3.1. Polar coordinate

Madalas ginagamit sa eroplano polar coordinate system . Ito ay tinukoy kung ang isang punto O ay ibinigay, tinatawag poste, at ang sinag na nagmumula sa poste (para sa amin ito ang axis Ox) – polar axis. Ang posisyon ng point M ay naayos ng dalawang numero: radius (o radius vector) at anggulo φ sa pagitan ng polar axis at vector. Ang anggulo φ ay tinatawag polar anggulo; sinusukat sa radians at binibilang ng counterclockwise mula sa polar axis.

Ang posisyon ng isang punto sa polar coordinate system ay ibinibigay ng isang nakaayos na pares ng mga numero (r; φ). Sa Pole r = 0, at ang φ ay hindi tinukoy. Para sa lahat ng iba pang mga punto r > 0, at ang φ ay tinukoy hanggang sa isang termino na isang multiple ng 2π. Sa kasong ito, ang mga pares ng mga numero (r; φ) at (r 1 ; φ 1) ay nauugnay sa parehong punto kung .

Para sa isang rectangular coordinate system xOy Ang mga coordinate ng Cartesian ng isang punto ay madaling ipahayag sa mga tuntunin ng mga polar coordinate nito tulad ng sumusunod:

3.2. Geometric na interpretasyon ng kumplikadong numero

Isaalang-alang natin ang isang Cartesian rectangular coordinate system sa eroplano xOy.

Anumang kumplikadong numero z=(a, b) ay nauugnay sa isang punto sa eroplano na may mga coordinate ( x, y), Saan coordinate x = a, ibig sabihin. ang tunay na bahagi ng complex number, at ang coordinate y = bi ay ang haka-haka na bahagi.

Ang isang eroplano na ang mga punto ay kumplikadong mga numero ay isang kumplikadong eroplano.

Sa figure, ang kumplikadong numero z = (a, b) tumutugma sa isang punto M(x, y).

Mag-ehersisyo.Gumuhit ng mga kumplikadong numero sa coordinate plane:

3.3. Trigonometric form ng isang kumplikadong numero

Ang isang kumplikadong numero sa eroplano ay may mga coordinate ng isang punto M(x;y). kung saan:

Pagsusulat ng complex number - trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero.

Ang numero r ay tinatawag modyul kumplikadong numero z at itinalaga. Ang modulus ay isang hindi negatibong tunay na numero. Para sa .

Ang modulus ay zero kung at kung lamang z = 0, ibig sabihin. a = b = 0.

Ang numerong φ ay tinatawag argumento z at itinalaga. Ang argumentong z ay hindi maliwanag na tinukoy, tulad ng polar angle sa polar coordinate system, ibig sabihin, hanggang sa isang term na isang multiple ng 2π.

Pagkatapos ay tinatanggap namin ang: , kung saan ang φ ay ang pinakamaliit na halaga ng argumento. Obvious naman yun

.

Kapag pinag-aaralan ang paksa nang mas malalim, isang pantulong na argumento φ* ay ipinakilala, tulad na

Halimbawa 1. Hanapin ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero.

Solusyon. 1) isaalang-alang ang modyul: ;

2) naghahanap ng φ: ;

3) trigonometrikong anyo:

Halimbawa 2. Hanapin ang algebraic form ng complex number .

Narito ito ay sapat na upang palitan ang mga halaga ng trigonometriko function at baguhin ang expression:

Halimbawa 3. Hanapin ang modulus at argumento ng isang kumplikadong numero;

1) ;

2); φ – sa 4 na quarters:

3.4. Mga operasyon na may mga kumplikadong numero sa trigonometriko na anyo

· Pagdagdag at pagbawas Ito ay mas maginhawang gawin sa mga kumplikadong numero sa algebraic form:

· Pagpaparami– gamit ang mga simpleng pagbabagong trigonometriko maipapakita iyon Kapag nagpaparami, ang mga module ng mga numero ay pinarami, at ang mga argumento ay idinagdag: ;

Lecture

Trigonometric form ng isang kumplikadong numero

Plano

1. Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero.

2. Trigonometric notation ng mga kumplikadong numero.

3. Mga aksyon sa kumplikadong mga numero sa trigonometric form.

Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero.

a) Ang mga kumplikadong numero ay kinakatawan ng mga punto sa isang eroplano ayon sa sumusunod na panuntunan: a + bi = M ( a ; b ) (Larawan 1).

Larawan 1

b) Ang isang kumplikadong numero ay maaaring katawanin ng isang vector na nagsisimula sa puntoTUNGKOL SA at ang dulo sa isang naibigay na punto (Larawan 2).

Figure 2

Halimbawa 7. Bumuo ng mga puntos na kumakatawan sa mga kumplikadong numero:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Larawan 3).

Larawan 3

Trigonometric notation ng mga kumplikadong numero.

Kumplikadong numeroz = a + bi maaaring tukuyin gamit ang radius vector may mga coordinate( a ; b ) (Larawan 4).

Larawan 4

Kahulugan . Haba ng vector , na kumakatawan sa isang kumplikadong numeroz , ay tinatawag na modulus ng numerong ito at tinutukoy or .

Para sa anumang kumplikadong numeroz modyul nitor = | z | ay natutukoy nang natatangi sa pamamagitan ng formula .

Kahulugan . Ang laki ng anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng totoong axis at ng vector , na kumakatawan sa isang kumplikadong numero, ay tinatawag na argumento ng kumplikadong numero na ito at ipinapahiwatigA rg z oφ .

Pangangatwiran ng Complex Numberz = 0 hindi natukoy. Pangangatwiran ng Complex Numberz≠ 0 – isang multi-valued na dami at tinutukoy sa loob ng isang termino2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Saanarg z – ang pangunahing halaga ng argumentong nakapaloob sa pagitan(-π; π] , yan ay-π < arg z ≤ π (kung minsan ang isang halaga na kabilang sa pagitan ay kinuha bilang pangunahing halaga ng argumento .

Ang formula na ito kapagr =1 madalas na tinatawag na formula ni Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Halimbawa 11: Kalkulahin(1 + i ) 100 .

Sumulat tayo ng isang kumplikadong numero1 + i sa trigonometrikong anyo.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , kasalanan φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + nagkasala ako )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + kasalanan ko ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Pag-extract ng square root ng isang complex number.

Kapag kumukuha ng square root ng isang complex numbera + bi mayroon kaming dalawang kaso:

Kungb >o , Iyon ;

KOMPLEXONG MGA BILANG XI

§ 256. Trigonometric na anyo ng mga kumplikadong numero

Hayaan ang isang kumplikadong numero isang + bi tumutugon sa vector O.A.> may mga coordinate ( a, b ) (tingnan ang Fig. 332).

Tukuyin natin ang haba ng vector na ito sa pamamagitan ng r , at ang anggulong ginagawa nito sa axis X , sa pamamagitan ng φ . Sa pamamagitan ng kahulugan ng sine at cosine:

a / r =cos φ , b / r = kasalanan φ .

kaya lang A = r cos φ , b = r kasalanan φ . Ngunit sa kasong ito ang kumplikadong numero isang + bi maaaring isulat bilang:

isang + bi = r cos φ + ir kasalanan φ = r (cos φ + i kasalanan φ ).

Tulad ng alam mo, ang parisukat ng haba ng anumang vector ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito. kaya lang r 2 = a 2 + b 2, mula saan r = √a 2 + b 2

Kaya, anumang kumplikadong numero isang + bi maaaring katawanin sa anyo :

isang + bi = r (cos φ + i kasalanan φ ), (1)

kung saan ang r = √a 2 + b 2 at ang anggulo φ ay tinutukoy mula sa kondisyon:

Ang ganitong paraan ng pagsulat ng mga kumplikadong numero ay tinatawag trigonometriko.

Numero r sa formula (1) ay tinatawag modyul, at ang anggulo φ - argumento, kumplikadong numero isang + bi .

Kung isang kumplikadong numero isang + bi ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang modulus nito ay positibo; kung isang + bi = 0, pagkatapos a = b = 0 at pagkatapos r = 0.

Ang modulus ng anumang kumplikadong numero ay natatanging tinutukoy.

Kung isang kumplikadong numero isang + bi ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang argumento nito ay tinutukoy ng mga formula (2) tiyak tumpak sa isang anggulo na mahahati ng 2 π . Kung isang + bi = 0, pagkatapos a = b = 0. Sa kasong ito r = 0. Mula sa pormula (1) madaling maunawaan iyon bilang isang argumento φ sa kasong ito, maaari kang pumili ng anumang anggulo: pagkatapos ng lahat, para sa alinman φ

0 (cos φ + i kasalanan φ ) = 0.

Samakatuwid ang null argument ay hindi natukoy.

Modulus ng isang kumplikadong numero r minsan denoted | z |, at ang argumento arg z . Tingnan natin ang ilang halimbawa ng kumakatawan sa mga kumplikadong numero sa anyong trigonometric.

Halimbawa. 1. 1 + i .

Hanapin natin ang modyul r at argumento φ itong numero.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Samakatuwid kasalanan φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, kung saan φ = π / 4 + 2nπ .

kaya,

1 + i = √ 2 ,

saan P - anumang integer. Karaniwan, mula sa walang katapusang hanay ng mga halaga ng argumento ng isang kumplikadong numero, ang isa ay pinili na nasa pagitan ng 0 at 2 π . Sa kasong ito, ang halagang ito ay π / 4 . kaya lang

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i kasalanan π / 4)

Halimbawa 2. Sumulat ng isang kumplikadong numero sa trigonometric form √ 3 - i . Meron kami:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, kasalanan φ = - 1 / 2

Samakatuwid, hanggang sa isang anggulo na mahahati ng 2 π , φ = 11 / 6 π ; kaya naman,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i kasalanan 11/6 π ).

Halimbawa 3 Sumulat ng isang kumplikadong numero sa trigonometric form i.

Kumplikadong numero i tumutugon sa vector O.A.> , nagtatapos sa punto A ng axis sa na may ordinate 1 (Larawan 333). Ang haba ng naturang vector ay 1, at ang anggulo na ginagawa nito sa x-axis ay katumbas ng π / 2. kaya lang

i =cos π / 2 + i kasalanan π / 2 .

Halimbawa 4. Isulat ang complex number 3 sa trigonometric form.

Ang kumplikadong numero 3 ay tumutugma sa vector O.A. > X abscissa 3 (Larawan 334).

Ang haba ng naturang vector ay 3, at ang anggulo na ginagawa nito sa x-axis ay 0. Samakatuwid

3 = 3 (cos 0 + i kasalanan 0),

Halimbawa 5. Isulat ang complex number -5 sa trigonometric form.

Ang kumplikadong numero -5 ay tumutugma sa isang vector O.A.> nagtatapos sa isang axis point X na may abscissa -5 (Larawan 335). Ang haba ng naturang vector ay 5, at ang anggulo na nabuo sa x-axis ay katumbas ng π . kaya lang

5 = 5(cos π + i kasalanan π ).

Mga ehersisyo

2047. Isulat ang mga kumplikadong numerong ito sa anyong trigonometric, na tinutukoy ang kanilang mga module at argumento:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Ipahiwatig sa eroplano ang isang set ng mga puntos na kumakatawan sa mga kumplikadong numero na ang moduli r at mga argumento φ ay nakakatugon sa mga kundisyon:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ang mga numero ba ay maaaring sabay na maging modulus ng isang kumplikadong numero? r At- r ?

2050. Maaari bang maging anggulo ang argumento ng isang kumplikadong numero nang sabay-sabay? φ At- φ ?

Ipakita ang mga kumplikadong numerong ito sa anyong trigonometric, na tinutukoy ang kanilang mga module at argumento:

2051*. 1 + cos α + i kasalanan α . 2054*. 2(cos 20° - i kasalanan 20°).

2052*. kasalanan φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i kasalanan 15°).

2.3. Trigonometric na anyo ng mga kumplikadong numero

Hayaang tukuyin ang vector sa kumplikadong eroplano sa pamamagitan ng numero.

Tukuyin natin sa pamamagitan ng φ ang anggulo sa pagitan ng positibong semi-axis na Ox at ng vector (ang anggulo φ ay itinuturing na positibo kung ito ay sinusukat nang pakaliwa, at negatibo kung hindi man).

Tukuyin natin ang haba ng vector sa pamamagitan ng r. Tapos . Tinutukoy din namin

Pagsusulat ng non-zero complex number z sa form

ay tinatawag na trigonometric form ng complex number z. Ang numerong r ay tinatawag na modulus ng complex number z, at ang numerong φ ay tinatawag na argumento ng complex number na ito at tinutukoy ng Arg z.

Trigonometric form ng pagsulat ng complex number - (Euler's formula) - exponential form ng pagsulat ng complex number:

Ang kumplikadong numerong z ay may walang katapusang maraming mga argumento: kung ang φ0 ay anumang argumento ng numerong z, kung gayon ang lahat ng iba ay matatagpuan gamit ang formula

Para sa isang kumplikadong numero, ang argumento at trigonometric form ay hindi tinukoy.

Kaya, ang argumento ng isang non-zero complex number ay anumang solusyon sa sistema ng mga equation:

(3)

Ang halaga φ ng argumento ng isang kumplikadong numero z, na nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay, ay tinatawag na pangunahing halaga at tinutukoy ng arg z.

Ang mga argumentong Arg z at arg z ay nauugnay sa pamamagitan ng

, (4)

Ang formula (5) ay isang kinahinatnan ng system (3), samakatuwid ang lahat ng mga argumento ng isang kumplikadong numero ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay (5), ngunit hindi lahat ng mga solusyon φ ng equation (5) ay mga argumento ng numerong z.

Ang pangunahing halaga ng argumento ng isang non-zero complex number ay matatagpuan ayon sa mga formula:

Ang mga formula para sa pagpaparami at paghahati ng mga kumplikadong numero sa trigonometric form ay ang mga sumusunod:

. (7)

Kapag tinataas ang isang kumplikadong numero sa isang natural na kapangyarihan, ginagamit ang formula ng Moivre:

Kapag kinukuha ang ugat ng isang kumplikadong numero, ginagamit ang formula:

, (9)

kung saan k=0, 1, 2, …, n-1.

Suliranin 54. Kalkulahin kung saan .

Ipakita natin ang solusyon sa expression na ito sa exponential form ng pagsulat ng complex number: .

Kung, kung gayon.

tapos , . Samakatuwid, kung gayon At , Saan .

Sagot: , sa .

Suliranin 55. Sumulat ng mga kumplikadong numero sa anyong trigonometriko:

A); b); V); G); d); e) ; at).

Dahil ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero ay , kung gayon:

a) Sa isang kumplikadong numero: .

,

kaya lang

b) , Saan ,

G) , Saan ,

e) .

at) , A , Yung .

kaya lang

Sagot: ; 4; ; ; ; ; .

Suliranin 56. Hanapin ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero

.

Hayaan mo, .

tapos , , .

Simula at , , pagkatapos , at

Samakatuwid, , samakatuwid

Sagot: , Saan .

Suliranin 57. Gamit ang trigonometric form ng complex number, gawin ang mga sumusunod na aksyon: .

Isipin natin ang mga numero at sa trigonometrikong anyo.

1) , saan Pagkatapos

Hanapin ang halaga ng pangunahing argumento:

Palitan natin ang mga halaga at sa expression, nakukuha natin

2) , saan naman

Pagkatapos

3) Hanapin natin ang quotient

Sa pag-aakalang k=0, 1, 2, nakakakuha tayo ng tatlong magkakaibang halaga ng nais na ugat:

Kung , kung gayon

kung , kung gayon

kung , kung gayon .

Sagot: :

:

: .

Suliranin 58. Hayaan ang , , , ay magkaibang mga kumplikadong numero at . Patunayan mo yan

isang numero ay isang tunay na positibong numero;

b) ang pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:

a) Katawanin natin ang mga kumplikadong numerong ito sa anyong trigonometriko:

Dahil .

Magpanggap tayo na . Pagkatapos

.

Ang huling expression ay isang positibong numero, dahil ang mga palatandaan ng sine ay naglalaman ng mga numero mula sa pagitan.

mula sa bilang totoo at positibo. Sa katunayan, kung ang a at b ay kumplikadong mga numero at totoo at mas malaki kaysa sa zero, kung gayon .

Bukod sa,

samakatuwid, ang kinakailangang pagkakapantay-pantay ay napatunayan.

Suliranin 59. Isulat ang numero sa anyong algebraic .

Katawanin natin ang numero sa trigonometric form at pagkatapos ay hanapin ang algebraic form nito. Meron kami . Para sa nakuha namin ang sistema:

Ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay: .

Paglalapat ng formula ni Moivre: ,

nakukuha namin

Ang trigonometriko na anyo ng ibinigay na numero ay matatagpuan.

Isulat natin ngayon ang numerong ito sa algebraic form:

.

Sagot: .

Problema 60. Hanapin ang kabuuan , ,

Isaalang-alang natin ang halaga

Ang paglalapat ng formula ni Moivre, nakita namin

Ang kabuuan na ito ay ang kabuuan ng n termino ng isang geometric na pag-unlad na may denominator at ang unang miyembro .

Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng naturang pag-unlad, mayroon tayo

Isolating ang haka-haka na bahagi sa huling expression, nakita namin

Ang paghihiwalay ng tunay na bahagi, makukuha rin natin ang sumusunod na formula: , , .

Problema 61. Hanapin ang kabuuan:

A) ; b) .

Ayon sa pormula ni Newton para sa exponentiation, mayroon tayo

Gamit ang formula ni Moivre nalaman namin:

Ang equating ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng mga resultang expression para sa , mayroon kaming:

At .

Ang mga formula na ito ay maaaring isulat sa compact form tulad ng sumusunod:

,

, nasaan ang integer na bahagi ng numero a.

Problema 62. Hanapin ang lahat, kung saan .

Dahil ang , pagkatapos, gamit ang formula

, Upang kunin ang mga ugat, nakukuha namin ,

Kaya naman, , ,

, .

Ang mga puntos na tumutugma sa mga numero ay matatagpuan sa mga vertices ng isang parisukat na nakasulat sa isang bilog na radius 2 na ang sentro ay nasa punto (0;0) (Larawan 30).

Sagot: , ,

, .

Suliranin 63. Lutasin ang equation , .

Sa pamamagitan ng kondisyon; samakatuwid, ang equation na ito ay walang ugat, at samakatuwid ito ay katumbas ng equation.

Upang ang numerong z ay maging ugat ng equation na ito, ang numero ay dapat na ika-n ugat ng numero 1.

Mula dito napagpasyahan namin na ang orihinal na equation ay may mga ugat na tinutukoy mula sa mga pagkakapantay-pantay

,

kaya,

,

i.e. ,

Sagot: .

Suliranin 64. Lutasin ang equation sa hanay ng mga kumplikadong numero.

Dahil ang numero ay hindi ang ugat ng equation na ito, kung gayon para sa equation na ito ay katumbas ng equation

Iyon ay, ang equation.

Ang lahat ng mga ugat ng equation na ito ay nakuha mula sa formula (tingnan ang problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Gumuhit sa kumplikadong eroplano ng isang hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay: . (Ikalawang paraan upang malutas ang problema 45)

Hayaan .

Ang mga kumplikadong numero na may magkaparehong mga module ay tumutugma sa mga punto sa eroplano na nakahiga sa isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan, samakatuwid ang hindi pagkakapantay-pantay bigyang-kasiyahan ang lahat ng mga punto ng isang bukas na singsing na napapalibutan ng mga bilog na may karaniwang sentro sa pinanggalingan at radii at (Larawan 31). Hayaang tumutugma ang ilang punto ng kumplikadong eroplano sa bilang na w0. Numero , ay may isang module na ilang beses na mas maliit kaysa sa module na w0, at isang argumento na mas malaki kaysa sa argument na w0. Mula sa isang geometric na punto ng view, ang punto na tumutugma sa w1 ay maaaring makuha gamit ang isang homothety na may isang sentro sa pinanggalingan at isang koepisyent, pati na rin ang isang pag-ikot na nauugnay sa pinagmulan sa pamamagitan ng isang anggulo na pakaliwa. Bilang resulta ng paglalapat ng dalawang pagbabagong ito sa mga punto ng singsing (Larawan 31), ang huli ay magbabago sa isang singsing na napapalibutan ng mga bilog na may parehong sentro at radii 1 at 2 (Larawan 32).

Pagbabalik-loob ipinatupad gamit ang parallel transfer sa isang vector. Sa pamamagitan ng paglilipat ng singsing na may sentro sa punto sa ipinahiwatig na vector, nakakakuha kami ng singsing na may parehong laki na may sentro sa punto (Larawan 22).

Ang iminungkahing pamamaraan, na gumagamit ng ideya ng mga geometric na pagbabagong-anyo ng isang eroplano, ay malamang na hindi gaanong maginhawa upang ilarawan, ngunit napaka-eleganteng at epektibo.

Suliranin 66. Hanapin kung .

Hayaan , pagkatapos at . Ang paunang pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyo . Mula sa kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng dalawang kumplikadong mga numero ay nakukuha natin , , mula sa kung saan , . Kaya, .

Isulat natin ang numerong z sa trigonometric form:

, Saan , . Ayon sa pormula ni Moivre, makikita natin ang .

Sagot: – 64.

Problema 67. Para sa isang kumplikadong numero, hanapin ang lahat ng mga kumplikadong numero tulad ng , at .

Katawanin natin ang numero sa trigonometric form:

. Mula rito, . Para sa bilang na nakukuha natin , maaaring katumbas ng o .

Sa unang kaso , sa pangalawa

.

Sagot: , .

Suliranin 68. Hanapin ang kabuuan ng mga bilang na . Pakisaad ang isa sa mga numerong ito.

Tandaan na mula sa mismong pagbabalangkas ng problema ay mauunawaan na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay matatagpuan nang hindi kinakalkula ang mga ugat mismo. Sa katunayan, ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay ang koepisyent para sa , kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda (generalized Vieta's theorem), i.e.

Ang mga mag-aaral, dokumentasyon ng paaralan, ay gumuhit ng mga konklusyon tungkol sa antas ng karunungan ng konseptong ito. Ibuod ang pag-aaral ng mga tampok ng pag-iisip ng matematika at ang proseso ng pagbuo ng konsepto ng isang kumplikadong numero. Paglalarawan ng mga pamamaraan. Diagnostic: Stage I. Ang pag-uusap ay isinagawa sa isang guro sa matematika na nagtuturo ng algebra at geometry sa ika-10 baitang. Ang pag-uusap ay naganap pagkatapos ng ilang oras na lumipas mula sa simula...

Resonance" (!)), na kinabibilangan din ng pagtatasa ng sariling pag-uugali. 4. Kritikal na pagtatasa ng pag-unawa ng isang tao sa sitwasyon (mga pagdududa). 5. Panghuli, ang paggamit ng mga rekomendasyon mula sa legal na sikolohiya (isinasaalang-alang ng abogado ang sikolohikal mga aspeto ng mga propesyonal na aksyon na isinagawa - propesyonal na sikolohikal na paghahanda). Isaalang-alang natin ngayon ang sikolohikal na pagsusuri ng mga legal na katotohanan...

Matematika ng trigonometric substitution at pagsubok sa pagiging epektibo ng binuong pamamaraan ng pagtuturo. Mga yugto ng trabaho: 1. Pagbuo ng isang opsyonal na kurso sa paksa: "Paglalapat ng trigonometric substitution para sa paglutas ng mga problema sa algebraic" sa mga mag-aaral sa mga klase na may advanced na matematika. 2. Pagsasagawa ng binuong elective course. 3. Nagsasagawa ng diagnostic test...

Ang mga gawaing nagbibigay-malay ay inilaan lamang upang umakma sa mga kasalukuyang pantulong sa pagtuturo at dapat ay nasa isang naaangkop na kumbinasyon sa lahat ng tradisyonal na paraan at elemento ng proseso ng edukasyon. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga problemang pang-edukasyon sa pagtuturo ng humanities at mga eksaktong, mula sa mga problema sa matematika, ay lamang na sa mga makasaysayang problema ay walang mga formula, mahigpit na algorithm, atbp., na nagpapalubha sa kanilang solusyon. ...