Ang isang ellipse ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto F_1, at ang F_2 ay isang pare-parehong halaga (2a), na mas malaki kaysa sa distansya (2c) sa pagitan ng mga ibinigay na punto (Fig. 3.36, a). Itong geometriko na kahulugan ay nagpapahayag focal property ng isang ellipse.
Focal property ng isang ellipse
Ang mga puntos na F_1 at F_2 ay tinatawag na foci ng ellipse, ang distansya sa pagitan ng mga ito 2c=F_1F_2 ay ang focal length, ang midpoint O ng segment na F_1F_2 ay ang sentro ng ellipse, ang numero 2a ay ang haba ng pangunahing axis ng ellipse (ayon sa pagkakabanggit, ang numero a ay ang pangunahing semiaxis ng ellipse). Ang mga segment na F_1M at F_2M na nagkokonekta sa isang di-makatwirang punto M ng ellipse kasama ang foci nito ay tinatawag na focal radii ng punto M . Ang isang segment ng linya na nagkokonekta sa dalawang punto ng isang ellipse ay tinatawag na isang chord ng ellipse.
Ang ratio na e=\frac(c)(a) ay tinatawag na eccentricity ng ellipse. Mula sa kahulugan (2a>2c) sumusunod na 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometric na kahulugan ng isang ellipse, na nagpapahayag ng focal property nito, ay katumbas ng analytical definition nito - isang linyang ibinigay ng canonical equation ng isang ellipse:
Sa katunayan, ipakilala natin ang isang rectangular coordinate system (Fig. 3.36, c). Ang sentro O ng ellipse ay kinuha bilang ang pinagmulan ng sistema ng coordinate; ang tuwid na linya na dumadaan sa foci (ang focal axis o ang unang axis ng ellipse), kukunin natin bilang abscissa axis (ang positibong direksyon dito mula sa puntong F_1 hanggang sa puntong F_2); ang tuwid na linya na patayo sa focal axis at dumadaan sa gitna ng ellipse (ang pangalawang axis ng ellipse) ay kinuha bilang y-axis (ang direksyon sa y-axis ay pinili upang ang rectangular coordinate system na Oxy ay tama ).
Bumuo tayo ng equation ng isang ellipse gamit ang geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng focal property. Sa napiling coordinate system, tinutukoy namin ang mga coordinate ng foci F_1(-c,0),~F_2(c,0). Para sa isang di-makatwirang punto M(x,y) na kabilang sa ellipse, mayroon kaming:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Sa pagsulat ng pagkakapantay-pantay na ito sa anyo ng coordinate, makukuha natin ang:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Inilipat namin ang pangalawang radikal sa kanang bahagi, parisukat ang magkabilang panig ng equation at nagbibigay ng mga katulad na termino:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Kaliwang arrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Paghahati sa 4, parisukat namin ang magkabilang panig ng equation:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Nagpapahiwatig b=\sqrt(a^2-c^2)>0, nakukuha namin b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Hinahati ang parehong bahagi ng a^2b^2\ne0 , dumating tayo sa canonical equation ng ellipse:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Samakatuwid, ang napiling coordinate system ay kanonikal.
Kung ang foci ng ellipse ay nag-tutugma, kung gayon ang ellipse ay isang bilog (Larawan 3.36.6), dahil a=b. Sa kasong ito, anumang rectangular coordinate system na may pinanggalingan sa punto O\equiv F_1\equiv F_2, at ang equation na x^2+y^2=a^2 ay ang equation ng isang bilog na may center O at radius a .
Sa pamamagitan ng pangangatwiran pabalik, maipapakita na ang lahat ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (3.49), at sila lamang, ay nabibilang sa locus ng mga puntos, na tinatawag na ellipse. Sa madaling salita, ang analytic na kahulugan ng isang ellipse ay katumbas ng geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng focal property ng ellipse.
Pag-aari ng direktoryo ng isang ellipse
Ang mga directrix ng isang ellipse ay dalawang tuwid na linya na dumadaan parallel sa ordinate axis ng canonical coordinate system sa parehong distansya \frac(a^2)(c) mula dito. Para sa c=0 , kapag ang ellipse ay isang bilog, walang mga directrix (maaari nating ipagpalagay na ang mga directrix ay inalis nang walang katapusan).
Ellipse na may eccentricity 0
Sa katunayan, halimbawa, para sa focus F_2 at directrix d_2 (Fig. 3.37.6) ang kundisyon \frac(r_2)(\rho_2)=e maaaring isulat sa coordinate form:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Pag-alis ng hindi makatwiran at pagpapalit e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dumating tayo sa canonical equation ng ellipse (3.49). Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring isagawa para sa focus F_1 at ang directrix d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Ellipse equation sa polar coordinates
Ang ellipse equation sa polar coordinate system F_1r\varphi (Fig.3.37,c at 3.37(2)) ay may anyo
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
kung saan ang p=\frac(b^2)(a) ay ang focal parameter ng ellipse.
Sa katunayan, piliin natin ang kaliwang focus F_1 ng ellipse bilang pole ng polar coordinate system, at ang ray F_1F_2 bilang polar axis (Fig. 3.37, c). Pagkatapos para sa isang arbitrary point M(r,\varphi) , ayon sa geometric na kahulugan (focal property) ng isang ellipse, mayroon kaming r+MF_2=2a . Ipinapahayag namin ang distansya sa pagitan ng mga puntong M(r,\varphi) at F_2(2c,0) (tingnan ang punto 2 ng mga komento 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)
Samakatuwid, sa coordinate form, ang equation ng ellipse F_1M+F_2M=2a ay may anyo
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Ihiwalay namin ang radical, parisukat sa magkabilang panig ng equation, hatiin sa 4 at magbigay ng mga katulad na termino:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Ipinapahayag namin ang polar radius r at ginagawa ang pagpapalit e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Ang geometric na kahulugan ng mga coefficient sa ellipse equation
Hanapin natin ang mga intersection point ng ellipse (tingnan ang Fig. 3.37, a) na may mga coordinate axes (vertices ng zllips). Ang pagpapalit ng y=0 sa equation, makikita natin ang mga intersection point ng ellipse na may abscissa axis (na may focal axis): x=\pm a . Samakatuwid, ang haba ng segment ng focal axis na nakapaloob sa loob ng ellipse ay katumbas ng 2a. Ang segment na ito, gaya ng nabanggit sa itaas, ay tinatawag na major axis ng ellipse, at ang number a ay ang major semi-axis ng ellipse. Ang pagpapalit ng x=0 , makuha natin ang y=\pm b . Samakatuwid, ang haba ng segment ng pangalawang axis ng ellipse na nakapaloob sa loob ng ellipse ay katumbas ng 2b. Ang segment na ito ay tinatawag na minor axis ng ellipse, at ang bilang b ay tinatawag na minor semiaxis ng ellipse.
Talaga, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, at ang pagkakapantay-pantay b=a ay nakuha lamang sa kaso c=0 kapag ang ellipse ay isang bilog. Saloobin k=\frac(b)(a)\leqslant1 ay tinatawag na contraction factor ng ellipse.
Pangungusap 3.9
1. Nililimitahan ng mga linyang x=\pm a,~y=\pm b ang pangunahing parihaba sa coordinate plane, sa loob kung saan matatagpuan ang ellipse (tingnan ang Fig. 3.37, a).
2. Ang isang ellipse ay maaaring tukuyin bilang ang locus ng mga puntos na nakuha sa pamamagitan ng pagkontrata ng isang bilog sa diameter nito.
Sa katunayan, hayaan sa rectangular coordinate system na Oxy ang circle equation ay may anyo x^2+y^2=a^2 . Kapag na-compress sa x-axis na may factor na 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Ang pagpapalit ng x=x" at y=\frac(1)(k)y" sa equation ng bilog, makakakuha tayo ng equation para sa mga coordinate ng imaheng M"(x",y") ng point M(x). ,y): (x")^2+(\kaliwa(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} dahil b=k\cdot a . Ito ang canonical equation ng ellipse. 3. Ang mga coordinate axes (ng canonical coordinate system) ay ang mga axes ng symmetry ng ellipse (tinatawag na principal axes ng ellipse), at ang sentro nito ay ang sentro ng simetrya. Sa katunayan, kung ang puntong M(x,y) ay kabilang sa ellipse . pagkatapos ay ang mga puntos na M"(x,-y) at M""(-x,y) , simetriko sa puntong M na may paggalang sa mga coordinate axes, ay nabibilang din sa parehong ellipse. 4. Mula sa equation ng isang ellipse sa isang polar coordinate system r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(tingnan ang Fig. 3.37, c), ang geometric na kahulugan ng focal parameter ay nilinaw - ito ay kalahati ng haba ng chord ng ellipse na dumadaan sa pokus nito patayo sa focal axis ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ang eccentricity e ay nagpapakilala sa hugis ng ellipse, katulad ng pagkakaiba sa pagitan ng ellipse at ng bilog. Kung mas malaki ang e, mas pinahaba ang ellipse, at mas malapit ang e sa zero, mas malapit ang ellipse sa bilog (Fig. 3.38, a). Sa katunayan, ibinigay na e=\frac(c)(a) at c^2=a^2-b^2 , nakukuha natin E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\kaliwa(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2,
!} kung saan ang k ay ang contraction factor ng ellipse, 0 6. Equation \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 para sa
7. Equation \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b tumutukoy sa isang ellipse na nakasentro sa puntong O "(x_0, y_0), na ang mga axes ay parallel sa mga coordinate axes (Fig. 3.38, c). Ang equation na ito ay binawasan sa canonical na isa gamit ang parallel translation (3.36). Para sa a=b=R ang equation (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 naglalarawan ng bilog na radius R na nakasentro sa puntong O"(x_0,y_0) . Parametric equation ng isang ellipse sa canonical coordinate system ay may anyo \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Sa katunayan, ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (3.49), dumating tayo sa pangunahing trigonometric identity \cos^2t+\sin^2t=1 . Halimbawa 3.20. gumuhit ng ellipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 sa canonical coordinate system Oxy . Maghanap ng mga semiax, focal length, eccentricity, aspect ratio, focal parameter, directrix equation. Desisyon. Ang paghahambing ng ibinigay na equation sa canonical na isa, tinutukoy namin ang mga semiax: a=2 - ang pangunahing semiaxis, b=1 - ang menor na semiaxis ng ellipse. Binubuo namin ang pangunahing parihaba na may mga gilid 2a=4,~2b=2 na nakasentro sa pinanggalingan (Fig.3.39). Dahil sa mahusay na proporsyon ng ellipse, nababagay namin ito sa pangunahing rektanggulo. Kung kinakailangan, tinutukoy namin ang mga coordinate ng ilang mga punto ng ellipse. Halimbawa, ang pagpapalit ng x=1 sa ellipse equation, nakukuha natin \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Samakatuwid, ang mga puntos na may mga coordinate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- nabibilang sa isang ellipse. Kalkulahin ang ratio ng compression k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); eccentricity e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); focal parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Binubuo namin ang mga directrix equation: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Kahulugan. Ang isang ellipse ay ang locus ng mga puntos sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya ng bawat isa sa kanila mula sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplanong ito, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga (sa kondisyon na ang halagang ito ay mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci). Tukuyin natin ang foci sa pamamagitan ng distansya sa pagitan nila - sa pamamagitan ng , at isang pare-parehong halaga na katumbas ng kabuuan ng mga distansya mula sa bawat punto ng ellipse hanggang sa foci, sa pamamagitan ng (sa pamamagitan ng kondisyon ). Bumuo tayo ng isang Cartesian coordinate system upang ang foci ay nasa abscissa axis, at ang pinagmulan ng mga coordinate ay tumutugma sa gitna ng segment (Fig. 44). Pagkatapos ang mga focus ay magkakaroon ng mga sumusunod na coordinate: kaliwang focus at kanang focus. Kunin natin ang equation ng ellipse sa coordinate system na napili natin. Sa layuning ito, isaalang-alang ang isang arbitrary na punto ng ellipse. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ellipse, ang kabuuan ng mga distansya mula sa puntong ito hanggang sa foci ay: Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang puntos, nakukuha namin, samakatuwid, Upang gawing simple ang equation na ito, isinusulat namin ito sa form Pagkatapos ay nagbibigay ang pag-squaring sa magkabilang panig ng equation o, pagkatapos ng malinaw na pagpapasimple: Ngayon muli naming parisukat ang magkabilang panig ng equation, pagkatapos nito ay magkakaroon kami ng: o, pagkatapos ng magkatulad na pagbabago: Dahil ayon sa kondisyon sa kahulugan ng isang ellipse , kung gayon ay isang positibong numero. Ipinakilala namin ang notasyon Pagkatapos ang equation ay kukuha ng sumusunod na anyo: Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ellipse, ang mga coordinate ng alinman sa mga punto nito ay nakakatugon sa equation (26). Ngunit ang equation (29) ay bunga ng equation (26). Samakatuwid, natutugunan din nito ang mga coordinate ng anumang punto ng ellipse. Maaaring ipakita na ang mga coordinate ng mga puntos na hindi nakahiga sa ellipse ay hindi nakakatugon sa equation (29). Kaya, ang equation (29) ay ang equation ng isang ellipse. Ito ay tinatawag na canonical equation ng ellipse. Itatag natin ang hugis ng ellipse gamit ang canonical equation nito. Una sa lahat, tandaan na ang equation na ito ay naglalaman lamang ng kahit na mga kapangyarihan ng x at y. Nangangahulugan ito na kung ang anumang punto ay kabilang sa isang ellipse, kasama rin dito ang isang punto na simetriko na may isang punto tungkol sa abscissa axis, at isang punto na simetriko na may isang punto tungkol sa y-axis. Kaya, ang ellipse ay may dalawang magkaparehong patayo na axes ng symmetry, na sa aming napiling coordinate system ay nag-tutugma sa mga coordinate axes. Ang mga axes ng symmetry ng ellipse ay tatawaging axes ng ellipse, at ang punto ng kanilang intersection - ang gitna ng ellipse. Ang axis kung saan matatagpuan ang foci ng ellipse (sa kasong ito, ang abscissa axis) ay tinatawag na focal axis. Tukuyin muna natin ang hugis ng ellipse sa unang quarter. Upang gawin ito, lutasin namin ang equation (28) na may paggalang sa y: Ito ay malinaw na dito , dahil ang y ay kumukuha ng mga haka-haka na halaga para sa . Sa pagtaas mula 0 hanggang a, ang y ay bumababa mula b hanggang 0. Ang bahagi ng ellipse na nakahiga sa unang quarter ay magiging isang arko na nililimitahan ng mga puntos na B (0; b) at nakahiga sa mga coordinate axes (Fig. 45). Gamit ngayon ang simetrya ng ellipse, napagpasyahan namin na ang ellipse ay may hugis na ipinapakita sa Fig. 45. Ang mga punto ng intersection ng ellipse na may mga axes ay tinatawag na vertices ng ellipse. Ito ay sumusunod mula sa simetrya ng ellipse na, bilang karagdagan sa mga vertices, ang ellipse ay may dalawa pang vertices (tingnan ang Fig. 45). Ang mga segment at pagkonekta sa magkasalungat na vertices ng ellipse, pati na rin ang kanilang mga haba, ay tinatawag na major at minor axes ng ellipse, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga numerong a at b ay tinatawag na major at minor semiax ng ellipse, ayon sa pagkakabanggit. Ang ratio ng kalahati ng distansya sa pagitan ng foci hanggang sa semi-major axis ng ellipse ay tinatawag na eccentricity ng ellipse at karaniwang tinutukoy ng titik: Dahil , kung gayon ang eccentricity ng ellipse ay mas mababa sa isa: Ang eccentricity ay nagpapakilala sa hugis ng ellipse. Sa katunayan, ito ay sumusunod mula sa formula (28), Mula dito makikita na mas maliit ang eccentricity ng ellipse, mas mababa ang minor semiaxis b nito mula sa major semiaxis a, ibig sabihin, mas maliit ang ellipse ay pinalawak (kasama ang focal aksis). Sa paglilimita ng kaso, kapag nakakuha ka ng bilog na radius a: , o . Kasabay nito, ang foci ng ellipse, tulad nito, ay pinagsama sa isang punto - ang gitna ng bilog. Ang eccentricity ng bilog ay zero: Ang koneksyon sa pagitan ng ellipse at ng bilog ay maaaring maitatag mula sa ibang punto ng view. Ipakita natin na ang isang ellipse na may mga semi-axes a at b ay maaaring ituring bilang isang projection ng isang bilog na radius a. Isaalang-alang natin ang dalawang eroplanong P at Q, na bumubuo ng gayong anggulo sa pagitan ng kanilang mga sarili, kung saan (Larawan 46). Bumuo tayo ng isang coordinate system sa P plane, at isang Oxy system sa Q plane na may karaniwang pinagmulan O at isang karaniwang abscissa axis na tumutugma sa linya ng intersection ng mga eroplano. Isaalang-alang sa eroplano P ang bilog nakasentro sa pinanggalingan at radius a. Hayaang maging isang arbitraryong napiling punto ng bilog, maging projection nito sa Q plane, at maging projection ng point M papunta sa Ox axis. Ipakita natin na ang punto ay nasa isang ellipse na may mga semi-axes a at b. 11.1. Pangunahing konsepto Isaalang-alang ang mga linya na tinukoy ng mga equation ng pangalawang degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate Ang mga coefficient ng equation ay tunay na mga numero, ngunit ayon sa kahit na isa sa mga numerong A, B o C ay iba sa zero. Ang ganitong mga linya ay tinatawag na mga linya (curves) ng pangalawang order. Itatatag sa ibaba na ang equation (11.1) ay tumutukoy sa isang bilog, ellipse, hyperbola, o parabola sa eroplano. Bago magpatuloy sa assertion na ito, pag-aralan natin ang mga katangian ng enumerated curves. 11.2. Bilog Pagkatapos ay mula sa kundisyon makuha namin ang equation Ang equation (11.2) ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto sa ibinigay na bilog at hindi nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto na hindi nakahiga sa bilog. Ang equation (11.2) ay tinatawag ang canonical equation ng bilog Sa partikular, sa pag-aakalang at , nakukuha natin ang equation ng isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan Ang bilog na equation (11.2) pagkatapos ng mga simpleng pagbabago ay kukuha ng anyong . Kapag inihambing ang equation na ito sa pangkalahatang equation (11.1) ng isang second-order curve, madaling makita na ang dalawang kundisyon ay nasiyahan para sa equation ng isang bilog: 1) ang mga coefficient sa x 2 at y 2 ay katumbas ng bawat isa; 2) walang miyembro na naglalaman ng xy product ng kasalukuyang coordinate. Isaalang-alang natin ang kabaligtaran na problema. Ang paglalagay sa equation (11.1) ng mga halaga at , nakukuha namin Ibahin natin ang equation na ito: Kasunod nito na ang equation (11.3) ay tumutukoy sa isang bilog sa ilalim ng kundisyon Kung Ito ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng isang solong punto Kung ang 11.3. Ellipse Canonical equation ng isang ellipse Ellipse
ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa kanila hanggang sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplanong ito, na tinatawag na mga trick
, ay isang pare-parehong halaga na mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci. Upang makuha ang equation ng isang ellipse, pumili kami ng isang coordinate system upang ang foci F1 at F2 nakahiga sa axis , at ang pinagmulan ay tumutugma sa gitnang punto ng segment F 1 F 2. Pagkatapos ang foci ay magkakaroon ng mga sumusunod na coordinate: at . Hayaan ay isang di-makatwirang punto ng ellipse. Pagkatapos, ayon sa kahulugan ng isang ellipse, i.e. Ito, sa katunayan, ay ang equation ng isang ellipse. Binabago namin ang equation (11.5) sa isang mas simpleng anyo gaya ng sumusunod: Bilang a>kasama, pagkatapos . Ilagay natin Pagkatapos ang huling equation ay tumatagal sa anyo o Mapapatunayan na ang equation (11.7) ay katumbas ng orihinal na equation. Ang tawag dito ang canonical equation ng ellipse
. Ang Ellipse ay isang curve ng pangalawang order. Pag-aaral ng hugis ng isang ellipse ayon sa equation nito Itatag natin ang hugis ng ellipse gamit ang canonical equation nito. 1. Ang equation (11.7) ay naglalaman lamang ng x at y sa magkapantay na kapangyarihan, kaya kung ang isang punto ay kabilang sa isang ellipse, kung gayon ang mga puntos ,, ay kabilang din dito. Kasunod nito na ang ellipse ay simetriko na may paggalang sa mga axes at , pati na rin sa paggalang sa punto , na tinatawag na sentro ng ellipse. 3. Ito ay sumusunod mula sa equation (11.7) na ang bawat termino sa kaliwang bahagi ay hindi lalampas sa pagkakaisa, i.e. may mga hindi pagkakapantay-pantay at o at . Samakatuwid, ang lahat ng mga punto ng ellipse ay nasa loob ng parihaba na nabuo ng mga tuwid na linya. 4. Sa equation (11.7), ang kabuuan ng mga di-negatibong termino at katumbas ng isa. Dahil dito, habang tumataas ang isang termino, bababa ang isa, ibig sabihin, kung tataas ito, bababa ito at kabaliktaran. Mula sa sinabi, sumusunod na ang ellipse ay may hugis na ipinapakita sa Fig. 50 (oval closed curve). Higit pa tungkol sa ellipse Ang hugis ng ellipse ay depende sa ratio. Kapag ang ellipse ay naging bilog, ang ellipse equation (11.7) ay nasa anyo . Bilang isang katangian ng hugis ng isang ellipse, ang ratio ay mas madalas na ginagamit. Ang ratio ng kalahati ng distansya sa pagitan ng foci hanggang sa semi-major axis ng ellipse ay tinatawag na eccentricity ng ellipse at ang o6o ay tinutukoy ng titik ε ("epsilon"): may 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде Ito ay nagpapakita na ang mas maliit ang eccentricity ng ellipse, ang mas oblate ang ellipse ay magiging; kung ilalagay natin ang ε = 0, ang ellipse ay magiging bilog. May mga formula Ang mga tuwid na linya ay tinatawag Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (11.6) na . Kung , ang equation (11.7) ay tumutukoy sa isang ellipse, ang pangunahing axis nito ay nasa Oy axis, at ang minor axis ay nasa Ox axis (tingnan ang Fig. 52). Ang foci ng naturang ellipse ay nasa mga punto at , kung saan 11.4. Hyperbola Canonical equation ng hyperbola Hyperbole
ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano ay tinatawag, ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa bawat isa sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplanong ito, na tinatawag na mga trick
, ay isang pare-parehong halaga, mas maliit kaysa sa distansya sa pagitan ng foci. Upang makuha ang hyperbola equation, pumili kami ng isang coordinate system upang ang foci F1 at F2 nakahiga sa axis , at ang pinagmulan ay nag-tutugma sa gitnang punto ng segment F 1 F 2(tingnan ang fig. 53). Pagkatapos ang foci ay magkakaroon ng mga coordinate at Hayaan ang isang arbitrary na punto ng hyperbola. Pagkatapos ay ayon sa kahulugan ng isang hyperbola Ang hyperbola ay isang linya ng pangalawang order. Pagsisiyasat sa anyo ng hyperbola ayon sa equation nito Itatag natin ang hugis ng hyperbola gamit ang caconic equation nito. 1. Ang equation (11.9) ay naglalaman lamang ng x at y sa magkapantay na kapangyarihan. Samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko na may paggalang sa mga palakol at , gayundin sa paggalang sa punto , na tinatawag na ang sentro ng hyperbola.
2. Hanapin ang mga intersection point ng hyperbola na may mga coordinate axes. Sa paglalagay sa equation (11.9), nakita namin ang dalawang punto ng intersection ng hyperbola na may axis : at . Sa paglalagay ng (11.9), nakukuha natin ang , na hindi maaaring. Samakatuwid, ang hyperbola ay hindi sumasalubong sa y-axis. Ang mga puntos at tinatawag
mga taluktok
hyperbolas, at ang segment totoong axis
, segment ng linya - tunay na semiaxis
hyperbole. Ang segment ng linya na nagkokonekta sa mga punto ay tinatawag
imaginary axis
, numero b - imaginary axis
. Parihaba na may mga gilid 2a at 2b tinawag ang pangunahing parihaba ng isang hyperbola
. 3. Ito ay sumusunod mula sa equation (11.9) na ang minuend ay hindi bababa sa isa, ibig sabihin, iyon o . Nangangahulugan ito na ang mga punto ng hyperbola ay matatagpuan sa kanan ng linya (ang kanang sangay ng hyperbola) at sa kaliwa ng linya (ang kaliwang sangay ng hyperbola). 4. Mula sa equation (11.9) ng hyperbola, makikita na kapag tumaas ito, tumataas din ito. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagkakaiba ay nagpapanatili ng isang pare-parehong halaga na katumbas ng isa. Ito ay sumusunod sa kung ano ang sinabi na ang hyperbola ay may hugis na ipinapakita sa Figure 54 (isang kurba na binubuo ng dalawang walang hangganang sanga). Asymptotes ng hyperbola
Ang linyang L ay tinatawag na asymptote Ipakita natin na ang hyperbola ay may dalawang asymptotes: Dahil ang mga linya (11.11) at ang hyperbola (11.9) ay simetriko na may kinalaman sa mga coordinate axes, sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga punto ng ipinahiwatig na mga linya na matatagpuan sa unang kuwadrante. Dumaan sa isang tuwid na linya ang isang punto N na may parehong abscissa x bilang isang punto sa isang hyperbola Tulad ng makikita mo, habang ang x ay tumataas, ang denominator ng fraction ay tumataas; Ang numerator ay isang pare-parehong halaga. Samakatuwid, ang haba ng segment Kapag gumagawa ng hyperbola (11.9), ipinapayong gawin muna ang pangunahing parihaba ng hyperbola (tingnan ang Fig. 57), gumuhit ng mga linya na dumadaan sa magkasalungat na vertices ng rectangle na ito - ang mga asymptotes ng hyperbola at markahan ang vertices at , hyperbola . Ang equation ng isang equilateral hyperbola. na ang mga asymptotes ay ang mga coordinate axes Ang mga asymptotes ng isang equilateral hyperbola ay may mga equation at samakatuwid ay mga bisector ng mga coordinate na anggulo. Isaalang-alang ang equation ng hyperbola na ito sa bagong coordinate system (tingnan ang Fig. 58), na nakuha mula sa luma sa pamamagitan ng pag-ikot ng coordinate axes sa pamamagitan ng isang anggulo. Ginagamit namin ang mga formula para sa pag-ikot ng mga coordinate axes: Pinapalitan namin ang mga halaga ng x at y sa equation (11.12): Ang equation ng isang equilateral hyperbola, kung saan ang mga axes na Ox at Oy ay mga asymptotes, ay magkakaroon ng anyo . Higit pa tungkol sa hyperbole eccentricity
Ang hyperbola (11.9) ay ang ratio ng distansya sa pagitan ng foci sa halaga ng totoong axis ng hyperbola, na tinutukoy ng ε: Dahil para sa isang hyperbola , ang eccentricity ng hyperbola ay mas malaki kaysa sa isa: . Ang eccentricity ay nagpapakilala sa hugis ng isang hyperbola. Sa katunayan, ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (11.10) na i.e. at Ipinapakita nito na mas maliit ang eccentricity ng hyperbola, mas maliit ang ratio - ng mga semiax nito, na nangangahulugan na mas pinalawak ang pangunahing parihaba nito. Ang eccentricity ng isang equilateral hyperbola ay . Talaga, Focal radii Ang mga tuwid na linya ay tinatawag na mga directrix ng isang hyperbola. Dahil para sa hyperbola ε > 1, kung gayon . Nangangahulugan ito na ang kanang directrix ay matatagpuan sa pagitan ng gitna at kanang vertex ng hyperbola, ang kaliwang directrix ay nasa pagitan ng gitna at kaliwang vertex. Ang mga directrix ng isang hyperbola ay may parehong pag-aari ng mga directrix ng isang ellipse. Ang kurba na tinukoy ng equation ay isa ring hyperbola, ang tunay na axis 2b nito ay matatagpuan sa Oy axis, at ang haka-haka na axis 2 a- sa axis ng Ox. Sa Figure 59, ito ay ipinapakita bilang isang tuldok na linya. Malinaw, ang mga hyperbola at may mga karaniwang asymptotes. Ang ganitong mga hyperbola ay tinatawag na conjugate. 11.5. Parabola Canonical parabola equation Ang parabola ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa isang eroplano, na ang bawat isa ay pantay na malayo sa isang partikular na punto, na tinatawag na focus, at isang partikular na linya, na tinatawag na directrix. Ang distansya mula sa focus F hanggang sa directrix ay tinatawag na parameter ng parabola at tinutukoy ng p (p > 0). 1. Sa equation (11.13), ang variable na y ay kasama sa pantay na degree, na nangangahulugan na ang parabola ay simetriko tungkol sa Ox axis; ang x-axis ay ang axis ng symmetry ng parabola. 2. Dahil ρ > 0, ito ay sumusunod mula sa (11.13) na . Samakatuwid, ang parabola ay matatagpuan sa kanan ng y-axis. 3. Kapag mayroon tayong y \u003d 0. Samakatuwid, ang parabola ay dumadaan sa pinanggalingan. 4. Sa walang limitasyong pagtaas sa x, ang module y ay tumataas din nang walang katiyakan. Ang parabola ay may anyo (hugis) na ipinapakita sa Figure 61. Ang punto O (0; 0) ay tinatawag na vertex ng parabola, ang segment na FM \u003d r ay tinatawag na focal radius ng puntong M. Mga equation , , ( p>0) ay tumutukoy din sa mga parabola, ipinapakita ang mga ito sa Figure 62 Madaling ipakita na ang graph ng isang square trinomial, kung saan , B at C ay anumang tunay na mga numero, ay isang parabola sa kahulugan ng kahulugan nito sa itaas. 11.6. Pangkalahatang equation ng second order lines Mga equation ng mga curve ng pangalawang pagkakasunud-sunod na may mga axes ng symmetry parallel sa mga coordinate axes Hanapin muna natin ang equation ng isang ellipse na nakasentro sa punto , na ang mga symmetry axes ay parallel sa coordinate axes na Ox at Oy at ang mga semiax, ayon sa pagkakabanggit, ay a at b. Ilagay natin sa gitna ng ellipse O 1 ang pinagmulan ng bagong coordinate system , na ang mga axes at semi-axes a at b(tingnan ang fig. 64): At sa wakas, ang mga parabola na ipinapakita sa Figure 65 ay may kaukulang mga equation. Ang equation Ang mga equation ng isang ellipse, hyperbola, parabola at ang equation ng isang bilog pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (bukas na mga bracket, ilipat ang lahat ng mga termino ng equation sa isang direksyon, magdala ng mga katulad na termino, ipakilala ang bagong notasyon para sa mga coefficient) ay maaaring isulat gamit ang isang solong equation ng ang anyo kung saan ang mga coefficient A at C ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Ang tanong ay lumitaw: ang anumang equation ng form (11.14) ay tumutukoy sa isa sa mga kurba (bilog, ellipse, hyperbola, parabola) ng pangalawang pagkakasunud-sunod? Ang sagot ay ibinigay ng sumusunod na teorama. Teorama 11.2. Ang equation (11.14) ay palaging tumutukoy: alinman sa isang bilog (para sa A = C), o isang ellipse (para sa A C > 0), o isang hyperbola (para sa A C< 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. Pangkalahatang equation ng pangalawang order Isaalang-alang ngayon ang pangkalahatang equation ng pangalawang antas na may dalawang hindi alam: Naiiba ito sa equation (11.14) sa pagkakaroon ng term na may produkto ng mga coordinate (B¹ 0). Posible, sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga coordinate axes sa isang anggulo a, na baguhin ang equation na ito upang ang termino na may produkto ng mga coordinate ay wala dito. Paggamit ng mga formula para sa pagliko ng mga palakol Ipahayag natin ang mga lumang coordinate sa mga tuntunin ng mga bago: Pinipili namin ang anggulo a upang ang koepisyent sa x "y" ay mawala, ibig sabihin, upang ang pagkakapantay-pantay Kaya, kapag ang mga axes ay pinaikot sa isang anggulo a na nakakatugon sa kondisyon (11.17), ang equation (11.15) ay bumababa sa equation (11.14). Konklusyon: ang pangkalahatang equation ng pangalawang order (11.15) ay tumutukoy sa eroplano (maliban sa mga kaso ng pagkabulok at pagkabulok) ang mga sumusunod na kurba: bilog, ellipse, hyperbola, parabola. Tandaan: Kung A = C, mawawalan ng kahulugan ang equation (11.17). Sa kasong ito cos2α = 0 (tingnan ang (11.16)), pagkatapos ay 2α = 90°, ibig sabihin, α = 45°. Kaya, sa A = C, ang sistema ng coordinate ay dapat na paikutin ng 45 °. Mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa isang eroplano ay tinatawag na mga linya na tinukoy ng mga equation kung saan ang mga variable na coordinate x at y nakapaloob sa ikalawang antas. Kabilang dito ang ellipse, hyperbola, at parabola. Ang pangkalahatang anyo ng second-order curve equation ay ang mga sumusunod: saan A, B, C, D, E, F- mga numero at hindi bababa sa isa sa mga coefficient A, B, C ay hindi katumbas ng zero. Kapag nilulutas ang mga problema sa second-order curves, ang mga canonical equation ng isang ellipse, hyperbola, at parabola ay kadalasang isinasaalang-alang. Madaling ipasa sa kanila mula sa mga pangkalahatang equation, ang halimbawa 1 ng mga problema sa mga ellipse ay iuukol dito. Kahulugan ng isang ellipse. Ang isang ellipse ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano, ang mga kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa mga punto, na tinatawag na foci, ay pare-pareho at mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci. Ang mga focus ay minarkahan tulad ng nasa figure sa ibaba. Ang canonical equation ng isang ellipse ay: saan a at b (a > b) - ang mga haba ng mga semiax, ibig sabihin, kalahati ng mga haba ng mga segment na pinutol ng ellipse sa mga coordinate axes. Ang tuwid na linya na dumadaan sa foci ng ellipse ay ang axis ng symmetry nito. Ang isa pang axis ng symmetry ng ellipse ay isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng segment na patayo sa segment na ito. Dot O ang intersection ng mga linyang ito ay nagsisilbing sentro ng simetrya ng ellipse, o ang sentro lamang ng ellipse. Ang abscissa axis ng ellipse ay nagsalubong sa mga punto ( a, O) at (- a, O), at ang y-axis ay nasa mga punto ( b, O) at (- b, O). Ang apat na puntong ito ay tinatawag na vertices ng ellipse. Ang segment sa pagitan ng mga vertices ng ellipse sa abscissa axis ay tinatawag na major axis nito, at sa ordinate axis - ang minor axis. Ang kanilang mga segment mula sa itaas hanggang sa gitna ng ellipse ay tinatawag na semiaxes. Kung ang a = b, pagkatapos ay ang equation ng ellipse ay kukuha ng anyo . Ito ang equation para sa isang bilog ng radius a, at ang bilog ay isang espesyal na kaso ng isang ellipse. Ang isang ellipse ay maaaring makuha mula sa isang bilog ng radius a, kung i-compress mo ito sa a/b beses sa kahabaan ng axis Oy
. Halimbawa 1 Suriin kung ang linya na ibinigay ng pangkalahatang equation Desisyon. Gumagawa kami ng mga pagbabago sa pangkalahatang equation. Inilapat namin ang paglipat ng libreng termino sa kanang bahagi, ang termino-by-term na dibisyon ng equation sa pamamagitan ng parehong numero at ang pagbabawas ng mga fraction: Sagot. Ang resultang equation ay ang canonical equation ng ellipse. Samakatuwid, ang linyang ito ay isang ellipse. Halimbawa 2 Isulat ang canonical equation ng isang ellipse kung ang mga semiax nito ay 5 at 4, ayon sa pagkakabanggit. Desisyon. Tinitingnan natin ang formula para sa canonical equation ng ellipse at substitute: ang semi-major axis ay a= 5 , ang minor semiaxis ay b= 4 . Nakukuha namin ang canonical equation ng ellipse: Mga puntos at minarkahan ng berde sa pangunahing axis, kung saan tinawag mga trick. tinawag eccentricity ellipse. Saloobin b/a nailalarawan ang "oblateness" ng ellipse. Kung mas maliit ang ratio na ito, mas pinalawak ang ellipse sa kahabaan ng major axis. Gayunpaman, ang antas ng pagpahaba ng ellipse ay mas madalas na ipinahayag sa mga tuntunin ng eccentricity, ang formula na ibinigay sa itaas. Para sa iba't ibang mga ellipse, ang eccentricity ay nag-iiba mula 0 hanggang 1, palaging nananatiling mas mababa sa isa. Halimbawa 3 Isulat ang canonical equation ng isang ellipse kung ang distansya sa pagitan ng foci ay 8 at ang major axis ay 10. Desisyon. Gumagawa kami ng mga simpleng konklusyon: Kung ang pangunahing axis ay 10, ang kalahati nito, i.e. semiaxis a = 5
, Kung ang distansya sa pagitan ng foci ay 8, kung gayon ang numero c sa mga focus coordinate ay 4. Palitan at kalkulahin: Ang resulta ay ang canonical equation ng ellipse: Halimbawa 4 Isulat ang canonical equation ng isang ellipse kung ang major axis nito ay 26 at ang eccentricity ay . Desisyon. Tulad ng mga sumusunod mula sa parehong laki ng pangunahing axis at ang eccentricity equation, ang pangunahing semiaxis ng ellipse a= 13 . Mula sa eccentricity equation, ipinapahayag namin ang numero c, kailangan upang kalkulahin ang haba ng menor de edad na semiaxis: Kinakalkula namin ang parisukat ng haba ng menor de edad na semiaxis: Binubuo namin ang canonical equation ng ellipse: Halimbawa 5 Tukuyin ang foci ng ellipse na ibinigay ng canonical equation. Desisyon. Kailangang maghanap ng numero c, na tumutukoy sa mga unang coordinate ng foci ng ellipse: Nakukuha namin ang mga pokus ng ellipse: Halimbawa 6 Ang foci ng ellipse ay matatagpuan sa axis baka simetriko tungkol sa pinagmulan. Isulat ang canonical equation ng isang ellipse kung: 1) ang distansya sa pagitan ng foci ay 30, at ang pangunahing axis ay 34 2) ang minor axis ay 24, at ang isa sa mga nakatutok ay nasa punto (-5; 0) 3) eccentricity, at ang isa sa mga foci ay nasa punto (6; 0) Kung - isang di-makatwirang punto ng ellipse (minarkahan ng berde sa pagguhit sa kanang itaas na bahagi ng ellipse) at - ang mga distansya sa puntong ito mula sa foci, kung gayon ang mga formula para sa mga distansya ay ang mga sumusunod: Para sa bawat punto na kabilang sa ellipse, ang kabuuan ng mga distansya mula sa foci ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng 2 a. Mga tuwid na linya na tinukoy ng mga equation tinawag mga direktor ellipse (sa pagguhit - mga pulang linya sa mga gilid). Mula sa dalawang equation sa itaas ito ay sumusunod na para sa anumang punto ng ellipse kung saan at ang mga distansya ng puntong ito sa mga directrix at . Halimbawa 7 Binigyan ng ellipse. Sumulat ng isang equation para sa mga directrix nito. Desisyon. Tinitingnan namin ang directrix equation at nalaman na kinakailangan upang mahanap ang eccentricity ng ellipse, ibig sabihin. Ang lahat ng data para dito ay. Kinakalkula namin: Nakukuha namin ang equation ng directrix ng ellipse: Halimbawa 8 Isulat ang canonical equation ng isang ellipse kung ang foci nito ay mga puntos at ang mga directrix ay mga linya.Parametric equation ng isang ellipse
Dapat na pinagana ang mga kontrol ng ActiveX upang makagawa ng mga kalkulasyon!
Ang pinakasimpleng curve ng pangalawang order ay isang bilog. Alalahanin na ang isang bilog ng radius R na nakasentro sa isang punto ay ang set ng lahat ng mga punto Μ ng eroplano na nakakatugon sa kondisyon. Hayaan ang isang punto sa isang hugis-parihaba na coordinate system ay may mga coordinate x 0, y 0 a - isang arbitrary na punto ng bilog (tingnan ang Fig. 48).
(11.2)
.
(11.4)
. Ang sentro nito ay nasa punto 
, at ang radius
.
, pagkatapos ay ang equation (11.3) ay may anyo
.
. Sa kasong ito, sinasabi nila: "ang bilog ay bumagsak sa isang punto" (may zero radius).
, pagkatapos ay ang equation (11.4), at samakatuwid ang katumbas na equation (11.3), ay hindi tutukoy ng anumang linya, dahil ang kanang bahagi ng equation (11.4) ay negatibo, at ang kaliwang bahagi ay hindi negatibo (sabihin: "imaginary circle").
Tukuyin ang foci sa pamamagitan ng F1 at F2, ang distansya sa pagitan nila sa 2 c, at ang kabuuan ng mga distansya mula sa isang arbitrary na punto ng ellipse hanggang sa foci - hanggang 2 a(tingnan ang fig. 49). Sa pamamagitan ng kahulugan 2 a > 2c, ibig sabihin. a
> c.
(11.6)
(11.7)
2. Hanapin ang mga punto ng intersection ng ellipse na may mga coordinate axes. Sa paglalagay ng , nakita namin ang dalawang puntos at , kung saan ang axis ay nagsalubong sa ellipse (tingnan ang Fig. 50). Sa paglalagay ng equation (11.7), nakita natin ang mga punto ng intersection ng ellipse na may axis: at . puntos A 1 ,
A2 , B1, B2 tinawag ang mga vertex ng ellipse. Mga segment A 1 A2 at B1 B2, pati na rin ang kanilang mga haba 2 a at 2 b ay tinatawag ayon sa pagkakabanggit major at minor axes ellipse. Numero a at b ay tinatawag na malaki at maliit, ayon sa pagkakabanggit. mga axle shaft ellipse.
Hayaang ang M(x; y) ay isang arbitrary na punto ng ellipse na may foci F 1 at F 2 (tingnan ang Fig. 51). Ang mga haba ng mga segment F 1 M=r 1 at F 2 M = r 2 ay tinatawag na focal radii ng point M. Obviously,
Teorama 11.1. Kung ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto ng ellipse hanggang sa ilang focus, ang d ay ang distansya mula sa parehong punto hanggang sa directrix na naaayon sa focus na ito, kung gayon ang ratio ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng eccentricity ng ellipse:
.
Tukuyin ang foci sa pamamagitan ng F1 at F2 ang distansya sa pagitan nila 2s, at ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa bawat punto ng hyperbola hanggang sa foci through 2a. A-prioryo 2a < 2s, ibig sabihin. a < c.
o , ibig sabihin. Pagkatapos ng mga pagpapasimple, tulad ng ginawa noong nagmula sa ellipse equation, nakukuha natin
canonical equation ng isang hyperbola
(11.9)
(11.10)
ng isang walang hangganang kurba K kung ang distansya d mula sa puntong M ng kurba K hanggang sa linyang ito ay nagiging sero habang ang puntong M ay gumagalaw sa kurba K nang walang katiyakan mula sa pinanggalingan. Ang Figure 55 ay naglalarawan ng konsepto ng isang asymptote: ang linyang L ay isang asymptote para sa curve K.
(11.11)
(tingnan ang Fig. 56), at hanapin ang pagkakaiba ΜN sa pagitan ng mga ordinate ng tuwid na linya at ng sangay ng hyperbola:
Ang ΜN ay nagiging zero. Dahil ang ΜN ay mas malaki kaysa sa distansya d mula sa puntong Μ hanggang sa linya, kung gayon ang d ay higit pa kaya ay may posibilidad na zero. Kaya, ang mga linya ay asymptotes ng hyperbola (11.9).
Ang hyperbola (11.9) ay tinatawag na equilateral kung ang mga semiax nito ay pantay (). Ang canonical equation nito
(11.12)
.
at 
para sa mga punto ng kanang sangay ng hyperbola ay may anyo at , at para sa kaliwa - 
at 
.
Upang makuha ang parabola equation, pipiliin namin ang Oxy coordinate system upang ang Oxy axis ay dumaan sa focus F patayo sa directrix sa direksyon mula sa directrix hanggang F, at ang origin O ay matatagpuan sa gitna sa pagitan ng focus at directrix. (tingnan ang Fig. 60). Sa napiling system, ang focus F ay may mga coordinate , at ang directrix equation ay may form na , o .
Ellipse na ibinigay ng canonical equation
, isang ellipse.
.
.
Patuloy naming nilulutas ang mga problema sa ellipse nang magkasama
,
.
