n மாறிகளைக் கொண்ட m நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்

(1)

இந்த அமைப்பை சுருக்கமாக இவ்வாறு எழுதலாம்:

அல்லது அணி வடிவத்தில்: Ax = B.

நேரியல் நிரலாக்க சிக்கல்களில், சமன்பாடுகளின் நிச்சயமற்ற அமைப்புகள் கருதப்படுகின்றன, அதாவது. எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டது. பின்னர் கணினி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை r

,
மாறிகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக: rn. இதன் பொருள் (1) இல் உள்ள நேரியல் சார்பற்ற சமன்பாடுகளின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை r க்கு சமம். கணினியில் (1) நேரியல் சார்பற்ற சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை m க்கு சமம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. ஆர் = மீ. இந்த வழக்கில் மீ மாறிகள், குணகங்கள் உள்ளன என்பது இயற்கணிதத்திலிருந்து அறியப்படுகிறது இது கணினியில் (1) பூஜ்ஜியமற்ற தீர்மானிப்பான் கொண்ட அணியை உருவாக்குகிறது. அத்தகைய தீர்மானிப்பான் அடிப்படை மைனர் என்றும், தொடர்புடைய மாறிகள் அடிப்படை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. மீதமுள்ள n – m மாறிகள் இலவச மாறிகள் எனப்படும். அடிப்படை மாறிகளை அமைப்பு (1) சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி இலவச மாறிகள் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம், இலவச மாறிகளுக்கு தன்னிச்சையான மதிப்புகளை ஒதுக்கலாம் மற்றும் க்ரேமர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அடிப்படை மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறியலாம். இதன் விளைவாக அமைப்புக்கான தீர்வுகளில் ஒன்றாகும் (1).

வரையறை 1.கட்டற்ற மாறிகளின் பூஜ்ஜிய மதிப்புகளுடன் பெறப்பட்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் (1) அமைப்புக்கான தீர்வு அடிப்படை தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அடிப்படை மாறிகள், எனவே அடிப்படை தீர்வின் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் குணகம் மேட்ரிக்ஸின் நேரியல் சார்பற்ற நெடுவரிசைகளுக்கு ஒத்திருக்கும். இது நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு அடிப்படை தீர்வுக்கு வேறுபட்ட வரையறையை வழங்க அனுமதிக்கிறது.

வரையறை 2.நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் அடிப்படை தீர்வு இந்த அமைப்பின் தீர்வாகும், அதன் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் இந்த அமைப்பின் குணகம் மேட்ரிக்ஸின் நேரியல் சார்புடைய நெடுவரிசைகளுடன் ஒத்திருக்கும்.

அடிப்படை மாறிகள் (1) இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள n மாறிகளிலிருந்து m மாறிகளைக் கொண்ட வெவ்வேறு குழுக்களாக இருக்கலாம். n மாறிகளைக் கொண்ட தொகுப்பிலிருந்து m மாறிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான அதிகபட்ச சாத்தியமான வழிகள் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் . இருப்பினும், கணினி (1) இல் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட m மாறிகளுக்கான குணகங்களால் ஆன மேட்ரிக்ஸின் தொடர்புடைய தீர்மானிப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது வழக்குகள் இருக்கலாம். எனவே, அடிப்படை மாறிகளின் குழுக்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இல்லை . அடிப்படை மாறிகளின் ஒவ்வொரு குழுவிற்கும், கணினியின் (1) தொடர்புடைய அடிப்படை தீர்வைக் காணலாம். மேற்கூறிய காரணத்திலிருந்து தேற்றம் பின்வருமாறு:

தேற்றம். ஒரு உறுதியற்ற அமைப்பின் அடிப்படை தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை (1), இதில் கணினி மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசைஆர் = மீ < nஅதிகமாக இல்லை .

உதாரணமாக. சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் அனைத்து அடிப்படை தீர்வுகளையும் கண்டறியவும் (2):

(2)

தீர்வு. வெளிப்படையாக r=m=2, n=4. அடிப்படை மாறிகளின் மொத்த குழுக்களின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இல்லை = 6. இருப்பினும், சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸில் உள்ள மாறிகளின் குணகங்களின் முதல், இரண்டாவது மற்றும் நான்காவது நெடுவரிசைகள் விகிதாசாரமாகும், எனவே இந்த மூன்று நெடுவரிசைகளில் ஏதேனும் இரண்டின் குணகங்களால் ஆன இரண்டாவது-வரிசை தீர்மானிப்பான்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். மீதமுள்ள தொகுப்புகள்:
,
மற்றும்
.

மாறிகளின் தொகுப்பிற்கு
அவற்றின் குணகங்களைக் கொண்ட தீர்மானிப்பான் d = = –2 0. இதன் விளைவாக, இந்த மாறிகள் அடிப்படை மாறிகளாகக் கருதப்படலாம்,
- இலவசம். இலவச மாறிகளுக்கு பூஜ்ஜிய மதிப்புகளை ஒதுக்குவோம்:
நாங்கள் அமைப்பைத் தீர்க்கிறோம்:

(3)
, எங்கே
.

பொதுவாக, நேரியல் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது: தெரியாதவற்றின் குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால். இந்த வழக்கில், எந்த பரிமாண திசையன் அதன் ஆயங்களை மாற்றும் போது, ​​சமன்பாடு ஒரு அடையாளமாக மாறினால், சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சமன்பாடுகளின் தீர்க்கப்பட்ட அமைப்பின் பொதுவான பண்புகள்

எடுத்துக்காட்டு 20.1

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை விவரிக்கவும்.

தீர்வு:

1. இதில் முரண்பட்ட சமன்பாடு உள்ளதா?(குணங்கள் என்றால், இந்த வழக்கில் சமன்பாடு வடிவம் உள்ளது: மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது சர்ச்சைக்குரிய.)

• ஒரு அமைப்பு முரண்பாடான ஒன்றைக் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய அமைப்பு சீரற்றது மற்றும் தீர்வு இல்லை.

2. அனுமதிக்கப்பட்ட அனைத்து மாறிகளையும் கண்டறியவும். (தெரியாதது அழைக்கப்படுகிறதுஅனுமதிக்கப்பட்டதுசமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கு, அது அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் +1 குணகத்துடன் சேர்க்கப்பட்டால், ஆனால் மீதமுள்ள சமன்பாடுகளில் சேர்க்கப்படவில்லை (அதாவது, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான குணகத்துடன் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது).

3. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தீர்க்கப்பட்டதா? (சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தீர்க்கப்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது, கணினியின் ஒவ்வொரு சமன்பாடும் தீர்க்கப்பட்ட அறியப்படாதவற்றைக் கொண்டிருந்தால், அவற்றில் தற்செயல் நிகழ்வுகள் எதுவும் இல்லை)

கணினியின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் ஒன்று எடுக்கப்பட்ட அறியப்படாதவை, வடிவம் தீர்க்கப்படாத தெரியாதவற்றின் முழு தொகுப்புஅமைப்புகள். (எங்கள் உதாரணத்தில் இது)

முழுமையான தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அனுமதிக்கப்பட்ட அறியப்படாதவை என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன அடிப்படை(), மற்றும் தொகுப்பில் சேர்க்கப்படவில்லை - இலவசம் ().

பொதுவான வழக்கில், சமன்பாடுகளின் தீர்க்கப்பட்ட அமைப்பு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த கட்டத்தில், அது என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்வதே முக்கிய விஷயம் தெரியவில்லை தீர்க்கப்பட்டது(அடிப்படையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் இலவசம்).

பொதுவான குறிப்பிட்ட அடிப்படை தீர்வுகள்

பொதுவான தீர்வுசமன்பாடுகளின் தீர்க்கப்பட்ட அமைப்பு என்பது இலவச விதிமுறைகள் மற்றும் இலவச அறியப்படாதவற்றின் மூலம் தீர்க்கப்பட்ட தெரியாதவற்றின் வெளிப்பாடுகளின் தொகுப்பாகும்:

தனிப்பட்ட முடிவுஇலவச மாறிகள் மற்றும் தெரியாதவற்றின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கான பொதுவான தீர்விலிருந்து பெறப்படும் தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அடிப்படை தீர்வுஇலவச மாறிகளின் பூஜ்ஜிய மதிப்புகளுக்கான பொதுவான ஒன்றிலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

• அடிப்படை தீர்வு (வெக்டார்) என்று அழைக்கப்படுகிறது சீரழியும், அதன் பூஜ்ஜியம் அல்லாத ஆயங்களின் எண்ணிக்கை அனுமதிக்கப்பட்ட அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருந்தால்.
• அடிப்படை தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது சீரழியாத, அதன் பூஜ்ஜியமற்ற ஆயங்களின் எண்ணிக்கையானது முழுமையான தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள கணினியின் அனுமதிக்கப்பட்ட அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால்.

தேற்றம் (1)

சமன்பாடுகளின் தீர்க்கப்பட்ட அமைப்பு எப்போதும் நிலையானது(குறைந்தது ஒரு தீர்வு இருப்பதால்); மேலும், கணினியில் இலவச தெரியாதவை இல்லை என்றால்,(அதாவது, சமன்பாடுகளின் அமைப்பில், அனுமதிக்கப்பட்ட அனைத்தும் அடிப்படையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன) பின்னர் அது வரையறுக்கப்படுகிறது(ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது); குறைந்தபட்சம் ஒரு இலவச மாறி இருந்தால், கணினி வரையறுக்கப்படவில்லை(முடிவற்ற தீர்வுகள் உள்ளன).

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான பொதுவான, அடிப்படை மற்றும் எந்தவொரு குறிப்பிட்ட தீர்வையும் கண்டறியவும்:

தீர்வு:

1. கணினி அங்கீகரிக்கப்பட்டதா என்பதை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோமா?

• கணினி தீர்க்கப்பட்டது (ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளும் தீர்க்கப்பட்ட அறியப்படாதவைக் கொண்டிருப்பதால்)

2. ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் - அனுமதிக்கப்பட்ட தெரியாதவற்றை தொகுப்பில் சேர்க்கிறோம்.

3. தொகுப்பில் நாங்கள் சேர்க்கும் தெரியாதவற்றை அனுமதித்ததைப் பொறுத்து பொதுவான தீர்வை எழுதுகிறோம்.

4. ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிதல். இதைச் செய்ய, தொகுப்பில் சேர்க்காத இலவச மாறிகளை தன்னிச்சையான எண்களுடன் ஒப்பிடுகிறோம்.

பதில்: தனிப்பட்ட தீர்வு(விருப்பங்களில் ஒன்று)

5. அடிப்படை தீர்வு கண்டறிதல். இதைச் செய்ய, தொகுப்பில் சேர்க்காத இலவச மாறிகளை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அடிப்படை மாற்றங்கள்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி சமமான தீர்க்கப்பட்ட அமைப்புகளாகக் குறைக்கப்படுகின்றன.

தேற்றம் (2)

ஏதாவது கணினியின் சமன்பாட்டை சில பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கவும், மற்றும் மீதமுள்ள சமன்பாடுகளை மாற்றாமல் விடவும், பிறகு . (அதாவது, சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஒரே எண்ணால் பெருக்கினால், இதற்கு சமமான சமன்பாடு கிடைக்கும்)

தேற்றம் (3)

என்றால் கணினியின் எந்த சமன்பாட்டிலும் இன்னொன்றைச் சேர்க்கவும், மற்றும் மற்ற எல்லா சமன்பாடுகளையும் மாற்றாமல் விடவும் இதற்குச் சமமான அமைப்பைப் பெறுகிறோம். (அதாவது, நீங்கள் இரண்டு சமன்பாடுகளைச் சேர்த்தால் (அவற்றின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம்), தரவுக்கு சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்)

கோட்பாடுகளின் தொடர்ச்சி (2 மற்றும் 3)

என்றால் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கப்படும் சமன்பாட்டில் மற்றொரு சமன்பாட்டைச் சேர்க்கவும், மற்றும் மற்ற எல்லா சமன்பாடுகளையும் மாறாமல் விடவும், இதற்குச் சமமான அமைப்பைப் பெறுவோம்.

கணினி குணகங்களை மீண்டும் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள்

நம்மிடம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு இருந்தால், அதை சமன்பாடுகளின் தீர்க்கப்பட்ட அமைப்பாக மாற்ற விரும்பினால், ஜோர்டான்-காஸ் முறை இதற்கு உதவும்.

ஜோர்டான் மாற்றம்ஒரு தீர்க்கும் உறுப்புடன், சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு எண்ணுடன் சமன்பாட்டில் தீர்க்கப்பட்ட தெரியாததைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. (எடுத்துக்காட்டு 2).

ஜோர்டான் மாற்றம் இரண்டு வகையான அடிப்படை மாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளது:

கீழ் சமன்பாட்டில் தெரியாததை தீர்க்கப்பட்ட தெரியாததாக மாற்ற விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இதைச் செய்ய, நாம் வகுக்க வேண்டும், அதனால் கூட்டுத்தொகை .

எடுத்துக்காட்டு 2 கணினி குணகங்களை மீண்டும் கணக்கிடுவோம்

ஒரு சமன்பாட்டை எண்ணுடன் வகுக்கும் போது, ​​அதன் குணகங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் கணக்கிடப்படுகின்றன:

எண்ணுடன் கூடிய சமன்பாட்டிலிருந்து விலக்க, நீங்கள் சமன்பாட்டை எண்ணுடன் பெருக்கி இந்த சமன்பாட்டில் சேர்க்க வேண்டும்.

தேற்றம் (4) அமைப்பின் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பில் ஒரு அற்பமான சமன்பாடு இருந்தால், அது கணினியிலிருந்து விலக்கப்படலாம், மேலும் அசல் அமைப்புக்கு சமமான அமைப்பு பெறப்படும்.

தேற்றம் (5) சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பொருந்தாத தன்மையில்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சீரற்ற சமன்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால், அது சீரற்றதாக இருக்கும்.

ஜோர்டான்-காஸ் முறை அல்காரிதம்

ஜோர்டான்-காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் பல ஒத்த படிகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றிலும் பின்வரும் வரிசையில் செயல்கள் செய்யப்படுகின்றன:

1. கணினி சீரற்றதா என சரிபார்க்கிறது. ஒரு அமைப்பில் சீரற்ற சமன்பாடு இருந்தால், அது சீரற்றதாக இருக்கும்.
2. சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதற்கான சாத்தியம் சரிபார்க்கப்படுகிறது. கணினியில் ஒரு அற்பமான சமன்பாடு இருந்தால், அது கடக்கப்படும்.
3. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தீர்க்கப்பட்டால், அமைப்பின் பொதுவான தீர்வையும், தேவைப்பட்டால், குறிப்பிட்ட தீர்வுகளையும் எழுதுங்கள்.
4. கணினி தீர்க்கப்படாவிட்டால், தீர்க்கப்பட்ட அறியப்படாத ஒரு சமன்பாட்டில், ஒரு தீர்க்கும் உறுப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது மற்றும் இந்த உறுப்புடன் ஒரு ஜோர்டான் உருமாற்றம் செய்யப்படுகிறது.
5. பின்னர் புள்ளி 1 க்கு திரும்பவும்

எடுத்துக்காட்டு 3 ஜோர்டான்-காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

கண்டுபிடி: இரண்டு பொதுவான மற்றும் இரண்டு தொடர்புடைய அடிப்படை தீர்வுகள்

தீர்வு:

கணக்கீடுகள் கீழே உள்ள அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ளன:

அட்டவணையின் வலதுபுறத்தில் சமன்பாடுகளில் செயல்கள் உள்ளன. அம்புகள் எந்த சமன்பாட்டில் தீர்க்கும் உறுப்புடன் சமன்பாடு சேர்க்கப்படுகிறது, பொருத்தமான காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது.

அட்டவணையின் முதல் மூன்று வரிசைகள் தெரியாதவற்றின் குணகங்கள் மற்றும் அசல் அமைப்பின் வலது பக்கங்களைக் கொண்டிருக்கும். ஒன்றுக்கு சமமான தீர்க்கும் உறுப்புடன் கூடிய முதல் ஜோர்டான் உருமாற்றத்தின் முடிவுகள் வரிகள் 4, 5, 6 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இரண்டாவது ஜோர்டான் உருமாற்றத்தின் முடிவுகள் (-1) க்கு சமமான தீர்க்கும் உறுப்புடன் 7, 8, 9 வரிகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. மூன்றாவது சமன்பாடு அற்பமானதாக இருப்பதால், அதை கருத்தில் கொள்ள முடியாது.

இந்த ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் ஜோர்டான்-காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிகிறது. விரிவான தீர்வு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. கணக்கிட, சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் மாறிகளின் எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். பின்னர் கலங்களில் தரவை உள்ளிட்டு "கணக்கிடு" பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும்.

ஜோர்டான்-காஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான கோட்பாட்டுப் பகுதியைக் கீழே காண்க.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

எண் பிரதிநிதித்துவம்:

முழு எண்கள் மற்றும்/அல்லது பொதுவான பின்னங்கள்
முழு எண்கள் மற்றும்/அல்லது தசமங்கள்

தசம பிரிப்பானுக்குப் பிறகு இடங்களின் எண்ணிக்கை

×

எச்சரிக்கை

அனைத்து கலங்களையும் அழிக்கவா?

மூடு அழி

தரவு உள்ளீடு வழிமுறைகள்.எண்கள் முழு எண்களாக உள்ளிடப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டுகள்: 487, 5, -7623, முதலியன), தசமங்கள் (எ.கா. 67., 102.54, முதலியன) அல்லது பின்னங்கள். பின்னமானது a/b வடிவத்தில் உள்ளிடப்பட வேண்டும், அங்கு a மற்றும் b (b>0) முழு எண்கள் அல்லது தசமங்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, முதலியன.

ஜோர்டான்-காஸ் முறை

ஜோர்டான்-காஸ் முறை என்பது நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையாகும், மேலும் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறியும் ஒரு முறையாகும். இந்த முறை காஸ் முறையின் மாற்றமாகும்.

ஜோர்டான்-காஸ் முறையின் முதல் நிலை காஸ் முறையைப் போன்றது (நேரடி காஸ் நகர்வு), இதை "காஸ் முறை ஆன்லைனில்" பக்கத்தில் விரிவாகப் பார்க்கலாம். ஜோர்டான்-காஸ் முறையின் இரண்டாம் நிலை (தலைகீழ்) முன்னணி உறுப்புகளுக்கு மேலே உள்ள நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் குணகம் மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளையும் பூஜ்ஜியமாக்குகிறது. இங்கே நாம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் தன்னிச்சையான அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்கிறோம், அங்கு மாறிகளின் எண்ணிக்கை கட்டுப்பாடுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்காது.

பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்:

(1)

கணினி (1) ஐ மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

கோடாரி=ஆ

(2)

(3)

ஏ- அமைப்பின் குணகம் மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, பி- கட்டுப்பாடுகளின் வலது பக்கம், எக்ஸ்− மாறிகளின் திசையன் கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும். தரவரிசையை விடுங்கள்( ஏ)=ப.

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவோம்:

,..., பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது, ஆனால் இந்த எண்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், கணினி சீரற்றதாக இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை இருந்தால் மட்டுமே அமைப்பு (2) சீரானது ஏநீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமம் ( A|b).

விடுங்கள் . பின்னர், தலைகீழ் வரிசையில், முன்னணி உறுப்பிலிருந்து தொடங்கி, தலைகீழ் காசியன் நகர்வைப் பயன்படுத்துகிறோம். தலைகீழ் இயக்கத்தின் சாராம்சம், முன்னணி உறுப்புகளை விட அதிகமாக இருக்கும் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளையும் மீட்டமைப்பதாகும்.

எனவே, நெடுவரிசையில் உள்ள அனைத்து கூறுகளையும் மீட்டமைப்போம் ப, உறுப்புக்கு மேலே. ≠0 முதல், 1,2,... வரிகளைச் சேர்க்கிறோம். p− 1 வரியுடன் ப, பெருக்கப்படுகிறது முறையே.

விரிவாக்கப்பட்ட அணி பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

ஒவ்வொரு வரிசையையும் அதனுடன் தொடர்புடைய முன்னணி உறுப்பு மூலம் வகுக்கவும் (முன்னணி உறுப்பு இருந்தால்):

பின்னர் தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

மேட்ரிக்ஸ் பதிவு வகை: கோடாரி=ஆ, எங்கே

மூலம் குறிப்போம் ஒரு ijஉறுப்புகள் நான்-வது வரி மற்றும் ஜேவது நெடுவரிசை.

முதல் கட்டம். முன்னோக்கி காஸியன் நகர்வு

அபதினோரு . இதைச் செய்ய, வரி 1 உடன் 2,3 வரிகளைச் சேர்க்கவும், முறையே 1/2,-3/2 ஆல் பெருக்கவும்:

உறுப்புக்கு மேலே உள்ள அணியின் 3 வது நெடுவரிசையின் கூறுகளை விலக்குவோம் அ 33. இதைச் செய்ய, வரி 3 உடன் 1, 2 வரிகளைச் சேர்க்கவும், முறையே -3/2, -5/4 ஆல் பெருக்கவும்:

மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு வரிசையையும் தொடர்புடைய முன்னணி உறுப்பு மூலம் வகுக்கிறோம் (முன்னணி உறுப்பு இருந்தால்):

மேட்ரிக்ஸ் பதிவு வகை: கோடாரி=ஆ, எங்கே

மூலம் குறிப்போம் ஒரு ijஉறுப்புகள் நான்-வது வரி மற்றும் ஜேவது நெடுவரிசை.

முதல் கட்டம். நேரடி காஸ் நகர்வு.

உறுப்பிற்குக் கீழே உள்ள மேட்ரிக்ஸின் 1வது நெடுவரிசையின் உறுப்புகளை விலக்குவோம் அபதினோரு . இதைச் செய்ய, வரி 1 உடன் 2,3 வரிகளைச் சேர்க்கவும், முறையே 4/3, 5/3 ஆல் பெருக்கவும்:

இரண்டாம் கட்டம். காசியன் தலைகீழ்

உறுப்புக்கு மேலே உள்ள அணியின் 2வது நெடுவரிசையின் தனிமங்களை விலக்குவோம் அ 22. இதைச் செய்ய, வரி 1-ஐ -3/10 ஆல் பெருக்க வரி 2 உடன் சேர்க்கவும்:

மாறிகளை வெளிப்படுத்துவோம் எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 மற்ற மாறிகளுடன் தொடர்புடையது.

பின்னர் திசையன் தீர்வு பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படலாம்:

,

எக்ஸ் 3 என்பது தன்னிச்சையான உண்மையான எண்.

§1. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்.

பார்வை அமைப்பு

அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மீஉடன் நேரியல் சமன்பாடுகள் nதெரியவில்லை.

இங்கே
- தெரியவில்லை, - தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்கள்,
- சமன்பாடுகளின் இலவச விதிமுறைகள்.

சமன்பாடுகளின் அனைத்து இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது ஒரேவிதமான.முடிவு மூலம்அமைப்பு எண்களின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது
, தெரியாதவற்றிற்கு பதிலாக அவற்றை கணினியில் மாற்றும் போது, ​​அனைத்து சமன்பாடுகளும் அடையாளங்களாக மாறும். அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது கூட்டு, குறைந்தது ஒரு தீர்வு இருந்தால். தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்ட இணக்கமான அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது உறுதி. இரண்டு அமைப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன இணையான, அவற்றின் தீர்வுகளின் தொகுப்புகள் இணைந்தால்.

அமைப்பு (1) ஐ சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அணி வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்

(2)

.

§2. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் பொருந்தக்கூடிய தன்மை.

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட அணியை (1) அணி என்று அழைப்போம்

குரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றம். சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே கணினி (1) சீரானது:

.

§3. அமைப்புகள் தீர்வுn உடன் நேரியல் சமன்பாடுகள்n தெரியவில்லை.

ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பைக் கவனியுங்கள் nஉடன் நேரியல் சமன்பாடுகள் nதெரியவில்லை:

(3)

க்ரேமர் தேற்றம்.அமைப்பின் முக்கிய நிர்ணயம் என்றால் (3)
, பின்னர் அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, இது சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

அந்த.
,

எங்கே - தீர்மானிப்பதில் இருந்து பெறப்பட்ட தீர்மானிப்பான் மாற்று இலவச உறுப்பினர்களின் நெடுவரிசைக்கு வது நெடுவரிசை.

என்றால்
, மற்றும் குறைந்தது ஒன்று ≠0, பின்னர் கணினியில் தீர்வுகள் இல்லை.

என்றால்
, பின்னர் கணினி எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

அமைப்பு (3) அதன் மேட்ரிக்ஸ் படிவத்தை (2) பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும். அணி தரவரிசை என்றால் ஏசமம் n, அதாவது
, பின்னர் அணி ஏஒரு தலைகீழ் உள்ளது
. மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாட்டைப் பெருக்குதல்
அணிக்கு
இடதுபுறத்தில், நாம் பெறுகிறோம்:

.

கடைசி சமத்துவம் ஒரு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் முறையை வெளிப்படுத்துகிறது.

உதாரணமாக.தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு. மேட்ரிக்ஸ்
சிதைவடையாத, என்பதால்
, அதாவது தலைகீழ் அணி உள்ளது. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கணக்கிடுவோம்:
.

,

உடற்பயிற்சி. Cramer இன் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்க்கவும்.

§4. நேரியல் சமன்பாடுகளின் தன்னிச்சையான அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது.

படிவத்தின் (1) நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பு அல்ல.

அமைப்பு சீரானது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. க்ரோனெக்கர்-காபெல்லி தேற்றத்தின் நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது:
. அணி தரவரிசை என்றால்
(தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கை), பின்னர் கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது. என்றால்
, பின்னர் கணினி எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. என்னை விவரிக்க விடு.

மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையை விடுங்கள் ஆர்(ஏ)= ஆர்< n. ஏனெனில்
, பின்னர் சில பூஜ்ஜியமற்ற சிறிய வரிசை உள்ளது ஆர். அதை அடிப்படை மைனர் என்று அழைக்கலாம். அறியப்படாத குணகங்கள் சிறிய அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன, அவை அடிப்படை மாறிகள் என்று அழைக்கப்படும். மீதமுள்ள தெரியாதவற்றை இலவச மாறிகள் என்று அழைக்கிறோம். இந்த மைனர் சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸின் மேல் இடது மூலையில் அமைந்திருக்கும் வகையில் சமன்பாடுகளை மறுசீரமைப்போம் மற்றும் மாறிகளை மீண்டும் எண்ணுவோம்:

.

முதலில் ஆர்கோடுகள் நேரியல் சுயாதீனமானவை, மீதமுள்ளவை அவற்றின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. எனவே, இந்த கோடுகள் (சமன்பாடுகள்) நிராகரிக்கப்படலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இலவச மாறிகளுக்கு தன்னிச்சையான எண் மதிப்புகளை வழங்குவோம்: . அடிப்படை மாறிகளை மட்டும் இடது பக்கம் விட்டுவிட்டு இலவசங்களை வலது பக்கம் நகர்த்துவோம்.

சிஸ்டம் கிடைத்தது ஆர்உடன் நேரியல் சமன்பாடுகள் ஆர்தெரியவில்லை, அதன் நிர்ணயம் 0 இலிருந்து வேறுபட்டது. இது ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த அமைப்பு நேரியல் சமன்பாடுகளின் (1) அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இல்லையெனில்: இலவசம் மூலம் அடிப்படை மாறிகளின் வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பொதுவான முடிவுஅமைப்புகள். அதிலிருந்து நீங்கள் எண்ணற்ற எண்ணைப் பெறலாம் தனிப்பட்ட தீர்வுகள், இலவச மாறிகள் தன்னிச்சையான மதிப்புகளை வழங்குதல். இலவச மாறிகளின் பூஜ்ஜிய மதிப்புகளுக்கு பொதுவான ஒன்றிலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படை தீர்வு. பல்வேறு அடிப்படை தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இல்லை
. எதிர்மறை அல்லாத கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு அடிப்படை தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது ஆதரிக்கிறதுஅமைப்பு தீர்வு.

உதாரணமாக.

,ஆர்=2.

மாறிகள்
- அடிப்படை,
- இலவசம்.

சமன்பாடுகளைச் சேர்ப்போம்; வெளிப்படுத்துவோம்
மூலம்
:

- பொதுவான முடிவு.

- தனிப்பட்ட தீர்வு
.

- அடிப்படை தீர்வு, குறிப்பு.

§5. காஸ் முறை.

காஸ் முறை என்பது நேரியல் சமன்பாடுகளின் தன்னிச்சையான அமைப்புகளைப் படிப்பதற்கும் தீர்ப்பதற்கும் ஒரு உலகளாவிய முறையாகும். அமைப்புகளின் சமநிலையை மீறாத அடிப்படை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்குவதன் மூலம் கணினியை ஒரு மூலைவிட்ட (அல்லது முக்கோண) வடிவத்திற்கு குறைக்கிறது. 1 இன் குணகம் கொண்ட கணினியின் ஒரே ஒரு சமன்பாட்டில் இருந்தால், ஒரு மாறி விலக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது.

அடிப்படை மாற்றங்கள்அமைப்புகள்:

பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் சமன்பாட்டைப் பெருக்குதல்;

ஒரு சமன்பாட்டை மற்றொரு சமன்பாட்டுடன் எந்த எண்ணாலும் பெருக்குதல்;

சமன்பாடுகளை மறுசீரமைத்தல்;

0 = 0 சமன்பாட்டை நிராகரித்தல்.

அடிப்படை மாற்றங்கள் சமன்பாடுகளில் அல்ல, ஆனால் அதன் விளைவாக வரும் சமமான அமைப்புகளின் நீட்டிக்கப்பட்ட மெட்ரிக்குகளில் செய்யப்படலாம்.

உதாரணமாக.

தீர்வு.கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை எழுதுவோம்:

.

அடிப்படை மாற்றங்களைச் செய்து, மேட்ரிக்ஸின் இடது பக்கத்தை அலகு வடிவமாகக் குறைப்போம்: பிரதான மூலைவிட்டத்தில் ஒன்றை உருவாக்குவோம், அதற்கு வெளியே பூஜ்ஜியங்கள்.

கருத்து. அடிப்படை மாற்றங்களைச் செய்யும்போது, ​​படிவம் 0 இன் சமன்பாடு பெறப்பட்டால் = கே(எங்கே செய்ய0), பின்னர் அமைப்பு சீரற்றது.

தெரியாதவற்றை வரிசையாக நீக்கும் முறையின் மூலம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் தீர்வை வடிவத்தில் எழுதலாம் அட்டவணைகள்.

அட்டவணையின் இடது நெடுவரிசையில் விலக்கப்பட்ட (அடிப்படை) மாறிகள் பற்றிய தகவல்கள் உள்ளன. மீதமுள்ள நெடுவரிசைகளில் தெரியாதவற்றின் குணகங்கள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் இலவச விதிமுறைகள் உள்ளன.

கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட அணி மூல அட்டவணையில் பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளது. அடுத்து, நாங்கள் ஜோர்டான் மாற்றங்களைச் செய்யத் தொடங்குகிறோம்:

1. ஒரு மாறியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் , இது அடிப்படையாக மாறும். தொடர்புடைய நெடுவரிசை முக்கிய நெடுவரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்ற சமன்பாடுகளிலிருந்து விலக்கப்பட்டு, இந்த மாறி இருக்கும் சமன்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். தொடர்புடைய அட்டவணை வரிசை ஒரு முக்கிய வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. குணகம் , ஒரு முக்கிய வரிசை மற்றும் ஒரு முக்கிய நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் நின்று, ஒரு விசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

2. முக்கிய சரம் கூறுகள் முக்கிய உறுப்பு பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.

3. முக்கிய நெடுவரிசை பூஜ்ஜியங்களால் நிரப்பப்பட்டுள்ளது.

4. மீதமுள்ள உறுப்புகள் செவ்வக விதியைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. ஒரு செவ்வகத்தை உருவாக்கவும், எதிர் முனைகளில் ஒரு முக்கிய உறுப்பு மற்றும் மீண்டும் கணக்கிடப்பட்ட உறுப்பு உள்ளது; முக்கிய உறுப்புடன் செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டத்தில் அமைந்துள்ள உறுப்புகளின் பெருக்கத்தில் இருந்து, மற்ற மூலைவிட்டத்தின் தனிமங்களின் தயாரிப்பு கழிக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக வரும் வேறுபாடு முக்கிய உறுப்பு மூலம் வகுக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக. சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் அடிப்படை தீர்வைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு.

அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு:

அடிப்படை தீர்வு:
.

ஒற்றை மாற்று மாற்றம், கணினியின் ஒரு அடிப்படையிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு செல்ல உங்களை அனுமதிக்கிறது: முக்கிய மாறிகளில் ஒன்றிற்கு பதிலாக, இலவச மாறிகளில் ஒன்று அடிப்படையில் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. இதைச் செய்ய, இலவச மாறி நெடுவரிசையில் ஒரு முக்கிய உறுப்பைத் தேர்ந்தெடுத்து மேலே உள்ள வழிமுறையின்படி மாற்றங்களைச் செய்யவும்.

§6. ஆதரவு தீர்வுகளைக் கண்டறிதல்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் குறிப்பு தீர்வு என்பது எதிர்மறை கூறுகளைக் கொண்டிருக்காத ஒரு அடிப்படை தீர்வாகும்.

பின்வரும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் போது அமைப்பின் குறிப்பு தீர்வுகள் காஸியன் முறையால் கண்டறியப்படுகின்றன.

1. அசல் அமைப்பில், அனைத்து இலவச விதிமுறைகளும் எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும்:
.

2. நேர்மறை குணகங்களில் முக்கிய உறுப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

3. அடிப்படையில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒரு மாறியானது பல நேர்மறை குணகங்களைக் கொண்டிருந்தால், முக்கிய வரியானது, அதில் இலவச கால மற்றும் நேர்மறை குணகத்தின் விகிதம் சிறியதாக இருக்கும்.

குறிப்பு 1. அறியப்படாதவற்றை நீக்கும் செயல்பாட்டில், ஒரு சமன்பாடு தோன்றினால், அதில் அனைத்து குணகங்களும் நேர்மறை மற்றும் இலவச சொல்
, பின்னர் கணினியில் எதிர்மறையான தீர்வுகள் இல்லை.

குறிப்பு 2. இலவச மாறிகளுக்கான குணகங்களின் நெடுவரிசைகளில் ஒரு நேர்மறை உறுப்பு இல்லை என்றால், மற்றொரு குறிப்பு தீர்வுக்கு மாறுவது சாத்தியமில்லை.

உதாரணமாக.

எடுத்துக்காட்டு 1. அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் சில குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்

தீர்வுகால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்கிறோம். நீட்டிக்கப்பட்ட மற்றும் முக்கிய மெட்ரிக்குகளை எழுதுவோம்:

பிரதான அணி A புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. கணினியின் சமன்பாடுகளில் உள்ள சொற்களின் சாத்தியமான மறுசீரமைப்பை மனதில் வைத்து மேலே தெரியாத அமைப்புகளை எழுதுகிறோம். நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்தை தீர்மானிப்பதன் மூலம், ஒரே நேரத்தில் முக்கிய ஒன்றின் தரவரிசையைக் கண்டுபிடிப்போம். அணி B இல், முதல் மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசைகள் விகிதாசாரமாக இருக்கும். இரண்டு விகிதாசார நெடுவரிசைகளில், ஒன்று மட்டுமே அடிப்படை மைனரில் விழ முடியும், எனவே முதல் நெடுவரிசையை புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டிற்கு அப்பால் எதிர் அடையாளத்துடன் நகர்த்தலாம். கணினியைப் பொறுத்தவரை, x 1 இலிருந்து சமன்பாடுகளின் வலது பக்கத்திற்கு விதிமுறைகளை மாற்றுவதாகும்.

அணியை முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைப்போம். ஒரு அணி வரிசையை பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்கி மற்றொரு வரிசையில் சேர்ப்பது என்பது சமன்பாட்டை அதே எண்ணால் பெருக்கி மற்றொரு சமன்பாட்டுடன் சேர்ப்பதால், நாங்கள் வரிசைகளுடன் மட்டுமே வேலை செய்வோம், இது தீர்வை மாற்றாது. அமைப்பு. நாங்கள் முதல் வரிசையுடன் வேலை செய்கிறோம்: மேட்ரிக்ஸின் முதல் வரிசையை (-3) ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசைகளில் சேர்க்கவும். பிறகு முதல் வரியை (-2) ஆல் பெருக்கி நான்காவது வரியில் சேர்க்கவும்.

இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது கோடுகள் விகிதாசாரமாகும், எனவே, அவற்றில் ஒன்று, எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டாவது, கடக்கப்படலாம். இது மூன்றாவது சமன்பாட்டின் விளைவாக இருப்பதால், அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கடப்பதற்குச் சமம்.

இப்போது நாம் இரண்டாவது வரியுடன் வேலை செய்கிறோம்: அதை (-1) ஆல் பெருக்கி மூன்றில் சேர்க்கவும்.

புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டுடன் வட்டமிடப்பட்ட மைனர் மிக உயர்ந்த வரிசையைக் கொண்டுள்ளது (சாத்தியமான சிறார்களின்) மற்றும் பூஜ்ஜியமற்றது (இது முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்), மேலும் இந்த மைனர் பிரதான அணி மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட ஒன்று இரண்டிற்கும் சொந்தமானது. rangA = rangB = 3.
மைனர் அடிப்படையானது. இது தெரியாத x 2 , x 3 , x 4 ஆகியவற்றிற்கான குணகங்களை உள்ளடக்கியது, அதாவது தெரியாத x 2 , x 3 , x 4 ஆகியவை சார்ந்தவை மற்றும் x 1 , x 5 இலவசம்.
மேட்ரிக்ஸை மாற்றுவோம், இடதுபுறத்தில் சிறிய அடிப்படையை மட்டும் விட்டுவிடுவோம் (இது மேலே உள்ள தீர்வு வழிமுறையின் புள்ளி 4 க்கு ஒத்திருக்கிறது).

இந்த மேட்ரிக்ஸின் குணகங்களைக் கொண்ட அமைப்பு அசல் அமைப்புக்கு சமமானது மற்றும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது

அறியப்படாதவற்றை நீக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி நாம் காண்கிறோம்:
, ,

சார்பு மாறிகள் x 2, x 3, x 4 ஆகியவற்றை இலவச x 1 மற்றும் x 5 மூலம் வெளிப்படுத்தும் உறவுகளைப் பெற்றோம், அதாவது பொதுவான தீர்வைக் கண்டோம்:

இலவச தெரியாதவர்களுக்கு எந்த மதிப்புகளையும் வழங்குவதன் மூலம், குறிப்பிட்ட தீர்வுகளை நாங்கள் பெறுகிறோம். இரண்டு குறிப்பிட்ட தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:
1) x 1 = x 5 = 0, பின்னர் x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, பின்னர் x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 ஐ வைக்கவும்.
இவ்வாறு, இரண்டு தீர்வுகள் காணப்பட்டன: (0,1,-3,3,0) - ஒரு தீர்வு, (1,4,-7,7,-1) - மற்றொரு தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 2. பொருந்தக்கூடிய தன்மையை ஆராய்ந்து, கணினிக்கு பொதுவான மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. முதல் சமன்பாட்டில் ஒன்று இருக்க முதல் மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளை மறுசீரமைத்து அணி B ஐ எழுதுவோம்.

முதல் வரிசையுடன் செயல்படுவதன் மூலம் நான்காவது நெடுவரிசையில் பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுகிறோம்:

இப்போது இரண்டாவது வரியைப் பயன்படுத்தி மூன்றாவது நெடுவரிசையில் பூஜ்ஜியங்களைப் பெறுகிறோம்:

மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது கோடுகள் விகிதாசாரமாக உள்ளன, எனவே தரவரிசையை மாற்றாமல் அவற்றில் ஒன்றைக் கடக்க முடியும்:
மூன்றாவது வரியை (–2) ஆல் பெருக்கி நான்காவது வரியில் சேர்க்கவும்:

முக்கிய மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட மெட்ரிக்குகளின் தரவரிசைகள் 4 க்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், மேலும் தரவரிசை தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே, கணினிக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

எடுத்துக்காட்டு 3. இணக்கத்தன்மைக்கான அமைப்பை ஆராய்ந்து, அது இருந்தால் தீர்வு காணவும்.

தீர்வு. கணினியின் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.

மேல் இடது மூலையில் 1 இருக்கும்படி முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளை மறுசீரமைக்கிறோம்:
முதல் வரியை (-1) ஆல் பெருக்கி, அதை மூன்றாவது வரியுடன் சேர்த்தல்:

இரண்டாவது வரியை (-2) ஆல் பெருக்கி மூன்றில் சேர்க்கவும்:

கணினி சீரற்றது, ஏனெனில் பிரதான மேட்ரிக்ஸில் பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட ஒரு வரிசையைப் பெற்றோம், இது ரேங்க் கண்டறியப்படும்போது கடக்கப்படும், ஆனால் நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸில் கடைசி வரிசை உள்ளது, அதாவது r B > r A .

உடற்பயிற்சி. பொருந்தக்கூடிய இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஆராய்ந்து, மேட்ரிக்ஸ் கால்குலஸைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு

உதாரணமாக. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் இணக்கத்தன்மையை நிரூபித்து அதை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கவும்: 1) காஸ் முறை மூலம்; 2) க்ரேமர் முறை. (பதிலை படிவத்தில் உள்ளிடவும்: x1,x2,x3)
தீர்வு :doc :doc :xls
பதில்: 2,-1,3.

உதாரணமாக. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் பொருந்தக்கூடிய தன்மையை நிரூபிக்கவும். அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு
பதில்: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

உடற்பயிற்சி. ஒவ்வொரு அமைப்பின் பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.க்ரோனெக்கர்-கேபெல்லி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த அமைப்பைப் படிக்கிறோம்.
நீட்டிக்கப்பட்ட மற்றும் முக்கிய மெட்ரிக்குகளை எழுதுவோம்:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

இங்கே மேட்ரிக்ஸ் A தடிமனாக உயர்த்தப்பட்டுள்ளது.
அணியை முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைப்போம். ஒரு அணி வரிசையை பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எண்ணால் பெருக்கி மற்றொரு வரிசையில் சேர்ப்பது என்பது சமன்பாட்டை அதே எண்ணால் பெருக்கி மற்றொரு சமன்பாட்டுடன் சேர்ப்பதால், நாங்கள் வரிசைகளுடன் மட்டுமே வேலை செய்வோம், இது தீர்வை மாற்றாது. அமைப்பு.
1வது வரியை (3) ஆல் பெருக்குவோம். 2வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கவும். 2 வது வரியை 1 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

2வது வரியை (2) ஆல் பெருக்குவோம். 3வது வரியை (-3) ஆல் பெருக்கவும். 3 வது வரியை 2 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

2வது வரியை (-1) ஆல் பெருக்கவும். 2 வது வரியை 1 வது வரியுடன் சேர்ப்போம்:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மைனர் மிக உயர்ந்த வரிசையைக் கொண்டுள்ளது (சாத்தியமான சிறார்களின்) மற்றும் பூஜ்ஜியம் அல்ல (இது தலைகீழ் மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்), மேலும் இந்த மைனர் பிரதான அணி மற்றும் நீட்டிக்கப்பட்ட ஒன்று ஆகிய இரண்டிற்கும் சொந்தமானது, எனவே ராங்( A) = rang(B) = 3 முக்கிய மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை நீட்டிக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் தரத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், பின்னர் அமைப்பு ஒத்துழைப்புடன் உள்ளது.
இந்த சிறிய அடிப்படை. இது தெரியாத x 1 , x 2 , x 3 ஆகியவற்றிற்கான குணகங்களை உள்ளடக்கியது, அதாவது தெரியாத x 1 , x 2 , x 3 ஆகியவை சார்ந்தவை (அடிப்படை), மற்றும் x 4 , x 5 இலவசம்.
சிறிய அடிப்படையை மட்டும் இடதுபுறத்தில் விட்டுவிட்டு மேட்ரிக்ஸை மாற்றுவோம்.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

இந்த மேட்ரிக்ஸின் குணகங்களைக் கொண்ட அமைப்பு அசல் அமைப்புக்கு சமமானது மற்றும் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
அறியப்படாதவற்றை நீக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி நாம் காண்கிறோம்:
சார்பு மாறிகள் x 1 , x 2 , x 3 ஐ வெளிப்படுத்தும் உறவுகளை இலவசம் x 4 , x 5 , அதாவது நாங்கள் கண்டறிந்தோம் பொதுவான முடிவு:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
நிச்சயமற்ற, ஏனெனில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகள் உள்ளன.

உடற்பயிற்சி. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.
பதில்:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
இலவச தெரியாதவர்களுக்கு எந்த மதிப்புகளையும் வழங்குவதன் மூலம், குறிப்பிட்ட தீர்வுகளை நாங்கள் பெறுகிறோம். அமைப்பு ஆகும் நிச்சயமற்ற