Sa araling ito, malalaman natin kung paano i-decompose ang mga square trinomal sa mga linear na salik. Para dito, kinakailangan na alalahanin ang teorama ni Vieta at ang kabaligtaran nito. Ang kasanayang ito ay makakatulong sa amin na mabilis at maginhawang mabulok ang mga square trinomal sa mga linear na kadahilanan, at pasimplehin din ang pagbabawas ng mga fraction na binubuo ng mga expression.
Kaya bumalik sa quadratic equation , kung saan .
Ang mayroon tayo sa kaliwang bahagi ay tinatawag na square trinomial.
Ang teorama ay totoo: Kung ang mga ugat ng isang square trinomial, kung gayon ang pagkakakilanlan ay totoo
Nasaan ang nangungunang koepisyent, ang mga ugat ng equation.
Kaya, mayroon kaming isang quadratic equation - isang square trinomial, kung saan ang mga ugat ng quadratic equation ay tinatawag ding mga ugat ng quadratic trinomial. Samakatuwid, kung mayroon tayong mga ugat ng isang square trinomial, ang trinomial na ito ay nabubulok sa mga linear na kadahilanan.
Patunay:
Ang patunay ng katotohanang ito ay isinasagawa gamit ang Vieta theorem, na aming isinasaalang-alang sa mga nakaraang aralin.
Tandaan natin kung ano ang sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta:
Kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial kung saan , kung gayon .
Ang teorama na ito ay nagpapahiwatig ng sumusunod na assertion na .
Nakikita namin na, ayon sa Vieta theorem, ibig sabihin, ang pagpapalit ng mga halagang ito sa formula sa itaas, nakukuha namin ang sumusunod na expression
Q.E.D.
Alalahanin na napatunayan namin ang teorama na kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial, kung gayon ang agnas ay wasto.
Ngayon alalahanin natin ang isang halimbawa ng isang quadratic equation, kung saan pinili natin ang mga ugat gamit ang teorem ng Vieta. Mula sa katotohanang ito maaari nating makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay salamat sa napatunayang teorama:
Ngayon suriin natin ang kawastuhan ng katotohanang ito sa pamamagitan lamang ng pagpapalawak ng mga bracket:
Nakikita namin na kami ay nag-factor nang tama, at anumang trinomial, kung ito ay may mga ugat, ay maaaring i-factor ayon sa theorem na ito sa mga linear na kadahilanan ayon sa formula
Gayunpaman, suriin natin kung posible ang naturang factorization para sa anumang equation:
Kunin natin ang equation bilang halimbawa. Una, suriin natin ang senyales ng discriminant
At naaalala natin na upang matupad ang teorama na ating natutunan, ang D ay dapat na higit sa 0, kaya sa kasong ito Ang factorization ng pinag-aralan na teorama ay imposible.
Samakatuwid, bumubuo kami ng isang bagong teorama: kung ang isang square trinomial ay walang mga ugat, kung gayon hindi ito mabulok sa mga linear na kadahilanan.
Kaya, isinasaalang-alang namin ang Vieta theorem, ang posibilidad na mabulok ang isang square trinomial sa mga linear na kadahilanan, at ngayon ay malulutas namin ang ilang mga problema.
Gawain 1
Sa grupong ito, talagang malulutas natin ang problema na kabaliktaran sa ipinupunta. Nagkaroon kami ng equation, at nakita namin ang mga ugat nito, nabubulok sa mga salik. Dito gagawin natin ang kabaligtaran. Sabihin nating mayroon tayong mga ugat ng isang quadratic equation
Ang kabaligtaran na problema ay ito: sumulat ng isang quadratic equation nang sa gayon ay ang mga ugat nito.
Mayroong 2 paraan upang malutas ang problemang ito.
Dahil ang mga ugat ng equation, kung gayon 
ay isang quadratic equation na ang mga ugat ay binibigyan ng mga numero. Ngayon buksan natin ang mga bracket at suriin:
Ito ang unang paraan na gumawa kami ng quadratic equation na may ibinigay na mga ugat na walang iba pang mga ugat, dahil ang anumang quadratic equation ay may hindi hihigit sa dalawang ugat.
Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng paggamit ng inverse Vieta theorem.
Kung ang mga ugat ng equation, kung gayon natutugunan nila ang kundisyon na .
Para sa pinababang quadratic equation 
, , ibig sabihin, sa kasong ito, at .
Kaya, nakagawa kami ng isang quadratic equation na may ibinigay na mga ugat.
Gawain #2
Kailangan mong bawasan ang fraction.
Mayroon kaming trinomial sa numerator at trinomial sa denominator, at ang mga trinomial ay maaaring maging factorized o hindi. Kung ang numerator at denominator ay pinagsama-sama, kung gayon sa kanila ay maaaring may pantay na mga kadahilanan na maaaring mabawasan.
Una sa lahat, kinakailangang i-factor ang numerator.
Una, kailangan mong suriin kung ang equation na ito ay maisasaliksik, hanapin ang discriminant . Dahil , kung gayon ang tanda ay nakasalalay sa produkto ( dapat na mas mababa sa 0), sa halimbawang ito , ibig sabihin, ang ibinigay na equation ay may mga ugat.
Upang malutas, ginagamit namin ang Vieta theorem:
Sa kasong ito, dahil pinag-uusapan natin ang mga ugat, medyo mahirap kunin ang mga ugat. Ngunit nakikita natin na ang mga coefficient ay balanse, ibig sabihin, kung ipagpalagay natin na , at palitan ang halagang ito sa equation, kung gayon ang sumusunod na sistema ay nakuha: i.e. 5-5=0. Kaya, napili namin ang isa sa mga ugat ng quadratic equation na ito.
Hahanapin natin ang pangalawang ugat sa pamamagitan ng pagpapalit ng nalalaman na sa sistema ng mga equation, halimbawa, , i.e. .
Kaya, natagpuan namin ang parehong mga ugat ng quadratic equation at maaaring palitan ang kanilang mga halaga sa orihinal na equation upang i-factor ito:
Alalahanin ang orihinal na problema, kailangan naming bawasan ang fraction.
Subukan nating lutasin ang problema sa pamamagitan ng pagpapalit sa halip ng numerator .
Kinakailangan na huwag kalimutan na sa kasong ito ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng 0, ibig sabihin,.
Kung matutugunan ang mga kundisyong ito, binawasan namin ang orihinal na fraction sa anyo .
Gawain #3 (gawain na may parameter)
Sa anong mga halaga ng parameter ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation
Kung ang mga ugat ng equation na ito ay umiiral, kung gayon 
, ang tanong ay kailan .
Ang factorization ng square trinomals ay isa sa mga takdang-aralin sa paaralan na kinahaharap ng lahat maaga o huli. Paano ito gagawin? Ano ang formula para sa factoring ng square trinomial? Sagutan natin ito nang sunud-sunod na may mga halimbawa.
Pangkalahatang pormula
Ang factorization ng square trinomals ay isinasagawa sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation. Ito ay isang simpleng gawain na maaaring malutas sa pamamagitan ng ilang mga pamamaraan - sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant, gamit ang Vieta theorem, mayroon ding isang graphical na paraan upang malutas ito. Ang unang dalawang pamamaraan ay pinag-aralan sa mataas na paaralan.
Ang pangkalahatang formula ay ganito ang hitsura:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algoritmo ng pagpapatupad ng gawain
Upang ma-factorize ang square trinomals, kailangan mong malaman ang Wit's theorem, magkaroon ng isang programa para sa paglutas sa kamay, magagawang makahanap ng solusyon sa graphic na paraan o hanapin ang mga ugat ng isang equation ng pangalawang degree sa pamamagitan ng discriminant formula. Kung ang isang parisukat na trinomial ay ibinigay at dapat itong i-factor, ang algorithm ng mga aksyon ay ang mga sumusunod:
1) Equate ang orihinal na expression sa zero upang makuha ang equation.
2) Magbigay ng mga katulad na termino (kung kinakailangan).
3) Hanapin ang mga ugat sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan. Ang graphical na paraan ay pinakamahusay na ginagamit kung ito ay kilala nang maaga na ang mga ugat ay integer at maliliit na numero. Dapat tandaan na ang bilang ng mga ugat ay katumbas ng pinakamataas na antas ng equation, iyon ay, ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
4) Kapalit na halaga X sa pagpapahayag (1).
5) Isulat ang factorization ng square trinomals.
Mga halimbawa
Binibigyang-daan ka ng pagsasanay na maunawaan sa wakas kung paano ginagawa ang gawaing ito. Ang mga halimbawa ay naglalarawan ng factorization ng isang square trinomial:
kailangan mong palawakin ang expression:
Gamitin natin ang ating algorithm:
1) x 2 -17x+32=0
2) ang mga katulad na termino ay nabawasan
3) ayon sa pormula ng Vieta, mahirap hanapin ang mga ugat para sa halimbawang ito, kaya mas mainam na gamitin ang expression para sa discriminant:
D=289-128=161=(12.69) 2
4) Palitan ang mga ugat na nakita namin sa pangunahing pormula para sa pagpapalawak:
(x-2.155) * (x-14.845)
5) Kung gayon ang sagot ay:
x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)
Suriin natin kung ang mga solusyon na natagpuan ng discriminant ay tumutugma sa mga formula ng Vieta:
14,845 . 2,155=32
Para sa mga ugat na ito, ang teorama ng Vieta ay inilapat, sila ay natagpuan nang tama, na nangangahulugan na ang factorization na nakuha namin ay tama din.
Katulad nito, pinalawak namin ang 12x 2 + 7x-6.
x 1 \u003d -7 + (337) 1/2
x 2 \u003d -7- (337) 1/2
Sa nakaraang kaso, ang mga solusyon ay hindi integer, ngunit tunay na mga numero, na madaling mahanap gamit ang isang calculator sa harap mo. Ngayon isaalang-alang ang isang mas kumplikadong halimbawa kung saan ang mga ugat ay kumplikado: factorize x 2 + 4x + 9. Ayon sa formula ng Vieta, ang mga ugat ay hindi mahanap, at ang discriminant ay negatibo. Ang mga ugat ay nasa kumplikadong eroplano.
D=-20
Batay dito, nakukuha namin ang mga ugat na interesado kami sa -4 + 2i * 5 1/2 at -4-2i * 5 1/2 dahil (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Nakukuha namin ang nais na pagpapalawak sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ugat sa pangkalahatang formula.
Isa pang halimbawa: kailangan mong i-factor ang expression na 23x 2 -14x + 7.
Mayroon kaming equation 23x 2 -14x+7 =0
D=-448
Kaya ang mga ugat ay 14+21,166i at 14-21,166i. Ang magiging sagot ay:
23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).
Magbigay tayo ng isang halimbawa na maaaring malutas nang walang tulong ng discriminant.
Hayaang kailanganin na mabulok ang quadratic equation x 2 -32x + 255. Malinaw, maaari rin itong lutasin ng discriminant, ngunit mas mabilis sa kasong ito upang mahanap ang mga ugat.
x 1 =15
x2=17
ibig sabihin x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).
Online na calculator.
Pagpili ng square ng binomial at factorization ng square trinomial.
Ang math program na ito kinukuha ang parisukat ng binomial mula sa parisukat na trinomyal, ibig sabihin. gumagawa ng pagbabago ng anyo: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) at pinapangkat ang square trinomial: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Yung. ang mga problema ay nabawasan sa paghahanap ng mga numero \(p, q \) at \(n, m \)
Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon.
Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.
Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.
Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square trinomial, inirerekumenda namin na pamilyar ka sa mga ito.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.
Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)
Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nag-solve, ang ipinakilala na expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Halimbawa ng Detalyadong Solusyon
Pagpili ng parisukat ng binomial.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Factorization.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kaliwa(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \kanan) = $$ $$ 2 \kaliwa(x -1 \kanan) \kaliwa(x +2 \kanan) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Dapat paganahin ang JavaScript para lumabas ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...
kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.
Ang aming mga laro, puzzle, emulator:
Medyo teorya.
Pagkuha ng square binomial mula sa square trinomial
Kung ang parisukat na trinomial ax 2 + bx + c ay kinakatawan bilang isang (x + p) 2 + q, kung saan ang p at q ay mga tunay na numero, kung gayon sinasabi nila na mula sa square trinomial, ang parisukat ng binomial ay naka-highlight.
Kunin natin ang parisukat ng binomial mula sa trinomial 2x 2 +12x+14.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Upang gawin ito, kinakatawan namin ang 6x bilang isang produkto ng 2 * 3 * x, at pagkatapos ay idagdag at ibawas ang 3 2 . Nakukuha namin:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
yun. tayo pinili ang parisukat ng binomial mula sa parisukat na trinomyal, at ipinakita na:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Factorization ng isang square trinomial
Kung ang square trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan bilang a(x+n)(x+m), kung saan ang n at m ay tunay na mga numero, kung gayon ang operasyon ay sinasabing isasagawa mga factorization ng isang square trinomial.
Gumamit tayo ng isang halimbawa upang ipakita kung paano ginagawa ang pagbabagong ito.
I-factorize natin ang square trinomial 2x 2 +4x-6.
Alisin natin ang coefficient a sa mga bracket, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Ibahin natin ang expression sa mga bracket.
Upang gawin ito, kinakatawan namin ang 2x bilang pagkakaiba na 3x-1x, at -3 bilang -1*3. Nakukuha namin:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
yun. tayo factorize ang square trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Tandaan na ang factorization ng isang square trinomial ay posible lamang kapag ang quadratic equation na tumutugma sa trinomial na ito ay may mga ugat.
Yung. sa aming kaso, ang pag-factor ng trinomial 2x 2 +4x-6 ay posible kung ang quadratic equation na 2x 2 +4x-6 =0 ay may mga ugat. Sa proseso ng factoring, nalaman namin na ang equation na 2x 2 +4x-6 =0 ay may dalawang ugat 1 at -3, dahil sa mga halagang ito, ang equation na 2(x-1)(x+3)=0 ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.
Factorization ng isang square trinomial maaaring maging kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay mula sa problema C3 o problema sa parameter C5. Gayundin, maraming B13 word problem ang mas mabilis na malulutas kung alam mo ang theorem ni Vieta.
Ang teorama na ito, siyempre, ay maaaring isaalang-alang mula sa pananaw ng ika-8 baitang, kung saan ito unang naipasa. Ngunit ang aming gawain ay maghanda nang mabuti para sa pagsusulit at matutunan kung paano lutasin ang mga gawain sa pagsusulit nang mahusay hangga't maaari. Samakatuwid, sa araling ito, ang diskarte ay bahagyang naiiba mula sa paaralan.
Ang formula para sa mga ugat ng equation ayon sa teorem ni Vieta alam (o hindi bababa sa nakakita) ng marami:
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
kung saan ang `a, b` at `c` ay ang mga coefficient ng square trinomial `ax^2+bx+c`.
Upang matutunan kung paano madaling gamitin ang theorem, unawain natin kung saan ito nanggaling (ito ay magiging mas madaling matandaan sa ganitong paraan).
Magkaroon tayo ng equation na `ax^2+ bx+ c = 0`. Para sa karagdagang kaginhawahan, hinati namin ito sa `a` at makuha ang `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Ang ganyang equation ay tinatawag na pinababang quadratic equation.
Mahahalagang punto ng aralin: anumang square polynomial na may mga ugat ay maaaring mabulok sa mga bracket. Ipagpalagay na ang atin ay maaaring katawanin bilang `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, kung saan ang `k` at ` l` - ilang mga pare-pareho.
Tingnan natin kung paano nagbubukas ang mga bracket:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Kaya, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.
Ito ay bahagyang naiiba sa klasikal na interpretasyon Mga teorema ni Vieta- dito hinahanap natin ang mga ugat ng equation. Iminumungkahi kong maghanap ng mga termino para sa pagpapalawak ng bracket- kaya hindi mo na kailangang tandaan ang tungkol sa minus mula sa formula (ibig sabihin `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Ito ay sapat na upang pumili ng dalawang tulad na mga numero, ang kabuuan ng kung saan ay katumbas ng average na koepisyent, at ang produkto ay katumbas ng libreng termino.
Kung kailangan natin ng solusyon sa equation, kung gayon ay halata: ang mga ugat `x=-k` o `x=-l` (dahil sa mga kasong ito isa sa mga bracket ay itatakda sa zero, na nangangahulugan na ang buong expression ay magiging katumbas ng zero).
Halimbawa, ipapakita ko ang algorithm, kung paano i-decompose ang isang square polynomial sa mga bracket.
Halimbawa ng isa. Algorithm para sa Factoring ng Square Trinomial
Ang landas na mayroon kami ay ang square trinomial `x^2+5x+4`.
Ito ay nabawasan (ang coefficient ng `x^2` ay katumbas ng isa). Siya ay may mga ugat. (Upang makatiyak, maaari mong tantyahin ang discriminant at tiyaking mas malaki ito sa zero.)
Mga karagdagang hakbang (kailangan nilang matutunan sa pamamagitan ng pagkumpleto ng lahat ng mga gawain sa pagsasanay):
- Gawin ang sumusunod na notasyon: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Mag-iwan ng libreng espasyo sa halip na mga tuldok, magdaragdag kami ng mga naaangkop na numero at palatandaan doon.
- Tingnan lahat posibleng mga pagpipilian, kung paano mo mabulok ang numerong `4` sa produkto ng dalawang numero. Kumuha kami ng mga pares ng "kandidato" para sa mga ugat ng equation: `2, 2` at `1, 4`.
- Tantyahin kung saang pares mo makukuha ang average na koepisyent. Malinaw na ito ay `1, 4`.
- Isulat ang $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Ang susunod na hakbang ay maglagay ng mga karatula sa harap ng mga nakapasok na numero.
Paano mauunawaan at matandaan magpakailanman kung anong mga palatandaan ang dapat nasa harap ng mga numero sa mga bracket? Subukang palawakin ang mga ito (mga bracket). Ang koepisyent bago ang `x` sa unang kapangyarihan ay magiging `(± 4 ± 1)` (hindi pa natin alam ang mga palatandaan - kailangan nating pumili), at dapat itong katumbas ng `5`. Malinaw, magkakaroon ng dalawang plus dito $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Gawin ang operasyong ito nang maraming beses (hello, mga gawain sa pagsasanay!) at hindi na magkakaroon ng higit pang mga problema dito.
Kung kailangan mong lutasin ang equation na `x^2+5x+4`, ngayon ay hindi na mahirap ang solusyon nito. Ang mga ugat nito ay `-4, -1`.
Pangalawang halimbawa. Factorization ng isang square trinomial na may mga coefficient ng iba't ibang mga palatandaan
Kailangan nating lutasin ang equation na `x^2-x-2=0`. Offhand, ang discriminant ay positibo.
Sinusunod namin ang algorithm.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Mayroon lamang isang integer factorization ng 2: `2 · 1`.
- Nilaktawan namin ang punto - walang mapagpipilian.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Ang produkto ng aming mga numero ay negatibo (`-2` ay isang libreng termino), na nangangahulugan na ang isa sa mga ito ay magiging negatibo at ang isa ay positibo.
Dahil ang kanilang kabuuan ay katumbas ng `-1` (coefficient ng `x`), kung gayon ang `2` ay magiging negatibo (intuitive na paliwanag - dalawa ang mas malaki sa dalawang numero, ito ay "huhila" nang higit pa sa negatibong direksyon). Nakukuha namin ang $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$
Pangatlong halimbawa. Factorization ng isang square trinomial
Equation `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Decomposition ng 84 sa integer factor: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
- Dahil kailangan natin ang pagkakaiba (o kabuuan) ng mga numero upang maging 5, gagawin ng pares na `7, 12`.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
pag-asa, pagkabulok ng square trinomial na ito sa mga bracket naiintindihan.
Kung kailangan mo ng solusyon sa equation, narito ito: `12, -7`.
Mga gawain para sa pagsasanay
Narito ang ilang mga halimbawa na madaling gawin ay nalutas gamit ang teorama ni Vieta.(Mga halimbawang kinuha mula sa Mathematics, 2002.)
- `x^2+x-2=0`
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Ilang taon pagkatapos isulat ang artikulo, lumitaw ang isang koleksyon ng 150 mga gawain para sa pagpapalawak ng isang quadratic polynomial gamit ang Vieta theorem.
I-like at magtanong sa mga komento!
8 mga halimbawa ng factorization ng polynomials ay ibinigay. Kasama sa mga ito ang mga halimbawa sa paglutas ng mga quadratic at biquadratic na equation, mga halimbawa na may paulit-ulit na polynomial, at mga halimbawa sa paghahanap ng mga integer na ugat ng ikatlo at ikaapat na degree na polynomial.
1. Mga halimbawa na may solusyon ng isang quadratic equation
Halimbawa 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
Desisyon
Ilabas ang x 2
para sa mga bracket:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Mga ugat ng equation:
, .
.
Sagot
Halimbawa 1.2
Pag-factor ng third-degree polynomial:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Desisyon
Inalis namin ang x sa mga bracket:
.
Lutasin namin ang quadratic equation x 2 + 6 x + 9 = 0:
Ang discriminant nito ay .
Dahil ang discriminant ay katumbas ng zero, ang mga ugat ng equation ay multiple: ;
.
Mula dito nakukuha natin ang agnas ng polynomial sa mga salik:
.
Sagot
Halimbawa 1.3
Pag-factor ng fifth-degree polynomial:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Desisyon
Ilabas ang x 3
para sa mga bracket:
.
Lutasin namin ang quadratic equation x 2 - 2 x + 10 = 0.
Ang discriminant nito ay .
Dahil ang discriminant ay mas mababa sa zero, ang mga ugat ng equation ay kumplikado: ;
, .
Ang factorization ng isang polynomial ay may anyo:
.
Kung kami ay interesado sa factoring na may totoong coefficients, kung gayon:
.
Sagot
Mga halimbawa ng factoring polynomial gamit ang mga formula
Mga halimbawa na may biquadratic polynomial
Halimbawa 2.1
I-factor ang biquadratic polynomial:
x 4 + x 2 - 20.
Desisyon
Ilapat ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Sagot
Halimbawa 2.2
Pag-factor ng isang polynomial na bumababa sa isang biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.
Desisyon
Ilapat ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Sagot
Halimbawa 2.3 na may recursive polynomial
Pag-factor ng recursive polynomial:
.
Desisyon
Ang recursive polynomial ay may kakaibang antas. Samakatuwid ito ay may ugat x = - 1
. Hinahati namin ang polynomial sa x - (-1) = x + 1. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.
Gumagawa kami ng pagpapalit:
, ;
;
;
.
Sagot
Mga Halimbawa ng Factoring Polynomial na may Integer Roots
Halimbawa 3.1
Pag-factor ng isang polynomial:
.
Desisyon
Ipagpalagay na ang equation
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Kaya, natagpuan namin ang tatlong ugat:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Dahil ang orihinal na polynomial ay nasa ikatlong antas, ito ay hindi hihigit sa tatlong ugat. Dahil natagpuan namin ang tatlong ugat, ang mga ito ay simple. Pagkatapos
.
Sagot
Halimbawa 3.2
Pag-factor ng isang polynomial:
.
Desisyon
Ipagpalagay na ang equation
ay may hindi bababa sa isang integer na ugat. Pagkatapos ito ay ang divisor ng numero 2
(isang miyembro na walang x ). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
-2, -1, 1, 2
.
Palitan ang mga halagang ito nang paisa-isa:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Kung ipagpalagay natin na ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng numero 2
(isang miyembro na walang x ). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2
.
Palitan ang x = -1
:
.
Kaya nakahanap kami ng isa pang ugat x 2
= -1
. Posible, tulad ng sa nakaraang kaso, na hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , ngunit papangkatin natin ang mga termino:
.
Dahil ang equation x 2 + 2 = 0 ay walang tunay na mga ugat, kung gayon ang factorization ng polynomial ay may anyo.
