Podstata súradnicovej metódy na riešenie geometrických úloh

Podstatou riešenia problémov pomocou súradnicovej metódy je zaviesť súradnicový systém, ktorý nám v tom či onom prípade vyhovuje, a pomocou neho prepísať všetky údaje. Potom sa všetky neznáme množstvá alebo dôkazy uchovávajú pomocou tohto systému. Ako zadať súradnice bodov v akomkoľvek súradnicovom systéme sme diskutovali v inom článku - tu sa nebudeme zaoberať.

Uveďme si hlavné tvrdenia, ktoré sa používajú v súradnicovej metóde.

Vyhlásenie 1: Súradnice vektora budú určené rozdielom medzi príslušnými súradnicami konca tohto vektora a jeho začiatku.

Vyhlásenie 2: Stredové súradnice segmentu budú definované ako polovica súčtu zodpovedajúcich súradníc jeho hraníc.

Vyhlásenie 3: Dĺžka ľubovoľného vektora $\overline(δ)$ s danými súradnicami $(δ_1,δ_2,δ_3)$ bude určená vzorcom

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Vyhlásenie 4: Vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi danými súradnicami $(δ_1,δ_2,δ_3)$ a $(β_1,β_2,β_3)$ bude určená vzorcom

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Schéma riešenia geometrických úloh súradnicovou metódou

Na riešenie geometrických problémov pomocou súradnicovej metódy je najlepšie použiť túto schému:

Analyzujte, čo je uvedené v probléme:

• Nastavte najvhodnejší súradnicový systém pre danú úlohu;
• Matematicky sa zapíše podmienka problému, otázka problému, zostaví sa výkres pre tento problém.

1. Zapíšte si všetky údaje problému v súradniciach zvoleného súradnicového systému.

2. Zostavte potrebné vzťahy zo stavu problému a tiež spojte tieto vzťahy s tým, čo je potrebné nájsť (dokázať v probléme).
3. Získaný výsledok je preložený do jazyka geometrie.

Príklady úloh riešených súradnicovou metódou

Ako hlavné úlohy vedúce k súradnicovej metóde možno vyčleniť nasledovné úlohy (ich riešenia tu nebudú uvedené):

1. Úlohy na nájdenie súradníc vektora na jeho konci a začiatku.
2. Úlohy súvisiace s rozdelením segmentu v akomkoľvek ohľade.
3. Dôkaz, že tri body ležia na tej istej priamke alebo že štyri body ležia na tej istej rovine.
4. Úloha nájsť vzdialenosť medzi dvoma danými bodmi.
5. Problémy pri hľadaní objemov a plôch geometrických tvarov.

Výsledky riešenia prvého a štvrtého problému uvádzame ako hlavné tvrdenia vyššie a pomerne často sa používajú na riešenie iných problémov pomocou súradnicovej metódy.

Príklady úloh na aplikáciu súradnicovej metódy

Príklad 1

Nájdite stranu pravidelnej pyramídy, ktorej výška je 3 $ cm, ak je strana základne 4 $ cm.

Dajme nám pravidelnú pyramídu $ABCDS$, ktorej výška je $SO$. Predstavme si súradnicový systém, ako na obrázku 1.

Keďže bod $A$ je stredom súradnicového systému, ktorý sme vytvorili

Keďže body $B$ a $D$ patria do osí $Ox$ a $Oy$, potom

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Keďže bod $C$ patrí do roviny $Oxy$

Keďže pyramída je pravidelná, potom $O$ je stredom segmentu $$. Podľa tvrdenia 2 dostaneme:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

Od výšky $SO$

Test z geometrie v 11. ročníku

Téma: " Metóda súradníc v priestore“.

Cieľ: Preveriť teoretické vedomosti študentov, ich zručnosti a schopnosti aplikovať tieto poznatky pri riešení úloh vektorovými, vektorovo-súradnicovými spôsobmi.

Úlohy:

1 .Vytvoriť podmienky na kontrolu (sebakontrola, vzájomná kontrola) asimilácie vedomostí a zručností.

2. Rozvíjať matematické myslenie, reč, pozornosť.

3. Podporovať aktivitu, mobilitu, schopnosť komunikovať, všeobecnú kultúru študentov.

Formulár správania: pracovať v skupinách.

Vybavenie a zdroje informácií: plátno, multimediálny projektor, tabuľkový procesor, kreditné karty, testy.

Počas vyučovania

1. Mobilizačný moment.

lekcia používania CSR; žiaci sú rozdelení do 3 dynamických skupín, v ktorých sú žiaci s prijateľnou, optimálnou a pokročilou úrovňou. Každá skupina má svojho koordinátora, ktorý riadi prácu celej skupiny.

2 . Sebaurčenie žiakov na základe anticipácie.

Úloha:stanovenie cieľov podľa schémy: zapamätať si-učiť sa-byť schopný.

Vstupný test - Vyplňte medzery (na výtlačkoch)

vstupný test

Vyplň prázdne miesta…

1. Cez bod v priestore sú nakreslené tri párové kolmé čiary

na každom z nich vyberieme smer a jednotku merania segmentov,

potom povedia, že je to nastavené …………. vo vesmíre.

2. Priame čiary so zvolenými smermi sa nazývajú …………………..,

a ich spoločným bodom je …………. .

3. V pravouhlom súradnicovom systéme je každý bod M priestoru spojený s trojicou čísel, ktoré ho nazývajú ………………..

4. Súradnice bodu v priestore sa nazývajú ………………..

5. Vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednej, sa nazýva …………..

6. Vektory irksa volajú………….

7. Šanca Xrz v rozklade a= Xi + rj + zk volal

…………… vektor a .

8. Každá súradnica súčtu dvoch alebo viacerých vektorov sa rovná ……………..

9. Každá súradnica rozdielu dvoch vektorov sa rovná ……………….

10. Každá súradnica súčinu vektora a čísla sa rovná………………..

11.Každá súradnica vektora sa rovná…………….

12. Každá súradnica stredu úsečky sa rovná……………….

13. Dĺžka vektora a { Xrz) sa vypočíta podľa vzorca …………………………

14. Vzdialenosť medzi bodmi M 1(X 1 ; r 1; z 1) a M 2 (X 2; r 2 ; z2) sa vypočíta podľa vzorca …………………

15. Skalárny súčin dvoch vektorov sa nazýva………..

16. Skalárny súčin nenulových vektorov sa rovná nule………………..

17. Bodový súčin vektorova{ X 1; r 1; z 1} b { X 2 ; r 2 ; z 2) v vyjadrené vzorcom ………………………

Vzájomné overenie vstupného testu. Odpovede na úlohy testu na obrazovke.

Hodnotiace kritériá:

1-2 chyby - "5"

3-4 chyby - "4"

5-6 chýb - "3"

V ostatných prípadoch - "2"

3. Robiť prácu. (pre karty).

Každá karta obsahuje dve úlohy: č.1 - teoretická s dôkazom, č.2 obsahuje úlohy.

Vysvetlite úroveň náročnosti úloh zahrnutých v práci. Skupina plní jednu úlohu, ale má 2 časti. Koordinátor skupiny riadi prácu celej skupiny. Diskusia o rovnakých informáciách s viacerými partnermi zvyšuje zodpovednosť nielen za vlastné úspechy, ale aj za výsledky kolektívnej práce, čo pozitívne vplýva na mikroklímu v tíme.

KARTA #1

1. Odvoďte vzorce vyjadrujúce súradnice stredu segmentu z hľadiska súradníc jeho koncov.

2. Úloha: 1) Sú dané body A (-3; 1; 2) a B (1; -1; 2).

Nájsť:

a) súradnice stredu úsečky AB

b) súradnice a dĺžka vektora AB

2) Je daná kocka ABCDA1 B1 C1 D1. Pomocou súradnicovej metódy nájdite uhol

medzi čiarami AB1 a A1D.

KARTA č. 2

Odvoďte vzorec na výpočet dĺžky vektora z jeho súradníc.

Úloha: 1) Dané body M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Nájdite vzdialenosť od začiatku súradníc do stredu segmentu MN.

→ → → → →

2) Vektorové dáta a a b. Nájsť b(a+b), ak a(-2;3;6),b=6i-8k

KARTA #3

Odvoďte vzorec na výpočet vzdialenosti medzi bodmi s danými súradnicami.

Úloha: 1) Sú dané body A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).

Dokážte, že ∆ABC je rovnoramenný a nájdite dĺžku stredovej čiary trojuholníka spájajúceho stredy strán.

2) Vypočítajte uhol medzi priamkami AB a SD, ak A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

KARTA č. 4

Odvoďte vzorce pre kosínus uhla medzi nenulovými vektormi s danými súradnicami.

Úloha: 1) Sú uvedené súradnice troch vrcholov rovnobežníka ABCD:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Nájdite súradnice bodu D.

2) Nájdite uhol medzi priamkami AB a CD, ak A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

KARTA č. 5

Povedzte nám, ako vypočítať uhol medzi dvoma čiarami v priestore pomocou smerových vektorov týchto čiar. →→

Úloha: 1) Nájdite skalárny súčin vektorova a b, ak:

→ → → ^ →

a) | a| =4; | b| =√3 (ab)=30◦

b) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k

2) Uvádzajú sa body A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) a D(2;4;4). Dokážte, že ABCD je kosoštvorec.

4. Kontrola práce dynamických skupín na kartách.

Počúvame prejavy predstaviteľov skupín. Prácu skupín hodnotí učiteľ za účasti žiakov.

5. Odraz. Známky za zápočet.

Záverečný test s výberom odpovedí (v tlačových výstupoch).

1) Sú uvedené vektory a {2 ;-4 ;3} b(-3; ─; 1). Nájdite vektorové súradnice

→ 2

c = a+ b

a) (-5; 3 -; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)

2) Sú uvedené vektory a(4; -3; 5) a b(-3; 1; 2). Nájdite vektorové súradnice

C=2 a – 3 b

a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Vypočítajte skalárny súčin vektorovm a n, ak m = a + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 a - b ak | a|=2 , ‌| b |=3, (ab‌) = 60°, c ┴ a , c ┴ b.

a)-1; b) -27; v 1; d) 35.

4) Dĺžka vektora a { Xrz) sa rovná 5. Nájdite súradnice vektora a ifX=2, z=-√5

a) 16; b) 4 alebo -4; na 9; d) 3 alebo -3.

5) Nájdite oblasť ∆ABC, ak A(1;-1;3); B(3;-1;1) a C(-1;1;-3).

a) 4°3; b) √3; c) 2°3; d) √8.

Krížový overovací test. Kódy odpovedí na testovacie úlohy na obrazovke: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5(c).

Hodnotiace kritériá:

Všetko je správne - "5"

1 chyba - "4"

2 chyby - "3"

V ostatných prípadoch - "2"

Tabuľka vedomostí študentov

Pracovať na

karty

finálny, konečný

test

Úverové skóre

Úlohy

teória

prax

1 skupina

2 skupina

3 skupina

Hodnotenie prípravy žiakov na test.

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Pravouhlý súradnicový systém v priestore. Vektorové súradnice.

Pravouhlý súradnicový systém

Ak sú cez bod v priestore nakreslené tri párové kolmé čiary, na každej z nich je zvolený smer a je zvolená jednotka merania segmentov, potom hovoria, že v priestore je nastavený pravouhlý súradnicový systém.

Priame čiary, na ktorých sú zvolené smery, sa nazývajú súradnicové osi a ich spoločný bod sa nazýva počiatok súradníc. Zvyčajne sa označuje písmenom O. Súradnicové osi sa označujú takto: Ox, Oy, O z - a majú názvy: os x, os y, os aplikácie.

Celý súradnicový systém sa označuje Oxy z . Roviny prechádzajúce súradnicovými osami Ox a Oy, Oy a Oz, Oz a Ox sa nazývajú súradnicové roviny a označujú sa Oxy, Oyz, Ozx.

Bod O rozdeľuje každú zo súradnicových osí na dva lúče. Lúč, ktorého smer sa zhoduje so smerom osi, sa nazýva kladná poloos a druhý lúč je záporná poloos.

V pravouhlom súradnicovom systéme je každý bod M priestoru spojený s trojicou čísel, ktoré sa nazývajú jeho súradnice.

Na obrázku je šesť bodov A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) F(0; 0; -3).

Vektorové súradnice

Akýkoľvek vektor je možné rozložiť na súradnicové vektory, t. j. reprezentované vo forme, v ktorej sú expanzné koeficienty x, y, z jednoznačne určené.

Koeficienty x, y a z pri expanzii vektora v zmysle súradnicových vektorov nazývame súradnicami vektora v danom súradnicovom systéme.

Zvážte pravidlá, ktoré nám umožňujú nájsť súradnice ich súčtu a rozdielu, ako aj súradnice súčinu daného vektora daným číslom pomocou súradníc týchto vektorov.

desať . Každá súradnica súčtu dvoch alebo viacerých vektorov sa rovná súčtu zodpovedajúcich súradníc týchto vektorov. Inými slovami, ak a (x 1, y 1, z 1) a b (x 2, y 2, z 2 ) sú dané vektormi, potom vektor a + b má súradnice (x 1 + x 2, y 1 + y2, z1 + z2).

dvadsať . Každá súradnica rozdielu dvoch vektorov sa rovná rozdielu zodpovedajúcich súradníc týchto vektorov. Inými slovami, ak a (x 1, y 1, z 1) a b (x 2 y 2; z 2) sú dané vektory, potom vektor a - b má súradnice (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2).

tridsať . Každá súradnica súčinu vektora číslom sa rovná súčinu zodpovedajúcej súradnice vektora týmto číslom. Inými slovami, ak a (x; y; x) je daný vektor, α je dané číslo, potom vektor α a má súradnice (αx; αy; α z).

K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky

Didaktická písomka "Súbor poznámok pre žiakov na tému "Metóda súradníc v priestore" na vedenie vyučovacích hodín formou prednášok. Geometria ročník 10-11....

Účel vyučovacej hodiny: Otestovať vedomosti, zručnosti a schopnosti žiakov na tému „Využitie metódy súradníc v priestore na riešenie úloh C2 POUŽÍVAŤ.“ Plánované vzdelávacie výsledky: Žiaci preukážu: ...

Súradnicová metóda je veľmi efektívny a všestranný spôsob, ako nájsť akékoľvek uhly alebo vzdialenosti medzi stereometrickými objektmi v priestore. Ak je váš učiteľ matematiky vysoko kvalifikovaný, potom by to mal vedieť. V opačnom prípade by som radil pre časť "C" zmeniť tútora. Moja príprava na skúšku z matematiky C1-C6 zvyčajne zahŕňa analýzu základných algoritmov a vzorcov popísaných nižšie.

Uhol medzi čiarami a a b

Uhol medzi čiarami v priestore je uhol medzi ľubovoľnými pretínajúcimi sa čiarami rovnobežnými s nimi. Tento uhol sa rovná uhlu medzi smerovými vektormi týchto čiar (alebo ho dopĺňa na 180 stupňov).

Aký algoritmus používa učiteľ matematiky na nájdenie uhla?

1) Vyberte ľubovoľné vektory a majúce smery priamok a a b (s nimi rovnobežné).
2) Určíme súradnice vektorov a príslušnými súradnicami ich začiatkov a koncov (súradnice začiatku treba odpočítať od súradníc konca vektora).
3) Nájdené súradnice dosadíme do vzorca:
. Ak chcete nájsť samotný uhol, musíte nájsť kosínus oblúka výsledku.

Normálne do lietadla

Normálou k rovine je akýkoľvek vektor kolmý na túto rovinu.
Ako nájsť normálne? Na zistenie súradníc normály stačí poznať súradnice ľubovoľných troch bodov M, N a K ležiacich v danej rovine. Pomocou týchto súradníc nájdeme súradnice vektorov a vyžadujeme splnenie podmienok a. Prirovnaním skalárneho súčinu vektorov k nule zostavíme sústavu rovníc s tromi premennými, z ktorých môžeme zistiť súradnice normály.

Poznámka učiteľa matematiky : Systém nie je potrebné riešiť úplne, pretože stačí zvoliť aspoň jeden normálny. Ak to chcete urobiť, môžete nahradiť ľubovoľné číslo (napríklad jednotku) namiesto ktorejkoľvek z jeho neznámych súradníc a vyriešiť systém dvoch rovníc so zvyšnými dvoma neznámymi. Ak nemá žiadne riešenia, znamená to, že v rodine normálov nie je nikto, kto by mal jednotku pre vybranú premennú. Potom nahraďte jednu inú premennú (inú súradnicu) a vyriešte nový systém. Ak znova vynecháte, vaša normálka bude mať jednotku na poslednej súradnici a ukáže sa, že je rovnobežná s nejakou súradnicovou rovinou (v tomto prípade je ľahké ju nájsť bez systému).

Povedzme, že dostaneme priamku a rovinu so súradnicami smerového vektora a normály
Uhol medzi priamkou a rovinou sa vypočíta podľa tohto vzorca:

Nech a sú ľubovoľné dve normály k daným rovinám. Potom sa kosínus uhla medzi rovinami rovná modulu kosínusu uhla medzi normálami:

Rovnica roviny v priestore

Body vyhovujúce rovnosti tvoria rovinu s normálou. Koeficient je zodpovedný za veľkosť odchýlky (paralelný posun) medzi dvoma rovinami s rovnakou danou normálou. Aby ste mohli napísať rovnicu roviny, musíte najprv nájsť jej normálu (ako je popísané vyššie) a potom do rovnice nahradiť súradnice ľubovoľného bodu v rovine spolu so súradnicami nájdenej normály a nájsť koeficient .

Aby ste mohli použiť metódu súradníc, musíte dobre poznať vzorce. Sú tri z nich:

Na prvý pohľad to vyzerá hrozivo, no stačí trocha cviku – a všetko bude fungovať skvele.

Úloha. Nájdite kosínus uhla medzi vektormi a = (4; 3; 0) a b = (0; 12; 5).

Riešenie. Keďže sú nám dané súradnice vektorov, dosadíme ich do prvého vzorca:

Úloha. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) a K = (2; 1; 0), ak je známe, že neprechádza pôvod.

Riešenie. Všeobecná rovnica roviny: Ax + By + Cz + D = 0, ale keďže požadovaná rovina neprechádza počiatkom - bodom (0; 0; 0) - nastavíme D = 1. Keďže táto rovina prechádza cez body M, N a K, potom súradnice týchto bodov by mali zmeniť rovnicu na skutočnú číselnú rovnosť.

Namiesto x, y a z dosadíme súradnice bodu M = (2; 0; 1). Máme:
A2 + B° + C1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Podobne pre body N = (0; 1; 1) a K = (2; 1; 0) dostaneme rovnice:
Ao + B1 + C1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A2 + B1 + Co + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Takže máme tri rovnice a tri neznáme. Zostavíme a vyriešime sústavu rovníc:

Dostali sme, že rovnica roviny má tvar: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Úloha. Rovina je daná rovnicou 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Nájdite súradnice vektora kolmého na danú rovinu.

Riešenie. Pomocou tretieho vzorca dostaneme n = (7; − 2; 4) - to je všetko!

Výpočet súradníc vektorov

Ale čo ak v úlohe nie sú žiadne vektory - existujú iba body ležiace na priamkach a je potrebné vypočítať uhol medzi týmito priamkami? Je to jednoduché: ak poznáte súradnice bodov - začiatok a koniec vektora - môžete vypočítať súradnice samotného vektora.

Na nájdenie súradníc vektora je potrebné odpočítať súradnice začiatku od súradníc jeho konca.

Táto veta funguje rovnako v rovine aj v priestore. Výraz „odčítanie súradníc“ znamená, že súradnica x iného bodu sa odpočíta od súradnice x jedného bodu, potom sa to isté musí urobiť so súradnicami yaz. Tu je niekoľko príkladov:

Úloha. V priestore sú tri body dané ich súradnicami: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) a C = (− 4; 3; − 2). Nájdite súradnice vektorov AB, AC a BC.

Uvažujme vektor AB: jeho začiatok je v bode A a jeho koniec je v bode B. Preto, aby sme našli jeho súradnice, je potrebné odpočítať súradnice bodu A od súradníc bodu B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Podobne začiatok vektora AC je stále ten istý bod A, ale koniec je bod C. Preto máme:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Nakoniec, aby sme našli súradnice vektora BC, je potrebné odpočítať súradnice bodu B od súradníc bodu C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Odpoveď: AB = (2; − 7; 4); AC = (-5;-3;-5); BC = (−7; 4; − 9)

Venujte pozornosť výpočtu súradníc posledného vektora BC: veľa ľudí robí chyby, keď pracujú so zápornými číslami. To platí pre premennú y: bod B má súradnicu y = − 1 a bod C má y = 3. Dostaneme presne 3 − (− 1) = 4, a nie 3 − 1, ako si mnohí myslia. Nerobte také hlúpe chyby!

Výpočet smerových vektorov pre priame čiary

Ak si pozorne prečítate problém C2, budete prekvapení, keď zistíte, že tam nie sú žiadne vektory. Existujú iba priame čiary a roviny.

Začnime rovnými čiarami. Všetko je tu jednoduché: na každej priamke sú aspoň dva rôzne body a naopak, akékoľvek dva rôzne body definujú jednu priamku...

Rozumie niekto tomu, čo je napísané v predchádzajúcom odseku? Sám som tomu nerozumel, tak to vysvetlím jednoduchšie: v úlohe C2 sú čiary vždy dané dvojicou bodov. Ak zavedieme súradnicový systém a uvažujeme vektor so začiatkom a koncom v týchto bodoch, dostaneme takzvaný smerovací vektor pre priamku:

Prečo je tento vektor potrebný? Ide o to, že uhol medzi dvoma priamkami je uhol medzi ich smerovými vektormi. Od nezrozumiteľných priamych línií sa teda presúvame ku konkrétnym vektorom, ktorých súradnice sa ľahko vypočítavajú. aké ľahké? Pozrite si príklady:

Úloha. Čiary AC a BD 1 sú nakreslené v kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Nájdite súradnice smerových vektorov týchto čiar.

Keďže dĺžka hrán kocky nie je v podmienke zadaná, nastavíme AB = 1. Zavedieme súradnicový systém s počiatkom v bode A a osami x, y, z smerujúcimi po priamkach AB, AD a AA. 1, resp. Jednotkový segment sa rovná AB = 1.

Teraz nájdime súradnice smerového vektora pre priamku AC. Potrebujeme dva body: A = (0; 0; 0) a C = (1; 1; 0). Odtiaľ dostaneme súradnice vektora AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - toto je smerový vektor.

Teraz sa poďme zaoberať priamkou BD 1 . Má tiež dva body: B = (1; 0; 0) a D 1 = (0; 1; 1). Dostaneme smerový vektor BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Odpoveď: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Úloha. V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú nakreslené priamky AB 1 a AC 1. Nájdite súradnice smerových vektorov týchto čiar.

Zavedieme súradnicový systém: počiatok je v bode A, os x sa zhoduje s AB, os z sa zhoduje s AA 1, os y tvorí rovinu OXY s osou x, ktorá sa zhoduje s ABC. lietadlo.

Najprv sa budeme zaoberať priamkou AB 1 . Všetko je tu jednoduché: máme body A = (0; 0; 0) a B 1 = (1; 0; 1). Dostaneme smerový vektor AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Teraz nájdime smerový vektor pre AC 1 . Všetko je po starom – rozdiel je len v tom, že bod C 1 má iracionálne súradnice. Takže, A = (0; 0; 0), takže máme:

Odpoveď: AB 1 = (1; 0; 1);

Malá, ale veľmi dôležitá poznámka k poslednému príkladu. Ak sa začiatok vektora zhoduje s pôvodom, výpočty sú značne zjednodušené: súradnice vektora sa jednoducho rovnajú súradniciam konca. Bohužiaľ to platí len pre vektory. Napríklad pri práci s rovinami prítomnosť pôvodu súradníc na nich iba komplikuje výpočty.

Výpočet normálových vektorov pre roviny

Normálne vektory nie sú vektory, ktorým sa darí, alebo ktoré sa cítia dobre. Podľa definície je normálový vektor (normálny) k rovine vektor kolmý na danú rovinu.

Inými slovami, normála je vektor kolmý na akýkoľvek vektor v danej rovine. Určite ste sa s takouto definíciou stretli – namiesto vektorov však išlo o rovné čiary. Hneď vyššie sa však ukázalo, že v úlohe C2 sa dá pracovať s akýmkoľvek vhodným objektom – dokonca aj s priamkou, dokonca aj s vektorom.

Ešte raz pripomeniem, že akákoľvek rovina je v priestore definovaná rovnicou Ax + By + Cz + D = 0, kde A, B, C a D sú nejaké koeficienty. Bez toho, aby sme znížili všeobecnosť riešenia, môžeme predpokladať D = 1, ak rovina neprechádza počiatkom, alebo D = 0, ak prejde. V každom prípade súradnice normálového vektora k tejto rovine sú n = (A; B; C).

Takže rovina môže byť tiež úspešne nahradená vektorom - rovnakou normálou. Každá rovina je v priestore definovaná tromi bodmi. Ako nájsť rovnicu roviny (a teda normálu), sme už diskutovali na samom začiatku článku. Tento proces však mnohým spôsobuje problémy, preto uvediem niekoľko ďalších príkladov:

Úloha. Rez A 1 BC 1 je nakreslený v kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Nájdite normálový vektor pre rovinu tohto rezu, ak je počiatok v bode A a osi x, y a z sa zhodujú s hranami AB, AD a AA 1.

Keďže rovina neprechádza počiatkom, jej rovnica vyzerá takto: Ax + By + Cz + 1 = 0, t.j. koeficient D \u003d 1. Keďže táto rovina prechádza bodmi A 1, B a C 1, súradnice týchto bodov otočia rovnicu roviny na správnu číselnú rovnosť.

Ao + B0 + C1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Podobne pre body B = (1; 0; 0) a C 1 = (1; 1; 1) dostaneme rovnice:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
Ai + B1 + C1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ale koeficienty A = − 1 a C = − 1 sú nám už známe, takže zostáva nájsť koeficient B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Dostaneme rovnicu roviny: - A + B - C + 1 = 0, Preto súradnice normálového vektora sú n = (- 1; 1; - 1).

Úloha. V kocke je nakreslený rez AA 1 C 1 C ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Nájdite normálový vektor pre rovinu tohto rezu, ak je počiatok v bode A a osi x, y a z sa zhodujú s hrany AB, AD a AA 1 v tomto poradí.

V tomto prípade rovina prechádza počiatkom, takže koeficient D \u003d 0 a rovnica roviny vyzerá takto: Ax + By + Cz \u003d 0. Keďže rovina prechádza bodmi A 1 a C, súradnice týchto bodov otočia rovnicu roviny do správnej číselnej rovnosti.

Namiesto x, y a z dosadíme súradnice bodu A 1 = (0; 0; 1). Máme:
A° + B° + C1 = 0 ⇒ C = 0;

Podobne pre bod C = (1; 1; 0) dostaneme rovnicu:
A1 + B1 + Co = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Nech B = 1. Potom A = − B = − 1 a rovnica celej roviny je: − A + B = 0. Súradnice normálového vektora sú teda n = (− 1; 1; 0).

Všeobecne povedané, v uvedených úlohách je potrebné zostaviť sústavu rovníc a vyriešiť ju. Budú tri rovnice a tri premenné, no v druhom prípade bude jedna z nich voľná, t.j. mať ľubovoľné hodnoty. Preto máme právo dať B = 1 - bez toho, aby bola dotknutá všeobecnosť riešenia a správnosť odpovede.

Veľmi často v probléme C2 je potrebné pracovať s bodmi, ktoré delia segment na polovicu. Súradnice takýchto bodov sa dajú ľahko vypočítať, ak sú známe súradnice koncov segmentu.

Nech je teda segment daný jeho koncami - body A \u003d (x a; y a; za) a B \u003d (x b; y b; z b). Potom súradnice stredu segmentu - označujeme ho bodom H - možno nájsť podľa vzorca:

Inými slovami, súradnice stredu segmentu sú aritmetickým priemerom súradníc jeho koncov.

Úloha. Jednotková kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umiestnená v súradnicovom systéme tak, aby osi x, y a z smerovali pozdĺž hrán AB, AD a AA 1 a počiatok sa zhodoval s bodom A. Bod K je stred hrany A 1 B jedna . Nájdite súradnice tohto bodu.

Pretože bod K je stredom úsečky A 1 B 1, jeho súradnice sa rovnajú aritmetickému priemeru súradníc koncov. Zapíšme si súradnice koncov: A 1 = (0; 0; 1) a B 1 = (1; 0; 1). Teraz nájdime súradnice bodu K:

Úloha. Jednotková kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umiestnená v súradnicovom systéme tak, aby osi x, y a z smerovali pozdĺž hrán AB, AD a AA 1 a počiatok sa zhodoval s bodom A. Nájdite súradnice bodu L, kde pretínajú uhlopriečky štvorca A 1 B 1 C 1 D 1 .

Z priebehu planimetrie je známe, že priesečník uhlopriečok štvorca je rovnako vzdialený od všetkých jeho vrcholov. Najmä A1L = C1L, t.j. bod L je stredom úsečky A 1 C 1 . Ale A1 = (0; 0; 1), C1 = (1; 1; 1), takže máme:

Odpoveď: L = (0,5; 0,5; 1)