V tejto téme rozoberieme tie vzorce, ktoré je možné získať pomocou druhej pozoruhodnej limity (nachádza sa téma venovaná priamo druhej pozoruhodnej limite). Dovoľte mi pripomenúť vám dve formulácie druhého pozoruhodného limitu, ktorý bude potrebný v tejto časti: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ a $\lim_(x \to\ 0)\vľavo(1+x\vpravo)^\frac(1)(x)=e$.
Zvyčajne dávam vzorce bez dôkazu, ale pre túto stránku si myslím, že urobím výnimku. Faktom je, že dôkaz dôsledkov druhej pozoruhodnej limity obsahuje niektoré triky, ktoré sú užitočné pri priamom riešení problémov. No a vo všeobecnosti je žiaduce vedieť, ako sa tento alebo ten vzorec dokazuje. To vám umožní lepšie pochopiť jeho vnútornú štruktúru, ako aj limity použiteľnosti. Ale keďže dôkazy nemusia zaujímať všetkých čitateľov, schovám ich po každom závere pod poznámky.
Dôsledok #1
\začiatok(rovnica) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(rovnica)Dôkaz o následku č. 1: zobraziť\skryť
Keďže pre $x\to 0$ máme $\ln(1+x)\to 0$, tak v uvažovanej limite je neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$. Aby sme odhalili túto neistotu, predstavme si výraz $\frac(\ln(1+x))(x)$ takto: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. Teraz pripočítajme faktor $\frac(1)(x)$ k mocnine $(1+x)$ a použijeme druhý pozoruhodný limit:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
Opäť máme neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$. Budeme sa spoliehať na vzorec, ktorý sme už osvedčili. Keďže $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, potom $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
Dôsledok #2
\začiatok(rovnica) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(rovnica)Dôkaz dôsledku č. 2: zobraziť\skryť
Keďže pre $x\to 0$ máme $e^x-1\to 0$, tak v uvažovanej limite je neistota tvaru $\frac(0)(0)$. Aby sme odhalili túto neistotu, zmeňme premennú, označujúcu $t=e^x-1$. Od $x\to 0$, potom $t\to 0$. Ďalej zo vzorca $t=e^x-1$ dostaneme: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\left | \begin(zarovnané) & t=e^x-1;\; t\na 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (zarovnané) \vpravo|= \lim_(t\na 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$
Opäť máme neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$. Budeme sa spoliehať na vzorec, ktorý sme už osvedčili. Keďže $a^x=e^(x\ln a)$, potom:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
Dôsledok #3
\začiatok(rovnica) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(rovnica)Dôkaz dôsledku č. 3: zobraziť\skryť
Opäť máme do činenia s neurčitosťou tvaru $\frac(0)(0)$. Keďže $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, dostaneme:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
Príklad #1
Vypočítajte limit $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.
Máme neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$. Na odhalenie tejto neistoty použijeme vzorec . Aby sa náš limit zmestil do tohto vzorca, treba si uvedomiť, že výrazy v mocnine čísla $e$ a v menovateli sa musia zhodovať. Inými slovami, sínus v menovateli nemá miesto. Menovateľ by mal byť $ 9 x $. Taktiež pri riešení tohto príkladu sa použije prvá pozoruhodná hranica.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ do\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$
Odpoveď: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.
Príklad č. 2
Vypočítajte limit $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.
Máme neurčitosť tvaru $\frac(0)(0)$ (pripomeňme si, že $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Na odhalenie tejto neistoty použijeme vzorec . Najprv zoberme do úvahy, že $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (pozri zoznam goniometrických funkcií). Teraz $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, takže menovateľ by mal byť $-2\sin^2 \frac(x ) (2)$ (aby sa náš príklad zmestil do ). V ďalšom riešení sa použije prvý pozoruhodný limit.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$
Odpoveď: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.
Teraz s pokojom prejdeme k úvahe úžasné limity.
vyzerá ako .
Namiesto premennej x môžu byť prítomné rôzne funkcie, hlavná vec je, že majú tendenciu k 0.
Musíme vypočítať limit
Ako vidíte, táto hranica je veľmi podobná tej prvej pozoruhodnej, no nie je to celkom pravda. Vo všeobecnosti, ak si všimnete hriech v limite, mali by ste okamžite premýšľať o tom, či je možné použiť prvý pozoruhodný limit.
Podľa nášho pravidla č. 1 dosadíme za x nulu:
Dostávame neistotu.
Teraz sa pokúsme nezávisle zorganizovať prvý pozoruhodný limit. Aby sme to dosiahli, vykonáme jednoduchú kombináciu:
Čitateľ a menovateľ teda usporiadame tak, aby vyniklo 7x. Známy pozoruhodný limit sa už objavil. Pri rozhodovaní sa odporúča zdôrazniť:
Nahradíme riešenie prvého pozoruhodného príkladu a dostaneme:
Zjednodušte zlomok:
Odpoveď: 7/3.
Ako vidíte, všetko je veľmi jednoduché.
Má formu 
, kde e = 2,718281828… je iracionálne číslo.
Namiesto premennej x môžu byť prítomné rôzne funkcie, hlavné je, že majú tendenciu .
Musíme vypočítať limit
Tu vidíme prítomnosť stupňa pod medzným znakom, čo znamená, že možno použiť druhý pozoruhodný limit.
Ako vždy použijeme pravidlo číslo 1 - náhrada namiesto x:
Je vidieť, že pre x je základ stupňa , a exponent je 4x > , t.j. dostaneme neurčitosť tvaru:
Využime druhú nádhernú hranicu na odhalenie našej neistoty, no najprv si ju musíme zorganizovať. Ako vidíte, je potrebné dosiahnuť prítomnosť v ukazovateli, pre ktorú zvýšime základňu na mocninu 3x a zároveň na mocninu 1/3x, aby sa výraz nezmenil:
Nezabudnite zdôrazniť našu skvelú limitku:
Toto sú naozaj úžasné limity!
Ak máte akékoľvek otázky týkajúce sa prvý a druhý úžasný limit pokojne sa ich opýtajte v komentároch.
Všetkým odpovieme čo najskôr.
Na túto tému môžete spolupracovať aj s učiteľom.
Sme radi, že vám môžeme ponúknuť služby výberu kvalifikovaného lektora vo vašom meste. Naši partneri vám rýchlo vyberú dobrého učiteľa za výhodných podmienok pre vás.
Nemáte dostatok informácií? - Môžeš !
Matematické výpočty môžete písať do poznámkových blokov. Oveľa príjemnejšie je písať do jednotlivých zošitov s logom (http://www.blocnot.ru).
Existuje niekoľko úžasných limitov, ale najznámejšie sú prvé a druhé nádherné limity. Pozoruhodné na týchto limitoch je, že sú široko používané a možno ich použiť na nájdenie iných limitov, s ktorými sa stretávame pri mnohých problémoch. To je to, čo budeme robiť v praktickej časti tejto lekcie. Na vyriešenie problémov znížením na prvý alebo druhý pozoruhodný limit nie je potrebné zverejňovať neistoty v nich obsiahnuté, pretože hodnoty týchto limitov už dlho odvodili veľkí matematici.
Prvý pozoruhodný limit nazývaná hranica pomeru sínusu nekonečne malého oblúka k rovnakému oblúku, vyjadrená v radiáne:
Prejdime k riešeniu problémov na prvej pozoruhodnej hranici. Poznámka: ak je goniometrická funkcia pod medzným znakom, je to takmer isté znamenie, že tento výraz možno zredukovať na prvú pozoruhodnú medzu.
Príklad 1 Nájdite hranicu.
Riešenie. Namiesto toho náhrada X nula vedie k neistote:
.
Menovateľom je sínus, preto výraz možno zredukovať na prvú pozoruhodnú hranicu. Začnime s transformáciou:
.
V menovateli je sínus troch x a v čitateli je iba jedno x, čo znamená, že v čitateli musíte dostať tri x. Prečo? Prezentovať 3 X = a a získajte výraz.
A dostávame sa k variácii prvého pozoruhodného limitu:
pretože nezáleží na tom, aké písmeno (premenná) je v tomto vzorci namiesto X.
Vynásobíme x tromi a hneď vydelíme:
.
V súlade s uvedeným prvým pozoruhodným limitom nahrádzame zlomkový výraz:
Teraz môžeme konečne vyriešiť tento limit:
.
Príklad 2 Nájdite hranicu.
Riešenie. Priama substitúcia opäť vedie k neistote „nulového delenia nulou“:
.
Na získanie prvej pozoruhodnej limity je potrebné, aby x pod sínusovým znamienkom v čitateli a práve x v menovateli mali rovnaký koeficient. Nech sa tento koeficient rovná 2. Aby sme to dosiahli, predstavme si aktuálny koeficient na x ako je uvedené nižšie, vykonávaním akcií so zlomkami dostaneme:
.
Príklad 3 Nájdite hranicu.
Riešenie. Pri dosadzovaní opäť dostaneme neistotu „nula delená nulou“:
.
Asi už chápete, že z pôvodného výrazu môžete získať prvú nádhernú limitku vynásobenú prvou nádhernou limitkou. Aby sme to dosiahli, rozložíme druhé mocniny x v čitateli a sínus v menovateli na rovnaké faktory a aby sme dostali rovnaké koeficienty pre x a sínus, vydelíme x v čitateli 3 a hneď vynásobíme 3. Dostaneme:
.
Príklad 4 Nájdite hranicu.
Riešenie. Opäť dostaneme neistotu „nula delená nulou“:
.
Môžeme získať pomer prvých dvoch pozoruhodných limitov. Čitateľ aj menovateľ delíme x. Potom, aby sa koeficienty v sínusoch a v x zhodovali, vynásobíme horné x 2 a hneď vydelíme 2 a spodné x vynásobíme 3 a hneď vydelíme 3. Dostaneme:
Príklad 5 Nájdite hranicu.
Riešenie. A opäť neistota „nula delená nulou“:
Z trigonometrie si pamätáme, že dotyčnica je pomer sínusu ku kosínusu a kosínus nuly sa rovná jednej. Urobíme premeny a získame:
.
Príklad 6 Nájdite hranicu.
Riešenie. Trigonometrická funkcia pod medzným znakom opäť naznačuje myšlienku uplatnenia prvého pozoruhodného limitu. Predstavujeme to ako pomer sínusu ku kosínusu.
Z vyššie uvedeného článku sa dozviete, aký je limit a s čím sa to jedáva – to je VEĽMI dôležité. prečo? Možno nerozumiete, čo sú determinanty a úspešne ich riešite, možno vôbec nerozumiete, čo je to derivácia a nájdete ich na „päťke“. Ale ak nerozumiete tomu, čo je limit, potom bude ťažké vyriešiť praktické úlohy. Tiež nebude zbytočné zoznámiť sa so vzorkami návrhu rozhodnutí a mojimi odporúčaniami pre dizajn. Všetky informácie sú prezentované jednoduchým a prístupným spôsobom.
A na účely tejto lekcie potrebujeme nasledujúce metodické materiály: Pozoruhodné limity a Goniometrické vzorce. Nájdete ich na stránke. Najlepšie je vytlačiť návody - je to oveľa pohodlnejšie, okrem toho sa k nim často musí pristupovať offline.
Čo je pozoruhodné na úžasných limitoch? Pozoruhodnosť týchto limitov spočíva v tom, že ich dokázali najväčšie mysle slávnych matematikov a vďační potomkovia nemusia trpieť strašnými limitmi s hromadou goniometrických funkcií, logaritmov a stupňov. To znamená, že pri hľadaní hraníc použijeme hotové výsledky, ktoré sú teoreticky dokázané.
Existuje niekoľko pozoruhodných limitov, ale v praxi majú študenti externého štúdia v 95% prípadov dva pozoruhodné limity: Prvá úžasná limitka, Druhá úžasná limitka. Treba podotknúť, že ide o historicky ustálené mená, a keď napríklad hovoria o „prvej pozoruhodnej hranici“, majú na mysli veľmi špecifickú vec, a nie nejakú náhodnú hranicu prevzatú zo stropu.
Prvá úžasná limitka
Zvážte nasledujúci limit: (namiesto pôvodného písmena „on“ použijem grécke písmeno „alfa“, je to pohodlnejšie z hľadiska prezentácie materiálu).
Podľa nášho pravidla pre hľadanie limitov (pozri článok Limity. Príklady riešení) skúsime do funkcie dosadiť nulu: v čitateli dostaneme nulu (sínus nuly je nula), v menovateli samozrejme aj nulu. Stretávame sa teda s neurčitosťou formy, ktorú našťastie netreba prezrádzať. V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že:
Tento matematický fakt je tzv Prvá úžasná limitka. Nebudem poskytovať analytický dôkaz limity, ale v lekcii zvážime jej geometrický význam nekonečne malé funkcie.
Často v praktických úlohách môžu byť funkcie usporiadané inak, to nič nemení:
– rovnaká prvá úžasná hranica.
Ale nemôžete zmeniť usporiadanie čitateľa a menovateľa sami! Ak je limit uvedený vo forme , musí byť vyriešený v rovnakom tvare bez toho, aby sa čokoľvek preskupovalo.
V praxi môže ako parameter pôsobiť nielen premenná, ale aj elementárna funkcia, komplexná funkcia. Dôležité je len to, aby mala tendenciu k nule.
Príklady:
, , 
, 
Tu , , , 
, a všetko bzučí - platí prvý úžasný limit.
A tu je ďalší záznam - heréza:
prečo? Pretože polynóm nemá tendenciu k nule, má tendenciu k päťke.
Mimochodom, otázka je na zásyp, ale aký je limit 
? Odpoveď nájdete na konci lekcie.
V praxi nie je všetko také plynulé, takmer nikdy sa študentovi neponúkne riešenie voľného limitu a získanie ľahkého zápočtu. Hmmm... píšem tieto riadky a napadla ma veľmi dôležitá myšlienka – napokon, zdá sa, že je lepšie si „zadarmo“ matematické definície a vzorce zapamätať naspamäť, to môže byť neoceniteľnou pomocou pri teste, keď o otázke sa rozhodne medzi „dvoma“ a „tromi“ a učiteľ sa rozhodne položiť študentovi jednoduchú otázku alebo ponúknuť riešenie najjednoduchšieho príkladu („možno (a) ešte vie čo?“).
Prejdime na praktické príklady:
Príklad 1
Nájdite hranicu
Ak si všimneme sínus v limite, malo by nás to okamžite priviesť k zamysleniu sa nad možnosťou uplatnenia prvej pozoruhodnej limity.
Najprv sa pokúsime nahradiť 0 vo výraze pod limitným znakom (robíme to mentálne alebo na koncepte):
Máme teda neurčitosť formy, jeho určite uveďte pri rozhodovaní. Výraz pod hranicou vyzerá ako prvá úžasná hranica, ale nie je to úplne ono, je pod sínusom, ale v menovateli.
V takýchto prípadoch musíme prvú nádhernú hranicu zorganizovať sami pomocou umelého zariadenia. Úvaha môže byť nasledovná: „pod sínusom, ktorý máme, čo znamená, že sa musíme dostať aj do menovateľa“.
A to sa robí veľmi jednoducho:
To znamená, že menovateľ je v tomto prípade umelo vynásobený 7 a delený rovnakými siedmimi. Teraz nahrávka nadobudla známu podobu.
Keď je úloha vypracovaná ručne, odporúča sa označiť prvý úžasný limit jednoduchou ceruzkou:
Čo sa stalo? V skutočnosti sa zakrúžkovaný výraz zmenil na jednotku a zmizol v produkte: 
Teraz zostáva len zbaviť sa trojposchodového zlomku: 
Kto zabudol na zjednodušenie viacpodlažných frakcií, obnovte si prosím materiál v referenčnej knihe Horúce školské matematické vzorce .
Pripravený. Konečná odpoveď:
Ak nechcete používať značky ceruzkou, riešenie môže byť naformátované takto:
“
Používame prvú pozoruhodnú hranicu 
“
Príklad 2
Nájdite hranicu
Opäť vidíme zlomok a sínus v limite. Pokúsime sa nahradiť nulu v čitateli a menovateli:
V skutočnosti máme neistotu, a preto sa musíme pokúsiť zorganizovať prvý pozoruhodný limit. Na lekcii Limity. Príklady riešení zvážili sme pravidlo, že keď máme neistotu, musíme čitateľa a menovateľa rozdeliť na faktory. Tu - to isté, predstavíme stupne ako súčin (násobiče):
Podobne ako v predchádzajúcom príklade načrtneme ceruzkou úžasné limity (tu sú dve z nich) a naznačíme, že majú tendenciu k jednej:
V skutočnosti je odpoveď pripravená:
V nasledujúcich príkladoch nebudem robiť umenie v programe Paint, myslím, že ako správne zostaviť riešenie v notebooku - už rozumiete.
Príklad 3
Nájdite hranicu
Vo výraze pod limitným znakom dosadíme nulu:
Dosiahla sa neistota, ktorú je potrebné zverejniť. Ak je v limite tangens, tak sa takmer vždy prepočítava na sínus a kosínus podľa známeho trigonometrického vzorca (mimochodom, približne to isté robia aj s kotangensom, viď metodický materiál Horúce trigonometrické vzorce Na stránke Matematické vzorce, tabuľky a referenčné materiály).
V tomto prípade:
Kosínus nuly sa rovná jednej a je ľahké sa ho zbaviť (nezabudnite označiť, že smeruje k jednotke):
Ak je teda v limite kosínus NÁSOBITEĽ, potom sa, zhruba povedané, musí zmeniť na jednotku, ktorá zmizne v produkte.
Tu sa všetko ukázalo jednoduchšie, bez akýchkoľvek násobení a delení. Prvý pozoruhodný limit sa tiež zmení na jednotu a zmizne v produkte:
V dôsledku toho sa získa nekonečno, to sa stáva.
Príklad 4
Nájdite hranicu
Pokúsime sa nahradiť nulu v čitateli a menovateli:
Získaná neistota (kosínus nuly, ako si pamätáme, sa rovná jednej)
Používame trigonometrický vzorec. Zaznamenať si! Z nejakého dôvodu sú limity pomocou tohto vzorca veľmi bežné.
Vyberáme konštantné multiplikátory za ikonou limitu:
Poďme usporiadať prvý pozoruhodný limit:
Tu máme iba jednu úžasnú hranicu, ktorá sa zmení na jednu a zmizne v produkte:
Zbavme sa trojposchodia:
Limita je skutočne vyriešená, naznačujeme, že zostávajúci sínus má tendenciu k nule:
Príklad 5
Nájdite hranicu 
Tento príklad je zložitejší, skúste na to prísť sami:
Niektoré limity sa dajú zmenou premennej znížiť na 1. pozoruhodnú hranicu, o tom sa dočítate trochu neskôr v článku Metódy limitného riešenia.
Druhá úžasná limitka
V teórii matematickej analýzy je dokázané, že:
Táto skutočnosť je tzv druhá pozoruhodná hranica.
Referencia: 
je iracionálne číslo.
Ako parameter môže pôsobiť nielen premenná, ale aj komplexná funkcia. Dôležité je len to, že sa usiluje o nekonečno.
Príklad 6
Nájdite hranicu
Keď je výraz pod znakom limitu v moci - toto je prvé znamenie, že sa musíte pokúsiť uplatniť druhý úžasný limit.
Najprv sa však, ako vždy, snažíme do výrazu dosadiť nekonečne veľké číslo, podľa akého princípu sa to robí, bolo analyzované v lekcii Limity. Príklady riešení.
Je ľahké vidieť, že kedy základ stupňa a exponent - , to znamená, že existuje neurčitosť tvaru:
Táto neistota je práve odhalená pomocou druhého pozoruhodného limitu. Ale ako sa často stáva, druhá úžasná hranica neleží na striebornom podnose a musí byť umelo organizovaná. Môžete to zdôvodniť takto: v tomto príklade parameter znamená, že sa musíme v ukazovateli tiež usporiadať. Aby sme to urobili, zdvihneme základňu na mocninu a tak, aby sa výraz nezmenil, zdvihneme ju na mocninu:
Keď je úloha vypracovaná ručne, ceruzkou označíme:
Takmer všetko je pripravené, hrozný stupeň sa zmenil na pekný list:
Zároveň sa na indikátor presunie samotná ikona limitu:
Príklad 7
Nájdite hranicu
Pozor! Tento typ limitov je veľmi bežný, prosím, veľmi pozorne si preštudujte tento príklad.
Vo výraze pod limitným znakom sa snažíme dosadiť nekonečne veľké číslo:
Výsledkom je neistota. Ale druhý pozoruhodný limit platí pre neurčitosť formy. Čo robiť? Musíte previesť základ stupňa. Hádame sa takto: v menovateli máme , čo znamená, že sa musíme zorganizovať aj v čitateli.
Nájdite úžasné limity je to náročné nielen pre mnohých študentov prvého, druhého ročníka štúdia, ktorí teóriu limitov študujú, ale aj pre niektorých učiteľov.
Vzorec prvej pozoruhodnej hranice
Dôsledky prvého pozoruhodného limitu
napíš vzorce
1. 2. 3. 4. Ale samotné všeobecné vzorce pozoruhodných limitov nikomu nepomôžu pri skúške alebo teste. Základom je, že skutočné úlohy sú postavené tak, že k vyššie napísaným vzorcom je stále potrebné dospieť. A väčšina študentov, ktorí vynechávajú hodiny, študujú tento kurz korešpondenčne alebo majú učiteľov, ktorí sami nie vždy rozumejú tomu, o čom vysvetľujú, nedokáže vypočítať tie najzákladnejšie príklady do pozoruhodných hraníc. Zo vzorcov prvej pozoruhodnej limity vidíme, že sa dajú použiť na skúmanie neistôt, ako je nula delená nulou pre výrazy s goniometrickými funkciami. Uvažujme najskôr o sérii príkladov na prvej pozoruhodnej limite a potom budeme študovať druhú pozoruhodnú limitu.
Príklad 1. Nájdite limitu funkcie sin(7*x)/(5*x)
Riešenie: Ako vidíte, funkcia pod limitou je blízko prvej pozoruhodnej limity, ale limita samotnej funkcie sa rozhodne nerovná jednej. Pri takýchto priradeniach k limitom je potrebné v menovateli vybrať premennú s rovnakým koeficientom, aký je obsiahnutý v premennej pod sínusom. V tomto prípade vydeľte a vynásobte číslom 7 
Niekomu sa takéto detailovanie bude zdať nadbytočné, no väčšine študentov, pre ktorých je ťažké stanoviť limity, to pomôže lepšie pochopiť pravidlá a naučiť sa teoretickú látku.
Tiež, ak existuje inverzná forma funkcie - to je tiež prvá úžasná hranica. A to všetko preto, že úžasný limit sa rovná jednej
Rovnaké pravidlo platí pre dôsledky 1 pozoruhodnej hranice. Preto, ak sa vás opýtajú: "Aká je prvá úžasná hranica?" Bez váhania musíte odpovedať, že je to jednotka.
Príklad 2. Nájdite limitu funkcie sin(6x)/tan(11x)
Riešenie: Aby sme pochopili konečný výsledok, zapíšeme funkciu do formulára 
Aplikovať pravidlá pozoruhodnej hranice násobte a delte podľa faktorov
Ďalej napíšeme limitu súčinu funkcií z hľadiska súčinu limity 
Bez zložitých vzorcov sme našli limitu niekoľkých goniometrických funkcií. Ak sa chcete naučiť jednoduché vzorce, skúste vymyslieť a nájsť hranicu 2 a 4, vzorec 1. dôsledku nádhernej limity. Budeme uvažovať o zložitejších úlohách.
Príklad 3. Vypočítajte limit (1-cos(x))/x^2
Riešenie: Pri kontrole substitúciou dostaneme neistotu 0/0 . Mnohí nevedia zredukovať takýto príklad na 1 nádhernú hranicu. Tu by ste mali použiť trigonometrický vzorec 
V tomto prípade sa limit pretransformuje do jasnej podoby 
Podarilo sa nám zredukovať funkciu na druhú mocninu pozoruhodného limitu.
Príklad 4. Nájdite limitu
Riešenie: Pri dosadzovaní dostaneme známu vlastnosť 0/0 . Premenná sa však blíži k Pi, nie k nule. Preto, aby sme použili prvú pozoruhodnú limitu, vykonáme takú zmenu v premennej x, aby sa nová premenná dostala na nulu. Aby sme to dosiahli, označíme menovateľa ako novú premennú Pi-x=y 
Pomocou trigonometrického vzorca, ktorý je uvedený v predchádzajúcej úlohe, sa teda príklad zredukuje na 1 pozoruhodnú hranicu.
Príklad 5 Vypočítajte limit 
Riešenie: Spočiatku nie je jasné, ako limity zjednodušiť. Ale ak existuje príklad, musí existovať aj odpoveď. Skutočnosť, že premenná ide do jednoty, dáva pri dosadzovaní singularitu tvaru nula vynásobenú nekonečnom, takže dotyčnica musí byť nahradená vzorcom 
Potom dostaneme požadovanú neistotu 0/0. Ďalej vykonáme zmenu premenných v limite a použijeme periodicitu kotangensu 
Posledné substitúcie nám umožňujú použiť Dôsledok 1 pozoruhodného limitu.
Druhá pozoruhodná hranica sa rovná exponentu
Toto je klasika, ktorej v skutočných problémoch nie je vždy ľahké dosiahnuť limity.
Pre výpočty budete potrebovať limity sú dôsledkom druhého pozoruhodného limitu:
1. 
2. 
3. 
4.
Vďaka druhej pozoruhodnej hranici a jej dôsledkom možno skúmať neistoty ako nula delená nulou, jedna mocnina nekonečna a nekonečno delené nekonečnom, a to dokonca v rovnakej miere. 
Začnime niekoľkými jednoduchými príkladmi.
Príklad 6 Nájdite limit funkcie
Riešenie: Priame použitie limitu 2 nebude fungovať. Najprv musíte otočiť ukazovateľ tak, aby mal tvar inverzný k výrazu v zátvorkách 
Ide o techniku redukcie na 2 pozoruhodnú limitu a vlastne o odvodenie vzorca 2 o dôsledku limity.
Príklad 7 Nájdite limit funkcie
Riešenie: Máme úlohy pre vzorec 3 dôsledku 2 pozoruhodnej limity. Nulová substitúcia dáva singularitu tvaru 0/0. Aby sme zvýšili limit podľa pravidla, otočíme menovateľa tak, aby premenná mala rovnaký koeficient ako v logaritme 
Je tiež ľahké pochopiť a vykonať skúšku. Ťažkosti študentov pri výpočte limitov začínajú nasledujúcimi úlohami.
Príklad 8 Vypočítajte limit funkcie[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Riešenie: Máme singularitu typu 1 na mocninu nekonečna. Ak mi neveríte, môžete všade nahradiť nekonečno namiesto „x“ a uvidíte sami. Na zvýšenie podľa pravidla rozdelíme čitateľa menovateľom v zátvorkách, preto najprv vykonáme manipulácie 
Dosaďte výraz do limity a otočte ho na 2 pozoruhodné limity 
Limitom je mocnina 10. Konštanty, ktoré sú výrazmi s premennou v zátvorkách aj stupňom, neprispievajú k žiadnemu „počasiu“ – toto si treba zapamätať. A ak sa vás učitelia opýtajú - "Prečo neotočíte ukazovateľ?" (Pre tento príklad v x-3 ), potom povedzte, že "Keď premenná smeruje k nekonečnu, potom k nej pridajte 100 alebo odčítajte 1000 a limit zostane rovnaký!".
Existuje druhý spôsob výpočtu limitov tohto typu. Povieme si o tom v ďalšej úlohe.
Príklad 9 Nájdite hranicu 
Riešenie: Teraz vyberieme premennú v čitateli a menovateli a zmeníme jednu vlastnosť na inú. Na získanie konečnej hodnoty používame vzorec Dôsledku 2 pozoruhodnej hranice 
Príklad 10 Nájdite limit funkcie
Riešenie: Nie každý môže nájsť daný limit. Ak chcete zvýšiť limit na 2, predstavte si, že sin (3x) je premenná a musíte otočiť exponent 
Ďalej zapíšeme indikátor ako stupeň v stupni 
Prechodné argumenty sú popísané v zátvorkách. V dôsledku použitia prvej a druhej nádhernej hranice sme dostali kockový exponent.
Príklad 11. Vypočítajte limit funkcie hriech(2*x)/log(3*x+1)
Riešenie: Máme neurčitosť tvaru 0/0. Okrem toho vidíme, že funkcia by mala byť prevedená na použitie oboch nádherných limitov. Vykonajte predchádzajúce matematické transformácie 
Ďalej, bez ťažkostí, limit nadobúda hodnotu 
Takto sa budete cítiť v pohode na testoch, testoch, moduloch, ak sa naučíte rýchlo maľovať funkcie a zredukovať ich na prvú alebo druhú úžasnú hranicu. Ak je pre vás ťažké zapamätať si vyššie uvedené metódy hľadania limitov, potom si u nás môžete kedykoľvek objednať kontrolné práce na limitoch.
Ak to chcete urobiť, vyplňte formulár, zadajte údaje a priložte súbor s príkladmi. Pomohli sme mnohým študentom – môžeme pomôcť aj vám!
