Logaritmické rovnice. Od jednoduchých po zložité.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmická rovnica?

Toto je rovnica s logaritmami. Bol som prekvapený, však?) Potom to vysvetlím. Toto je rovnica, v ktorej sú neznáme (x) a výrazy s nimi vnútri logaritmov. A len tam! To je dôležité.

Tu je niekoľko príkladov logaritmické rovnice:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

No, chápete... )

Poznámka! Najrôznejšie výrazy s x sú umiestnené výlučne v logaritmoch. Ak sa zrazu niekde v rovnici nájde x vonku, Napríklad:

log 2 x = 3 + x,

toto bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá riešenia. Zatiaľ ich nebudeme zvažovať. Mimochodom, v logaritmoch sú rovnice iba čísla. Napríklad:

Čo môžem povedať? Máte šťastie, ak na to narazíte! Logaritmus s číslami je nejaké číslo. A to je všetko. Na vyriešenie takejto rovnice stačí poznať vlastnosti logaritmov. Znalosť špeciálnych pravidiel, techník prispôsobených špeciálne na riešenie logaritmické rovnice, tu sa nevyžaduje.

takze čo je logaritmická rovnica- prísť na to.

Ako riešiť logaritmické rovnice?

rozhodnutie logaritmické rovnice- vec vo všeobecnosti nie je veľmi jednoduchá. Takže sekcia, ktorú máme, je pre štyroch ... Vyžaduje sa slušná zásoba vedomostí o najrôznejších súvisiacich témach. Okrem toho je v týchto rovniciach špeciálna vlastnosť. A táto vlastnosť je taká dôležitá, že ju možno bezpečne nazvať hlavným problémom pri riešení logaritmických rovníc. Tomuto problému sa budeme podrobne venovať v nasledujúcej lekcii.

Teraz sa neboj. Pôjdeme správnou cestou od jednoduchých po zložité. Na konkrétnych príkladoch. Hlavná vec je ponoriť sa do jednoduchých vecí a nebyť leniví sledovať odkazy, dal som ich z nejakého dôvodu... A uspejete. Nevyhnutne.

Začnime najzákladnejšími, najjednoduchšími rovnicami. Na ich vyriešenie je žiaduce mať predstavu o logaritme, ale nič viac. Len žiadny nápad logaritmus rozhodni sa logaritmický rovnice - akosi až trápne... Veľmi odvážne, povedal by som).

Najjednoduchšie logaritmické rovnice.

Toto sú rovnice tvaru:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces riešenia akúkoľvek logaritmickú rovnicu spočíva v prechode z rovnice s logaritmami na rovnicu bez nich. V najjednoduchších rovniciach sa tento prechod uskutočňuje v jednom kroku. Preto je to jednoduché.)

A takéto logaritmické rovnice sa riešia prekvapivo jednoducho. Presvedčte sa sami.

Poďme vyriešiť prvý príklad:

log 3 x = log 3 9

Na vyriešenie tohto príkladu nepotrebujete vedieť takmer nič, áno ... Čistá intuícia!) Čo my najmä nepáči sa vám tento príklad? Niečo... Nemám rád logaritmy! Správny. Tu sa ich zbavíme. Pozorne sa pozrieme na príklad a vynorí sa v nás prirodzená túžba ... Úplne neodolateľná! Vezmite a vyhoďte logaritmy vo všeobecnosti. A čo poteší môcť robiť! Matematika umožňuje. Logaritmy zmiznú odpoveď je:

Je to skvelé, však? Toto sa dá (a malo by) robiť vždy. Odstránenie logaritmov týmto spôsobom je jedným z hlavných spôsobov riešenia logaritmických rovníc a nerovníc. V matematike sa táto operácia nazýva potenciácia. Na takúto likvidáciu majú, samozrejme, svoje pravidlá, ale je ich málo. Pamätajte:

Logaritmy môžete bez obáv eliminovať, ak majú:

a) rovnaké číselné základy

c) ľavo-pravé logaritmy sú čisté (bez akýchkoľvek koeficientov) a sú v nádhernej izolácii.

Dovoľte mi vysvetliť posledný bod. V rovnici, povedzme

log 3 x = 2 log 3 (3x-1)

logaritmy nemožno odstrániť. Dvojka vpravo neumožňuje. Koeficient, viete... V príklade

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

rovnica sa tiež nedá potencovať. Na ľavej strane nie je žiadny logaritmus. Sú dve.

Stručne povedané, môžete odstrániť logaritmy, ak rovnica vyzerá takto a iba takto:

log a (.....) = log a (.....)

V zátvorke, kde môže byť elipsa akýkoľvek druh prejavu. Jednoduché, super zložité, čokoľvek. Hocičo. Dôležité je, že po odstránení logaritmov nám ostane jednoduchšia rovnica. Samozrejme sa predpokladá, že už viete, ako riešiť lineárne, kvadratické, zlomkové, exponenciálne a iné rovnice bez logaritmov.)

Teraz môžete ľahko vyriešiť druhý príklad:

log 7 (2x-3) = log 7x

V skutočnosti je to v mysli. Zosilňujeme, dostávame:

No, je to veľmi ťažké?) Ako vidíte, logaritmický súčasťou riešenia rovnice je len pri eliminácii logaritmov... A potom prichádza riešenie zostávajúcej rovnice už bez nich. Obchod s odpadom.

Riešime tretí príklad:

log 7 (50x-1) = 2

Vidíme, že logaritmus je vľavo:

Pripomíname, že tento logaritmus je nejaké číslo, na ktoré musí byť základ (t.j. sedem) zvýšený, aby sa získal sublogaritmický výraz, t.j. (50x-1).

Ale to číslo sú dva! Podľa rovnice. To je:

To je v podstate všetko. Logaritmus zmizol neškodná rovnica zostáva:

Túto logaritmickú rovnicu sme vyriešili iba na základe významu logaritmu. Je jednoduchšie odstrániť logaritmy?) Súhlasím. Mimochodom, ak urobíte logaritmus z dvoch, môžete tento príklad vyriešiť likvidáciou. Logaritmus môžete získať z ľubovoľného čísla. A presne tak, ako to potrebujeme. Veľmi užitočná technika pri riešení logaritmických rovníc a (najmä!) nerovníc.

Viete, ako vytvoriť logaritmus z čísla? Je to v poriadku. Časť 555 podrobne popisuje túto techniku. Môžete to zvládnuť a aplikovať naplno! Výrazne znižuje počet chýb.

Štvrtá rovnica sa rieši presne rovnakým spôsobom (podľa definície):

To je všetko.

Zhrňme si túto lekciu. Uvažovali sme o riešení najjednoduchších logaritmických rovníc pomocou príkladov. Je to veľmi dôležité. A nielen preto, že takéto rovnice sú na kontrolných skúškach. Faktom je, že aj tie najhoršie a najzmätenejšie rovnice sú nevyhnutne zredukované na tie najjednoduchšie!

V skutočnosti sú najjednoduchšie rovnice konečnou časťou riešenia akýkoľvek rovnice. A túto záverečnú časť treba chápať ironicky! A ďalej. Túto stránku si určite prečítajte až do konca. Je tu prekvapenie...

Rozhodnime sa sami. Naplníme ruku, takpovediac ...)

Nájdite koreň (alebo súčet koreňov, ak ich je niekoľko) rovníc:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Odpovede (samozrejme v neporiadku): 42; 12; deväť; 25; 7; 1,5; 2; šestnásť.

Čo nevyjde? To sa stáva. Nesmúťte! V časti 555 je riešenie všetkých týchto príkladov popísané jasne a podrobne. Tam sa to určite dozviete. Okrem toho sa naučíte užitočné praktické techniky.

Všetko vyšlo!? Všetky príklady „jeden zostal“?) Gratulujeme!

Je čas odhaliť vám trpkú pravdu. Úspešné riešenie týchto príkladov vôbec nezaručuje úspech pri riešení všetkých ostatných logaritmických rovníc. Dokonca aj také jednoduché, ako sú tieto. žiaľ.

Ide o to, že riešenie akejkoľvek logaritmickej rovnice (aj tej najelementárnejšej!) pozostáva z dve rovnaké časti. Riešenie rovnice a práca s ODZ. Jednu časť – riešenie samotnej rovnice – máme zvládnutú. Nie je to také ťažké správny?

Pre túto lekciu som špeciálne vybral také príklady, v ktorých ODZ nijako neovplyvňuje odpoveď. Ale nie každý je taký láskavý ako ja, však?...)

Preto je potrebné zvládnuť aj druhú časť. ODZ. Toto je hlavný problém pri riešení logaritmických rovníc. A nie preto, že je to ťažké - táto časť je ešte jednoduchšia ako prvá. Ale preto, že na ODZ jednoducho zabudnú. Alebo nevedia. Alebo obaja). A padnú na zem...

V nasledujúcej lekcii sa budeme zaoberať týmto problémom. Potom bude možné s istotou rozhodnúť akýkoľvek jednoduché logaritmické rovnice a priblížiť sa k celkom solídnym úlohám.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Mnoho študentov sa zasekne na rovniciach tohto druhu. Samotné úlohy zároveň nie sú v žiadnom prípade zložité - stačí vykonať kompetentnú substitúciu premennej, pre ktorú by ste sa mali naučiť izolovať stabilné výrazy.

Okrem tejto lekcie nájdete pomerne objemnú samostatnú prácu pozostávajúcu z dvoch možností so 6 úlohami.

Metóda zoskupovania

Dnes si rozoberieme dve logaritmické rovnice, z ktorých jedna sa nedá vyriešiť "celo" a vyžaduje špeciálne transformácie, a druhá ... nepoviem však všetko naraz. Pozrite si video, stiahnite si nezávislú prácu - a naučte sa riešiť zložité problémy.

Takže zoskupenie a vyňatie spoločných faktorov zo zátvorky. Okrem toho vám prezradím, aké úskalia nesie doména definície logaritmov a ako malé poznámky k doméne definícií môžu výrazne zmeniť korene aj celé riešenie.

Začnime so zoskupovaním. Potrebujeme vyriešiť nasledujúcu logaritmickú rovnicu:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Najprv si všimneme, že x 2 − 3x možno faktorizovať:

log 2 x (x − 3)

Potom si pamätáme úžasný vzorec:

log a fg = log a f + log a g

Hneď malá poznámka: tento vzorec funguje dobre, keď a, f a g sú obyčajné čísla. Ale keď sú namiesto nich funkcie, tieto výrazy prestávajú byť rovnocenné v právach. Predstavte si túto hypotetickú situáciu:

f< 0; g < 0

V tomto prípade bude súčin fg kladný, teda log a ( fg ) bude existovať, no log a f a log a g nebudú existovať oddelene a takúto transformáciu nebudeme môcť vykonať.

Ignorovanie tejto skutočnosti povedie k zúženiu domény definície a v dôsledku toho k strate koreňov. Preto pred vykonaním takejto transformácie je potrebné sa vopred uistiť, že funkcie f a g sú kladné.

V našom prípade je všetko jednoduché. Keďže v pôvodnej rovnici je funkcia log 2 x, tak x > 0 (premenná x je predsa v argumente). Existuje aj log 2 (x − 3), teda x − 3 > 0.

Preto vo funkcii log 2 x (x − 3) bude každý faktor väčší ako nula. Preto môžeme produkt bezpečne rozložiť na súčet:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

Na prvý pohľad sa môže zdať, že to nebolo jednoduchšie. Práve naopak: počet termínov sa len zvýšil! Aby sme pochopili, ako ďalej postupovať, zavedieme nové premenné:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a b + 1 − a − b = 0

A teraz zoskupíme tretí výraz s prvým:

(ab - a) + (1 - b) = 0

a(1b - 1) + (1 - b) = 0

Všimnite si, že prvá aj druhá zátvorka obsahujú b − 1 (v druhom prípade budete musieť zo zátvorky odstrániť „mínus“). Rozložme našu konštrukciu na faktor:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1) (a 1 − 1) = 0

A teraz si pripomíname naše úžasné pravidlo: súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Pripomeňme si, čo sú b a a. Dostaneme dve jednoduché logaritmické rovnice, v ktorých už zostáva len zbaviť sa logaritmu a prirovnať argumenty:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Máme dva korene, ale toto nie je riešenie pôvodnej logaritmickej rovnice, ale iba kandidáti na odpoveď. Teraz skontrolujeme doménu. K prvému argumentu:

x > 0

Oba korene spĺňajú prvú požiadavku. Prejdime k druhému argumentu:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Ale tu nás už x = 2 neuspokojuje, ale x = 5 nám celkom vyhovuje. Preto jediná odpoveď je x = 5.

Prejdeme k druhej logaritmickej rovnici. Na prvý pohľad je to oveľa jednoduchšie. V procese riešenia však zvážime jemné body súvisiace s doménou definície, ktorých neznalosť značne komplikuje život začínajúcim študentom.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

Pred nami je kanonický tvar logaritmickej rovnice. Netreba nič prevádzať – dokonca aj základy sú rovnaké. Preto jednoducho porovnávame argumenty:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4 x - 5 = 0

Pred nami je daná kvadratická rovnica, ktorú možno ľahko vyriešiť pomocou vzorcov Vieta:

(x - 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Ale tieto korene ešte nie sú definitívnymi odpoveďami. Je potrebné nájsť definičný obor, keďže v pôvodnej rovnici sú dva logaritmy, t.j. je nevyhnutne potrebné vziať do úvahy oblasť definície.

Vypíšme teda doménu definície. Na jednej strane musí byť argument prvého logaritmu väčší ako nula:

x 2 − 6x + 2 > 0

Na druhej strane, druhý argument musí byť tiež väčší ako nula:

7 − 2x > 0

Tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. A tu začína to najzaujímavejšie. Samozrejme, môžeme vyriešiť každú z týchto nerovností, potom ich pretnúť a nájsť doménu celej rovnice. Ale prečo si tak sťažovať život?

Všimnime si jednu jemnosť. Keď sa zbavíme log loga, prirovnáme argumenty. To znamená, že požiadavky x 2 − 6x + 2 > 0 a 7 − 2x > 0 sú ekvivalentné. V dôsledku toho môže byť ktorákoľvek z dvoch nerovností prečiarknutá. Vyškrtnime to najťažšie a zvyčajnú lineárnu nerovnosť si necháme pre seba:

-2x > -7

X< 3,5

Odkedy sme obe strany delili záporným číslom, znamienko nerovnosti sa zmenilo.

Našli sme teda ODZ bez akýchkoľvek štvorcových nerovností, diskriminantov a križovatiek. Teraz zostáva len vybrať korene, ktoré ležia na tomto intervale. Je zrejmé, že nám bude vyhovovať iba x = −1, pretože x = 5 > 3,5.

Odpoveď si môžete zapísať: x = 1 je jediné riešenie pôvodnej logaritmickej rovnice.

Závery z tejto logaritmickej rovnice sú nasledovné:

1. Nebojte sa vynásobiť logaritmy a potom vypočítať súčet logaritmov. Pamätajte však, že rozdelením súčinu na súčet dvoch logaritmov tým zužujete oblasť definície. Preto si pred vykonaním takejto konverzie skontrolujte, aké sú požiadavky na rozsah. Väčšinou sa nevyskytnú žiadne problémy, ale nezaškodí hrať na istotu ešte raz.
2. Keď sa zbavíte kanonickej formy, pokúste sa optimalizovať výpočty. Najmä, ak sa od nás vyžaduje, aby f > 0 a g > 0, ale v samotnej rovnici f = g , tak jednu z nerovností smelo prečiarkneme a necháme si len tú najjednoduchšiu. V tomto prípade oblasť definície a odpovedí nijako neutrpí, ale množstvo výpočtov sa výrazne zníži.

To je vlastne všetko, čo som chcel o zoskupení povedať. :)

Typické chyby pri riešení

Dnes budeme analyzovať dve typické logaritmické rovnice, o ktoré mnohí študenti zakopnú. Na príklade týchto rovníc uvidíme, aké chyby sa najčastejšie robia v procese riešenia a transformácie pôvodných výrazov.

Zlomkovo-racionálne rovnice s logaritmami

Hneď je potrebné poznamenať, že ide o dosť zákerný typ rovnice, v ktorej nie je vždy okamžite prítomný zlomok s logaritmom niekde v menovateli. V procese transformácií však takýto zlomok nevyhnutne vznikne.

Zároveň buďte opatrní: v procese transformácií sa môže počiatočná oblasť definície logaritmov výrazne zmeniť!

Obrátime sa na ešte prísnejšie logaritmické rovnice obsahujúce zlomky a premenlivé základy. Aby som toho na jednej krátkej hodine stihol viac, nepoviem elementárnu teóriu. Poďme rovno k úlohám:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Pri pohľade na túto rovnicu sa niekto opýta: „Čo s tým má spoločné zlomková racionálna rovnica? Kde je zlomok v tejto rovnici? Neunáhlime sa a pozrime sa bližšie na každý termín.

Prvý člen: 4 log 25 (x − 1). Základom logaritmu je číslo, ale argument je funkciou x . S tým zatiaľ nemôžeme nič urobiť. Pohni sa.

Ďalší člen je log 3 27. Pripomeňme, že 27 = 3 3 . Preto môžeme celý logaritmus prepísať takto:

log 3 27 = 3 3 = 3

Takže druhý termín je len trojka. Tretí člen: 2 log x − 1 5. Ani tu nie je všetko jednoduché: základ je funkcia, argument je obyčajné číslo. Navrhujem prevrátiť celý logaritmus podľa nasledujúceho vzorca:

log a b = 1/log b a

Takúto transformáciu je možné vykonať iba vtedy, ak b ≠ 1. Inak logaritmus, ktorý získame v menovateli druhého zlomku, jednoducho nebude existovať. V našom prípade b = 5, takže všetko je v poriadku:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Prepíšme pôvodnú rovnicu s prihliadnutím na získané transformácie:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

V menovateli zlomku máme log 5 (x − 1) a v prvom člene log 25 (x − 1). Ale 25 \u003d 5 2, takže štvorec vyberieme zo základne logaritmu podľa pravidla:

Inými slovami, exponent na báze logaritmu sa stane zlomkom na začiatku. A výraz bude prepísaný takto:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Skončili sme s dlhou rovnicou s množstvom rovnakých logaritmov. Predstavme si novú premennú:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Ale toto je už zlomkovo-racionálna rovnica, ktorá sa rieši pomocou algebry ročníkov 8-9. Najprv si to rozdeľme na dve časti:

t - 2 + 1/t = 0;

(t2 - 2t + 1)/t = 0

Presný štvorec je v zátvorkách. Poďme to zrolovať:

(t - 1)2/t = 0

Zlomok je nula, keď jeho čitateľ je nula a jeho menovateľ je nenulový. Nikdy nezabudnite na túto skutočnosť:

(t − 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

Pripomeňme si, čo je t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Zbavíme sa log znakov, prirovnáme ich argumenty a dostaneme:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Všetko. Problém je vyriešený. Ale vráťme sa k pôvodnej rovnici a pamätajme, že existovali dva logaritmy s premennou x naraz. Preto musíte vypísať doménu definície. Keďže x − 1 je v logaritmickom argumente, tento výraz musí byť väčší ako nula:

x - 1 > 0

Na druhej strane, rovnaké x − 1 je prítomné aj v základe, takže sa musí líšiť od jedného:

x − 1 ≠ 1

Preto uzatvárame:

x > 1; x ≠ 2

Tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. Hodnota x = 6 spĺňa obe požiadavky, takže x = 6 je konečným riešením logaritmickej rovnice.

Prejdime k druhej úlohe:

Opäť sa neponáhľajme a pozrime sa na každý výraz:

log 4 (x + 1) - na základni je štvorka. Zvyčajné číslo a nemôžete sa ho dotknúť. Ale minule sme narazili na presný štvorec na základni, ktorý bolo potrebné vybrať spod znamienka logaritmu. Urobme teraz to isté:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Trik je v tom, že už máme logaritmus s premennou x , aj keď v základe - je to inverzný logaritmus, ktorý sme práve našli:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Ďalší člen je log 2 8. Toto je konštanta, pretože argument aj základ sú obyčajné čísla. Poďme zistiť hodnotu:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

To isté môžeme urobiť s posledným logaritmom:

Teraz prepíšme pôvodnú rovnicu:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Priveďme všetko k spoločnému menovateľovi:

Pred nami je opäť zlomkovo-racionálna rovnica. Predstavme si novú premennú:

t = log 2 (x + 1)

Prepíšme rovnicu berúc do úvahy novú premennú:

Buďte opatrní: v tomto kroku som si vymenil podmienky. Čitateľ zlomku je druhá mocnina rozdielu:

Rovnako ako minule, zlomok je nula, keď jeho čitateľ je nula a jeho menovateľ je nenulový:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Máme jeden koreň, ktorý spĺňa všetky požiadavky, takže sa vrátime k premennej x:

log2 (x + 1) = 4;

log2 (x + 1) = log224;

x + 1 = 16;

x=15

To je všetko, vyriešili sme rovnicu. Ale keďže v pôvodnej rovnici bolo niekoľko logaritmov, je potrebné vypísať doménu definície.

Takže výraz x + 1 je v argumente logaritmu. Preto x + 1 > 0. Na druhej strane je x + 1 prítomné aj v základe, t.j. x + 1 ≠ 1. Celkom:

0 ≠ x > -1

Spĺňa nájdený koreň tieto požiadavky? Bezpochyby. Preto x = 15 je riešením pôvodnej logaritmickej rovnice.

Na záver by som chcel povedať nasledovné: ak sa pozriete na rovnicu a pochopíte, že musíte vyriešiť niečo zložité a neštandardné, skúste zvýrazniť stabilné štruktúry, ktoré budú neskôr označené inou premennou. Ak niektoré členy vôbec neobsahujú premennú x, často sa dajú jednoducho vypočítať.

To je všetko, o čom som dnes chcel hovoriť. Dúfam, že vám táto lekcia pomôže pri riešení zložitých logaritmických rovníc. Pozri si ďalšie videonávody, sťahuj a rieš samostatnú prácu a vidíme sa pri ďalšom videu!

V tejto lekcii si zopakujeme základné teoretické fakty o logaritmoch a zvážime riešenie najjednoduchších logaritmických rovníc.

Pripomeňme si centrálnu definíciu - definíciu logaritmu. Je spojená s riešením exponenciálnej rovnice. Táto rovnica má jeden koreň, nazýva sa logaritmus b so základom a:

Definícia:

Logaritmus čísla b k základu a je exponent, na ktorý sa musí základ a zvýšiť, aby sme dostali číslo b.

Odvolanie základná logaritmická identita.

Výraz (výraz 1) je koreňom rovnice (výraz 2). Dosadíme hodnotu x z výrazu 1 namiesto x vo výraze 2 a dostaneme základnú logaritmickú identitu:

Vidíme teda, že každej hodnote je priradená hodnota. Označíme b pre x (), c pre y, a tak dostaneme logaritmickú funkciu:

Napríklad:

Pripomeňme si základné vlastnosti logaritmickej funkcie.

Venujme pozornosť ešte raz, pretože pod logaritmom môže byť striktne kladný výraz ako základ logaritmu.

Ryža. 1. Graf logaritmickej funkcie pre rôzne bázy

Graf funkcie at je znázornený čiernou farbou. Ryža. 1. Ak sa argument zväčší z nuly do nekonečna, funkcia sa zvýši z mínus do plus nekonečna.

Graf funkcie at je znázornený červenou farbou. Ryža. jeden.

Vlastnosti tejto funkcie:

Doména: ;

Rozsah hodnôt: ;

Funkcia je monotónna v celej svojej doméne definície. Keď sa monotónne (striktne) zvyšuje, väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Keď monotónne (striktne) klesá, väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Vlastnosti logaritmickej funkcie sú kľúčom k riešeniu rôznych logaritmických rovníc.

Zoberme si najjednoduchšiu logaritmickú rovnicu; všetky ostatné logaritmické rovnice sú spravidla redukované na túto formu.

Keďže základy logaritmov a samotné logaritmy sú rovnaké, funkcie pod logaritmom sú tiež rovnaké, ale nesmieme stratiť doménu definície. Pod logaritmom môže stáť iba kladné číslo, máme:

Zistili sme, že funkcie f a g sa rovnajú, takže na dodržanie ODZ stačí zvoliť ľubovoľnú nerovnosť.

Tak sme dostali zmiešaný systém, v ktorom je rovnica a nerovnosť:

Nerovnosť spravidla nie je potrebné riešiť, stačí vyriešiť rovnicu a dosadiť nájdené korene do nerovnosti, čím sa vykoná kontrola.

Sformulujme metódu riešenia najjednoduchších logaritmických rovníc:

Vyrovnajte základy logaritmov;

Rovnocenné sublogaritmické funkcie;

Spustite kontrolu.

Uvažujme o konkrétnych príkladoch.

Príklad 1 - vyriešte rovnicu:

Základy logaritmov sú na začiatku rovnaké;

Príklad 2 - vyriešte rovnicu:

Táto rovnica sa líši od predchádzajúcej v tom, že základy logaritmov sú menšie ako jedna, ale to žiadnym spôsobom neovplyvňuje riešenie:

Nájdite koreň a dosaďte ho do nerovnosti:

Dostali sme nesprávnu nerovnosť, čo znamená, že nájdený koreň nevyhovuje ODZ.

Príklad 3 - vyriešte rovnicu:

Základy logaritmov sú na začiatku rovnaké;

Nájdite koreň a dosaďte ho do nerovnosti:

Je zrejmé, že iba prvý koreň spĺňa ODZ.

Logaritmická rovnica nazýva sa rovnica, v ktorej neznáma (x) a výrazy s ňou spojené sú pod znamienkom logaritmickej funkcie. Riešenie logaritmických rovníc predpokladá, že už poznáte a .
Ako riešiť logaritmické rovnice?

Najjednoduchšia rovnica je log a x = b, kde a a b sú nejaké čísla, x je neznáma.
Riešenie logaritmickej rovnice je x = a b za predpokladu, že: a > 0, a 1.

Treba poznamenať, že ak je x niekde mimo logaritmu, napríklad log 2 x \u003d x-2, potom sa takáto rovnica už nazýva zmiešaná a na jej vyriešenie je potrebný špeciálny prístup.

Ideálny prípad je, keď narazíte na rovnicu, v ktorej sú pod znamienkom logaritmu iba čísla, napríklad x + 2 \u003d log 2 2. Tu na vyriešenie stačí poznať vlastnosti logaritmu. Ale takéto šťastie sa nestáva často, takže sa pripravte na zložitejšie veci.

Najprv však začnime jednoduchými rovnicami. Na ich vyriešenie je žiaduce mať najvšeobecnejšiu predstavu o logaritme.

Riešenie jednoduchých logaritmických rovníc

Patria sem rovnice ako log 2 x \u003d log 2 16. Voľným okom je možné vidieť, že vynechaním znamienka logaritmu dostaneme x \u003d 16.

Na vyriešenie zložitejšej logaritmickej rovnice sa zvyčajne vedie k riešeniu obyčajnej algebraickej rovnice alebo k riešeniu najjednoduchšej logaritmickej rovnice log a x = b. V najjednoduchších rovniciach sa to deje jedným pohybom, preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Vyššie uvedená metóda vypúšťania logaritmov je jedným z hlavných spôsobov riešenia logaritmických rovníc a nerovníc. V matematike sa táto operácia nazýva potenciácia. Pre tento druh operácií platia určité pravidlá alebo obmedzenia:

• logaritmy majú rovnaké číselné základy
• logaritmy v oboch častiach rovnice sú voľné, t.j. bez akýchkoľvek koeficientov a iných rôznych druhov výrazov.

Povedzme v rovnici log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), potenciácia nie je použiteľná - koeficient 2 vpravo neumožňuje. V nasledujúcom príklade log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) jedno z obmedzení tiež nie je splnené - vľavo sú dva logaritmy. To by bola jedna – úplne iná záležitosť!

Vo všeobecnosti môžete logaritmy odstrániť iba vtedy, ak má rovnica tvar:

log a(...) = log a(...)

V zátvorkách môžu byť absolútne akékoľvek výrazy, to absolútne neovplyvňuje operáciu potenciácie. A po odstránení logaritmov zostane jednoduchšia rovnica - lineárna, kvadratická, exponenciálna atď., ktorú už, dúfam, viete vyriešiť.

Zoberme si ďalší príklad:

log 3 (2x-5) = log 3x

Použitím potenciácie dostaneme:

log 3 (2x-1) = 2

Na základe definície logaritmu, konkrétne, že logaritmus je číslo, na ktoré musí byť základ povýšený, aby sa získal výraz, ktorý je pod znamienkom logaritmu, t.j. (4x-1), dostaneme:

Opäť sme dostali peknú odpoveď. Tu sme sa zaobišli bez eliminácie logaritmov, ale potenciácia je použiteľná aj tu, pretože logaritmus možno vytvoriť z akéhokoľvek čísla a presne z toho, čo potrebujeme. Táto metóda je veľmi nápomocná pri riešení logaritmických rovníc a najmä nerovníc.

Vyriešme našu logaritmickú rovnicu log 3 (2x-1) = 2 pomocou potenciácie:

Predstavme si číslo 2 ako logaritmus, napríklad taký log 3 9, pretože 3 2 = 9.

Potom log 3 (2x-1) = log 3 9 a opäť dostaneme rovnakú rovnicu 2x-1 = 9. Dúfam, že je všetko jasné.

Pozreli sme sa teda na to, ako vyriešiť najjednoduchšie logaritmické rovnice, ktoré sú v skutočnosti veľmi dôležité, pretože riešenie logaritmických rovníc, dokonca aj tie najstrašnejšie a zvrátené, nakoniec vždy dôjde k riešeniu tých najjednoduchších rovníc.

Vo všetkom, čo sme urobili vyššie, sme prehliadli jeden veľmi dôležitý bod, ktorý bude v budúcnosti zohrávať rozhodujúcu úlohu. Faktom je, že riešenie akejkoľvek logaritmickej rovnice, dokonca aj tej najelementárnejšej, pozostáva z dvoch ekvivalentných častí. Prvým je riešenie samotnej rovnice, druhým je práca s oblasťou prípustných hodnôt (ODV). To je len prvá časť, ktorú sme zvládli. Vo vyššie uvedených príkladoch ODD žiadnym spôsobom neovplyvňuje odpoveď, preto sme ju nezohľadnili.

Zoberme si ďalší príklad:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Navonok sa táto rovnica nelíši od základnej, ktorá je veľmi úspešne vyriešená. Ale nie je to tak. Nie, samozrejme, že to vyriešime, ale s najväčšou pravdepodobnosťou to bude nesprávne, pretože je v tom malá záloha, do ktorej okamžite spadnú študenti C aj študenti s vyznamenaním. Poďme sa na to pozrieť bližšie.

Predpokladajme, že potrebujete nájsť koreň rovnice alebo súčet koreňov, ak ich je niekoľko:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Aplikujeme potenciáciu, tu je to prípustné. V dôsledku toho dostaneme obvyklú kvadratickú rovnicu.

Nájdeme korene rovnice:

Existujú dva korene.

Odpoveď: 3 a -1

Na prvý pohľad je všetko správne. Ale skontrolujme výsledok a dosaďte ho do pôvodnej rovnice.

Začnime s x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Kontrola bola úspešná, teraz je front x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Áno, prestaň! Navonok je všetko dokonalé. Moment - neexistujú žiadne logaritmy zo záporných čísel! A to znamená, že koreň x \u003d -1 nie je vhodný na riešenie našej rovnice. A preto správna odpoveď bude 3, nie 2, ako sme písali.

Práve tu zohral ODZ svoju osudovú úlohu, na ktorú sme zabudli.

Dovoľte mi pripomenúť, že v oblasti prípustných hodnôt sú akceptované také hodnoty, ktoré sú povolené alebo majú zmysel pre pôvodný príklad.

Bez ODZ sa každé, aj absolútne správne riešenie akejkoľvek rovnice mení na lotériu - 50/50.

Ako by sme sa mohli nachytať pri riešení zdanlivo elementárneho príkladu? A tu je to v momente potencovania. Logaritmy sú preč a s nimi aj všetky obmedzenia.

Čo robiť v takomto prípade? Odmietate odstrániť logaritmy? A úplne opustiť riešenie tejto rovnice?

Nie, my len, ako skutoční hrdinovia z jednej slávnej piesne, pôjdeme okolo!

Skôr ako pristúpime k riešeniu ľubovoľnej logaritmickej rovnice, zapíšeme si ODZ. Ale potom môžete s našou rovnicou robiť čokoľvek, po čom vaše srdce túži. Po prijatí odpovede jednoducho vyhodíme tie korene, ktoré nie sú zahrnuté v našej ODZ, a zapíšeme si konečnú verziu.

Teraz sa rozhodneme, ako napíšeme ODZ. Aby sme to urobili, dôkladne preskúmame pôvodnú rovnicu a hľadáme v nej podozrivé miesta, ako je delenie x, koreň párneho stupňa atď. Kým nevyriešime rovnicu, nevieme, čomu sa x rovná, ale s istotou vieme, že také x, ktoré pri dosadení dá delenie 0 alebo extrakciu druhej odmocniny záporného čísla, sú očividne nevhodné na odpoveď. Preto sú takéto x neprijateľné, zatiaľ čo zvyšok bude tvoriť ODZ.

Opäť použijeme rovnakú rovnicu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Ako vidíte, neexistuje delenie 0, neexistujú ani odmocniny, ale v tele logaritmu sú výrazy s x. Okamžite si pripomenieme, že výraz vo vnútri logaritmu musí byť vždy > 0. Táto podmienka je napísaná vo forme ODZ:

Tie. zatiaľ sme nič nevyriešili, ale už sme si zapísali povinnú podmienku pre celý sublogaritmický výraz. Kučeravá ortéza znamená, že tieto podmienky musia byť splnené súčasne.

Zapisuje sa ODZ, ale je potrebné vyriešiť aj výsledný systém nerovností, čo urobíme. Dostaneme odpoveď x > v3. Teraz už s istotou vieme, ktoré x nám nebude vyhovovať. A potom začneme riešiť samotnú logaritmickú rovnicu, čo sme urobili vyššie.

Po prijatí odpovedí x 1 \u003d 3 a x 2 \u003d -1 je ľahké vidieť, že iba x1 \u003d 3 je pre nás vhodné, a zapíšeme si to ako konečnú odpoveď.

Pre budúcnosť je veľmi dôležité zapamätať si nasledovné: akúkoľvek logaritmickú rovnicu riešime v 2 etapách. Prvý - riešime samotnú rovnicu, druhý - riešime podmienku ODZ. Obe etapy sa vykonávajú nezávisle na sebe a porovnávajú sa až pri písaní odpovede, t.j. všetky nepotrebné vyhodíme a zapíšeme správnu odpoveď.

Na konsolidáciu materiálu dôrazne odporúčame pozrieť si video:

Vo videu ďalšie príklady riešenia logu. rovníc a vypracovanie metódy intervalov v praxi.

K tejto téme, ako riešiť logaritmické rovnice až do všetkého. Ak niečo podľa rozhodnutia log. rovnice zostali nejasné alebo nezrozumiteľné, píšte svoje otázky do komentárov.

Poznámka: Akadémia sociálnej výchovy (KSUE) je pripravená prijať nových študentov.

Príklady:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Ako riešiť logaritmické rovnice:

Pri riešení logaritmickej rovnice sa musíte snažiť previesť ju do tvaru \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) a potom prejsť na \(f( x)=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Príklad:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

rozhodnutie: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Vyšetrenie:\(10>2\) - vhodné pre ODZ odpoveď:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Veľmi dôležité! Tento prechod je možné vykonať iba ak:

Napísali ste pre pôvodnú rovnicu a na konci skontrolujte, či sú nájdené zahrnuté v DPV. Ak sa tak nestane, môžu sa objaviť ďalšie korene, čo znamená nesprávne rozhodnutie.

Číslo (alebo výraz) je rovnaké vľavo aj vpravo;

Logaritmy vľavo a vpravo sú „čisté“, to znamená, že by nemali existovať žiadne násobenia, delenie atď. - iba osamelé logaritmy na oboch stranách znamienka rovnosti.

Napríklad:

Všimnite si, že rovnice 3 a 4 možno ľahko vyriešiť použitím požadovaných vlastností logaritmov.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

rozhodnutie :

		Napíšeme ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Vľavo pred logaritmom je koeficient, vpravo súčet logaritmov. Toto nás trápi. Prenesme dvojku na exponent \(x\) vlastnosťou: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Súčet logaritmov reprezentujeme ako jeden logaritmus pomocou vlastnosti: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Rovnicu sme preniesli do tvaru \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) a zapísali ODZ, čo znamená, že môžeme prejsť do tvaru \(f (x)=g(x)\).
		Stalo . Riešime to a dostaneme korene.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Skontrolujeme, či korene zapadajú pod ODZ. Aby sme to dosiahli, v \(x>0\) namiesto \(x\) nahradíme \(5\) a \(-5\). Táto operácia môže byť vykonaná ústne.
\(5>0\), \(-5>0\)		Prvá nerovnosť je pravdivá, druhá nie. Takže \(5\) je koreň rovnice, ale \(-5\) nie je. Odpoveď zapíšeme.

Odpoveď : \(5\)

Príklad : Vyriešte rovnicu \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

rozhodnutie :

		Napíšeme ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Typická rovnica vyriešená pomocou . Nahraďte \(\log_2⁡x\) \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Dostal obvyklé. Hľadá svoje korene.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Uskutočnenie reverznej substitúcie
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Transformujeme správne časti a reprezentujeme ich ako logaritmy: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) a \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Teraz sú naše rovnice \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) a môžeme prejsť na \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Kontrolujeme zhodu koreňov ODZ. Aby sme to dosiahli, namiesto \(x\) dosadíme \(4\) a \(2\) do nerovnosti \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		Obe nerovnosti sú pravdivé. Takže obe \(4\) aj \(2\) sú koreňmi rovnice.

Odpoveď : \(4\); \(2\).