S povrchmi 2. rádu sa žiak najčastejšie stretáva v prvom ročníku. Zo začiatku sa môžu zdať úlohy na túto tému jednoduché, no ako študujete vyššiu matematiku a prehlbujete sa po vedeckej stránke, môžete sa konečne prestať orientovať v dianí. Aby sa tomu zabránilo, je potrebné nielen zapamätať si, ale pochopiť, ako sa ten či onen povrch získava, ako ho ovplyvňuje zmena koeficientov a jeho umiestnenie vzhľadom na pôvodný súradnicový systém a ako nájsť nový systém. (taký, v ktorom sa jeho stred zhoduje s východiskovými súradnicami, ale je rovnobežný s jednou zo súradnicových osí). Začnime od úplného začiatku.

Definícia

Povrch 2. rádu je GMT, ktorého súradnice spĺňajú všeobecnú rovnicu nasledujúceho tvaru:

Je jasné, že každý bod patriaci k povrchu musí mať tri súradnice na nejakom určenom základe. Aj keď v niektorých prípadoch môže ťažisko bodov degenerovať napríklad do roviny. Znamená to len, že jedna zo súradníc je konštantná a rovná sa nule v celom rozsahu prípustných hodnôt.

Plne namaľovaná podoba rovnosti spomínaná vyššie vyzerá takto:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - nejaké konštanty, x, y, z - premenné zodpovedajúce afinným súradniciam nejakého bodu. Zároveň sa aspoň jeden z konštantných faktorov nesmie rovnať nule, to znamená, že rovnici nebude zodpovedať žiadny bod.

V drvivej väčšine príkladov sú mnohé číselné faktory stále identicky rovné nule a rovnica je značne zjednodušená. V praxi nie je ťažké určiť, či bod patrí k povrchu (stačí dosadiť jeho súradnice do rovnice a skontrolovať, či je identita dodržaná). Kľúčovým bodom takejto práce je jej redukcia na kánonickú formu.

Rovnica napísaná vyššie definuje akékoľvek (všetky uvedené nižšie) povrchy 2. rádu. Príklady zvážime nižšie.

Druhy povrchov 2. rádu

Rovnice povrchov druhého rádu sa líšia iba hodnotami koeficientov A nm. Zo všeobecného pohľadu možno pre určité hodnoty konštánt získať rôzne povrchy klasifikované takto:

1. Valce.
2. Eliptický typ.
3. hyperbolický typ.
4. Kužeľový typ.
5. parabolický typ.
6. Lietadlá.

Každý z uvedených typov má prirodzenú a imaginárnu formu: v imaginárnej podobe sa ťažisko skutočných bodov buď zvrhne do jednoduchšej postavy, alebo úplne chýba.

valcov

Toto je najjednoduchší typ, pretože pomerne zložitá krivka leží iba na základni a slúži ako vodidlo. Generátory sú priame čiary kolmé na rovinu, v ktorej leží základňa.

V grafe je znázornený kruhový valec, špeciálny prípad eliptického valca. V rovine XY bude jej priemetom elipsa (v našom prípade kruh) - vedenie a v XZ - obdĺžnik - keďže generátory sú rovnobežné s osou Z. Aby ste to dostali zo všeobecnej rovnice, potrebujete aby sa koeficientom dali tieto hodnoty:

Namiesto zaužívaných označení x, y, z, x sa používa poradové číslo - na tom nezáleží.

V skutočnosti 1/a 2 a ostatné tu uvedené konštanty sú rovnaké koeficienty uvedené vo všeobecnej rovnici, ale je zvykom písať ich v tejto forme - toto je kanonická reprezentácia. V nasledujúcom texte bude použitý iba takýto zápis.

Takto je definovaný hyperbolický valec. Schéma je rovnaká - vodítkom bude hyperbola.

Parabolický valec je definovaný trochu iným spôsobom: jeho kanonická forma obsahuje koeficient p, ktorý sa nazýva parameter. V skutočnosti sa koeficient rovná q=2p, ale je zvykom rozdeliť ho na dva prezentované faktory.

Existuje ďalší typ valca: imaginárny. Takému valcu nepatrí žiadny skutočný bod. Je opísaná rovnicou eliptického valca, ale namiesto jednoty je -1.

Eliptický typ

Elipsoid môže byť natiahnutý pozdĺž jednej z osí (pozdĺž ktorých závisí od hodnôt konštánt a, b, c, uvedených vyššie; je zrejmé, že väčší koeficient bude zodpovedať väčšej osi).

Existuje aj imaginárny elipsoid - za predpokladu, že súčet súradníc vynásobený koeficientmi je -1:

Hyperboloidy

Keď sa v jednej z konštánt objaví mínus, elipsoidná rovnica sa zmení na rovnicu jednovrstvového hyperboloidu. Je potrebné pochopiť, že toto mínus sa nemusí nachádzať pred súradnicou x 3! Určuje len, ktorá z osí bude osou rotácie hyperboloidu (alebo rovnobežnou s ňou, pretože keď sa v štvorci objavia ďalšie členy (napríklad (x-2) 2), stred obrazca sa posunie, pretože v dôsledku toho sa povrch pohybuje rovnobežne so súradnicovými osami). To platí pre všetky povrchy 2. rádu.

Okrem toho je potrebné pochopiť, že rovnice sú prezentované v kanonickej forme a možno ich meniť zmenou konštánt (pri zachovaní znamienka!); pričom ich forma (hyperboloid, kužeľ atď.) zostane rovnaká.

Takáto rovnica je už daná dvojvrstvovým hyperboloidom.

kužeľová plocha

V kužeľovej rovnici nie je žiadna jednotka - rovnosť nule.

Len ohraničená kužeľová plocha sa nazýva kužeľ. Obrázok nižšie ukazuje, že v skutočnosti budú na grafe dva takzvané kužele.

Dôležitá poznámka: Vo všetkých uvažovaných kanonických rovniciach sa štandardne predpokladá, že konštanty sú kladné. V opačnom prípade môže znamienko ovplyvniť konečný graf.

Súradnicové roviny sa stávajú rovinami symetrie kužeľa, stred symetrie sa nachádza v počiatku.

V rovnici pomyselného kužeľa sú len plusy; má to jeden skutočný bod.

Paraboloidy

Plochy 2. rádu v priestore môžu nadobudnúť rôzne tvary aj s podobnými rovnicami. Napríklad existujú dva typy paraboloidov.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Eliptický paraboloid, keď je os Z kolmá na výkres, sa premietne do elipsy.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Hyperbolický paraboloid: Rezy s rovinami rovnobežnými s ZY vytvoria paraboly a sekcie s rovinami rovnobežnými s XY vytvoria hyperboly.

Pretínajúce sa roviny

Existujú prípady, keď povrchy 2. rádu degenerujú do roviny. Tieto roviny môžu byť usporiadané rôznymi spôsobmi.

Najprv zvážte pretínajúce sa roviny:

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 0

Výsledkom tejto úpravy kanonickej rovnice sú len dve pretínajúce sa roviny (imaginárne!); všetky reálne body sú na osi súradnice, ktorá nie je v rovnici (v kanonickej - os Z).

Paralelné roviny

V prítomnosti iba jednej súradnice sa povrchy 2. rádu zvrhnú do dvojice rovnobežných rovín. Pamätajte, že akákoľvek iná premenná môže nahradiť Y; potom sa získajú roviny rovnobežné s inými osami.

V tomto prípade sa stávajú imaginárnymi.

Zhodné lietadlá

Pri takejto jednoduchej rovnici sa dvojica rovín zvrhne do jednej – zhodujú sa.

Nezabudnite, že v prípade trojrozmernej bázy vyššie uvedená rovnica nedefinuje priamku y=0! Nemá dve ďalšie premenné, ale to znamená, že ich hodnota je konštantná a rovná sa nule.

Budovanie

Jednou z najťažších úloh pre žiaka je stavba plôch 2. rádu. Prechod z jedného súradnicového systému do druhého je ešte náročnejší, ak vezmeme do úvahy uhly krivky vzhľadom na osi a odsadenie stredu. Zopakujme si, ako sekvenčne určiť budúci pohľad na výkres analytickým spôsobom.

Na vytvorenie povrchu 2. rádu potrebujete:

• priviesť rovnicu do kanonického tvaru;
• určiť typ skúmaného povrchu;
• konštruovať na základe hodnôt koeficientov.

Všetky uvažované typy sú uvedené nižšie:

Na konsolidáciu podrobne popíšeme jeden príklad tohto typu úloh.

Príklady

Povedzme, že máme rovnicu:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Prenesme to do kanonickej podoby. Vyberme si celé druhé mocniny, to znamená, že dostupné výrazy usporiadame tak, aby boli expanziou druhej mocniny súčtu alebo rozdielu. Napríklad: ak (a+1) 2 =a 2 +2a+1, potom a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Vykonáme druhú operáciu. V tomto prípade nie je potrebné otvárať zátvorky, pretože to len skomplikuje výpočty, ale je potrebné vyňať spoločný faktor 6 (v zátvorkách s plnou mocninou Y):

3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6

Premenná z sa v tomto prípade vyskytuje iba raz - zatiaľ môže zostať nedotknutá.

V tejto fáze analyzujeme rovnicu: všetkým neznámym predchádza znamienko plus; pri delení šiestimi zostáva jedna. Preto máme rovnicu, ktorá definuje elipsoid.

Všimnite si, že 144 bolo započítané do 150-6, potom sa -6 presunulo doprava. Prečo sa to muselo robiť takto? Je zrejmé, že najväčší deliteľ v tomto príklade je 6, preto, aby jednotka po vydelení ňou zostala vpravo, je potrebné „odložiť“ práve 6 zo 144 (prítomnosť voľného člena, napr. konštanta nevynásobená neznámou).

Vydeľte všetko šiestimi a získajte kanonickú rovnicu elipsoidu:

(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2/3=1

V predtým používanej klasifikácii plôch 2. rádu sa uvažuje o konkrétnom prípade, keď je stred obrazca v počiatku. V tomto príklade je to offset.

Predpokladáme, že každá zátvorka s neznámymi je nová premenná. To znamená: a=x-1, b=y+5, c=z. V nových súradniciach sa stred elipsoidu zhoduje s bodom (0,0,0), teda a=b=c=0, odkiaľ: x=1, y=-5, z=0. V počiatočných súradniciach leží stred obrazca v bode (1,-5,0).

Elipsoid bude tvorený dvoma elipsami: prvá v rovine XY a druhá v rovine XZ (alebo YZ - na tom nezáleží). Koeficienty, ktorými sú premenné delené, sú v kanonickej rovnici druhé mocniny. Preto vo vyššie uvedenom príklade by bolo správnejšie deliť odmocninou z dvoch, jedna a odmocninou z troch.

Vedľajšia os prvej elipsy, rovnobežná s osou Y, sú dve. Hlavná os rovnobežná s osou x sú dva korene z dvoch. Vedľajšia os druhej elipsy, rovnobežná s osou Y, zostáva rovnaká - rovná sa dvom. A hlavná os, rovnobežná s osou Z, sa rovná dvom koreňom z troch.

Pomocou údajov získaných z pôvodnej rovnice prevodom do kanonického tvaru môžeme nakresliť elipsoid.

Zhrnutie

Téma uvedená v tomto článku je pomerne rozsiahla, ale v skutočnosti, ako teraz vidíte, nie je príliš komplikovaná. Jeho vývoj v podstate končí v momente, keď si zapamätáte názvy a rovnice plôch (a samozrejme, ako vyzerajú). Vo vyššie uvedenom príklade sme podrobne zvážili každý krok, ale uvedenie rovnice do kanonickej podoby si vyžaduje minimálne znalosti vyššej matematiky a študentovi by nemalo spôsobovať žiadne ťažkosti.

Analýza budúceho harmonogramu podľa existujúcej rovnosti je už náročnejšia úloha. Na jeho úspešné riešenie však stačí pochopiť, ako sa vytvárajú zodpovedajúce krivky druhého rádu - elipsy, paraboly a iné.

Prípady degenerácie sú ešte jednoduchšia časť. Vďaka absencii niektorých premenných sa zjednodušujú nielen výpočty, ako už bolo spomenuté, ale aj samotná konštrukcia.

Akonáhle dokážete s istotou pomenovať všetky typy povrchov, meniť konštanty a premieňať graf na jednu alebo druhú postavu, téma bude zvládnutá.

Úspech v učení!

Základné teoretické informácie

Valcový povrch alebo jednoducho valec nazývaný akýkoľvek povrch, ktorý je možné získať pohybom po priamke, pohybom rovnobežne s nejakým vektorom a stále pretínajúcim danú priamku, čo je tzv. sprievodca. Pohyblivá čiara je tzv generatrix.

Zúžený povrch alebo jednoducho kužeľ nazývaná plocha vytvorená pohybom priamky prechádzajúcej daným bodom, tzv kužeľový vrch, a pohybuje sa po tejto krivke. Pohyblivá čiara je tzv tvoriaca čiara kužeľa, a krivka, po ktorej kĺže tvoriaca čiara, - sprievodca.

Rotácia figúry okolo danej priamky (osi rotácie) je taký pohyb, pri ktorom každý bod figúry
opisuje kružnicu so stredom na osi otáčania, ktorá leží v rovine kolmej na os otáčania.

Plocha vytvorená rotáciou priamky okolo osi sa nazýva rotačný povrch.

Kanonické rovnice povrchov druhého rádu

Povrch druhého rádu je daný v pravouhlých súradniciach rovnicou druhého stupňa

(7.1)

Transformáciou súradníc (otočením osí a paralelným posunom) sa rovnica (7.1) zredukuje na kanonickú formu. V prípade, že v rovnici (7.1) nie sú žiadne členy so súčinom súradníc, je táto rovnica výberom celých štvorcov podľa ,,a paralelná translácia súradnicových osí sa redukuje na kanonickú formu rovnakým spôsobom, ako to bolo urobené pre čiary druhého rádu (pozri Štúdium všeobecnej rovnice čiary druhého rádu). Povrchy druhého rádu a ich kanonické rovnice sú uvedené v tabuľke. 3.

Tvar a usporiadanie povrchov druhého rádu sa zvyčajne študuje metódou paralelných rezov. Podstata metódy spočíva v tom, že povrch pretína niekoľko rovín rovnobežných so súradnicovými rovinami. Tvar a parametre získaných rezov umožňujú určiť tvar samotného povrchu.

tabuľky 3

Hyperboloid: jednodutinový, dvojkomorový,
Paraboloid: eliptický, hyperbolický,

eliptický, hyperbolický, parabolický,

Príklady riešenia problémov

Problém 7.1. Napíšte rovnicu pre guľu s polomerom a stred je v bode
.

rozhodnutie. Guľa je množina bodov, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od stredu. Preto označovanie podľa
ľubovoľné súradnice bodu
sfér a prostredníctvom nich vyjadruje rovnosť
, bude mať

Umocnením oboch strán rovnosti získame požadovanú kanonickú rovnicu gule:

Ak je stred gule umiestnený v počiatku, potom rovnica gule má jednoduchší tvar:

.

Odpoveď.
.

Problém 7.2. Napíšte rovnicu pre kužeľovú plochu s vrcholom v počiatku a vodidlom

(7.1)

rozhodnutie. Kanonické rovnice generátorov cez bod
a bod
sprievodca, má formu

(7.2)

Vylúčiť ,,z rovníc (7.1) a (7.2). Aby sme to dosiahli, v rovniciach (7.2) nahradíme na a definovať A :

;

Nahradením týchto hodnôt A do prvej rovnice systému (7.1) budeme mať:

alebo

Výsledná rovnica definuje kužeľ druhého rádu (pozri tabuľku 3)

Problém 7.3.

rozhodnutie. Tento povrch je hyperbolický valec s generátormi rovnobežnými s osou
V skutočnosti táto rovnica neobsahuje a vedenie valca je hyperbola

so stredom symetrie v bode
a reálna os rovnobežná s osou
.

Problém 7.4. Preskúmajte a zostrojte povrch daný rovnicou

rozhodnutie. Pretínajte povrch rovinou
. V dôsledku toho máme

kde
. Toto je rovnica paraboly v rovine

Rez danej plochy rovinou
existuje parabola

Úsek roviny
existuje pár pretínajúcich sa čiar:

Rez rovinami rovnobežnými s rovinou
, existujú hyperboly:

o
skutočná os hyperboly je rovnobežná s osou
, o
osi
. Skúmaný povrch je hyperbolický paraboloid (spojený s tvarom, povrch sa nazýva "sedlo").

Komentujte. Zaujímavou vlastnosťou hyperbolického paraboloidu je prítomnosť priamych čiar ležiacich všetkými bodmi na jeho povrchu. Takéto čiary sú tzv priamočiare generátory hyperbolického paraboloidu. Cez každý bod hyperbolického paraboloidu prechádzajú dva priamočiare generátory.

Problém 7.5. Ktorý povrch definuje rovnicu

rozhodnutie. Aby sme túto rovnicu zredukovali na kanonickú formu, vyčleníme celé štvorce premenných ,,:

Pri porovnaní výslednej rovnice s tabuľkovými rovnicami (pozri tabuľku 3) vidíme, že ide o rovnicu jednovrstvového hyperboloidu, ktorého stred je posunutý do bodu
Paralelným prenosom súradnicového systému podľa vzorcov

privedieme rovnicu do kanonického tvaru:

Komentujte. Jednovrstvový hyperboloid, podobne ako hyperbolický, má dve rodiny priamočiarych generátorov.

Obsah článku

KUŽEĽOVÉ SEKCIE, rovinné krivky, ktoré získame krížením pravého kruhového kužeľa s rovinou, ktorá neprechádza jeho vrcholom (obr. 1). Z hľadiska analytickej geometrie je kužeľosečka miestom bodov, ktoré spĺňajú rovnicu druhého rádu. S výnimkou degenerovaných prípadov diskutovaných v poslednej časti sú kužeľosečky elipsy, hyperboly alebo paraboly.

Kužeľové rezy sa často vyskytujú v prírode a technike. Napríklad obežné dráhy planét obiehajúcich okolo Slnka sú elipsy. Kruh je špeciálny prípad elipsy, v ktorej sa hlavná os rovná vedľajšej. Parabolické zrkadlo má tú vlastnosť, že všetky dopadajúce lúče rovnobežné s jeho osou sa zbiehajú v jednom bode (ohnisku). Toto sa používa vo väčšine odrazových ďalekohľadov využívajúcich parabolické zrkadlá, ako aj v radarových anténach a špeciálnych mikrofónoch s parabolickými reflektormi. Lúč paralelných lúčov vyžaruje zo zdroja svetla umiestneného v ohnisku parabolického reflektora. Preto sa parabolické zrkadlá používajú vo výkonných reflektoroch a svetlometoch automobilov. Hyperbola je graf mnohých dôležitých fyzikálnych vzťahov, ako je Boyleov zákon (ktorý dáva do súvisu tlak a objem ideálneho plynu) a Ohmov zákon, ktorý definuje elektrický prúd ako funkciu odporu pri konštantnom napätí.

RANÁ HISTÓRIA

Objaviteľom kužeľosečiek je údajne Menechmus (4. storočie pred Kr.), Platónov žiak a učiteľ Alexandra Veľkého. Menechmus použil parabolu a rovnoramennú hyperbolu na vyriešenie problému zdvojnásobenia kocky.

Pojednania o kužeľosečkách napísané Aristaeom a Euklidom na konci 4. storočia. pred Kr., sa stratili, no materiály z nich boli zaradené do famóznych Kužeľové rezy Apollónia z Pergy (asi 260-170 pred Kr.), ktoré sa zachovali až do našich čias. Apollonius upustil od požiadavky, aby rovina sečnice tvoriacej priamky kužeľa bola kolmá, a zmenou uhla jej sklonu získal všetky kužeľosečky z jedného kruhového kužeľa, rovného alebo nakloneného. Apolloniovi vďačíme aj za moderné názvy kriviek – elipsa, parabola a hyperbola.

Apollonius vo svojich konštrukciách použil dvojlistový kruhový kužeľ (ako na obr. 1), takže sa po prvý raz ukázalo, že hyperbola je krivka s dvoma vetvami. Od čias Apollonia sa kužeľosečky delia na tri typy v závislosti od sklonu roviny rezu k tvoriacej priamke kužeľa. elipsa (obr. 1, ale) vzniká, keď rovina rezu pretína všetky tvoriace čiary kužeľa v bodoch jednej z jeho dutín; parabola (obr. 1, b) - keď je rovina rezu rovnobežná s jednou z dotyčnicových rovín kužeľa; hyperbola (obr. 1, v) - keď rovina rezu pretína obe dutiny kužeľa.

KONŠTRUKCIA KUŽEĽOVSKÝCH SEKCIÍ

Pri štúdiu kužeľosečiek ako priesečníkov rovín a kužeľov ich starogrécki matematici považovali aj za trajektórie bodov v rovine. Zistilo sa, že elipsu možno definovať ako ťažisko bodov, pričom súčet vzdialeností, od ktorých k dvom daným bodom je konštantný; parabola - ako miesto bodov rovnako vzdialených od daného bodu a danej priamky; hyperbola - ako ťažisko bodov je rozdiel vzdialeností od ktorých k dvom daným bodom konštantný.

Tieto definície kužeľosečiek ako rovinných kriviek tiež naznačujú spôsob, ako ich zostrojiť pomocou natiahnutej nite.

Elipsa.

Ak sú konce vlákna danej dĺžky fixované v bodoch F 1 a F 2 (obr. 2), potom krivka opísaná hrotom ceruzky kĺzajúcim po tesne napnutej nite má tvar elipsy. bodov F 1 a F 2 sa nazývajú ohniská elipsy a segmenty V 1 V 2 a v 1 v 2 medzi priesečníkmi elipsy so súradnicovými osami - hlavnou a vedľajšou osou. Ak body F 1 a F 2 sa zhodujú, potom sa elipsa zmení na kruh.

Hyperbola.

Pri konštrukcii hyperboly bod P, hrot ceruzky, je upevnený na nite, ktorá sa voľne posúva po kolíkoch inštalovaných na hrotoch F 1 a F 2, ako je znázornené na obr. 3, ale. Vzdialenosti sú zvolené tak, aby segment PF 2 je dlhší ako segment PF 1 o pevnú hodnotu menšiu ako je vzdialenosť F 1 F 2. V tomto prípade jeden koniec vlákna prechádza pod kolíkom F 1 a oba konce nite prechádzajú cez kolík F 2. (Hrot ceruzky by sa nemal kĺzať po nite, preto ho musíte opraviť tak, že na nite urobíte malú slučku a hrot do nej navlečiete.) Jedna vetva hyperboly ( PV 1 Q) kreslíme, pričom dbáme na to, aby niť zostala po celý čas napnutá a oba konce nite ťaháme dole za bod F 2 , a keď bod P bude pod čiarou F 1 F 2, pridržte niť na oboch koncoch a opatrne ju uvoľnite (t.j. povoľte). Druhá vetva hyperboly ( Pў V 2 Qў) kreslíme, keď sme predtým zmenili úlohy kolíkov F 1 a F 2 .

Vetvy hyperboly sa približujú k dvom priamym čiaram, ktoré sa pretínajú medzi vetvami. Tieto čiary, nazývané asymptoty hyperboly, sú konštruované tak, ako je znázornené na obr. 3, b. Sklony týchto čiar sú ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), kde v 1 v 2 - segment osy uhla medzi asymptotami, kolmý na segment F 1 F 2; oddiele v 1 v 2 sa nazýva konjugovaná os hyperboly a segment V 1 V 2 - jeho priečna os. Takže asymptoty sú uhlopriečky obdĺžnika so stranami prechádzajúcich štyrmi bodmi v 1 , v 2 , V 1 , V 2 rovnobežne s osami. Ak chcete vytvoriť tento obdĺžnik, musíte určiť umiestnenie bodov v 1 a v 2. Sú v rovnakej vzdialenosti, rovnajú sa

od priesečníka osí O. Tento vzorec zahŕňa konštrukciu pravouhlého trojuholníka s nohami Ov 1 a V 2 O a preponu F 2 O.

Ak sú asymptoty hyperboly navzájom kolmé, potom sa hyperbola nazýva rovnoramenná. Dve hyperboly, ktoré majú spoločné asymptoty, ale s preskupenými priečnymi a konjugovanými osami, sa nazývajú vzájomne konjugované.

Parabola.

Ohniská elipsy a hyperboly boli známe Apolloniusovi, ale ohnisko paraboly zrejme prvýkrát určil Pappus (2. polovica 3. storočia), ktorý túto krivku definoval ako bod bodov rovnako vzdialených od daného bodu ( ohnisko) a danú priamku, ktorá sa nazýva riaditeľ. Konštrukciu paraboly pomocou natiahnutej nite, založenú na definícii Pappa, navrhol Izidor z Milétu (6. storočie). Umiestnite pravítko tak, aby sa jeho okraj zhodoval s osou LLў (obr. 4) a pripevnite nohu k tomuto okraju AC kreslenie trojuholníka ABC. Jeden koniec nite fixujeme dĺžkou AB na vrchu B trojuholník a druhý v ohnisku paraboly F. Potiahnutím nite špičkou ceruzky stlačte špičku v premenlivom bode P na voľnú jazdu AB kreslenie trojuholníka. Keď sa trojuholník pohybuje pozdĺž pravítka, bod P opíše oblúk paraboly so zameraním F a riaditeľka LLў, pretože celková dĺžka vlákna je rovná AB, segment vlákna susedí s voľnou nohou trojuholníka, a teda zostávajúci segment vlákna PF musí byť rovnaké ako zvyšok nohy AB, t.j. PA. Priesečník V parabola s osou sa nazýva vrchol paraboly, priamka prechádzajúca F A V, je os paraboly. Ak je cez ohnisko nakreslená priamka kolmá na os, potom sa segment tejto priamky odrezaný parabolou nazýva ohniskový parameter. Pre elipsu a hyperbolu je ohniskový parameter definovaný podobne.

VLASTNOSTI KUŽELOVÝCH PRIESTOROV

Pappusove definície.

Stanovenie zamerania paraboly viedlo Pappusa k myšlienke poskytnúť alternatívnu definíciu kužeľosečiek vo všeobecnosti. Nechať byť F je daný bod (zameranie), a L je daná priamka (smernica), ktorá neprechádza F, A D F A D L– vzdialenosť od bodu pohybu P zamerať F a riaditeľov L resp. Potom, ako ukázal Papp, kužeľosečky sú definované ako miesta bodov P, pre ktoré je pomer D F/D L je nezáporná konštanta. Tento pomer sa nazýva excentricita e kužeľová časť. o e e > 1 je hyperbola; pri e= 1 je parabola. Ak F leží na L, potom má lokus podobu čiar (reálnych alebo imaginárnych), čo sú degenerované kužeľosečky.

Nápadná symetria elipsy a hyperboly naznačuje, že každá z týchto kriviek má dve smerové čiary a dve ohniská a táto okolnosť priviedla Keplera v roku 1604 k myšlienke, že parabola má aj druhé ohnisko a druhú smerovú priamku - bod v nekonečne a rovno. Podobne možno kruh považovať za elipsu, ktorej ohniská sa zhodujú so stredom a smerové čiary sú v nekonečne. Výstrednosť e v tomto prípade je nula.

Dandelinov dizajn.

Ohniská a smerové osy kužeľosečky sa dajú jasne demonštrovať pomocou gúľ vpísaných do kužeľa a nazývaných gule (guličky) na počesť belgického matematika a inžiniera J. Dandelina (1794–1847), ktorý navrhol nasledujúcu konštrukciu. Nech je kužeľosečka vytvorená priesečníkom nejakej roviny p s dvojdutinovým pravým kruhovým kužeľom s vrcholom v bode O. Do tohto kužeľa vpíšme dve gule S 1 a S 2, ktoré sa dotýkajú roviny p v bodoch F 1 a F 2 resp. Ak je kužeľosečka elipsa (obr. 5, ale), potom sú obe gule vo vnútri tej istej dutiny: jedna guľa je umiestnená nad rovinou p a druhý pod ním. Každá tvoriaca čiara kužeľa sa dotýka oboch gúľ a miesto dotyku má tvar dvoch kruhov. C 1 a C 2 umiestnený v rovnobežných rovinách p 1 a p 2. Nechať byť P je ľubovoľný bod na kužeľosečke. Poďme kresliť rovno PF 1 , PF 2 a predĺžte čiaru PO. Tieto čiary sú dotyčnicami ku guľám v bodoch F 1 , F 2 a R 1 , R 2. Pretože všetky dotyčnice nakreslené ku gule z jedného bodu sú rovnaké PF 1 = PR 1 a PF 2 = PR 2. v dôsledku toho PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Od lietadiel p 1 a p 2 paralelné, segmentové R 1 R 2 má konštantnú dĺžku. Teda hodnota PR 1 + PR 2 je rovnaký pre všetky pozície bodov P a bod P patrí do ťažiska bodov, pre ktoré súčet vzdialeností od P predtým F 1 a F 2 je konštantná. Preto tie body F 1 a F 2 - ohniská eliptického rezu. Okrem toho je možné ukázať, že čiary, pozdĺž ktorých je rovina p prekročí rovinu p 1 a p 2 sú smerové čiary zostrojenej elipsy. Ak p pretína obe dutiny kužeľa (obr. 5, b), potom dve púpavové gule ležia na rovnakej strane roviny p, jedna guľa v každej dutine kužeľa. V tomto prípade je rozdiel medzi PF 1 a PF 2 je konštantná a ťažisko bodov P má formu hyperboly s ohniskami F 1 a F 2 a priamky - priesečníky p s p 1 a p 2 - ako riaditelia. Ak je kužeľosečka parabola, ako je znázornené na obr. päť, v, potom môže byť do kužeľa vpísaná iba jedna púpavová guľa.

Iné vlastnosti.

Vlastnosti kužeľosečiek sú skutočne nevyčerpateľné a ktorúkoľvek z nich možno považovať za rozhodujúcu. dôležité miesto v Matematické stretnutie Pappa (cca 300), geometrie Descartes (1637) a Začiatky Newton (1687) sa zaoberá problémom lokusu bodov vzhľadom na štyri čiary. Ak sú na rovine uvedené štyri priame čiary L 1 , L 2 , L 3 a L 4 (dve z nich sa môžu zhodovať) a bodka P je taký, že súčin vzdialeností od P predtým L 1 a L 2 je úmerná súčinu vzdialeností od P predtým L 3 a L 4, potom ťažisko bodov P je kužeľosečka. Descartes, ktorý sa mylne domnieval, že Apollonius a Pappus nedokázali vyriešiť problém lokusu bodov vzhľadom na štyri priamky, vytvoril analytickú geometriu, aby získal riešenie a zovšeobecnil ho.

ANALYTICKÝ PRÍSTUP

Algebraická klasifikácia.

Z algebraického hľadiska možno kužeľosečky definovať ako rovinné krivky, ktorých kartézske súradnice spĺňajú rovnicu druhého stupňa. Inými slovami, rovnica všetkých kužeľosečiek môže byť napísaná vo všeobecnom tvare ako

kde nie všetky koeficienty A, B A C sa rovnajú nule. Pomocou paralelného posunu a rotácie osí možno rovnicu (1) zredukovať do tvaru

sekera 2 + podľa 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Prvá rovnica sa získa z rovnice (1) s B 2 № AC, druhý - o B 2 = AC. Kužeľosečky, ktorých rovnice sú zredukované na prvý tvar, sa nazývajú centrálne. Kužeľosečky dané rovnicami druhého typu s qč.0, sa nazývajú necentrálne. V rámci týchto dvoch kategórií existuje deväť rôznych typov kužeľosečiek v závislosti od znamienok koeficientov.

2831) i a, b A c majú rovnaké znamienko, potom neexistujú žiadne skutočné body, ktorých súradnice by vyhovovali rovnici. Takáto kužeľosečka sa nazýva imaginárna elipsa (alebo imaginárna kružnica, ak a = b).

2) Ak a A b mať jedno znamenie a c- oproti, potom je kužeľosečka elipsa (obr. 1, ale); pri a = b- kruh (obr. 6, b).

3) Ak a A b majú rôzne znamienka, potom je kužeľosečka hyperbola (obr. 1, v).

4) Ak a A b majú rôzne znaky a c= 0, potom kužeľosečka pozostáva z dvoch pretínajúcich sa priamok (obr. 6, ale).

5) Ak a A b mať jedno znamenie a c= 0, potom je na krivke iba jeden skutočný bod, ktorý vyhovuje rovnici, a kužeľosečka sú dve pomyselné pretínajúce sa priamky. V tomto prípade sa hovorí aj o elipse stiahnutej do bodu alebo, ak a = b, stiahnutý do bodu kruhu (obr. 6, b).

6) Ak buď a, alebo b sa rovná nule a zostávajúce koeficienty majú rôzne znamienka, potom kužeľosečka pozostáva z dvoch rovnobežných čiar.

7) Ak buď a, alebo b sa rovná nule a zostávajúce koeficienty majú rovnaké znamienko, potom neexistuje skutočný bod, ktorý by vyhovoval rovnici. V tomto prípade sa hovorí, že kužeľosečka pozostáva z dvoch imaginárnych rovnobežných čiar.

8) Ak c= 0 a buď a, alebo b sa tiež rovná nule, potom kužeľosečka pozostáva z dvoch skutočných zhodných čiar. (Rovnica nedefinuje žiadnu kužeľosečku v a = b= 0, keďže v tomto prípade pôvodná rovnica (1) nie je druhého stupňa.)

9) Rovnice druhého typu definujú paraboly, ak p A q sa líšia od nuly. Ak pč. 0 a q= 0, získame krivku z položky 8. Ak naopak p= 0, potom rovnica nedefinuje žiadnu kužeľosečku, keďže pôvodná rovnica (1) nie je druhého stupňa.

Odvodenie rovníc kužeľosečiek.

Ľubovoľnú kužeľosečku možno definovať aj ako krivku, pozdĺž ktorej sa rovina pretína s kvadratickou plochou, t.j. s povrchom daným rovnicou druhého stupňa f (X, r, z) = 0. Zdá sa, že kužeľosečky boli prvýkrát rozpoznané v tejto forme a ich názvy ( Pozri nižšie) súvisia s tým, že boli získané krížením roviny s kužeľom z 2 = X 2 + r 2. Nechať byť A B C D- základňa pravého kruhového kužeľa (obr. 7) s pravým uhlom navrchu V. Nechajte lietadlo FDC pretína rodovú čiaru VB v bode F, základňa je v priamke CD a povrch kužeľa - pozdĺž krivky DFPC, kde P je ľubovoľný bod na krivke. Nakreslite stred segmentu CD- bod E- priamy EF a priemer AB. Cez bodku P nakreslite rovinu rovnobežnú so základňou kužeľa, ktorá pretína kužeľ v kruhu RPS a priamy EF v bode Q. Potom QF A QP môže byť vzaté na úsečku X a ordinovať r bodov P. Výsledná krivka bude parabola.

Konštrukcia znázornená na obr. 7 možno použiť na odvodenie všeobecných rovníc pre kužeľosečky. Druhá mocnina dĺžky úsečky kolmice, obnovená z akéhokoľvek bodu priemeru po priesečník s kružnicou, sa vždy rovná súčinu dĺžok úsečiek priemeru. Preto

r 2 = RQ H QS.

Pre parabolu, segment RQ má konštantnú dĺžku (pretože pre akúkoľvek polohu bodu P rovná sa segmentu AE) a dĺžku segmentu QS proporcionálne X(zo vzťahu QS/EB = QF/F.E.). Z toho teda vyplýva

kde a je konštantný koeficient. číslo a vyjadruje dĺžku ohniskového parametra paraboly.

Ak je uhol na vrchole kužeľa ostrý, potom segment RQ nerovná sa rezu AE; ale pomer r 2 = RQ H QS je ekvivalentná rovnici tvaru

kde a A b sú konštanty, alebo po posunutí osí do rovnice

čo je rovnica elipsy. Priesečníky elipsy s osou X (X = a A X = –a) a priesečníky elipsy s osou r (r = b A r = –b) definujú hlavnú a vedľajšiu os. Ak je uhol vo vrchole kužeľa tupý, potom krivka priesečníka kužeľa a roviny má tvar hyperboly a rovnica má nasledujúci tvar:

alebo po posunutí osí,

V tomto prípade body priesečníka s osou X, daný vzťahom X 2 = a 2, definujte priečnu os a priesečníky s osou r, daný vzťahom r 2 = –b 2 definujte os párovania. Ak je konštantná a A b v rovnici (4a) sa rovnajú, potom sa hyperbola nazýva rovnoramenná. Otáčaním osí sa jeho rovnica zredukuje do tvaru

xy = k.

Teraz z rovníc (3), (2) a (4) môžeme pochopiť význam mien, ktoré dal Apollonius trom hlavným kužeľosečkám. Pojmy "elipsa", "parabola" a "hyperbola" pochádzajú z gréckych slov, ktoré znamenajú "nedostatok", "rovnaký" a "vyšší". Z rovníc (3), (2) a (4) je zrejmé, že pre elipsu r 2 b 2 / a) X, pre parabolu r 2 = (a) X a pre hyperbolu r 2 > (2b 2 /a) X. V každom prípade sa hodnota v zátvorkách rovná ohniskovému parametru krivky.

Sám Apollonius zvažoval iba tri všeobecné typy kužeľosečiek (typy 2, 3 a 9 uvedené vyššie), ale jeho prístup pripúšťa zovšeobecnenie, ktoré umožňuje zvážiť všetky skutočné krivky druhého rádu. Ak je rovina rezu zvolená rovnobežne s kruhovou základňou kužeľa, potom bude rez kruhom. Ak má rovina rezu iba jeden spoločný bod s kužeľom, jeho vrchol, potom sa získa rez typu 5; ak obsahuje vrchol a dotyčnicu kužeľa, dostaneme rez typu 8 (obr. 6, b); ak rovina rezu obsahuje dva generátory kužeľa, potom sa v reze získa krivka typu 4 (obr. 6, ale); keď sa vrchol prenesie do nekonečna, kužeľ sa zmení na valec a ak rovina obsahuje dva generátory, získa sa časť typu 6.

Pri pohľade zo šikmého uhla vyzerá kruh ako elipsa. Vzťah medzi kruhom a elipsou, známy Archimedesovi, sa stáva zrejmým, ak je kruh X 2 + Y 2 = a 2 pomocou substitúcie X = X, Y = (a/b) r previesť na elipsu danú rovnicou (3a). transformácia X = X, Y = (ai/b) r, kde i 2 = –1, nám umožňuje zapísať rovnicu kruhu v tvare (4a). To ukazuje, že hyperbolu možno vidieť ako elipsu s imaginárnou vedľajšou osou, alebo naopak, elipsu možno vidieť ako hyperbolu s imaginárnou konjugovanou osou.

Vzťah medzi ordinátami kruhu X 2 + r 2 = a 2 a elipsa ( X 2 /a 2) + (r 2 /b 2) = 1 vedie priamo k Archimedovmu vzorcu A = p ab pre oblasť elipsy. Kepler poznal približný vzorec p(a + b) pre obvod elipsy blízko kruhu, ale presné vyjadrenie sa podarilo získať až v 18. storočí. po zavedení eliptických integrálov. Ako ukázal Archimedes, plocha parabolického segmentu je štyri tretiny plochy vpísaného trojuholníka, ale dĺžku oblúka paraboly bolo možné vypočítať až potom, v 17. bol vynájdený diferenciálny počet.

PROJEKTÍVNY PRÍSTUP

Projektívna geometria úzko súvisí s konštrukciou perspektívy. Ak na priehľadný list papiera nakreslíte kruh a umiestnite ho pod zdroj svetla, tento kruh sa premietne do roviny pod ním. V tomto prípade, ak je zdroj svetla umiestnený priamo nad stredom kruhu a rovina a priehľadná doska sú rovnobežné, potom bude projekcia tiež kruh (obr. 8). Poloha svetelného zdroja sa nazýva úbežník. Označuje sa písmenom V. Ak V umiestnený nie nad stredom kruhu, alebo ak rovina nie je rovnobežná s listom papiera, potom má projekcia kruhu tvar elipsy. S ešte väčším sklonom roviny sa hlavná os elipsy (priemet kružnice) predlžuje a elipsa sa postupne mení na parabolu; v rovine rovnobežnej s priamkou VP, projekcia vyzerá ako parabola; s ešte väčším sklonom má projekcia podobu jednej z vetiev hyperboly.

Každý bod na pôvodnej kružnici zodpovedá nejakému bodu na projekcii. Ak má projekcia tvar paraboly alebo hyperboly, potom hovoria, že bod zodpovedajúci bodu P, je v nekonečne alebo v nekonečne.

Ako sme videli, pri vhodnom výbere úbežníkov možno kružnicu premietnuť do elipsy rôznych veľkostí a s rôznou excentricitou, pričom dĺžky hlavných osí priamo nesúvisia s priemerom premietnutej kružnice. Projektívna geometria sa teda nezaoberá vzdialenosťami ani dĺžkami ako takým, jej úlohou je študovať pomer dĺžok, ktorý sa pri premietaní zachová. Tento vzťah možno nájsť pomocou nasledujúcej konštrukcie. cez ktorýkoľvek bod P rovine nakreslíme dve dotyčnice ľubovoľnej kružnice a spojíme body dotyku priamkou p. Nechajte bodom prechádzať ďalšiu priamku P, pretína kružnicu v bodoch C 1 a C 2, ale priamka p- na mieste Q(obr. 9). Planimetria to dokazuje PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Znamienko mínus sa vyskytuje, pretože smer segmentu QC 1 oproti smerom ostatných segmentov.) Inými slovami, body P A Q rozdeliť segment C 1 C 2 zvonka a zvnútra v rovnakom ohľade; tiež hovoria, že harmonický pomer štyroch segmentov je rovný - 1. Ak sa kružnica premietne do kužeľosečky a rovnaké označenia sú zachované pre zodpovedajúce body, potom harmonický pomer ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) zostane rovnaký - 1. Bod P nazývaný pól čiary p vzhľadom na kužeľosečku a priamku p- polárny bod P vzhľadom na kužeľosečku.

Keď bodka P blíži sa ku kužeľosečke, polárna má tendenciu zaujať polohu dotyčnice; ak bod P leží na kužeľosečke, potom sa jej polárna zhoduje s dotyčnicou ku kužeľosečke v bode P. Ak bod P umiestnený vo vnútri kužeľosečky, potom jeho polárna môže byť skonštruovaná nasledovne. Prejdime cez bod P akákoľvek priamka pretínajúca kužeľosečku v dvoch bodoch; nakreslite dotyčnice ku kužeľosečky v priesečníkoch; Predpokladajme, že tieto dotyčnice sa pretínajú v bode P jeden . Prejdime cez bod Pďalšia priamka, ktorá pretína kužeľosečku v dvoch ďalších bodoch; Predpokladajme, že dotyčnice ku kužeľosečke v týchto nových bodoch sa pretínajú v bode P 2 (obr. 10). Čiara prechádzajúca bodmi P 1 a P 2, a tam je požadovaná polárna p. Ak bod P blížiace sa k centru O centrálna kužeľosečka, potom polárna p vzďaľuje sa od O. Keď bodka P sa zhoduje s O, potom sa jeho polárna stáva v nekonečne, alebo ideálom, priamo v rovine.

ŠPECIÁLNE STAVBY

Pre astronómov je obzvlášť zaujímavá nasledujúca jednoduchá konštrukcia bodov elipsy pomocou kompasu a pravítka. Nech bodom prechádza ľubovoľná priamka O(obr. 11, ale), pretína v bodoch Q A R dva sústredné kruhy so stredom v bode O a polomery b A a, kde b a. Prejdime cez bod Q vodorovná čiara a R- zvislá čiara a označujú ich priesečník P P pri rovnom otáčaní OQR okolo bodky O bude elipsa. Injekcia f medzi riadkom OQR a hlavná os sa nazýva excentrický uhol a vytvorená elipsa je vhodne špecifikovaná parametrickými rovnicami X = a cos f, r = b hriech f. Vrátane parametra f dostaneme rovnicu (3a).

Pre hyperbolu je konštrukcia do značnej miery podobná. Ľubovoľná čiara prechádzajúca bodom O, pretína jeden z dvoch kruhov v bode R(obr. 11, b). K veci R jeden kruh a do koncového bodu S vodorovný priemer ďalšej kružnice nakreslíme pretínajúce sa dotyčnice OS v bode T A ALEBO- na mieste Q. Nechajte zvislú čiaru prechádzať bodom T a vodorovná čiara prechádzajúca bodom Q, pretínajú sa v bode P. Potom ťažisko bodov P pri otáčaní segmentu ALEBO okolo O bude existovať hyperbola daná parametrickými rovnicami X = a sek f, r = b tg f, kde f- excentrický uhol. Tieto rovnice získal francúzsky matematik A. Legendre (1752–1833). Vylúčením parametra f dostaneme rovnicu (4a).

Elipsu, ako poznamenal N. Kopernik (1473-1543), možno postaviť pomocou epicyklického pohybu. Ak sa kruh valí bez toho, aby sa posúval po vnútornej strane iného kruhu s dvojnásobným priemerom, potom každý bod P, ktorý neleží na menšom kruhu, ale je voči nemu fixovaný, bude opisovať elipsu. Ak bod P je na menšom kruhu, potom trajektória tohto bodu je degenerovaný prípad elipsy - priemer väčšieho kruhu. Ešte jednoduchšiu konštrukciu elipsy navrhol Proclus v 5. storočí. Ak skončí A A B priamka úsečka AB danej dĺžky sa posúvajte pozdĺž dvoch pevných pretínajúcich sa priamok (napríklad pozdĺž súradnicových osí), potom každý vnútorný bod P segment bude opisovať elipsu; holandský matematik F. van Schoten (1615–1660) ukázal, že každý bod v rovine pretínajúcich sa čiar, fixovaný vzhľadom na posuvný segment, bude tiež opisovať elipsu.

B. Pascal (1623–1662) vo veku 16 rokov sformuloval dnes už známu Pascalovu vetu, ktorá hovorí: tri priesečníky protiľahlých strán šesťuholníka vpísaného do ľubovoľnej kužeľosečky ležia na jednej priamke. Pascal odvodil z tejto vety viac ako 400 dôsledkov.

Povrchy druhého rádu sú plochy, ktoré sú v pravouhlom súradnicovom systéme určené algebraickými rovnicami druhého stupňa.

1. elipsoidný.

Elipsoid je plocha, ktorá je v niektorom pravouhlom súradnicovom systéme definovaná rovnicou:

Rovnica (1) sa nazýva kanonická rovnica elipsoidu.

Nastavte geometrický pohľad na elipsoid. Za týmto účelom zvážte rezy daného elipsoidu rovinami rovnobežnými s rovinou Oxy. Každá z týchto rovín je definovaná rovnicou tvaru z = h, kde h- ľubovoľné číslo a čiara získaná v sekcii je určená dvoma rovnicami

(2)

Preštudujme si rovnice (2) pre rôzne hodnoty h .

> c(c>0), potom rovnice (2) definujú aj imaginárnu elipsu, t.j. priesečníky roviny z = h s daným elipsoidom neexistuje. , potom a čiara (2) degeneruje do bodov (0; 0; + c) a (0; 0; - c) (roviny sa dotýkajú elipsoidu). , potom rovnice (2) môžu byť reprezentované ako

z čoho vyplýva, že rovina z = h pretína elipsoid pozdĺž elipsy s poloosami

A . Ako hodnoty klesajú a zvyšujú a dosahujú svoje maximálne hodnoty v , t.j. v priereze elipsoidu rovinou súradníc Oxy ukazuje sa najväčšia elipsa s poloosami a .

Podobný obraz získame, keď daný povrch pretínajú roviny rovnobežné so súradnicovými rovinami Oxz A Oyz.

Uvažované rezy teda umožňujú zobraziť elipsoid ako uzavretú oválnu plochu (obr. 156). množstvá a, b, c volal nápravové hriadele elipsoid. Kedy a=b=c elipsoid je sféroth.

2. Jednopásmový hyperboloid.

Jednopásmový hyperboloid je plocha, ktorá je v niektorom pravouhlom súradnicovom systéme definovaná rovnicou (3)

Rovnica (3) sa nazýva kanonická rovnica jednopásmového hyperboloidu.

Nastavte typ povrchu (3). Ak to chcete urobiť, zvážte rez podľa jeho súradnicových rovín Oxy (y=0)AOx(x=0). Získame rovnice

A

Teraz uvažujme rezy daného hyperboloidu rovinami z=h rovnobežnými s rovinou súradníc Oxy. Čiara získaná v reze je určená rovnicami

alebo (4)

z čoho vyplýva, že rovina z=h pretína hyperboloid pozdĺž elipsy s poloosami

a

dosahujú najnižšie hodnoty pri h=0, t.j. v reze tohto hyperboloidu tvorí súradnicová os Oxy najmenšiu elipsu s poloosami a*=a a b*=b. S nekonečným nárastom

množstvá a* a b* nekonečne rastú.

Uvažované rezy teda umožňujú zobraziť jednopásový hyperboloid ako nekonečnú trubicu, ktorá sa nekonečne rozširuje, keď sa pohybuje preč (na oboch stranách) od roviny Oxy.

Veličiny a, b, c sa nazývajú poloosi jednopásového hyperboloidu.

3. Dvojvrstvový hyperboloid.

Dvojvrstvový hyperboloid je plocha, ktorá je v niektorom pravouhlom súradnicovom systéme definovaná rovnicou

Rovnica (5) sa nazýva kanonická rovnica dvojvrstvového hyperboloidu.

Stanovme geometrický tvar plochy (5). Za týmto účelom zvážte jeho rezy súradnicovými rovinami Oxy a Oyz. Získame rovnice

A

z čoho vyplýva, že v úsekoch sa získavajú hyperboly.

Teraz uvažujme rezy daného hyperboloidu rovinami z=h rovnobežnými so súradnicovou rovinou Oxy. Čiara získaná v reze je určená rovnicami

alebo (6)

z čoho vyplýva, že

>c (c>0) rovina z=h pretína hyperboloid pozdĺž elipsy s poloosami a . So zvyšujúcou sa hodnotou sa zvyšujú aj a* a b*. Rovnice (6) sú splnené súradnicami iba dvoch bodov: (0; 0; + c) a (0; 0; - c) (roviny sa dotýkajú danej plochy). rovnice (6) definujú imaginárnu elipsu, t.j. neexistujú žiadne priesečníky roviny z=h s daným hyperboloidom.

Veličiny a, b a c sa nazývajú poloosi dvojvrstvového hyperboloidu.

4. Eliptický paraboloid.

Eliptický paraboloid je plocha, ktorá je v niektorom pravouhlom súradnicovom systéme definovaná rovnicou

(7)

kde p>0 a q>0.

Rovnica (7) sa nazýva kanonická rovnica eliptického paraboloidu.

Uvažujme rezy daného povrchu súradnicovými rovinami Oxy a Oyz. Získame rovnice

A

z čoho vyplýva, že v rezoch sa získajú paraboly symetrické okolo osi Oz s vrcholmi v počiatku. (8)

z čoho vyplýva, že pre . Keď sa h zvyšuje, zväčšujú sa aj a a b; pre h=0 elipsa degeneruje do bodu (rovina z=0 sa dotýka daného hyperboloidu). Pre h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Uvažované rezy teda umožňujú zobraziť eliptický paraboloid vo forme nekonečne konvexnej misy.

Bod (0;0;0) sa nazýva vrchol paraboloidu; čísla p a q sú jeho parametre.

V prípade p=q rovnica (8) definuje kružnicu so stredom na osi Oz, t.j. Na eliptický paraboloid sa môžeme pozerať ako na plochu vytvorenú rotáciou paraboly okolo jej osi (rotačný paraboloid).

5. Hyperbolický paraboloid.

Hyperbolický paraboloid je plocha, ktorá je v niektorom pravouhlom súradnicovom systéme definovaná rovnicou

(9)

S tým rozdielom, že namiesto „plochých“ grafov zvážime najbežnejšie priestorové povrchy a tiež sa naučíme, ako ich správne zostaviť ručne. Dlho som hľadal softvérové ​​nástroje na vytváranie 3D výkresov a našiel som pár dobrých aplikácií, no napriek všetkej jednoduchosti použitia tieto programy neriešia dobre dôležitý praktický problém. Faktom je, že v dohľadnej historickej budúcnosti budú študenti stále vyzbrojení pravítkom s ceruzkou a aj keď majú kvalitnú „strojovú“ kresbu, mnohí ju nedokážu správne preniesť na kockovaný papier. Preto je v návode na cvičenie venovaná zvláštna pozornosť technike ručnej stavby a značnú časť ilustrácií na stránke tvorí handmade výrobok.

Ako sa tento referenčný materiál líši od analógov?

Vďaka slušným praktickým skúsenostiam veľmi dobre viem, ktoré povrchy sa najčastejšie riešia v reálnych úlohách vyššej matematiky a dúfam, že vám tento článok pomôže rýchlo doplniť batožinu o relevantné vedomosti a aplikované zručnosti, čo sú 90-95 % prípadov by malo stačiť.

Čo potrebujete vedieť práve teraz?

Najzákladnejšie:

Po prvé, musíte byť schopní stavať správne priestorový karteziánsky súradnicový systém (pozri začiatok článku Grafy a vlastnosti funkcií) .

Čo získate po prečítaní tohto článku?

Fľaša Po zvládnutí materiálov lekcie sa naučíte, ako rýchlo určiť typ povrchu podľa jeho funkcie a / alebo rovnice, predstaviť si, ako sa nachádza v priestore, a samozrejme kresliť. Je v poriadku, ak sa vám nezmestí všetko do hlavy už od 1. prečítania – k akémukoľvek odseku sa môžete neskôr vrátiť podľa potreby.

Informácie sú v moci každého – na ich rozvoj nepotrebujete žiadne supervedomosti, špeciálne umelecké nadanie a priestorové videnie.

Začíname!

V praxi sa zvyčajne udáva priestorová plocha funkcia dvoch premenných alebo rovnica tvaru (konštanta pravej strany je najčastejšie nula alebo jedna). Prvé označenie je typickejšie pre matematickú analýzu, druhé - pre analytická geometria. Rovnica v podstate znie implicitne dané funkcia 2 premenných, ktoré sa v typických prípadoch dajú ľahko zredukovať na tvar . Pripomínam vám najjednoduchší príklad c:

–rovinná rovnica milý.

je funkcia roviny v výslovne .

Začnime s tým:

Bežné rovinné rovnice

Typické možnosti usporiadania rovín v pravouhlom súradnicovom systéme sú podrobne diskutované na samom začiatku článku. Rovinná rovnica. Napriek tomu sa ešte raz zastavíme pri rovniciach, ktoré majú pre prax veľký význam.

Najprv musíte plne rozpoznať rovnice rovín, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými rovinami. Úlomky rovín sú štandardne zobrazené ako obdĺžniky, ktoré v posledných dvoch prípadoch vyzerajú ako rovnobežníky. V predvolenom nastavení si môžete vybrať ľubovoľné rozmery (samozrejme v rozumných medziach), pričom je žiaduce, aby bod, v ktorom súradnicová os „prepichne“ rovinu, bol stredom symetrie:


Presne povedané, súradnicové osi mali byť na niektorých miestach znázornené bodkovanou čiarou, ale aby sme sa vyhli nejasnostiam, túto nuanciu zanedbáme.

– (ľavý výkres) nerovnosť vymedzuje polpriestor, ktorý je od nás najďalej, s vylúčením samotnej roviny;

– (stredná kresba) nerovnosť vymedzuje pravý polpriestor vrátane roviny ;

– (pravá kresba) dvojitá nerovnosť určuje "vrstvu" umiestnenú medzi rovinami vrátane oboch rovín.

Pre vlastné cvičenie:

Príklad 1

Nakreslite teleso ohraničené rovinami
Zostavte sústavu nerovností, ktoré definujú dané teleso.

Spod olova vašej ceruzky by malo vyjsť staré známe kváder. Nezabudnite, že neviditeľné okraje a plochy musia byť nakreslené bodkovanou čiarou. Dokončené kreslenie na konci lekcie.

prosím, NEZANEDBAJTE učebné úlohy, aj keď sa zdajú príliš jednoduché. V opačnom prípade sa môže ukázať, že im to ušlo raz, dvakrát a potom hodinu brúsili trojrozmernú kresbu na nejakom reálnom príklade. Mechanická práca navyše pomôže naučiť sa látku oveľa efektívnejšie a rozvíjať inteligenciu! Nie je náhoda, že v škôlke a na základnej škole sú deti zaťažené kreslením, modelovaním, dizajnérmi a inými úlohami na jemnú motoriku prstov. Prepáčte mi odbočku, ale moje dva zošity z vývinovej psychológie by nemali zmiznúť =)

Nasledujúca skupina rovín sa bude bežne nazývať "priame úmery" - sú to roviny prechádzajúce súradnicovými osami:

2) rovnica tvaru definuje rovinu prechádzajúcu osou;

3) rovnica tvaru definuje rovinu prechádzajúcu osou.

Aj keď formálny znak je zrejmý (ktorá premenná v rovnici chýba - rovina prechádza touto osou), je vždy užitočné pochopiť podstatu udalostí, ktoré sa dejú:

Príklad 2

Zostavte lietadlo

Aký je najlepší spôsob stavania? Navrhujem nasledujúci algoritmus:

Najprv rovnicu prepíšeme do tvaru , z čoho je jasne vidieť, že „y“ môže nadobudnúť akýkoľvek hodnoty. Opravíme hodnotu , to znamená, že budeme brať do úvahy rovinu súradníc . Rovnice nastavené priestorová čiara ležiace v danej súradnicovej rovine. Nakreslíme túto čiaru na výkres. Čiara prechádza počiatkom, takže na jej zostrojenie stačí nájsť jeden bod. Nechať byť. Odložte bod a nakreslite čiaru.

Teraz späť k rovinnej rovnici. Vzhľadom k tomu, "y" trvá akýkoľvek hodnoty, potom sa priamka vytvorená v rovine nepretržite „replikuje“ doľava a doprava. Takto vzniká naša rovina prechádzajúca osou. Na dokončenie výkresu vľavo a vpravo od priamky odložíme dve rovnobežné čiary a „uzatvoríme“ symbolický rovnobežník s priečnymi horizontálnymi segmentmi:

Keďže táto podmienka nekladla ďalšie obmedzenia, fragment roviny mohol byť znázornený o niečo menší alebo o niečo väčší.

Ešte raz si zopakujeme význam priestorovej lineárnej nerovnosti na príklade. Ako určiť polovičný priestor, ktorý definuje? Vezmime si bod nevlastní rovine, napríklad bod z polpriestoru najbližšie k nám a jeho súradnice dosadíme do nerovnosti:

Prijaté správna nerovnosť, čo znamená, že nerovnosť vymedzuje spodný (vzhľadom na rovinu ) polpriestor, pričom samotná rovina nie je zahrnutá do riešenia.

Príklad 3

Stavať lietadlá
a) ;
b) .

Toto sú úlohy na vlastnú konštrukciu, v prípade ťažkostí použite podobné uvažovanie. Stručné pokyny a nákresy na konci hodiny.

V praxi sú bežné najmä roviny rovnobežné s osou. Špeciálny prípad, keď rovina prechádza osou, bol práve v odseku „b“ a teraz budeme analyzovať všeobecnejší problém:

Príklad 4

Zostavte lietadlo

Riešenie: premenná "z" sa explicitne nezúčastňuje rovnice, čo znamená, že rovina je rovnobežná s osou aplikácie. Použime rovnakú techniku ​​ako v predchádzajúcich príkladoch.

Prepíšme rovinnú rovnicu do tvaru z čoho je zrejmé, že „Z“ môže brať akýkoľvek hodnoty. Opravme to a v "natívnej" rovine nakreslite obvyklú "plochú" priamku. Na jej stavbu je vhodné vziať referenčné body.

Keďže "Z" trvá všetky hodnoty, potom sa zostrojená priamka plynule "násobí" hore a dole, čím vytvára požadovanú rovinu . Opatrne zostavte rovnobežník primeranej veľkosti:

Pripravený.

Rovnica roviny v segmentoch

Najdôležitejšia aplikovaná odroda. Ak všetky kurzov všeobecná rovnica roviny odlišný od nuly, potom môže byť reprezentovaný ako , ktorá sa volá rovinná rovnica v segmentoch. Je zrejmé, že rovina pretína súradnicové osi v bodoch a veľkou výhodou takejto rovnice je jednoduchosť kreslenia:

Príklad 5

Zostavte lietadlo

Riešenie: najprv zostavíme rovnicu roviny v segmentoch. Hoďte voľný termín doprava a vydeľte obe časti 12:

Nie, toto nie je preklep a všetky veci sa dejú vo vesmíre! Navrhovaný povrch skúmame rovnakou metódou, ktorá bola nedávno použitá pre lietadlá. Rovnicu prepíšeme do tvaru , z ktorého vyplýva, že „Z“ preberá akýkoľvek hodnoty. V rovine zafixujeme a zostrojíme elipsu. Keďže "Z" trvá všetky hodnoty, potom sa zostrojená elipsa priebežne „replikuje“ hore a dole. Je ľahké pochopiť, že povrch nekonečné:

Tento povrch je tzv eliptický valec. Volá sa elipsa (v akejkoľvek výške). sprievodca valec a nazývajú sa rovnobežné čiary prechádzajúce každým bodom elipsy generovanie valec (ktoré ho doslova tvoria). os je os symetrie povrch (ale nie jeho časť!).

Súradnice akéhokoľvek bodu prislúchajúceho danému povrchu nevyhnutne vyhovujú rovnici .

Priestorový nerovnosť definuje "vnútro" nekonečnej "potrubia", vrátane samotného valcového povrchu, a teda opačná nerovnosť definuje množinu bodov mimo valca.

V praktických problémoch je najobľúbenejší prípad kedy sprievodca valec je kruh:

Príklad 8

Zostrojte povrch daný rovnicou

Nie je možné zobraziť nekonečnú „rúru“, preto sa umenie obmedzuje spravidla na „rezanie“.

Najprv je vhodné postaviť kruh s polomerom v rovine a potom niekoľko ďalších kruhov nad a pod. Výsledné kruhy ( sprievodcov valec) úhľadne spojené štyrmi rovnobežnými priamkami ( generovanie valec):

Nezabudnite použiť bodkované čiary pre neviditeľné čiary.

Súradnice ľubovoľného bodu patriaceho do daného valca vyhovujú rovnici . Súradnice akéhokoľvek bodu ležiaceho striktne vo vnútri "rúry" vyhovujú nerovnosti a nerovnosť definuje množinu bodov vonkajšej časti. Pre lepšie pochopenie odporúčam zvážiť niekoľko konkrétnych bodov v priestore a presvedčiť sa na vlastné oči.

Príklad 9

Zostrojte povrch a nájdite jeho priemet do roviny

Rovnicu prepíšeme do tvaru z čoho vyplýva, že „x“ berie akýkoľvek hodnoty. Opravíme a nakreslíme v rovine kruh– vycentrovaný v počiatku, polomer jednotky. Keďže „x“ trvá nepretržite všetky hodnoty, potom zostrojený kruh vygeneruje kruhový valec s osou symetrie . Nakreslite ďalší kruh sprievodca valec) a opatrne ich spojte rovnými čiarami ( generovanie valec). Na niektorých miestach sa ukázali prekrytia, ale čo robiť, taký sklon:

Tentokrát som sa obmedzil na kúsok valca v medzere a nie je to náhodné. V praxi je často potrebné zobraziť len malý fragment povrchu.

Tu sa mimochodom ukázalo 6 generátorov - dve ďalšie priame čiary "uzavrú" povrch z ľavého horného a pravého dolného rohu.

Teraz sa poďme zaoberať priemetom valca do roviny. Mnohí čitatelia chápu, čo je to projekcia, ale napriek tomu strávme ďalších päť minút telesnej výchovy. Postavte sa a nakloňte hlavu nad kresbu tak, aby špička osi vyzerala kolmo na vaše čelo. Ako valec vyzerá z tohto uhla je jeho priemet do roviny. Ale zdá sa, že je to nekonečný pás, uzavretý medzi rovnými čiarami, vrátane samotných priamych čiar. Táto projekcia je presne taká doména funkcie (horný "žľab" valca), (spodný "žľab").

Mimochodom, vyjasnime si situáciu s projekciami do iných súradnicových rovín. Nechajte lúče slnka svietiť na valec zo strany hrotu a pozdĺž osi. Tieň (priemet) valca do roviny je podobný nekonečný pás - časť roviny ohraničená priamkami ( - ľubovoľná), vrátane samotných priamok.

Ale projekcia v lietadle je trochu iná. Ak sa pozriete na valec z vrcholu osi, potom sa premieta do kruhu s jednotkovým polomerom s ktorým sme stavbu začali.

Príklad 10

Zostrojte povrch a nájdite jeho projekcie v súradnicových rovinách

Toto je úloha pre nezávislé rozhodnutie. Ak podmienka nie je veľmi jasná, urovnajte obe strany a analyzujte výsledok; zistite presne, akú časť valca funkcia špecifikuje. Použite konštrukčnú techniku, ktorá bola opakovane použitá vyššie. Stručné riešenie, kresba a komentár na konci hodiny.

Eliptické a iné valcové plochy môžu byť posunuté vzhľadom na súradnicové osi, napríklad:

(na známom základe článku o Riadky 2. rádu) - valec jednotkového polomeru s priamkou súmernosti prechádzajúcou bodom rovnobežným s osou. V praxi sa však takéto valce vyskytujú pomerne zriedkavo a je absolútne neuveriteľné stretnúť sa s valcovou plochou „šikmou“ vzhľadom na súradnicové osi.

Parabolické valce

Ako už názov napovedá, sprievodca taký valec je parabola.

Príklad 11

Zostrojte povrch a nájdite jeho priemet v súradnicových rovinách.

Tomuto príkladu sa nedalo odolať =)

Riešenie: Ideme po vyšliapanej ceste. Prepíšme rovnicu do tvaru , z čoho vyplýva, že „Z“ môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu. Zafixujme a zostrojme obyčajnú parabolu na rovine s predtým označenými triviálnymi referenčnými bodmi. Keďže "Z" trvá všetky hodnoty, potom sa zostrojená parabola kontinuálne „replikuje“ hore a dole do nekonečna. Odložíme rovnakú parabolu, povedzme, vo výške (v rovine) a opatrne ich spojíme rovnobežnými čiarami ( generátory valca):

pripomínam užitočná technika: ak spočiatku neexistuje žiadna dôvera v kvalitu kresby, potom je lepšie najprv nakresliť čiary tenko a tenko ceruzkou. Potom zhodnotíme kvalitu skice, zistíme oblasti, kde je povrch skrytý našim očiam a až potom zatlačíme na stylus.

Projekcie.

1) Priemet valca do roviny je parabola. Treba poznamenať, že v tomto prípade nie je možné hovoriť obory funkcie dvoch premenných- z toho dôvodu, že rovnica valca nie je redukovateľná na funkčný tvar.

2) Priemet valca do roviny je polrovina vrátane osi

3) A nakoniec, premietanie valca do roviny je celá rovina.

Príklad 12

Zostrojte parabolické valce:

a) obmedzíme sa na fragment povrchu v takmer polovičnom priestore;

b) medzi tým

V prípade ťažkostí sa neponáhľame a argumentujeme analogicky s predchádzajúcimi príkladmi, našťastie je technológia dôkladne prepracovaná. Nie je kritické, ak sa povrchy ukážu ako trochu nemotorné - je dôležité správne zobraziť základný obrázok. Ja sám sa s krásou línií zvlášť nezaoberám, ak dostanem znesiteľnú kresbu „C grade“, zvyčajne to neprerobím. Vo vzorovom riešení bola mimochodom použitá ešte jedna technika na zlepšenie kvality kresby ;-)

Hyperbolické valce

sprievodcov takéto valce sú hyperboly. Tento typ povrchu je podľa mojich pozorovaní oveľa zriedkavejší ako predchádzajúce typy, preto sa obmedzím na jediný schematický nákres hyperbolického valca:

Princíp uvažovania je tu úplne rovnaký - obvyklý školská hyperbola z roviny sa plynule "rozmnožuje" hore a dole do nekonečna.

Uvažované valce patria medzi tzv povrchy 2. rádu a teraz sa budeme aj naďalej zoznamovať s ďalšími predstaviteľmi tejto skupiny:

elipsoidný. Guľa a lopta

Kanonická rovnica elipsoidu v pravouhlom súradnicovom systéme má tvar , kde sú kladné čísla ( nápravové hriadele elipsoid), čo je vo všeobecnom prípade rôzne. Elipsoid sa nazýva povrch a telo ohraničený týmto povrchom. Telo, ako mnohí uhádli, je dané nerovnosťou a súradnice akéhokoľvek vnútorného bodu (ako aj akéhokoľvek povrchového bodu) nevyhnutne spĺňajú túto nerovnosť. Návrh je symetrický vzhľadom na súradnicové osi a súradnicové roviny:

Pôvod pojmu „elipsoid“ je tiež zrejmý: ak je povrch „rozrezaný“ súradnicovými rovinami, potom v sekciách budú tri rôzne (vo všeobecnom prípade)