Ak je funkcia f(x) má na nejakom intervale obsahujúcom bod a, deriváty všetkých rádov, potom naň možno použiť Taylorov vzorec:

kde rn- takzvaný zvyškový člen alebo zvyšok série, možno ho odhadnúť pomocou Lagrangeovho vzorca:

, kde číslo x je uzavreté medzi X a a.

Ak pre nejakú hodnotu x r n®0 pri n®¥, potom sa v limite Taylorov vzorec pre túto hodnotu zmení na konvergentný vzorec Taylorova séria:

Takže funkcia f(x) možno v uvažovanom bode rozšíriť do Taylorovho radu X, ak:

1) má deriváty všetkých rádov;

2) zostrojený rad v tomto bode konverguje.

O a=0 dostaneme sériu tzv neďaleko Maclaurinu:

Príklad 1 f(x)= 2X.

Riešenie. Nájdeme hodnoty funkcie a jej derivátov na X=0

f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2X V 22, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2X ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Nahradením získaných hodnôt derivátov do vzorca Taylorovho radu dostaneme:

Polomer konvergencie tohto radu sa rovná nekonečnu, takže toto rozšírenie platí pre -¥<X<+¥.

Príklad 2 X+4) pre funkciu f(x)= e X.

Riešenie. Hľadanie derivácií funkcie e X a ich hodnoty v bode X=-4.

f(x)= e X, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e X, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e X, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .

Preto požadovaný Taylorov rad funkcie má tvar:

Tento rozklad platí aj pre -¥<X<+¥.

Príklad 3 . Rozbaliť funkciu f(x)=ln X v sérii podľa stupňov ( X- 1),

(t. j. v Taylorovom rade v blízkosti bodu X=1).

Riešenie. Nájdeme deriváty tejto funkcie.

Nahradením týchto hodnôt do vzorca získame požadovaný Taylorov rad:

Pomocou d'Alembertovho testu je možné overiť, že séria konverguje, keď

½ X- 1½<1. Действительно,

Rad konverguje, ak ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 získame striedavý rad, ktorý spĺňa podmienky Leibnizovho testu. O X Funkcia =0 nie je definovaná. Oblasť konvergencie Taylorovho radu je teda polootvorený interval (0;2].

Uveďme takto získané rozšírenia v Maclaurinovom rade (t. j. v okolí bodu X=0) pre niektoré elementárne funkcie:

(2) ,

(3) ,

( posledná expanzia je tzv binomický rad)

Príklad 4 . Rozbaľte funkciu na mocninový rad

Riešenie. V rozklade (1) nahrádzame X na - X 2, dostaneme:

Príklad 5 . Rozšírte funkciu v sérii Maclaurin

Riešenie. Máme

Pomocou vzorca (4) môžeme napísať:

nahradenie namiesto X do vzorca -X, dostaneme:

Odtiaľto nájdeme:

Dostaneme rozšírenie zátvoriek, preusporiadanie výrazov série a zmenšenie podobných výrazov

Tento rad v intervale konverguje

(-1;1), pretože je odvodený z dvoch radov, z ktorých každý konverguje v tomto intervale.

Komentujte .

Vzorce (1)-(5) možno použiť aj na rozšírenie zodpovedajúcich funkcií v Taylorovom rade, t.j. na rozšírenie funkcií v kladných celých mocninách ( Ha). Na to je potrebné vykonať také identické transformácie na danej funkcii, aby sme získali jednu z funkcií (1) - (5), v ktorej namiesto X náklady k( Ha) m , kde k je konštantné číslo, m je kladné celé číslo. Často je vhodné zmeniť premennú t=Ha a rozšíriť výslednú funkciu vzhľadom na t v Maclaurinovom rade.

Táto metóda ilustruje teorém o jedinečnosti expanzie funkcie v mocninnom rade. Podstatou tejto vety je, že v blízkosti toho istého bodu nemožno získať dva rôzne mocninné rady, ktoré by konvergovali k tej istej funkcii, bez ohľadu na to, ako sa jej expanzia vykonáva.

Príklad 6 . Rozšírte funkciu v Taylorovom rade v okolí bodu X=3.

Riešenie. Tento problém je možné vyriešiť, ako predtým, pomocou definície Taylorovho radu, pre ktorý je potrebné nájsť deriváty funkcií a ich hodnoty na X=3. Bude však jednoduchšie použiť existujúci rozklad (5):

Výsledný rad konverguje na alebo -3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Príklad 7 . Napíšte Taylorovu sériu v mocninách ( X-1) vlastnosti .

Riešenie.

Séria konverguje na , alebo 2< X 5 £.

16.1. Rozšírenie elementárnych funkcií v Taylorovom rade a

Maclaurin

Ukážme, že ak je na množine definovaná ľubovoľná funkcia
, v blízkosti bodu
má veľa derivátov a je súčtom mocninového radu:

potom môžete nájsť koeficienty tohto radu.

Nahraďte v mocninnom rade
. Potom
.

Nájdite prvú deriváciu funkcie
:

O
:
.

Pre druhú deriváciu dostaneme:

O
:
.

Pokračovanie v tomto postupe n akonáhle dostaneme:
.

Takto sme dostali mocninný rad vo forme:

,

ktorá sa volá blízko Taylora pre funkciu
okolo bodu
.

Špeciálnym prípadom Taylorovho radu je Séria Maclaurin pri
:

Zvyšok série Taylor (Maclaurin) sa získa vyradením hlavnej série n prvé termíny a označuje sa ako
. Potom funkcia
možno zapísať ako súčet n prví členovia série
a zvyšok
:,

.

Zvyšok je zvyčajne
vyjadrené v rôznych vzorcoch.

Jeden z nich je vo forme Lagrange:

, kde
.
.

Všimnite si, že v praxi sa séria Maclaurin používa častejšie. Aby bolo možné napísať funkciu
vo forme súčtu mocninového radu je potrebné:

1) nájdite koeficienty série Maclaurin (Taylor);

2) nájdite oblasť konvergencie výsledného mocninového radu;

3) dokážte, že daný rad konverguje k funkcii
.

Veta1 (nevyhnutná a postačujúca podmienka pre konvergenciu Maclaurinovho radu). Nech je polomer konvergencie radu
. Aby tento rad v intervale konvergoval
k funkcii
je potrebné a postačujúce, aby bola splnená táto podmienka:
v určenom intervale.

Veta 2. Ak derivácie ľubovoľného rádu funkcie
v nejakom intervale
v absolútnej hodnote obmedzené na rovnaký počet M, teda
, potom v tomto intervale funkcia
možno rozšíriť v sérii Maclaurin.

Príklad1 . Expandujte v Taylorovom rade okolo bodu
funkciu.

Riešenie.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Oblasť konvergencie
.

Príklad2 . Rozbaliť funkciu v Taylorovom rade okolo bodu
.

Riešenie:

Hodnotu funkcie a jej derivácií nájdeme na
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Nahraďte tieto hodnoty v rade. Dostaneme:

alebo
.

Nájdite oblasť konvergencie tohto radu. Podľa d'Alembertovho testu rad konverguje, ak

.

Preto pre akékoľvek tento limit je menší ako 1, a preto oblasť konvergencie radu bude:
.

Uvažujme niekoľko príkladov rozšírenia základných elementárnych funkcií do Maclaurinovho radu. Pripomeňme, že séria Maclaurin:

.

konverguje na intervale
k funkcii
.

Upozorňujeme, že na rozšírenie funkcie do série je potrebné:

a) nájdite koeficienty Maclaurinovho radu pre danú funkciu;

b) vypočítajte polomer konvergencie pre výsledný rad;

c) dokážte, že výsledný rad konverguje k funkcii
.

Príklad 3 Zvážte funkciu
.

Riešenie.

Vypočítajme hodnotu funkcie a jej derivácie pre
.

Potom majú číselné koeficienty radu tvar:

pre hocikoho n. Dosadíme nájdené koeficienty v Maclaurinovom rade a dostaneme:

Nájdite polomer konvergencie výsledného radu, konkrétne:

.

Preto rad konverguje k intervalu
.

Tento rad konverguje k funkcii pre akékoľvek hodnoty , pretože na akomkoľvek intervale
funkciu a jeho deriváty absolútnej hodnoty sú obmedzené počtom .

Príklad4 . Zvážte funkciu
.

Riešenie.

:

Je ľahké vidieť, že deriváty párneho rádu
a deriváty nepárneho poriadku. Dosadíme nájdené koeficienty v Maclaurinovom rade a získame rozšírenie:

Nájdite interval konvergencie tohto radu. Podľa d'Alemberta:

pre hocikoho . Preto rad konverguje k intervalu
.

Tento rad konverguje k funkcii
, pretože všetky jeho deriváty sú obmedzené na jeden.

Príklad5 .
.

Riešenie.

Nájdite hodnotu funkcie a jej derivácií na
:

Takže koeficienty tohto radu:
a
, V dôsledku toho:

Podobne ako v predchádzajúcej sérii, oblasť konvergencie
. Rad konverguje k funkcii
, pretože všetky jeho deriváty sú obmedzené na jeden.

Všimnite si, že funkcia
nepárne a radové rozšírenie v nepárnych mocninách, funkcia
– párne a rozšírenie v rade v párnych mocninách.

Príklad6 . Binomický rad:
.

Riešenie.

Nájdite hodnotu funkcie a jej derivácií na
:

Toto ukazuje, že:

Tieto hodnoty koeficientov nahradíme v Maclaurinovom rade a získame rozšírenie tejto funkcie v mocninnom rade:

Poďme nájsť polomer konvergencie tohto radu:

Preto rad konverguje k intervalu
. Na hraničných bodoch pri
a
séria môže alebo nemusí konvergovať v závislosti od exponentu
.

Študovaný rad konverguje na intervale
k funkcii
, teda súčet série
pri
.

Príklad7 . Rozšírme funkciu v sérii Maclaurin
.

Riešenie.

Na rozšírenie tejto funkcie na rad používame binomický rad pre
. Dostaneme:

Na základe vlastnosti mocninného radu (mocninový rad možno integrovať v oblasti jeho konvergencie) nájdeme integrál ľavej a pravej časti tohto radu:

Nájdite oblasť konvergencie tohto radu:
,

to znamená, že oblasťou konvergencie tohto radu je interval
. Určme konvergenciu radu na koncoch intervalu. O

. Tento rad je harmonický, to znamená, že sa rozchádza. O
dostaneme číselný rad so spoločným členom
.

Leibnizova séria konverguje. Oblasťou konvergencie tohto radu je teda interval
.

16.2. Aplikácia mocninných radov v približných výpočtoch

Mocninné rady zohrávajú pri približných výpočtoch mimoriadne dôležitú úlohu. S ich pomocou boli zostavené tabuľky trigonometrických funkcií, tabuľky logaritmov, tabuľky hodnôt iných funkcií, ktoré sa používajú v rôznych oblastiach vedomostí, napríklad v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike. Okrem toho je rozšírenie funkcií v mocninnom rade užitočné pre ich teoretické štúdium. Hlavným problémom pri použití mocninových radov v približných výpočtoch je otázka odhadu chyby pri nahradení súčtu radu súčtom jeho prvého nčlenov.

Zvážte dva prípady:

funkcia je rozšírená do striedavého radu;

funkcia je rozšírená do série s konštantným znamienkom.

Výpočet pomocou striedavých radov

Nechajte funkciu
rozšírený do striedavého výkonového radu. Potom pri výpočte tejto funkcie pre konkrétnu hodnotu dostaneme číselný rad, na ktorý môžeme aplikovať Leibnizov test. V súlade s týmto kritériom, ak sa súčet série nahradí súčtom jej prvého nčlenov, potom absolútna chyba nepresiahne prvý člen zvyšku tohto radu, to znamená:
.

Príklad8 . Vypočítajte
s presnosťou 0,0001.

Riešenie.

Na to použijeme sériu Maclaurin
, nahradením hodnoty uhla v radiánoch:

Ak porovnáme prvého a druhého člena radu s danou presnosťou, potom: .

Tretí termín rozšírenia:

menšia ako špecifikovaná presnosť výpočtu. Preto počítať
stačí ponechať dva termíny radu, t.j.

.

Touto cestou
.

Príklad9 . Vypočítajte
s presnosťou 0,001.

Riešenie.

Použijeme vzorec binomického radu. Pre toto píšeme
ako:
.

V tomto výraze
,

Porovnajme každý z členov radu s presnosťou, ktorá je daná. To je jasné
. Preto počítať
stačí nechať troch členov série.

alebo
.

Výpočet pomocou znamienkovo-pozitívnych radov

Príklad10 . Vypočítajte číslo s presnosťou 0,001.

Riešenie.

V rade pre funkciu
náhrada
. Dostaneme:

Odhadnime chybu, ktorá vznikne, keď sa súčet radu nahradí súčtom prvého členov. Zapíšme si zjavnú nerovnosť:

t.j. 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Podľa stavu problému musíte nájsť n tak, že platí nasledujúca nerovnosť:
alebo
.

Je ľahké skontrolovať, že kedy n= 6:
.

v dôsledku toho
.

Príklad11 . Vypočítajte
s presnosťou 0,0001.

Riešenie.

Všimnite si, že na výpočet logaritmov je možné použiť rad funkcie
, ale tento rad konverguje veľmi pomaly a na dosiahnutie danej presnosti by bolo treba vziať 9999 členov! Preto sa na výpočet logaritmov spravidla používa rad funkcie
, ktorá konverguje na intervale
.

Vypočítať
s týmto riadkom. Nechaj
, potom .

v dôsledku toho
,

Aby bolo možné vypočítať
s danou presnosťou vezmite súčet prvých štyroch výrazov:
.

Zvyšok radu
zahodiť. Odhadnime chybu. To je zrejmé

alebo
.

V rade, ktorý bol použitý na výpočet, teda stačilo vziať len prvé štyri členy namiesto 9999 v rade pre funkciu
.

Otázky pre samodiagnostiku

1. Čo je to Taylorov rad?

2. akú sériu mal Maclaurin?

3. Formulujte vetu o expanzii funkcie v Taylorovom rade.

4. Napíšte rozšírenie v Maclaurinovom rade hlavných funkcií.

5. Označte oblasti konvergencie uvažovaného radu.

6. Ako odhadnúť chybu pri približných výpočtoch pomocou mocninových radov?

Študenti vyššej matematiky by si mali uvedomiť, že súčet niektorých mocninných radov patriacich do intervalu konvergencie radu, ktorý nám je daný, je spojitá a neobmedzene veľakrát derivovaná funkcia. Vzniká otázka: je možné tvrdiť, že daná ľubovoľná funkcia f(x) je súčtom nejakého mocninného radu? To znamená, za akých podmienok môže byť funkcia f(x) reprezentovaná mocninným radom? Dôležitosť tejto otázky spočíva v tom, že funkciu f(x) je možné približne nahradiť súčtom niekoľkých prvých členov mocninného radu, teda polynómom. Takéto nahradenie funkcie pomerne jednoduchým výrazom - polynómom - je vhodné aj pri riešení niektorých problémov, a to: pri riešení integrálov, pri výpočte atď.

Je dokázané, že pre nejakú funkciu f(x), v ktorej možno vypočítať derivácie až do (n + 1) rádu, vrátane posledného, ​​v okolí (α - R; x 0 + R) niektorých bod x = α vzorec:

Tento vzorec je pomenovaný po slávnom vedcovi Brookovi Taylorovi. Séria získaná z predchádzajúcej sa nazýva séria Maclaurin:

Pravidlo, ktoré umožňuje rozšírenie v sérii Maclaurin:

1. Určte deriváty prvého, druhého, tretieho ... rádu.
2. Vypočítajte, aké sú derivácie v x=0.
3. Napíšte Maclaurinov rad pre túto funkciu a potom určte interval jej konvergencie.
4. Určte interval (-R;R), kde je zvyšok Maclaurinovho vzorca

R n (x) -> 0 pre n -> nekonečno. Ak existuje, funkcia f(x) v ňom sa musí zhodovať so súčtom Maclaurinovho radu.

Zvážte teraz rad Maclaurin pre jednotlivé funkcie.

1. Takže prvé bude f(x) = e x. Samozrejme, podľa svojich vlastností má takáto funkcia deriváty veľmi odlišných rádov a f (k) (x) \u003d e x, kde k sa rovná všetkému Dosaďte x \u003d 0. Dostaneme f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1,2 ... Na základe vyššie uvedeného bude séria e x vyzerať takto:

2. Maclaurinov rad pre funkciu f(x) = sin x. Okamžite objasnite, že funkcia pre všetky neznáme bude mať deriváty, okrem f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), kde k sa rovná ľubovoľnému prirodzenému číslu. To znamená, že jednoduchými výpočtami môžeme dospieť k záveru, že séria pre f(x) = sin x bude vyzerať takto:

3. Teraz skúsme zvážiť funkciu f(x) = cos x. Má deriváty ľubovoľného poradia pre všetky neznáme a |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Uviedli sme teda najdôležitejšie funkcie, ktoré je možné rozšíriť v sérii Maclaurin, ale pre niektoré funkcie sú doplnené o sériu Taylor. Teraz ich uvedieme. Za zmienku tiež stojí, že Taylorove a Maclaurinove rady sú dôležitou súčasťou nácviku riešenia radov vo vyššej matematike. Takže séria Taylor.

1. Prvý bude riadok pre f-ii f (x) = ln (1 + x). Rovnako ako v predchádzajúcich príkladoch, ak máme f (x) = ln (1 + x), môžeme pridať rad pomocou všeobecného tvaru Maclaurinovho radu. pre túto funkciu sa však séria Maclaurin dá získať oveľa jednoduchšie. Po integrácii určitého geometrického radu dostaneme rad pre f (x) = ln (1 + x) takejto vzorky:

2. A druhá, ktorá bude v našom článku konečná, bude séria pre f (x) \u003d arctg x. Pre x patriace do intervalu [-1; 1] platí rozšírenie:

To je všetko. V tomto článku sa uvažuje o najpoužívanejších Taylorových a Maclaurinových radoch vo vyššej matematike, najmä na ekonomických a technických univerzitách.

Ak má funkcia f(x) derivácie všetkých rádov na nejakom intervale obsahujúcom bod a, možno na ňu použiť Taylorov vzorec:
,
kde rn- takzvaný zvyškový člen alebo zvyšok série, možno ho odhadnúť pomocou Lagrangeovho vzorca:
, kde číslo x leží medzi x a a.

f(x)=

v bode x 0 = Počet prvkov riadku 3 4 5 6 7

Využite rozšírenie elementárnych funkcií e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Pravidlá zadávania funkcií:

Ak pre nejakú hodnotu X rn→0 o n→∞, potom sa v limite Taylorov vzorec pre túto hodnotu zmení na konvergentný Taylorova séria:
,
Funkciu f(x) je teda možné rozšíriť na Taylorov rad v uvažovanom bode x, ak:
1) má deriváty všetkých rádov;
2) zostrojený rad v tomto bode konverguje.

Pre a = 0 dostaneme rad tzv neďaleko Maclaurinu:
,
Rozšírenie najjednoduchších (elementárnych) funkcií v rade Maclaurin:
exponenciálne funkcie
R = ∞
Goniometrické funkcie
R = ∞
R = ∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcia actgx sa nerozpína ​​v mocninách x, pretože ctg0=∞
Hyperbolické funkcie


Logaritmické funkcie
, -1
Binomický rad
.

Príklad #1. Rozbaľte funkciu na mocninový rad f(x)= 2X.
Riešenie. Nájdeme hodnoty funkcie a jej derivátov na X=0
f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2X V 22, f""( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;
…
f(n)(x) = 2X ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Nahradením získaných hodnôt derivátov do vzorca Taylorovho radu dostaneme:

Polomer konvergencie tohto radu sa rovná nekonečnu, takže toto rozšírenie platí pre -∞<X<+∞.

Príklad č. 2. Napíšte Taylorovu sériu v mocninách ( X+4) pre funkciu f(x)= e X.
Riešenie. Hľadanie derivácií funkcie e X a ich hodnoty v bode X=-4.
f(x)= e X, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e X, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e X, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Preto požadovaný Taylorov rad funkcie má tvar:

Toto rozšírenie platí aj pre -∞<X<+∞.

Príklad č. 3. Rozbaliť funkciu f(x)=ln X v sérii podľa stupňov ( X- 1),
(t. j. v Taylorovom rade v blízkosti bodu X=1).
Riešenie. Nájdeme deriváty tejto funkcie.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Nahradením týchto hodnôt do vzorca dostaneme požadovaný Taylorov rad:

Pomocou d'Alembertovho testu je možné overiť, že séria konverguje pri ½x-1½<1 . Действительно,

Rad konverguje, ak ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 získame striedavý rad, ktorý spĺňa podmienky Leibnizovho testu. Pre x=0 funkcia nie je definovaná. Oblasť konvergencie Taylorovho radu je teda polootvorený interval (0;2].

Príklad č. 4. Rozbaľte funkciu v mocninnom rade.
Riešenie. Pri rozklade (1) nahradíme x -x 2, dostaneme:
, -∞

Príklad číslo 5. Rozšírte funkciu v sérii Maclaurin .
Riešenie. Máme
Pomocou vzorca (4) môžeme napísať:

dosadením namiesto x vo vzorci -x dostaneme:

Odtiaľto nájdeme: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Dostaneme rozšírenie zátvoriek, preusporiadanie výrazov série a zmenšenie podobných výrazov
. Tento rad konverguje v intervale (-1;1), pretože je získaný z dvoch radov, z ktorých každý konverguje v tomto intervale.

Komentujte .
Vzorce (1)-(5) možno použiť aj na rozšírenie zodpovedajúcich funkcií v Taylorovom rade, t.j. na rozšírenie funkcií v kladných celých mocninách ( Ha). Na to je potrebné vykonať také identické transformácie na danej funkcii, aby sme získali jednu z funkcií (1) - (5), v ktorej namiesto X náklady k( Ha) m , kde k je konštantné číslo, m je kladné celé číslo. Často je vhodné zmeniť premennú t=Ha a rozšíriť výslednú funkciu vzhľadom na t v Maclaurinovom rade.

Táto metóda je založená na teoréme o jedinečnosti expanzie funkcie v mocninnom rade. Podstatou tejto vety je, že v blízkosti toho istého bodu nemožno získať dva rôzne mocninné rady, ktoré by konvergovali k tej istej funkcii, bez ohľadu na to, ako sa jej expanzia vykonáva.

Príklad č. 5a. Rozbaľte funkciu v sérii Maclaurin a označte oblasť konvergencie.
Riešenie. Najprv nájdeme 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
na základné:

Zlomok 3/(1-3x) možno považovať za súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s menovateľom 3x, ak |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

s konvergenčným regiónom |x|< 1/3.

Príklad číslo 6. Rozviňte funkciu v Taylorovom rade v blízkosti bodu x = 3.
Riešenie. Tento problém je možné vyriešiť, ako predtým, pomocou definície Taylorovho radu, pre ktorý je potrebné nájsť deriváty funkcií a ich hodnoty na X=3. Bude však jednoduchšie použiť existujúci rozklad (5):
=
Výsledný rad konverguje na alebo -3

Príklad číslo 7. Napíšte Taylorov rad v mocninách (x -1) funkcie ln(x+2) .
Riešenie.


Séria konverguje na , alebo -2< x < 5.

Príklad číslo 8. Rozviňte funkciu f(x)=sin(πx/4) v Taylorovom rade okolo bodu x =2.
Riešenie. Urobme náhradu t=x-2:

Pomocou rozšírenia (3), v ktorom za x dosadíme π / 4 t, dostaneme:

Výsledný rad konverguje k danej funkcii pri -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Touto cestou,
, (-∞

Približné výpočty pomocou mocninových radov

Mocninné rady sú široko používané v približných výpočtoch. S ich pomocou môžete s danou presnosťou vypočítať hodnoty koreňov, goniometrické funkcie, logaritmy čísel, určité integrály. Rad sa používa aj pri integrácii diferenciálnych rovníc.
Zvážte rozšírenie funkcie v mocninnom rade:

Vypočítať približnú hodnotu funkcie v danom bode X, patriaci do oblasti konvergencie uvedeného radu, prvý nčlenovia ( n je konečné číslo) a zvyšné členy sa vynechajú:

Pre odhad chyby získanej približnej hodnoty je potrebné odhadnúť vyradené reziduum r n (x) . Na tento účel sa používajú nasledujúce metódy:

• ak je výsledný rad znakov striedavý, potom sa použije nasledujúca vlastnosť: v prípade striedavej série, ktorá spĺňa Leibnizove podmienky, absolútna hodnota zvyšku série nepresahuje prvý vyradený člen.
• ak má daný rad konštantné znamienko, potom sa rad zložený z vyradených členov porovnáva s nekonečne klesajúcou geometrickou progresiou.
• vo všeobecnom prípade na odhad zvyšku Taylorovho radu môžete použiť Lagrangeov vzorec: a X ).

Príklad č. 1. Vypočítajte ln(3) s presnosťou 0,01.
Riešenie. Použime rozklad , kde x=1/2 (pozri príklad 5 v predchádzajúcej téme):

Pozrime sa, či môžeme zahodiť zvyšok po prvých troch členoch expanzie, preto ho vyhodnotíme pomocou súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti:

Takže môžeme tento zvyšok zahodiť a získať

Príklad č. 2. Vypočítajte s presnosťou na 0,0001.
Riešenie. Použime binomický rad. Keďže 5 3 je najbližšia celočíselná kocka k 130, odporúča sa reprezentovať číslo 130 ako 130=5 3 +5.



keďže štvrtý člen získanej série so striedavým znamienkom, ktorý vyhovuje Leibnizovmu testu, je už menší ako požadovaná presnosť:
, takže ho a nasledujúce výrazy možno zahodiť.
Mnoho prakticky potrebných určitých alebo nevlastných integrálov nemožno vypočítať pomocou Newton-Leibnizovho vzorca, pretože jeho aplikácia je spojená s hľadaním primitívnej derivácie, ktorá často nemá výraz v elementárnych funkciách. Stáva sa aj to, že hľadanie primitívnej látky je možné, ale zbytočne prácne. Ak je však integrand rozšírený do mocninového radu a integračné limity patria do intervalu konvergencie tohto radu, potom je možný približný výpočet integrálu s vopred stanovenou presnosťou.

Príklad č. 3. Vypočítajte integrál ∫ 0 1 4 sin (x) x s presnosťou 10 -5 .
Riešenie. Príslušný neurčitý integrál nemožno vyjadriť v elementárnych funkciách, t.j. je „nemožný integrál“. Tu nemožno použiť Newtonov-Leibnizov vzorec. Vypočítajme približne integrál.
Rozdelenie pojmov podľa pojmov série pre hriech X na X, dostaneme:

Integrovaním tohto radu člen po člene (to je možné, pretože limity integrácie patria do intervalu konvergencie tohto radu), dostaneme:

Keďže výsledný rad spĺňa Leibnizove podmienky a na získanie požadovanej hodnoty s danou presnosťou stačí zobrať súčet prvých dvoch členov.
Tak zistíme
.

Príklad č. 4. Vypočítajte integrál ∫ 0 1 4 e x 2 s presnosťou 0,001.
Riešenie.
. Skontrolujeme, či môžeme zahodiť zvyšok po druhom člene výsledného radu.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Ako vložiť matematické vzorce na stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky generuje. Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.

Ak na svojej stránke neustále používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax na vašu stránku, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob je zložitejší a časovo náročnejší a umožní vám zrýchliť načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax stane z nejakého dôvodu dočasne nedostupným, nijako to neovplyvní vašu vlastnú stránku. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a do 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky a alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v službe Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu a umiestnite miniaplikáciu bližšie k začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Akýkoľvek fraktál je zostavený podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Vznikne sada pozostávajúca z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.