 15º bez použitia kalkulačky.
Po výpočte prepony skontrolujte, či výsledná hodnota spĺňa Pytagorovu vetu.
Zdroje:
- Tabuľka prvočísel od 1 do 10 000
Nohy pomenujte dve krátke strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria jeho vrchol, ktorého hodnota je 90°. Tretia strana takéhoto trojuholníka sa nazýva prepona. Všetky tieto strany a uhly trojuholníka sú vzájomne prepojené určitými vzťahmi, ktoré vám umožňujú vypočítať dĺžku nohy, ak je známych niekoľko ďalších parametrov.
Kosínus súčtu dvoch uhlov
Kosínus rozdielu dvoch uhlov
Aby sme dostali vzorec, môžeme postupovať rovnako ako v predchádzajúcej časti, ale uvidíme ďalšiu veľmi jednoduchú ukážku založenú na Pytagorovej vete. Zjednodušenie a zmena znamenia, máme Tangentový súčet a rozdiel dvoch uhlov.Cvičenie. V dnešnom článku sa pozrieme na veľmi špecifickú podmnožinu: goniometrické funkcie. Aby sme si užili všetko, čo matematika ponúka, musíme ju importovať. V ďalšom článku uvidíme ďalšie štýly importu, pričom každý má svoje výhody a nevýhody. Ale s týmto jednoduchým návodom už máte prístup k celému mennému priestoru matematického modulu naplneného desiatkami funkcií, vrátane tých, ktorými sa budeme zaoberať dnes.
Poučenie
Použite Pytagorovu vetu na výpočet dĺžky nohy (A), ak poznáte dĺžku ďalších dvoch strán (B a C) pravouhlého trojuholníka. Táto veta hovorí, že súčet dĺžok nôh na druhú sa rovná druhej mocnine prepony. Z toho vyplýva, že dĺžka každého ramena sa rovná druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami dĺžok prepony a druhého ramena: A=√(C²-B²).
V podstate budeme musieť vypočítať sínus, kosínus a tangens uhla, ako aj jeho inverzné funkcie. Okrem toho by sme chceli byť schopní pracovať v radiánoch aj stupňoch, aby sme mohli použiť aj vhodné konverzné funkcie.
Mali by ste mať na pamäti, že tieto funkcie očakávajú, že argument bude poskytnutý v radiánoch, nie v stupňoch. Na tento účel vás bude zaujímať, že máte nasledujúcu konštantu. Môžeme teda použiť tento výraz namiesto číselnej hodnoty.
Neexistuje žiadna priama funkcia pre kosekans, sekans a kotangens, pretože to nie je potrebné, pretože sú jednoducho inverzné k sínusu, kosínusu a dotyčnici. Rovnako ako predtým, vrátený uhol je tiež v radiánoch. Ďalšia užitočná funkcia matematiky nám umožňuje poznať hodnotu prepony pravouhlého trojuholníka vzhľadom na jeho nohy, čo nám umožňuje vypočítať druhú odmocninu súčtu ich druhých mocnín.
Použite definíciu priamej goniometrickej funkcie "sínus" pre ostrý uhol, ak poznáte hodnotu uhla (α) oproti vypočítanej vetve a dĺžku prepony (C). Táto definícia uvádza, že sínus tohto známeho uhla sa rovná pomeru dĺžky požadovaného ramena k dĺžke prepony. To znamená, že dĺžka požadovaného ramena sa rovná súčinu dĺžky prepony a sínusu známeho uhla: A=C∗sin(α). Pre rovnaké známe hodnoty môžete použiť definíciu funkcie kosekansu a vypočítať požadovanú dĺžku vydelením dĺžky prepony kosekansom známeho uhla A=C/cosec(α).
Definíciu priamej goniometrickej funkcie kosínus použite, ak je okrem dĺžky prepony (C) známa aj hodnota ostrého uhla (β) priľahlého k požadovanému ramenu. Kosínus tohto uhla je definovaný ako pomer dĺžok požadovaného ramena a prepony a z toho môžeme vyvodiť záver, že dĺžka ramena sa rovná súčinu dĺžky prepony a kosínusu známej prepony. uhol: A=C∗cos(β). Môžete použiť definíciu funkcie sečny a vypočítať požadovanú hodnotu vydelením dĺžky prepony sečnicou známeho uhla A=C/sec(β).
Odvoďte požadovaný vzorec z podobnej definície pre deriváciu tangens goniometrickej funkcie, ak okrem hodnoty ostrého uhla (α) ležiaceho oproti požadovanému ramenu (A) je dĺžka druhého ramena (B) známy. Tangenta uhla oproti požadovanému ramenu je pomer dĺžky tohto ramena k dĺžke druhého ramena. To znamená, že požadovaná hodnota sa bude rovnať súčinu dĺžky známeho ramena a dotyčnice známeho uhla: A=B∗tg(α). Z tých istých známych veličín možno odvodiť ďalší vzorec pomocou definície kotangensovej funkcie. V tomto prípade na výpočet dĺžky ramena bude potrebné nájsť pomer dĺžky známeho ramena ku kotangensu známeho uhla: A=B/ctg(α).
Podobné videá
Slovo „katet“ prišlo do ruštiny z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnica, teda kolmá na povrch zeme. V matematike sa nohy nazývajú strany, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka. Strana opačná k tomuto uhlu sa nazýva prepona. Pojem „noha“ sa používa aj v architektúre a technológii zvárania.
Nakreslite pravouhlý trojuholník ACB. Označte jeho nohy a a b a označte jeho preponu c. Všetky strany a uhly pravouhlého trojuholníka sú spojené určitými vzťahmi. Pomer nohy oproti jednému z ostrých uhlov k prepone sa nazýva sínus tohto uhla. V tomto trojuholníku sinCAB=a/c. Kosínus je pomer k prepone susednej vetvy, to znamená cosCAB=b/c. Inverzné vzťahy sa nazývajú sekanta a kosekans.
Sekans tohto uhla sa získa vydelením prepony susednou vetvou, to znamená secCAB=c/b. Ukazuje sa prevrátená hodnota kosínusu, to znamená, že ju možno vyjadriť vzorcom secCAB=1/cosSAB.
Kosekans sa rovná podielu delenia prepony opačnou vetvou a je prevrátenou hodnotou sínusu. Dá sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB=1/sinCAB
Obe nohy sú spojené dotyčnicou a kotangensom. AT tento prípad dotyčnica bude pomer strany a ku strane b, teda opačnej vetvy k susednej. Tento pomer možno vyjadriť vzorcom tgCAB=a/b. V súlade s tým bude inverzný pomer kotangens: ctgCAB=b/a.
Pomer medzi veľkosťou prepony a oboch nôh určil starogrécky matematik Pytagoras. Vetu pomenovanú po ňom ľudia stále používajú. Hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, to znamená c2 \u003d a2 + b2. Podľa toho sa každá vetva bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy. Tento vzorec možno zapísať ako b=√(c2-a2).
Dĺžka nohy sa dá vyjadriť aj vzťahmi, ktoré poznáte. Podľa teorémov sínusov a kosínusov sa noha rovná súčinu prepony a jednej z týchto funkcií. Môže byť tiež vyjadrený ako tangenta alebo kotangens. Nohu a možno nájsť napríklad podľa vzorca a \u003d b * tan CAB. Presne rovnakým spôsobom, v závislosti od danej dotyčnice alebo kotangensu, sa určí druhá vetva.
V architektúre sa používa aj pojem „noha“. Aplikuje sa na iónsky kapitál a označuje olovnicu cez stred jeho chrbta. To znamená, že v tomto prípade tento výraz označuje kolmicu na danú čiaru.
V zváracej technike existuje pojem "zvar z kúta nohy". Rovnako ako v iných prípadoch ide o najkratšiu vzdialenosť. Tu hovoríme o medzere medzi jednou z častí, ktoré sa majú zvárať, k okraju švu umiestneného na povrchu druhej časti.
Podobné videá
Zdroje:
- čo je noha a prepona
Podobné videá
Poznámka
Pri výpočte strán pravouhlého trojuholníka môžu znalosti o jeho vlastnostiach hrať:
1) Ak noha pravého uhla leží oproti uhlu 30 stupňov, potom sa rovná polovici prepony;
2) Prepona je vždy dlhšia ako ktorákoľvek z nôh;
3) Ak je kruh opísaný okolo pravouhlého trojuholníka, potom jeho stred musí ležať v strede prepony.
Tam, kde sa zvažovali úlohy na riešenie pravouhlého trojuholníka, som sľúbil, že predstavím techniku na zapamätanie si definícií sínusu a kosínusu. Pomocou nej si vždy rýchlo zapamätáte, ktorá noha patrí do prepony (susednej alebo opačnej). Rozhodla som sa to neodkladať na neurčito, potrebný materiál je nižšie, prečítajte si ho 😉
Faktom je, že som opakovane pozoroval, ako žiaci 10. – 11. ročníka majú problém zapamätať si tieto definície. Veľmi dobre si pamätajú, že noha odkazuje na preponu, ale ktorú zabudnú a zmätený. Cenou za chybu, ako viete na skúške, je stratené skóre.
Informácie, ktoré uvediem priamo do matematiky, nemajú nič spoločné. Je spojená s obrazným myslením a metódami verbálno-logického spojenia. Presne tak, ja sám som si raz a navždy spomenul definičné údaje. Ak ich stále zabudnete, pomocou prezentovaných techník je vždy ľahké si ich zapamätať.
Dovoľte mi pripomenúť vám definície sínusu a kosínusu v pravouhlom trojuholníku:
Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone:
Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:
Aké asociácie vo vás teda vyvoláva slovo kosínus?
Asi každý má tú svoju Zapamätajte si odkaz:
Takto budete mať okamžite v pamäti výraz -
«… pomer priľahlej nohy k prepone».
Problém s definíciou kosínusu je vyriešený.
Ak si potrebujete zapamätať definíciu sínusu v pravouhlom trojuholníku a potom si zapamätať definíciu kosínusu, môžete ľahko zistiť, že sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone. Koniec koncov, existujú iba dve nohy, ak je susedná noha „obsadená“ kosínusom, pre sínus zostáva iba opačná strana.
A čo tangens a kotangens? Rovnaký zmätok. Študenti vedia, že ide o pomer nôh, ale problém je zapamätať si, ktorá sa vzťahuje na ktorú – buď opačne k susednej, alebo naopak.
Definície:
Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve:
Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej nohy k opačnej strane:
Ako si zapamätať? Sú dva spôsoby. Jeden používa aj verbálno-logické spojenie, druhý - matematické.
MATEMATICKÁ METÓDA
Existuje taká definícia - dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:
* Pri zapamätaní si vzorca môžete vždy určiť, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomerom protiľahlej vetvy k susednej.
Podobne. Kotangens ostrého uhla je pomer kosínusu uhla k jeho sínusu:
Takže! Zapamätaním si týchto vzorcov môžete vždy určiť, že:
Tangenta ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k susednej
Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k opačnej vetve.
VERBÁLNO-LOGICKÁ METÓDA
O dotyčnici. Zapamätajte si odkaz:
To znamená, že ak si potrebujete zapamätať definíciu dotyčnice, pomocou tohto logického spojenia si ľahko zapamätáte, čo to je
"... pomer protiľahlej nohy k susednej"
Pokiaľ ide o kotangens, potom, keď si zapamätáte definíciu tangenty, môžete ľahko vyjadriť definíciu kotangensu -
"... pomer priľahlej nohy k opačnej"
Na stránke je zaujímavá technika na zapamätanie tangens a kotangens " Matematický tandem " pozri.
METÓDA UNIVERZÁLNA
Môžete len brúsiť. Ale ako ukazuje prax, vďaka verbálno-logickým spojeniam si človek dlho pamätá informácie, a to nielen matematické.
Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.
S pozdravom Alexander Krutitskikh
P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Stredná úroveň
Správny trojuholník. Kompletný ilustrovaný sprievodca (2019)
SPRÁVNY TROJUHOLNÍK. PRVÁ ÚROVEŇ.
V problémoch nie je vôbec potrebný pravý uhol - ľavý dolný, takže sa musíte naučiť, ako rozpoznať pravouhlý trojuholník v tejto forme,
a v takých
a v takých 
Čo je dobré na pravouhlom trojuholníku? No... v prvom rade sú tu špeciálne krásne mená pre jeho večierky.
Pozor na kresbu!
Pamätajte a nezamieňajte: nohy - dve a prepona - iba jedna(jediný, jedinečný a najdlhší)!
No, diskutovali sme o menách, teraz to najdôležitejšie: Pytagorova veta.
Pytagorova veta.
Táto veta je kľúčom k riešeniu mnohých problémov týkajúcich sa pravouhlého trojuholníka. Dokázal to už Pytagoras v úplne nepamätných časoch a odvtedy to tým, ktorí to poznajú, prináša množstvo výhod. A najlepšie na nej je, že je jednoduchá.
takze Pytagorova veta:
Pamätáte si na vtip: „Pytagorove nohavice sú si na všetkých stranách rovné!“?
Poďme si nakresliť tieto veľmi pythagorejské nohavice a pozrieť sa na ne. 
Naozaj to vyzerá ako šortky? No a na ktorých stranách a kde sú si rovní? Prečo a kde sa vzal vtip? A tento vtip súvisí práve s Pytagorovou vetou, presnejšie s tým, ako svoju vetu sformuloval sám Pytagoras. A sformuloval to takto:
„Suma plocha štvorcov, postavená na nohách, sa rovná štvorcová plocha postavený na prepone.
Neznie to trochu inak, však? A tak, keď Pytagoras nakreslil výrok svojej vety, vznikol práve takýto obrázok.
Na tomto obrázku sa súčet plôch malých štvorcov rovná ploche veľkého štvorca. A aby si deti lepšie zapamätali, že súčet štvorcov nôh sa rovná druhej mocnine prepony, niekto vtipný vymyslel tento vtip o pytagorových nohaviciach.
Prečo teraz formulujeme Pytagorovu vetu
Trpel Pytagoras a hovoril o štvorcoch?
Vidíte, v staroveku neexistovala žiadna ... algebra! Neboli tam žiadne známky a pod. Neboli tam žiadne nápisy. Viete si predstaviť, aké hrozné to bolo pre úbohých starovekých študentov naučiť sa všetko naspamäť slovami??! A môžeme byť radi, že máme jednoduchú formuláciu Pytagorovej vety. Pre lepšie zapamätanie si to zopakujeme:
Teraz by to malo byť jednoduché:
| Druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh. |
Diskutovalo sa o najdôležitejšej vete o pravouhlom trojuholníku. Ak vás zaujíma, ako sa to dokazuje, prečítajte si ďalšie úrovne teórie a teraz poďme ďalej ... do temného lesa ... trigonometrie! K strašným slovám sínus, kosínus, tangens a kotangens.
Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v pravouhlom trojuholníku.
V skutočnosti nie je všetko také strašidelné. Samozrejme, v článku sa treba pozrieť na „skutočnú“ definíciu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Ale to naozaj nechceš, však? Môžeme sa tešiť: na vyriešenie problémov s pravouhlým trojuholníkom stačí vyplniť nasledujúce jednoduché veci:
Prečo je to všetko o rohu? kde je roh? Aby ste tomu porozumeli, musíte vedieť, ako sa slová 1 - 4 píšu. Pozrite sa, pochopte a pamätajte!
1.
V skutočnosti to znie takto:
A čo uhol? Existuje noha, ktorá je oproti rohu, teda opačná noha (pre roh)? Samozrejme, že mám! Toto je katéter!
Ale čo ten uhol? Pozri sa bližšie. Ktorá noha susedí s rohom? Samozrejme, mačka. Takže pre uhol je noha priľahlá a
A teraz, pozor! Pozrite sa, čo sme dostali:
Pozrite sa, aké je to skvelé:
Teraz prejdime k dotyčnici a kotangensu.
Ako to teraz vyjadriť slovami? Aká je noha vo vzťahu k rohu? Samozrejme, že naopak – „leží“ oproti rohu. A katéter? Susedí s rohom. Čo sme teda dostali?
Vidíte, ako sa čitateľ a menovateľ obrátia?
A teraz znova rohy a urobili výmenu:
Zhrnutie
Stručne si napíšme, čo sme sa naučili.
 |
Pytagorova veta: |
Hlavná veta o pravouhlom trojuholníku je Pytagorova veta.
Pytagorova veta
Mimochodom, pamätáte si dobre, čo sú nohy a prepona? Ak nie, pozrite sa na obrázok - obnovte svoje vedomosti
Je možné, že ste už Pytagorovu vetu použili mnohokrát, ale napadlo vás niekedy, prečo je takáto veta pravdivá. Ako by ste to dokázali? Urobme to ako starí Gréci. Nakreslíme štvorec so stranou.
Vidíte, ako prefíkane sme rozdelili jeho strany na segmenty dĺžok a!
Teraz spojme označené body
Tu sme si však všimli niečo iné, ale vy sami sa pozrite na obrázok a zamyslite sa nad tým, prečo.
Aká je plocha väčšieho námestia? Správne, . A čo menšia plocha? Určite,. Celková plocha štyroch rohov zostáva. Predstavte si, že sme ich zobrali dve a opreli sa o seba s preponami. Čo sa stalo? Dva obdĺžniky. Oblasť „odrezkov“ je teda rovnaká.
Poďme si to teraz dať dokopy.
Poďme sa transformovať:
Navštívili sme teda Pytagora – jeho vetu sme dokázali starovekým spôsobom.
Pravý trojuholník a trigonometria
Pre pravouhlý trojuholník platia tieto vzťahy:
Sínus ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej nohy k prepone
Kosínus ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej nohy k prepone.
Tangenta ostrého uhla sa rovná pomeru protiľahlého ramena k susednému ramenu.
Kotangens ostrého uhla sa rovná pomeru susednej vetvy k opačnej vetve.
A ešte raz, to všetko vo forme taniera:
Je to veľmi pohodlné!
Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov
I. Na dvoch nohách
II. Nohou a preponou
III. Podľa prepony a ostrého uhla
IV. Pozdĺž nohy a ostrého uhla
a) 
b) 
Pozor! Tu je veľmi dôležité, aby nohy „zodpovedali“. Napríklad, ak to dopadne takto:
TOTO TROJUHOLNÍKY NIE SÚ ROVNÉ, napriek tomu, že majú jeden rovnaký ostrý uhol.
Potrebovať v oboch trojuholníkoch bola noha priľahlá, alebo v oboch - opačná.
Všimli ste si, ako sa znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov líšia od bežných znakov rovnosti trojuholníkov? Pozrite sa na tému „a venujte pozornosť tomu, že na rovnosť „obyčajných“ trojuholníkov potrebujete rovnosť ich troch prvkov: dvoch strán a uhla medzi nimi, dvoch uhlov a jednej strany medzi nimi alebo troch strán. Ale pre rovnosť pravouhlých trojuholníkov stačia iba dva zodpovedajúce prvky. Je to skvelé, však?
Približne rovnaká situácia so znakmi podobnosti pravouhlých trojuholníkov.
Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov
I. Akútny kútik
II. Na dvoch nohách
III. Nohou a preponou
Medián v pravouhlom trojuholníku
prečo je to tak?
Zvážte celý obdĺžnik namiesto pravouhlého trojuholníka.
Nakreslíme uhlopriečku a uvažujme bod - priesečník uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika?
A čo z toho vyplýva?
Tak sa aj stalo
- - medián:
Pamätajte na túto skutočnosť! Veľa pomáha!
O to prekvapujúcejšie je, že opak je pravdou.
Čo je dobré získať zo skutočnosti, že medián prepony sa rovná polovici prepony? Pozrime sa na obrázok
Pozri sa bližšie. Máme: , to znamená, že vzdialenosti od bodu k všetkým trom vrcholom trojuholníka sa ukázali ako rovnaké. Ale v trojuholníku je len jeden bod, vzdialenosti od ktorého sú približne všetky tri vrcholy trojuholníka rovnaké, a to je STRED OPISOVANÉHO OKRUHU. Takže, čo sa stalo?
Začnime teda týmto „okrem...“.
Pozrime sa na i.
Ale v podobných trojuholníkoch sú všetky uhly rovnaké!
To isté možno povedať o a
Teraz to nakreslíme spolu:
Aký úžitok môže byť z tejto „trojitej“ podobnosti.
No napríklad - dva vzorce pre výšku pravouhlého trojuholníka.
Píšeme vzťahy zodpovedajúcich strán:
Aby sme našli výšku, riešime pomer a dostaneme prvý vzorec "Výška v pravouhlom trojuholníku":
Aplikujme teda podobnosť: .
čo sa teraz stane?
Opäť riešime pomer a dostaneme druhý vzorec:
Oba tieto vzorce si treba veľmi dobre zapamätať a ten, ktorý je pohodlnejšie aplikovať. Zapíšme si ich ešte raz.
Pytagorova veta:
V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh:.
Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:
- na dvoch nohách:
- pozdĺž nohy a prepony: príp
- pozdĺž nohy a priľahlého ostrého uhla: alebo
- pozdĺž nohy a opačný ostrý uhol: alebo
- podľa prepony a ostrého uhla: príp.
Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov:
- jeden ostrý roh: alebo
- z proporcionality dvoch nôh:
- z proporcionality nohy a prepony: príp.
Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v pravouhlom trojuholníku
- Sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej vetvy k prepone:
- Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone:
- Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve:
- Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k opačnému:.
Výška pravouhlého trojuholníka: alebo.
V pravouhlom trojuholníku sa medián vytiahnutý z vrcholu pravého uhla rovná polovici prepony: .
Plocha pravouhlého trojuholníka:
- cez katétre:
Štúdium trigonometrie začíname pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.
Pripomeň si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovica rozvinutého rohu.
Ostrý roh- menej ako 90 stupňov.
Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je "tupé" urážkou, ale matematickým výrazom :-)
Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Zvyčajne sa označuje pravý uhol. Všimnite si, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže je označená strana ležiaca oproti uhlu A.
Uhol je označený príslušným gréckym písmenom.
Hypotenzia Pravouhlý trojuholník je strana opačná k pravému uhlu.
Nohy- strany oproti ostrým rohom.
Noha oproti rohu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej strane rohu, sa nazýva priľahlé.
Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:
Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:
Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej nohy k susednej:
Iná (ekvivalentná) definícia: tangens ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:
Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej vetvy k opačnej (alebo ekvivalentne pomer kosínusu k sínusu):
Venujte pozornosť základným pomerom pre sínus, kosínus, tangens a kotangens, ktoré sú uvedené nižšie. Budú nám užitočné pri riešení problémov.
Dokážme niektoré z nich.
Dobre, dali sme definície a napísané vzorce. Prečo však potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?
My to vieme súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je.
Poznáme vzťah medzi strany správny trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .
Ukazuje sa, že keď poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany v pravouhlom trojuholníku, môžete nájsť tretiu. Takže pre uhly - ich pomer, pre strany - ich vlastné. Čo však robiť, ak v pravouhlom trojuholníku je známy jeden uhol (okrem pravého) a jedna strana, no potrebujete nájsť ďalšie strany?
Tomu čelili ľudia v minulosti, keď robili mapy oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo zmerať všetky strany trojuholníka.
Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež goniometrické funkcie uhla- uveďte pomer medzi strany a rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete nájsť všetky jeho trigonometrické funkcie pomocou špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.
Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.
Všimnite si dve červené čiarky v tabuľke. Pre zodpovedajúce hodnoty uhlov tangens a kotangens neexistujú.
Poďme analyzovať niekoľko problémov v trigonometrii z úloh Bank of FIPI.
1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .
Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.
Pokiaľ ide o ,.
2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .
Hľadajme podľa Pytagorovej vety.
Problém je vyriešený.
Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a . Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!
Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.
Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.
Zvažovali sme úlohy na riešenie pravouhlých trojuholníkov – teda na hľadanie neznámych strán alebo uhlov. To však nie je všetko! Vo variantoch skúšky z matematiky je veľa úloh, kde sa objavuje sínus, kosínus, tangens alebo kotangens vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.
Sinus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer opak katétra do prepony.
Označuje sa takto: hriech α.
Kosínus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone.
Označuje sa takto: cos α.
Tangenta ostrý uhol α je pomer protiľahlého ramena k susednému ramenu.
Označuje sa takto: tg α.
Kotangens ostrý uhol α je pomer priľahlej nohy k protiľahlej.
Označuje sa takto: ctg α.
Sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla závisia len od veľkosti uhla.
pravidlá:
Základné goniometrické identity v pravouhlom trojuholníku:
(α - ostrý uhol oproti nohe b a priľahlé k nohe a . Side s - prepona. β - druhý ostrý uhol).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sinα |
Keď sa ostrý uhol zväčšujesinα azvýšenie tg α acos α klesá.
Pre akýkoľvek ostrý uhol α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Vysvetľujúci príklad:
Vlož pravouhlý trojuholník ABC
AB = 6,
BC = 3,
uhol A = 30°.
Zistite sínus uhla A a kosínus uhla B.
Rozhodnutie .
1) Najprv nájdeme hodnotu uhla B. Tu je všetko jednoduché: keďže v pravouhlom trojuholníku je súčet ostrých uhlov 90º, potom uhol B \u003d 60º:
B \u003d 90º – 30º \u003d 60º.
2) Vypočítajte sin A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone. Pre uhol A je opačná noha strana BC. Takže:
BC 3 1
hriech A = -- = - = -
AB 6 2
3) Teraz vypočítame cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru susednej vetvy k prepone. Pre uhol B je susedná noha rovnaká strana BC. To znamená, že opäť musíme rozdeliť BC na AB - to znamená vykonať rovnaké akcie ako pri výpočte sínusu uhla A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Výsledkom je:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku sa sínus jedného ostrého uhla rovná kosínusu iného ostrého uhla - a naopak. Presne toto znamenajú naše dva vzorce:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Pozrime sa na to znova:
1) Nech α = 60º. Dosadením hodnoty α do sínusového vzorca dostaneme:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Nech α = 30º. Dosadením hodnoty α do kosínusového vzorca dostaneme:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = hriech 30°.
(Viac o trigonometrii nájdete v časti Algebra)
