Dôležité poznámky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte abrakadabra, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátorovi, ktorý vám poskytne najužitočnejší zdroj

Často počujeme túto nepríjemnú frázu: "zjednodušiť výraz." Zvyčajne v tomto prípade máme nejaké monštrum, ako je toto:

"Áno, oveľa jednoduchšie," hovoríme, ale takáto odpoveď zvyčajne nefunguje.

Teraz vás naučím nebáť sa žiadnych takýchto úloh.

Navyše si tento príklad na konci hodiny sám zjednodušíte na (len!) obyčajné číslo (áno, do čerta s tými písmenami).

Ale predtým, ako začnete túto lekciu, musíte byť schopní zaoberať sa zlomkami A faktorizujte polynómy.

Preto, ak ste to ešte neurobili, nezabudnite ovládať témy "" a "".

Čítať? Ak áno, ste pripravení.

Poďme! (Poďme!)

Základné operácie na zjednodušenie výrazov

Teraz budeme analyzovať hlavné techniky, ktoré sa používajú na zjednodušenie výrazov.

Najjednoduchší z nich je

1. Prinášanie podobného

Čo sú podobné? Prešli ste si tým v 7. ročníku, keď sa v matematike namiesto číslic prvýkrát objavili písmená.

Podobný sú termíny (monómy) s rovnakou písmenovou časťou.

Napríklad v súčte sú podobné výrazy a.

Pamätáte si?

Prineste podobné- znamená pridať niekoľko podobných výrazov medzi sebou a získať jeden výraz.

Ale ako môžeme poskladať písmená? - pýtaš sa.

To je veľmi ľahké pochopiť, ak si predstavíte, že písmená sú nejaké predmety.

Napríklad list je stolička. Aký je potom výraz?

Dve stoličky plus tri stoličky, koľko to bude? Presne tak, stoličky: .

Teraz skúste tento výraz:

Aby ste sa neplietli, nech rôzne písmená označujú rôzne predmety.

Napríklad - toto je (ako obvykle) stolička a - toto je stôl.

stoličky stoly stoličky stoly stoličky stoličky stoly

Čísla, ktorými sa písmená v takýchto pojmoch násobia, sa nazývajú koeficienty.

Napríklad v monomiáli je koeficient rovnaký. A je rovnocenný.

Takže pravidlo pre prinesenie podobného:

Príklady:

Prineste podobné:

odpovede:

2. (a sú podobné, pretože tieto výrazy majú preto rovnakú časť písmena).

2. Faktorizácia

To je zvyčajne najdôležitejšia časť pri zjednodušovaní výrazov.

Potom, čo ste dali podobné, je najčastejšie potrebný výsledný výraz faktorizovať, teda predstavovať ako produkt.

Hlavne toto dôležité v zlomkoch: pretože s cieľom znížiť zlomok, čitateľ a menovateľ musia byť vyjadrené ako súčin.

Prešli ste si podrobnými metódami faktoringu výrazov v téme "", takže si tu stačí zapamätať, čo ste sa naučili.

Ak to chcete urobiť, vyriešte niekoľko príkladov (treba faktorizovať)

Príklady:

Riešenia:

3. Zníženie frakcií.

Nuž, čo môže byť krajšie, ako prečiarknuť časť čitateľa a menovateľa a vyhodiť ich zo svojho života?

V tom je krása skratky.

Je to jednoduché:

Ak čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké faktory, môžu sa znížiť, to znamená odstrániť zo zlomku.

Toto pravidlo vyplýva zo základnej vlastnosti zlomku:

To znamená, že podstatou operácie redukcie je to Čitateľ a menovateľ zlomku delíme rovnakým číslom (alebo rovnakým výrazom).

Ak chcete znížiť zlomok, potrebujete:

1) čitateľ a menovateľ faktorizovať

2) ak čitateľ a menovateľ obsahuje spoločné faktory, môžu byť vymazané.

Príklady:

Myslím, že princíp je jasný?

Chcel by som upozorniť na jednu typickú chybu v skratke. Aj keď je táto téma jednoduchá, veľa ľudí robí všetko zle, pričom si to neuvedomujú rezať- to znamená rozdeliťčitateľa a menovateľa rovnakým číslom.

Žiadne skratky, ak je čitateľ alebo menovateľ súčet.

Napríklad: musíte zjednodušiť.

Niektorí to robia: čo je absolútne nesprávne.

Ďalší príklad: znížiť.

Tí "najmúdrejší" urobia toto:

Povedz mi, čo sa tu deje? Zdalo by sa: - toto je multiplikátor, takže môžete znížiť.

Ale nie: - toto je faktor iba jedného člena v čitateli, ale samotný čitateľ ako celok sa na faktory nerozkladá.

Tu je ďalší príklad: .

Tento výraz je rozložený na faktory, čo znamená, že môžete znížiť, to znamená rozdeliť čitateľa a menovateľa a potom:

Môžete okamžite rozdeliť podľa:

Aby ste sa vyhli takýmto chybám, zapamätajte si jednoduchý spôsob, ako určiť, či je výraz zohľadnený:

Aritmetická operácia, ktorá sa pri výpočte hodnoty výrazu vykoná ako posledná, je „hlavná“.

To znamená, že ak namiesto písmen dosadíte nejaké (akékoľvek) čísla a pokúsite sa vypočítať hodnotu výrazu, potom ak je poslednou akciou násobenie, máme súčin (výraz sa rozloží na faktory).

Ak je poslednou akciou sčítanie alebo odčítanie, znamená to, že výraz nie je faktorizovaný (a preto ho nemožno zmenšiť).

Ak to chcete opraviť sami, niekoľko príkladov:

Príklady:

Riešenia:

4. Sčítanie a odčítanie zlomkov. Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov je známa operácia: hľadáme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a sčítame/odčítame čitateľa.

Pripomeňme si:

odpovede:

1. Menovatelia a sú coprime, to znamená, že nemajú spoločné faktory. Preto sa LCM týchto čísel rovná ich súčinu. Toto bude spoločný menovateľ:

2. Tu je spoločný menovateľ:

3. Tu najskôr zmeníme zmiešané frakcie na nesprávne a potom - podľa obvyklej schémy:

Iná vec je, ak zlomky obsahujú písmená, napríklad:

Začnime jednoducho:

a) Menovatele neobsahujú písmená

Tu je všetko rovnaké ako pri bežných číselných zlomkoch: nájdeme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a pripočítame / odčítame čitateľa:

teraz v čitateli môžete priniesť podobné, ak nejaké existujú, a rozpočítať ich:

Vyskúšajte sami:

odpovede:

b) Menovateľ obsahuje písmená

Pripomeňme si princíp hľadania spoločného menovateľa bez písmen:

Najprv určíme spoločné faktory;

Potom raz vypíšeme všetky spoločné faktory;

a vynásobte ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.

Aby sme určili spoločné faktory menovateľov, najprv ich rozložíme na jednoduché faktory:

Zdôrazňujeme spoločné faktory:

Teraz raz vypíšeme spoločné faktory a pridáme k nim všetky nie spoločné (nepodčiarknuté) faktory:

Toto je spoločný menovateľ.

Vráťme sa k písmenám. Menovatelia sa uvádzajú presne rovnakým spôsobom:

Menovateľov rozložíme na faktory;

určiť spoločné (identické) multiplikátory;

raz zapíšte všetky spoločné faktory;

Násobíme ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.

Takže v poradí:

1) rozložte menovateľov na faktory:

2) určiť spoločné (identické) faktory:

3) napíšte všetky spoločné faktory raz a vynásobte ich všetkými ostatnými (nepodčiarknutými) faktormi:

Takže spoločný menovateľ je tu. Prvý zlomok sa musí vynásobiť, druhý -:

Mimochodom, existuje jeden trik:

Napríklad: .

V menovateľoch vidíme rovnaké faktory, len všetky majú iné ukazovatele. Spoločným menovateľom bude:

do tej miery

do tej miery

do tej miery

v stupni.

Skomplikujme si úlohu:

Ako dosiahnuť, aby zlomky mali rovnakého menovateľa?

Pripomeňme si základnú vlastnosť zlomku:

Nikde nie je povedané, že od čitateľa a menovateľa zlomku možno odčítať (alebo sčítať) rovnaké číslo. Pretože to nie je pravda!

Presvedčte sa sami: vezmite si napríklad ľubovoľný zlomok a do čitateľa a menovateľa pridajte nejaké číslo, napríklad . Čo sa naučilo?

Takže ďalšie neotrasiteľné pravidlo:

Keď privediete zlomky k spoločnému menovateľovi, použite iba operáciu násobenia!

Čo však potrebujete znásobiť, aby ste získali?

Tu a množte sa. A vynásobte:

Výrazy, ktoré nemožno faktorizovať, budeme nazývať „elementárne faktory“.

Napríklad je to elementárny faktor. - tiež. Ale - nie: rozkladá sa na faktory.

A čo vyjadrovanie? Je to elementárne?

Nie, pretože to môže byť faktorizované:

(o faktorizácii ste už čítali v téme "").

Takže elementárne faktory, na ktoré rozložíte výraz s písmenami, sú analógiou jednoduchých faktorov, na ktoré rozložíte čísla. A to isté urobíme s nimi.

Vidíme, že oba menovatele majú faktor. Bude to mať spoločného menovateľa v moci (pamätáte prečo?).

Násobiteľ je elementárny a nemajú ho spoločný, čo znamená, že prvý zlomok sa ním bude musieť jednoducho vynásobiť:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Pred vynásobením týchto menovateľov v panike musíte premýšľať o tom, ako ich faktorizovať? Obaja predstavujú:

Dobre! potom:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Ako obvykle delíme menovateľov na faktor. V prvom menovateli ho jednoducho vysunieme zo zátvoriek; v druhom - rozdiel štvorcov:

Zdalo by sa, že neexistujú žiadne spoločné faktory. Ale keď sa pozriete pozorne, už sú si také podobné ... A pravdou je:

Tak si napíšme:

To znamená, že to dopadlo takto: vo vnútri zátvorky sme prehodili pojmy a zároveň sa znamienko pred zlomkom zmenilo na opak. Berte na vedomie, že to budete musieť robiť často.

Teraz sa dostávame k spoločnému menovateľovi:

Mám to? Teraz to skontrolujeme.

Úlohy na samostatné riešenie:

odpovede:

5. Násobenie a delenie zlomkov.

No, to najťažšie je už za nami. A pred nami je to najjednoduchšie, ale zároveň najdôležitejšie:

Postup

Aký je postup pri výpočte číselného výrazu? Pamätajte, že vzhľadom na hodnotu takéhoto výrazu:

Počítal si?

Malo by to fungovať.

Takže pripomínam.

Prvým krokom je výpočet stupňa.

Druhým je násobenie a delenie. Ak existuje niekoľko násobení a delení súčasne, môžete ich vykonať v ľubovoľnom poradí.

A nakoniec vykonáme sčítanie a odčítanie. Opäť v akomkoľvek poradí.

Ale: výraz v zátvorkách je vyhodnotený mimo poradia!

Ak sa vynásobí alebo vydelí niekoľko zátvoriek, najprv vyhodnotíme výraz v každej zo zátvoriek a potom ich vynásobíme alebo rozdelíme.

Čo ak sú v zátvorkách ďalšie zátvorky? No, zamyslime sa: nejaký výraz je napísaný v zátvorkách. Čo treba urobiť ako prvé pri hodnotení výrazu? Správne, vypočítajte zátvorky. No, prišli sme na to: najprv vypočítame vnútorné zátvorky, potom všetko ostatné.

Poradie akcií pre vyššie uvedený výraz je teda nasledovné (aktuálna akcia je zvýraznená červenou farbou, teda akcia, ktorú práve vykonávam):

Dobre, všetko je jednoduché.

Ale to nie je to isté ako výraz s písmenami, však?

Nie, je to to isté! Iba namiesto aritmetických operácií je potrebné robiť algebraické operácie, to znamená operácie opísané v predchádzajúcej časti: prinášajúce podobné, pridávanie zlomkov, zmenšovanie zlomkov atď. Jediným rozdielom bude pôsobenie faktoringových polynómov (často ho používame pri práci so zlomkami). Najčastejšie pri faktorizácii musíte použiť i alebo jednoducho vyňať spoločný faktor zo zátvoriek.

Zvyčajne je naším cieľom reprezentovať výraz ako produkt alebo kvocient.

Napríklad:

Zjednodušme výraz.

1) Najprv zjednodušíme výraz v zátvorkách. Tam máme rozdiel zlomkov a naším cieľom je reprezentovať ho ako súčin alebo kvocient. Zlomky teda privedieme k spoločnému menovateľovi a pridáme:

Nie je možné tento výraz ďalej zjednodušiť, všetky faktory sú tu elementárne (pamätáte si ešte, čo to znamená?).

2) Dostávame:

Násobenie zlomkov: čo môže byť jednoduchšie.

3) Teraz môžete skrátiť:

No to je všetko. Nič zložité, však?

Ďalší príklad:

Zjednodušte výraz.

Najprv to skúste vyriešiť sami a až potom sa pozrite na riešenie.

Riešenie:

V prvom rade si definujme postup.

Najprv pridajme zlomky v zátvorkách, namiesto dvoch zlomkov nám vyjde jeden.

Potom urobíme delenie zlomkov. No a výsledok sčítame s posledným zlomkom.

Schematicky očíslujem kroky:

Na záver vám dám dva užitočné tipy:

1. Ak sú tam podobné, treba ich ihneď priniesť. V každom okamihu, keď máme podobné, je vhodné ich ihneď priniesť.

2. To isté platí pre redukciu zlomkov: akonáhle sa naskytne príležitosť na redukciu, treba ju využiť. Výnimkou sú zlomky, ktoré sčítate alebo odčítate: ak majú teraz rovnakých menovateľov, zníženie by sa malo ponechať na neskôr.

Tu je niekoľko úloh, ktoré musíte vyriešiť sami:

A hneď na začiatku sľúbil:

odpovede:

Riešenia (stručne):

Ak ste sa vyrovnali aspoň s prvými tromi príkladmi, potom, považujte, ste tému zvládli.

Teraz k učeniu!

KONVERZIA VÝRAZOV. SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

Základné zjednodušujúce operácie:

• Prinášať podobné: ak chcete pridať (zmenšiť) podobné výrazy, musíte pridať ich koeficienty a priradiť časť písmena.
• Faktorizácia: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek, uplatnenie atď.
• Zníženie frakcií: čitateľa a menovateľa zlomku možno násobiť alebo deliť rovnakým nenulovým číslom, od ktorého sa hodnota zlomku nemení.
  1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
  2) ak sú v čitateli a menovateli spoločné faktory, možno ich prečiarknuť.

  DÔLEŽITÉ: Znížiť možno iba násobiteľov!

• Sčítanie a odčítanie zlomkov:
  ;
• Násobenie a delenie zlomkov:
  ;

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné zloženie skúšky, za prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.

Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? Neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?

VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.

Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.

Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.

Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.

Aby ste s pomocou našich úloh mohli pomôcť, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 499 rubľov

Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestaňte s teóriou.

„Rozumiem“ a „Viem, ako vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Dodatok

Riešenie akéhokoľvek typu rovníc online na stránke na konsolidáciu preštudovaného materiálu študentmi a školákmi. Riešenie rovníc online. Rovnice online. Existujú algebraické, parametrické, transcendentálne, funkcionálne, diferenciálne a iné typy rovníc. Niektoré triedy rovníc majú analytické riešenia, ktoré sú vhodné v tom, že poskytujú nielen presnú hodnotu koreňa, ale umožňujú zapísať riešenie do formu vzorca, ktorý môže obsahovať parametre. Analytické výrazy umožňujú nielen vypočítať korene, ale analyzovať ich existenciu a ich počet v závislosti od hodnôt parametrov, čo je pre praktické použitie často ešte dôležitejšie ako konkrétne hodnoty koreňov. Riešenie rovníc online.Rovnice online. Úlohou riešenia rovnice je nájsť také hodnoty argumentov, pre ktoré je táto rovnosť dosiahnutá. Na možné hodnoty argumentov možno uložiť ďalšie podmienky (celé číslo, skutočné atď.). Riešenie rovníc online.Rovnice online. Rovnicu môžete vyriešiť online okamžite a s vysokou presnosťou výsledku. Argumenty daných funkcií (niekedy nazývané „premenné“) v prípade rovnice sa nazývajú „neznáme“. Hodnoty neznámych, pre ktoré je táto rovnosť dosiahnutá, sa nazývajú riešenia alebo korene danej rovnice. Hovorí sa, že korene spĺňajú danú rovnicu. Riešiť rovnicu online znamená nájsť množinu všetkých jej riešení (korene) alebo dokázať, že žiadne korene neexistujú. Riešenie rovníc online.Rovnice online. Ekvivalent alebo ekvivalent sa nazývajú rovnice, ktorých množiny koreňov sa zhodujú. Za ekvivalent sa považujú aj rovnice, ktoré nemajú korene. Ekvivalencia rovníc má vlastnosť symetrie: ak je jedna rovnica ekvivalentná inej, potom je druhá rovnica ekvivalentná prvej. Ekvivalencia rovníc má vlastnosť tranzitivity: ak je jedna rovnica ekvivalentná druhej a druhá je ekvivalentná tretej, potom je prvá rovnica ekvivalentná tretej. Vlastnosť ekvivalencie rovníc umožňuje vykonávať s nimi transformácie, na ktorých sú založené metódy ich riešenia. Riešenie rovníc online.Rovnice online. Stránka vám umožní vyriešiť rovnicu online. Rovnice, pre ktoré sú známe analytické riešenia, zahŕňajú algebraické rovnice nie vyššie ako štvrtý stupeň: lineárnu rovnicu, kvadratickú rovnicu, kubickú rovnicu a rovnicu štvrtého stupňa. Algebraické rovnice vyšších stupňov vo všeobecnosti nemajú analytické riešenie, hoci niektoré z nich možno redukovať na rovnice nižších stupňov. Rovnice, ktoré zahŕňajú transcendentálne funkcie, sa nazývajú transcendentálne. Medzi nimi sú známe analytické riešenia pre niektoré goniometrické rovnice, pretože nuly goniometrických funkcií sú dobre známe. Vo všeobecnom prípade, keď nie je možné nájsť analytické riešenie, sa používajú numerické metódy. Numerické metódy nedávajú presné riešenie, ale umožňujú iba zúžiť interval, v ktorom leží koreň, na určitú vopred určenú hodnotu. Riešenie rovníc online.. Online rovnice.. Namiesto online rovnice si predstavíme, ako ten istý výraz tvorí lineárnu závislosť a to nielen pozdĺž priamej dotyčnice, ale aj v samotnom inflexnom bode grafu. Táto metóda je pri štúdiu predmetu vždy nevyhnutná. Často sa stáva, že riešenie rovníc sa pomocou nekonečných čísel a zapisovacích vektorov približuje ku konečnej hodnote. Je potrebné skontrolovať počiatočné údaje a to je podstatou úlohy. V opačnom prípade sa lokálna podmienka prevedie na vzorec. Inverzia priamej čiary danej funkcie, ktorú kalkulačka rovníc vypočíta bez veľkého oneskorenia pri vykonávaní, bude kompenzovaná výsadou priestoru. Pôjde o výkon študentov vo vedeckom prostredí. Rovnako ako všetko vyššie uvedené nám však pomôže v procese hľadania, a keď rovnicu úplne vyriešite, výslednú odpoveď uložte na koncoch úsečky. Čiary v priestore sa pretínajú v bode a tento bod sa nazýva pretínaný čiarami. Interval na linke je označený tak, ako bolo uvedené vyššie. Najvyšší príspevok o štúdiu matematiky bude zverejnený. Priradenie hodnoty argumentu z parametricky definovaného povrchu a riešenie rovnice online bude môcť naznačiť princípy volania produktívnej funkcie. Möbiov pás, alebo ako sa tomu hovorí nekonečno, vyzerá ako osmička. Toto je jednostranný povrch, nie obojstranný. Podľa všetkým dobre známeho princípu budeme objektívne akceptovať lineárne rovnice ako základné označenie také, aké sú v študijnom odbore. Iba dve hodnoty za sebou daných argumentov dokážu odhaliť smer vektora. Predpokladať, že iné riešenie online rovníc je oveľa viac než len jeho riešenie, znamená získať na výstupe plnohodnotnú verziu invariantu. Bez integrovaného prístupu je pre študentov ťažké naučiť sa tento materiál. Tak ako doteraz, pre každý špeciálny prípad naša pohodlná a inteligentná online kalkulačka rovníc pomôže každému v ťažkej chvíli, pretože stačí zadať vstupné parametre a systém sám vypočíta odpoveď. Predtým, ako začneme zadávať údaje, potrebujeme vstupný nástroj, ktorý sa dá urobiť bez väčších problémov. Číslo každého skóre odpovede bude kvadratickou rovnicou vedúcou k našim záverom, ale to nie je také ľahké, pretože je ľahké dokázať opak. Teória pre svoje zvláštnosti nie je podložená praktickými poznatkami. Vidieť zlomkovú kalkulačku vo fáze publikovania odpovede nie je v matematike ľahká úloha, pretože alternatíva zápisu čísla na množinu zvyšuje rast funkcie. Bolo by však nesprávne nehovoriť nič o vzdelávaní študentov, preto povieme toľko, koľko je potrebné. Predtým nájdená kubická rovnica bude právom patriť do oblasti definície a bude obsahovať priestor číselných hodnôt, ako aj symbolických premenných. Po naučení alebo zapamätaní teorémy sa naši žiaci ukážu len z tej najlepšej stránky a budeme za nich radi. Na rozdiel od množiny priesečníkov polí sú naše online rovnice opísané rovinou pohybu pozdĺž násobenia dvoch a troch číselných kombinovaných čiar. Množina v matematike nie je jednoznačne definovaná. Najlepším riešením je podľa študentov písomný prejav doplnený do konca. Ako bolo povedané vo vedeckom jazyku, abstrakcia symbolických výrazov nie je zahrnutá do stavu vecí, ale riešenie rovníc dáva vo všetkých známych prípadoch jednoznačný výsledok. Dĺžka sedenia učiteľa závisí od potrieb v tejto ponuke. Analýza ukázala potrebu všetkých výpočtových techník v mnohých oblastiach a je úplne jasné, že kalkulačka rovníc je nepostrádateľným nástrojom v nadaných rukách študenta. Lojálny prístup k štúdiu matematiky určuje dôležitosť pohľadov rôznych smerov. Chcete určiť jednu z kľúčových viet a vyriešiť rovnicu takým spôsobom, v závislosti od odpovede, ktorej bude potrebné ďalšie použitie. Analytika v tejto oblasti naberá na obrátkach. Začnime od začiatku a odvodíme vzorec. Po prelomení úrovne zvýšenia funkcie povedie dotyčnica v inflexnom bode nevyhnutne k tomu, že riešenie rovnice online bude jedným z hlavných aspektov pri zostavovaní rovnakého grafu z argumentu funkcie. Amatérsky prístup má právo na uplatnenie, ak táto podmienka nie je v rozpore so závermi študentov. Je to práve táto čiastková úloha, ktorá posúva analýzu matematických podmienok ako lineárnych rovníc do existujúcej domény definície objektu, ktorá sa dostáva do pozadia. Odsadenie v smere ortogonality ruší výhodu osamelej absolútnej hodnoty. Modulo, riešenie rovníc online dáva rovnaký počet riešení, ak zátvorky otvoríte najskôr znamienkom plus a potom znamienkom mínus. V tomto prípade je riešení dvakrát toľko a výsledok bude presnejší. Stabilná a správna online kalkulačka rovníc je úspechom pri dosahovaní zamýšľaného cieľa v úlohe stanovenej učiteľom. Zdá sa, že je možné zvoliť potrebnú metódu vzhľadom na značné rozdiely v názoroch veľkých vedcov. Výsledná kvadratická rovnica popisuje krivku priamok, takzvanú parabolu a znamienko určí jej konvexnosť v štvorcovom súradnicovom systéme. Z rovnice získame diskriminant aj samotné korene podľa Vietovej vety. Výraz je potrebné prezentovať ako vlastný alebo nevlastný zlomok a v prvej fáze použiť zlomkovú kalkulačku. V závislosti od toho sa vytvorí plán našich ďalších výpočtov. Matematika s teoretickým prístupom je užitočná v každej fáze. Výsledok určite uvedieme ako kubickú rovnicu, pretože do tohto výrazu skryjeme jej korene, aby sme študentovi na vysokej škole zjednodušili úlohu. Akékoľvek metódy sú dobré, ak sú vhodné na povrchovú analýzu. Extra aritmetické operácie nepovedú k chybám vo výpočtoch. Určite odpoveď s danou presnosťou. Pomocou riešenia rovníc si povedzme na rovinu – nájsť nezávislú premennú danej funkcie nie je také jednoduché, najmä pri štúdiu rovnobežiek v nekonečne. Vzhľadom na výnimku je potreba veľmi zrejmá. Rozdiel v polarite je jednoznačný. Zo skúseností s výučbou v inštitútoch sa náš učiteľ naučil hlavnú lekciu, v ktorej sa rovnice študovali online v plnom matematickom zmysle. Tu išlo o vyššie úsilie a špeciálne zručnosti pri aplikácii teórie. V prospech našich záverov by sme sa nemali pozerať cez prizmu. Až donedávna sa verilo, že uzavretá množina rýchlo rastie na ploche tak, ako je, a riešenie rovníc jednoducho treba preskúmať. V prvej fáze sme nezvažovali všetky možné možnosti, ale tento prístup je opodstatnený viac ako kedykoľvek predtým. Dodatočné akcie so zátvorkami odôvodňujú určité pokroky pozdĺž osi y a úsečky, ktoré nemožno prehliadnuť voľným okom. Existuje inflexný bod v zmysle širokého proporcionálneho zvýšenia funkcie. Opäť si ukážeme, ako bude potrebná podmienka aplikovaná na celom intervale klesania tej či onej klesajúcej polohy vektora. V obmedzenom priestore vyberieme premennú z úvodného bloku nášho skriptu. Systém postavený ako základ na troch vektoroch je zodpovedný za absenciu hlavného momentu sily. Kalkulačka rovníc však odvodila a pomohla nájsť všetky členy zostrojenej rovnice, a to ako nad povrchom, tak aj pozdĺž rovnobežných čiar. Opíšme kruh okolo počiatočného bodu. Začneme sa teda pohybovať nahor pozdĺž čiar rezu a dotyčnica bude opisovať kruh po celej jeho dĺžke, výsledkom čoho je krivka, ktorá sa nazýva evolventa. Mimochodom, povedzme si o tejto krivke trochu histórie. Faktom je, že historicky v matematike neexistoval koncept samotnej matematiky v čistom zmysle, ako je tomu dnes. Predtým sa všetci vedci zaoberali jednou spoločnou vecou, ​​teda vedou. Neskôr, o niekoľko storočí neskôr, keď bol vedecký svet naplnený obrovským množstvom informácií, ľudstvo predsa len vyčlenilo mnohé disciplíny. Stále zostávajú nezmenené. A predsa sa vedci z celého sveta každý rok pokúšajú dokázať, že veda je neobmedzená a rovnicu nevyriešite, pokiaľ nemáte znalosti z prírodných vied. Skoncovať s tým možno nebude možné. Myslieť na to je rovnako zbytočné ako ohrievať vzduch vonku. Nájdite interval, v ktorom argument svojou kladnou hodnotou určuje modul hodnoty v prudko rastúcom smere. Reakcia pomôže nájsť aspoň tri riešenia, no bude potrebné ich skontrolovať. Začnime tým, že rovnicu musíme vyriešiť online pomocou unikátnej služby našej webovej stránky. Zadáme obe časti danej rovnice, stlačíme tlačidlo „RIEŠIŤ“ a v priebehu niekoľkých sekúnd dostaneme presnú odpoveď. V špeciálnych prípadoch si vezmeme knihu o matematike a skontrolujeme našu odpoveď, konkrétne, pozrieme sa iba na odpoveď a všetko bude jasné. Rovnaký projekt vyletí na umelom redundantnom hranole. Existuje rovnobežník so svojimi rovnobežnými stranami a vysvetľuje mnohé princípy a prístupy k štúdiu priestorového vzťahu vzostupného procesu akumulácie dutého priestoru vo vzorcoch prirodzenej formy. Nejednoznačné lineárne rovnice ukazujú závislosť požadovanej premennej od nášho súčasného všeobecného riešenia a je potrebné nejakým spôsobom odvodiť a zredukovať nevlastný zlomok na netriviálny prípad. Na priamke označíme desať bodov a cez každý bod nakreslíme krivku v danom smere a konvexnosťou nahor. Naša kalkulačka rovníc bez väčších problémov predloží výraz v takej forme, že jeho kontrola platnosti pravidiel bude zrejmá už na začiatku záznamu. Systém špeciálnych reprezentácií stability pre matematikov na prvom mieste, pokiaľ vzorec neuvádza inak. Na to odpovieme podrobnou prezentáciou správy o izomorfnom stave plastickej sústavy telies a riešenie rovníc online popíše pohyb každého hmotného bodu v tejto sústave. Na úrovni hĺbkovej štúdie bude potrebné podrobne objasniť otázku inverzií aspoň spodnej vrstvy priestoru. Vo vzostupnom poradí na úseku diskontinuity funkcie použijeme všeobecnú metódu vynikajúceho výskumníka, mimochodom, nášho krajana a nižšie si povieme o správaní lietadla. Vzhľadom na silné charakteristiky analyticky danej funkcie používame online kalkulačku rovníc iba na zamýšľaný účel v rámci odvodených limitov autority. Pri ďalšom dohadovaní sa zastavíme náš prehľad o homogenite samotnej rovnice, to znamená, že jej pravá strana sa rovná nule. Opäť si overíme správnosť nášho rozhodnutia v matematike. Aby sme sa vyhli triviálnemu riešeniu, vykonáme určité úpravy počiatočných podmienok pre problém podmienenej stability systému. Zostavme kvadratickú rovnicu, ku ktorej pomocou známeho vzorca vypíšeme dve položky a nájdeme záporné korene. Ak jeden koreň presahuje druhý a tretí koreň o päť jednotiek, potom vykonaním zmien v hlavnom argumente skreslíme počiatočné podmienky podproblému. V jadre je niečo neobvyklé v matematike vždy opísať s presnosťou na stotiny kladného čísla. Kalkulačka zlomkov je niekoľkonásobne lepšia ako jej náprotivky na podobných zdrojoch v najlepšom momente zaťaženia servera. Na povrch vektora rýchlosti rastúceho pozdĺž osi y nakreslíme sedem čiar ohnutých v opačných smeroch. Súmerateľnosť argumentu priradenej funkcie vedie počítadlo zostatku obnovy. V matematike možno tento jav znázorniť pomocou kubickej rovnice s imaginárnymi koeficientmi, ako aj v bipolárnom postupe klesajúcich čiar. Kritické body teplotného rozdielu v mnohých svojich významoch a priebehu opisujú proces faktorizácie komplexnej zlomkovej funkcie. Ak vám povedia, aby ste rovnicu vyriešili, neponáhľajte sa s tým túto minútu, určite najprv zhodnoťte celý akčný plán a až potom zaujmite správny prístup. Výhody to určite bude. Ľahkosť v práci je zrejmá a v matematike je to rovnaké. Vyriešte rovnicu online. Všetky online rovnice sú určitým typom záznamu čísel alebo parametrov a premennou, ktorú je potrebné definovať. Vypočítajte túto premennú, to znamená, nájdite konkrétne hodnoty alebo intervaly množiny hodnôt, pre ktoré bude identita splnená. Počiatočné a konečné podmienky priamo závisia. Všeobecné riešenie rovníc spravidla obsahuje nejaké premenné a konštanty, ktorých nastavením získame celé rodiny riešení pre daný problémový výrok. Vo všeobecnosti to ospravedlňuje vynaložené úsilie v smere zvýšenia funkčnosti priestorovej kocky so stranou rovnajúcou sa 100 centimetrom. Veta alebo lemma môžete použiť v ktorejkoľvek fáze vytvárania odpovede. Stránka postupne vydáva kalkulačku rovníc, v prípade potreby ukazuje najmenšiu hodnotu v akomkoľvek intervale súčtu súčinov. Takáto guľa ako dutá v polovici prípadov vo väčšej miere nespĺňa požiadavky na stanovenie medziodpovede. Minimálne na osi y v smere klesajúceho vektorového znázornenia bude tento podiel nepochybne optimálnejší ako predchádzajúci výraz. V hodine, keď sa vykoná úplná bodová analýza lineárnych funkcií, v skutočnosti zhromaždíme všetky naše komplexné čísla a priestory bipolárnej roviny. Dosadením premennej do výsledného výrazu vyriešite rovnicu po etapách a dáte najpodrobnejšiu odpoveď s vysokou presnosťou. Opäť platí, že preverenie si svojich činov v matematike bude dobrou formou zo strany študenta. Podiel v pomere frakcií fixoval integritu výsledku vo všetkých dôležitých oblastiach aktivity nulového vektora. Triviálnosť sa potvrdzuje na konci vykonaných akcií. S jednoduchým súborom úloh nemôžu mať študenti ťažkosti, ak vyriešia rovnicu online v čo najkratšom čase, ale nezabúdajú na všetky druhy pravidiel. Množina podmnožín sa prelína v oblasti konvergujúcej notácie. V rôznych prípadoch výrobok nie je chybne faktorizovaný. S riešením rovnice online vám pomôže naša prvá sekcia o základoch matematických techník pre významné sekcie pre študentov univerzít a technických škôl. Zodpovedanie príkladov nás nenechá čakať niekoľko dní, keďže proces najlepšej interakcie vektorovej analýzy so sekvenčným hľadaním riešení bol patentovaný začiatkom minulého storočia. Ukazuje sa, že snahy o spojenie s okolitým tímom nevyšli nazmar, v prvom rade sa zjavne čakalo na niečo iné. O niekoľko generácií neskôr vedci z celého sveta verili, že matematika je kráľovnou vied. Či už ide o ľavú alebo správnu odpoveď, vyčerpávajúce pojmy treba aj tak napísať do troch riadkov, keďže v našom prípade budeme hovoriť jednoznačne len o vektorovej analýze vlastností matice. Nelineárne a lineárne rovnice spolu s bikvadratickými rovnicami zaujali osobitné miesto v našej knihe o najlepších metódach na výpočet trajektórie pohybu v priestore všetkých hmotných bodov uzavretého systému. Lineárna analýza skalárneho súčinu troch po sebe nasledujúcich vektorov nám pomôže priviesť myšlienku k životu. Na konci každého nastavenia je úloha uľahčená zavedením optimalizovaných numerických výnimiek v kontexte vykonávaných prekrytí numerického priestoru. Iný rozsudok nebude odporovať nájdenej odpovedi v ľubovoľnej forme trojuholníka v kruhu. Uhol medzi týmito dvoma vektormi obsahuje potrebné percento marže a riešenie rovníc online často odhalí nejaký spoločný koreň rovnice na rozdiel od počiatočných podmienok. Výnimka zohráva úlohu katalyzátora v celom nevyhnutnom procese hľadania pozitívneho riešenia v oblasti definície funkcií. Ak sa nehovorí, že nemôžete používať počítač, potom je online kalkulačka rovníc ako stvorená pre vaše náročné úlohy. Stačí zadať vaše podmienené údaje v správnom formáte a náš server vám v čo najkratšom čase vydá plnohodnotnú výslednú odpoveď. Exponenciálna funkcia rastie oveľa rýchlejšie ako lineárna. Svedčia o tom Talmudy šikovnej knižničnej literatúry. Výpočet vykoná vo všeobecnom zmysle, ako by to urobila daná kvadratická rovnica s tromi komplexnými koeficientmi. Parabola v hornej časti polroviny charakterizuje priamočiary rovnobežný pohyb pozdĺž osí bodu. Tu stojí za zmienku potenciálny rozdiel v pracovnom priestore tela. Na oplátku za suboptimálny výsledok naša zlomková kalkulačka právom zaberá prvé miesto v matematickom hodnotení prehľadu funkčných programov na zadnej strane. Jednoduchosť používania tejto služby ocenia milióny používateľov internetu. Ak si s tým neviete rady, potom vám radi pomôžeme. Kubickú rovnicu chceme vyzdvihnúť a vyzdvihnúť aj z množstva úloh pre žiakov prvého stupňa základných škôl, keď potrebujete rýchlo nájsť jej korene a nakresliť graf funkcie do roviny. Najvyššie stupne reprodukcie sú jedným z najťažších matematických problémov na ústave a na jeho štúdium je vyčlenený dostatočný počet hodín. Ako všetky lineárne rovnice, ani naša nie je výnimkou z mnohých objektívnych pravidiel, pozrite sa na to z rôznych uhlov pohľadu a ukáže sa, že je jednoduché a postačujúce na nastavenie počiatočných podmienok. Interval nárastu sa zhoduje s intervalom konvexnosti funkcie. Riešenie rovníc online. Štúdium teórie je založené na online rovniciach z mnohých sekcií o štúdiu hlavnej disciplíny. V prípade takéhoto prístupu v neistých problémoch je veľmi jednoduché prezentovať riešenie rovníc vo vopred určenom tvare a nielen vyvodzovať závery, ale aj predpovedať výsledok takéhoto pozitívneho riešenia. Služba nám pomôže naučiť sa predmet v najlepších tradíciách matematiky tak, ako je to na východe zvykom. V najlepších momentoch časového intervalu sa podobné úlohy násobili spoločným násobiteľom desaťkrát. S množstvom násobení viacerých premenných v kalkulačke rovníc sa začalo násobiť kvalitou a nie kvantitatívnymi premennými, ako sú napríklad hmotnosť alebo telesná hmotnosť. Aby sa predišlo prípadom nerovnováhy materiálového systému, je nám celkom samozrejmé odvodenie trojrozmerného prevodníka na triviálnej konvergencii nedegenerovaných matematických matíc. Splňte úlohu a vyriešte rovnicu v daných súradniciach, pretože výstup je vopred neznámy, rovnako ako všetky premenné zahrnuté v post-priestorovom čase sú neznáme. Na krátky čas vysuňte spoločný činiteľ zo zátvoriek a predtým vydeľte najväčším spoločným deliteľom oboch častí. Z výslednej pokrytej podmnožiny čísel vytiahnite podrobným spôsobom tridsaťtri bodov za sebou v krátkom čase. Nakoľko každý študent dokáže vyriešiť rovnicu online tým najlepším možným spôsobom s pohľadom dopredu, povedzme si jednu dôležitú, no kľúčovú vec, bez ktorej sa nám v budúcnosti nebude ľahko žiť. V minulom storočí si veľký vedec všimol množstvo zákonitostí v teórii matematiky. V praxi to dopadlo nie celkom očakávaným dojmom z udalostí. V zásade však práve toto riešenie rovníc online pomáha zlepšiť pochopenie a vnímanie holistického prístupu k štúdiu a praktickému upevňovaniu študentmi preberanej teoretickej látky. Počas štúdia je to oveľa jednoduchšie.

=

Pomocou akéhokoľvek jazyka môžete vyjadriť rovnaké informácie rôznymi slovami a frázami. Matematický jazyk nie je výnimkou. Ale ten istý výraz môže byť ekvivalentne napísaný rôznymi spôsobmi. A v niektorých situáciách je jeden zo záznamov jednoduchší. V tejto lekcii budeme hovoriť o zjednodušení výrazov.

Ľudia komunikujú v rôznych jazykoch. Pre nás je dôležitým porovnaním dvojica „ruský jazyk – matematický jazyk“. Rovnaké informácie možno nahlásiť v rôznych jazykoch. Okrem toho sa však v jednom jazyku môže vyslovovať inak.

Napríklad: „Peter je priateľom s Vasyou“, „Vasya je priateľom s Petyou“, „Peter a Vasya sú priatelia“. Inak povedané, ale jedno a to isté. Pri ktorejkoľvek z týchto fráz by sme pochopili, čo je v stávke.

Pozrime sa na túto frázu: "Chlapec Petya a chlapec Vasya sú priatelia." Chápeme, čo je v stávke. Nepáči sa nám však, ako táto fráza znie. Nemôžeme to zjednodušiť, povedať to isté, ale jednoduchšie? „Chlapec a chlapec“ - môžete raz povedať: „Chlapci Petya a Vasya sú priatelia.

"Chlapci" ... Z ich mien nie je jasné, že to nie sú dievčatá? Odstránime „chlapcov“: „Petya a Vasya sú priatelia.“ A slovo „priatelia“ možno nahradiť slovom „priatelia“: „Petya a Vasya sú priatelia.“ Výsledkom bolo, že prvá, dlhá, škaredá fráza bola nahradená ekvivalentným výrokom, ktorý sa ľahšie hovorí a ľahšie chápe. Túto frázu sme zjednodušili. Zjednodušiť znamená povedať to jednoduchšie, ale nestratiť, neskresľovať význam.

To isté sa deje v matematickom jazyku. To isté sa dá povedať inak. Čo to znamená zjednodušiť výraz? To znamená, že pre pôvodný výraz existuje veľa ekvivalentných výrazov, teda tých, ktoré znamenajú to isté. A z tohto množstva si musíme vybrať to najjednoduchšie, podľa nášho názoru, alebo najvhodnejšie pre naše ďalšie účely.

Predstavte si napríklad číselný výraz. Bude to ekvivalentné .

Bude tiež ekvivalentné prvým dvom: .

Ukazuje sa, že sme si zjednodušili výrazy a našli sme najkratší ekvivalentný výraz.

V prípade číselných výrazov musíte vždy urobiť všetku prácu a získať ekvivalentný výraz ako jediné číslo.

Zvážte príklad doslovného výrazu . Je zrejmé, že to bude jednoduchšie.

Pri zjednodušovaní doslovných výrazov musíte vykonať všetky možné akcie.

Je vždy potrebné zjednodušiť výraz? Nie, niekedy bude pre nás pohodlnejší ekvivalentný, no dlhší zápis.

Príklad: Odčítajte číslo od čísla.

Dá sa vypočítať, ale ak by prvé číslo bolo reprezentované jeho ekvivalentným zápisom: , potom by výpočty boli okamžité: .

To znamená, že zjednodušený výraz nie je pre nás vždy výhodný pre ďalšie výpočty.

Napriek tomu veľmi často stojíme pred úlohou, ktorá znie len ako „zjednodušiť výraz“.

Zjednodušte výraz: .

Riešenie

1) Vykonajte akcie v prvej a druhej zátvorke: .

2) Vypočítajte produkty: .

Je zrejmé, že posledný výraz má jednoduchšiu formu ako počiatočný. Zjednodušili sme to.

Aby sa výraz zjednodušil, musí byť nahradený ekvivalentom (rovná sa).

Ak chcete určiť ekvivalentný výraz, musíte:

1) vykonať všetky možné akcie,

2) využiť vlastnosti sčítania, odčítania, násobenia a delenia na zjednodušenie výpočtov.

Vlastnosti sčítania a odčítania:

1. Komutatívna vlastnosť sčítania: súčet sa nemení preskupením pojmov.

2. Asociačná vlastnosť sčítania: ak chcete k súčtu dvoch čísel pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho čísla.

3. Vlastnosť odčítania súčtu od čísla: ak chcete odpočítať súčet od čísla, môžete odpočítať každý výraz jednotlivo.

Vlastnosti násobenia a delenia

1. Komutatívna vlastnosť násobenia: súčin sa nemení z permutácie faktorov.

2. Asociačná vlastnosť: ak chcete vynásobiť číslo súčinom dvoch čísel, môžete ho najprv vynásobiť prvým faktorom a potom vynásobiť výsledný súčin druhým faktorom.

3. Distributívna vlastnosť násobenia: ak chcete vynásobiť číslo súčtom, musíte ho vynásobiť každým členom samostatne.

Pozrime sa, ako vlastne robíme mentálne výpočty.

Vypočítať:

Riešenie

1) Predstavte si ako

2) Predstavme si prvý násobiteľ ako súčet bitových členov a vykonajte násobenie:

3) viete si predstaviť, ako a vykonávať násobenie:

4) Nahraďte prvý faktor ekvivalentným súčtom:

Distributívny zákon možno použiť aj v opačnom smere: .

Nasleduj tieto kroky:

1) 2)

Riešenie

1) Pre pohodlie môžete použiť distribučný zákon, stačí ho použiť v opačnom smere - vytiahnite spoločný faktor zo zátvoriek.

2) Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek

V kuchyni a chodbe je potrebné zakúpiť linoleum. Kuchynská časť - chodba -. Existujú tri typy linolea: pre a ruble za. Koľko bude stáť každý z troch typov linolea? (obr. 1)

Ryža. 1. Ilustrácia stavu problému

Riešenie

Metóda 1. Samostatne môžete zistiť, koľko peňazí bude potrebné na nákup linolea v kuchyni, a potom ho pridať do chodby a pridať výsledné práce.

Exponent slúži na uľahčenie zápisu operácie násobenia čísla samotným. Napríklad namiesto písania môžete písať 4 5 (\displaystyle 4^(5))(vysvetlenie takéhoto prechodu je uvedené v prvej časti tohto článku). Mocniny uľahčujú písanie dlhých alebo zložitých výrazov alebo rovníc; mocniny sa tiež ľahko pridávajú a odčítavajú, čo vedie k zjednodušeniu výrazu alebo rovnice (napr. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Poznámka: ak potrebujete vyriešiť exponenciálnu rovnicu (v takejto rovnici je neznáma v exponente), čítajte.

Kroky

Riešenie jednoduchých problémov s právomocami

Vynásobte základ exponentu sám o sebe toľkokrát, koľkokrát sa rovná exponentu. Ak potrebujete vyriešiť problém s exponentmi ručne, prepíšte exponent ako operáciu násobenia, kde sa základ exponentu vynásobí sám. Napríklad vzhľadom na stupeň 3 4 (\displaystyle 3^(4)). V tomto prípade musí byť základ 3. stupňa sám vynásobený 4-krát: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Tu sú ďalšie príklady:

Najprv vynásobte prvé dve čísla. Napríklad, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nebojte sa - proces výpočtu nie je taký zložitý, ako sa na prvý pohľad zdá. Najprv vynásobte prvé dve štvorky a potom ich nahraďte výsledkom. Páči sa ti to:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Vynásobte výsledok (v našom príklade 16) nasledujúcim číslom. Každý nasledujúci výsledok sa úmerne zvýši. V našom príklade vynásobte číslo 16 číslom 4. Takto:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Pokračujte v násobení výsledku násobenia prvých dvoch čísel ďalším číslom, kým nedostanete konečnú odpoveď. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvé dve čísla a potom vynásobte výsledok ďalším číslom v poradí. Táto metóda je platná pre akýkoľvek stupeň. V našom príklade by ste mali dostať: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Vyriešte nasledujúce problémy. Skontrolujte svoju odpoveď pomocou kalkulačky.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulačke vyhľadajte kľúč označený ako „exp“ alebo „ x n (\displaystyle x^(n))“ alebo „^“. Pomocou tohto kľúča zvýšite číslo na mocninu. Je prakticky nemožné ručne vypočítať stupeň s veľkým exponentom (napríklad stupeň 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ale kalkulačka sa s touto úlohou ľahko vyrovná. V systéme Windows 7 je možné štandardnú kalkulačku prepnúť do inžinierskeho režimu; Ak to chcete urobiť, kliknite na "Zobraziť" -\u003e "Inžinierstvo". Ak chcete prejsť do normálneho režimu, kliknite na "Zobraziť" -\u003e "Normálne".

   • Skontrolujte prijatú odpoveď pomocou vyhľadávača (Google alebo Yandex). Pomocou klávesu „^“ na klávesnici počítača zadajte výraz do vyhľadávača, ktorý okamžite zobrazí správnu odpoveď (a prípadne navrhne podobné výrazy na štúdium).

   Sčítanie, odčítanie, násobenie mocniny

   1. Sčítavať a uberať mocniny môžete len vtedy, ak majú rovnaký základ. Ak potrebujete sčítať mocniny s rovnakými základmi a exponentmi, potom môžete operáciu sčítania nahradiť operáciou násobenia. Napríklad vzhľadom na výraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Pamätajte si, že stupeň 4 5 (\displaystyle 4^(5)) môže byť reprezentovaný ako 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); teda 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kde 1 + 1 = 2). To znamená, že spočítajte počet podobných stupňov a potom vynásobte takýto stupeň a toto číslo. V našom príklade zvýšte 4 na piatu mocninu a potom vynásobte výsledok 2. Nezabudnite, že operáciu sčítania možno nahradiť operáciou násobenia, napr. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Tu sú ďalšie príklady:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty sčítajú (základ sa nemení). Napríklad vzhľadom na výraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). V tomto prípade stačí pridať indikátory a ponechať základňu nezmenenú. Touto cestou, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Tu je vizuálne vysvetlenie tohto pravidla:

      Pri zvýšení mocniny na mocninu sa exponenty násobia. Napríklad daný titul. Keďže exponenty sú násobené, potom (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Zmyslom tohto pravidla je, že znásobíte silu (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na seba päťkrát. Páči sa ti to:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Keďže základ je rovnaký, exponenty sa jednoducho spočítajú: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Exponent so záporným exponentom by sa mal previesť na zlomok (na prevrátenú mocninu). Nevadí, ak neviete, čo je to recipročné. Ak dostanete titul so záporným exponentom, napr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), túto mocninu zapíšte do menovateľa zlomku (do čitateľa dajte 1) a urobte kladný exponent. V našom príklade: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Tu sú ďalšie príklady:

      Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú (základ sa nemení). Operácia delenia je opakom operácie násobenia. Napríklad vzhľadom na výraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Odčítajte exponent v menovateli od exponenta v čitateli (základ nemeňte). Touto cestou, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Stupeň v menovateli možno zapísať takto: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Pamätajte, že zlomok je číslo (mocnina, výraz) so záporným exponentom.

   4. Nižšie sú uvedené niektoré výrazy, ktoré vám pomôžu naučiť sa riešiť problémy s napájaním. Vyššie uvedené výrazy pokrývajú materiál uvedený v tejto časti. Ak chcete zobraziť odpoveď, zvýraznite prázdne miesto za znakom rovnosti.

      Riešenie problémov so zlomkovými exponentmi

      1. Stupeň s zlomkovým exponentom (napríklad ) sa prevedie na operáciu extrakcie koreňa. V našom príklade: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nezáleží na tom, aké číslo je v menovateli zlomkového exponentu. Napríklad, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) je štvrtý koreň z "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Ak je exponentom nevlastný zlomok, potom je možné takýto exponent rozložiť na dve mocniny, aby sa riešenie úlohy zjednodušilo. Nie je na tom nič zložité – stačí si zapamätať pravidlo pre násobenie právomocí. Napríklad daný titul. Premeňte tento exponent na odmocninec, ktorého exponent sa rovná menovateľovi zlomkového exponentu, a potom tento koreň povýšte na exponent rovný čitateľovi zlomkového exponentu. Aby ste to urobili, pamätajte na to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). V našom príklade:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Niektoré kalkulačky majú tlačidlo na výpočet exponentov (najskôr musíte zadať základ, potom stlačiť tlačidlo a potom zadať exponent). Označuje sa ako ^ alebo x^y.
      4. Pamätajte, že každé číslo sa rovná prvej mocnine, napr. 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Navyše, každé číslo vynásobené alebo delené jednou sa rovná samo sebe, napr. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) A 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Vedzte, že stupeň 0 0 neexistuje (takýto stupeň nemá riešenie). Keď sa pokúsite vyriešiť takýto stupeň na kalkulačke alebo na počítači, dostanete chybu. Pamätajte však, že každé číslo s mocninou nuly sa rovná 1, napr. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. Vo vyššej matematike, ktorá pracuje s imaginárnymi číslami: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), kde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konštanta približne rovná 2,7; a je ľubovoľná konštanta. Dôkaz tejto rovnosti možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici vyššej matematiky.

      Varovania

      • Keď sa exponent zvyšuje, jeho hodnota výrazne rastie. Preto, ak sa vám zdá odpoveď nesprávna, v skutočnosti sa môže ukázať ako pravdivá. Môžete to skontrolovať vykreslením ľubovoľnej exponenciálnej funkcie, napríklad 2 x .

Math-Calculator-Online v.1.0

Kalkulačka vykonáva tieto operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, práca s desatinnými miestami, extrahovanie odmocniny, umocnenie, výpočet percent a ďalšie operácie.

Riešenie:

Ako používať matematickú kalkulačku

kľúč	Označenie	Vysvetlenie
5	čísla 0-9	arabské číslice. Zadajte prirodzené celé čísla, nulu. Ak chcete získať záporné celé číslo, stlačte kláves +/-
.	bodkočiarka)	Oddeľovač desatinných miest. Ak pred bodkou (čiarkou) nie je žiadna číslica, kalkulačka pred bodku automaticky nahradí nulu. Napríklad: napíše sa 0,5 - 0,5
+	znamienko plus	Sčítanie čísel (celé, desatinné zlomky)
-	znamienko mínus	Odčítanie čísel (celé, desatinné zlomky)
÷	deliace znamenie	Delenie čísel (celé, desatinné zlomky)
X	znak násobenia	Násobenie čísel (celé čísla, desatinné miesta)
√	koreň	Extrahovanie koreňa z čísla. Po opätovnom stlačení tlačidla "root" sa z výsledku vypočíta koreň. Napríklad: druhá odmocnina z 16 = 4; druhá odmocnina zo 4 = 2
x2	kvadratúra	Umocnenie čísla. Keď znova stlačíte tlačidlo "štvorce", výsledok sa odmocní. Napríklad: štvorec 2 = 4; štvorec 4 = 16
1/x	zlomok	Výstup na desatinné miesta. V čitateli 1 v menovateli vstupné číslo
%	percent	Získajte percento z čísla. Ak chcete pracovať, musíte zadať: číslo, z ktorého sa vypočíta percento, znamienko (plus, mínus, delenie, násobenie), koľko percent v číselnej forme, tlačidlo "%"
(	otvorená konzola	Otvorená zátvorka na nastavenie priority hodnotenia. Vyžaduje sa uzavretá zátvorka. Príklad: (2+3)*2=10
)	uzavretá konzola	Uzavretá zátvorka na nastavenie priority hodnotenia. Povinná otvorená zátvorka
±	plus mínus	Zmení znamienko na opačné
=	rovná sa	Zobrazí výsledok riešenia. Medzivýpočty a výsledok sa tiež zobrazujú nad kalkulačkou v poli "Riešenie".
←	vymazanie postavy	Vymaže posledný znak
OD	resetovať	Tlačidlo reštart. Úplne resetuje kalkulačku na "0"

Algoritmus online kalkulačky s príkladmi

Doplnenie.

Sčítanie celých prirodzených čísel ( 5 + 7 = 12 )

Sčítanie celých prirodzených a záporných čísel ( 5 + (-2) = 3 )

Pridanie desatinných zlomkových čísel ( 0,3 + 5,2 = 5,5 )

Odčítanie.

Odčítanie celých prirodzených čísel ( 7 - 5 = 2 )

Odčítanie celých prirodzených a záporných čísel ( 5 - (-2) = 7 )

Odčítanie desatinných zlomkových čísel (6,5 – 1,2 = 4,3)

Násobenie.

Súčin celých prirodzených čísel ( 3 * 7 = 21 )

Súčin celých prirodzených a záporných čísel ( 5 * (-3) = -15 )

Súčin desatinných zlomkových čísel ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

divízie.

Delenie celých prirodzených čísel ( 27 / 3 = 9 )

Delenie celých prirodzených a záporných čísel ( 15 / (-3) = -5 )

Delenie desatinných zlomkových čísel ( 6,2 / 2 = 3,1 )

Extrahovanie koreňa z čísla.

Extrahovanie koreňa celého čísla ( root(9) = 3 )

Extrahovanie odmocniny desatinných miest ( odmocnina (2.5) = 1.58 )

Extrahovanie koreňa zo súčtu čísel ( root(56 + 25) = 9)

Extrahovanie odmocniny z rozdielu čísel ( odmocnina (32 - 7) = 5)

Umocnenie čísla.

Umocnenie celého čísla ( (3) 2 = 9 )

Umocnenie desatinných miest ( (2,2) 2 = 4,84 )

Previesť na desatinné zlomky.

Výpočet percent čísla

Zvýšiť 230 o 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Znížiť číslo 510 o 35 % ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18 % z čísla 140 je ( 140 * 0,18 = 25,2 )