சீரற்ற மாறிஒரு மாறியானது மாறி எனப்படும், ஒவ்வொரு சோதனையின் விளைவாக, சீரற்ற காரணங்களைப் பொறுத்து, முன்னர் அறியப்படாத ஒரு மதிப்பைப் பெறுகிறது. சீரற்ற மாறிகள் பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ அவற்றின் வகையின் படி, சீரற்ற மாறிகள் இருக்கலாம் தனித்தனிமற்றும் தொடர்ச்சியான.

தனித்த சீரற்ற மாறி- இது ஒரு சீரற்ற மாறி, அதன் மதிப்புகள் கணக்கிடப்படுவதை விட அதிகமாக இருக்க முடியாது, அதாவது வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது கணக்கிடக்கூடியவை. கணக்கிடுதல் என்பதன் மூலம், ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளை எண்ணலாம் என்று அர்த்தம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 . தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

a) $n$ ஷாட்களுடன் இலக்கில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை, இங்கே சாத்தியமான மதிப்புகள் $0,\ 1,\ \dts ,\ n$.

b) நாணயத்தைத் தூக்கி எறியும் போது கைவிடப்பட்ட சின்னங்களின் எண்ணிக்கை, இங்கே சாத்தியமான மதிப்புகள் $0,\ 1,\ \dts ,\ n$.

c) கப்பலில் வரும் கப்பல்களின் எண்ணிக்கை (ஒரு கணக்கிடக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு).

ஈ) PBX க்கு வரும் அழைப்புகளின் எண்ணிக்கை (எண்ணக்கூடிய மதிப்புகளின் தொகுப்பு).

1. தனித்த சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் சட்டம்.

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி $X$ $x_1,\dots ,\ x_n$ நிகழ்தகவுகளுடன் $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ மதிப்புகளை எடுக்கலாம். இந்த மதிப்புகளுக்கும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளுக்கும் இடையிலான கடித தொடர்பு அழைக்கப்படுகிறது தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம். ஒரு விதியாக, இந்த கடிதம் ஒரு அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகிறது, இதன் முதல் வரி $x_1,\dts ,\ x_n$ மதிப்புகளைக் குறிக்கிறது, மேலும் இரண்டாவது வரியானது $p_1,\dots ,\ p_n$ ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த மதிப்புகள்.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(வரிசை)$

எடுத்துக்காட்டு 2 . சீரற்ற மாறி $X$ ஒரு டையை தூக்கி எறியும்போது உருட்டப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். அத்தகைய சீரற்ற மாறி $X$ பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. இந்த எல்லா மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளும் $1/6$க்கு சமம். பின்னர் $X$ சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு விநியோக விதி:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(வரிசை)$

கருத்து. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி $X$ விநியோகச் சட்டத்தில் $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ஆகியவை நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவை உருவாக்குவதால், நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது $ \sum(p_i)=1$.

2. தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு.

சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்புஅதன் "மைய" பொருளை அமைக்கிறது. தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு, கணித எதிர்பார்ப்பு $x_1,\dts ,\ x_n$ மற்றும் இந்த மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய $p_1,\dots,\ p_n$ நிகழ்தகவுகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக கணக்கிடப்படுகிறது, அதாவது : $M\left(X\ right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. ஆங்கில மொழி இலக்கியத்தில், மற்றொரு குறியீடு $E\left(X\right)$ பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்$M\இடது(X\வலது)$:

1. $M\left(X\ right)$ ஆனது $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் சிறிய மற்றும் பெரிய மதிப்புகளுக்கு இடையில் உள்ளது.
2. மாறிலியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மாறிலிக்கு சமம், அதாவது. $M\left(C\right)=C$.
3. நிலையான காரணி கணித எதிர்பார்ப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் உற்பத்தியின் கணித எதிர்பார்ப்பு அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

எடுத்துக்காட்டு 3 . $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பை உதாரணம் $2$ இலிருந்து கண்டுபிடிப்போம்.

$$M\left(X\ right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) . )\ஓவர் (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ ஆனது $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் சிறிய ($1$) மற்றும் பெரிய ($6$) மதிப்புகளுக்கு இடையில் இருப்பதை நாம் கவனிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4 . $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு $M\left(X\right)=2$ க்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. $3X+5$ என்ற சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும்.

மேலே உள்ள பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

எடுத்துக்காட்டு 5 . $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு $M\left(X\right)=4$ க்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. $2X-9$ என்ற சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும்.

மேலே உள்ள பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் சிதறல்.

சமமான கணித எதிர்பார்ப்புகளைக் கொண்ட சீரற்ற மாறிகளின் சாத்தியமான மதிப்புகள் அவற்றின் சராசரி மதிப்புகளைச் சுற்றி வித்தியாசமாக சிதறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு மாணவர் குழுக்களில், நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் தேர்வுக்கான சராசரி மதிப்பெண் 4 ஆக மாறியது, ஆனால் ஒரு குழுவில் அனைவரும் நல்ல மாணவர்களாக மாறினர், மற்ற குழுவில் சி மாணவர்கள் மற்றும் சிறந்த மாணவர்கள் மட்டுமே இருந்தனர். எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியின் எண்ணியல் பண்பு தேவைப்படுகிறது, இது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பைச் சுற்றி சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் பரவலைக் காட்டுகிறது. இந்த பண்பு சிதறல் ஆகும்.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு$X$ இதற்குச் சமம்:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\ right)\right))^2).\ $$

ஆங்கில இலக்கியத்தில் $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி $D\left(X\right)$ மாறுபாடு பெரும்பாலும் கணக்கிடப்படுகிறது. இடது(X \வலது)\வலது))^2$.

சிதறல் பண்புகள்$D\இடது(X\வலது)$:

1. மாறுபாடு எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும், அதாவது. $D\இடது(X\வலது)\ge 0$.
2. மாறிலியின் மாறுபாடு பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது. $D\இடது(சி\வலது)=0$.
3. நிலையான காரணியானது, அது சதுரமாக இருந்தால் சிதறலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம், அதாவது. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு அவற்றின் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் மாறுபாடு அவற்றின் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அதாவது. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

எடுத்துக்காட்டு 6 . $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டை உதாரணம் $2$ இலிருந்து கணக்கிடுவோம்.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\ right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+(1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dts +( (1)\க்கு மேல் (6))\cdot (\இடது(6-3.5\வலது))^2=(35)\மேல் (12))\தோராயமாக 2.92.$$

எடுத்துக்காட்டு 7 . $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு $D\left(X\right)=2$ க்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. $4X+1$ என்ற சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

மேலே உள்ள பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ இடது(X\வலது)=16\cdot 2=32$.

எடுத்துக்காட்டு 8 . $X$ என்ற சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு $D\left(X\right)=3$க்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும் $3-2X$.

மேலே உள்ள பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ இடது(X\வலது)=4\cdot 3=12$.

4. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு.

ஒரு விநியோகத் தொடரின் வடிவத்தில் ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியைக் குறிக்கும் முறை மட்டும் அல்ல, மிக முக்கியமாக, இது உலகளாவியது அல்ல, ஏனெனில் விநியோகத் தொடரைப் பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியைக் குறிப்பிட முடியாது. ஒரு சீரற்ற மாறியை பிரதிநிதித்துவப்படுத்த மற்றொரு வழி உள்ளது - விநியோக செயல்பாடு.

விநியோக செயல்பாடுசீரற்ற மாறி $X$ ஒரு செயல்பாடு $F\left(x\right)$ என அழைக்கப்படுகிறது, இது சீரற்ற மாறி $X$ சில நிலையான மதிப்பு $x$ ஐ விட குறைவான மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது, அதாவது $F\ இடது(x\வலது)=P\left(X< x\right)$

விநியோக செயல்பாட்டின் பண்புகள்:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. சீரற்ற மாறி $X$ ஆனது $\left (\alpha ;\ \beta \right)$ இடைவெளியில் இருந்து மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவு இதன் முனைகளில் உள்ள விநியோகச் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமம். இடைவெளி: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\இடது(x\வலது)$ - குறையாதது.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

எடுத்துக்காட்டு 9 . $F\left(x\right)$ என்ற பகிர்ந்தளிப்புச் செயல்பாட்டின் தனித்தன்மையான ரேண்டம் மாறி $X$ எடுத்துக்காட்டாக $2$ இன் விநியோக விதியைக் கண்டறியலாம்.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(வரிசை)$

$x\le 1$ எனில், வெளிப்படையாக, $F\left(x\right)=0$ ($x=1$க்கு $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

$1 என்றால்< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

$2 என்றால்< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

$3 என்றால்< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

$4 என்றால்< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

$5 என்றால்< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

$x > 6$ எனில், $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

எனவே $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, மணிக்கு\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, மணிக்கு\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(மேட்ரிக்ஸ்)\வலது.$

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் பயன்பாடுகளில், பரிசோதனையின் அளவு பண்புகள் முதன்மை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை. அளவுரீதியாக தீர்மானிக்கக்கூடிய அளவு மற்றும் ஒரு பரிசோதனையின் விளைவாக, வழக்கைப் பொறுத்து வெவ்வேறு மதிப்புகளைப் பெற முடியும் சீரற்ற மாறி.

சீரற்ற மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. ஒரு டையின் பத்து வீசுதல்களில் எத்தனை முறை இரட்டை எண் புள்ளிகள் தோன்றும்.

2. தொடர்ச்சியான ஷாட்களை சுடும் ஒரு துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கை தாக்கும் எண்ணிக்கை.

3. வெடிக்கும் ஷெல்லின் துண்டுகளின் எண்ணிக்கை.

கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டுகளிலும், சீரற்ற மாறி தனிமைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும், அதாவது, இயற்கையான எண்களைப் பயன்படுத்தி எண்ணக்கூடிய மதிப்புகள்.

அத்தகைய சீரற்ற மாறி, அதன் சாத்தியமான மதிப்புகள் தனிப்பட்ட தனிமைப்படுத்தப்பட்ட எண்கள், இந்த மாறி சில நிகழ்தகவுகளுடன் எடுக்கும், அழைக்கப்படுகிறது தனித்தனி.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்றதாக இருக்கலாம் (கணக்கிடக்கூடியது).

விநியோக சட்டம்தனித்த சீரற்ற மாறி என்பது அதன் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளின் பட்டியல். ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை அட்டவணை வடிவில் (நிகழ்தகவு விநியோகத் தொடர்), பகுப்பாய்வு ரீதியாகவும் வரைபட ரீதியாகவும் (நிகழ்தகவு விநியோகம் பலகோணம்) குறிப்பிடலாம்.

ஒரு பரிசோதனையை மேற்கொள்ளும்போது, ​​"சராசரியாக" ஆய்வு செய்யப்படும் மதிப்பை மதிப்பிடுவது அவசியமாகிறது. ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பின் பங்கு, எண் பண்பு எனப்படும் கணித எதிர்பார்ப்பு,இது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

எங்கே எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 ,.. , எக்ஸ் n- சீரற்ற மாறி மதிப்புகள் எக்ஸ், ஏ ப 1 ,ப 2 , ... , ப n- இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் (கவனிக்கவும் ப 1 + ப 2 +…+ ப n = 1).

உதாரணமாக. படப்பிடிப்பு இலக்கில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது (படம் 11).

I இல் ஒரு வெற்றி மூன்று புள்ளிகளைக் கொடுக்கும், II இல் - இரண்டு புள்ளிகள், III இல் - ஒரு புள்ளி. ஒரு ஷூட்டர் ஒரு ஷாட்டில் அடித்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை படிவத்தின் விநியோக விதியைக் கொண்டுள்ளது

ஷூட்டர்களின் திறமையை ஒப்பிட்டுப் பார்க்க, அடித்த புள்ளிகளின் சராசரி மதிப்புகளை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால் போதும், அதாவது. கணித எதிர்பார்ப்புகள் எம்(எக்ஸ்) மற்றும் எம்(ஒய்):

எம்(எக்ஸ்) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

எம்(ஒய்) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரர் சராசரியாக சற்று அதிக எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைக் கொடுக்கிறார், அதாவது. மீண்டும் மீண்டும் சுடும்போது அது சிறந்த பலனைத் தரும்.

கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகளை நாம் கவனிக்கலாம்:

1. ஒரு நிலையான மதிப்பின் கணித எதிர்பார்ப்பு மாறிலிக்கு சமம்:

எம்(சி) = சி.

2. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு, சொற்களின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

எம் =(எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 +…+ எக்ஸ் n)= எம்(எக்ஸ் 1)+ எம்(எக்ஸ் 2)+…+ எம்(எக்ஸ் n).

3. பரஸ்பர சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் உற்பத்தியின் கணித எதிர்பார்ப்பு, காரணிகளின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் உற்பத்திக்கு சமம்

எம்(எக்ஸ் 1 எக்ஸ் 2 … எக்ஸ் n) = எம்(எக்ஸ் 1)எம்(எக்ஸ் 2)… எம்(எக்ஸ் n).

4. பைனோமியல் விநியோகத்தின் கணித மறுப்பு சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒரு சோதனையில் நிகழும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம் (பணி 4.6).

எம்(எக்ஸ்) = pr.

ஒரு சீரற்ற மாறி "சராசரியாக" அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து எவ்வாறு விலகுகிறது என்பதை மதிப்பிடுவதற்கு, அதாவது. நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் பரவலை வகைப்படுத்த, சிதறல் கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மாறுபாடுசீரற்ற மாறி எக்ஸ்சதுர விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது:

டி(எக்ஸ்) = எம்[(எக்ஸ் - எம்(எக்ஸ்)) 2 ].

சிதறல் என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் சிதறலின் ஒரு எண் பண்பு ஆகும். ஒரு சீரற்ற மாறியின் சிதறல் சிறியது, அதன் சாத்தியமான மதிப்புகள் கணித எதிர்பார்ப்பைச் சுற்றி அமைந்துள்ளன, அதாவது சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகள் அதன் கணித எதிர்பார்ப்புகளால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பது வரையறையிலிருந்து தெளிவாகிறது. .

வரையறையில் இருந்து மாறுபாட்டை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

.

மற்றொரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவது வசதியானது:

டி(எக்ஸ்) = எம்(எக்ஸ் 2) - (எம்(எக்ஸ்)) 2 .

சிதறல் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. மாறிலியின் மாறுபாடு பூஜ்ஜியம்:

டி(சி) = 0.

2. நிலையான காரணியை ஸ்கொயர் செய்வதன் மூலம் சிதறல் அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம்:

டி(CX) = சி 2 டி(எக்ஸ்).

3. சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு, விதிமுறைகளின் மாறுபாட்டின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

டி(எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் 3 +…+ எக்ஸ் n)= டி(எக்ஸ் 1)+ டி(எக்ஸ் 2)+…+ டி(எக்ஸ் n)

4. இருவகைப் பரவலின் மாறுபாடு சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒரு சோதனையில் நிகழ்வின் நிகழ்வு மற்றும் நிகழாத நிகழ்தகவு ஆகியவற்றின் விளைபொருளுக்குச் சமம்:

டி(எக்ஸ்) = npq.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டின் வர்க்க மூலத்திற்கு சமமான ஒரு எண் பண்பு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த எண்ணியல் பண்பு சராசரி சதுர விலகல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது

.

இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் விலகலின் தோராயமான அளவை அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து வகைப்படுத்துகிறது மற்றும் சீரற்ற மாறியின் அதே பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது.

4.1. சுடும் வீரர் இலக்கை நோக்கி மூன்று முறை சுடுகிறார். ஒவ்வொரு ஷாட்டிலும் இலக்கைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.3 ஆகும்.

வெற்றிகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியாகும் எக்ஸ். ஒவ்வொரு மதிப்பு எக்ஸ் n சீரற்ற மாறி எக்ஸ்ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவுக்கு ஒத்திருக்கிறது பி n .

இந்த வழக்கில் தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடலாம் விநியோகத்திற்கு அருகில்.

இந்த பிரச்சனையில் எக்ஸ் 0, 1, 2, 3 மதிப்புகளை எடுக்கிறது. பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின்படி

,

சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஆர் 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

ஆர் 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

ஆர் 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

ஆர் 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் எக்ஸ்அதிகரிக்கும் வரிசையில், விநியோகத் தொடரைப் பெறுகிறோம்:

எக்ஸ் n

தொகை என்பதை கவனத்தில் கொள்ளவும்

சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவைக் குறிக்கிறது எக்ஸ்சாத்தியமானவற்றிலிருந்து குறைந்தபட்சம் ஒரு மதிப்பையாவது எடுக்கும், எனவே இந்த நிகழ்வு நம்பகமானது

.

4.2 .1 முதல் 4 வரையிலான எண்களைக் கொண்ட கலசத்தில் நான்கு பந்துகள் உள்ளன. இரண்டு பந்துகள் வெளியே எடுக்கப்படுகின்றன. சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- பந்து எண்களின் கூட்டுத்தொகை. சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும் எக்ஸ்.

தீர்வு.சீரற்ற மாறி மதிப்புகள் எக்ஸ் 3, 4, 5, 6, 7 ஆகும். அதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். சீரற்ற மாறி மதிப்பு 3 எக்ஸ்தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பந்துகளில் ஒன்றின் எண் 1, மற்றொன்று 2 ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கும் போது மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்ள முடியும். சாத்தியமான சோதனை முடிவுகளின் எண்ணிக்கையானது நான்கு (சாத்தியமான ஜோடி பந்துகளின் எண்ணிக்கை) இரண்டின் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும்.

கிளாசிக்கல் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்

அதேபோல்,

ஆர்(எக்ஸ்= 4) =ஆர்(எக்ஸ்= 6) =ஆர்(எக்ஸ்= 7) = 1/6.

கூட்டுத்தொகை 5 இரண்டு நிகழ்வுகளில் தோன்றும்: 1 + 4 மற்றும் 2 + 3, எனவே

.

எக்ஸ்வடிவம் உள்ளது:

விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்) சீரற்ற மாறி எக்ஸ்மற்றும் அதை சதி. கணக்கிடுங்கள் எக்ஸ்அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு.

தீர்வு. சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை விநியோகச் செயல்பாட்டின் மூலம் குறிப்பிடலாம்

எஃப்(எக்ஸ்) =பி(எக்ஸ் எக்ஸ்).

விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) என்பது குறையாத, இடது-தொடர்ச்சியான செயல்பாடு முழு எண் கோட்டிலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

எஃப் (- )= 0,எஃப் (+ )= 1.

தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு, இந்த செயல்பாடு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

.

எனவே இந்த வழக்கில்

விநியோக செயல்பாடு வரைபடம் எஃப்(எக்ஸ்) என்பது ஒரு படிநிலை வரி (படம் 12)

	எஃப்(எக்ஸ்)

எதிர்பார்த்த மதிப்புஎம்(எக்ஸ்) என்பது மதிப்புகளின் எடையுள்ள எண்கணித சராசரி எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 ,……எக்ஸ் nசீரற்ற மாறி எக்ஸ்செதில்களுடன் ρ 1, ρ 2, …… , ρ n மற்றும் சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ். சூத்திரத்தின் படி

எம்(எக்ஸ்)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

எம்(எக்ஸ்) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72.

சிதறல்ஒரு சீரற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் சிதறலின் அளவை அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து வகைப்படுத்துகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது டி(எக்ஸ்):

டி(எக்ஸ்)=எம்[(எச்.எம்(எக்ஸ்)) 2 ]= எம்(எக்ஸ் 2) –[எம்(எக்ஸ்)] 2 .

தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு, மாறுபாடு வடிவம் கொண்டது

அல்லது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

சிக்கலின் எண் தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எம்(எக்ஸ் 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

டி(எக்ஸ்) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. இரண்டு பகடைகள் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு முறை உருட்டப்படுகின்றன. தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் இருசொற் விதியை எழுதுக எக்ஸ்- இரண்டு பகடைகளில் சமமான மொத்த புள்ளிகளின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை.

தீர்வு. ஒரு சீரற்ற நிகழ்வை அறிமுகப்படுத்துவோம்

ஏ= (ஒரு வீசுதலுடன் இரண்டு பகடைகள் மொத்தம் சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளுக்கு வழிவகுத்தன).

நிகழ்தகவின் கிளாசிக்கல் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்

ஆர்(ஏ)= ,

எங்கே n - சாத்தியமான சோதனை முடிவுகளின் எண்ணிக்கை விதியின் படி கண்டறியப்படுகிறது

பெருக்கல்:

n = 6∙6 =36,

மீ - நிகழ்வுக்கு ஆதரவான நபர்களின் எண்ணிக்கை ஏமுடிவுகள் - சமம்

மீ= 3∙6=18.

எனவே, ஒரு சோதனையில் வெற்றி நிகழ்தகவு

ρ = பி(ஏ)= 1/2.

பெர்னோலி சோதனைத் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கல் தீர்க்கப்படுகிறது. இங்கே ஒரு சவால் இரண்டு பகடைகளை ஒரு முறை உருட்டுவது. அத்தகைய சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n = 2. ரேண்டம் மாறி எக்ஸ்நிகழ்தகவுகளுடன் 0, 1, 2 மதிப்புகளை எடுக்கிறது

ஆர் 2 (0) =,ஆர் 2 (1) =∙,ஆர் 2 (2) =

சீரற்ற மாறியின் தேவையான இருபக்கப் பரவல் எக்ஸ்விநியோகத் தொடராகக் குறிப்பிடலாம்:

எக்ஸ் n
ρ n

4.5 . ஆறு பாகங்கள் கொண்ட ஒரு தொகுதியில் நான்கு நிலையானவை உள்ளன. மூன்று பகுதிகள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன. தனித்த சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவலை உருவாக்கவும் எக்ஸ்- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு.

தீர்வு.சீரற்ற மாறி மதிப்புகள் எக்ஸ்எண்கள் 0,1,2,3. என்பது தெளிவாகிறது ஆர்(எக்ஸ்=0)=0, ஏனெனில் இரண்டு தரமற்ற பகுதிகள் மட்டுமே உள்ளன.

ஆர்(எக்ஸ்=1) =
=1/5,

ஆர்(X= 2) =
= 3/5,

ஆர்(எக்ஸ்=3) =
= 1/5.

சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி எக்ஸ்விநியோகத் தொடரின் வடிவத்தில் அதை வழங்குவோம்:

எக்ஸ் n
ρ n

எதிர்பார்த்த மதிப்பு

எம்(எக்ஸ்)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்பதை நிரூபிக்கவும் எக்ஸ்- நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஏவி nசுயாதீன சோதனைகள், ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சமமாக இருக்கும் ρ - ஒரு சோதனையில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மூலம் சோதனைகளின் எண்ணிக்கையின் பெருக்கத்திற்கு சமம்

எம்(எக்ஸ்) =n . ρ ,

மற்றும் சிதறல்

டி(எக்ஸ்) =என்.பி. .

தீர்வு.சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ் 0, 1, 2..., மதிப்புகளை எடுக்கலாம் n. நிகழ்தகவு ஆர்(எக்ஸ்= k) பெர்னௌலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்பட்டது:

ஆர்(எக்ஸ்=k)= ஆர் n(k)= ρ செய்ய (1-ρ ) n-செய்ய

சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடர் எக்ஸ்வடிவம் உள்ளது:

எக்ஸ் n
ρ n	கே n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

எங்கே கே= 1- ρ .

கணித எதிர்பார்ப்புக்கு நாம் வெளிப்பாடு உள்ளது:

எம்(எக்ஸ்)=ρq n - 1 +2 ρ 2 கே n - 2 +…+.n ρ n

ஒரு சோதனை விஷயத்தில், அதாவது, உடன் n=சீரற்ற மாறிக்கு 1 எக்ஸ் 1 - நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஏ- விநியோகத் தொடரில் வடிவம் உள்ளது:

எக்ஸ் n
ρ n

எம்(எக்ஸ் 1)= 0∙ கே + 1 ∙ ப = ப

டி(எக்ஸ் 1) = ப – ப 2 = ப(1- ப) = pq.

என்றால் எக்ஸ்கே - நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஏஎந்த சோதனையில், பின்னர் ஆர்(எக்ஸ் செய்ய)= ρ மற்றும்

X=X 1 +எக்ஸ் 2 +….+X n .

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்

எம்(எக்ஸ்)=எம்(எக்ஸ் 1 )+எம்(எக்ஸ் 2)+ … +எம்(எக்ஸ் n)= nρ,

டி(எக்ஸ்)=D(எக்ஸ் 1)+D(எக்ஸ் 2)+ ... +D(எக்ஸ் n)=npq.

4.7. தரக்கட்டுப்பாட்டு துறையானது தயாரிப்புகளின் தரத்தை சரிபார்க்கிறது. தயாரிப்பு தரமானதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.9 ஆகும். ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் 5 தயாரிப்புகள் உள்ளன. தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்- தொகுதிகளின் எண்ணிக்கை, ஒவ்வொன்றும் 4 நிலையான தயாரிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் - 50 தொகுதிகள் ஆய்வுக்கு உட்பட்டிருந்தால்.

தீர்வு. தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் 4 நிலையான தயாரிப்புகள் இருக்கும் நிகழ்தகவு நிலையானது; அதைக் குறிப்போம் ρ .பின்னர் ரேண்டம் மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு எக்ஸ்சமம் எம்(எக்ஸ்)= 50∙ρ.

நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிப்போம் ρ பெர்னோலியின் சூத்திரத்தின்படி:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

எம்(எக்ஸ்)= 50∙0,32=16.

4.8 . மூன்று பகடைகள் வீசப்படுகின்றன. கைவிடப்பட்ட புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.சீரற்ற மாறியின் பரவலை நீங்கள் காணலாம் எக்ஸ்- கைவிடப்பட்ட புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு. இருப்பினும், இந்த பாதை மிகவும் சிக்கலானது. சீரற்ற மாறியைக் குறிக்கும் மற்றொரு நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவது எளிது எக்ஸ், கணித எதிர்பார்ப்பு கணக்கிடப்பட வேண்டும், பல எளிய சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை வடிவத்தில், கணித எதிர்பார்ப்பு கணக்கிட எளிதானது. சீரற்ற மாறி என்றால் எக்ஸ் நான்சுருட்டப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை நான்- வது எலும்புகள் ( நான்= 1, 2, 3), பின்னர் புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை எக்ஸ்வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படும்

எக்ஸ் = எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் 3 .

அசல் சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கணக்கிட, எஞ்சியிருப்பது கணித எதிர்பார்ப்பின் சொத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

எம்(எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் 3 )= எம்(எக்ஸ் 1 )+ எம்(எக்ஸ் 2)+ எம்(எக்ஸ் 3 ).

என்பது வெளிப்படையானது

ஆர்(எக்ஸ் நான் = கே)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, நான்= 1, 2, 3.

எனவே, சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு எக்ஸ் நான்போல் தெரிகிறது

எம்(எக்ஸ் நான்) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

எம்(எக்ஸ்) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. சோதனையின் போது தோல்வியுற்ற சாதனங்களின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பைத் தீர்மானிக்கவும்:

அ) எல்லா சாதனங்களுக்கும் தோல்வியின் நிகழ்தகவு ஒன்றுதான் ஆர், மற்றும் சோதனையின் கீழ் உள்ள சாதனங்களின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும் n;

b) தோல்விக்கான நிகழ்தகவு நான் – சாதனம் சமம் ப நான் , நான்= 1, 2, … , n.

தீர்வு.சீரற்ற மாறியை விடுங்கள் எக்ஸ்தோல்வியடைந்த சாதனங்களின் எண்ணிக்கை

எக்ஸ் = எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 +… + X n ,

எக்ஸ் நான் =

என்பது தெளிவாகிறது

ஆர்(எக்ஸ் நான் = 1)= ஆர் நான் , ஆர்(எக்ஸ் நான் = 0)= 1– ஆர் நான் ,i= 1, 2, … ,n

எம்(எக்ஸ் நான்)= 1∙ஆர் நான் + 0∙(1-ஆர் நான்)=பி நான் ,

எம்(எக்ஸ்)=எம்(எக்ஸ் 1)+எம்(எக்ஸ் 2)+… +எம்(எக்ஸ் n)=பி 1 +P 2 +… + பி n .

"a" வழக்கில் சாதனம் தோல்வியின் நிகழ்தகவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதாவது

ஆர் நான் =ப,i= 1, 2, … ,n.

எம்(எக்ஸ்)= என்.பி..

சீரற்ற மாறி என்பதை நாம் கவனித்தால் இந்த பதிலை உடனடியாகப் பெறலாம் எக்ஸ்அளவுருக்கள் கொண்ட இருபக்க விநியோகம் உள்ளது ( n, ப).

4.10. இரண்டு பகடைகள் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு முறை வீசப்படுகின்றன. தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் இருசொல் விதியை எழுதவும் எக்ஸ் -இரண்டு பகடைகளில் இரட்டை எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளின் ரோல்களின் எண்ணிக்கை.

தீர்வு. விடுங்கள்

ஏ=(முதல் டையில் இரட்டை எண்ணை உருட்டுதல்),

பி =(இரண்டாவது பகடையில் இரட்டை எண்ணை உருட்டுதல்).

ஒரே எறிதலில் இரண்டு பகடைகளிலும் இரட்டை எண்ணைப் பெறுவது தயாரிப்பு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது ஏபி.பிறகு

ஆர் (ஏபி) = ஆர்(ஏ)∙ஆர்(IN) =
.

இரண்டு பகடைகளின் இரண்டாவது எறிதலின் முடிவு முதல் பகடையை சார்ந்து இருக்காது, எனவே பெர்னோலியின் சூத்திரம் எப்போது பொருந்தும்

n = 2,ப = 1/4, கே = 1– ப = 3/4.

சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ் 0, 1, 2 மதிப்புகளை எடுக்கலாம் , பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவைக் கண்டறியலாம்:

ஆர்(X= 0)= பி 2 (0) = கே 2 = 9/16,

ஆர்(X= 1)= பி 2 (1)= சி ,ஆர்∙கே = 6/16,

ஆர்(X= 2)= பி 2 (2)= சி , ஆர் 2 = 1/16.

சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடர் எக்ஸ்:

4.11. காலப்போக்கில் ஒவ்வொரு உறுப்பும் தோல்வியடையும் அதே மிகச் சிறிய நிகழ்தகவுடன், சாதனம் அதிக எண்ணிக்கையிலான சுயாதீனமாக இயங்கும் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. டி. காலப்போக்கில் மறுப்புகளின் சராசரி எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும் டிஉறுப்புகள், இந்த நேரத்தில் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு தோல்வியடையும் நிகழ்தகவு 0.98 ஆக இருந்தால்.

தீர்வு. காலப்போக்கில் மறுத்தவர்களின் எண்ணிக்கை டிஉறுப்புகள் - சீரற்ற மாறி எக்ஸ், இது பாய்சனின் விதியின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, தனிமங்களின் எண்ணிக்கை பெரியதாக இருப்பதால், தனிமங்கள் சுயாதீனமாக செயல்படுகின்றன மற்றும் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு சிறியது. ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் சராசரி எண்ணிக்கை nசோதனைகள் சமம்

எம்(எக்ஸ்) = என்.பி..

தோல்வி நிகழ்தகவு என்பதால் TOஇருந்து கூறுகள் nசூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

ஆர் n (TO)
,

எங்கே  = என்.பி., அந்த நேரத்தில் ஒரு உறுப்பு கூட தோல்வியடையாத நிகழ்தகவு டி நாங்கள் பெறுகிறோம் கே = 0:

ஆர் n (0)= இ -  .

எனவே, எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு நேரத்தில் உள்ளது டி குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு தோல்வியடைகிறது - 1 க்கு சமம் - இ -  சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, இந்த நிகழ்தகவு 0.98 ஆகும். Eq இலிருந்து

1 - இ -  = 0,98,

இ -  = 1 – 0,98 = 0,02,

இங்கிருந்து  = -எல்என் 0,02  4.

எனவே, நேரத்தில் டிசாதனத்தின் செயல்பாடு, சராசரியாக 4 கூறுகள் தோல்வியடையும்.

4.12 . ஒரு "இரண்டு" வரும் வரை பகடைகள் உருட்டப்படுகின்றன. வீசுதல்களின் சராசரி எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. ஒரு சீரற்ற மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம் எக்ஸ்- எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள நிகழ்வு ஏற்படும் வரை செய்ய வேண்டிய சோதனைகளின் எண்ணிக்கை. நிகழ்தகவு எக்ஸ்= 1 என்பது ஒரு பகடை வீசும் போது "இரண்டு" தோன்றும் நிகழ்தகவுக்கு சமம், அதாவது.

ஆர்(X= 1) = 1/6.

நிகழ்வு எக்ஸ்= 2 என்பது முதல் சோதனையில் "இரண்டு" வரவில்லை, ஆனால் இரண்டாவது அது வந்தது. நிகழ்வின் நிகழ்தகவு எக்ஸ்= 2 என்பது சுயாதீன நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைப் பெருக்கும் விதியின் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது:

ஆர்(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

அதேபோல்,

ஆர்(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, ஆர்(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

முதலியன நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் வரிசையைப் பெறுகிறோம்:

					(5/6) செய்ய ∙1/6

எறிதல்களின் சராசரி எண்ணிக்கை (சோதனைகள்) என்பது கணித எதிர்பார்ப்பு

எம்(எக்ஸ்) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)

தொடரின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம்:

TOg TO -1 = (g TO) g 
.

எனவே,

எம்(எக்ஸ்) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

எனவே, "இரண்டு" வரும் வரை நீங்கள் சராசரியாக 6 பகடைகளை வீச வேண்டும்.

4.13. நிகழ்வின் அதே நிகழ்தகவுடன் சுயாதீன சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன ஏஒவ்வொரு சோதனையிலும். நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் ஏ, மூன்று சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் மாறுபாடு 0.63 ஆக இருந்தால் .

தீர்வு.மூன்று சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஒரு சீரற்ற மாறியாகும் எக்ஸ், பினாமி சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் மாறுபாடு (ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு நிகழும் அதே நிகழ்தகவுடன்) நிகழ்வின் நிகழ்வு மற்றும் நிகழாத நிகழ்தகவுகளால் சோதனைகளின் எண்ணிக்கையின் உற்பத்திக்கு சமம். (சிக்கல் 4.6)

டி(எக்ஸ்) = npq.

நிபந்தனையின்படி n = 3, டி(எக்ஸ்) = 0.63, எனவே உங்களால் முடியும் ஆர்சமன்பாட்டிலிருந்து கண்டுபிடிக்கவும்

0,63 = 3∙ஆர்(1-ஆர்),

இதில் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன ஆர் 1 = 0.7 மற்றும் ஆர் 2 = 0,3.

தனித்தனி சில நிகழ்தகவுகளுடன் தனிப்பட்ட, தனிமைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளை எடுக்கக்கூடிய ஒரு சீரற்ற மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் மூன்று காயின் டாஸ்களில் எத்தனை முறை தோன்றும். சாத்தியமான மதிப்புகள்: 0, 1, 2, 3, அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் முறையே சமம்:

பி(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

எடுத்துக்காட்டு 2.ஐந்து கூறுகளைக் கொண்ட சாதனத்தில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை. சாத்தியமான மதிப்புகள்: 0, 1, 2, 3, 4, 5; அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் நம்பகத்தன்மையைப் பொறுத்தது.

தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்விநியோகத் தொடர் அல்லது விநியோகச் செயல்பாடு (ஒருங்கிணைந்த விநியோகச் சட்டம்) மூலம் வழங்கப்படலாம்.

விநியோகத்திற்கு அருகில் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும் எக்ஸ்நான்மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் ஆர்நான் = பி(X = xநான்), அதை ஒரு அட்டவணையாக குறிப்பிடலாம்:

x i				x n
p i				р n

அதே நேரத்தில், நிகழ்தகவுகள் ஆர்நான்நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்தவும்

ஆர்நான்= 1 ஏனெனில்

சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எங்கே nவரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்றதாக இருக்கலாம்.

விநியோகத் தொடரின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவம் விநியோக பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது . அதை உருவாக்க, சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் ( எக்ஸ்நான்) x-அச்சு, மற்றும் நிகழ்தகவுகள் ஆகியவற்றுடன் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது ஆர்நான்- ஆர்டினேட் அச்சில்; புள்ளிகள் ஏநான்ஒருங்கிணைப்புகளுடன் ( எக்ஸ்நான், рநான்) உடைந்த கோடுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

விநியோக செயல்பாடு சீரற்ற மாறி எக்ஸ்செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது எஃப்(எக்ஸ்), புள்ளியில் யாருடைய மதிப்பு எக்ஸ்சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவுக்கு சமம் எக்ஸ்இந்த மதிப்பை விட குறைவாக இருக்கும் எக்ஸ், அது

F(x) = P(X< х).

செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) க்கு தனித்த சீரற்ற மாறிசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

எஃப்(எக்ஸ்) = ஆர்நான் , (1.10.1)

அனைத்து மதிப்புகளின் மீதும் கூட்டுத்தொகை மேற்கொள்ளப்படுகிறது நான், எதற்காக எக்ஸ்நான்< х.

எடுத்துக்காட்டு 3. 100 தயாரிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பிலிருந்து, 10 குறைபாடுகள் உள்ளன, அவற்றின் தரத்தைச் சரிபார்க்க ஐந்து தயாரிப்புகள் தோராயமாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. சீரற்ற எண்ணின் தொடர் விநியோகங்களை உருவாக்கவும் எக்ஸ்மாதிரியில் உள்ள குறைபாடுள்ள பொருட்கள்.

தீர்வு. மாதிரியில் குறைபாடுள்ள தயாரிப்புகளின் எண்ணிக்கை 0 முதல் 5 வரையிலான எந்த முழு எண்ணாகவும் இருக்கலாம், பின்னர் சாத்தியமான மதிப்புகள் எக்ஸ்நான்சீரற்ற மாறி எக்ஸ்சமம்:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

நிகழ்தகவு ஆர்(எக்ஸ் = கே) அந்த மாதிரி சரியாக உள்ளது கே(கே = 0, 1, 2, 3, 4, 5) குறைபாடுள்ள பொருட்கள், சமம்

பி (எக்ஸ் = கே) = .

0.001 துல்லியத்துடன் இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளின் விளைவாக, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஆர் 1 = பி(X = 0) @ 0,583;ஆர் 2 = பி(X = 1) @ 0,340;ஆர் 3 = பி(X = 2) @ 0,070;

ஆர் 4 = பி(X = 3) @ 0,007;ஆர் 5 = பி(எக்ஸ்= 4) @ 0;ஆர் 6 = பி(X = 5) @ 0.

சரிபார்க்க சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்துதல் ஆர்கே=1, கணக்கீடுகள் மற்றும் ரவுண்டிங் சரியாக செய்யப்பட்டன என்பதை உறுதிசெய்கிறோம் (அட்டவணையைப் பார்க்கவும்).

x i
p i

எடுத்துக்காட்டு 4.சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடர் கொடுக்கப்பட்டது எக்ஸ் :

x i
p i

நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்) இந்த சீரற்ற மாறி மற்றும் அதை உருவாக்க.

தீர்வு. என்றால் எக்ஸ்அப்போது £10 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0;

10 என்றால்<எக்ஸ்அப்போது £20 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 ;

20 என்றால்<எக்ஸ்அப்போது £30 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

30 என்றால்<எக்ஸ்அப்போது £40 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

40 என்றால்<எக்ஸ்அப்போது £50 எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

என்றால் எக்ஸ்> 50, பின்னர் எஃப்(எக்ஸ்)= பி(எக்ஸ்<எக்ஸ்) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.