Učiteľka matematiky Kochkina L.K.

Téma AXIÁLNE A STREDOVÉ SYMETRIE

Účel vyučovacej úlohy:

Naučiť stavať súmerné body a rozpoznávať obrazce s osovou súmernosťou a stredovou súmernosťou, vytváranie priestorových zobrazení žiakov. Rozvíjanie schopnosti pozorovania a uvažovania; rozvoj záujmu o predmet prostredníctvom využívania informačných technológií. Rozvoj matematickej kompetencie žiakov. Vychovať človeka, ktorý vie oceniť to krásne.

Očakávaný výsledok Študenti budú vedieť zostaviť symetrické obrazce okolo stredu a priamky.

Vybavenie lekcie:

Využitie informačných technológií (prezentácia).

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Informujte o téme hodiny, formulujte ciele hodiny.

II. Prezentácia: "Symetrický svet"(pre študentov)

III. pracovať na téme vyučovacej hodiny(skupinová práca)

Žiaci plnia úlohy samostatne. Na konci prebieha výmena informácií.

1 možnosť

položka 47

osová súmernosť

Možnosť 2

položka 47

stredová symetria

Nie naozaj

Nie naozaj

Zvážte pravidlá konštrukcie symetrických postáv.

1 .Stredová symetria je symetria okolo bodu.

Body A a B sú symetrické vzhľadom na nejaký bod O, ak bod O je stredom úsečky AB.

Algoritmus na zostavenie centrálne súmerného útvaru

Zostrojíme trojuholník A 1 B 1 C 1, symetrický s trojuholníkom ABC, podľa stredu (bodu) O.

Pre to:

Spojte body A, B, C so stredom O a pokračujte v týchto segmentoch;

2. Zmeriame segmenty AO, VO, CO a odložíme bokom na druhú stranu bodu O, segmenty sa im rovnajú (AO \u003d A 1 O 1, VO \u003d B 1 O 1, CO \u003d C 1 O 1);

3. Výsledné body spojte úsečkami A 1 B 1, A 1 C 1, B 1 C 1.

4. Prijaté ∆A 1 AT 1 OD 1 symetrické ∆ABC.

Bod O sa nazýva stred symetrie obrazca a obrazec sa nazýva stredovo symetrický.

Úloha číslo 1 Na obrázku je znázornená časť obrazca, ktorej stredom súmernosti je bod M. Vysvetlite jeho konštrukciu

Úloha číslo 2 Správnosť stavby figúrky z č.1 skontrolujte u suseda v písacom stole. Zostrojte do jeho zošita štvoruholník a označte bod O, ktorý do tohto štvoruholníka nepatrí. Vezmite si notebook späť a zostrojte štvoruholník symetrický k danému bodu O.

Skontrolujte správnosť dokončenej úlohy.

2. Osová súmernosť - toto je symetria okolo nakreslenej osi (priamka).

Body A a B sú symetrické vzhľadom na nejakú priamku a, ak tieto body ležia na priamke kolmej na danú priamku a v rovnakej vzdialenosti.

Os symetrie sa nazýva priamka, keď je ohnutá, pozdĺž ktorej sa „polovice“ zhodujú, a obrazec sa nazýva symetrický okolo nejakej osi.

Algoritmus na zostrojenie obrazca symetrického vzhľadom k nejakej priamke

Zostrojíme trojuholník A 1 B 1 C 1 , symetrický s trojuholníkom ABC podľa priamky a.

Pre to:

1. Z vrcholov trojuholníka ABC kolmého na priamku a nakreslíme priamky a pokračujeme ďalej.

2. Zmeriame vzdialenosti od vrcholov trojuholníka k výsledným bodom na priamke a rovnaké vzdialenosti vynesieme na druhú stranu priamky.

3. Výsledné body spojte úsečkami A 1 B 1, B 1 C 1, B 1 C 1.

4. Prijaté ∆ A 1 AT 1 OD 1 symetrické ∆ABC.

Úlohy podľa učebnice č.248-252, č.261

vykonať konštrukciu obrazca symetrického vzhľadom na priamku a (na tabuli a v zošitoch).

VI. Zhrnutie lekcie.

Reflexia S akými typmi symetrie ste sa na hodine stretli?

Domáca úloha:

Opakujte definície. Kreatívna práca: Po preštudovaní ruskej abecedy (pre možnosť 1) a latinskej abecedy (pre možnosť 2) vyberte písmená, ktoré majú symetriu. Vydávať výsledky výskumov vo formáte A4. Koho táto téma zaujíma, môže sa zapojiť do kreatívneho projektu „Symetria v mojej obľúbenej škole“

Úloha číslo 4 Vyplňte tabuľku:

Segment čiary

Rovno

Ray

Námestie

Jeden stred symetrie

Nekonečne veľa stredov symetrie

Jedna os symetrie

Dve osi symetrie

Štyri osi symetrie

Nekonečne veľa osí symetrie

1 možnosť

položka 47

osová súmernosť

Možnosť 2

položka 47

stredová symetria

Osová symetria je symetria približne ____________

Stredová symetria je symetria približne ________________

Dva body A a A 1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na priamku a, ak ____________

Dva body A a A 1 sa nazývajú symetrické podľa bodu O, ak _____________

Priama čiara a sa nazýva _______________

Bod O sa nazýva __________________

Obrazec sa nazýva symetrický vzhľadom na priamku, ak pre každý bod obrazca bod symetrický k nemu patrí _________

Obrazec sa nazýva symetrický vzhľadom na bod O, ak pre každý bod obrazca bod, ktorý k nemu symetrický patrí _______

Sú čísla, ktoré sú symetrické vzhľadom na priamku, rovnaké?

Nie naozaj

Sú čísla, ktoré sú symetrické okolo bodu, rovnaké?

Takže, pokiaľ ide o geometriu: existujú tri hlavné typy symetrie.

po prvé, stredová symetria (alebo symetria okolo bodu) - ide o transformáciu roviny (alebo priestoru), v ktorej jediný bod (bod O - stred symetrie) zostáva na svojom mieste, zatiaľ čo ostatné body menia svoju polohu: namiesto bodu A dostaneme bod A1 tak, že bod O je stredom segmentu AA1. Na zostrojenie útvaru Ф1, symetrického k útvaru Ф vzhľadom na bod O, je potrebné nakresliť lúč cez každý bod obrázku Ф prechádzajúci bodom O (stred symetrie) a na tento lúč umiestniť stranou bodu symetrického s bodom vybraným vzhľadom na bod O. Takto zostrojená množina bodov poskytne údaj F1.

Veľmi zaujímavé sú obrazce, ktoré majú stred symetrie: pri symetrii okolo bodu O sa akýkoľvek bod obrazca F opäť premení na nejaký bod obrazca F. Takýchto obrazcov je v geometrii veľa. Napríklad: úsečka (stred úsečky je stredom symetrie), priamka (ktorýkoľvek z jej bodov je stredom jej symetrie), kružnica (stred kružnice je stredom symetrie), obdĺžnik (priesečník jeho uhlopriečok je stredom symetrie). V živej a neživej prírode je veľa centrálne symetrických objektov (komunikácia študentov). Často ľudia sami vytvárajú predmety, ktoré majú stred symetrierii (príklady z vyšívania, príklady zo strojárstva, príklady z architektúry a mnohé iné príklady).

po druhé, osová symetria (alebo symetria okolo priamky) - ide o transformáciu roviny (alebo priestoru), v ktorej zostanú na svojom mieste len body priamky p (táto priamka je osou symetrie), kým ostatné body zmenia svoju polohu: namiesto bodu B , dostaneme taký bod B1, že priamka p je odvesna na úsečku BB1. Na zostrojenie obrazca Φ1 symetrického k obrazcu Φ vzhľadom na priamku p je potrebné, aby každý bod obrazca Φ zostrojil bod symetrický vzhľadom na priamku p. Množina všetkých týchto zostrojených bodov dáva požadovaný údaj Ф1. Existuje veľa geometrických tvarov, ktoré majú os symetrie.

Obdĺžnik má dva, štvorec štyri, kruh má ľubovoľnú priamku prechádzajúcu jeho stredom. Ak sa pozriete pozorne na písmená abecedy, potom medzi nimi nájdete tie, ktoré majú horizontálnu alebo vertikálnu a niekedy obe osi symetrie. Objekty s osami symetrie sú v živej a neživej prírode pomerne bežné (žiacke správy). Pri svojej činnosti človek vytvára veľa predmetov (napríklad ornamentov), ​​ktoré majú niekoľko osí symetrie.

______________________________________________________________________________________________________

po tretie, rovinná (zrkadlová) symetria (alebo symetria okolo roviny) - ide o transformáciu priestoru, pri ktorej si len body jednej roviny zachovávajú svoju polohu (α-rovina symetrie), zvyšné body priestoru menia svoju polohu: namiesto bodu C sa získa taký bod C1, že rovina α prechádza stredom segmentu CC1, kolmo naň.

Na zostrojenie útvaru Ф1, súmerného k útvaru Ф vzhľadom na rovinu α, je potrebné, aby každý bod útvaru Ф postavil body súmerné vzhľadom na α, tvoria vo svojej množine útvar Ф1.

Najčastejšie sa vo svete vecí a predmetov okolo nás stretávame s trojrozmernými telesami. A niektoré z týchto telies majú roviny symetrie, niekedy dokonca niekoľko. A človek sám pri svojich činnostiach (stavba, vyšívanie, modelovanie, ...) vytvára objekty s rovinami symetrie.

Stojí za zmienku, že spolu s tromi uvedenými typmi symetrie existujú (v architektúre)prenosný a otočný, čo sú v geometrii kompozície viacerých pohybov.

"Bod symetrie" - Symetria v architektúre. Príklady symetrie rovinných útvarov. Dva body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na O, ak O je stredom segmentu AA1. Príkladmi útvarov so stredovou symetriou sú kruh a rovnobežník. Bod C sa nazýva stred symetrie. Symetria vo vede a technike.

„Konštrukcia geometrických tvarov“ – Vzdelávací aspekt. Kontrola a korekcia asimilácie. Štúdium teórie, na ktorej je metóda založená. V stereometrii - nie striktné konštrukcie. stereometrické konštrukcie. algebraická metóda. Transformačná metóda (podobnosť, symetria, paralelný preklad atď.). Napríklad: rovný; osi uhla; stredová kolmica.

„Ľudská postava“ – Tvar a pohyb ľudského tela do značnej miery určuje kostra. Jarmok s divadelným predstavením. Existuje podľa vás práca pre umelca v cirkuse? Kostra zohráva úlohu rámu v štruktúre postavy. Hlavné telo (brucho, hrudník) Nevenoval pozornosť Hlava, tvár, ruky. A. Mathis. Proporcie. Staroveké Grécko.

„Symetria okolo priamky“ – Symetria okolo priamky sa nazýva osová súmernosť. Priamka a je osou symetrie. Symetria okolo priamky. Bulavin Pavel, 9B trieda. Koľko osí symetrie má každá postava? Postava môže mať jednu alebo viac osí symetrie. stredová symetria. Equosceles lichobežník. Obdĺžnik.

"Geometria štvorcov obrazcov" - Pytagorova veta. Plochy rôznych postáv. Vyriešte hádanku. Čísla s rovnakými plochami sa nazývajú rovnaké plochy. Plošné jednotky. Oblasť trojuholníka. Obdĺžnik, trojuholník, rovnobežník. štvorcový centimeter. Čísla rovnakej plochy. Rovnaké čísla b). štvorcový milimeter. v). Aká bude plocha figúry zloženej z figúrok A a D.

"Obmedzenie funkcie v bode" - Potom v tomto prípade. Pri snažení. Limita funkcie v bode. Nepretržité v bode. Rovná sa hodnote funkcie v. Ale pri výpočte limity funkcie pri. Rovná sa hodnote. Výraz. Ašpirácia. Alebo môžete povedať toto: v dostatočne malom okolí bodu. Zostavené z. Riešenie. Nepretržité v intervaloch. Medzi.

Rovnosť a podobnosť.Homothety - transformácia, v ktorej každý bod M (rovina alebo priestor) je priradený bod M“, ležiaci na OM (obr. 5.16), a pomer OM":OM= A rovnaké pre všetky body okrem O. pevný bod O sa nazýva centrum homothety. Postoj OM": OM považovať za pozitívne, ak M" a M ležať na jednej straneó, negatívne - na opačných stranách. číslo X sa nazýva koeficient homothety. o X< Rovnomernosť 0 sa nazýva inverzná. oλ = - 1 homoteita sa stáva transformáciou symetrie okolo bodu O. Pri homotete, priama čiara prechádza do priamky, rovnobežnosť čiar a rovín je zachovaná, uhly (lineárne a dihedrálne) sú zachované, každý obrazec prechádza do nej podobné (obr. 5.17).

Opak je tiež pravdou. Rovnomernosť možno definovať ako afinnú transformáciu, pri ktorej priamky spájajúce zodpovedajúce body prechádzajú cez jeden bod – stred homotety. Homothety sa používa na zväčšovanie obrázkov (projekčná lampa, kino).

Stredová a zrkadlová symetria.Symetria (v širšom zmysle) je vlastnosť geometrického útvaru Ф, ktorá charakterizuje určitú správnosť jeho tvaru, jeho nemennosť pri pôsobení pohybov a odrazov. Obrazec Ф má symetriu (symetrickú), ak existujú neidentické ortogonálne transformácie, ktoré tento obrazec preberajú do seba. Množina všetkých ortogonálnych transformácií, ktoré kombinujú obrazec Ф so sebou samým, je skupinou tohto obrazca. Čiže plochá postava (obr. 5.18) s bodkou M, transformácia-

Xia v sebe so zrkadlom odraz, symetrický okolo priamej osi AB. Tu skupinu symetrie tvoria dva prvky – bod M prevedené na M".

Ak je číslo Ф v rovine také, že sa otáča okolo nejakého bodu O cez uhol 360°/n, kde n > 2 je celé číslo, transformujte ho do seba, potom má obrazec Ф symetriu n-tého rádu vzhľadom na bod O - stred súmernosti. Príkladom takýchto útvarov sú pravidelné mnohouholníky, napríklad v tvare hviezdy (obr. 5.19), ktoré majú okolo stredu symetriu ôsmeho rádu. Skupina symetrie je tu takzvaná cyklická skupina n-tého rádu. Kruh má symetriu nekonečného poriadku (pretože sa sám so sebou spája otáčaním o akýkoľvek uhol).

Najjednoduchším typom priestorovej symetrie je stredová symetria (inverzia). V tomto prípade s ohľadom na bod O obrazec Ф sa spája sám so sebou po postupných odrazoch od troch vzájomne kolmých rovín, t.j. O - stred úsečky spájajúcej symetrické body F. Takže pre kocku (obr. 5.20) bod O je stredom symetrie. bodov Kocka M a M".

Ľudský život je plný symetrie. Je to pohodlné, krásne, netreba vymýšľať nové štandardy. Ale aká v skutočnosti je a je v prírode taká krásna, ako sa bežne verí?

Symetria

Od staroveku sa ľudia snažili zefektívniť svet okolo seba. Preto sa niečo považuje za krásne a niečo nie. Z estetického hľadiska sa za atraktívne považujú zlaté a strieborné rezy a samozrejme aj symetria. Tento výraz má grécky pôvod a doslova znamená „proporcia“. Samozrejme, nehovoríme len o náhode na tomto základe, ale aj o niektorých iných. Vo všeobecnom zmysle je symetria taká vlastnosť objektu, keď sa v dôsledku určitých útvarov výsledok rovná pôvodným údajom. Nachádza sa v živej aj neživej prírode, ako aj v predmetoch vyrobených človekom.

Po prvé, pojem "symetria" sa používa v geometrii, ale nachádza uplatnenie v mnohých vedných oblastiach a jeho význam zostáva vo všeobecnosti nezmenený. Tento jav je pomerne bežný a považuje sa za zaujímavý, keďže viaceré jeho typy, ako aj prvky sa líšia. Zaujímavé je aj využitie symetrie, pretože sa nachádza nielen v prírode, ale aj v ozdobách na látke, obrubách budov a mnohých iných umelých predmetoch. Stojí za to zvážiť tento fenomén podrobnejšie, pretože je mimoriadne vzrušujúci.

Použitie termínu v iných vedných oblastiach

V budúcnosti sa bude o symetrii uvažovať z pohľadu geometrie, no treba spomenúť, že toto slovo sa používa nielen tu. Biológia, virológia, chémia, fyzika, kryštalografia – to všetko je neúplný zoznam oblastí, v ktorých sa tento jav študuje z rôznych uhlov pohľadu a za rôznych podmienok. Klasifikácia napríklad závisí od toho, na ktorú vedu sa tento pojem vzťahuje. Rozdelenie na typy sa teda značne líši, hoci niektoré základné možno zostávajú všade nezmenené.

Klasifikácia

Existuje niekoľko základných typov symetrie, z ktorých tri sú najbežnejšie:

Okrem toho sa v geometrii rozlišujú aj tieto typy, sú oveľa menej bežné, ale nie menej zvedavé:

• posuvné;
• rotačné;
• bod;
• progresívny;
• skrutka;
• fraktál;
• atď.

V biológii sa všetky druhy nazývajú trochu inak, hoci v skutočnosti môžu byť rovnaké. K rozdeleniu do určitých skupín dochádza na základe prítomnosti alebo neprítomnosti, ako aj počtu určitých prvkov, ako sú stredy, roviny a osi symetrie. Mali by sa posudzovať samostatne a podrobnejšie.

Základné prvky

Vo fenoméne sa rozlišujú niektoré znaky, z ktorých jeden je nevyhnutne prítomný. Medzi takzvané základné prvky patria roviny, stredy a osi súmernosti. Typ sa určuje v súlade s ich prítomnosťou, neprítomnosťou a množstvom.

Stred symetrie sa nazýva bod vo vnútri postavy alebo kryštálu, v ktorom sa čiary zbiehajú a spájajú v pároch všetky strany navzájom rovnobežné. Samozrejme, nie vždy existuje. Ak existujú strany, na ktorých nie je paralelný pár, potom takýto bod nemožno nájsť, pretože žiadny neexistuje. Podľa definície je zrejmé, že stred symetrie je ten, cez ktorý sa postava môže odrážať sama od seba. Príkladom je napríklad kruh a bod v jeho strede. Tento prvok sa zvyčajne označuje ako C.

Rovina symetrie je, samozrejme, imaginárna, ale je to ona, ktorá rozdeľuje postavu na dve rovnaké časti. Môže prechádzať jednou alebo viacerými stranami, byť s ňou rovnobežné, alebo ich môže rozdeľovať. Pre ten istý obrázok môže existovať niekoľko rovín naraz. Tieto prvky sa zvyčajne označujú ako P.

Ale možno najbežnejšie je to, čo sa nazýva „osi symetrie“. Tento častý jav môžeme vidieť ako v geometrii, tak aj v prírode. A to si zaslúži samostatnú úvahu.

osi

Často prvok, vzhľadom na ktorý možno obrázok nazvať symetrický,

je priamka alebo segment. V žiadnom prípade nehovoríme o bode alebo rovine. Potom sa zvažujú čísla. Môže ich byť veľa a môžu byť umiestnené akýmkoľvek spôsobom: rozdeliť strany alebo byť s nimi rovnobežné, ako aj prekrížiť rohy alebo nie. Osi symetrie sa zvyčajne označujú ako L.

Príkladmi sú rovnoramenné a V prvom prípade bude vertikálna os symetrie, na ktorej oboch stranách sú rovnaké plochy, a v druhom prípade budú čiary pretínať každý uhol a zhodovať sa so všetkými osami, stredmi a výškami. Bežné trojuholníky ho nemajú.

Mimochodom, súhrn všetkých vyššie uvedených prvkov v kryštalografii a stereometrii sa nazýva stupeň symetrie. Tento indikátor závisí od počtu osí, rovín a stredov.

Príklady v geometrii

Podmienečne je možné rozdeliť celý súbor predmetov štúdia matematikov na postavy, ktoré majú os symetrie, a tie, ktoré ju nemajú. Všetky kruhy, ovály, ako aj niektoré špeciálne prípady automaticky spadajú do prvej kategórie, zatiaľ čo zvyšok spadá do druhej skupiny.

Rovnako ako v prípade, keď sa hovorilo o osi súmernosti trojuholníka, tento prvok pre štvoruholník nie vždy existuje. Pre štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec alebo rovnobežník je to tak, ale pre nepravidelný obrazec nie. V prípade kruhu je os symetrie množina priamych čiar, ktoré prechádzajú jeho stredom.

Okrem toho je z tohto hľadiska zaujímavé zvážiť objemové údaje. Aspoň jedna os symetrie, okrem všetkých pravidelných mnohouholníkov a lopty, bude mať nejaké kužele, ako aj pyramídy, rovnobežníky a niektoré ďalšie. Každý prípad treba posudzovať samostatne.

Príklady v prírode

V živote sa to nazýva bilaterálne, vyskytuje sa najviac
často. Každý človek a veľmi veľa zvierat sú toho príkladom. Axiálny sa nazýva radiálny a vo svete rastlín je spravidla oveľa menej bežný. A predsa sú. Napríklad stojí za zváženie, koľko osí symetrie má hviezda a má ich vôbec? Samozrejme, hovoríme o morskom živote, a nie o predmete štúdia astronómov. A správna odpoveď by bola takáto: závisí to od počtu lúčov hviezdy, napríklad päť, ak je päťcípa.

Navyše mnohé kvety majú radiálnu symetriu: sedmokrásky, nevädza, slnečnica atď. Príkladov je obrovské množstvo, sú doslova všade naokolo.

Arytmia

Tento pojem v prvom rade najviac pripomína medicínu a kardiológiu, no spočiatku má trochu iný význam. AT tento prípad synonymom bude „asymetria“, teda absencia alebo porušenie pravidelnosti v tej či onej forme. Môže sa objaviť ako nehoda a niekedy môže byť krásnym zariadením, napríklad v oblečení alebo architektúre. Symetrických budov je predsa veľa, no tá povestná je mierne naklonená a hoci nie je jediná, toto je najznámejší príklad. Je známe, že sa to stalo náhodou, no má to svoje čaro.

Navyše je zrejmé, že tváre a telá ľudí a zvierat tiež nie sú úplne symetrické. Objavili sa dokonca aj štúdie, podľa ktorých boli „správne“ tváre považované za neživé alebo jednoducho neatraktívne. Napriek tomu je vnímanie symetrie a tento fenomén sám osebe úžasný a ešte nie je úplne preskúmaný, a preto je mimoriadne zaujímavý.