Jednou z najvýznamnejších vied, ktorej uplatnenie môžeme vidieť v odboroch ako chémia, fyzika či dokonca biológia, je matematika. Štúdium tejto vedy vám umožňuje rozvíjať niektoré duševné vlastnosti, zlepšiť schopnosť koncentrácie. Jednou z tém, ktoré si v kurze „Matematika“ zaslúžia osobitnú pozornosť, je sčítanie a odčítanie zlomkov. Pre mnohých študentov je štúdium ťažké. Možno náš článok pomôže lepšie pochopiť túto tému.
Ako odčítať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký
Zlomky sú rovnaké čísla, s ktorými môžete vykonávať rôzne akcie. Ich rozdiel od celých čísel spočíva v prítomnosti menovateľa. Preto pri vykonávaní akcií so zlomkami musíte študovať niektoré z ich vlastností a pravidiel. Najjednoduchším prípadom je odčítanie obyčajných zlomkov, ktorých menovatele sú reprezentované rovnakým číslom. Nebude ťažké vykonať túto akciu, ak poznáte jednoduché pravidlo:
- Na odčítanie druhého od jedného zlomku je potrebné odčítať čitateľa zlomku, ktorý sa má odčítať, od čitateľa redukovaného zlomku. Toto číslo zapíšeme do čitateľa rozdielu a menovateľa necháme rovnaký: k / m - b / m = (k-b) / m.
Príklady odčítania zlomkov, ktorých menovateľ je rovnaký
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Od čitateľa redukovaného zlomku "7" odčítajte čitateľa odčítaného zlomku "3", dostaneme "4". Toto číslo zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa dáme rovnaké číslo, aké bolo v menovateli prvého a druhého zlomku – „19“.
Nasledujúci obrázok ukazuje niekoľko ďalších takýchto príkladov.
Uvažujme o zložitejšom príklade, kde sa odčítajú zlomky s rovnakými menovateľmi:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Z čitateľa redukovaného zlomku "29" postupným odčítaním čitateľov všetkých nasledujúcich zlomkov - "3", "8", "2", "7". V dôsledku toho dostaneme výsledok „9“, ktorý zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa napíšeme číslo, ktoré je v menovateľoch všetkých týchto zlomkov – „47“.
Sčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom
Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov sa vykonáva podľa rovnakého princípu.
- Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať čitateľov. Výsledné číslo je čitateľom súčtu a menovateľ zostáva rovnaký: k/m + b/m = (k + b)/m.
Pozrime sa, ako to vyzerá na príklade:
1/4 + 2/4 = 3/4.
K čitateľovi prvého členu zlomku - "1" - pridáme čitateľa druhého členu zlomku - "2". Výsledok - "3" - sa zapíše do čitateľa sumy a menovateľ zostane rovnaký, aký bol prítomný v zlomkoch - "4".
Zlomky s rôznymi menovateľmi a ich odčítanie
Už sme zvážili akciu so zlomkami, ktoré majú rovnaký menovateľ. Ako vidíte, s vedomím jednoduchých pravidiel je riešenie takýchto príkladov celkom jednoduché. Čo ak však potrebujete vykonať akciu so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov? Mnoho stredoškolákov je z takýchto príkladov zmätených. Ale aj tu platí, že ak poznáte princíp riešenia, príklady už pre vás nebudú ťažké. Existuje tu aj pravidlo, bez ktorého je riešenie takýchto zlomkov jednoducho nemožné.
- 2/3 - v menovateli chýba jedna trojka a jedna dvojka:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 alebo 7/(3 x 3) - v menovateli chýbajú dva:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 alebo 5/(2 x 3) - v menovateli chýba trojica:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Číslo 18 sa skladá z 3 x 2 x 3.
- Číslo 15 sa skladá z 5 x 3.
- Spoločný násobok bude pozostávať z nasledujúcich faktorov 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 delené 15. Výsledné číslo „6“ bude násobiteľom 3/15.
- 90 delené 18. Výsledné číslo "5" bude násobiteľom 4/18.
- Preveďte všetky zlomky, ktoré majú celočíselnú časť, na nesprávne. Jednoducho povedané, odstráňte celú časť. Na tento účel sa počet celočíselnej časti vynásobí menovateľom zlomku a výsledný produkt sa pridá do čitateľa. Číslo, ktoré sa získa po týchto akciách, je čitateľom nesprávneho zlomku. Menovateľ zostáva nezmenený.
- Ak majú zlomky rôznych menovateľov, mali by sa zredukovať na rovnaké.
- Vykonajte sčítanie alebo odčítanie s rovnakými menovateľmi.
- Pri prijímaní nesprávnej frakcie vyberte celú časť.
Ak chcete odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musia byť zredukované na rovnakého najmenšieho menovateľa.
Budeme hovoriť podrobnejšie o tom, ako to urobiť.
Vlastnosť zlomku
Ak chcete znížiť niekoľko zlomkov na rovnakého menovateľa, musíte v riešení použiť hlavnú vlastnosť zlomku: po vydelení alebo vynásobení čitateľa a menovateľa rovnakým číslom dostanete zlomok rovný danému.
Takže napríklad zlomok 2/3 môže mať menovateľov ako "6", "9", "12" atď., To znamená, že môže vyzerať ako akékoľvek číslo, ktoré je násobkom "3". Po vynásobení čitateľa a menovateľa „2“ dostaneme zlomok 4/6. Po vynásobení čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku „3“ dostaneme 6/9 a ak vykonáme podobnú akciu s číslom „4“, dostaneme 8/12. V jednej rovnici to možno zapísať takto:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Ako priviesť viacero zlomkov k rovnakému menovateľovi
Zvážte, ako zredukovať niekoľko zlomkov na rovnakého menovateľa. Vezmite napríklad zlomky zobrazené na obrázku nižšie. Najprv musíte určiť, ktoré číslo sa môže stať menovateľom pre všetky z nich. Aby sme si to uľahčili, rozložme dostupné menovatele na faktory.
Menovateľ zlomku 1/2 a zlomku 2/3 nemožno rozdeliť. Menovateľ 7/9 má dva faktory 7/9 = 7/(3 x 3), menovateľ zlomku 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musíte určiť, ktoré faktory budú najmenšie pre všetky tieto štyri zlomky. Keďže prvý zlomok má v menovateli číslo „2“, znamená to, že musí byť prítomný vo všetkých menovateľoch, v zlomku 7/9 sú dve trojky, čo znamená, že musia byť prítomné aj v menovateli. Vzhľadom na vyššie uvedené určíme, že menovateľ pozostáva z troch faktorov: 3, 2, 3 a rovná sa 3 x 2 x 3 = 18.
Zvážte prvý zlomok - 1/2. Jeho menovateľ obsahuje "2", ale nie je tam ani jedna "3", ale mali by byť dve. Aby sme to dosiahli, vynásobíme menovateľa dvoma trojitami, ale podľa vlastnosti zlomku musíme vynásobiť čitateľa dvoma trojitami:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Podobne vykonávame akcie so zvyšnými zlomkami.
Všetko spolu to vyzerá takto:
Ako odčítať a sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi
Ako bolo uvedené vyššie, na sčítanie alebo odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné ich zredukovať na rovnakého menovateľa a potom použiť pravidlá na odčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom, ktoré už boli opísané.
Zvážte to na príklade: 4/18 – 3/15.
Nájdenie násobkov 18 a 15:
Po nájdení menovateľa je potrebné vypočítať faktor, ktorý bude pre každý zlomok iný, teda číslo, ktorým bude potrebné vynásobiť nielen menovateľa, ale aj čitateľa. Aby sme to dosiahli, vydelíme číslo, ktoré sme našli (spoločný násobok) menovateľom zlomku, pre ktorý je potrebné určiť ďalšie faktory.
Ďalším krokom v našom riešení je priviesť každý zlomok do menovateľa "90".
Ako sa to robí, sme už diskutovali. Pozrime sa, ako je to napísané na príklade:
(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Ak ide o zlomky s malými číslami, potom môžete určiť spoločného menovateľa, ako v príklade na obrázku nižšie.
Podobne vyrobené a s rôznymi menovateľmi.
Odčítanie a celočíselné časti
Odčítanie zlomkov a ich sčítanie sme už podrobne rozobrali. Ale ako odčítať, ak má zlomok celočíselnú časť? Opäť použijeme niekoľko pravidiel:
Existuje ďalší spôsob, ako môžete sčítať a odčítať zlomky s celými časťami. Na tento účel sa akcie vykonávajú oddelene s celými časťami a oddelene so zlomkami a výsledky sa zaznamenávajú spoločne.
Vyššie uvedený príklad pozostáva zo zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ. V prípade, že sú menovatele odlišné, musia byť zredukované na rovnaké a potom postupujte podľa krokov znázornených v príklade.
Odčítanie zlomkov od celého čísla
Ďalšou z odrôd akcií so zlomkami je prípad, keď sa zlomok musí odpočítať od Na prvý pohľad sa takýto príklad zdá ťažko riešiteľný. Tu je však všetko celkom jednoduché. Na jeho vyriešenie je potrebné previesť celé číslo na zlomok a s takým menovateľom, ktorý je v zlomku na odčítanie. Ďalej vykonáme odčítanie podobné odčítaniu s rovnakými menovateľmi. Vyzerá to napríklad takto:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Odčítanie zlomkov uvedené v tomto článku (6. ročník) je základom pre riešenie zložitejších príkladov, o ktorých sa uvažuje v nasledujúcich triedach. Znalosť tejto problematiky sa následne využíva pri riešení funkcií, derivácií a pod. Preto je veľmi dôležité pochopiť a pochopiť akcie so zlomkami diskutovanými vyššie.
Zlomky sú obyčajné čísla, možno ich aj sčítať a odčítať. Ale vzhľadom na to, že majú menovateľa, sú tu potrebné zložitejšie pravidlá ako pre celé čísla.
Zvážte najjednoduchší prípad, keď existujú dva zlomky s rovnakými menovateľmi. potom:
Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, pridajte ich čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený.
Na odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi je potrebné odpočítať čitateľa druhého od čitateľa prvého zlomku a opäť ponechať menovateľa nezmenený.
V rámci každého výrazu sú menovatele zlomkov rovnaké. Definíciou sčítania a odčítania zlomkov dostaneme:
Ako vidíte, nič zložité: stačí pridať alebo odčítať čitateľa - a je to.
Ale aj pri takýchto jednoduchých činoch sa ľuďom darí robiť chyby. Najčastejšie zabúdajú, že menovateľ sa nemení. Napríklad pri ich sčítaní sa začnú aj sčítavať, a to je zásadne nesprávne.
Zbaviť sa zlozvyku pridávania menovateľov je celkom jednoduché. Pokúste sa urobiť to isté pri odčítaní. V dôsledku toho bude menovateľ nula a zlomok (náhle!) stratí svoj význam.
Preto si pamätajte raz a navždy: pri sčítaní a odčítaní sa menovateľ nemení!
Mnoho ľudí tiež robí chyby pri pridávaní niekoľkých záporných zlomkov. Existuje zmätok so znakmi: kde dať mínus a kde - plus.
Tento problém je tiež veľmi ľahko riešiteľný. Stačí si zapamätať, že mínus pred zlomkom možno vždy preniesť do čitateľa - a naopak. A samozrejme, nezabudnite na dve jednoduché pravidlá:
- Plus krát mínus dáva mínus;
- Dve negatíva znamenajú pozitívnu odpoveď.
Poďme si to všetko analyzovať na konkrétnych príkladoch:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
V prvom prípade je všetko jednoduché a v druhom pridáme mínusy do čitateľov zlomkov:
Čo ak sú menovatelia iní
Nemôžete priamo pridávať zlomky s rôznymi menovateľmi. Aspoň mne je táto metóda neznáma. Pôvodné zlomky sa však vždy dajú prepísať tak, aby sa menovatelia stali rovnakými.
Existuje mnoho spôsobov, ako previesť zlomky. Tri z nich sú diskutované v lekcii „Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi“, takže sa nimi tu nebudeme zaoberať. Pozrime sa na niekoľko príkladov:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
V prvom prípade privedieme zlomky na spoločného menovateľa metódou „krížom“. V druhom budeme hľadať LCM. Všimnite si, že 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Posledné faktory v týchto rozšíreniach sú rovnaké a prvé faktory sú coprime. Preto LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.
Čo ak má zlomok celočíselnú časť
Môžem ťa potešiť: rôzni menovatelia zlomkov nie sú najväčšie zlo. Oveľa viac chýb sa vyskytuje, keď je celá časť zvýraznená v zlomkoch.
Samozrejme, pre takéto zlomky existujú vlastné algoritmy sčítania a odčítania, ale sú dosť komplikované a vyžadujú si dlhé štúdium. Je lepšie použiť jednoduchú schému nižšie:
- Preveďte všetky zlomky obsahujúce celočíselné časti na nesprávne. Získame normálne členy (aj keď s rôznymi menovateľmi), ktoré sa vypočítajú podľa pravidiel diskutovaných vyššie;
- V skutočnosti vypočítajte súčet alebo rozdiel výsledných zlomkov. Výsledkom je, že prakticky nájdeme odpoveď;
- Ak je to všetko, čo bolo v úlohe požadované, vykonáme inverznú transformáciu, t.j. zbavíme sa nesprávneho zlomku a zvýrazníme v ňom časť celého čísla.
Pravidlá pre prechod na nesprávne zlomky a zvýraznenie celočíselnej časti sú podrobne popísané v lekcii „Čo je to číselný zlomok“. Ak si nepamätáte, určite zopakujte. Príklady:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Všetko je tu jednoduché. Menovatelia vo vnútri každého výrazu sú si rovní, takže zostáva previesť všetky zlomky na nesprávne a počítať. Máme:
Pre zjednodušenie výpočtov som v posledných príkladoch preskočil niektoré zrejmé kroky.
Malá poznámka k posledným dvom príkladom, kde sa odčítavajú zlomky so zvýraznenou celočíselnou časťou. Mínus pred druhým zlomkom znamená, že sa odčíta celý zlomok, nielen jeho časť.
Znova si prečítajte túto vetu, pozrite sa na príklady a zamyslite sa nad tým. Tu robia začiatočníci veľa chýb. Takéto úlohy radi dávajú pri kontrolnej práci. Opakovane sa s nimi stretnete aj v testoch k tejto lekcii, ktoré budú čoskoro zverejnené.
Zhrnutie: Všeobecná schéma výpočtovej techniky
Na záver uvediem všeobecný algoritmus, ktorý vám pomôže nájsť súčet alebo rozdiel dvoch alebo viacerých zlomkov:
- Ak je časť celého čísla zvýraznená v jednom alebo viacerých zlomkoch, preveďte tieto zlomky na nesprávne;
- Priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi akýmkoľvek spôsobom, ktorý vám vyhovuje (pokiaľ to, samozrejme, neurobili zostavovatelia úloh);
- Výsledné čísla sčítajte alebo odčítajte podľa pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi;
- Ak je to možné, znížte výsledok. Ak sa zlomok ukázal ako nesprávny, vyberte celú časť.
Pamätajte, že je lepšie zvýrazniť celú časť na samom konci úlohy, tesne pred napísaním odpovede.
V piatom storočí pred Kristom sformuloval staroveký grécky filozof Zenón z Elea svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je aporia „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.
Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.
Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá ako spomalenie času, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.
Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.
Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:
Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.
Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém ešte musíme preštudovať, premyslieť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.
Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:
Letiaci šíp je nehybný, pretože je v každom okamihu v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.
V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov v priestore súčasne, ale nemôžete z nich určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria) . Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.
Streda 4. júla 2018
Veľmi dobre sú rozdiely medzi množinou a multimnožinou opísané vo Wikipédii. Pozeráme sa.
Ako vidíte, „súprava nemôže mať dva rovnaké prvky“, ale ak sú v súprave rovnaké prvky, takáto súprava sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto logiku absurdity. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, v ktorých myseľ chýba pri slove „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné nápady.
Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, počas skúšok mosta v člne pod mostom. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.
Bez ohľadu na to, ako sa matematici schovávajú za frázu „pozor, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich nerozlučne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.
Učili sme sa veľmi dobre matematiku a teraz sedíme v pokladni a platíme mzdy. Tu si k nám príde matematik pre svoje peniaze. Spočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický platový set“. Vysvetlíme matematiku, že zvyšok účtov dostane, až keď preukáže, že množina bez rovnakých prvkov sa nerovná množine s rovnakými prvkami. Tu začína zábava.
V prvom rade zafunguje poslanecká logika: "na ostatných to môžeš aplikovať, ale na mňa nie!" Ďalej sa začnú ubezpečovať, že na bankovkách rovnakej nominálnej hodnoty sú rôzne čísla bankoviek, čo znamená, že ich nemožno považovať za identické prvky. No plat počítame v minciach – na minciach nie sú čísla. Matematik tu bude horúčkovito spomínať na fyziku: rôzne mince majú rôzne množstvo nečistôt, kryštálová štruktúra a usporiadanie atómov pre každú mincu je jedinečné ...
A teraz mám najzaujímavejšiu otázku: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje - o všetkom rozhodujú šamani, veda tu nie je ani zďaleka.
Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plocha polí je rovnaká, čo znamená, že máme multiset. Ale ak vezmeme do úvahy názvy rovnakých štadiónov, dostaneme veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je zároveň množinou aj multimnožinou. Ako správne? A tu matematik-šaman-šuller vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.
Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.
Nedeľa 18. marca 2018
Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale na to sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.
Potrebujete dôkaz? Otvorte Wikipediu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, pomocou ktorého by ste našli súčet číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v reči matematiky znie úloha takto: „Nájdite súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém nedokážu vyriešiť, ale šamani to elementárne dokážu.
Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Povedzme, že máme číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.
1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na číselný grafický symbol. Toto nie je matematická operácia.
2. Jeden prijatý obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich samostatné čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.
3. Preveďte jednotlivé grafické znaky na čísla. Toto nie je matematická operácia.
4. Výsledné čísla spočítajte. Teraz je to matematika.
Súčet číslic čísla 12345 je 15. Ide o „kurzy strihania a šitia“ od šamanov, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.
Z hľadiska matematiky je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych číselných sústavách sa súčet číslic toho istého čísla bude líšiť. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. Pri veľkom čísle 12345 si nechcem oklamať hlavu, zvážte číslo 26 z článku o. Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme zvažovať každý krok pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.
Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla odlišný. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to rovnaké, ako keby ste pri určovaní plochy obdĺžnika v metroch a centimetroch dostali úplne iné výsledky.
Nula vo všetkých číselných sústavách vyzerá rovnako a nemá žiadny súčet číslic. Toto je ďalší argument v prospech skutočnosti, že . Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje to, čo nie je číslo? Čo pre matematikov neexistuje nič iné ako čísla? Pre šamanov to môžem dovoliť, ale pre vedcov nie. Realita nie je len o číslach.
Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú po ich porovnaní k rôznym výsledkom, potom to nemá nič spoločné s matematikou.
Čo je skutočná matematika? Je to vtedy, keď výsledok matematickej akcie nezávisí od hodnoty čísla, použitej mernej jednotky a od toho, kto túto akciu vykoná.
Ou! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium neurčitej svätosti duší pri vzostupe do neba! Nimbus navrchu a šípka hore. Aký iný záchod?
Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole je muž.
Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát denne,
Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:
Osobne sa snažím, aby som u kakajúceho človeka (jeden obrázok) videl mínus štyri stupne (zloženie viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A toto dievča nepovažujem za blázna, ktorý nepozná fyziku. Má len oblúkový stereotyp vnímania grafických obrazov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.
1A nie je "mínus štyri stupne" alebo "jedno a". Toto je "kakajúci muž" alebo číslo "dvadsaťšesť" v hexadecimálnej číselnej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.
Akcie so zlomkami.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Takže, čo sú zlomky, typy zlomkov, transformácie - zapamätali sme si. Poďme sa zaoberať hlavnou otázkou.
Čo môžete robiť so zlomkami?Áno, všetko je ako pri bežných číslach. Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.
Všetky tieto akcie s desiatkový operácie so zlomkami sa nelíšia od operácií s celými číslami. V skutočnosti sú na to dobré, desiatkové. Jediná vec je, že musíte správne zadať čiarku.
zmiešané čísla, ako som povedal, sú pre väčšinu akcií málo užitočné. Stále ich treba previesť na obyčajné zlomky.
A tu sú akcie s obyčajné zlomky bude múdrejší. A oveľa dôležitejšie! Dovoľte mi pripomenúť vám: všetky akcie so zlomkovými výrazmi s písmenami, sínusmi, neznámymi atď. a tak ďalej sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami! Operácie s obyčajnými zlomkami sú základom celej algebry. Z tohto dôvodu tu budeme celú túto aritmetiku veľmi podrobne analyzovať.
Sčítanie a odčítanie zlomkov.
Každý môže sčítať (odčítať) zlomky s rovnakými menovateľmi (naozaj dúfam!). No, dovoľte mi pripomenúť, že som úplne zábudlivý: pri pridávaní (odčítaní) sa menovateľ nemení. Čitatelia sa sčítajú (odčítajú), čím sa získa čitateľ výsledku. Typ:
Stručne povedané, všeobecne:
Čo ak sú menovatelia odlišní? Potom pomocou hlavnej vlastnosti zlomku (tu sa to opäť hodilo!) urobíme menovateľov rovnakých! Napríklad:
Tu sme museli zo zlomku 2/5 urobiť zlomok 4/10. Len preto, aby boli menovatele rovnaké. Podotýkam, pre každý prípad, že 2/5 a 4/10 sú rovnaký zlomok! Len 2/5 sú pre nás nepríjemné a 4/10 dokonca nič.
Mimochodom, toto je podstata riešenia akýchkoľvek úloh v matematike. Keď sme vonku nepríjemné výrazy áno to isté, ale pohodlnejšie na vyriešenie.
Ďalší príklad:
Situácia je podobná. Tu urobíme 48 zo 16. Jednoduchým vynásobením 3. Toto je všetko jasné. Ale tu narazíme na niečo ako:
Ako byť?! Zo sedmičky je ťažké urobiť deviatku! Ale my sme múdri, poznáme pravidlá! Poďme sa transformovať každý zlomok tak, aby menovatele boli rovnaké. Toto sa nazýva „redukovať na spoločného menovateľa“:
Ako! Ako som vedel o 63? Veľmi jednoduché! 63 je číslo, ktoré je zároveň rovnomerne deliteľné 7 a 9. Takéto číslo sa dá vždy získať vynásobením menovateľov. Ak nejaké číslo vynásobíme napríklad 7, tak výsledok určite vydelíme 7!
Ak potrebujete sčítať (odčítať) niekoľko zlomkov, nie je potrebné to robiť vo dvojiciach, krok za krokom. Musíte len nájsť menovateľa, ktorý je spoločný pre všetky zlomky, a priviesť každý zlomok k rovnakému menovateľovi. Napríklad:
A čo bude spoločným menovateľom? Môžete, samozrejme, vynásobiť 2, 4, 8 a 16. Dostaneme 1024. Nočná mora. Jednoduchšie je odhadnúť, že číslo 16 je dokonale deliteľné 2, 4 a 8. Preto je ľahké z týchto čísel dostať 16. Toto číslo bude spoločným menovateľom. Premeníme 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 atď.
Mimochodom, ak zoberieme 1024 ako spoločného menovateľa, tiež všetko vyjde, nakoniec sa všetko zníži. Len nie každý sa dostane k tomuto cieľu, kvôli výpočtom ...
Vyriešte príklad sami. Nie logaritmus... Malo by to byť 29/16.
Takže so sčítaním (odčítaním) zlomkov je to dúfam jasné? Samozrejme, ľahšie sa pracuje v skrátenej verzii, s ďalšími násobičmi. Ale toto potešenie je dostupné pre tých, ktorí poctivo pracovali v nižších ročníkoch ... A na nič nezabudli.
A teraz urobíme rovnaké akcie, ale nie so zlomkami, ale s zlomkové výrazy. Nové hrable sa tu nájdu, áno ...
Musíme teda pridať dva zlomkové výrazy:
Musíme urobiť menovateľov rovnakých. A len s pomocou násobenie! Takže hlavná vlastnosť zlomku hovorí. Preto nemôžem pridať jednotku ku x v prvom zlomku v menovateli. (Ale to by bolo pekné!). Ale ak vynásobíte menovateľov, uvidíte, že všetko porastie! Zapíšeme si teda riadok zlomku, navrchu necháme prázdne miesto, potom ho pridáme a napíšeme súčin menovateľov nižšie, aby sme nezabudli:
A, samozrejme, na pravej strane nič nenásobíme, neotvárame zátvorky! A teraz, keď sa pozrieme na spoločného menovateľa pravej strany, myslíme si: aby sme dostali menovateľ x (x + 1) v prvom zlomku, musíme vynásobiť čitateľa a menovateľa tohto zlomku (x + 1) . A v druhom zlomku - x. Získate toto:
Poznámka! Tu sú zátvorky! Toto sú hrable, na ktoré mnohí šliapu. Nie zátvorky, samozrejme, ale ich absencia. Zátvorky sa objavujú, pretože sa množíme celáčitateľ a celá menovateľ! A nie ich jednotlivé kusy...
Do čitateľa pravej strany napíšeme súčet čitateľov, všetko je ako v číselných zlomkoch, potom otvoríme zátvorky v čitateľovi pravej strany, t.j. všetko rozmnož a daj like. Netreba otvárať zátvorky v menovateľoch, netreba niečo násobiť! Vo všeobecnosti v menovateloch (akýchkoľvek) je produkt vždy príjemnejší! Dostaneme:
Tu sme dostali odpoveď. Tento proces sa zdá byť dlhý a náročný, ale závisí od praxe. Vyriešte príklady, zvyknite si na to, všetko sa zjednoduší. Tí, ktorí zvládli zlomky v určenom čase, urobte všetky tieto operácie jednou rukou na stroji!
A ešte jedna poznámka. Mnohí sa skvele zaoberajú zlomkami, ale držte sa príkladov celýčísla. Typ: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kde upevniť dvojku? Netreba sa nikde pripevňovať, z dvojky treba spraviť zlomok. Nie je to ľahké, je to veľmi jednoduché! 2 = 2/1. Páči sa ti to. Akékoľvek celé číslo možno zapísať ako zlomok. Čitateľ je samotné číslo, menovateľ je jedna. 7 je 7/1, 3 je 3/1 a tak ďalej. Rovnako je to aj s písmenami. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 atď. A potom s týmito zlomkami pracujeme podľa všetkých pravidiel.
No a pri sčítaní - odčítaní zlomkov sa vedomosti osviežili. Premeny zlomkov z jedného typu na druhý – opakované. Môžete tiež skontrolovať. Urovnáme sa trochu?)
Vypočítať:
Odpovede (v neporiadku):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Násobenie / delenie zlomkov - v ďalšej lekcii. K dispozícii sú aj úlohy pre všetky akcie so zlomkami.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Poznámka! Pred napísaním konečnej odpovede skontrolujte, či môžete znížiť zlomok, ktorý ste dostali.
Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi príklady:
,
,
Odčítanie správneho zlomku od jednotky.
Ak je potrebné od jednotky odčítať zlomok, ktorý je správny, jednotka sa prevedie do tvaru nesprávneho zlomku, jeho menovateľ sa rovná menovateľovi odčítaného zlomku.
Príklad odčítania správneho zlomku od jednotky:
Menovateľ zlomku, ktorý sa má odpočítať = 7 , teda jednotku znázorníme ako nevlastný zlomok 7/7 a odčítame podľa pravidla pre odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Odčítanie správneho zlomku od celého čísla.
Pravidlá pre odčítanie zlomkov - správne z celého čísla (prirodzené číslo):
- Dané zlomky, ktoré obsahujú celočíselnú časť, preložíme na nesprávne. Dostaneme normálne pojmy (nezáleží na tom, či majú rôznych menovateľov), ktoré zvážime podľa vyššie uvedených pravidiel;
- Ďalej vypočítame rozdiel zlomkov, ktoré sme dostali. Výsledkom je, že takmer nájdeme odpoveď;
- Vykonáme inverznú transformáciu, čiže sa zbavíme nesprávneho zlomku - vyberieme v zlomku celočíselnú časť.
Odčítajte správny zlomok od celého čísla: prirodzené číslo reprezentujeme ako zmiešané číslo. Tie. vezmeme jednotku v prirodzenom čísle a preložíme ju do tvaru nevlastného zlomku, menovateľ je rovnaký ako menovateľ odčítaného zlomku.
Príklad odčítania zlomkov:
V príklade sme jednotku nahradili nesprávnym zlomkom 7/7 a namiesto 3 sme si zapísali zmiešané číslo a od zlomkovej časti odčítali zlomok.
Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Alebo inak povedané, odčítanie rôznych zlomkov.
Pravidlo na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné najskôr tieto zlomky priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi (LCD) a až potom odčítať ako pri zlomkoch s rovnakými menovateľmi.
Spoločným menovateľom viacerých zlomkov je LCM (najmenší spoločný násobok) prirodzené čísla, ktoré sú menovateľmi daných zlomkov.
Pozor! Ak v konečnom zlomku majú čitateľ a menovateľ spoločné faktory, zlomok sa musí zmenšiť. Nevlastný zlomok je najlepšie reprezentovaný ako zmiešaný zlomok. Ponechanie výsledku odčítania bez zmenšenia zlomku tam, kde je to možné, je nedokončené riešenie príkladu!
Postup pri odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.
- nájsť LCM pre všetkých menovateľov;
- vložte ďalšie multiplikátory pre všetky zlomky;
- vynásobte všetky čitateľa dodatočným faktorom;
- výsledné produkty zapíšeme do čitateľa, pričom pod všetky zlomky podpíšeme spoločného menovateľa;
- odčítajte čitateľov zlomkov, pričom pod rozdiel podpíšte spoločného menovateľa.
Rovnakým spôsobom sa sčítanie a odčítanie zlomkov vykonáva za prítomnosti písmen v čitateli.
Odčítanie zlomkov, príklady:
Odčítanie zmiešaných zlomkov.
o odčítanie zmiešaných zlomkov (čísel) oddelene sa celočíselná časť odčíta od celočíselnej časti a zlomková časť sa odčíta od zlomkovej časti.
Prvou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.
Ak zlomkové časti rovnaký menovatele a čitateľa zlomkovej časti podbodu (odčítame od neho) ≥ čitateľ zlomkovej časti podbodu (odčítame ho).
Napríklad:
Druhou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.
Keď zlomkové časti rôzne menovateľov. Na začiatok zredukujeme zlomkové časti na spoločného menovateľa a potom odčítame celú časť od celého čísla a zlomok od zlomku.
Napríklad:
Treťou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.
Zlomková časť minuendu je menšia ako zlomková časť subtrahendu.
Príklad:
Pretože zlomkové časti majú rôznych menovateľov, čo znamená, ako v druhej možnosti, najprv privedieme obyčajné zlomky k spoločnému menovateľovi.
Čitateľ zlomkovej časti minuendu je menší ako čitateľ zlomkovej časti čiastkového bodu.3 < 14. Takže vezmeme jednotku z celočíselnej časti a privedieme túto jednotku do tvaru nesprávneho zlomku s rovnakým menovateľom a čitateľom = 18.
Do čitateľa z pravej strany napíšeme súčet čitateľov, potom z pravej strany otvoríme zátvorky v čitateli, čiže všetko vynásobíme a dáme podobné. Zátvorky v menovateli neotvárame. Je zvykom ponechať produkt v menovateľoch. Dostaneme:
