Zvýšenie záporného celého čísla na zápornú mocninu. Ako zvýšiť číslo na zápornú mocninu - príklady s popisom v Exceli

Exponent slúži na uľahčenie zápisu operácie násobenia čísla samotným. Napríklad namiesto písania môžete písať 4 5 (\displaystyle 4^(5))(vysvetlenie takéhoto prechodu je uvedené v prvej časti tohto článku). Mocniny uľahčujú písanie dlhých alebo zložitých výrazov alebo rovníc; mocniny sa tiež ľahko pridávajú a odčítavajú, čo vedie k zjednodušeniu výrazu alebo rovnice (napr. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Poznámka: ak potrebujete vyriešiť exponenciálnu rovnicu (v takejto rovnici je neznáma v exponente), čítajte.

Kroky

Riešenie jednoduchých problémov s právomocami

Vynásobte základ exponentu sám o sebe toľkokrát, koľkokrát sa rovná exponentu. Ak potrebujete vyriešiť problém s exponentmi ručne, prepíšte exponent ako operáciu násobenia, kde sa základ exponentu vynásobí sám. Napríklad vzhľadom na stupeň 3 4 (\displaystyle 3^(4)). V tomto prípade musí byť základ 3. stupňa sám vynásobený 4-krát: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Tu sú ďalšie príklady:

Najprv vynásobte prvé dve čísla. Napríklad, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nebojte sa - proces výpočtu nie je taký zložitý, ako sa na prvý pohľad zdá. Najprv vynásobte prvé dve štvorky a potom ich nahraďte výsledkom. Páči sa ti to:

4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

Vynásobte výsledok (v našom príklade 16) nasledujúcim číslom. Každý nasledujúci výsledok sa úmerne zvýši. V našom príklade vynásobte číslo 16 číslom 4. Takto:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
  - 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
  - 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
  - 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Pokračujte v násobení výsledku násobenia prvých dvoch čísel ďalším číslom, kým nedostanete konečnú odpoveď. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvé dve čísla a potom vynásobte výsledok ďalším číslom v poradí. Táto metóda je platná pre akýkoľvek stupeň. V našom príklade by ste mali dostať: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
Vyriešte nasledujúce problémy. Skontrolujte svoju odpoveď pomocou kalkulačky.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
Na kalkulačke vyhľadajte kľúč označený ako „exp“ alebo „ x n (\displaystyle x^(n))“ alebo „^“. Pomocou tohto kľúča zvýšite číslo na mocninu. Je prakticky nemožné ručne vypočítať stupeň s veľkým exponentom (napríklad stupeň 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ale kalkulačka sa s touto úlohou ľahko vyrovná. V systéme Windows 7 je možné štandardnú kalkulačku prepnúť do inžinierskeho režimu; Ak to chcete urobiť, kliknite na "Zobraziť" -\u003e "Inžinierstvo". Ak chcete prejsť do normálneho režimu, kliknite na "Zobraziť" -\u003e "Normálne".
- Skontrolujte prijatú odpoveď pomocou vyhľadávača (Google alebo Yandex). Pomocou klávesu „^“ na klávesnici počítača zadajte výraz do vyhľadávača, ktorý okamžite zobrazí správnu odpoveď (a prípadne navrhne podobné výrazy na štúdium).
Sčítanie, odčítanie, násobenie mocniny
1. Sčítavať a uberať mocniny môžete len vtedy, ak majú rovnaký základ. Ak potrebujete sčítať mocniny s rovnakými základmi a exponentmi, potom môžete operáciu sčítania nahradiť operáciou násobenia. Napríklad vzhľadom na výraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Pamätajte si, že stupeň 4 5 (\displaystyle 4^(5)) môže byť reprezentovaný ako 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); teda 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kde 1 + 1 = 2). To znamená, že spočítajte počet podobných stupňov a potom vynásobte takýto stupeň a toto číslo. V našom príklade zvýšte 4 na piatu mocninu a potom vynásobte výsledok 2. Nezabudnite, že operáciu sčítania možno nahradiť operáciou násobenia, napr. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Tu sú ďalšie príklady:
  - 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
  - 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
  - 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
2. Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty sčítajú (základ sa nemení). Napríklad vzhľadom na výraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). V tomto prípade stačí pridať indikátory a ponechať základňu nezmenenú. Touto cestou, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Tu je vizuálne vysvetlenie tohto pravidla:
  
  Pri zvýšení mocniny na mocninu sa exponenty násobia. Napríklad daný titul. Keďže exponenty sú násobené, potom (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Zmyslom tohto pravidla je, že znásobíte silu (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na seba päťkrát. Páči sa ti to:
  - (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
  - (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
  - Keďže základ je rovnaký, exponenty sa jednoducho spočítajú: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
3. Exponent so záporným exponentom by sa mal previesť na zlomok (na prevrátenú mocninu). Nevadí, ak neviete, čo je to recipročné. Ak dostanete titul so záporným exponentom, napr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), túto mocninu zapíšte do menovateľa zlomku (do čitateľa dajte 1) a urobte kladný exponent. V našom príklade: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Tu sú ďalšie príklady:
  
  Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú (základ sa nemení). Operácia delenia je opakom operácie násobenia. Napríklad vzhľadom na výraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Odčítajte exponent v menovateli od exponenta v čitateli (základ nemeňte). Touto cestou, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
  - Stupeň v menovateli možno zapísať takto: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Pamätajte, že zlomok je číslo (mocnina, výraz) so záporným exponentom.
4. Nižšie sú uvedené niektoré výrazy, ktoré vám pomôžu naučiť sa riešiť problémy s napájaním. Vyššie uvedené výrazy pokrývajú materiál uvedený v tejto časti. Ak chcete zobraziť odpoveď, zvýraznite prázdne miesto za znakom rovnosti.
Riešenie problémov so zlomkovými exponentmi
1. Ak je exponentom nevlastný zlomok, potom je možné takýto exponent rozložiť na dve mocniny, aby sa riešenie úlohy zjednodušilo. Nie je na tom nič zložité – stačí si zapamätať pravidlo pre násobenie právomocí. Napríklad vzhľadom na titul. Premeňte tento exponent na odmocninec, ktorého exponent sa rovná menovateľovi zlomkového exponentu, a potom tento koreň povýšte na exponent rovný čitateľovi zlomkového exponentu. Aby ste to urobili, pamätajte na to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). V našom príklade:
  - x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
  - x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
  - x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
2. Niektoré kalkulačky majú tlačidlo na výpočet exponentov (najskôr musíte zadať základ, potom stlačiť tlačidlo a potom zadať exponent). Označuje sa ako ^ alebo x^y.
3. Pamätajte, že každé číslo sa rovná prvej mocnine, napr. 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Navyše, každé číslo vynásobené alebo delené jednou sa rovná samo sebe, napr. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) a 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
4. Vedzte, že stupeň 0 0 neexistuje (takýto stupeň nemá riešenie). Keď sa pokúsite vyriešiť takýto stupeň na kalkulačke alebo na počítači, dostanete chybu. Pamätajte však, že každé číslo s mocninou nuly sa rovná 1, napr. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
5. Vo vyššej matematike, ktorá pracuje s imaginárnymi číslami: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), kde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konštanta približne rovná 2,7; a je ľubovoľná konštanta. Dôkaz tejto rovnosti možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici vyššej matematiky.
- Keď sa exponent zvyšuje, jeho hodnota výrazne rastie. Preto, ak sa vám zdá odpoveď nesprávna, v skutočnosti sa môže ukázať ako pravdivá. Môžete to skontrolovať vykreslením ľubovoľnej exponenciálnej funkcie, napríklad 2 x .

Zistili sme, aký je stupeň čísla vo všeobecnosti. Teraz musíme pochopiť, ako to správne vypočítať, t.j. zvýšiť čísla k mocnostiam. V tomto materiáli rozoberieme základné pravidlá pre výpočet stupňa v prípade celého čísla, prirodzeného, zlomkového, racionálneho a iracionálneho exponentu. Všetky definície budú ilustrované príkladmi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept umocňovania

Začnime formuláciou základných definícií.

Definícia 1

Umocňovanie je výpočet hodnoty mocniny nejakého čísla.

To znamená, že slová „výpočet hodnoty stupňa“ a „umocnenie“ znamenajú to isté. Ak je teda úloha „Zvýšte číslo 0 , 5 na piatu mocninu“, treba to chápať ako „vypočítajte hodnotu mocniny (0 , 5) 5 .

Teraz uvádzame základné pravidlá, ktoré sa musia pri takýchto výpočtoch dodržiavať.

Pripomeňme si, čo je mocnina čísla s prirodzeným exponentom. Pre mocninu so základom a a exponentom n to bude súčin n-tého počtu faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Dá sa to napísať takto:

Ak chcete vypočítať hodnotu stupňa, musíte vykonať operáciu násobenia, to znamená vynásobiť základy stupňa určeným počtom krát. Samotný koncept stupňa s prirodzeným ukazovateľom je založený na schopnosti rýchlo sa množiť. Uveďme si príklady.

Príklad 1

Podmienka: Zvýšte - 2 na silu 4 .

Riešenie

Pomocou vyššie uvedenej definície píšeme: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Ďalej musíme postupovať podľa týchto krokov a získať 16 .

Uveďme si zložitejší príklad.

Príklad 2

Vypočítajte hodnotu 3 2 7 2

Riešenie

Tento záznam je možné prepísať ako 3 2 7 · 3 2 7 . Predtým sme sa pozreli na to, ako správne vynásobiť zmiešané čísla uvedené v podmienke.

Vykonajte tieto kroky a získajte odpoveď: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ak úloha naznačuje potrebu zvýšiť iracionálne čísla na prirodzenú mocninu, budeme musieť najskôr zaokrúhliť ich základy na číslicu, ktorá nám umožní získať odpoveď s požadovanou presnosťou. Vezmime si príklad.

Príklad 3

Vykonajte druhú mocninu čísla π .

Riešenie

Najprv to zaokrúhlime na stotiny. Potom π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ak π ≈ 3 . 14159, potom dostaneme presnejší výsledok: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Všimnite si, že potreba vypočítať mocniny iracionálnych čísel v praxi vzniká pomerne zriedkavo. Odpoveď potom môžeme zapísať ako samotnú mocninu (ln 6) 3 alebo podľa možnosti previesť: 5 7 = 125 5 .

Samostatne by sa malo uviesť, aká je prvá mocnina čísla. Tu si môžete zapamätať, že každé číslo umocnené na prvú mocninu zostane samo sebou:

To je zrejmé zo záznamu. .

Nezáleží na základe stupňa.

Príklad 4

Takže (− 9) 1 = − 9 a 7 3 umocnené na prvú mocninu zostáva rovné 7 3 .

Pre pohodlie budeme analyzovať tri prípady oddelene: ak je exponent kladné celé číslo, ak je nula a ak je záporné celé číslo.

V prvom prípade je to to isté ako zvýšenie na prirodzenú mocninu: napokon kladné celé čísla patria do množiny prirodzených čísel. Ako pracovať s takýmito stupňami sme už opísali vyššie.

Teraz sa pozrime, ako správne zvýšiť na nulový výkon. So základom, ktorý je nenulový, tento výpočet vždy vytvára výstup 1 . Predtým sme vysvetlili, že nulovú mocninu a možno definovať pre akékoľvek reálne číslo, ktoré sa nerovná 0 a a 0 = 1.

Príklad 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nie je definované.

Zostáva nám len prípad stupňa so záporným exponentom celého čísla. Už sme diskutovali o tom, že takéto stupne možno zapísať ako zlomok 1 az, kde a je ľubovoľné číslo a z je záporné celé číslo. Vidíme, že menovateľ tohto zlomku nie je nič iné ako obyčajný stupeň s kladným celým číslom a už sme sa ho naučili vypočítať. Uveďme príklady úloh.

Príklad 6

Zvýšte 3 na -2.

Riešenie

Pomocou vyššie uvedenej definície píšeme: 2 - 3 = 1 2 3

Vypočítame menovateľa tohto zlomku a dostaneme 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Potom je odpoveď: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Príklad 7

Zvýšte 1, 43 na -2.

Riešenie

Preformulujte: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Vypočítame druhú mocninu v menovateli: 1,43 1,43. Desatinné čísla možno násobiť takto:

V dôsledku toho sme dostali (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Zostáva nám zapísať tento výsledok vo forme obyčajného zlomku, pre ktorý je potrebné ho vynásobiť 10 tisíc (pozri materiál o prevode zlomkov).

Odpoveď: (1, 43) - 2 = 10 000 20449

Samostatným prípadom je zvýšenie čísla na mínus prvú mocninu. Hodnota takéhoto stupňa sa rovná číslu opačnému k pôvodnej hodnote základne: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Príklad 8

Príklad: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Ako zvýšiť číslo na zlomkovú mocninu

Na vykonanie takejto operácie si musíme spomenúť na základnú definíciu stupňa so zlomkovým exponentom: a m n \u003d a m n pre akékoľvek kladné a, celé číslo m a prirodzené n.

Definícia 2

Výpočet zlomkového stupňa sa teda musí vykonať v dvoch krokoch: zvýšenie na celé číslo a nájdenie koreňa n-tého stupňa.

Máme rovnosť a m n = a m n , ktorá sa vzhľadom na vlastnosti koreňov zvyčajne používa na riešenie úloh v tvare a m n = a n m . To znamená, že ak umocníme číslo a na zlomkovú mocninu m / n, potom najprv vytiahneme koreň n-tého stupňa z a, potom výsledok umocníme s celočíselným exponentom m.

Ukážme si to na príklade.

Príklad 9

Vypočítajte 8 - 2 3 .

Riešenie

Metóda 1. Podľa základnej definície to môžeme reprezentovať ako: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Teraz vypočítajme stupeň pod odmocninou a z výsledku extrahujeme tretí odmocninec: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metóda 2. Transformujme základnú rovnosť: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Potom extrahujeme koreň 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 a výsledok odmocníme: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vidíme, že riešenia sú rovnaké. Môžete použiť ľubovoľným spôsobom.

Existujú prípady, keď má stupeň indikátor vyjadrený ako zmiešané číslo alebo desatinný zlomok. Pre jednoduchosť výpočtu je lepšie nahradiť ho obyčajným zlomkom a počítať, ako je uvedené vyššie.

Príklad 10

Zvýšte 44,89 na mocninu 2,5.

Riešenie

Preveďme hodnotu ukazovateľa na obyčajný zlomok - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

A teraz vykonáme všetky vyššie uvedené akcie v poradí: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 071 = 13001 = 1301 13 501, 25107

Odpoveď: 13501, 25107.

Ak sú v čitateli a menovateli zlomkového exponentu veľké čísla, potom je výpočet takýchto exponentov s racionálnymi exponentmi dosť náročný. Zvyčajne to vyžaduje výpočtovú techniku.

Samostatne sa zameriame na stupeň s nulovým základom a zlomkovým exponentom. Výraz v tvare 0 m n môže mať nasledujúci význam: ak m n > 0, potom 0 m n = 0 m n = 0 ; ak m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Ako zvýšiť číslo na iracionálnu moc

Potreba vypočítať hodnotu stupňa, v ukazovateli ktorého je iracionálne číslo, nevzniká tak často. V praxi sa úloha zvyčajne obmedzuje na výpočet približnej hodnoty (do určitého počtu desatinných miest). To sa zvyčajne počíta na počítači kvôli zložitosti takýchto výpočtov, takže sa tým nebudeme podrobne zaoberať, iba naznačíme hlavné ustanovenia.

Ak potrebujeme vypočítať hodnotu stupňa a s iracionálnym exponentom a , tak vezmeme desiatkovú aproximáciu exponentu a počítame z nej. Výsledkom bude približná odpoveď. Čím presnejšia je desatinná aproximácia, tým presnejšia je odpoveď. Ukážme si to na príklade:

Príklad 11

Vypočítajte približnú hodnotu 21, 174367 ....

Riešenie

Obmedzíme sa na desiatkovú aproximáciu a n = 1, 17 . Urobme výpočty pomocou tohto čísla: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ak si vezmeme napríklad aproximáciu a n = 1 , 1743 , potom bude odpoveď o niečo presnejšia: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde ich potrebujete? Prečo by ste mali tráviť čas ich štúdiom?

Ak sa chcete dozvedieť všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje znalosti v každodennom živote, prečítajte si tento článok.

A, samozrejme, znalosť titulov vás priblíži k úspešnému absolvovaniu OGE alebo Jednotnej štátnej skúšky a vstupu na univerzitu vašich snov.

Poďme... (Poďme!)

Dôležitá poznámka! Ak namiesto vzorcov vidíte nezmysel, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ak to chcete urobiť, stlačte kombináciu klávesov CTRL + F5 (v systéme Windows) alebo Cmd + R (v systéme Mac).

PRVÁ ÚROVEŇ

Umocňovanie je rovnaká matematická operácia ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz všetko vysvetlím ľudskou rečou na veľmi jednoduchých príkladoch. Buď opatrný. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s pridávaním.

Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko coly? Správne - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Rovnaký príklad s kolou možno napísať aj iným spôsobom: . Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu na spôsob, ako ich rýchlejšie „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí má rovnaký počet fliaš koly a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.

Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jeden, krajší:

A aké ďalšie zložité triky na počítanie vymysleli leniví matematici? správne - zvýšenie čísla na mocninu.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že toto číslo musíte zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad, . Matematici si pamätajú, že dve až piata mocnina je. A takéto problémy riešia vo svojej mysli – rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.

K tomu potrebujete iba zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, výrazne vám to uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa volá druhý stupeň námestiečísla a tretie kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Príklad zo skutočného života #1

Začnime druhou mocninou čísla.

Predstavte si štvorcový bazén s rozmermi metrov po metroch. Bazén je vo vašom dvore. Je horúco a ja si chcem naozaj zaplávať. Ale ... bazén bez dna! Dno bazéna je potrebné obložiť dlažbou. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať oblasť dna bazéna.

Škubaním prsta jednoducho spočítate, že dno bazéna tvoria kocky meter po metri. Ak sú vaše dlaždice meter na meter, budete potrebovať kusy. Je to jednoduché... Ale kde ste videli takú dlaždicu? Dlaždica bude skôr cm krát cm A potom vás bude trápiť „počítanie prstom“. Potom sa musíte množiť. Takže na jednu stranu dna bazéna osadíme dlažbu (kusy) a na druhú tiež dlažbu. Vynásobením získate dlaždice ().

Všimli ste si, že sme vynásobili rovnaké číslo, aby sme určili plochu dna bazéna? Čo to znamená? Keďže sa rovnaké číslo násobí, môžeme použiť techniku umocňovania. (Samozrejme, keď máte len dve čísla, musíte ich ešte vynásobiť alebo umocniť na mocninu. Ak ich však máte veľa, potom je umocnenie oveľa jednoduchšie a vo výpočtoch je tiež menej chýb. Pre skúšku je to veľmi dôležité).
Takže tridsať až druhý stupeň bude (). Alebo môžete povedať, že tridsať štvorcových bude. Inými slovami, druhá mocnina čísla môže byť vždy reprezentovaná ako štvorec. A naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina nejakého čísla. Štvorec je obrazom druhej mocniny čísla.

Príklad zo života #2

Tu je úloha pre vás, spočítajte, koľko políčok je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej aj na druhej strane buniek. Ak chcete spočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi, alebo ... ak si všimnete, že šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete odmocniť osem. Získajte bunky. () Takže?

Príklad z reálneho života číslo 3

Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v kubických metroch. Nečakané, však?) Nakreslite bazén: dno veľké meter a meter hlboké a skúste vypočítať, koľko kociek meter po metri sa dostane do vášho bazéna.

Stačí ukázať prstom a počítať! Jeden, dva, tri, štyri...dvadsaťdva, dvadsaťtri... Koľko to vyšlo? Nestratili ste sa? Je ťažké počítať prstom? Takže to! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, a tak si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazéna bude rovnať kockám ... Jednoduchšie, však?

Teraz si predstavte, akí leniví a prefíkaní sú matematici, ak to príliš zjednodušujú. Všetko zredukované na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že to isté číslo sa samo násobí... A čo to znamená? To znamená, že môžete použiť stupeň. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia v jednej akcii: tri v kocke sa rovná. Píše sa to takto:

Zostáva iba zapamätať si tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.

Aby sme vás konečne presvedčili, že tituly vymysleli flákači a prefíkaní ľudia, aby riešili svoje životné problémy a nie aby vám robili problémy, tu je ešte pár príkladov zo života.

Príklad zo skutočného života #4

Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión ďalší milión. To znamená, že každý z vašich miliónov sa na začiatku každého roka zdvojnásobí. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý a .. hlúpy človek. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou odpoviete za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva krát dva ... v druhom roku - čo sa stalo, o dva viac, v treťom roku ... Stop! Všimli ste si, že číslo sa raz vynásobí samo. Takže dve až piata mocnina je milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a ten, kto počíta rýchlejšie, dostane tieto milióny ... Oplatí sa zapamätať si stupne čísel, čo myslíte?

Príklad zo skutočného života číslo 5

Máš milión. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión o dva viac. Je to skvelé, že? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za rok? Poďme počítať. Prvý rok - násobte, potom výsledok ďalším ... Už je to nudné, pretože ste už všetko pochopili: tri sa násobí krát. Štvrtá mocnina je teda milión. Len si treba uvedomiť, že tri až štvrtá mocnina je alebo.

Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa ďalej pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy ... aby ste sa neplietli

Najprv si teda definujme pojmy. Co si myslis, čo je exponent? Je to veľmi jednoduché – ide o číslo, ktoré je „navrchu“ mocniny čísla. Nie je to vedecké, ale jasné a ľahko zapamätateľné ...

No zároveň čo taký základ titulu? Ešte jednoduchšie je číslo, ktoré je dole, na základni.

Tu je obrázok, aby ste si boli istí.

No, vo všeobecnosti, aby sme si to lepšie zovšeobecnili a zapamätali ... Titul so základom "" a indikátorom "" sa číta ako "v stupni" a píše sa takto:

Mocnina čísla s prirodzeným exponentom

Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní položiek: jeden, dva, tri ... Keď počítame položky, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Nehovoríme ani „jedna tretina“ alebo „nula bod päť desatín“. Toto nie sú prirodzené čísla. Aké sú podľa vás tieto čísla?

Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ označujú celé čísla. Vo všeobecnosti celé čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam (t. j. brané so znamienkom mínus) a číslo. Nulu je ľahké porozumieť – vtedy nie je nič. A čo znamenajú záporné („mínusové“) čísla? Boli však vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte na telefóne zostatok v rubľoch, znamená to, že dlhujete operátorovi v rubľoch.

Všetky zlomky sú racionálne čísla. Ako vznikli, čo myslíte? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že nemajú dostatok prirodzených čísel na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli na to racionálne čísla... Zaujímavé, však?

Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečný desatinný zlomok. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme si pojem stupeň, ktorého exponentom je prirodzené číslo (teda celé a kladné).

Akékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samo sebe:
Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
Kockovať číslo znamená vynásobiť ho samo sebou trikrát:

Definícia. Zvýšiť číslo na prirodzenú mocninu znamená vynásobiť číslo samo sebou krát:
.

Vlastnosti stupňa

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz ti to ukážem.

Pozrime sa, čo je a ?

Podľa definície:

Koľko násobiteľov je celkovo?

Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali faktory a výsledkom sú faktory.

Ale podľa definície ide o stupeň čísla s exponentom, teda: , ktorý bolo potrebné dokázať.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí to byť rovnaký dôvod!
Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

len pre produkty síl!

V žiadnom prípade to nepíš.

2. teda -tá mocnina čísla

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to nie je pravda, naozaj.

Titul so záporným základom

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.

Čo by však malo byť základom?

V stupňoch od prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne.

Zamyslime sa nad tým, aké znamienka (" " alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? ALE? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak to vynásobíme, vyjde to.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste to?

Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je párny, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!

6 príkladov z praxe

Rozbor riešenia 6 príkladov

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, teda rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa vymenili, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý pomenúvame prirodzené čísla, ich protiklady (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy si kladieme otázku: prečo je to tak?

Zvážte nejakú silu so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. Aké číslo treba vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane sa to musí rovnať ľubovoľnému stupňu – nech už nulu vynásobíte akokoľvek, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo na nulový stupeň, musí sa rovnať. Aká je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz môžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporný stupeň, urobme to isté ako naposledy: vynásobíme nejaké normálne číslo rovnakým v zápornom stupni:

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť želané:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo k zápornej mocnine je prevrátená hodnota rovnakého čísla k kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť null:(pretože sa to nedá rozdeliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je prevrátená hodnota rovnakého čísla k kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú strašidelné, ale na skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo rozoberte ich riešenie, ak ste to nevedeli vyriešiť a na skúške sa naučíte, ako si s nimi jednoducho poradiť!

Pokračujme v rozširovaní okruhu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je "zlomkový stupeň" Zoberme si zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si zapamätajte pravidlo "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tého stupňa je inverzná operácia umocňovania: .

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad môže byť rozšírený: .

Teraz pridajte čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla power-to-power:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať korene párneho stupňa zo záporných čísel!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zmenšené zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, a to sú len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ale akonáhle napíšeme indikátor iným spôsobom, opäť dostaneme problém: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby ste sa vyhli takýmto paradoxom, zvážte iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

- prirodzené číslo;
je celé číslo;

Príklady:

Mocniny s racionálnym exponentom sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:

5 príkladov z praxe

Rozbor 5 príkladov na školenie

No, teraz - najťažšie. Teraz budeme analyzovať stupňa s iracionálnym exponentom.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupne s racionálnym exponentom, s výnimkou

Podľa definície sú iracionálne čísla čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...nulový výkon- je to akoby číslo raz vynásobené samo sebou, teda ešte sa nezačalo násobiť, čiže samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda len určitá „príprava číslo“, menovite číslo;

...záporný exponent celého čísla- je to, ako keby sa uskutočnil určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové koncepty.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naucis riesit taketo priklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s už zaužívaným pravidlom pre zvyšovanie titulu na stupeň:

Teraz sa pozrite na skóre. Pripomína ti niečo? Pripomíname si vzorec pre skrátené násobenie rozdielu štvorcov:

AT tento prípad,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch privedieme do rovnakého tvaru: buď oba desatinné, alebo oba obyčajné. Dostaneme napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definícia stupňa

Stupeň je vyjadrením tvaru: , kde:

— základ titulu;
- exponent.

Stupeň s prirodzeným exponentom (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Mocnina s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)

Ak je exponent kladné celé čísločíslo:

erekcia na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.

Ak je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(pretože sa to nedá rozdeliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

Príklady:

Stupeň s racionálnym exponentom

- prirodzené číslo;
je celé číslo;

Príklady:

Vlastnosti stupňa

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

Podľa definície:

Takže na pravej strane tohto výrazu sa získa nasledujúci produkt:

Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí byť na rovnakom základe. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre produkty mocností!

V žiadnom prípade by som to nemal písať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Preusporiadame to takto:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to -tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:!

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to nie je pravda, naozaj.

Moc s negatívnou bázou.

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, čo by malo byť index stupňa. Čo by však malo byť základom? V stupňoch od prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, aké znamienka (" " alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? ALE? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.

A tak ďalej ad infinitum: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Môžete formulovať tieto jednoduché pravidlá:

dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je párny, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáte, je jasné, že to znamená, že základňa je menšia ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme si definíciu stupňov a rozdelíme ich na seba, rozdelíme do dvojíc a dostaneme:

Pred analýzou posledného pravidla vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte hodnoty výrazov:

Riešenia :

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, teda rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by boli obrátené, mohlo by sa použiť pravidlo 3. Ale ako to urobiť? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Ale teraz to vyzerá takto:

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť. Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne! Nedá sa to nahradiť zmenou jediného pre nás nevýhodného mínusu!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to chceme dokázať? Samozrejme, ako obvykle: rozšírme pojem titul a zjednodušíme:

No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen bude? krát podľa násobiteľov - ako to vyzerá? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: celkom sa ukázalo, že existujú multiplikátory. To znamená, že je to podľa definície mocnina čísla s exponentom:

Príklad:

Stupeň s iracionálnym exponentom

Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym ukazovateľom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo do nultého stupňa je akoby číslom, ktoré sa už raz násobí samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určitá „príprava čísla“, konkrétne číslo; stupeň so záporným celým číslom - je to, ako keby nastal určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové koncepty.

Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa, aby sme sa toho zbavili! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

odpovede:

Pamätajte na rozdiel vo vzorci štvorcov. Odpoveď: .
Zlomky prinášame do rovnakého tvaru: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad: .
Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

SÚHRN SEKCIE A ZÁKLADNÝ VZOREC

stupňa sa nazýva výraz v tvare: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentom

stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

Stupeň s racionálnym exponentom

stupňa, ktorého ukazovateľom sú záporné a zlomkové čísla.

Stupeň s iracionálnym exponentom

exponent, ktorého exponent je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Vlastnosti stupňa

Vlastnosti stupňov.

Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
Nula sa rovná akejkoľvek moci.
Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.

TERAZ MÁTE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Dajte mi vedieť v komentároch nižšie, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s energetickými vlastnosťami.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia pri skúškach!

V jednom z predchádzajúcich článkov sme už spomenuli stupeň čísla. Dnes sa pokúsime navigovať v procese hľadania jeho významu. Vedecky vzaté, prídeme na to, ako správne umocňovať. Pochopíme, ako sa tento proces uskutočňuje, pričom sa dotýkame všetkých možných exponentov: prirodzeného, iracionálneho, racionálneho, celku.

Poďme sa teda bližšie pozrieť na riešenia príkladov a zistiť, čo to znamená:

Definícia pojmu.
Výchova k negatívnemu umeniu.
Celé skóre.
Zvýšenie čísla na iracionálnu silu.

Tu je definícia, ktorá presne odráža význam: „Pozdvihnutie k moci je definícia hodnoty stupňa čísla.

V súlade s tým konštrukcia čísla a v čl. r a proces zisťovania hodnoty stupňa a s exponentom r sú totožné pojmy. Napríklad, ak je úlohou vypočítať hodnotu stupňa (0,6) 6 ″, potom to možno zjednodušiť na výraz „Zvýšte číslo 0,6 na mocninu 6“.

Potom môžete prejsť priamo k pravidlám výstavby.

Povýšenie na negatívnu silu

Kvôli prehľadnosti by ste mali venovať pozornosť nasledujúcemu reťazcu výrazov:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 v mínus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 v mínus 2 krokoch.,

11 000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 mínus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 až mínus 4 stupne.

Vďaka týmto príkladom môžete jasne vidieť schopnosť okamžite vypočítať 10 na akúkoľvek zápornú mocninu. Na tento účel stačí jednoducho posunúť desatinnú zložku:

10 až -1 stupeň - pred jednotkou 1 nula;
v -3 - tri nuly pred jednotkou;
-9 je 9 núl a tak ďalej.

Podľa tejto schémy je tiež ľahké pochopiť, koľko bude 10 mínus 5 polievkových lyžíc. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Ako zvýšiť číslo na prirodzenú silu

Pripomínajúc definíciu, berieme do úvahy, že prirodzené číslo a v umení. n sa rovná súčinu n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Znázornime: (a * a * ... a) n, kde n je počet čísel, ktoré sa vynásobia. Preto, aby sme zvýšili a na n, je potrebné vypočítať súčin nasledujúceho tvaru: a * a * ... a vydeliť n-krát.

Odtiaľ je zrejmé, že erekcia v prírodnom umení. sa spolieha na schopnosť vykonávať násobenie(tomuto materiálu sa venuje časť o násobení reálnych čísel). Pozrime sa na problém:

Zvýšte -2 až 4 polievkovú lyžičku.

Máme do činenia s prirodzeným ukazovateľom. V súlade s tým bude priebeh rozhodovania nasledovný: (-2) v čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Teraz zostáva len vykonať násobenie celých čísel: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Dostávame 16.

Odpoveď na úlohu:

(-2) v čl. 4=16.

Príklad:

Vypočítajte hodnotu: tri body dve sedminy na druhú.

Tento príklad sa rovná nasledujúcemu súčinu: tri body dva siedmy krát tri body dva siedmy. Keď si pamätáme, ako sa vykonáva násobenie zmiešaných čísel, dokončíme konštrukciu:

3 celé 2 sedminy násobené sebou;
rovná sa 23 sedminám krát 23 sedminám;
rovná sa 529 štyridsiatim deviatim;
zredukujeme a dostaneme 10 tridsaťdeväť štyridsaťdeväťdesiatin.

odpoveď: 10 39/49

V súvislosti s otázkou zvýšenia na iracionálny ukazovateľ je potrebné poznamenať, že výpočty sa začínajú vykonávať po dokončení predbežného zaokrúhľovania základu stupňa na určitú úroveň, ktorá by umožnila získať hodnotu s daným presnosť. Napríklad potrebujeme odmocniť číslo P (pi).

Začneme zaokrúhlením P na stotiny a dostaneme:

P na druhú \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Ak však P zredukujeme na desaťtisíciny, dostaneme P = 3,14159. Potom umocnenie dostane úplne iné číslo: 9,8695877281.

Tu treba poznamenať, že v mnohých problémoch nie je potrebné zvyšovať iracionálne čísla na mocninu. Odpoveď sa spravidla zadáva buď vo forme v skutočnosti stupňa, napríklad odmocnina zo 6 na mocninu 3, alebo, ak to výraz umožňuje, vykoná sa jej transformácia: odmocnina z 5 na 7 stupňov \u003d 125 odmocnina z 5.

Ako zvýšiť číslo na celé číslo

Táto algebraická manipulácia je vhodná vziať do úvahy v nasledujúcich prípadoch:

pre celé čísla;
pre nulový indikátor;
pre kladné celé číslo.

Keďže takmer všetky kladné celé čísla sa zhodujú s hmotnosťou prirodzených čísel, nastavenie na kladnú mocninu celého čísla je rovnaký proces ako v čl. prirodzené. Tento proces sme opísali v predchádzajúcom odseku.

Teraz hovorme o výpočte čl. nulový. Už vyššie sme zistili, že nulovú mocninu čísla a možno určiť pre ľubovoľné nenulové a (reálne), kým a v sv. 0 sa bude rovnať 1.

V súlade s tým, konštrukcia akéhokoľvek reálneho čísla k nule umenie. dá jeden.

Napríklad 10 v st.0=1, (-3,65)0=1 a 0 v st. 0 sa nedá určiť.

Aby bolo možné dokončiť umocnenie na celé číslo, zostáva rozhodnúť o možnostiach pre záporné celočíselné hodnoty. Pamätáme si, že čl. z a s celočíselným exponentom -z bude definovaný ako zlomok. V menovateli zlomku je čl. s kladnou celočíselnou hodnotou, ktorej hodnotu sme sa už naučili nájsť. Teraz zostáva len zvážiť príklad konštrukcie.

Príklad:

Vypočítajte hodnotu čísla 2 v kocke so záporným celým číslom.

Postup riešenia:

Podľa definície stupňa s negatívnym ukazovateľom označujeme: dva v mínus 3 polievkové lyžice. rovná sa jedna až dve k tretej mocnine.

Menovateľ sa vypočíta jednoducho: dve kocky;

3 = 2*2*2=8.

odpoveď: dve až mínus 3 polievková lyžica. = jedna osmina.

Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde ich potrebujete? Prečo by ste mali tráviť čas ich štúdiom?

Ak sa chcete dozvedieť všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje znalosti v každodennom živote, prečítajte si tento článok.

A, samozrejme, znalosť titulov vás priblíži k úspešnému absolvovaniu OGE alebo Jednotnej štátnej skúšky a vstupu na univerzitu vašich snov.

Poďme... (Poďme!)

PRVÁ ÚROVEŇ

Umocňovanie je rovnaká matematická operácia ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz všetko vysvetlím ľudskou rečou na veľmi jednoduchých príkladoch. Buď opatrný. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s pridávaním.

Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko coly? Správne - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jeden, krajší:

A aké ďalšie zložité triky na počítanie vymysleli leniví matematici? správne - zvýšenie čísla na mocninu.

Zvýšenie čísla na mocnosť

K tomu potrebujete iba zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, výrazne vám to uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa volá druhý stupeň námestiečísla a tretie kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Príklad zo skutočného života #1

Začnime druhou mocninou čísla.

Príklad zo života #2

Príklad z reálneho života číslo 3

Zostáva iba zapamätať si tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.

Príklad zo skutočného života #4

Príklad zo skutočného života číslo 5

Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa ďalej pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy ... aby ste sa neplietli

No zároveň čo taký základ titulu? Ešte jednoduchšie je číslo, ktoré je dole, na základni.

Tu je obrázok, aby ste si boli istí.

No, vo všeobecnosti, aby sme si to lepšie zovšeobecnili a zapamätali ... Titul so základom "" a indikátorom "" sa číta ako "v stupni" a píše sa takto:

Mocnina čísla s prirodzeným exponentom

Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečný desatinný zlomok. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme si pojem stupeň, ktorého exponentom je prirodzené číslo (teda celé a kladné).

Akékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samo sebe:
Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
Kockovať číslo znamená vynásobiť ho samo sebou trikrát:

Definícia. Zvýšiť číslo na prirodzenú mocninu znamená vynásobiť číslo samo sebou krát:
.

Vlastnosti stupňa

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz ti to ukážem.

Pozrime sa, čo je a ?

Podľa definície:

Koľko násobiteľov je celkovo?

Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali faktory a výsledkom sú faktory.

Ale podľa definície ide o stupeň čísla s exponentom, teda: , ktorý bolo potrebné dokázať.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí to byť rovnaký dôvod!
Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

len pre produkty síl!

V žiadnom prípade to nepíš.

2. teda -tá mocnina čísla

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to nie je pravda, naozaj.

Titul so záporným základom

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.

Čo by však malo byť základom?

V stupňoch od prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne.

Zamyslime sa nad tým, aké znamienka (" " alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? ALE? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak to vynásobíme, vyjde to.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste to?

Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je párny, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!

6 príkladov z praxe

Rozbor riešenia 6 príkladov

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, teda rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa vymenili, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý pomenúvame prirodzené čísla, ich protiklady (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy si kladieme otázku: prečo je to tak?

Zvážte nejakú silu so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. Aké číslo treba vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť želané:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo k zápornej mocnine je prevrátená hodnota rovnakého čísla k kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť null:(pretože sa to nedá rozdeliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je prevrátená hodnota rovnakého čísla k kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Pokračujme v rozširovaní okruhu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je "zlomkový stupeň" Zoberme si zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si zapamätajte pravidlo "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tého stupňa je inverzná operácia umocňovania: .

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad môže byť rozšírený: .

Teraz pridajte čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla power-to-power:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať korene párneho stupňa zo záporných čísel!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zmenšené zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, a to sú len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ale akonáhle napíšeme indikátor iným spôsobom, opäť dostaneme problém: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby ste sa vyhli takýmto paradoxom, zvážte iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

- prirodzené číslo;
je celé číslo;