5. Paghahanap sa ibabaw na lugar ng mga katawan ng rebolusyon

Hayaang ang curve AB ay ang graph ng function na y = f(x) ≥ 0, kung saan ang x [a; b], at ang function na y \u003d f (x) at ang derivative nito na y "\u003d f" (x) ay tuloy-tuloy sa segment na ito.

Hanapin natin ang lugar S ng surface na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve AB sa paligid ng Ox axis (Fig. 8).

Inilapat namin ang scheme II (differential method).

Sa pamamagitan ng arbitrary point x [a; b] gumuhit tayo ng isang eroplanong P, patayo sa axis na Ox. Ang eroplanong P ay nag-intersect sa ibabaw ng rebolusyon kasama ang isang bilog na may radius y - f(x). Ang halaga S ng ibabaw ng bahagi ng pigura ng rebolusyon na nakahiga sa kaliwa ng eroplano ay isang function ng x, i.e. s = s(x) (s(a) = 0 at s(b) = S).

Bigyan natin ang argumento x ng pagtaas Δх = dх. Sa pamamagitan ng puntong x + dx [a; b] gumuhit din ng isang eroplanong patayo sa x-axis. Ang function na s = s(x) ay makakatanggap ng pagtaas ng Δs, na ipinapakita sa figure bilang isang "belt".

Hanapin natin ang kaugalian ng lugar na ds, na pinapalitan ang figure na nabuo sa pagitan ng mga seksyon ng isang pinutol na kono, ang generatrix na kung saan ay katumbas ng dl, at ang radii ng mga base ay katumbas ng y at y + dy. Ang lateral surface area nito ay: = 2ydl + dydl.

Ang pagtatapon ng produkto dу d1 bilang isang infinitesimal na mas mataas na order kaysa sa ds, nakukuha namin ang ds = 2уdl, o, dahil d1 = dx.

Ang pagsasama ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa hanay mula sa x = a hanggang x = b, nakuha namin

Kung ang curve AB ay ibinigay ng parametric equation x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, kung gayon ang formula para sa lugar ng ibabaw ng rebolusyon ay magiging

S=2 dt.

Halimbawa: Hanapin ang surface area ng isang globo ng radius R.

S=2 =

6. Paghahanap ng gawain ng isang variable na puwersa

Variable force work

Hayaang gumalaw ang materyal na point M sa kahabaan ng axis ng Ox sa ilalim ng pagkilos ng variable na puwersa F = F(x) na nakadirekta parallel sa axis na ito. Ang gawaing ginawa ng puwersa kapag inilipat ang point M mula sa posisyon x = a sa posisyon x = b (a

Gaano karaming trabaho ang dapat gawin upang iunat ang spring ng 0.05 m kung ang puwersa ng 100 N ay umaabot sa spring ng 0.01 m?

Ayon sa batas ni Hooke, ang nababanat na puwersa na umaabot sa tagsibol ay proporsyonal sa kahabaan na ito x, i.e. F = kx, kung saan ang k ay ang koepisyent ng proporsyonalidad. Ayon sa kondisyon ng problema, ang puwersa F = 100 N ay umaabot sa tagsibol sa pamamagitan ng x = 0.01 m; samakatuwid, 100 = k 0.01, kung saan k = 10000; samakatuwid, F = 10000x.

Ang nais na gawain batay sa pormula

A=

Hanapin ang gawaing dapat gastusin sa pagbomba ng likido sa ibabaw ng gilid mula sa isang patayong cylindrical na tangke na may taas na H m at base radius R m (Fig. 13).

Ang gawaing ginugol sa pagtataas ng katawan ng timbang p sa taas h ay katumbas ng p H. Ngunit ang iba't ibang layer ng likido sa tangke ay nasa iba't ibang lalim at ang taas ng pagtaas (sa gilid ng tangke) ng tangke. ang iba't ibang mga layer ay hindi pareho.

Upang malutas ang problema, inilalapat namin ang scheme II (differential method). Ipinakilala namin ang isang coordinate system.

1) Ang trabahong ginugol sa pagbomba ng isang layer ng likido na may kapal na x (0 ≤ x ≤ H) mula sa tangke ay isang function ng x, i.e. A \u003d A (x), kung saan (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Nahanap namin ang pangunahing bahagi ng pagtaas ng ΔA kapag ang x ay nagbago ng Δx = dx, i.e. nakita namin ang kaugalian dA ng function na A(x).

Dahil sa liit ng dx, ipinapalagay namin na ang "elementarya" na likidong layer ay nasa parehong lalim x (mula sa gilid ng reservoir). Pagkatapos dА = dрх, kung saan ang dр ay ang bigat ng layer na ito; ito ay katumbas ng g AV, kung saan ang g ay ang acceleration ng gravity, ay ang density ng likido, ang dv ay ang dami ng "elementarya" na likidong layer (ito ay naka-highlight sa figure), i.e. dr = g. Ang dami ng likidong layer na ito ay malinaw na katumbas ng , kung saan ang dx ay ang taas ng silindro (layer), ay ang lugar ng base nito, i.e. dv = .

Kaya, dр = . at

3) Ang pagsasama ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa saklaw mula sa x \u003d 0 hanggang x \u003d H, nakita namin

A

8. Pagkalkula ng mga integral gamit ang MathCAD package

Kapag nilulutas ang ilang inilapat na mga problema, kinakailangan na gamitin ang operasyon ng simbolikong pagsasama. Sa kasong ito, ang MathCad program ay maaaring maging kapaki-pakinabang kapwa sa paunang yugto (mabuti na malaman ang sagot nang maaga o malaman na ito ay umiiral) at sa huling yugto (mabuti na suriin ang resulta na nakuha gamit ang sagot mula sa iba pinagmulan o solusyon ng ibang tao).

Kapag nilulutas ang isang malaking bilang ng mga problema, maaari mong mapansin ang ilang mga tampok ng paglutas ng mga problema gamit ang MathCad program. Subukan nating unawain gamit ang ilang mga halimbawa kung paano gumagana ang program na ito, pag-aralan ang mga solusyon na nakuha sa tulong nito at ihambing ang mga solusyon na ito sa mga solusyon na nakuha sa ibang mga paraan.

Ang mga pangunahing problema kapag gumagamit ng MathCad program ay ang mga sumusunod:

a) ang programa ay nagbibigay ng sagot hindi sa anyo ng mga pamilyar na elementarya na pag-andar, ngunit sa anyo ng mga espesyal na pag-andar na malayo sa alam ng lahat;

b) sa ilang mga kaso "tumanggi" na magbigay ng sagot, bagaman ang problema ay may solusyon;

c) kung minsan imposibleng gamitin ang resulta na nakuha dahil sa bulkiness nito;

d) nalulutas ang problema nang hindi kumpleto at hindi sinusuri ang solusyon.

Upang malutas ang mga problemang ito, kinakailangang gamitin ang mga kalakasan at kahinaan ng programa.

Sa tulong nito, madali at simple ang pagkalkula ng mga integral ng fractional rational function. Samakatuwid, inirerekumenda na gamitin ang variable na paraan ng pagpapalit, i.e. ihanda muna ang integral para sa solusyon. Para sa mga layuning ito, maaaring gamitin ang mga pagpapalit na tinalakay sa itaas. Dapat ding tandaan na ang mga resulta na nakuha ay dapat suriin para sa pagkakataon ng mga domain ng kahulugan ng orihinal na function at ang resulta na nakuha. Bilang karagdagan, ang ilan sa mga nakuhang solusyon ay nangangailangan ng karagdagang pananaliksik.

Ang MathCad program ay nagpapalaya sa mag-aaral o mananaliksik mula sa nakagawiang gawain, ngunit hindi ito makakapagpalaya sa kanya mula sa karagdagang pagsusuri kapwa kapag nagtatakda ng problema at kapag nakakuha ng anumang mga resulta.

Sa papel na ito, ang mga pangunahing probisyon na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga aplikasyon ng isang tiyak na integral sa kurso ng matematika ay isinasaalang-alang.

- isang pagsusuri ng teoretikal na batayan para sa paglutas ng mga integral ay isinagawa;

- ang materyal ay sumailalim sa systematization at generalization.

Sa panahon ng gawaing kurso, ang mga halimbawa ng mga praktikal na problema sa larangan ng pisika, geometry, mekanika ay isinasaalang-alang.

Konklusyon

Ang mga halimbawa ng mga praktikal na problema na isinasaalang-alang sa itaas ay nagbibigay sa amin ng isang malinaw na ideya ng kahalagahan ng isang tiyak na integral para sa kanilang kakayahang malutas.

Mahirap pangalanan ang isang pang-agham na lugar kung saan ang mga pamamaraan ng integral calculus, sa pangkalahatan, at ang mga katangian ng isang tiyak na integral, sa partikular, ay hindi ilalapat. Kaya sa proseso ng paggawa ng gawaing pang-kurso, isinasaalang-alang namin ang mga halimbawa ng mga praktikal na problema sa larangan ng pisika, geometry, mechanics, biology at economics. Siyempre, hindi ito isang kumpletong listahan ng mga agham na gumagamit ng integral na paraan upang makahanap ng isang set na halaga kapag nilutas ang isang partikular na problema, at upang magtatag ng mga teoretikal na katotohanan.

Gayundin, ang tiyak na integral ay ginagamit upang pag-aralan ang matematika mismo. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga differential equation, na kung saan ay gumawa ng isang kailangang-kailangan na kontribusyon sa paglutas ng mga praktikal na problema. Masasabi nating ang tiyak na integral ay isang uri ng pundasyon para sa pag-aaral ng matematika. Samakatuwid ang kahalagahan ng pag-alam kung paano lutasin ang mga ito.

Mula sa lahat ng nasa itaas, malinaw kung bakit nangyayari ang kakilala sa isang tiyak na integral kahit na sa loob ng average sekondaryang paaralan, kung saan natututo ang mga mag-aaral hindi lamang ang konsepto ng integral at mga katangian nito, kundi pati na rin ang ilan sa mga aplikasyon nito.

Panitikan

1. Volkov E.A. Numerical na pamamaraan. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Differential at integral calculus. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Mas Mataas na Matematika. M., Mas Mataas na Paaralan, 1990.

I. Dami ng mga katawan ng rebolusyon. Paunang pag-aralan ang kabanata XII, p°p° 197, 198, ayon sa aklat-aralin ni G. M. Fikhtengol'ts* Suriin nang detalyado ang mga halimbawang ibinigay sa p° 198.

508. Kalkulahin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng ellipse Sa paligid ng x-axis.

kaya,

530. Hanapin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis Ox ng arko ng sinusoid y \u003d sin x mula sa punto X \u003d 0 hanggang sa punto X \u003d Ito.

531. Kalkulahin ang surface area ng isang kono na may taas h at radius r.

532. Kalkulahin ang surface area na nabuo sa pamamagitan ng

pag-ikot ng astroid x3 -) - y* - a3 sa paligid ng x-axis.

533. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pagbabaligtad ng loop ng curve 18 y-x(6-x)r sa paligid ng x-axis.

534. Hanapin ang ibabaw ng torus na ginawa ng pag-ikot ng bilog X2 - j - (y-3)2 = 4 sa paligid ng x-axis.

535. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog X = isang gastos, y = asint sa paligid ng Ox axis.

536. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng loop ng curve x = 9t2, y = St - 9t3 sa paligid ng axis Ox.

537. Hanapin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng arko ng curve x = e * sint, y = el cost sa paligid ng axis Ox

mula t = 0 hanggang t = -.

538. Ipakita na ang ibabaw na ginawa ng pag-ikot ng arko ng cycloid x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) sa paligid ng axis Oy, ay katumbas ng 16 u2 o2.

539. Hanapin ang ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng cardioid sa paligid ng polar axis.

540. Hanapin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng lemniscate sa paligid ng polar axis.

Karagdagang Gawain para sa Kabanata IV

Mga lugar ng mga figure ng eroplano

541. Hanapin ang buong lugar ng isang rehiyon na napapaligiran ng isang kurba At axis Oh.

542. Hanapin ang lugar ng rehiyon na napapaligiran ng kurba

At axis Oh.

543. Hanapin ang bahagi ng lugar ng rehiyon na matatagpuan sa unang kuwadrante at hangganan ng kurba

l coordinate axes.

544. Hanapin ang lugar ng lugar na nakapaloob sa loob

mga loop:

545. Hanapin ang lugar ng rehiyon na napapaligiran ng isang loop ng curve:

546. Hanapin ang lugar ng lugar na nasa loob ng loop:

547. Hanapin ang lugar ng rehiyon na napapaligiran ng kurba

At axis Oh.

548. Hanapin ang lugar ng rehiyon na napapaligiran ng kurba

At axis Oh.

549. Hanapin ang lugar ng rehiyon na hangganan ng axis ng Oxr

tuwid at kurba

Kung ang curve ay ibinibigay ng mga parametric equation, kung gayon ang surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve na ito sa paligid ng axis ay kinakalkula ng formula . Kasabay nito, ang "direksyon sa pagguhit" ng linya, kung saan napakaraming mga kopya ang nasira sa artikulo, ay walang malasakit. Ngunit, tulad ng sa nakaraang talata, mahalaga na matatagpuan ang kurba mas mataas abscissa axis - kung hindi, ang function na "responsable para sa mga manlalaro" ay kukuha ng mga negatibong halaga at kailangan mong maglagay ng minus sign sa harap ng integral.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang lugar ng globo na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog tungkol sa axis.

Desisyon: mula sa mga materyales ng artikulo tungkol sa area at volume na may parametrically given line alam mo na ang mga equation ay tumutukoy sa isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan na may radius 3.

mabuti at globo , para sa mga nakalimutan, ay ang ibabaw bola(o spherical na ibabaw).

Sumusunod kami sa binuong scheme ng solusyon. Maghanap tayo ng mga derivatives:

Buuin natin at pasimplehin ang "formula" na ugat:

Hindi na kailangang sabihin, ito ay naging kendi. Suriin para sa paghahambing kung paano pinalo ni Fikhtengoltz ang mga ulo sa parisukat ellipsoid ng rebolusyon.

Ayon sa teoretikal na pangungusap, isinasaalang-alang namin ang itaas na kalahating bilog. Ito ay "iginuhit" kapag binabago ang halaga ng parameter sa loob (madaling makita iyon sa pagitan na ito), kaya:

Sagot:

Kung malulutas natin ang problema sa mga pangkalahatang termino, eksaktong makukuha natin ang formula ng paaralan para sa lugar ng isang globo, kung saan ang radius nito.

Isang bagay na masakit na simpleng problema, kahit na nahihiya .... Iminumungkahi kong ayusin mo ang bug na ito =)

Halimbawa 4

Kalkulahin ang surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng unang arko ng cycloid sa paligid ng axis.

Ang gawain ay malikhain. Subukang i-deduce o intuit ang formula para sa pagkalkula ng surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve sa paligid ng y-axis. At, siyempre, ang bentahe ng mga parametric equation ay dapat muling bigyang-pansin - hindi nila kailangang baguhin kahit papaano; hindi na kailangang mag-abala sa paghahanap ng iba pang mga limitasyon ng pagsasama.

Maaaring matingnan ang cycloid graph sa pahina Lugar at volume kung ang linya ay nakatakda nang parametric. Ang ibabaw ng pag-ikot ay magiging katulad ... Hindi ko alam kung ano ang ihahambing nito sa ... isang bagay na hindi makalupa - bilugan na may isang matulis na depresyon sa gitna. Dito, para sa kaso ng pag-ikot ng cycloid sa paligid ng axis, ang asosasyon ay agad na naisip - isang pahaba na rugby ball.

Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Tinatapos namin ang aming kamangha-manghang pagsusuri sa isang kaso polar coordinate. Oo, ito ay isang pagsusuri, kung titingnan mo ang mga aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika (ni Fikhtengolts, Bohan, Piskunov, at iba pang mga may-akda), maaari kang makakuha ng isang dosenang (o mas kapansin-pansing higit pa) mga karaniwang halimbawa, kung saan posible na ikaw ay mahahanap ang problemang kailangan mo.

Paano makalkula ang ibabaw na lugar ng rebolusyon,
kung ang linya ay ibinigay sa polar coordinate system?

Kung nakatakda ang curve sa polar coordinate equation , at ang function ay may tuloy-tuloy na derivative sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ay ang surface area na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve na ito sa paligid ng polar axis ay kinakalkula ng formula , kung saan ang mga angular na halaga ay tumutugma sa mga dulo ng curve.

Alinsunod sa geometric na kahulugan ng problema, ang integrand , at ito ay makakamit lamang kung ( at kilala na hindi negatibo). Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang mga halaga ng anggulo mula sa hanay , sa madaling salita, ang kurba ay dapat na matatagpuan mas mataas polar axis at mga extension nito. Tulad ng nakikita mo, ang parehong kuwento tulad ng sa nakaraang dalawang talata.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng cardioid sa paligid ng polar axis.

Desisyon: ang graph ng kurba na ito ay makikita sa Halimbawa 6 ng aralin tungkol sa polar coordinate system. Ang cardioid ay simetriko tungkol sa polar axis, kaya isinasaalang-alang namin ang itaas na kalahati nito sa puwang (na, sa katunayan, ay dahil din sa nabanggit sa itaas).

Ang ibabaw ng pag-ikot ay magiging katulad ng isang bullseye.

Ang pamamaraan ng solusyon ay pamantayan. Hanapin natin ang derivative na may kinalaman sa "phi":

Bumuo at pasimplehin ang ugat:

Sana may supernumerary mga formula ng trigonometriko walang nagkaroon ng anumang problema.

Ginagamit namin ang formula:

Sa gitna , kaya: (Inilarawan ko nang detalyado kung paano maayos na mapupuksa ang ugat sa artikulo Haba ng curve arc).

Sagot:

Isang kawili-wili at maikling gawain para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 6

Kalkulahin ang lugar ng spherical belt,

Ano ang ball belt? Maglagay ng isang bilog, hindi binalatan na orange sa mesa at kumuha ng kutsilyo. Gumawa ng dalawa parallel gupitin, sa gayo'y hinahati ang prutas sa 3 bahagi ng di-makatwirang laki. Ngayon kunin ang gitna, kung saan ang makatas na pulp ay nakalantad sa magkabilang panig. Ang katawan na ito ay tinatawag spherical layer, at ang nakagapos na ibabaw nito (orange peel) - sinturon ng bola.

Pamilyar sa mga mambabasa polar coordinate, madaling ipinakita ang pagguhit ng problema: ang equation ay tumutukoy sa isang bilog na nakasentro sa poste ng radius , kung saan sinag putulin mas mababa arko Ang arko na ito ay umiikot sa paligid ng polar axis at sa gayon ay nakuha ang isang spherical belt.

Ngayon ay maaari kang kumain ng isang orange na may malinis na budhi at isang magaan na puso, sa masarap na tala na ito ay tatapusin natin ang aralin, huwag palayawin ang iyong gana sa iba pang mga halimbawa =)

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2:Desisyon : kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng itaas na sangay sa paligid ng x-axis. Ginagamit namin ang formula .
Sa kasong ito: ;

kaya:


Sagot:

Halimbawa 4:Desisyon : gamitin ang formula . Ang unang arko ng cycloid ay tinukoy sa segment .
Maghanap tayo ng mga derivatives:

Bumuo at pasimplehin ang ugat:

Kaya ang ibabaw na lugar ng rebolusyon ay:

Sa gitna , Kaya naman

Unang integralpagsamahin ayon sa mga bahagi :

Sa pangalawang integral na ginagamit namintrigonometriko formula .


Sagot:

Halimbawa 6:Desisyon : gamitin ang formula:


Sagot:

Mas mataas na matematika para sa mga mag-aaral sa pagsusulatan at hindi lamang >>>

(Pumunta sa pangunahing pahina)

Paano makalkula ang isang tiyak na integral
gamit ang trapezoid formula at ang Simpson method?

Ang mga numerical na pamamaraan ay isang medyo malaking seksyon ng mas mataas na matematika at ang mga seryosong aklat-aralin sa paksang ito ay may daan-daang mga pahina. Sa pagsasagawa, sa mga pagsusulit, ang ilang mga gawain ay tradisyonal na iminungkahi para sa paglutas sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan, at isa sa mga karaniwang gawain ay ang tinatayang pagkalkula mga tiyak na integral. Sa artikulong ito, isasaalang-alang ko ang dalawang paraan para sa tinatayang pagkalkula ng isang tiyak na integral − trapezoidal na pamamaraan at pamamaraan ni simpson.

Ano ang kailangan mong malaman upang makabisado ang mga pamamaraang ito? Nakakatawa ito, ngunit maaaring hindi mo magawang kumuha ng mga integral. At kahit na hindi maintindihan kung ano ang mga integral. Sa mga teknikal na paraan, kakailanganin mo ng microcalculator. Oo, oo, naghihintay kami ng mga karaniwang kalkulasyon sa paaralan. Mas mabuti pa, i-download ang aking semi-awtomatikong calculator para sa trapezoidal method at sa Simpson method. Ang calculator ay nakasulat sa Excel at magbibigay-daan sa iyo na bawasan ang oras para sa paglutas at pagproseso ng mga gawain ng sampung beses. Ang isang video manual ay kasama para sa Excel teapots! Siyanga pala, ang unang video na may boses ko.

Una, tanungin natin ang ating sarili, bakit kailangan natin ng tinatayang mga kalkulasyon? Mukhang posible na mahanap ang antiderivative ng function at gamitin ang Newton-Leibniz formula, na kinakalkula ang eksaktong halaga ng isang tiyak na integral. Bilang sagot sa tanong, agad nating isaalang-alang ang isang halimbawa ng demo na may larawan.

Kalkulahin ang isang tiyak na integral

Ang lahat ay magiging maayos, ngunit sa halimbawang ito ang integral ay hindi kinuha - bago ka hindi kinuha, ang tinatawag na integral logarithm. Umiiral ba ang integral na ito? Ilarawan natin ang graph ng integrand sa drawing:

Maayos ang lahat. Integrand tuloy-tuloy sa segment at ang tiyak na integral ay numerical na katumbas ng shaded area. Oo, iyon ay isa lamang sagabal - ang integral ay hindi kinuha. At sa ganitong mga kaso, ang mga numerical na pamamaraan ay dumating upang iligtas. Sa kasong ito, ang problema ay nangyayari sa dalawang formulations:

1) Kalkulahin ang tiyak na integral humigit-kumulang , pag-ikot ng resulta sa isang tiyak na lugar ng decimal. Halimbawa, hanggang dalawang decimal place, hanggang tatlong decimal place, atbp. Sabihin nating nakakuha ka ng tinatayang sagot na 5.347. Sa katunayan, maaaring hindi ito ganap na tama (sa totoo lang, sabihin nating ang mas tumpak na sagot ay 5.343). Ang aming gawain ay doon lamang upang bilugan ang resulta sa tatlong decimal na lugar.

2) Kalkulahin ang tiyak na integral humigit-kumulang, na may tiyak na katumpakan. Halimbawa, kalkulahin ang tiyak na integral na humigit-kumulang na may katumpakan na 0.001. Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na kung ang isang tinatayang sagot na 5.347 ay nakuha, kung gayon lahat ang mga numero ay dapat na reinforced concrete tama. Upang maging mas tumpak, ang sagot na 5.347 ay dapat na mag-iba sa truth modulo (sa isang direksyon o iba pa) nang hindi hihigit sa 0.001.

Mayroong ilang mga pangunahing pamamaraan para sa tinatayang pagkalkula ng isang tiyak na integral na nangyayari sa mga problema:

Paraan ng parihaba. Ang segment ng pagsasama ay nahahati sa ilang bahagi at isang hakbang na pigura ay itinayo ( bar graph), na malapit sa lugar sa gustong lugar:

Huwag husgahan nang mahigpit sa pamamagitan ng mga guhit, ang katumpakan ay hindi perpekto - nakakatulong lamang sila upang maunawaan ang kakanyahan ng mga pamamaraan.

Sa halimbawang ito, ang segment ng integration ay nahahati sa tatlong segment:
. Malinaw, mas madalas ang partition (mas maliit na intermediate segment), mas mataas ang katumpakan. Ang pamamaraan ng mga parihaba ay nagbibigay ng isang magaspang na approximation ng lugar, tila, samakatuwid, ito ay napakabihirang sa pagsasanay (naalala ko lamang ang isang praktikal na halimbawa). Sa pagsasaalang-alang na ito, hindi ko isasaalang-alang ang paraan ng mga parihaba, at hindi rin magbibigay ng isang simpleng formula. Hindi dahil sa katamaran, ngunit dahil sa prinsipyo ng aking libro ng solusyon: kung ano ang napakabihirang sa mga praktikal na gawain ay hindi isinasaalang-alang.

Trapezoidal na pamamaraan. Ang ideya ay magkatulad. Nahahati ang segment ng integration sa ilang intermediate na segment, at lumalapit ang graph ng integrand putol na linya linya:

Kaya ang aming lugar (asul na pagtatabing) ay tinatayang sa kabuuan ng mga lugar ng mga trapezoid (pula). Samakatuwid ang pangalan ng pamamaraan. Madaling makita na ang paraan ng trapezoid ay nagbibigay ng isang mas mahusay na pagtatantya kaysa sa paraan ng rektanggulo (na may parehong bilang ng mga segment ng pagkahati). At, siyempre, ang mas maliliit na intermediate na mga segment na isinasaalang-alang namin, mas mataas ang katumpakan. Ang paraan ng trapezoid ay nakatagpo paminsan-minsan sa mga praktikal na gawain, at sa artikulong ito maraming mga halimbawa ang susuriin.

Paraan ni Simpson (paraan ng parabola). Ito ay isang mas perpektong paraan - ang graph ng integrand ay nilapitan hindi sa pamamagitan ng isang putol na linya, ngunit sa pamamagitan ng maliliit na parabola. Ilang mga intermediate na segment - napakaraming maliliit na parabola. Kung kukuha tayo ng parehong tatlong mga segment, kung gayon ang paraan ng Simpson ay magbibigay ng mas tumpak na pagtatantya kaysa sa paraan ng rektanggulo o paraan ng trapezoid.

Hindi ko nakikita ang punto sa pagbuo ng isang guhit, dahil biswal na ang pagtatantya ay ipapatong sa graph ng pag-andar (ang putol na linya ng nakaraang talata - at kahit na ito ay halos magkasabay).

Ang gawain ng pagkalkula ng isang tiyak na integral gamit ang Simpson formula ay ang pinakasikat na gawain sa pagsasanay. At ang paraan ng mga parabola ay bibigyan ng malaking pansin.

Ibabaw ng rebolusyon- isang ibabaw na nabuo sa panahon ng pag-ikot sa paligid ng isang tuwid na linya (surface axis) ng isang arbitrary na linya (straight, flat o spatial curve). Halimbawa, kung ang isang tuwid na linya ay bumalandra sa axis ng pag-ikot, pagkatapos ay sa panahon ng pag-ikot nito ang isang conical na ibabaw ay makukuha, kung ito ay parallel sa axis - cylindrical, kung ito ay intersects sa axis - isang one-sheet na hyperboloid ng rebolusyon. Ang parehong ibabaw ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng iba't ibang uri ng mga kurba. Ang lugar ng ibabaw ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang kurba ng eroplano na may hangganan ang haba sa paligid ng isang axis na nasa eroplano ng kurba ngunit hindi nagsalubong sa kurba ay katumbas ng produkto ng haba ng kurba at ang haba ng isang bilog na may radius na katumbas ng distansya mula sa axis hanggang sa gitna ng mass ng curve. Ang pahayag na ito ay tinatawag na Hulden's second theorem, o Pappus' centroid theorem.

Ang lugar ng ibabaw ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang kurba tungkol sa isang axis ay maaaring kalkulahin ng formula

Para sa kaso kapag ang curve ay ibinigay sa polar coordinate system, ang formula ay wasto

Mga mekanikal na aplikasyon ng isang tiyak na integral (trabaho ng mga puwersa, mga static na sandali, sentro ng grabidad).

Pagkalkula ng gawain ng mga puwersa

Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuluy-tuloy na naiba-iba na kurba, habang ang isang puwersa ay kumikilos dito, na nakadirekta nang tangential sa tilapon sa direksyon ng paggalaw. Ang kabuuang gawaing ginawa ng puwersa F(s):

Kung ang posisyon ng isang punto sa motion trajectory ay inilalarawan ng isa pang parameter, kung gayon ang formula ay kukuha ng form:

Pagkalkula ng mga static na sandali at sentro ng grabidad
Hayaang maipamahagi ang ilang mass M sa Oxy coordinate plane na may density p = p(y) sa ilang set ng mga puntos na S (ito ay maaaring isang arko ng isang curve o isang bounded flat figure). Ipahiwatig ang s(y) - ang sukat ng tinukoy na hanay (haba o lugar ng arko).

Kahulugan 2. Bilang ay tinatawag na k-th moment ng mass M tungkol sa axis ng Ox.
Sa k \u003d 0 M 0 \u003d M ay ang masa,
k \u003d 1 M 1 - static na sandali,
k \u003d 2 M 2 - sandali ng pagkawalang-galaw.

Ang mga sandali tungkol sa Oy axis ay ipinakilala sa parehong paraan. Sa kalawakan, ang mga konsepto ng mga sandali ng masa na may paggalang sa mga coordinate na eroplano ay ipinakilala sa katulad na paraan.
Kung p = 1, kung gayon ang kaukulang mga sandali ay tinatawag na geometric. Ang mga coordinate ng center of gravity ng isang homogenous (p - const) flat figure ay tinutukoy ng mga formula:

kung saan M 1 y , M 1 x - geometric static na mga sandali ng figure tungkol sa mga axes Oy at Ox; S ay ang lugar ng figure.