Prvá úroveň

Konverzia výrazov. Podrobná teória (2019)

Konverzia výrazov

Často počujeme túto nepríjemnú frázu: "zjednodušte výraz." Zvyčajne v tomto prípade máme nejaké monštrum, ako je toto:

"Áno, oveľa jednoduchšie," hovoríme, ale takáto odpoveď zvyčajne nefunguje.

Teraz vás naučím nebáť sa žiadnych takýchto úloh. Navyše, na konci hodiny si tento príklad sám zjednodušíte na (len!) obyčajné číslo (áno, do čerta s týmito písmenami).

Ale predtým, ako začnete túto lekciu, musíte byť schopní zvládnuť zlomky a faktorové polynómy. Preto najprv, ak ste to ešte neurobili, nezabudnite zvládnuť témy "" a "".

Čítať? Ak áno, ste pripravení.

Základné zjednodušujúce operácie

Teraz budeme analyzovať hlavné techniky, ktoré sa používajú na zjednodušenie výrazov.

Najjednoduchší z nich je

1. Prinášanie podobného

Čo sú podobné? Prešli ste si tým v 7. ročníku, keď sa v matematike namiesto číslic prvýkrát objavili písmená. Podobné sú termíny (monomy) s rovnakou písmenovou časťou. Napríklad v súčte sú podobné výrazy a.

Pamätáte si?

Priniesť podobné výrazy znamená pridať niekoľko podobných výrazov k sebe a získať jeden výraz.

Ale ako môžeme poskladať písmená? - pýtaš sa.

To je veľmi ľahké pochopiť, ak si predstavíte, že písmená sú nejaké predmety. Napríklad list je stolička. Aký je potom výraz? Dve stoličky plus tri stoličky, koľko to bude? Presne tak, stoličky: .

Teraz skúste tento výraz:

Aby ste sa neplietli, nech rôzne písmená označujú rôzne predmety. Napríklad - toto je (ako obvykle) stolička a - toto je stôl. potom:

stoličky stoly stoličky stoly stoličky stoličky stoly

Čísla, ktorými sa písmená v takýchto pojmoch násobia, sa nazývajú koeficienty. Napríklad v monomiáli je koeficient rovnaký. A je rovnocenný.

Takže pravidlo pre prinesenie podobného:

Príklady:

Prineste podobné:

odpovede:

2. (a sú podobné, pretože tieto výrazy majú preto rovnakú časť písmena).

2. Faktorizácia

Toto je zvyčajne najdôležitejšia časť pri zjednodušovaní výrazov. Po zadaní podobných musí byť výsledný výraz najčastejšie zohľadnený, teda prezentovaný ako produkt. Toto je obzvlášť dôležité pri zlomkoch: koniec koncov, aby sa zlomok zmenšil, čitateľ a menovateľ musia byť vyjadrené ako súčin.

Prešli ste si podrobnými metódami faktoringu výrazov v téme "", takže si tu stačí zapamätať, čo ste sa naučili. Ak to chcete urobiť, vyriešte niekoľko príklady(bude zohľadnené):

Riešenia:

3. Zníženie frakcií.

Nuž, čo môže byť krajšie, ako vyškrtnúť časť čitateľa a menovateľa a vyhodiť ich zo svojho života?

V tom je krása skratky.

Je to jednoduché:

Ak čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké faktory, môžu sa znížiť, to znamená odstrániť zo zlomku.

Toto pravidlo vyplýva zo základnej vlastnosti zlomku:

To znamená, že podstatou operácie redukcie je to Čitateľ a menovateľ zlomku delíme rovnakým číslom (alebo rovnakým výrazom).

Ak chcete znížiť zlomok, potrebujete:

1) čitateľ a menovateľ faktorizovať

2) ak čitateľ a menovateľ obsahuje spoločné faktory, môžu byť vymazané.

Myslím, že princíp je jasný?

Chcel by som upozorniť na jednu typickú chybu v skratke. Aj keď je táto téma jednoduchá, veľa ľudí robí všetko zle, pričom si to neuvedomujú rezať- to znamená rozdeliťčitateľa a menovateľa rovnakým číslom.

Žiadne skratky, ak je čitateľ alebo menovateľ súčet.

Napríklad: musíte zjednodušiť.

Niektorí to robia: čo je absolútne nesprávne.

Ďalší príklad: znížiť.

"Najmúdrejší" urobí toto:.

Povedz mi, čo sa tu deje? Zdalo by sa: - toto je multiplikátor, takže môžete znížiť.

Ale nie: - toto je faktor iba jedného člena v čitateli, ale samotný čitateľ ako celok sa na faktory nerozkladá.

Tu je ďalší príklad: .

Tento výraz je rozložený na faktory, čo znamená, že môžete znížiť, to znamená rozdeliť čitateľa a menovateľa a potom:

Môžete okamžite rozdeliť podľa:

Aby ste sa vyhli takýmto chybám, zapamätajte si jednoduchý spôsob, ako určiť, či je výraz zohľadnený:

Aritmetická operácia, ktorá sa pri výpočte hodnoty výrazu vykoná ako posledná, je „hlavná“. To znamená, že ak namiesto písmen dosadíte nejaké (akékoľvek) čísla a pokúsite sa vypočítať hodnotu výrazu, potom ak je poslednou akciou násobenie, máme súčin (výraz sa rozloží na faktory). Ak je poslednou akciou sčítanie alebo odčítanie, znamená to, že výraz nie je faktorizovaný (a preto ho nemožno zmenšiť).

Ak to chcete opraviť, vyriešte to sami príklady:

odpovede:

1. Dúfam, že ste sa hneď nehrnuli strihať a? Stále nestačilo „znížiť“ jednotky takto:

Prvým krokom by malo byť faktorizovanie:

4. Sčítanie a odčítanie zlomkov. Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov je známa operácia: hľadáme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a sčítame/odčítame čitateľa. Pripomeňme si:

odpovede:

1. Menovatelia a sú coprime, to znamená, že nemajú spoločné faktory. Preto sa LCM týchto čísel rovná ich súčinu. Toto bude spoločný menovateľ:

2. Tu je spoločný menovateľ:

3. Tu najskôr zmeníme zmiešané frakcie na nesprávne a potom - podľa obvyklej schémy:

Iná vec je, ak zlomky obsahujú písmená, napríklad:

Začnime jednoducho:

a) Menovatele neobsahujú písmená

Tu je všetko rovnaké ako pri bežných číselných zlomkoch: nájdeme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a pripočítame / odčítame čitateľa:

teraz v čitateli môžete priniesť podobné, ak nejaké existujú, a rozpočítať ich:

Vyskúšajte sami:

b) Menovateľ obsahuje písmená

Pripomeňme si princíp hľadania spoločného menovateľa bez písmen:

Najprv určíme spoločné faktory;

Potom raz vypíšeme všetky spoločné faktory;

a vynásobte ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.

Aby sme určili spoločné faktory menovateľov, najprv ich rozložíme na jednoduché faktory:

Zdôrazňujeme spoločné faktory:

Teraz raz vypíšeme spoločné faktory a pridáme k nim všetky nie spoločné (nepodčiarknuté) faktory:

Toto je spoločný menovateľ.

Vráťme sa k písmenám. Menovatelia sa uvádzajú presne rovnakým spôsobom:

Menovateľov rozložíme na faktory;

určiť spoločné (identické) multiplikátory;

raz zapíšte všetky spoločné faktory;

Násobíme ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.

Takže v poradí:

1) rozložte menovateľov na faktory:

2) určiť spoločné (identické) faktory:

3) napíšte všetky spoločné faktory raz a vynásobte ich všetkými ostatnými (nepodčiarknutými) faktormi:

Takže spoločný menovateľ je tu. Prvý zlomok sa musí vynásobiť, druhý -:

Mimochodom, existuje jeden trik:

Napríklad: .

V menovateľoch vidíme rovnaké faktory, len všetky majú iné ukazovatele. Spoločným menovateľom bude:

do tej miery

do tej miery

do tej miery

v stupni.

Skomplikujme si úlohu:

Ako dosiahnuť, aby zlomky mali rovnakého menovateľa?

Pripomeňme si základnú vlastnosť zlomku:

Nikde nie je povedané, že od čitateľa a menovateľa zlomku možno odčítať (alebo sčítať) rovnaké číslo. Pretože to nie je pravda!

Presvedčte sa sami: vezmite si napríklad ľubovoľný zlomok a do čitateľa a menovateľa pridajte nejaké číslo, napríklad . Čo sa naučilo?

Takže ďalšie neotrasiteľné pravidlo:

Keď privediete zlomky k spoločnému menovateľovi, použite iba operáciu násobenia!

Čo však potrebujete znásobiť, aby ste získali?

Tu ďalej a množte sa. A vynásobte:

Výrazy, ktoré nemožno faktorizovať, budeme nazývať „elementárne faktory“. Napríklad je to elementárny faktor. - tiež. Ale - nie: rozkladá sa na faktory.

A čo vyjadrovanie? Je to elementárne?

Nie, pretože to možno faktorizovať:

(o faktorizácii ste už čítali v téme "").

Takže elementárne faktory, na ktoré rozložíte výraz s písmenami, sú analógiou jednoduchých faktorov, na ktoré rozložíte čísla. A to isté urobíme s nimi.

Vidíme, že oba menovatele majú faktor. Bude to mať spoločného menovateľa v moci (pamätáte prečo?).

Násobiteľ je elementárny a nemajú ho spoločný, čo znamená, že prvý zlomok sa ním bude musieť jednoducho vynásobiť:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Pred vynásobením týchto menovateľov v panike musíte premýšľať o tom, ako ich faktorizovať? Obaja predstavujú:

Dobre! potom:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Ako obvykle delíme menovateľov na faktor. V prvom menovateli ho jednoducho vysunieme zo zátvoriek; v druhom - rozdiel štvorcov:

Zdalo by sa, že neexistujú žiadne spoločné faktory. Ale keď sa pozriete pozorne, už sú si také podobné ... A pravdou je:

Tak si napíšme:

To znamená, že to dopadlo takto: vo vnútri zátvorky sme si vymenili pojmy a zároveň sa znamienko pred zlomkom zmenilo na opak. Berte na vedomie, že to budete musieť robiť často.

Teraz sa dostávame k spoločnému menovateľovi:

Mám to? Teraz to skontrolujeme.

Úlohy na samostatné riešenie:

odpovede:

Tu si musíme pamätať ešte jednu vec - rozdiel kociek:

Upozorňujeme, že menovateľ druhého zlomku neobsahuje vzorec „druhá mocnina súčtu“! Druhá mocnina súčtu by vyzerala takto:

A je takzvaný neúplný štvorec súčtu: druhý člen v ňom je súčinom prvého a posledného, ​​a nie ich zdvojeným súčinom. Neúplná druhá mocnina súčtu je jedným z faktorov pri rozširovaní rozdielu kociek:

Čo ak už existujú tri zlomky?

Áno, to isté! Najprv sa uistíme, že maximálny počet faktorov v menovateľoch je rovnaký:

Pozor: ak zmeníte znamienka v jednej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa zmení na opačné. Keď zmeníme znamienka v druhej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa opäť obráti. V dôsledku toho sa on (znak pred zlomkom) nezmenil.

Prvý menovateľ vypíšeme celý do spoločného menovateľa a potom k nemu pridáme všetky ešte nezapísané činitele od druhého a potom od tretieho (a tak ďalej, ak je zlomkov viac). Teda ide to takto:

Hmm... So zlomkami je jasné, čo robiť. Ale čo tí dvaja?

Je to jednoduché: viete, ako sčítať zlomky, však? Takže sa musíte uistiť, že dvojka sa stane zlomkom! Pamätajte si: zlomok je operácia delenia (čitateľ sa delí menovateľom, ak ste náhle zabudli). A nie je nič jednoduchšie ako vydeliť číslo. V tomto prípade sa samotné číslo nezmení, ale zmení sa na zlomok:

Presne to, čo je potrebné!

5. Násobenie a delenie zlomkov.

No, to najťažšie je už za nami. A pred nami je to najjednoduchšie, ale zároveň najdôležitejšie:

Postup

Aký je postup pri výpočte číselného výrazu? Pamätajte, že vzhľadom na hodnotu takéhoto výrazu:

Počítal si?

Malo by to fungovať.

Takže pripomínam.

Prvým krokom je výpočet stupňa.

Druhým je násobenie a delenie. Ak existuje niekoľko násobení a delení súčasne, môžete ich vykonať v ľubovoľnom poradí.

A nakoniec vykonáme sčítanie a odčítanie. Opäť v akomkoľvek poradí.

Ale: výraz v zátvorkách je vyhodnotený mimo poradia!

Ak sa vynásobí alebo vydelí niekoľko zátvoriek, najprv vyhodnotíme výraz v každej zo zátvoriek a potom ich vynásobíme alebo rozdelíme.

Čo ak sú v zátvorkách ďalšie zátvorky? No, zamyslime sa: nejaký výraz je napísaný v zátvorkách. Čo treba urobiť ako prvé pri hodnotení výrazu? Správne, vypočítajte zátvorky. No, prišli sme na to: najprv vypočítame vnútorné zátvorky, potom všetko ostatné.

Poradie akcií pre vyššie uvedený výraz je teda nasledovné (aktuálna akcia je zvýraznená červenou farbou, teda akcia, ktorú práve vykonávam):

Dobre, všetko je jednoduché.

Ale to nie je to isté ako výraz s písmenami, však?

Nie, je to to isté! Iba namiesto aritmetických operácií je potrebné robiť algebraické operácie, to znamená operácie opísané v predchádzajúcej časti: prinášajúce podobné, pridávanie zlomkov, zmenšovanie zlomkov atď. Jediným rozdielom bude pôsobenie faktoringových polynómov (často ho používame pri práci so zlomkami). Najčastejšie pri faktorizácii musíte použiť i alebo jednoducho vyňať spoločný faktor zo zátvoriek.

Zvyčajne je naším cieľom reprezentovať výraz ako produkt alebo kvocient.

Napríklad:

Zjednodušme výraz.

1) Najprv zjednodušíme výraz v zátvorkách. Tam máme rozdiel zlomkov a naším cieľom je prezentovať ho ako súčin alebo kvocient. Zlomky teda privedieme k spoločnému menovateľovi a pridáme:

Nie je možné tento výraz ďalej zjednodušiť, všetky faktory sú tu elementárne (pamätáte si ešte, čo to znamená?).

2) Dostávame:

Násobenie zlomkov: čo môže byť jednoduchšie.

3) Teraz môžete skrátiť:

No to je všetko. Nič zložité, však?

Ďalší príklad:

Zjednodušte výraz.

Najprv to skúste vyriešiť sami a až potom sa pozrite na riešenie.

V prvom rade si definujme postup. Najprv pridajme zlomky v zátvorkách, namiesto dvoch zlomkov nám vyjde jeden. Potom urobíme delenie zlomkov. No a výsledok sčítame s posledným zlomkom. Schematicky očíslujem kroky:

Teraz ukážem celý proces a aktuálnu akciu zafarbím červenou farbou:

Na záver vám dám dva užitočné tipy:

1. Ak sú tam podobné, treba ich ihneď priniesť. V každom okamihu, keď sme vytvorili podobné, je žiaduce, aby sme ich ihneď priniesli.

2. To isté platí pre redukciu zlomkov: akonáhle sa naskytne príležitosť na redukciu, treba ju využiť. Výnimkou sú zlomky, ktoré sčítate alebo odčítate: ak majú teraz rovnakých menovateľov, zníženie by sa malo ponechať na neskôr.

Tu je niekoľko úloh, ktoré musíte vyriešiť sami:

A hneď na začiatku sľúbil:

Riešenia (stručne):

Ak ste sa vyrovnali aspoň s prvými tromi príkladmi, potom, považujte, ste tému zvládli.

Teraz k učeniu!

KONVERZIA VÝRAZOV. SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

Základné zjednodušujúce operácie:

• Prinášať podobné: ak chcete pridať (zmenšiť) podobné výrazy, musíte pridať ich koeficienty a priradiť časť písmena.
• Faktorizácia: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek, uplatnenie atď.
• Zníženie frakcií: čitateľa a menovateľa zlomku možno násobiť alebo deliť rovnakým nenulovým číslom, od ktorého sa hodnota zlomku nemení.
  1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
  2) ak sú v čitateli a menovateli spoločné faktory, možno ich prečiarknuť.

  DÔLEŽITÉ: Znížiť možno iba násobiteľov!

• Sčítanie a odčítanie zlomkov:
  ;
• Násobenie a delenie zlomkov:
  ;

ja Výrazy, v ktorých možno spolu s písmenami použiť čísla, znaky aritmetických operácií a zátvorky, sa nazývajú algebraické výrazy.

Príklady algebraických výrazov:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Keďže písmeno v algebraickom výraze môže byť nahradené rôznymi číslami, písmeno sa nazýva premenná a samotný algebraický výraz sa nazýva výraz s premennou.

II. Ak sú v algebraickom výraze písmená (premenné) nahradené ich hodnotami a vykonajú sa zadané akcie, výsledné číslo sa nazýva hodnota algebraického výrazu.

Príklady. Nájdite hodnotu výrazu:

1) a + 2b-c pre a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6.

Riešenie.

1) a + 2b-c pre a = -2; b = 10; c = -3,5. Namiesto premenných dosadíme ich hodnoty. Dostaneme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| pri x = -8; y = -5; z = 6. Dosadíme zadané hodnoty. Pamätajte, že modul záporného čísla sa rovná jeho opačnému číslu a modul kladného čísla sa rovná tomuto samotnému číslu. Dostaneme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Hodnoty písmena (premennej), pre ktoré má algebraický výraz zmysel, sa nazývajú platné hodnoty písmena (premenná).

Príklady. Pri akých hodnotách premennej výraz nedáva zmysel?

Riešenie. Vieme, že nie je možné deliť nulou, preto každý z týchto výrazov nebude dávať zmysel s hodnotou písmena (premennej), ktorá mení menovateľa zlomku na nulu!

V príklade 1) je to hodnota a = 0. Ak namiesto a dosadíme 0, potom číslo 6 bude potrebné vydeliť 0, ale to sa nedá. Odpoveď: výraz 1) nedáva zmysel, keď a = 0.

V príklade 2) menovateľ x - 4 = 0 pri x = 4, preto túto hodnotu x = 4 nemožno vziať. Odpoveď: výraz 2) nedáva zmysel pre x = 4.

V príklade 3) je menovateľ x + 2 = 0 pre x = -2. Odpoveď: výraz 3) nedáva zmysel pri x = -2.

V príklade 4) je menovateľ 5 -|x| = 0 pre |x| = 5. A keďže |5| = 5 a |-5| \u003d 5, potom nemôžete vziať x \u003d 5 a x \u003d -5. Odpoveď: výraz 4) nemá zmysel pre x = -5 a pre x = 5.
IV. Dva výrazy sa považujú za identicky rovnaké, ak sú pre akékoľvek prípustné hodnoty premenných zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov rovnaké.

Príklad: 5 (a - b) a 5a - 5b sú totožné, pretože rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b bude platiť pre všetky hodnoty a a b. Rovnosť 5 (a - b) = 5a - 5b je identita.

identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných v nej zahrnutých. Príklady vám už známych identít sú napríklad vlastnosti sčítania a násobenia, vlastnosť distribúcie.

Nahradenie jedného výrazu iným, jemu zhodne rovným, sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho premena výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

Príklady.

a) preveďte výraz na identicky rovný pomocou distribučnej vlastnosti násobenia:

1) 10 (1,2x + 2,3r); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Riešenie. Pripomeňme si distribučnú vlastnosť (zákon) násobenia:

(a+b) c=a c+b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, môžete každý člen vynásobiť týmto číslom a výsledky sčítať).
(a-b) c=a c-b c(distributívny zákon násobenia vzhľadom na odčítanie: ak chcete vynásobiť rozdiel dvoch čísel tretím číslom, môžete vynásobiť týmto zníženým a odčítaným číslom oddelene a odpočítať druhé od prvého výsledku).

1) 10 (1,2x + 2,3r) \u003d 10 1,2x + 10 2,3r \u003d 12x + 23r.

2) 1,5 (a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) sčítania:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Riešenie. Aplikujeme zákony (vlastnosti) pridania:

a+b=b+a(posunutie: súčet sa nemení od preskupenia pojmov).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociatívne: ak chcete k súčtu dvoch výrazov pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

v) transformovať výraz na identicky rovný pomocou komutatívnych a asociatívnych vlastností (zákonov) násobenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2r · (-jeden); 9) 3a · (-3) · 2s.

Riešenie. Aplikujme zákony (vlastnosti) násobenia:

a b = b a(posun: permutácia faktorov nemení súčin).
(a b) c=a (b c)(kombinatívne: ak chcete vynásobiť súčin dvoch čísel tretím číslom, môžete prvé číslo vynásobiť súčinom druhého a tretieho).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2r · (-1) = 7r.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Ak je algebraický výraz uvedený ako redukovateľný zlomok, potom pomocou pravidla o redukcii zlomkov ho možno zjednodušiť, t.j. nahradiť identicky sa mu rovnajúci jednoduchším výrazom.

Príklady. Zjednodušte pomocou redukcie frakcií.

Riešenie. Zmenšiť zlomok znamená vydeliť jeho čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (výrazom) iným ako nula. Frakcia 10) sa zníži o 3b; zlomok 11) znížiť o ale a frakcia 12) znížiť o 7n. Dostaneme:

Na formulovanie vzorcov sa používajú algebraické výrazy.

Vzorec je algebraický výraz napísaný ako rovnosť, ktorý vyjadruje vzťah medzi dvoma alebo viacerými premennými. Príklad: vzorec cesty, ktorý poznáte s=v t(s je prejdená vzdialenosť, v je rýchlosť, t je čas). Pamätajte si, aké ďalšie vzorce poznáte.

Strana 1 z 1 1

V úlohách je často potrebné poskytnúť zjednodušenú odpoveď. Aj keď sú zjednodušené aj nezjednodušené odpovede správne, váš inštruktor vám môže znížiť známku, ak svoju odpoveď nezjednodušíte. Navyše, so zjednodušeným matematickým výrazom sa oveľa ľahšie pracuje. Preto je veľmi dôležité naučiť sa zjednodušovať výrazy.

Kroky

Správne poradie matematických operácií

1. Pamätajte na správne poradie vykonávania matematických operácií. Pri zjednodušovaní matematického výrazu je potrebné dodržať určité poradie, pretože niektoré matematické operácie majú prednosť pred inými a musia sa vykonať ako prvé (v skutočnosti nedodržanie správneho poradia operácií vás privedie k nesprávnemu výsledku). Zapamätajte si nasledovné poradie matematických operácií: vyjadrenie v zátvorkách, umocnenie, násobenie, delenie, sčítanie, odčítanie.

   • Všimnite si, že znalosť správneho poradia operácií vám umožní zjednodušiť väčšinu najjednoduchších výrazov, ale na zjednodušenie polynómu (výraz s premennou) potrebujete poznať špeciálne triky (pozri nasledujúcu časť).

2. Začnite riešením výrazu v zátvorkách. V matematike zátvorky označujú, že najprv treba vyhodnotiť priložený výraz. Preto pri zjednodušovaní akéhokoľvek matematického výrazu začnite riešením výrazu uzavretého v zátvorkách (nezáleží na tom, aké operácie musíte vykonať v zátvorkách). Pamätajte však, že pri práci s výrazom uzavretým v zátvorkách by ste mali dodržiavať poradie operácií, to znamená, že výrazy v zátvorkách sa najskôr násobia, delia, sčítavajú, odčítavajú atď.

   • Zjednodušme si napríklad výraz 2x + 4 (5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Tu začneme výrazmi v zátvorkách: 5 + 2 = 7 a 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Výraz v druhom páre zátvoriek sa zjednoduší na 5, pretože 4/2 treba najskôr rozdeliť (podľa správneho poradia operácií). Ak toto poradie nedodržíte, dostanete nesprávnu odpoveď: 3 + 4 = 7 a 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Ak je v zátvorke ďalší pár zátvoriek, začnite so zjednodušením riešením výrazu vo vnútorných zátvorkách a potom prejdite na riešenie výrazu vo vonkajších zátvorkách.

3. Povzniesť sa k moci. Po vyriešení výrazov v zátvorkách prejdite na mocninu (pamätajte, že mocnina má exponent a základ). Zvýšte príslušný výraz (alebo číslo) na mocninu a dosaďte výsledok do výrazu, ktorý vám bol daný.

   • V našom príklade je jediný výraz (číslo) v mocnine 3 2: 3 2 = 9. Vo výraze, ktorý ste dostali, dosaďte 9 namiesto 3 2 a dostanete: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Vynásobte. Pamätajte, že operácia násobenia môže byť označená nasledujúcimi symbolmi: "x", "∙" alebo "*". Ak však medzi číslom a premennou nie sú žiadne symboly (napríklad 2x) alebo medzi číslom a číslom v zátvorkách (napríklad 4(7)), ide tiež o operáciu násobenia.

   • V našom príklade existujú dve operácie násobenia: 2x (dvakrát x) a 4(7) (štyrikrát sedem). Nepoznáme hodnotu x, preto necháme výraz 2x tak, ako je. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Teraz môžete daný výraz prepísať takto: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Rozdeliť. Pamätajte, že operácia delenia môže byť označená nasledujúcimi symbolmi: "/", "÷" alebo "-" (posledný symbol môžete vidieť v zlomkoch). Napríklad 3/4 sú tri delené štyrmi.

   • V našom príklade už nie je delenie, pretože ste už pri riešení výrazu v zátvorkách delili 4 x 2 (4/2). Preto môžete prejsť na ďalší krok. Pamätajte, že väčšina výrazov nemá všetky matematické operácie naraz (iba niektoré).

6. Zložte. Pri pridávaní výrazov výrazu môžete začať najvzdialenejším (ľavým) výrazom alebo môžete najskôr pridať výrazy, ktoré sa ľahko sčítajú. Napríklad vo výraze 49 + 29 + 51 +71 je najprv jednoduchšie sčítať 49 + 51 = 100, potom 29 + 71 = 100 a nakoniec 100 + 100 = 200. Takto sčítať je oveľa ťažšie : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • V našom príklade 2x + 28 + 9 + 5 sú dve operácie sčítania. Začnime najextrémnejším (ľavým) pojmom: 2x + 28; nemôžete sčítať 2x a 28, pretože nepoznáte hodnotu x. Preto pridajte 28 + 9 = 37. Teraz je možné výraz prepísať takto: 2x + 37 - 5.

7. Odčítať. Toto je posledná operácia v správnom poradí matematických operácií. V tejto fáze môžete pridať aj záporné čísla alebo to môžete urobiť vo fáze pridávania členov - konečný výsledok to nijako neovplyvní.

   • V našom príklade 2x + 37 - 5 existuje iba jedna operácia odčítania: 37 - 5 = 32.

8. V tejto fáze, po vykonaní všetkých matematických operácií, by ste mali dostať zjednodušený výraz. Ak však daný výraz obsahuje jednu alebo viac premenných, potom si pamätajte, že člen s premennou zostane taký, aký je. Riešenie (skôr ako zjednodušovanie) výrazu s premennou zahŕňa nájdenie hodnoty tejto premennej. Niekedy je možné výrazy s premennou zjednodušiť pomocou špeciálnych metód (pozri nasledujúcu časť).

   • V našom príklade je konečná odpoveď 2x + 32. Nemôžete pridať dva výrazy, kým nepoznáte hodnotu x. Keď poznáte hodnotu premennej, môžete túto binomiu jednoducho zjednodušiť.

   Zjednodušenie zložitých výrazov

   1. Pridanie podobných členov. Pamätajte, že môžete odčítať a pridať iba podobné členy, teda členy s rovnakou premennou a rovnakým exponentom. Môžete napríklad pridať 7x a 5x, ale nemôžete pridať 7x a 5x 2 (pretože exponenty sú tu odlišné).

      • Toto pravidlo platí aj pre členov s viacerými premennými. Môžete napríklad pridať 2xy 2 a -3xy 2 , ale nemôžete pridať 2xy 2 a -3x 2 y alebo 2xy 2 a -3y 2 .
      • Zoberme si príklad: x 2 + 3x + 6 - 8x. Tu sú podobné výrazy 3x a 8x, takže ich možno sčítať. Zjednodušený výraz vyzerá takto: x 2 - 5x + 6.

   2. Zjednodušte číslo. V takomto zlomku obsahuje čitateľ aj menovateľ čísla (bez premennej). Číselný zlomok je zjednodušený niekoľkými spôsobmi. Najprv stačí vydeliť menovateľa čitateľom. Po druhé, vynásobte čitateľa a menovateľa a zrušte rovnaké faktory (pretože keď číslo vydelíte samo o sebe, dostanete 1). Inými slovami, ak majú čitateľ aj menovateľ rovnaký faktor, môžete ho zahodiť a získať zjednodušený zlomok.

      • Uvažujme napríklad zlomok 36/60. Pomocou kalkulačky vydeľte 36 číslom 60 a dostanete 0,6. Tento zlomok však môžete zjednodušiť iným spôsobom rozdelením čitateľa a menovateľa: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Od 6/6 \u003d 1, potom zjednodušený zlomok: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Tento zlomok však možno tiež zjednodušiť: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Ak zlomok obsahuje premennú, môžete pomocou premennej znížiť rovnaké faktory. Faktorujte čitateľa aj menovateľa a zrušte tie isté faktory, aj keď obsahujú premennú (pamätajte, že v tomto prípade rovnaké faktory môžu alebo nemusia obsahovať premennú).

      • Zvážte príklad: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Tento výraz môže byť prepísaný (faktorovaný) ako: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Keďže člen 3x je v čitateli aj v menovateli, možno ho zredukovať a získať tak zjednodušený výraz: (x + 1)/(5 - x). Zvážte ďalší príklad: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Upozorňujeme, že nemôžete zrušiť žiadne výrazy – zrušia sa iba tie isté faktory, ktoré sú prítomné v čitateli aj menovateli. Napríklad vo výraze (x(x + 2))/x je premenná (násobiteľ) „x“ v čitateli aj v menovateli, takže „x“ možno zmenšiť a získať zjednodušený výraz: (x + 2) / 1 = x + 2. Vo výraze (x + 2)/x však premennú "x" nemožno redukovať (pretože v čitateli "x" nie je činiteľ).

   4. Otvorená zátvorka. Ak to chcete urobiť, vynásobte výraz mimo zátvorky každým výrazom v zátvorke. Niekedy pomôže zjednodušiť zložitý výraz. Platí to pre členy, ktoré sú prvočíslami, aj pre členy, ktoré obsahujú premennú.

      • Napríklad 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 a 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Upozorňujeme, že v zlomkových výrazoch nie je potrebné otvárať zátvorky, ak čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaký faktor. Napríklad vo výraze (3(x 2 + 8)) / 3x nemusíte rozširovať zátvorky, pretože tu môžete znížiť faktor 3 a získať zjednodušený výraz (x 2 + 8) / x. S týmto výrazom sa ľahšie pracuje; ak by ste rozbalili zátvorky, dostali by ste nasledujúci komplexný výraz: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktorizujte polynómy. Pomocou tejto metódy môžete zjednodušiť niektoré výrazy a polynómy. Faktoring je opakom rozšírenia zátvoriek, to znamená, že výraz je zapísaný ako súčin dvoch výrazov, z ktorých každý je uzavretý v zátvorkách. V niektorých prípadoch faktoring umožňuje skrátiť rovnaký výraz. V špeciálnych prípadoch (zvyčajne pri kvadratických rovniciach) vám faktoring umožní vyriešiť rovnicu.

      • Uvažujme výraz x 2 - 5x + 6. Rozložíme ho na faktory: (x - 3) (x - 2). Ak je teda zadaný napríklad výraz (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), potom ho môžete prepísať ako (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), zredukujte výraz (x - 2) a získajte zjednodušený výraz (x - 3) / 2.
      • Faktorovanie polynómov sa používa na riešenie (hľadanie koreňov) rovníc (rovnica je polynóm rovnajúci sa 0). Uvažujme napríklad rovnicu x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Ak to rozdelíme, dostaneme (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Keďže akýkoľvek výraz vynásobený 0 je 0, môžeme ho zapísať ako toto : x - 3 = 0 a x - 2 = 0. Teda x = 3 a x = 2, to znamená, že ste našli dva korene rovnice, ktorá vám bola pridelená.

Zjednodušenie algebraických výrazov je jedným z kľúčov k učeniu sa algebry a mimoriadne užitočnou zručnosťou pre všetkých matematikov. Zjednodušenie umožňuje zredukovať zložitý alebo dlhý výraz na jednoduchý výraz, s ktorým sa ľahko pracuje. Základné zjednodušovacie schopnosti sú dobré aj pre tých, ktorí nie sú nadšení z matematiky. Dodržaním niekoľkých jednoduchých pravidiel možno mnohé z najbežnejších typov algebraických výrazov zjednodušiť bez akýchkoľvek špeciálnych matematických znalostí.

Kroky

Dôležité definície

1. Podobní členovia. Ide o členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo o voľné členy (členy, ktoré neobsahujú premennú). Inými slovami, podobné výrazy zahŕňajú jednu premennú v rovnakom rozsahu, zahŕňajú niekoľko rovnakých premenných alebo neobsahujú premennú vôbec. Na poradí výrazov vo výraze nezáleží.

   • Napríklad 3x 2 a 4x 2 sú podobné výrazy, pretože obsahujú premennú "x" druhého rádu (v druhej mocnine). Avšak x a x 2 nie sú podobné členy, pretože obsahujú premennú "x" rôznych rádov (prvý a druhý). Podobne -3yx a 5xz nie sú podobné členy, pretože obsahujú rôzne premenné.

2. Faktorizácia. Ide o nájdenie takých čísel, ktorých súčin vedie k pôvodnému číslu. Akékoľvek pôvodné číslo môže mať niekoľko faktorov. Napríklad číslo 12 možno rozložiť na nasledujúce série faktorov: 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže môžeme povedať, že čísla 1, 2, 3, 4, 6 a 12 sú faktory číslo 12. Faktory sú rovnaké ako delitele , teda čísla, ktorými je pôvodné číslo deliteľné.

   • Napríklad, ak chcete vynásobiť číslo 20, napíšte ho takto: 4×5.
   • Upozorňujeme, že pri faktoringu sa berie do úvahy premenná. Napríklad 20x = 4 (5x).
   • Prvočísla nemožno rozdeliť, pretože sú deliteľné iba sebou samými a 1.

3. Zapamätajte si a dodržiavajte poradie operácií, aby ste sa vyhli chybám.

   • Zátvorky
   • stupňa
   • Násobenie
   • divízie
   • Doplnenie
   • Odčítanie

   Casting Like Members

   1. Zapíšte si výraz. Najjednoduchšie algebraické výrazy (ktoré neobsahujú zlomky, odmocniny atď.) je možné vyriešiť (zjednodušiť) v niekoľkých krokoch.

      • Napríklad zjednodušiť výraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definujte podobné členy (členy s premennou rovnakého poradia, členy s rovnakými premennými alebo voľné členy).

      • Nájdite podobné výrazy v tomto výraze. Výrazy 2x a 4x obsahujú premennú rovnakého rádu (prvú). Tiež 1 a -3 sú voľné členy (neobsahujú premennú). Teda v tomto výraze termíny 2x a 4x sú podobné a členovia 1 a -3 sú tiež podobné.

   3. Dajte podobných členov. To znamená ich pridanie alebo odčítanie a zjednodušenie výrazu.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepíšte výraz s prihliadnutím na dané výrazy. Získate jednoduchý výraz s menším počtom výrazov. Nový výraz sa rovná pôvodnému.

      • V našom príklade: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, to znamená, že pôvodný výraz je zjednodušený a ľahšie sa s ním pracuje.

   5. Pri prehadzovaní podobných výrazov dodržujte poradie, v ktorom sa vykonávajú operácie. V našom príklade bolo jednoduché priniesť podobné výrazy. V prípade zložitých výrazov, v ktorých sú členy uzavreté v zátvorkách a sú prítomné zlomky a odmocniny, však nie je také jednoduché uviesť takéto výrazy. V týchto prípadoch dodržujte poradie operácií.

      • Zoberme si napríklad výraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tu by bolo chybou hneď definovať 3x a 2x ako podobné pojmy a citovať ich, pretože najskôr treba rozbaliť zátvorky. Preto vykonávajte operácie v ich poradí.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Teraz, keď výraz obsahuje iba operácie sčítania a odčítania, môžete pretypovať ako výrazy.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Zátvorky násobiteľa

   1. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa (gcd) všetkých koeficientov výrazu. GCD je najväčšie číslo, ktorým sú deliteľné všetky koeficienty výrazu.

      • Uvažujme napríklad rovnicu 9x 2 + 27x - 3. V tomto prípade gcd=3, keďže každý koeficient tohto výrazu je deliteľný 3.

   2. Vydeľte každý výraz výrazu gcd. Výsledné členy budú obsahovať menšie koeficienty ako v pôvodnom výraze.

      • V našom príklade vydeľte každý výrazový výraz 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ukázalo sa, že výraz 3x2 + 9x-1. Nerovná sa pôvodnému výrazu.

   3. Napíšte pôvodný výraz ako rovný súčinu gcd krát výsledný výraz. To znamená, že uzatvorte výsledný výraz do zátvoriek a GCD vložte mimo zátvorky.

      • V našom príklade: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Zjednodušenie zlomkových výrazov odstránením násobiteľa zo zátvoriek. Prečo len vytiahnuť násobiteľ zo zátvoriek, ako to bolo predtým? Potom sa dozviete, ako zjednodušiť zložité výrazy, ako sú napríklad zlomkové výrazy. V tomto prípade môže vyňatie faktora zo zátvoriek pomôcť zbaviť sa zlomku (z menovateľa).

      • Uvažujme napríklad zlomkový výraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Na zjednodušenie tohto výrazu použite zátvorky.
        • Vypočítajte faktor 3 (ako ste to urobili predtým): (3 (3x 2 + 9x - 1))/3
        • Všimnite si, že v čitateli aj v menovateli je teraz číslo 3. Dá sa to zmenšiť a dostanete výraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Keďže každý zlomok, ktorý má v menovateli číslo 1, sa rovná čitateľovi, pôvodný zlomkový výraz sa zjednoduší na: 3x2 + 9x-1.

   Ďalšie techniky zjednodušenia

4. Uvažujme jednoduchý príklad: √(90). Číslo 90 možno rozložiť na nasledujúce faktory: 9 a 10 a od 9 vezmite druhú odmocninu (3) a vyberte 3 spod odmocniny.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Zjednodušenie výrazov pomocou právomocí. V niektorých výrazoch sú operácie násobenia alebo delenia pojmov so stupňom. V prípade násobenia členov s jedným základom sa ich stupne sčítajú; v prípade delenia členov s rovnakým základom sa ich stupne odčítajú.

   • Zoberme si napríklad výraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). V prípade násobenia pridajte exponenty a v prípade delenia ich odčítajte.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Nasleduje vysvetlenie pravidla pre násobenie a delenie pojmov s titulom.
     • Násobenie výrazov mocninami je ekvivalentné násobeniu výrazov samotných. Napríklad, keďže x 3 = x × x × x a x 5 = x × x × x × x × x, potom x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), alebo x 8 .
     • Podobne delenie pojmov pomocou právomocí je ekvivalentné deleniu pojmov samotných. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Keďže podobné členy, ktoré sú v čitateli aj v menovateli, možno zredukovať, súčin dvoch „x“ alebo x 2 zostáva v čitateli.

• Vždy si dávajte pozor na znamienka (plus alebo mínus) pred pojmami výrazu, pretože veľa ľudí má problém vybrať si správne znamienko.
• V prípade potreby požiadajte o pomoc!
• Zjednodušenie algebraických výrazov nie je jednoduché, no ak sa vám to dostane do rúk, môžete túto zručnosť využívať celý život.

Algebraický výraz, v zázname ktorého sa popri operáciách sčítania, odčítania a násobenia používa aj delenie na doslovné výrazy, sa nazýva zlomkový algebraický výraz. Takými sú napríklad výrazy

Algebraickým zlomkom nazývame algebraický výraz, ktorý má tvar podielu delenia dvoch celočíselných algebraických výrazov (napríklad monočlenov alebo mnohočlenov). Takými sú napríklad výrazy

tretí z výrazov).

Identitné transformácie zlomkových algebraických výrazov sú z väčšej časti určené na to, aby ich reprezentovali ako algebraický zlomok. Na nájdenie spoločného menovateľa sa používa faktorizácia menovateľov zlomkov - členov s cieľom nájsť ich najmenší spoločný násobok. Pri redukcii algebraických zlomkov môže dôjsť k porušeniu prísnej identity výrazov: je potrebné vylúčiť hodnoty veličín, pri ktorých mizne faktor, ktorým sa redukcia uskutočňuje.

Uveďme príklady identických transformácií zlomkových algebraických výrazov.

Príklad 1: Zjednodušte výraz

Všetky výrazy je možné zredukovať na spoločného menovateľa (vhodné je zmeniť znamienko v menovateli posledného výrazu a znamienko pred ním):

Náš výraz sa rovná jednej pre všetky hodnoty okrem týchto hodnôt, nie je definovaný a redukcia zlomkov je nezákonná).

Príklad 2. Reprezentujte výraz ako algebraický zlomok

Riešenie. Výraz možno brať ako spoločného menovateľa. Postupne nájdeme:

Cvičenia

1. Nájdite hodnoty algebraických výrazov pre zadané hodnoty parametrov:

2. Faktorizujte.