Pagtuturo

Mga kaugnay na video

tala

Kapag kinakalkula ang mga gilid ng isang tamang tatsulok, ang kaalaman sa mga tampok nito ay maaaring maglaro:
1) Kung ang binti ng isang tamang anggulo ay namamalagi sa tapat ng isang anggulo ng 30 degrees, kung gayon ito ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse;
2) Ang hypotenuse ay palaging mas mahaba kaysa alinman sa mga binti;
3) Kung ang isang bilog ay nakapaligid sa isang kanang tatsulok, ang gitna nito ay dapat na nasa gitna ng hypotenuse.

Ang hypotenuse ay ang gilid sa isang kanang tatsulok na nasa tapat ng 90 degree na anggulo. Upang makalkula ang haba nito, sapat na malaman ang haba ng isa sa mga binti at ang halaga ng isa sa mga talamak na anggulo ng tatsulok.

Pagtuturo

Ipaalam sa amin ang isa sa mga binti at ang anggulong katabi nito. Para sa katiyakan, hayaan itong maging binti |AB| at anggulo α. Pagkatapos ay maaari nating gamitin ang formula para sa trigonometric cosine - cosine ratio ng katabing binti sa. Yung. sa aming notasyon cos α = |AB| / |AC|. Mula dito nakukuha natin ang haba ng hypotenuse |AC| = |AB| / cosα.
Kung alam natin ang binti |BC| at anggulo α, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa pagkalkula ng sine ng anggulo - ang sine ng anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Nakuha namin na ang haba ng hypotenuse ay matatagpuan bilang |AC| = |BC| / cosα.

Para sa kalinawan, isaalang-alang ang isang halimbawa. Hayaan ang haba ng binti |AB| = 15. At ang anggulo α = 60°. Nakukuha namin ang |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30.
Isaalang-alang kung paano mo masusuri ang iyong resulta gamit ang Pythagorean theorem. Upang gawin ito, kailangan nating kalkulahin ang haba ng ikalawang binti |BC|. Gamit ang formula para sa padaplis ng anggulo tg α = |BC| / |AC|, nakukuha namin ang |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Susunod, inilapat namin ang Pythagorean theorem, makakakuha tayo ng 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Tapos na ang verification.

Nakatutulong na payo

Pagkatapos kalkulahin ang hypotenuse, suriin kung ang resultang halaga ay nakakatugon sa Pythagorean theorem.

Mga pinagmumulan:

• Talaan ng mga pangunahing numero mula 1 hanggang 10000

Mga binti pangalanan ang dalawang maikling gilid ng isang right triangle na bumubuo sa vertex nito, na ang halaga ay 90 °. Ang ikatlong panig sa naturang tatsulok ay tinatawag na hypotenuse. Ang lahat ng mga panig at anggulo ng tatsulok na ito ay magkakaugnay sa pamamagitan ng ilang mga relasyon na nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang haba ng binti kung alam ang maraming iba pang mga parameter.

Pagtuturo

Gamitin ang Pythagorean theorem para sa leg (A) kung alam mo ang haba ng iba pang dalawang panig (B at C) ng right triangle. Ang teorem na ito ay nagsasaad na ang kabuuan ng mga haba ng mga paa na naka-squad ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse. Ito ay sumusunod mula dito na ang haba ng bawat isa sa mga binti ay katumbas ng square root ng mga haba ng hypotenuse at ang pangalawang binti: A=√(C²-B²).

Gamitin ang kahulugan ng direktang trigonometric function na "sine" para sa isang matinding anggulo, kung alam mo ang halaga ng anggulo (α) sa tapat ng kinakalkula na binti, at ang haba ng hypotenuse (C). Ito ay nagsasaad na ang sine ng kilala na ito ay ang ratio ng haba ng nais na binti sa haba ng hypotenuse. Ito ay ang haba ng nais na binti ay katumbas ng produkto ng haba ng hypotenuse at ang sine ng kilalang anggulo: A=C∗sin(α). Para sa parehong kilalang mga halaga, maaari mong gamitin ang cosecant at kalkulahin ang nais na haba sa pamamagitan ng paghahati sa haba ng hypotenuse sa cosecant ng kilalang anggulo A=C/cosec(α).

Gamitin ang kahulugan ng direktang trigonometric cosine function kung, bilang karagdagan sa haba ng hypotenuse (C), ang halaga ng acute angle (β) na katabi ng kinakailangan ay kilala rin. Ang cosine ng anggulong ito ay ang ratio ng mga haba ng nais na binti at hypotenuse, at mula dito maaari nating tapusin na ang haba ng binti ay katumbas ng produkto ng haba ng hypotenuse at ang cosine ng kilalang anggulo: A=C∗cos(β). Maaari mong gamitin ang kahulugan ng secant function at kalkulahin ang nais na halaga sa pamamagitan ng paghahati sa haba ng hypotenuse sa secant ng kilalang anggulo A=C/sec(β).

Kunin ang kinakailangang formula mula sa isang katulad na kahulugan para sa derivative ng trigonometric function tangent, kung, bilang karagdagan sa halaga ng acute angle (α) na nasa tapat ng ninanais na binti (A), ang haba ng pangalawang binti (B) ay kilala. Ang tangent ng anggulo sa tapat ng nais na binti ay ang ratio ng haba ng binti na ito sa haba ng pangalawang binti. Nangangahulugan ito na ang nais na halaga ay magiging katumbas ng produkto ng haba ng kilalang binti at sa tangent ng kilalang anggulo: A=B∗tg(α). Mula sa parehong mga kilalang dami, isa pang formula ay maaaring makuha gamit ang kahulugan ng cotangent function. Sa kasong ito, upang kalkulahin ang haba ng binti, kakailanganing hanapin ang ratio ng haba ng kilalang binti sa cotangent ng kilalang anggulo: A=B/ctg(α).

Mga kaugnay na video

Ang salitang "katet" ay nagmula sa Russian mula sa Greek. Sa eksaktong pagsasalin, nangangahulugan ito ng isang plumb line, iyon ay, patayo sa ibabaw ng lupa. Sa matematika, ang mga binti ay tinatawag na mga gilid na bumubuo ng isang tamang anggulo ng isang tamang tatsulok. Ang gilid sa tapat ng anggulong ito ay tinatawag na hypotenuse. Ang terminong "binti" ay ginagamit din sa arkitektura at teknolohiya ng hinang.

Ang secant ng anggulong ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng hypotenuse sa katabing binti, iyon ay, secCAB=c/b. Lumalabas ang kapalit ng cosine, iyon ay, maaari itong ipahayag sa pamamagitan ng formula na secCAB=1/cosSAB.
Ang cosecant ay katumbas ng quotient ng paghahati ng hypotenuse sa kabaligtaran na binti at ang kapalit ng sine. Maaari itong kalkulahin gamit ang formula na cosecCAB=1/sinCAB

Ang parehong mga binti ay magkakaugnay at cotangent. AT kasong ito ang padaplis ay magiging ratio ng gilid a sa gilid b, iyon ay, ang kabaligtaran na binti sa katabi. Ang ratio na ito ay maaaring ipahayag ng formula tgCAB=a/b. Alinsunod dito, ang kabaligtaran na ratio ay ang cotangent: ctgCAB=b/a.

Ang ratio sa pagitan ng mga laki ng hypotenuse at magkabilang binti ay tinutukoy ng sinaunang Greek Pythagoras. Ang theorem, ang kanyang pangalan, ginagamit pa rin ng mga tao. Sinasabi nito na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, iyon ay, c2 \u003d a2 + b2. Alinsunod dito, ang bawat binti ay magiging katumbas ng square root ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng hypotenuse at ng kabilang binti. Ang formula na ito ay maaaring isulat bilang b=√(c2-a2).

Ang haba ng binti ay maaari ding ipahayag sa pamamagitan ng mga relasyong alam mo. Ayon sa theorems ng sines at cosines, ang binti ay katumbas ng produkto ng hypotenuse at isa sa mga function na ito. Maaari mong ipahayag ito at o cotangent. Ang binti a ay matatagpuan, halimbawa, sa pamamagitan ng formula a \u003d b * tan CAB. Sa eksaktong parehong paraan, depende sa ibinigay na tangent o , ang pangalawang binti ay tinutukoy.

Sa arkitektura, ginagamit din ang terminong "binti". Ito ay inilapat sa isang Ionic na kapital at plumb sa gitna ng likod nito. Iyon ay, sa kasong ito, sa pamamagitan ng terminong ito, ang patayo sa ibinigay na linya.

Sa teknolohiya ng hinang, mayroong isang "binti ng isang fillet weld". Tulad ng sa ibang mga kaso, ito ang pinakamaikling distansya. Narito ang pinag-uusapan natin ang agwat sa pagitan ng isa sa mga bahagi na i-welded sa hangganan ng tahi na matatagpuan sa ibabaw ng kabilang bahagi.

Mga kaugnay na video

Mga pinagmumulan:

• ano ang binti at hypotenuse sa 2019

Gitnang antas

Kanang tatsulok. Kumpletong may larawang gabay (2019)

KARAPATAN TRIANGLE. UNANG ANTAS.

Sa mga problema, ang isang tamang anggulo ay hindi kinakailangan - ang ibabang kaliwa, kaya kailangan mong matutunan kung paano makilala ang isang tamang tatsulok sa form na ito,

at sa ganyan

at sa ganyan

Ano ang maganda sa right triangle? Well... una sa lahat, may mga espesyal na magagandang pangalan para sa kanyang mga partido.

Pansin sa pagguhit!

Tandaan at huwag malito: binti - dalawa, at ang hypotenuse - isa lamang(ang tanging, natatangi at pinakamahaba)!

Buweno, tinalakay namin ang mga pangalan, ngayon ang pinakamahalagang bagay: ang Pythagorean Theorem.

Pythagorean theorem.

Ang theorem na ito ay ang susi sa paglutas ng maraming problema na kinasasangkutan ng isang right triangle. Ito ay pinatunayan ni Pythagoras sa ganap na sinaunang panahon, at mula noon ay nagdulot ito ng maraming benepisyo sa mga nakakaalam nito. At ang pinakamagandang bagay sa kanya ay simple siya.

Kaya, Pythagorean theorem:

Naaalala mo ba ang biro: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig!"?

Iguhit natin itong napaka Pythagorean na pantalon at tingnan ang mga ito.

Mukha ba talagang shorts? Buweno, sa aling panig at saan sila pantay? Bakit at saan nanggaling ang biro? At ang biro na ito ay tiyak na konektado sa Pythagorean theorem, mas tiyak sa paraan mismo ni Pythagoras na bumalangkas ng kanyang theorem. At binabalangkas niya ito ng ganito:

"Sum lugar ng mga parisukat, na binuo sa mga binti, ay katumbas ng parisukat na lugar itinayo sa hypotenuse.

Hindi ba medyo iba ang tunog, di ba? At kaya, nang iguhit ni Pythagoras ang pahayag ng kanyang teorama, isang larawan lamang ang lumabas.

Sa larawang ito, ang kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng lugar ng malaking parisukat. At upang mas matandaan ng mga bata na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse, isang taong matalino ang nag-imbento ng biro na ito tungkol sa pantalon ng Pythagorean.

Bakit natin ngayon binabalangkas ang Pythagorean theorem

Nagdusa ba si Pythagoras at nagsalita tungkol sa mga parisukat?

Tingnan mo, noong sinaunang panahon walang ... algebra! Walang mga palatandaan at iba pa. Walang mga inskripsiyon. Naiisip mo ba kung gaano kahirap para sa mga mahihirap na sinaunang mag-aaral na kabisaduhin ang lahat gamit ang mga salita??! At maaari tayong matuwa na mayroon tayong simpleng pormulasyon ng Pythagorean theorem. Ulitin natin itong muli upang mas matandaan:

Ngayon ay dapat na madali:

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Well, ang pinakamahalagang teorama tungkol sa isang tamang tatsulok ay tinalakay. Kung interesado ka sa kung paano ito napatunayan, basahin ang susunod na antas ng teorya, at ngayon ay magpatuloy tayo ... sa madilim na kagubatan ... ng trigonometrya! Sa mga katakut-takot na salita sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle.

Sa katunayan, ang lahat ay hindi masyadong nakakatakot. Siyempre, ang "tunay" na kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay dapat tingnan sa artikulo. Pero ayaw mo talaga diba? Maaari tayong magalak: upang malutas ang mga problema tungkol sa isang tamang tatsulok, maaari mong punan ang mga sumusunod na simpleng bagay:

Bakit puro kanto lang? Saan ang sulok? Upang maunawaan ito, kailangan mong malaman kung paano isinusulat sa mga salita ang mga pahayag 1 - 4. Tingnan, unawain at tandaan!

1.
Ito ay talagang ganito:

Paano ang anggulo? Mayroon bang binti na nasa tapat ng sulok, iyon ay, ang tapat na binti (para sa sulok)? Syempre meron! Ito ay isang cathet!

Ngunit paano ang anggulo? Tingnan mong mabuti. Aling paa ang katabi ng sulok? Siyempre, ang pusa. Kaya, para sa anggulo, ang binti ay katabi, at

At ngayon, pansin! Tingnan kung ano ang nakuha namin:

Tingnan kung gaano ito kahusay:

Ngayon ay lumipat tayo sa tangent at cotangent.

Paano ito ilagay sa mga salita ngayon? Ano ang paa na nauugnay sa sulok? Kabaligtaran, siyempre - ito ay "namamalagi" sa tapat ng sulok. At ang cathet? Katabi ng kanto. Kaya ano ang nakuha namin?

Tingnan kung paano binabaligtad ang numerator at denominator?

At ngayon muli ang mga sulok at ginawa ang palitan:

Buod

Isulat natin sa madaling sabi ang ating natutunan.

Pythagorean theorem:

Ang pangunahing right triangle theorem ay ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Oo nga pala, naaalala mo ba kung ano ang mga binti at hypotenuse? Kung hindi, pagkatapos ay tingnan ang larawan - i-refresh ang iyong kaalaman

Posible na ginamit mo na ang Pythagorean theorem nang maraming beses, ngunit naisip mo na ba kung bakit totoo ang ganoong theorem. Paano mo ito mapapatunayan? Gawin natin tulad ng mga sinaunang Griyego. Gumuhit tayo ng isang parisukat na may gilid.

Nakita mo kung gaano katusong hinati namin ang mga gilid nito sa mga segment ng haba at!

Ngayon ikonekta natin ang mga minarkahang puntos

Narito kami, gayunpaman, nabanggit ng iba pa, ngunit ikaw mismo ay tumingin sa larawan at isipin kung bakit.

Ano ang lugar ng mas malaking parisukat? Tama, . Paano ang mas maliit na lugar? Tiyak, . Ang kabuuang lugar ng apat na sulok ay nananatili. Isipin na kinuha namin ang dalawa sa kanila at sumandal sa isa't isa na may hypotenuses. Anong nangyari? Dalawang parihaba. Kaya, ang lugar ng "mga pinagputulan" ay pantay.

Pagsama-samahin natin ang lahat.

Ibahin natin:

Kaya binisita namin ang Pythagoras - pinatunayan namin ang kanyang teorama sa isang sinaunang paraan.

Kanang tatsulok at trigonometrya

Para sa isang tamang tatsulok, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:

Ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse

Ang cosine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti.

Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa kabaligtaran na binti.

At muli, ang lahat ng ito sa anyo ng isang plato:

Ito ay napaka komportable!

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

I. Sa dalawang paa

II. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

III. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle

IV. Kasama ang binti at matinding anggulo

a)

b)

Pansin! Narito ito ay napakahalaga na ang mga binti ay "katugma". Halimbawa, kung ito ay magiging ganito:

TAPOS HINDI PANTAY ANG TRIANGLES, sa kabila ng katotohanan na mayroon silang isang magkaparehong talamak na anggulo.

Kailangan sa parehong triangles ang binti ay katabi, o sa pareho - kabaligtaran.

Napansin mo ba kung paano naiiba ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok mula sa karaniwang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok? Tingnan ang paksang "at bigyang-pansin ang katotohanan na para sa pagkakapantay-pantay ng "ordinaryong" triangles, kailangan mo ang pagkakapantay-pantay ng kanilang tatlong elemento: dalawang panig at isang anggulo sa pagitan nila, dalawang anggulo at isang gilid sa pagitan nila, o tatlong panig. Ngunit para sa pagkakapantay-pantay ng mga right-angled triangles, dalawang katumbas na elemento lamang ang sapat. Ang galing diba?

Humigit-kumulang sa parehong sitwasyon na may mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tamang tatsulok

I. Matinding sulok

II. Sa dalawang paa

III. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

Median sa isang kanang tatsulok

Bakit ganun?

Isaalang-alang ang isang buong parihaba sa halip na isang tamang tatsulok.

Gumuhit tayo ng isang dayagonal at isaalang-alang ang isang punto - ang punto ng intersection ng mga diagonal. Ano ang alam mo tungkol sa mga dayagonal ng isang parihaba?

At ano ang kasunod nito?

Kaya nangyari yun

1. - median:

Tandaan ang katotohanang ito! Malaking tulong!

Ang mas nakakagulat ay totoo rin ang kabaligtaran.

Anong kabutihan ang makukuha mula sa katotohanan na ang median na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse? Tingnan natin ang larawan

Tingnan mong mabuti. Mayroon kaming: , iyon ay, ang mga distansya mula sa punto hanggang sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok ay naging pantay. Ngunit sa isang tatsulok ay mayroon lamang isang punto, ang mga distansya mula sa kung saan halos lahat ng tatlong vertices ng tatsulok ay pantay, at ito ang CENTER OF THE CIRCUM na inilarawan. So anong nangyari?

Kaya magsimula tayo sa "bukod...".

Tingnan natin ang i.

Ngunit sa mga katulad na tatsulok ang lahat ng mga anggulo ay pantay!

Ang parehong masasabi tungkol sa at

Ngayon, pagsamahin natin ito:

Anong gamit ang makukuha mula sa "triple" na pagkakatulad na ito.

Well, halimbawa - dalawang formula para sa taas ng isang right triangle.

Isinulat namin ang mga relasyon ng mga kaukulang partido:

Upang mahanap ang taas, malulutas namin ang proporsyon at makuha unang formula na "Taas sa isang kanang tatsulok":

Kaya, ilapat natin ang pagkakatulad: .

Ano ang mangyayari ngayon?

Muli naming lutasin ang proporsyon at makuha ang pangalawang formula:

Ang parehong mga formula na ito ay dapat na matandaan nang mabuti at ang isa na mas maginhawang ilapat. Isulat natin muli ang mga ito.

Pythagorean theorem:

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti:.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

• sa dalawang paa:
• kasama ang binti at hypotenuse: o
• kasama ang binti at ang katabing talamak na anggulo: o
• kasama ang binti at ang kabaligtaran na talamak na anggulo: o
• sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle: o.

Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok:

• isang matalim na sulok: o
• mula sa proporsyonalidad ng dalawang binti:
• mula sa proporsyonalidad ng binti at hypotenuse: o.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle

• Ang sine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse:
• Ang cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
• Ang tangent ng isang talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi:
• Ang cotangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran:.

Taas ng tamang tatsulok: o.

Sa isang tamang tatsulok, ang median na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse: .

Lugar ng isang tamang tatsulok:

• sa pamamagitan ng mga catheter:

Ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse ay tinatawag sine ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle

Ang ratio ng pinakamalapit na binti sa hypotenuse ay tinatawag cosine ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle

Ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti ay tinatawag talamak na anggulo padaplis kanang tatsulok.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle

Ang ratio ng katabing binti sa tapat na binti ay tinatawag cotangent ng isang matinding anggulo kanang tatsulok.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sine ng isang arbitrary na anggulo

Tinatawag ang ordinate ng punto sa unit circle kung saan ang anggulo \alpha ay tumutugma sine ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

\sin \alpha=y

Cosine ng isang arbitrary na anggulo

Ang abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit kung saan ang anggulo \alpha ay tumutugma ay tinatawag cosine ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

\cos \alpha=x

Tangent ng isang arbitrary na anggulo

Tinatawag ang ratio ng sine ng isang arbitrary rotation angle \alpha sa cosine nito padaplis ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangent ng isang di-makatwirang anggulo

Tinatawag ang ratio ng cosine ng isang arbitrary rotation angle \alpha sa sine nito cotangent ng isang arbitrary na anggulo pag-ikot \ alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Isang halimbawa ng paghahanap ng isang arbitrary na anggulo

Kung ang \alpha ay ilang anggulo AOM , kung saan ang M ay isang punto sa bilog ng yunit, kung gayon

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Halimbawa, kung \angle AOM = -\frac(\pi)(4), pagkatapos: ang ordinate ng puntong M ay -\frac(\sqrt(2))(2), ang abscissa ay \frac(\sqrt(2))(2) at dahil jan

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Talaan ng mga halaga ng mga sine ng cosine ng tangents ng cotangents

Ang mga halaga ng pangunahing madalas na nakakaharap na mga anggulo ay ibinibigay sa talahanayan:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\kaliwa(\frac(\pi)(6)\kanan)	45^(\circ)\kaliwa(\frac(\pi)(4)\kanan)	60^(\circ)\kaliwa(\frac(\pi)(3)\kanan)	90^(\circ)\kaliwa(\frac(\pi)(2)\kanan)	180^(\circ)\kaliwa(\pi\kanan)	270^(\circ)\kaliwa(\frac(3\pi)(2)\kanan)	360^(\circ)\kaliwa(2\pi\kanan)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Pagtuturo

Ang tatsulok ay tinatawag na right triangle kung ang isa sa mga anggulo nito ay 90 degrees. Binubuo ito ng dalawang paa at hypotenuse. Ang hypotenuse ay ang pinakamahabang bahagi ng tatsulok na ito. Nakahiga ito laban sa isang tamang anggulo. Ang mga binti, ayon sa pagkakabanggit, ay tinatawag na mas maliliit na panig nito. Maaari silang maging pantay sa isa't isa o may iba't ibang laki. Pagkakapantay-pantay ng mga binti na iyong pinagtatrabahuhan gamit ang isang tamang tatsulok. Ang kagandahan nito ay pinagsasama nito ang dalawang figure: isang right-angled at isang isosceles triangle. Kung ang mga binti ay hindi pantay, kung gayon ang tatsulok ay arbitrary at ayon sa pangunahing batas: mas malaki ang anggulo, mas ang isa na nakahiga sa tapat nito ay gumulong.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang hypotenuse sa pamamagitan ng at anggulo. Ngunit bago gamitin ang isa sa mga ito, dapat mong matukoy kung alin at ang anggulo ay kilala. Dahil sa isang anggulo at ang binti na katabi nito, mas madaling mahanap ang hypotenuse sa pamamagitan ng cosine ng anggulo. Ang cosine ng isang acute angle (cos a) sa isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse. Ito ay nagpapahiwatig na ang hypotenuse (c) ay magiging katumbas ng ratio ng katabing paa (b) sa cosine ng anggulo a (cos a). Ito ay maaaring isulat ng ganito: cos a=b/c => c=b/cos a.

Kung ang isang anggulo at isang kabaligtaran na binti ay ibinigay, pagkatapos ay dapat gawin ang trabaho. Ang sine ng isang matinding anggulo (sin a) sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (a) sa hypotenuse (c). Narito ang prinsipyo ay kapareho ng sa nakaraang halimbawa, ang sine lamang ang kinuha sa halip na ang cosine function. kasalanan a=a/c => c=a/sin a.

Maaari ka ring gumamit ng trigonometric function tulad ng . Ngunit ang paghahanap ng nais na halaga ay bahagyang mas kumplikado. Ang padaplis ng isang matinding anggulo (tg a) sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (a) sa katabi (b). Kapag natagpuan ang parehong mga binti, ilapat ang Pythagorean theorem (ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti) at ang mas malaki ay makikita.

tala

Kapag nagtatrabaho sa Pythagorean theorem, huwag kalimutan na ikaw ay nakikitungo sa isang degree. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, upang makuha ang pangwakas na sagot, dapat mong kunin ang square root.

Mga pinagmumulan:

• kung paano hanapin ang binti at hypotenuse

Ang hypotenuse ay ang gilid sa isang kanang tatsulok na nasa tapat ng 90 degree na anggulo. Upang makalkula ang haba nito, sapat na malaman ang haba ng isa sa mga binti at ang halaga ng isa sa mga talamak na anggulo ng tatsulok.

Pagtuturo

Sa isang kilala at talamak na tamang anggulo, kung gayon ang laki ng hypotenuse ay ang ratio ng binti sa / ng anggulong ito, kung ang ibinigay na anggulo ay kabaligtaran / katabi nito:

h = C1(o C2)/sinα;

h = С1(o С2)/cosα.

Halimbawa: Hayaang ibigay ang ABC na may hypotenuse AB at C. Hayaang ang angle B ay 60 degrees at anggulo A 30 degrees Ang haba ng leg BC ay 8 cm. Kailangan mo ang haba ng hypotenuse AB. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang alinman sa mga pamamaraan na iminungkahi sa itaas:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

salita" binti" ay mula sa mga salitang Griyego na "perpendicular" o "vertical" - ipinapaliwanag nito kung bakit ang magkabilang panig ng isang right-angled triangle, na bumubuo sa ninety-degree na anggulo nito, ay pinangalanan sa ganoong paraan. Hanapin ang haba ng alinman sa binti ov ay hindi mahirap kung ang halaga ng anggulo na katabi nito at anumang iba pang mga parameter ay kilala, dahil sa kasong ito ang mga halaga ng lahat ng tatlong anggulo ay talagang malalaman.

Pagtuturo

Kung, bilang karagdagan sa halaga ng katabing anggulo (β), ang haba ng pangalawa binti a (b), pagkatapos ay ang haba binti at (a) ay maaaring tukuyin bilang ang kusyente ng haba ng alam binti at sa isang kilalang anggulo: a=b/tg(β). Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng trigonometriko na ito. Magagawa mo nang walang tangent kung gagamitin mo ang theorem. Ito ay sumusunod mula dito na ang haba ng ninanais sa sine ng kabaligtaran anggulo sa ratio ng haba ng kilalang binti ngunit sa sine ng isang kilalang anggulo. Kabaligtaran sa ninanais binti y ang isang matinding anggulo ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isang kilalang anggulo bilang 180°-90°-β = 90°-β, dahil ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay dapat na 180°, at ang isa sa mga anggulo nito ay katumbas ng 90 °. Kaya ang nais na haba binti at maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng formula na a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Kung ang magnitude ng katabing anggulo (β) at ang haba ng hypotenuse (c) ay kilala, kung gayon ang haba binti at (a) ay maaaring kalkulahin bilang produkto ng haba ng hypotenuse at ang cosine ng kilalang anggulo: a=c∗cos(β). Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng cosine bilang isang trigonometric function. Ngunit maaari mong gamitin, tulad ng sa nakaraang hakbang, ang sine theorem at pagkatapos ay ang haba ng ninanais binti Ang a ay magiging katumbas ng produkto ng sine sa pagitan ng 90° at ang kilalang anggulo na di- times ng ratio ng haba ng hypotenuse sa sine ng tamang anggulo. At dahil ang sine ng 90° ay katumbas ng isa, maaari itong isulat bilang sumusunod: a=sin(90°-β)∗c.

Maaaring isagawa ang mga praktikal na kalkulasyon, halimbawa, gamit ang software calculator na kasama sa Windows operating system. Upang patakbuhin ito, maaari mong piliin ang item na "Run" sa pangunahing menu sa pindutan ng "Start", i-type ang calc command at i-click ang "OK" na buton. Ang pinakasimpleng bersyon ng interface ng program na ito na nagbubukas bilang default ay hindi nagbibigay ng mga function na trigonometric, kaya pagkatapos ilunsad ito, kailangan mong i-click ang seksyong "View" sa menu at piliin ang linyang "Scientific" o "Engineering" (depende sa ang bersyon ng operating system na iyong ginagamit).

Mga kaugnay na video

Ang salitang "katet" ay nagmula sa Russian mula sa Greek. Sa eksaktong pagsasalin, nangangahulugan ito ng isang plumb line, iyon ay, patayo sa ibabaw ng lupa. Sa matematika, ang mga binti ay tinatawag na mga gilid na bumubuo ng isang tamang anggulo ng isang tamang tatsulok. Ang gilid sa tapat ng anggulong ito ay tinatawag na hypotenuse. Ang terminong "binti" ay ginagamit din sa arkitektura at teknolohiya ng hinang.

Gumuhit ng isang tamang tatsulok na ACB. Lagyan ng label ang mga binti nito na a at b, at lagyan ng label ang hypotenuse c. Ang lahat ng panig at anggulo ng isang tamang tatsulok ay tinukoy sa bawat isa. Ang ratio ng binti sa tapat ng isa sa mga talamak na anggulo sa hypotenuse ay tinatawag na sine ng anggulong iyon. Sa tatsulok na ito sinCAB=a/c. Ang cosine ay ang ratio sa hypotenuse ng katabing binti, ibig sabihin, cosCAB=b/c. Ang mga kabaligtaran na relasyon ay tinatawag na secant at cosecant.

Ang secant ng anggulong ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng hypotenuse sa katabing binti, iyon ay, secCAB=c/b. Lumalabas ang kapalit ng cosine, iyon ay, maaari itong ipahayag sa pamamagitan ng formula na secCAB=1/cosSAB.
Ang cosecant ay katumbas ng quotient ng paghahati ng hypotenuse sa kabaligtaran na binti at ang kapalit ng sine. Maaari itong kalkulahin gamit ang formula na cosecCAB=1/sinCAB

Ang parehong mga binti ay magkakaugnay at cotangent. Sa kasong ito, ang tangent ay magiging ratio ng gilid a sa gilid b, iyon ay, ang kabaligtaran na binti sa katabi. Ang ratio na ito ay maaaring ipahayag ng formula tgCAB=a/b. Alinsunod dito, ang kabaligtaran na ratio ay ang cotangent: ctgCAB=b/a.

Ang ratio sa pagitan ng mga laki ng hypotenuse at magkabilang binti ay tinutukoy ng sinaunang Greek Pythagoras. Ang theorem, ang kanyang pangalan, ginagamit pa rin ng mga tao. Sinasabi nito na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, iyon ay, c2 \u003d a2 + b2. Alinsunod dito, ang bawat binti ay magiging katumbas ng square root ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng hypotenuse at ng kabilang binti. Ang formula na ito ay maaaring isulat bilang b=√(c2-a2).

Ang haba ng binti ay maaari ding ipahayag sa pamamagitan ng mga relasyong alam mo. Ayon sa theorems ng sines at cosines, ang binti ay katumbas ng produkto ng hypotenuse at isa sa mga function na ito. Maaari mong ipahayag ito at o cotangent. Ang binti a ay matatagpuan, halimbawa, sa pamamagitan ng formula a \u003d b * tan CAB. Sa eksaktong parehong paraan, depende sa ibinigay na tangent o , ang pangalawang binti ay tinutukoy.

Sa arkitektura, ginagamit din ang terminong "binti". Ito ay inilapat sa isang Ionic na kapital at plumb sa gitna ng likod nito. Iyon ay, sa kasong ito, sa pamamagitan ng terminong ito, ang patayo sa ibinigay na linya.

Sa teknolohiya ng hinang, mayroong isang "binti ng isang fillet weld". Tulad ng sa ibang mga kaso, ito ang pinakamaikling distansya. Narito ang pinag-uusapan natin ang agwat sa pagitan ng isa sa mga bahagi na i-welded sa hangganan ng tahi na matatagpuan sa ibabaw ng kabilang bahagi.

Mga kaugnay na video

Mga pinagmumulan:

• ano ang binti at hypotenuse sa 2019

Sa artikulong ito, ipapakita namin kung paano mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo at numero sa trigonometry. Dito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng mga entry, magbigay ng mga graphic na ilustrasyon. Sa konklusyon, gumuhit kami ng parallel sa pagitan ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent sa trigonometry at geometry.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent

Sundan natin kung paano nabuo ang konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent sa kursong matematika ng paaralan. Sa mga aralin sa geometry, ibinibigay ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle. At kalaunan ay pinag-aralan ang trigonometrya, na tumutukoy sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot at ang numero. Ibinibigay namin ang lahat ng mga kahulugang ito, nagbibigay ng mga halimbawa at nagbibigay ng mga kinakailangang komento.

Talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok

Mula sa kurso ng geometry, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay kilala. Ang mga ito ay ibinibigay bilang ratio ng mga gilid ng isang tamang tatsulok. Ipinakita namin ang kanilang mga pormulasyon.

Kahulugan.

Sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng tapat na binti sa hypotenuse.

Kahulugan.

Cosine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Kahulugan.

Tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng tapat na binti sa katabing binti.

Kahulugan.

Cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa tapat na binti.

Ang notasyon ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ipinakilala din doon - sin, cos, tg at ctg, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, kung ang ABC ay isang tamang tatsulok na may tamang anggulo C, kung gayon ang sine ng talamak na anggulo A ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti BC sa hypotenuse AB, iyon ay, sin∠A=BC/AB.

Ang mga kahulugan na ito ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang matinding anggulo mula sa kilalang haba ng mga gilid ng isang right triangle, pati na rin mula sa mga kilalang halaga ng sine, cosine, tangent, cotangent at ang haba ng isa sa mga gilid, hanapin ang mga haba ng iba pang mga gilid. Halimbawa, kung alam natin na sa isang right triangle ang leg AC ay 3 at ang hypotenuse AB ay 7 , pagkatapos ay maaari nating kalkulahin ang cosine ng acute angle A sa pamamagitan ng kahulugan: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Anggulo ng pag-ikot

Sa trigonometrya, sinimulan nilang tingnan ang anggulo nang mas malawak - ipinakilala nila ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot. Ang anggulo ng pag-ikot, hindi tulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado sa mga frame mula 0 hanggang 90 degrees, ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree (at sa radians) ay maaaring ipahayag ng anumang tunay na numero mula −∞ hanggang +∞.

Sa ganitong liwanag, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay hindi na isang matinding anggulo, ngunit isang anggulo ng di-makatwirang magnitude - ang anggulo ng pag-ikot. Ang mga ito ay ibinibigay sa pamamagitan ng x at y na mga coordinate ng point A 1 , kung saan ang tinatawag na initial point A(1, 0) ay dumadaan pagkatapos itong umikot sa isang anggulo α sa paligid ng point O - ang simula ng isang rectangular Cartesian coordinate system at ang gitna ng bilog na yunit.

Kahulugan.

Sine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ordinate ng point A 1 , iyon ay, sinα=y .

Kahulugan.

cosine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay tinatawag na abscissa ng punto A 1 , iyon ay, cosα=x .

Kahulugan.

Tangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 sa abscissa nito, iyon ay, tgα=y/x .

Kahulugan.

Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 sa ordinate nito, iyon ay, ctgα=x/y .

Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo α, dahil palagi nating matutukoy ang abscissa at ordinate ng punto, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa pamamagitan ng anggulong α. At ang tangent at cotangent ay hindi tinukoy para sa anumang anggulo. Ang tangent ay hindi tinukoy para sa mga naturang anggulo α kung saan ang paunang punto ay napupunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) o (0, −1) , at ito ay nagaganap sa mga anggulo na 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Sa katunayan, sa ganitong mga anggulo ng pag-ikot, ang expression na tgα=y/x ay hindi makatwiran, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Tulad ng para sa cotangent, hindi ito tinukoy para sa mga naturang anggulo α kung saan ang panimulang punto ay papunta sa isang punto na may zero ordinate (1, 0) o (−1, 0) , at ito ang kaso para sa mga anggulo 180° k , k . ∈Z (π k rad).

Kaya, ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo ng pag-ikot, ang tangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), at ang cotangent ay para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Ang mga notasyong kilala na natin ay lumilitaw sa mga kahulugang sin, cos, tg at ctg, ginagamit din ang mga ito upang tukuyin ang sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot (kung minsan ay makikita mo ang notasyong tan at cot na tumutugon sa tangent at cotangent). Kaya ang sine ng anggulo ng pag-ikot na 30 degrees ay maaaring isulat bilang sin30°, ang mga tala tg(−24°17′) at ctgα ay tumutugma sa tangent ng anggulo ng pag-ikot −24 degrees 17 minuto at ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α . Alalahanin na kapag isinusulat ang radian na sukat ng isang anggulo, ang notasyong "rad" ay madalas na tinanggal. Halimbawa, ang cosine ng isang anggulo ng pag-ikot ng tatlong pi rad ay karaniwang tinutukoy na cos3 π .

Sa pagtatapos ng talatang ito, nararapat na tandaan na sa pag-uusap tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot, ang pariralang "anggulo ng pag-ikot" o ang salitang "pag-ikot" ay madalas na tinanggal. Iyon ay, sa halip na ang pariralang "sine ng anggulo ng pag-ikot alpha", ang pariralang "sine ng anggulo ng alpha" ay karaniwang ginagamit, o kahit na mas maikli - "sine ng alpha". Ang parehong naaangkop sa cosine, at tangent, at cotangent.

Sabihin din natin na ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay pare-pareho sa mga kahulugan na ibinigay para sa sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang rotation angle mula 0 hanggang 90 degrees. Papatunayan natin ito.

Numero

Kahulugan.

Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero Ang t ay isang numerong katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot sa t radians, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, ang cosine ng 8 π ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang numero na katumbas ng cosine ng isang anggulo ng 8 π rad. At ang cosine ng anggulo sa 8 π rad ay katumbas ng isa, samakatuwid, ang cosine ng numero 8 π ay katumbas ng 1.

May isa pang diskarte sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Binubuo ito sa katotohanan na ang bawat tunay na numero t ay itinalaga ng isang punto ng bilog ng yunit na nakasentro sa pinagmulan ng rectangular coordinate system, at ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong ito. Pag-isipan natin ito nang mas detalyado.

Ipakita natin kung paano naitatag ang pagsusulatan sa pagitan ng mga tunay na numero at mga punto ng bilog:

• ang numero 0 ay itinalaga ang panimulang punto A(1, 0) ;
• ang isang positibong numerong t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa paligid ng bilog mula sa panimulang punto sa pakaliwa na direksyon at dumaan sa landas na may haba na t;
• ang negatibong numerong t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa bilog mula sa panimulang punto sa direksyong pakanan at dadaan sa landas na may haba |t| .

Ngayon ay lumipat tayo sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng numerong t. Ipagpalagay natin na ang numerong t ay tumutugma sa isang punto ng bilog na A 1 (x, y) (halimbawa, ang numerong &pi/2; ay tumutugma sa puntong A 1 (0, 1) ).

Kahulugan.

Ang sine ng isang numero t ay ang ordinate ng unit circle point na tumutugma sa numerong t , iyon ay, sint=y .

Kahulugan.

Ang cosine ng isang numero Ang t ay tinatawag na abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa numerong t , iyon ay, cost=x .

Kahulugan.

Tangent ng isang numero t ay ang ratio ng ordinate sa abscissa ng punto ng unit circle na tumutugma sa numerong t, iyon ay, tgt=y/x. Sa isa pang katumbas na pagbabalangkas, ang tangent ng numerong t ay ang ratio ng sine ng numerong ito sa cosine, iyon ay, tgt=sint/cost .

Kahulugan.

Cotangent ng isang numero Ang t ay ang ratio ng abscissa sa ordinate ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa bilang na t, iyon ay, ctgt=x/y. Ang isa pang pagbabalangkas ay ang mga sumusunod: ang padaplis ng numerong t ay ang ratio ng cosine ng numerong t sa sine ng numerong t : ctgt=cost/sint .

Dito ay napapansin namin na ang mga kahulugan na ibinigay ay sumasang-ayon sa kahulugan na ibinigay sa simula ng subsection na ito. Sa katunayan, ang punto ng bilog na yunit na tumutugma sa numerong t ay tumutugma sa puntong nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa isang anggulo ng t radian.

Ito rin ay nagkakahalaga ng paglilinaw sa puntong ito. Sabihin na nating may sin3 entry tayo. Paano maiintindihan kung ang sine ng numero 3 o ang sine ng anggulo ng pag-ikot ng 3 radian ay pinag-uusapan? Karaniwan itong malinaw mula sa konteksto, kung hindi, malamang na hindi ito mahalaga.

Trigonometric function ng angular at numerical argument

Ayon sa mga kahulugang ibinigay sa nakaraang talata, ang bawat anggulo ng pag-ikot α ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng sinα, pati na rin ang halaga ng cosα. Bilang karagdagan, ang lahat ng mga anggulo ng pag-ikot maliban sa 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ay tumutugma sa mga value na tgα , at maliban sa 180° k , k∈Z (π k rad ) ay ang mga halaga ng ctgα . Samakatuwid ang sinα, cosα, tgα at ctgα ay mga pag-andar ng anggulo α. Sa madaling salita, ito ay mga function ng angular argument.

Katulad nito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga function na sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numerical argument. Sa katunayan, ang bawat tunay na numero t ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng sint , pati na rin ang gastos . Bilang karagdagan, ang lahat ng mga numero maliban sa π/2+π·k , k∈Z ay tumutugma sa mga value tgt , at ang mga numerong π·k , k∈Z ay tumutugma sa mga value na ctgt .

Tinatawag ang mga function na sine, cosine, tangent at cotangent pangunahing mga function ng trigonometriko.

Karaniwang malinaw mula sa konteksto na tayo ay nakikitungo sa mga trigonometriko na pag-andar ng isang angular na argumento o isang numerical na argumento. Kung hindi, maaari nating isaalang-alang ang independiyenteng variable bilang parehong sukatan ng anggulo (ang angle argument) at isang numeric na argumento.

Gayunpaman, pangunahing pinag-aaralan ng paaralan ang mga numerical function, iyon ay, mga function na ang mga argumento, pati na rin ang kaukulang mga value ng function, ay mga numero. Samakatuwid, kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga pag-andar, ipinapayong isaalang-alang ang mga function ng trigonometriko bilang mga pag-andar ng mga numerical na argumento.

Koneksyon ng mga kahulugan mula sa geometry at trigonometry

Kung isasaalang-alang natin ang anggulo ng pag-ikot α mula 0 hanggang 90 degrees, kung gayon ang data sa konteksto ng trigonometrya ng kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot ay ganap na naaayon sa mga kahulugan ng sine, cosine , tangent at cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok, na ibinibigay sa kursong geometry. Patunayan natin ito.

Gumuhit ng unit circle sa rectangular Cartesian coordinate system na Oxy. Tandaan ang panimulang punto A(1, 0) . Iikot natin ito sa pamamagitan ng isang anggulo α mula 0 hanggang 90 degrees, makuha natin ang puntong A 1 (x, y) . Ibagsak natin ang patayo A 1 H mula sa puntong A 1 patungo sa axis ng Ox.

Madaling makita na sa isang kanang tatsulok ang anggulo A 1 OH ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot α, ang haba ng binti OH na katabi ng anggulong ito ay katumbas ng abscissa ng punto A 1, iyon ay, |OH |=x, ang haba ng binti A 1 H sa tapat ng anggulo ay katumbas ng ordinate ng punto A 1 , ibig sabihin, |A 1 H|=y , at ang haba ng hypotenuse OA 1 ay katumbas ng isa , dahil ito ang radius ng unit circle. Pagkatapos, ayon sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng isang matinding anggulo α sa isang tamang tatsulok A 1 OH ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, iyon ay, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . At sa pamamagitan ng kahulugan mula sa trigonometrya, ang sine ng anggulo ng pag-ikot α ay katumbas ng ordinate ng punto A 1, iyon ay, sinα=y. Ipinapakita nito na ang kahulugan ng sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng kahulugan ng sine ng anggulo ng pag-ikot α para sa α mula 0 hanggang 90 degrees.

Katulad nito, maipapakita na ang mga kahulugan ng cosine, tangent, at cotangent ng isang matinding anggulo α ay pare-pareho sa mga kahulugan ng cosine, tangent, at cotangent ng anggulo ng pag-ikot α.

Bibliograpiya.

1. Geometry. 7-9 baitang: pag-aaral. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev at iba pa]. - ika-20 ed. M.: Edukasyon, 2010. - 384 p.: may sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometry: Proc. para sa 7-9 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. V. Pogorelov. - 2nd ed. - M.: Enlightenment, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra at elementarya function: Textbook para sa mga mag-aaral ng grade 9 ng sekondaryang paaralan / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; In-edit ni Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin. - 4th ed. Moscow: Edukasyon, 1969.
4. Algebra: Proc. para sa 9 na mga cell. avg. paaralan / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Baitang 10. Sa 2 pm Bahagi 1: isang aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4th ed., idagdag. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Baitang 10: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - I .: Education, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.