Тип задания: 7
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Показать решениеРешение
Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.
Ответ
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].
.png)
Решение
Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .
Решение
Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение
Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox . Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.
В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
.png)
Решение
Как известно, функция f(x) возрастает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) больше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).
Длина наибольшего из них (-5; -1), равна 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 7
Тема:
Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-4; 3].
Тема: «Применение производной к построению графиков функции»
Цели урока:
1) образовательная : знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и построению графика;
2) воспитательная : воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;
3) развивающая : развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.
Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор, таблица производных, правила дифференцирования.
Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.
Ход урока
Настрой к уроку. Музыка – «Зимнее утро», приветствие гостей (слайд 2-4) .
Сообщение темы и целей урока (слайд 5) .
Разбор значения слов Анатоль Франс: «Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». (слайд 6)
Новая тема (слайд 7)
Зарядка для памяти (слайд 8,9,10)
П. Проверка домашнего задания
При изучении нового материала необходимы знания, полученные ранее: «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции», «Формулы производных». (Выполняется устно.)
Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции. (Слайд 11,12)
Работа по графикам (слайд 13-14)
(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой на компьютере.)
По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.
Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите руки, те у кого нет ошибок. Поднимите теперь те у кого ошибки.
III. Актуализация опорных знаний
На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.
Игра «Карусель» (для проверки темы «Производные»).
IV. Работа с учебником (стр 145 - 154 - высветить на экран)
Самостоятельное изучение нового материала по плану, записанному на доске.
Записать в тетрадь схему исследования функции.
Записать с преподавателем образец решения заданий 2 и 3. Преподаватель строит работу таким образом, чтобы получить информацию об уровне усвоения учебного материала различными обучающимися.
Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
функции на примере одной из задач учебника.
Образцы решений.
Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х 3 - 2х 2 + х.
1. Область определения D (f ) = R .
Найдем производную f
"(x
) =
(х 3 - 2х
2
+
х)"
=
3х
2
-
4х
+1.
f "(x ) = 0. 3х 2 - 4х + 1 = 0,
(3х-1) (х-1) = 0
х 1 =1, х 2 = 1/3
4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.
Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f
"(x
)
Так как f "(x ) на промежутке (1/3, 1), значит, функция убывает на этом промежутке.
5. При переходе через точку х = - знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х = 1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:
f (1/3)= (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3= 4/27;
Составим таблицу по результатам исследования
| f "(x ) | |||||
| f (х) |
7. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью Ох:
х 3 -2х 2 + х = 0, х (х 2 -2х + 1) =0,
х (х -1) 2 =0, х = 0 или х = 1.
8. Построим график функции.
Физминутка
Работа по учебнику
Задание 3. Постройте график функции f (х) = 1- 5/2 х 2 -х 5 .
Решение.
Область определения D (f ) = R .
Найдем производную f "(x = -5х - 5х 4 = -5 х (1 +х 3).
Найдем критические точки, решив уравнение f "(x ) = 0. -5х(1 + х 3) = 0, следовательно,
Х 1 =0, х 2 = -1.
4.Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков:
для производной
f
"(x
=-5х (1+х 3) имеем 3 интервала знак постоянства:
(-∞;-1); (-1;0); (0;+ ∞).
f "( x )0 на промежутке (-1; 0), значит, функция возрастает на этом промежутке.
Аналогично f "( x ) 0 на промежутках (-∞;-1) и (0; +∞), значит, функция на них убывает.
5. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значения в экстремумах равны:
f
(-1)=-0,5
f
(0)=1
5.Творческое задание
Задачи, выделенные преподавателем, конкретизируют цель, представляя собой промежуточный результат, способствующий достижению основной цели урока.
Материал представлен в доступной обучающимся форме в соответствии с дидактическими принципами.
Задание 4.
Завершите эскиз графика функции, зная, что у = f (x ) - четная функция,
Ответ:
Ответ:
VI. Закрепление изученного материала
Задачи способствуют развитию познавательных способностей обучающихся.
Задание 8. Постройте график функции.
Работа в группах по 4 человека. Один из учащихся каждой группы решает на обратной стороне доски. Группы решают примеры по очереди, консультируясь друг с другом в группе.(См. приложение.)
а) у = 2 + 5х 3 -Зх 5 ;
б) у = 4х 5 -5х 4 ;
в) у = Зх 5 -5х 3 .
VII. Подведение итогов урока
По какой схеме проводится исследование свойств функции?
Ответ:
Надо найти:
Область определения функции ( D ( f ) = R a ).
Производную (f"(x)).
Стационарные точки (f"(x = 0)
Промежутки возрастания и убывания (методом интервалов).
Точки экстремума и значение функции в этих точках.
а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);
б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).
А сейчас проведем аукцион понимания графиков.
Дома. Закончить задания
Построить график функции:
a)у= 3х +1/3х б) у = 2 + 3 х - х 3 .
Задание 9. Назовите как можно больше свойств функции, график которой изображен.
(На экран по очереди проецируются графики функций на компьютере. Студенты дают ответы. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом, а самый последний - 3 баллами. Студенты, набравшие наибольшее количество баллов, получают оценку «5».)
Свойства:
возрастает;
точки минимума;
точки максимума;
точки перегиба;
четность (нечетность);
область определения;
область значений;
точки пересечения с Ох;
точки пересечения с Оу;
симметричность графика функции;
функция принимает положительные значения;
функция принимает отрицательные значения;
наибольшее значение функции;
наименьшее значение функции.
Домашнее задание
Задание 10.
Построить график функции:
a)у= = 3х +1/3х
б) у = хе х ;
в) у = 2 + Зх - х 3 .
Приложение
Решения Задание 7.
а) Решение.
1.D ( f ) = R .
2.
Функция у(-х)
=
6(-х) 4 -4(-х) 6 = 6х
4
-4х
6
=
у(х)
четная, гра-
фик симметричен относительно Оу.
Исследуем на (0; +∞),
3. Находим производную у" =24х 3 -24х 5 .
4.Находим критические точки: у"
= 0, 24х 3 (1 –х
2
)
=
0, х 1 = 0,
х 2,3 =±1.
| f"(x | ||||
| f (x ) | ||||
| Экстремум |
График
б) Решение.
Функция у(-х) = 1/10(-х) 5 – 5/6(-х") + 2(-х) = -1/10х 5 + 5/6х 3 -
2х = -у(х) нечетная, график симметричен относительно начала координат. Исследуем на (0; + ∞).
Находим производную f "( x ) = ½ х 4 -5/2х 2 +2.
Находим критические точки: f "( x = 0, х 4 -5х 2 + 4 = = (х 2 - 4)(х 2 - I) = (х - 2)(х + 2)(х - 1)(х +1) = 0,
Х 1= +2, х 2=-2, х 3 =+1, х 4 =-1
| (2; ∞+) |
||||||
| f "( x ) | ||||||
| f (x ) | ||||||
| Экстремум |
График
В)Решение
Находим производную у" = -Зх 2 +8х-4.
Находим критические точки: у" = 0, -Зх 2 + 8х - 4 =
= -(Зх-2)(х-2) = 0, х 1 =2, х 2 =2/3.
5. Знаки производной.
6. Промежутки возрастания и убывания.
| (2; + ∞) |
|||||
| f "( x ) | |||||
| f (x ) | |||||
| Экстремум |
.
Задание 8.
а) Решение.
5.Промежутки возрастания и убывания.
| (-∞-1) | (1 ;0) | (1; + ∞) |
|||||
| У" | |||||||
| У | |||||||
| Точка перегиба | |||||||
б) Решение.
D (y) = R.
Находим производную у" = 20х 4 -20х 3 .
Находим критические точки: у" = 0, 20х 3 (х-1) = 0,
4. Знаки производной.
5. Промежутки возрастания и убывания.
в) Решение.
D (y) = R.
2. Функция у(-х) = 3(-х) 5 -5(-х) 3 = -Зх 5 +5х 3 = -(Зх 5 -5х 3) не-
четная, график функции симметричен относительно начала коор-
динат. Исследуем функцию на (0; +оо).
3. Находим производную у" = 15х 4 - 15х 2 = 15х 2 (х 2 -1).
Находим критические точки: у" = 0, 15х 2 (х 2 -1) = 0, х, =0, х 2,3 =±1.
Знаки производной.
______________________________________________
6. Промежутки возрастания и убывания.
| у" | ||||
| У | ||||
| Точка перегиба |
Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.
Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.
Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.
Рассмотрим построение графиков с помощью производной.
Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.
Решение.
1) Эта функция определена при всех х € R.
2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х 1 = 1/3, х 2 = 1.
Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.
Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.
Точка х 1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.
Точкой минимума является точка х 2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.
3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:
x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.
4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.
5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.
Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.
Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:
1) область ее определения;
2) производную;
3) стационарные точки;
4) промежутки возрастания и убывания;
5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.
Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для 
построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.
Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.
Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Тульской области
«Липковский политехнический техникум»
Конспект урока
на тему « Применение производной к построению
Графиков функции»
Рассмотрено Утверждаю:
на заседании ЦК Зам. директора по УР
Председатель_________И.В. Кувшинова _____________В.В. Аржакова
от «___»__________2013г. «___» _______________2013г
Подготовил преподаватель
Аржакова В.В.
«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным» Паскаль
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у студентов интерес к изучаемой дисциплине. Ведь не секрет, что многие обучающиеся пасуют перед трудностями, а иногда и не хотят приложить определённых усилий для приобретения знаний. Студенты, поступающие в техникум, как правило, имеют слабую подготовку и полное отсутствие интереса к предмету. Поэтому добиться прочных знаний по математике крайне проблематично.
Тема урока: Применение производной к построению графиков функций
Цели урока:
1) образовательная : знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и построению графика;
2) воспитательная : воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;
3) развивающая : развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.
Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор.
Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.
Ход урока
I. Организационный момент Сообщение темы и целей урока . Озвучивая тему урока преподаватель отмечает, что необходимо использовать знания, полученные ранее: таблицу производных, правила дифференцирования, а также темы «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции», для того, чтобы показать связь изучаемой темы с другими темами программы, различными сферами практической деятельности.
П. Проверка домашнего задания
(Выполняется устно.)
Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции.
При оценивании ответов обучающихся учитываются их индивидуальные особенности и потенциал каждого обучающегося. Задания дифференцированы, для того чтобы обучающиеся почувствовали свой успех.
III. Актуализация опорных знаний
На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.
Цели и задачи опроса носят обучающий характер, они соответствуют предметному материалу, излагаемому преподавателем.
Задание 1.
Тест.
(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой на компьютере.)
По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.
Вариант I
Интервалы: А = (-3;0); В = (-2;0); С = (-2;2); D = (0;3); Е = (1;3).
Поведение: 1) убывает; 2)возрастает 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.
Ответы : А2, В2, С4, D1, Е1.
Вариант II
Интервалы: А = (-3;-1); B=(l; 3); C=(-l; l); Д=(0;2); Е = (-2;0).
Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум.
Ответы: А2, В3, С4, D1, Е2.
Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите зеленую карточку, у кого нет ошибок. Поднимите красную карточку, у кого ошибка.
IV. Работа с учебником
Самостоятельное изучение нового материала по плану, записанному на доске.
План:
- Прочитать текст параграфа «Применение производной к построению графиков функций». Дать возможность обучающимся самостоятельно ставить и решать задачи в рамках изучаемой темы.
- Записать в тетрадь схему исследования функции.
- Записать с преподавателем образец решения заданий 2 и 3. Преподаватель строит работу таким образом, чтобы получить информацию об уровне усвоения учебного материала различными обучающимися.
- Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
функции на примере одной из задач учебника.
Образцы решений.
Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х 3 - 2х 2 + х.
Решение.
1. Область определения D(f) = R.
(Зх-1) (х-1) = 0
Х 1 = 1, X 2 = 1/3
4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.
Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f"(x )
Так как f"(x )
5. При переходе через точку х = - знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х = 1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:
f (1/3)= (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3= 4/27;
f (1)= 1-2 +1=0
Составим таблицу по результатам исследования
(-∞, 1/3) | (1/3, 1), | (1,+ ∞), |
|||
f"(x) | |||||
f(х) | 4/27 | ↓ |
7. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью
Ох:
х
3
-2х
2
+ х = 0,
Х (х 2 -2х + 1) =0,
Х (х -1) 2 =0,
х = 0 или х = 1.
8. Построим график функции.
Задание 3 . Постройте график функции f(х) = 1- 5/2 х 2 -х 5 .
Решение.
- Область определения D(f) =R.
- Найдем производную f"(x = -5х - 5х 4 = -5 х (1 +х 3 ).
- Найдем критические точки, решив уравнение f"(x) = 0. -5х(1 + х 3 ) = 0, следовательно,
Х 1 =0, х 2 = -1.
4.Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков:
Для производной
f"(x
=-5х (1+х
3
) имеем 3 интервала знак постоянства:
(- ∞ ;-1); (-1;0); (0;+ ∞ ).
f"(x)>0 на промежутке (-1; 0), значит, функция возрастает на этом промежутке.
Аналогично f"(x) 0 на промежутках (- ∞ ;-1) и (0; + ∞ ), значит, функция на них убывает.
5. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. Значения в экстремумах равны:
f(-1)=-0,5 f(0)=1
5.Творческое задание
Задачи, выделенные преподавателем, конкретизируют цель, представляя собой промежуточный результат, способствующий достижению основной цели урока.
Материал представлен в доступной обучающимся форме в соответствии с дидактическими принципами.
Задание 4.
Завершите эскиз графика функции, зная, что у = f(x) - четная функция,
Ответ:
Ответ:
Задание 6.
Закончите фразу.
1) График четной функции симметричен относительно... (оси Оу).
2) График нечетной функции симметричен относительно...
(нача-
ла координат
(0; 0)).
VI. Закрепление изученного материала
Задачи способствуют развитию познавательных способностей обучающихся.
Задание 7. Постройте график функции.
(Работа над заданиям под пунктами а) и б) ведется на доске по очереди;
В) - самостоятельно с самопроверкой по компьютеру (См. Приложение.)
а) у = 6х 4 -4х 6 ;
б) у= 1/10х 5 -5/6х 3 + 2х
в) у = -х 3 + 4х 2 - 4х;
Задание 8. Постройте график функции.
Работа в группах по 4 человека. Один из учащихся каждой группы решает на обратной стороне доски. Группы решают примеры по очереди, консультируясь друг с другом в группе.(См. приложение.)
а) у = 2 + 5х 3 -Зх 5 ;
б) у = 4х 5 -5х 4 ;
в) у = Зх 5 -5х 3 .
VII. Подведение итогов урока
По какой схеме проводится исследование свойств функции?
Ответ:
Надо найти:
- Область определения функции (D(f) = R a ).
- Производную (f"(x)).
- Стационарные точки (f"(x = 0)
- Промежутки возрастания и убывания (методом интервалов).
- Точки экстремума и значение функции в этих точках.
- а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);
Б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).
А сейчас проведем аукцион понимания графиков.
Задание 9. Назовите как можно больше свойств функции, график которой изображен.
(На экран по очереди проецируются графики функций на компьютере. Студенты дают ответы. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом, а самый последний - 3 баллами. Студенты, набравшие наибольшее количество баллов, получают оценку «5».)
Свойства:
- убывает;
- возрастает;
- точки минимума;
- точки максимума;
- точки перегиба;
- четность (нечетность);
- область определения;
- область значений;
- точки пересечения с Ох;
- точки пересечения с Оу;
- симметричность графика функции;
- функция принимает положительные значения;
- функция принимает отрицательные значения;
- наибольшее значение функции;
- наименьшее значение функции.
Домашнее задание
Задание 10.
Построить график функции:
A)у= = 3х +1/3х
б) у = хе х ;
в) у = 2 + Зх - х 3 .
Приложение
Решения Задание 7.
а) Решение.
1. D(f) = R.
2.
Функция
у(-х) =
6(-х)
4
-4(-х)
6
=
6х
4
-4х
6
= у(х)
четная, гра-
фик симметричен относительно
Оу.
Исследуем на (0; +∞),
3. Находим производную у" =24х 3 -24х 5 .
4.Находим критические точки:
у"
= 0, 24х
3
(1
–х
2
) =
0, х
1
= 0,
х
2,3
=±1.
5. Промежутки возрастания и убывания.
(0; 1) | (l;+ ∞ ) |
|||
f"(x | ||||
f(x) | ||||
Экстремум |
График
б) Решение.
- D(ƒ)= R.
- Функция у(-х) = 1/10(-х) 5 – 5/6(-х") + 2(-х) = -1/10х 5 + 5/6х 3 -
2х = -у(х) нечетная, график симметричен относительно начала координат. Исследуем на (0; + ∞ ).
- Находим производную f"(x) = ½ х 4 -5/2х 2 +2.
- Находим критические точки: f"(x = 0, х 4 -5х 2 + 4 = = (х 2 - 4)(х 2 - I) = (х - 2)(х + 2)(х - 1)(х +1) = 0,
Х 1= +2, х 2=-2, х 3 =+1, х 4 =-1
(0; 1) | (1;2) | (2; ∞ +) |
||||
f"(x) | ||||||
f(x) | 19/ 15 | |||||
Экстремум |
График
В)Решение
- Находим производную у" = -Зх 2 +8х-4.
- Находим критические точки: у" = 0, -Зх 2 + 8х - 4 =
= -(Зх-2)(х-2) = 0, х 1 =2, х 2 =2/3.
5. Знаки производной.
6. Промежутки возрастания и убывания .
(- ∞,2/3) | 2/ 3 | (2/3, 2) | (2; + ∞ ) |
||
f"(x) | |||||
f(x) | 32 27 | ||||
Экстремум |
Задание 8.
а) Решение.
5.Промежутки возрастания и убывания.
(- ∞ -1) | (1;0) | (0;1) | (1; + ∞ ) |
||||
Алгоритм решения задачи на построение графика функции.
1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3.Найти стационарные точки.
4. Определить знак производной на полученных интервалах.
5. Определить промежутки монотонности.
6. определить точки экстремумов и найти значение функции в этих точках.
7.Составить таблицу.
8. Найти дополнительные точки.
9. Построить график функции.
Например. Исследовать функцию с помощью производной и построить её график.
1. ООФ:
2.
9. .___+____.___-____.___+_______
9. , то функция возрастает;
То функция убывает;
То функция возрастает;
6. – точка максимума, т.к. производная сменила знак с + на - ;
Точка минимума, т.к. производная сменила знак с - на +.
| х | |||||
| + | - | + | |||
8. Дополнительные точки:
 |
9. Построение графика.
2.3 . Варианты контрольных работ.
Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-1
а) f(x) = 4x 2 +6x+3, x 0 = 1;
б) 
;
в) f(x) = (3x 2 +1) (3x 2 -1), х 0 =1;
г) f(x) =2x·cosx,
а) f(x)= 5 3x-4 ;
б) f(x) = sin (4x-7);
г) f(x) = ln (x 3 +5x).
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 4 - x 2 в точке х 0 = -3.
В точке с абсциссой х 0 = -1.
f(x) = x 2 - 2x в точке с абсциссой х 0 =-2.
6. Уравнение движения тела имеет вид s(t) = 2,5t 2 + 1,5t. Найдите скорость тела через 4 с после начала движения.
7.
Контрольная работа № 1по теме «Производная» В-2
а) f(x) = х 4 -3x 2 +5, x 0 = -3;
б) 
;
в) f(x) = (2x 2 +1) (4+х 3), х 0 = 1;
г) f(x) =2x·sinx-1,
2. Найдите производную функции:
а) f(x)= 4 2 x -1 ;
б) f(x) = сos(4x+5);
г) f(x) = +2x.
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x 4 + x 3 в точке х 0 = - 1.
4. В какой точке касательная к графику функции
f(x) =3x 2 -12х +11 параллельна оси абсцисс?
5. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = x 3 - 3x 2 + 2х - 1 в точке с абсциссой х 0 = 2.
6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 2,5t 2 -10t + 11. В какой момент времени скорость тела будет равна 20? (координата измеряется в метрах, время – в секундах).
7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:
Контрольная работа №1 по теме «Производная» В-3
1. Найти значение производной в точке х 0
а) f(x) = 7x 2 -56x+8, x 0 = 4;
б) 
;
в) f(x)
г) f(x) =3x·sinx,
2. Найдите производную функции:
а) f(x)= 2 5 x +3 ;
б) f(x) = сos(0,5x+3);
г) f(x) = +5x.
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 2x 2 + x в точке х 0 = -2.
4. В какой точке касательная к графику функции f(x) =x 2 +4х - 12 параллельна оси абсцисс?
5. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = -x 2 -3x + 2 в точке с абсциссой х 0 = -1.
6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 3t 2 + t + 4. В какой момент времени скорость тела будет равна 7? (координата измеряется в метрах, время – в секундах)
Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-4
1. Найти значение производной в точке х 0
а) f(x) = x 5 -4x+8, x 0 = 2;
б) 
;
в) f(x) = (x 3 +7) (3x 2 -1), х 0 = –1;
г) f(x) =5x·cosx+2,
2. Найдите производную функции:
а) f(x)= 3 4 x- 1 ;
б) f(x) = 2sin (2,5x-2);
г) f(x) = ln (2x 3 +x).
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 + 1 в точке х 0 = 3.
4. Найти угол наклона касательной к графику функции 
в точке с абсциссой х 0 = 1.
5. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = x 2 +2x+1 в точке с
абсциссой х 0 = - 2.
6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 4t + t 2 - . Найдите ее скорость в момент времени t=2 (координата измеряется в метрах, время – в секундах.)
7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:
Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-5
1. Найти значение производной в точке х 0
а) f(x) = 3x 5 -12x 2 +6х+2, x 0 = 1;
б) 
;
в) f(x) = (2x+1) (x-5), х 0 = 2;
г) f(x) =2x·cos3x,
2. Найдите производную функции:
а) f(x)= 2 3x-4 ;
б) f(x) = sin (3x 2 - 2);
г) f(x) = ln (x 2 +5x).
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 3х 2 +40х -10 в точке х 0 = -1.
4. Найти угол наклона касательной к графику функции
f(x) = в точке с абсциссой х 0 = - 1.
5. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = x 2 -2x +3в точке с абсциссой х 0 = - 2.
6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 3t 3 +2t+1. Найдите ее скорость в момент времени t = 2 (координата измеряется в метрах, время – в секундах.)
7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:
Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-6
1. Найти значение производной в точке х 0
а) f(x) = 5x 3 -6x 4 +3х 2 +1, x 0 = 1;
б) 
;
в) f(x) = (x 2 +1) (x 3 -2), х 0 = 1;
г) f(x) =2x·sin5x,
2. Найдите производную функции:
а) f(x)= 2 3 x+ 5 ,
б) f(x) = сos(3x-1);
г) f(x) = -2x.
3. Найти угол наклона касательной к графику функции
f(x) = 3x 3 -35x+8 в точке х 0 = 2.
4. В какой точке касательная к графику функции f(x) =x 3 -3х+1 параллельна оси абсцисс?
5. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = x 2 +3x-2 в точке с абсциссой х 0 = -1.
6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 3t 2 -2t+4. В какой момент времени скорость тела будет равна 4? (координата измеряется в метрах, время – в секундах)
7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:
Контрольная работа №3 по теме «Производная» В-7
1. Найти значение производной в точке х 0
а) f(x) = x 6 -3x 2 +2, x 0 = 2;
б) ;
в) f(x) = (x 3 -4) (3x 2 +1), х 0 = 2;
г) f(x) =5x·cosx+2,
2. Найдите производную функции:
а) f(x)= 3 4 x + 2 ;
б) f(x) = 2sin (5х+2);
г) f(x) = ln (3x 2 - x).
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 -1 в точке х 0 = - 3.
4. Найти угол наклона касательной к графику функции 
в точке с абсциссой х 0 = -1.
5. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = x 2 +2x+1 в точке с абсциссой х 0 = - 2.
6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 4t - t 2 + . Найдите ее скорость в момент времени t = 2 (координата измеряется в метрах, время – в секундах.)
7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:
Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-8
1. Найти значение производной в точке х 0
а) f(x) = х 4 -2x 3 +5х-1, x 0 = 2;
б) 
;
в) f(x) = (2x 2 +1) (1+х 3), х 0 = 2;
г) f(x) =2x·sinx-1,
2. Найдите производную функции:
а) f(x)= 5 2 x +3 ,
б) f(x) = сos(5x 2 +1);
г) f(x) = +5x.
3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x 4 -x 2 в точке х 0 = 1.
4. Найти угол наклона касательной к графику функции
f(x) = в точке с абсциссой х 0 = 2.
5. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = x 3 -3x 2 +2х в точке с абсциссой х 0 = 2.
6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 2,5t 2 - 10t +6. Найти скорость тела в момент времени t = 4 (координата измеряется в метрах, время – в секундах).
7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:
