Tento článok obsahuje štruktúrované a podrobné informácie, ktoré môžu byť užitočné pri analýze cvičení a problémov. Budeme sa zaoberať témou číselného radu.
Tento článok začína základnými definíciami a pojmami. Ďalej budeme študovať štandardné možnosti a študovať základné vzorce. S cieľom konsolidovať materiál obsahuje článok hlavné príklady a úlohy.
Základné tézy
Najprv si predstavte systém: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , kde a k ∈ R, k = 1, 2. . . .
Vezmime si napríklad čísla ako: 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , . . . .
Definícia 1
Číselný rad je súčtom členov ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n + . . . .
Pre lepšie pochopenie definície zvážte tento prípad, kde q = - 0 . 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .
Definícia 2
a k je bežné resp k-týčlen radu.
Vyzerá to asi takto - 16 · - 1 2 k.
Definícia 3
Čiastočný súčet série vyzerá asi takto S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , v ktorom n- ľubovoľné číslo. S n je n-tý súčet série.
Napríklad ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k je S4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .
S1, S2,. . . , S n , . . . tvoria nekonečnú postupnosť čísel.
Za číslo n-tý súčet sa zistí podľa vzorca S n \u003d a 1 (1 - q n) 1 - q \u003d 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 \u003d 16 3 1 - - 1 2 n. Používame nasledujúcu postupnosť čiastkových súčtov: 8 , 4 , 6 , 5 , . . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .
Definícia 4
Rad ∑ k = 1 ∞ a k je zbiehajúce sa keď postupnosť má konečnú limitu S = lim S n n → + ∞ . Ak limita neexistuje alebo postupnosť je nekonečná, potom sa rad ∑ k = 1 ∞ a k nazýva divergentný.
Definícia 5
Súčet konvergentných radov∑ k = 1 ∞ a k je limita postupnosti ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .
V tomto príklade lim S nn → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, séria ∑ k = 1 ∞ (- 16 ) · - 1 2 k konverguje. Súčet je 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .
Príklad 1
Príkladom divergentného radu je súčet geometrickej progresie s menovateľom väčším ako jedna: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k-1.
N-tý čiastkový súčet je definovaný výrazom S n = a 1 (1 - qn) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, pričom hranica čiastkových súčtov je nekonečná: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .
Ďalším príkladom divergentného číselného radu je súčet tvaru ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . V tomto prípade možno n-tý čiastkový súčet vypočítať ako S n = 5 n . Limita parciálnych súčtov je nekonečná lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .
Definícia 6
Súčet podobný ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1n + . . . - Toto harmonickýčíselný rad.
Definícia 7
Súčet ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1n s + . . . , kde s je reálne číslo, je zovšeobecnený harmonický číselný rad.
Vyššie uvedené definície vám pomôžu vyriešiť väčšinu príkladov a problémov.
Na doplnenie definícií je potrebné dokázať určité rovnice.
- ∑ k = 1 ∞ 1 k je divergentné.
Konáme obrátene. Ak konverguje, potom je limita konečná. Rovnicu môžeme zapísať ako lim n → + ∞ S n = S a lim n → + ∞ S 2 n = S . Po určitých akciách dostaneme rovnosť l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 .
proti,
S2n - Sn = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n
Platia nasledujúce nerovnosti: 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . 12n-1 > 12n. Dostaneme, že S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 12 n = n2 n = 12. Výraz S 2 n - S n > 1 2 naznačuje, že lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 sa nedosiahne. Séria je divergentná.
- b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b1qn+. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1
Je potrebné potvrdiť, že súčet postupnosti čísel pre q konverguje< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
Podľa vyššie uvedených definícií súčet nčlenov sa určuje podľa vzorca S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .
Ak q< 1 верно
lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 qn - 1 q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1
Dokázali sme, že číselný rad konverguje.
Pre q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Súčty možno nájsť pomocou vzorca S n = b 1 · n , limita je nekonečná lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . V prezentovanej verzii sa séria líši.
Ak q = -1, potom riadok vyzerá ako b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Čiastkové súčty vyzerajú ako S n = b 1 pre nepárne n a Sn = 0 pre párne n. Po zvážení tohto prípadu sa ubezpečíme, že neexistuje žiadny limit a séria je divergentná.
Pre q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (qn - 1) q - 1 = b 1 lim n → + ∞ qnq - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞
Dokázali sme, že číselný rad sa rozchádza.
- Rad ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguje, ak s > 1 a diverguje, ak s ≤ 1 .
Pre s = 1 dostaneme ∑ k = 1 ∞ 1 k , rad diverguje.
Pre s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k , prirodzené číslo. Keďže rad je divergentný ∑ k = 1 ∞ 1 k , neexistuje žiadna hranica. Následne je postupnosť ∑ k = 1 ∞ 1 k s neobmedzená. Dospeli sme k záveru, že vybraný rad sa líši v s< 1 .
Je potrebné preukázať, že rad ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguje pre s > 1.
Predstavte si S 2 n - 1 - S n - 1:
S2n-1-Sn-1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1(2n - 1)s
Povedzme, že 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Predstavte si rovnicu pre čísla, ktoré sú prirodzené a párne n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
Dostaneme:
∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 17 s + 18 s + . . . + 115 s + . . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
Výraz 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . je súčet geometrickej postupnosti q = 1 2 s - 1 . Podľa prvotných údajov s > 1, potom 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 zvyšuje a je limitovaný zhora 1 1 - 1 2 s - 1 . Predstavte si, že existuje limita a rad je konvergentný ∑ k = 1 ∞ 1 k s .
Definícia 8
Rad ∑ k = 1 ∞ a k v tom prípade pozitívne, ak jeho členy > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .
Séria ∑ k = 1 ∞ b k striedavý ak sa znamienka čísel líšia. Tento príklad je reprezentovaný ako ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k ak alebo ∑ k = 1 ∞ bk = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 ak , kde ak > 0 , k = 1,2,. . . .
Séria ∑ k = 1 ∞ b k striedavý, pretože obsahuje veľa čísel, záporných aj kladných.
Druhý variant série je špeciálnym prípadom tretieho variantu.
Tu sú príklady pre každý prípad:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
Pre tretiu možnosť môžete definovať aj absolútnu a podmienenú konvergenciu.
Definícia 9
Striedavý rad ∑ k = 1 ∞ b k je absolútne konvergentný, ak sa za konvergentný považuje aj ∑ k = 1 ∞ b k.
Poďme sa pozrieť na niektoré z typických možností.
Príklad 2
Ak sú riadky 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . a 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . sú definované ako konvergentné, potom je správne predpokladať, že 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .
Definícia 10
Striedavý rad ∑ k = 1 ∞ b k sa považuje za podmienene konvergentný, ak ∑ k = 1 ∞ b k je divergentný a rad ∑ k = 1 ∞ b k sa považuje za konvergentný.
Príklad 3
Pozrime sa podrobne na možnosť ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Séria ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , ktorá pozostáva z absolútnych hodnôt, je definovaná ako divergentná. Tento variant sa považuje za konvergentný, pretože je ľahké ho určiť. Z tohto príkladu sa dozvieme, že rad ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . budú považované za podmienene konvergentné.
Vlastnosti konvergentných radov
Poďme analyzovať vlastnosti pre určité prípady
- Ak ∑ k = 1 ∞ a k konverguje, potom rad ∑ k = m + 1 ∞ a k sa tiež považuje za konvergentný. Dá sa poznamenať, že séria mčlenovia sa tiež považujú za konvergentné. Ak k ∑ k = m + 1 ∞ a k pripočítame niekoľko čísel, potom bude výsledný výsledok tiež konvergovať.
- Ak ∑ k = 1 ∞ a k konverguje a súčet = S, potom rad ∑ k = 1 ∞ A ak , ∑ k = 1 ∞ A ak = AS , kde A- konštantný.
- Ak ∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ b k sú konvergentné, súčty A A B potom tiež konvergujú rady ∑ k = 1 ∞ a k + b k a ∑ k = 1 ∞ a k - b k. Sumy budú A+B A A-B resp.
Určite, že rad konverguje ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .
Zmeňme výraz ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Rad ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 sa považuje za konvergentný, pretože rad ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguje pre s > 1. Podľa druhej vlastnosti ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .
Príklad 5
Určte, či rad konverguje ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 .
Pôvodnú verziu transformujeme ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 n ∞ 1 .
Dostaneme súčet ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 a ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Každý rad sa podľa vlastnosti považuje za konvergentný. Keďže sa série zbiehajú, zbieha sa aj pôvodná verzia.
Príklad 6
Vypočítajte, či rad 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + konverguje. . . a vypočítajte sumu.
Poďme si rozobrať originál:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2
Každý rad konverguje, pretože je jedným z členov číselnej postupnosti. Podľa tretej vlastnosti vieme vypočítať, že aj pôvodná verzia je konvergentná. Vypočítame súčet: Prvý člen radu ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 a menovateľ = 0 . 5, za ktorým nasleduje ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0. 5 = 2. Prvý člen je ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 a menovateľ klesajúcej číselnej postupnosti = 1 3 . Dostaneme: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .
Vyššie získané výrazy použijeme na určenie súčtu 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7
Nevyhnutná podmienka na určenie, či je rad konvergentný
Definícia 11Ak je rad ∑ k = 1 ∞ a k konvergentný, potom jeho limita k-týčlen = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .
Ak zaškrtneme akúkoľvek možnosť, potom nesmieme zabudnúť na nepostrádateľnú podmienku. Ak nie je splnená, séria sa rozchádza. Ak lim k → + ∞ a k ≠ 0 , potom je rad divergentný.
Malo by sa objasniť, že podmienka je dôležitá, ale nie dostatočná. Ak platí rovnosť lim k → + ∞ a k = 0, potom to nezaručuje, že ∑ k = 1 ∞ a k je konvergentné.
Vezmime si príklad. Pre harmonický rad ∑ k = 1 ∞ 1 k je splnená podmienka lim k → + ∞ 1 k = 0 , ale rad stále diverguje.
Príklad 7
Určte konvergenciu ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .
Skontrolujte pôvodný výraz pre podmienku lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0
Limit n-týčlen nie je 0 . Dokázali sme, že táto séria sa rozchádza.
Ako určiť konvergenciu radu kladných znamienok.
Ak neustále používate tieto funkcie, budete musieť neustále počítať limity. Táto časť vám pomôže vyhnúť sa ťažkostiam pri riešení príkladov a problémov. Aby bolo možné určiť konvergenciu radu kladných znamienok, existuje určitá podmienka.
Pre konvergenciu kladného znamienka ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . musíte definovať obmedzenú postupnosť súm.
Ako porovnávať riadky
Existuje niekoľko znakov porovnávania sérií. Porovnáme rad, ktorého konvergenciu navrhujeme určiť, s radom, ktorého konvergencia je známa.
Prvý znak
∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ b k sú kladné série. Nerovnosť a k ≤ b k platí pre k = 1, 2, 3, ... Z toho vyplýva, že z radu ∑ k = 1 ∞ b k môžeme dostať ∑ k = 1 ∞ a k . Keďže ∑ k = 1 ∞ a k diverguje, rad ∑ k = 1 ∞ b k možno definovať ako divergentný.
Toto pravidlo sa neustále používa na riešenie rovníc a je vážnym argumentom, ktorý pomôže určiť konvergenciu. Ťažkosti môžu spočívať v tom, že ani zďaleka nie je možné v každom prípade nájsť vhodný príklad na porovnanie. Pomerne často sa séria vyberá podľa princípu, že indikátor k-týčlen sa bude rovnať výsledku odčítania exponentov čitateľa a menovateľa k-týčlen radu. Povedzme, že a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , rozdiel sa bude rovnať 2 – 3 = - 1 . V tomto prípade možno určiť, že séria s k-týčlen b k = k - 1 = 1 k , ktorý je harmonický.
Aby sme skonsolidovali prijatý materiál, podrobne zvážime niekoľko typických možností.
Príklad 8
Určte, aký je rad ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 .
Keďže limita = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 , splnili sme nevyhnutnú podmienku. Nerovnosť bude spravodlivá 1 k< 1 k - 1 2 для k , ktoré sú prirodzené. Z predchádzajúcich odsekov sme sa dozvedeli, že harmonický rad ∑ k = 1 ∞ 1 k je divergentný. Podľa prvého kritéria je možné dokázať, že pôvodná verzia je divergentná.
Príklad 9
Určte, či je rad konvergentný alebo divergentný ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .
V tomto príklade je potrebná podmienka splnená, pretože lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Reprezentujeme vo forme nerovnosti 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Rad ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 je konvergentný, pretože harmonický rad ∑ k = 1 ∞ 1 k s konverguje pre s > 1. Podľa prvého znaku môžeme usúdiť, že číselný rad je konvergentný.
Príklad 10
Určte, aký je rad ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .
V tomto variante je možné označiť splnenie želanej podmienky. Definujme sériu na porovnanie. Napríklad ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Ak chcete určiť, čo je stupeň, zvážte postupnosť ( ln (ln k) ), k = 3 , 4 , 5 . . . . Členmi postupnosti ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . sa zvyšuje do nekonečna. Po analýze rovnice je možné poznamenať, že ak vezmeme hodnotu N = 1619, potom členy postupnosti > 2 . Pre túto postupnosť je nerovnosť 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
Druhé znamenie
Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ b k sú série kladných znamienok.
Ak lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , potom rad ∑ k = 1 ∞ b k konverguje a ∑ k = 1 ∞ ak tiež konverguje.
Ak lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , tak keďže rad ∑ k = 1 ∞ b k diverguje, potom diverguje aj ∑ k = 1 ∞ ak.
Ak lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ a lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, potom konvergencia alebo divergencia radu znamená konvergenciu alebo divergenciu iného.
Uvažujme ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 pomocou druhého kritéria. Na porovnanie ∑ k = 1 ∞ b k vezmeme konvergentný rad ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Definujte hranicu: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1
Podľa druhého kritéria možno určiť, že konvergentný rad ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 znamená, že konverguje aj pôvodná verzia.
Príklad 11
Určte, aký je rad ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .
Analyzujme potrebnú podmienku lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , ktorá je v tejto verzii splnená. Podľa druhého kritéria vezmite rad ∑ k = 1 ∞ 1 k . Hľadáme limitu: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4
Podľa vyššie uvedených téz divergentná séria znamená divergenciu pôvodnej série.
Tretie znamenie
Zvážte tretí znak porovnania.
Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k a _ ∑ k = 1 ∞ b k sú číselné rady s kladným znamienkom. Ak je podmienka splnená pre nejaké číslo a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , potom konvergencia tohto radu ∑ k = 1 ∞ b k znamená, že rad ∑ k = 1 ∞ a k je tiež konvergentný. Divergentný rad ∑ k = 1 ∞ a k znamená divergenciu ∑ k = 1 ∞ b k .
Znamenie d'Alemberta
Predstavte si, že ∑ k = 1 ∞ a k je rad čísel s kladným znamienkom. Ak lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, potom divergentné.
Poznámka 1
d'Alembertov test je platný, ak je limit nekonečný.
Ak lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , potom je rad konvergentný, ak lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , potom je divergentný.
Ak lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 , potom d'Alembertov test nepomôže a bude potrebných niekoľko ďalších štúdií.
Príklad 12
Určte, či je rad konvergentný alebo divergentný ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k d'Alembertovým testom.
Je potrebné skontrolovať, či je splnená potrebná podmienka konvergencie. Vypočítajme limit pomocou L'Hopitalovho pravidla: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ log 2 = 0
Vidíme, že podmienka je splnená. Použime d'Alembertov test: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1
Séria je konvergentná.
Príklad 13
Určite, či je rad divergentný ∑ k = 1 ∞ k k k ! .
Na určenie divergencie radu použijeme d'Alembertov test: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 kk (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) kkk = lim k → + ∞ k + 1 kk = lim k → + ∞ 1 + 1 kk = e > 1
Preto je séria divergentná.
Cauchyho radikálne znamenie
Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k je rad s kladným znamienkom. Ak lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, potom divergentné.
Poznámka 2
Ak lim k → + ∞ a k k = 1 , potom táto funkcia neposkytuje žiadne informácie – je potrebná ďalšia analýza.
Túto funkciu možno použiť v príkladoch, ktoré sa dajú ľahko identifikovať. Charakteristický bude prípad, keď je členom číselného radu exponenciálny exponenciálny výraz.
S cieľom konsolidovať prijaté informácie zvážte niekoľko typických príkladov.
Príklad 14
Určte, či kladný rad ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k konverguje v rade.
Nevyhnutná podmienka sa považuje za splnenú, keďže lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .
Podľa vyššie uvažovaného testu dostaneme lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.
Príklad 15
Konverguje číselný rad ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .
Používame znamienko opísané v predchádzajúcom odseku lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
Integrálny Cauchyho test
Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k je rad s kladným znamienkom. Je potrebné určiť funkciu súvislého argumentu y=f(x), ktorá sa zhoduje s a n = f (n) . Ak y=f(x) väčší ako nula, neláme sa a klesá na [ a ; + ∞), kde a ≥ 1
Potom, ak je nevlastný integrál ∫ a + ∞ f (x) d x konvergentný, potom uvažovaný rad tiež konverguje. Ak sa rozchádza, potom sa v uvažovanom príklade séria tiež rozchádza.
Pri kontrole rozpadu funkcie môžete použiť materiál diskutovaný v predchádzajúcich lekciách.
Príklad 16
Uvažujme príklad ∑ k = 2 ∞ 1 k ln k pre konvergenciu.
Podmienka konvergencie radu sa považuje za splnenú, pretože lim k → + ∞ 1 k ln k = 1 + ∞ = 0 . Uvažujme y = 1 x ln x . Je väčší ako nula, nie je prerušovaný a klesá o [ 2 ; +∞). Prvé dva body sú s určitosťou známe, no tretí by sa mal rozobrať podrobnejšie. Nájdite deriváciu: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 xx ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Je menšia ako nula na [ 2 + ∞) To dokazuje tézu, že funkcia je klesajúca.
V skutočnosti funkcia y = 1 x ln x zodpovedá vlastnostiam princípu, ktorý sme uvažovali vyššie. Používame to: ∫ 2 + ∞ d x x ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞
Podľa získaných výsledkov pôvodný príklad diverguje, pretože nevlastný integrál je divergentný.
Príklad 17
Dokážte konvergenciu radu ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .
Keďže lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, podmienka sa považuje za splnenú.
Počnúc k = 4 , správny výraz je 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Ak rad ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 považujeme za konvergentný, potom podľa jedného z princípov porovnávania rad ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 bude tiež považovaný za konvergentný. Môžeme teda určiť, že pôvodný výraz je tiež konvergentný.
Prejdime k dôkazu ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Keďže funkcia y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 je väčšia ako nula, nekončí a klesá na [ 4 ; +∞). Používame funkciu opísanú v predchádzajúcom odseku:
∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = limit A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 ln 28 2
Vo výslednom konvergentnom rade ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 môžeme určiť, že ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 tiež konverguje.
Znamenie Raabe
Predpokladajme, že ∑ k = 1 ∞ a k je rad čísel s kladným znamienkom.
Ak lim k → + ∞ k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, potom konverguje.
Táto metóda stanovenia sa môže použiť, ak vyššie opísané techniky neposkytujú viditeľné výsledky.
Štúdia absolútnej konvergencie
Pre výskum berieme ∑ k = 1 ∞ b k . Používame kladné znamienko ∑ k = 1 ∞ b k . Môžeme použiť ktorúkoľvek z vhodných funkcií, ktoré sme opísali vyššie. Ak rad ∑ k = 1 ∞ b k konverguje, potom pôvodný rad je absolútne konvergentný.
Príklad 18
Preskúmajte rad ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 pre konvergenciu ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k-1.
Podmienka je splnená lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Použijeme ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 a použijeme druhé znamienko: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .
Rad ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 konverguje. Pôvodná séria je tiež absolútne konvergentná.
Divergencia striedavých sérií
Ak je rad ∑ k = 1 ∞ b k divergentný, potom zodpovedajúci striedavý rad ∑ k = 1 ∞ b k je divergentný alebo podmienene konvergentný.
Iba d'Alembertov test a radikálny Cauchyho test pomôžu vyvodiť závery o ∑ k = 1 ∞ b k z divergencie z modulov ∑ k = 1 ∞ b k . Rad ∑ k = 1 ∞ b k diverguje aj vtedy, ak nie je splnená potrebná podmienka konvergencie, teda ak lim k → ∞ + b k ≠ 0 .
Príklad 19
Skontrolujte divergenciu 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .
modul k-týčlen je reprezentovaný ako b k = k ! 7k.
Poďme preskúmať rad ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k pre konvergenciu podľa d'Alembertovho kritéria: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 tisíc + 1 tisíc! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞ .
∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k sa líši rovnakým spôsobom ako pôvodná verzia.
Príklad 20
Je ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergentné.
Zvážte nevyhnutnú podmienku lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Podmienka nie je splnená, preto ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) rad je divergentný. Limit bol vypočítaný podľa L'Hospitalovho pravidla.
Kritériá podmienenej konvergencie
Leibnizov znak
Definícia 12Ak sa hodnoty členov striedavého radu znížia b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . a limit modulu = 0 ako k → + ∞ , potom rad ∑ k = 1 ∞ b k konverguje.
Príklad 17
Uvažujme ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) pre konvergenciu.
Séria je reprezentovaná ako ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Nevyhnutná podmienka je splnená lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Uvažujme ∑ k = 1 ∞ 1 k podľa druhého porovnávacieho kritéria lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5
Dostaneme, že ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) diverguje. Séria ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) konverguje podľa Leibnizovho kritéria: postupnosť 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . klesá a lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .
Séria podmienene konverguje.
Značka Abel-Dirichlet
Definícia 13∑ k = 1 + ∞ u k v k konverguje, ak ( u k ) nerastie a postupnosť ∑ k = 1 + ∞ v k je ohraničená.
Príklad 17
Preskúmajte 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . pre konvergenciu.
Predstavte si
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k
kde (u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - nerastúce, a postupnosť ( v k ) = 1 , - 3 , 2 , 1 , - 3 , 2 , . . . obmedzený (Sk) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Séria sa zbližuje.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
harmonický rad- súčet zložený z nekonečného počtu členov prevrátených k postupným číslam prirodzeného radu:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty ))(\frac (1) )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (k))+\cdots ).Encyklopedický YouTube
1 / 5
✪ Očíslujte riadky. Základné pojmy - bezbotvy
✪ Dôkaz divergencie harmonického radu
✪ Číselný rad-9. Konvergencia a divergencia Dirichletovho radu
✪ Konzultácia #1. Mat. analýza. Fourierove rady v goniometrickom systéme. Najjednoduchšie vlastnosti
✪ RIADKY. Prehľad
titulky
Súčet prvých n členov radu
Jednotlivé členy radu majú tendenciu k nule, ale jeho súčet sa rozchádza. N-tý čiastkový súčet sn harmonického radu je n-tým harmonickým číslom:
sn = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (n)))Niektoré hodnoty čiastkových súm
| s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 s 5 = 137 60 ≈ 2,283 (\displaystyle (\začiatok(1matica&=s_1) \\\\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \cca &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\cca &2(,)083\\\\s_(5)&=&(\frac (137)(60))&\cca &2(,)283\end(matica))) | s 6 = 49 20 = 2 . 45 s 7 = 363 140 ≈ 2,593 s 8 = 761 280 ≈ 2,718 s 10 3 ≈ 7,484 s 10 6 ≈(rix(x) 14,393 (begin)&=&s_displaystyle\ \frac (49)(20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\cca &2(,)593\\\\s_ (8)&=&(\frac (761)(280))&\cca &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\cca &7(,)484\\\\s_( 10^(6))&\cca &14(,)393\end(matica))) |
Eulerov vzorec
Keď hodnota ε n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\rightarrow 0), teda pre veľké n (\displaystyle n):
s n ≈ ln (n) + γ (\displaystyle s_(n)\približne \ln(n)+\gamma )- Eulerov vzorec pre súčet prvého n (\displaystyle n)členov harmonického radu.| n (\displaystyle n) | s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k))) | ln (n) + γ (\displaystyle \ln(n)+\gamma ) | ε n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Presnejší asymptotický vzorec pre čiastočný súčet harmonického radu:
s n ≍ ln (n) + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln (n) + γ + 1 2 n − 1 k ∞ k = 2 2 k n 2 k (\displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\ frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\bodky =\ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))- \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), kde B 2 k (\displaystyle B_(2k))- Bernoulliho čísla.Tento rad sa líši, ale chyba výpočtu na ňom nikdy nepresiahne polovicu prvého vyradeného termínu.
Číselno-teoretické vlastnosti parciálnych súčtov
∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )
Séria Divergencia
S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\rightarrow \infty ) pri n → ∞ (\displaystyle n\rightarrow \infty )
Harmonický rad sa rozchádza veľmi pomaly (na to, aby čiastkový súčet presiahol 100, je potrebných asi 10 43 prvkov série).
Divergenciu harmonických sérií možno demonštrovať porovnaním s teleskopickými sériami:
v n = ln (n + 1) − ln n = ln (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ left(1+(\frac (1)(n))\right)(\underset (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),ktorých čiastočný súčet sa zjavne rovná:
∑ i = 1 n − 1 v i = ln n ∼ s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).Oremov dôkaz
Dôkaz divergencie možno zostaviť zoskupením pojmov takto:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ . (\displaystyle (\begin(zarovnané)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\left[(\frac (1)(2) )\right]+\left[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))\right]+\left[(\frac (1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\right]+\left[(\frac (1)(9))+\cdots \ right]+\cdots \\&()>1+\left[(\frac (1)(2))\right]+\left[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\vpravo]+\vľavo[(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\right]+\left[(\frac (1)(16))+\cdots \right]+\cdots \\&()=1+\ (\frac (1)(2))\ \ \ +\quad (\frac (1)(2))\ \quad +\ \qquad \quad (\frac (1)(2))\qquad \ \quad \ +\quad \ \ (\frac (1) )(2))\ \quad +\ \cdots .\end (zarovnané)))Posledný riadok sa zjavne rozchádza. Tento dôkaz patrí stredovekému učencovi Nicholasovi Oremovi (okolo roku 1350).
Alternatívny dôkaz divergencie
Pozývame čitateľa, aby si overil mylnosť tohto dôkazu.
Rozdiel medzi n (\displaystyle n)-té harmonické číslo a prirodzený logaritmus n (\displaystyle n) konverguje k Euler - Mascheroniho konštante.
Rozdiel medzi rôznymi harmonickými číslami nie je nikdy celé číslo a žiadne harmonické číslo okrem H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1), nie je celé číslo.
Súvisiace riadky
Dirichletov riadok
Zovšeobecnený harmonický rad (alebo Dirichletov rad) sa nazýva rad
∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac ( 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha)))+(\frac (1)(3^(\alpha)))+(\frac ( 1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha )))+\cdots ).Zovšeobecnený harmonický rad sa rozchádza pri α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1) a konverguje na α > 1 (\displaystyle \alpha >1) .
Súčet zovšeobecnených radov harmonických rád α (\displaystyle \alpha ) sa rovná hodnote Riemannovej zeta funkcie:
∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k^(\alpha )))=\zeta (\alpha ))Pre párne čísla je táto hodnota explicitne vyjadrená v pi , napr. ζ (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))) a už pre α=3 je jeho hodnota analyticky neznáma.
Ďalšou ilustráciou divergencie harmonického radu môže byť vzťah ζ (1 + 1 n) ∼ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Preto sa o takomto rade hovorí, že má s pravdepodobnosťou 1 a súčet radu je náhodná veličina so zaujímavými vlastnosťami. Napríklad pravdepodobnosť hustoty funkcie vypočítaná v bodoch +2 alebo -2 má hodnotu:
0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,líšiace sa od ⅛ o menej ako 10 -42 .
"Preriedené" harmonické série
Séria Kempner (Angličtina)Ak vezmeme do úvahy harmonický rad, v ktorom sú ponechané iba členy, ktorých menovatelia neobsahujú číslo 9, potom sa ukáže, že zostávajúci súčet konverguje k číslu<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), za súčet „preriedeného“ radu sa berie čoraz menej výrazov. To znamená, že v konečnom dôsledku sa veľká väčšina členov, ktoré tvoria súčet harmonického radu, zahodí, aby sa neprekročila geometrická postupnosť obmedzujúca zhora.
Existuje niekoľko spôsobov, ako skontrolovať konvergenciu radu. Po prvé, môžete jednoducho nájsť súčet série. Ak vo výsledku dostaneme konečné číslo, potom také rad konverguje. Napríklad od r
potom rad konverguje. Ak sa nám nepodarilo nájsť súčet radu, potom by sa na kontrolu konvergencie radu mali použiť iné metódy.
Jednou z týchto metód je znak d'Alemberta
tu a sú n-tý a (n + 1)-tý člen radu a konvergencia je určená hodnotou D: Ak D< 1 - ряд сходится, если D >
Ako príklad skúmame konvergenciu radu pomocou d'Alembertovho testu. Najprv si napíšme výrazy pre a . Teraz nájdime zodpovedajúci limit:
Od roku podľa d'Alembertovho testu séria konverguje.
Ďalšou metódou na kontrolu konvergencie radu je radikálny znak Cauchyho, ktorý je napísaný takto:
tu je n-tý člen radu a konvergencia, ako v prípade d'Alembertovho testu, je určená hodnotou D: Ak D< 1 - ряд сходится, если D >1 - rozchádza sa. Keď D = 1 - tento znak nedáva odpoveď a je potrebný ďalší výskum.
Ako príklad študujeme konvergenciu radu pomocou radikálneho Cauchyho kritéria. Najprv napíšme výraz pre . Teraz nájdime zodpovedajúci limit:
Pretože title="15625/64>1"> , podľa radikálneho Cauchyho testu sa séria rozchádza.
Treba poznamenať, že spolu s vyššie uvedeným existujú aj ďalšie znaky konvergencie radu, ako napríklad integrálny Cauchyho test, Raabeho test atď.
Naša online kalkulačka, postavená na základe systému Wolfram Alpha, vám umožňuje otestovať konvergenciu radu. V tomto prípade, ak kalkulačka udáva konkrétne číslo ako súčet radu, potom rad konverguje. V opačnom prípade je potrebné venovať pozornosť položke „Test konvergencie radov“. Ak je tam prítomná fráza „séria konverguje“, potom séria konverguje. Ak je prítomná fráza "séria sa líši", potom sa séria líši.
Nižšie je uvedený preklad všetkých možných hodnôt položky "Test konvergencie radu":
| Anglický text | Text v ruštine |
|---|---|
| Testom harmonických sérií sa séria rozchádza. | Pri porovnaní študovaného radu s harmonickým radom sa pôvodný rad rozchádza. |
| Pomerový test je nepresvedčivý. | d'Alembertov test nemôže dať odpoveď o konvergencii radu. |
| Koreňový test je nepresvedčivý. | Cauchyho radikálny test nemôže dať odpoveď na konvergenciu radu. |
| Porovnávacím testom rad konverguje. | Na porovnanie, rad konverguje |
| Pomerovým testom rad konverguje. | Podľa d'Alembertovho testu séria konverguje |
| Pri limitnom teste sa série rozchádzajú. | Na základe skutočnosti, že title="(!LANG:Hranica n-tého člena radu, keď n->oo sa nerovná nule alebo neexistuje"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !} |
Odpoveď: séria sa rozchádza.
Príklad č. 3
Nájdite súčet radu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.
Keďže spodná hranica súčtu je 1, spoločný člen radu sa zapíše pod znak súčtu: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Zostavte n-tý čiastkový súčet radu, t.j. spočítajte prvých $n$ členov daného číselného radu:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$
Prečo píšem presne $\frac(2)(3\cdot 5)$, a nie $\frac(2)(15)$, bude jasné z ďalšieho rozprávania. Zaznamenanie čiastkového súčtu nás však k cieľu nepriblížilo ani o kúsok. Koniec koncov, musíme nájsť $\lim_(n\to\infty)S_n$, ale ak napíšeme:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$
potom nám tento záznam, vo forme úplne správny, vo svojej podstate nič nedá. Aby sme našli limitu, musí sa výraz čiastočného súčtu najskôr zjednodušiť.
Existuje na to štandardná transformácia, ktorá spočíva v rozklade zlomku $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, ktorý predstavuje spoločný člen radu, na elementárne zlomky. Samostatná téma je venovaná problematike rozkladu racionálnych zlomkov na elementárne (pozri napr. príklad č. 3 na tejto strane). Rozbalením zlomku $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ na elementárne zlomky máme:
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$
Čitatelia zlomkov na ľavej a pravej strane výslednej rovnosti srovnáme:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Existujú dva spôsoby, ako nájsť hodnoty $A$ a $B$. Môžete otvoriť zátvorky a zmeniť usporiadanie výrazov, alebo môžete jednoducho nahradiť niektoré vhodné hodnoty namiesto $n$. Len pre zmenu, v tomto príklade pôjdeme prvým spôsobom a ďalším - nahradíme súkromné hodnoty $n$. Rozbalením zátvoriek a preusporiadaním výrazov dostaneme:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
Na ľavej strane rovnice pred $n$ je nula. Ak chcete, ľavá strana rovnosti môže byť kvôli prehľadnosti reprezentovaná ako $0\cdot n+ 2$. Keďže na ľavej strane rovnosti $n$ predchádza nula a na pravej strane rovnosti $2A+2B$ predchádza $n$, máme prvú rovnicu: $2A+2B=0$. Obe časti tejto rovnice ihneď vydelíme 2, po čom dostaneme $A+B=0$.
Keďže voľný člen na ľavej strane rovnosti je rovný 2 a na pravej strane rovnosti je voľný člen rovný $3A+B$, potom $3A+B=2$. Takže máme systém:
$$ \vľavo\(\začiatok(zarovnané) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \koniec (zarovnané)\vpravo. $$
Dôkaz bude vykonaný metódou matematickej indukcie. V prvom kroku musíme skontrolovať, či požadovaná rovnosť $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ platí pre $n=1$. Vieme, že $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, ale bude výraz $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ dávať hodnotu $\frac( 2 )(15)$, ak sa do neho nahradí $n=1$? Skontrolujme to:
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$
Takže pre $n=1$ je splnená rovnosť $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Tým sa dokončí prvý krok metódy matematickej indukcie.
Predpokladajme, že pre $n=k$ platí rovnosť, t.j. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Dokážme, že rovnaká rovnosť bude platiť pre $n=k+1$. Ak to chcete urobiť, zvážte $S_(k+1)$:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$
Keďže $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, potom $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Podľa vyššie uvedeného predpokladu $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, takže vzorec $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ trvá formulár:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$
Záver: vzorec $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ platí pre $n=k+1$. Preto podľa metódy matematickej indukcie platí vzorec $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ pre ľubovoľné $n\in N$. Rovnosť bola preukázaná.
V štandardnom kurze vyššej matematiky sa zvyčajne uspokojíte s „vymazaním“ rušiacich výrazov bez toho, aby ste požadovali akýkoľvek dôkaz. Získali sme teda výraz pre n-tý čiastkový súčet: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Nájdite hodnotu $\lim_(n\to\infty)S_n$:
Záver: daný rad konverguje a jeho súčet je $S=\frac(1)(3)$.
Druhým spôsobom je zjednodušenie vzorca pre čiastkový súčet.
Aby som bol úprimný, sám preferujem tento spôsob :) Čiastkový súčet si zapíšme v skrátenej forme:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$
Dostali sme sa skôr, že $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, takže:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\vľavo (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\vpravo). $$
Súčet $S_n$ obsahuje konečný počet členov, takže ich môžeme preusporiadať, ako chceme. Chcem najprv pridať všetky výrazy vo forme $\frac(1)(2k+1)$ a až potom prejsť na výrazy vo forme $\frac(1)(2k+3)$. To znamená, že čiastkový súčet budeme reprezentovať v tomto tvare:
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\vpravo). $$
Rozšírený zápis je samozrejme mimoriadne nepohodlný, takže vyššie uvedená rovnosť môže byť napísaná kompaktnejšie:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\vľavo(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\vpravo)=\suma\limity_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\súčet\limity_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$
Teraz transformujeme výrazy $\frac(1)(2k+1)$ a $\frac(1)(2k+3)$ do rovnakého tvaru. Myslím, že je vhodné, aby to vyzeralo ako väčší zlomok (aj keď môžete použiť aj menší, je to vec vkusu). Keďže $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (čím väčší menovateľ, tým menší zlomok), zlomok $\frac(1)(2k+ znížime 3) $ do tvaru $\frac(1)(2k+1)$.
Výraz v menovateli zlomku $\frac(1)(2k+3)$ uvediem takto:
$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$
A súčet $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ možno teraz zapísať takto:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$
Ak je rovnosť $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ nevyvoláva otázky, potom poďme ďalej. Ak máte otázky, rozšírte poznámku.
Ako sme získali prevedenú sumu? ukázať skryť
Mali sme sériu $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Predstavme si novú premennú namiesto $k+1$ – napríklad $t$. Takže $t=k+1$.
Ako sa zmenila stará premenná $k$? A zmenilo sa z 1 na $n$. Poďme zistiť, ako sa zmení nová premenná $t$. Ak $k=1$, potom $t=1+1=2$. Ak $k=n$, potom $t=n+1$. Takže výraz $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ je teraz: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$
Máme súčet $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Otázka: záleží na tom, ktoré písmeno použiť v tejto sume? :) Jednoduchým napísaním písmena $k$ namiesto $t$ dostaneme nasledovné:
$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$
Takto je rovnosť $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) sa získa \frac(1)(2k+1)$.
Čiastočný súčet teda môže byť vyjadrený v tejto forme:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$
Všimnite si, že súčty $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ a $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ sa líšia iba limitmi súčtu. Urobme tieto limity rovnaké. "Vzatím" prvého prvku zo súčtu $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ dostaneme:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$
"Vezmeme" posledný prvok zo súčtu $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, dostaneme:
$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$
Potom výraz pre čiastočný súčet bude mať tvar:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\vpravo)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Ak preskočíte všetky vysvetlenia, proces hľadania skráteného vzorca pre n-tý čiastkový súčet bude mať nasledujúcu podobu:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\vľavo(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\vpravo)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\vpravo)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Pripomínam, že zlomok $\frac(1)(2k+3)$ sme zredukovali do tvaru $\frac(1)(2k+1)$. Samozrejme, môžete to urobiť aj opačne, t.j. predstavujú zlomok $\frac(1)(2k+1)$ ako $\frac(1)(2k+3)$. Výsledný výraz pre čiastkový súčet sa nezmení. V tomto prípade skryjem proces zisťovania čiastkovej sumy pod poznámku.
Ako nájsť $S_n$, ak prenesiete do tvaru iného zlomku? ukázať skryť
$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\vpravo) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$
Takže $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Nájdite limit $\lim_(n\to\infty)S_n$:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$
Daný rad konverguje a jeho súčet je $S=\frac(1)(3)$.
Odpoveď: $S=\frac(1)(3)$.
O pokračovaní témy hľadania súčtu série sa bude uvažovať v druhej a tretej časti.
Nájdite súčet radu čísel. Ak to nie je možné nájsť, potom systém vypočíta súčet série s určitou presnosťou.
Séria Konvergencia
Táto kalkulačka dokáže určiť, či rad konverguje, a tiež ukazuje, ktoré znaky konvergencie fungujú a ktoré nie.
Vie určiť aj konvergenciu mocninných radov.
Zostavený je aj sériový graf, kde môžete vidieť mieru konvergencie radu (alebo divergencie).
Pravidlá pre zadávanie výrazov a funkcií
Výrazy môžu pozostávať z funkcií (zápisy sú uvedené v abecednom poradí): absolútne (x) Absolútna hodnota X
(modul X alebo |x|)
arccos(x) Funkcia - oblúk kosínus of X arccosh(x) Arc cosine hyperbolic from X arcsin(x) Arcsine z X arcsinh(x) Arcsine hyperbolický od X arctg(x) Funkcia - oblúková tangens od X arctgh(x) Arkustangens je hyperbolický od X e ečíslo, ktoré sa približne rovná 2,7 exp(x) Funkcia - exponent od X(ktorý je e^X)
log(x) alebo log(x) Prirodzený logaritmus X
(Získať log7(x), musíte zadať log(x)/log(7) (alebo napr log10(x)=log(x)/log(10)) piČíslo je "Pi", čo sa približne rovná 3,14 hriech(x) Funkcia - Sínus X cos(x) Funkcia - kosínus X sinh(x) Funkcia - Hyperbolický sínus X hotovosť (x) Funkcia - Hyperbolický kosínus of X sqrt(x) Funkcia je druhá odmocnina z X sqr(x) alebo x^2 Funkcia - Štvorec X tg(x) Funkcia - dotyčnica od X tgh(x) Funkcia - Hyperbolický tangens of X cbrt(x) Funkcia je odmocninou z X
Vo výrazoch môžete použiť nasledujúce operácie: Reálne čísla zadajte do formulára 7.5
, nie 7,5
2*x- násobenie 3/x- rozdelenie x^3- umocňovanie x + 7- prídavok x - 6- odčítanie
Ďalšie vlastnosti: poschodie (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X dole (príklad poschodia (4,5)==4,0) strop (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X hore (príklad stropu(4,5)==5,0) znak (x) Funkcia - Sign X erf(x) Chybová funkcia (alebo pravdepodobnostný integrál) laplace(x) Laplaceova funkcia
