Pangangatwiran x, kung gayon ito ay tinatawag na periodic kung mayroong isang numerong T na para sa alinmang x F(x + T) = F(x). Ang numerong T na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar.

Maaaring may ilang mga panahon. Halimbawa, ang function na F = const ay tumatagal ng parehong halaga para sa anumang halaga ng argumento, at samakatuwid ang anumang numero ay maaaring ituring na panahon nito.

Karaniwang interesado ka sa pinakamaliit na non-zero period ng isang function. Para sa maikli, ito ay tinatawag na isang panahon.

Ang isang klasikong halimbawa ng mga periodic function ay trigonometric: sine, cosine at tangent. Ang kanilang panahon ay pareho at katumbas ng 2π, iyon ay, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) at iba pa. Gayunpaman, siyempre, ang mga trigonometric function ay hindi lamang ang mga pana-panahon.

Para sa simple, pangunahing mga function, ang tanging paraan upang matukoy kung ang mga ito ay pana-panahon o hindi pana-panahon ay sa pamamagitan ng pagkalkula. Ngunit para sa mga kumplikadong pag-andar mayroon nang ilang mga simpleng patakaran.

Kung ang F(x) ay may period T, at ang derivative ay tinukoy para dito, ang derivative na ito na f(x) = F′(x) ay isa ring periodic function na may period T. Pagkatapos ng lahat, ang value ng derivative sa point Ang x ay katumbas ng tangent ng tangent angle ng graph ng antiderivative nito sa puntong ito sa x-axis, at dahil ang antiderivative ay umuulit sa pana-panahon, ang derivative ay dapat ding ulitin. Halimbawa, ang derivative ng function na sin(x) ay katumbas ng cos(x), at ito ay pana-panahon. Ang pagkuha ng derivative ng cos(x) ay nagbibigay sa iyo ng –sin(x). Ang dalas ay nananatiling hindi nagbabago.

Gayunpaman, ang kabaligtaran ay hindi palaging totoo. Kaya, ang function na f(x) = const ay panaka-nakang, ngunit ang antiderivative nito F(x) = const*x + C ay hindi.

Kung ang F(x) ay isang periodic function na may period T, kung gayon ang G(x) = a*F(kx + b), kung saan ang a, b, at k ay mga constant at ang k ay hindi katumbas ng zero - ay isang periodic function din , at ang panahon nito ay T/k. Halimbawa, ang sin(2x) ay isang periodic function, at ang period nito ay π. Ito ay maaaring biswal na kinakatawan tulad ng sumusunod: sa pamamagitan ng pag-multiply ng x sa ilang numero, tila i-compress mo ang graph ng function nang pahalang nang eksakto nang maraming beses

Kung ang F1(x) at F2(x) ay mga periodic function, at ang kanilang mga period ay katumbas ng T1 at T2, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang kabuuan ng mga function na ito ay maaari ding periodic. Gayunpaman, ang panahon nito ay hindi isang simpleng kabuuan ng mga panahon T1 at T2. Kung ang resulta ng dibisyon T1/T2 ay isang rational na numero, kung gayon ang kabuuan ng mga function ay panaka-nakang, at ang panahon nito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang (LCM) ng mga panahon na T1 at T2. Halimbawa, kung ang panahon ng unang function ay 12, at ang panahon ng pangalawa ay 15, ang panahon ng kanilang kabuuan ay magiging katumbas ng LCM (12, 15) = 60.

Ito ay maaaring makita bilang mga sumusunod: ang mga function ay may iba't ibang "step widths," ngunit kung ang ratio ng kanilang mga lapad ay makatwiran, pagkatapos ay maaga o huli (o sa halip, tiyak sa pamamagitan ng LCM ng mga hakbang), sila ay magiging pantay muli, at ang kanilang kabuuan ay magsisimula ng bagong panahon.

Gayunpaman, kung ang ratio ng mga panahon ay hindi makatwiran, kung gayon ang kabuuang paggana ay hindi magiging pana-panahon. Halimbawa, hayaan ang F1(x) = x mod 2 (ang natitira kapag ang x ay hinati sa 2), at F2(x) = sin(x). Ang T1 dito ay magiging katumbas ng 2, at ang T2 ay magiging katumbas ng 2π. Ang ratio ng mga panahon ay katumbas ng π - isang hindi makatwirang numero. Samakatuwid, ang function na sin(x) + x mod 2 ay hindi pana-panahon.

nagbibigay-kasiyahan sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

b) Isaalang-alang ang isang hanay ng mga numero sa linya ng numero na nagbibigay-kasiyahan sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Hanapin ang kabuuan ng mga haba ng mga segment na bumubuo sa set na ito.

§ 7. Ang pinakasimpleng mga formula

Sa § 3 itinatag namin ang sumusunod na formula para sa mga talamak na anggulo α:

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Parehong formula			kailan,
				kapag α ay anuman			sa totoo lang
				le, hayaan ang M ay isang punto sa trigonometrya
				ical na bilog na katumbas ng
				numero α (Larawan 7.1). Pagkatapos		Si M ay may kasamang
				ordinates x = cos α, y
				Gayunpaman, ang bawat punto (x; y) ay nakahiga
				bilog ng unit radius na may sentro
				trome sa pinanggalingan, nagbibigay-kasiyahan
				natutugunan ang equation na x2 + y2		1, saan galing
				cos2 α + sin2 α = 1, kung kinakailangan.

Kaya, ang formula cos2 α + sin2 α = 1 ay sumusunod mula sa equation ng bilog. Maaaring tila nagbigay tayo ng bagong patunay ng formula na ito para sa mga talamak na anggulo (kung ihahambing sa ipinahiwatig sa § 3, kung saan ginamit natin ang Pythagorean theorem). Ang pagkakaiba, gayunpaman, ay puro panlabas: kapag nagmula ang equation ng isang bilog x2 + y2 = 1, ang parehong Pythagorean theorem ay ginagamit.

Para sa mga talamak na anggulo nakuha din namin ang iba pang mga formula, halimbawa

Ayon sa simbolo, ang kanang bahagi ay palaging hindi negatibo, habang ang kaliwang bahagi ay maaaring negatibo. Para maging totoo ang formula para sa lahat ng α, dapat itong kuwadrado. Ang resultang pagkakapantay-pantay ay: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Patunayan natin na ang formula na ito ay totoo para sa lahat ng α:1

1/(1 + tan2			kasalanan2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Suliranin 7.1. Kunin ang lahat ng mga formula sa ibaba mula sa mga kahulugan at ang formula sin2 α + cos2 α = 1 (napatunayan na natin ang ilan sa mga ito):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tan2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + cotg2 α

kasalanan2

Ang mga formula na ito ay nagbibigay-daan, alam ang halaga ng isa sa mga trigonometric function ng isang naibigay na numero, na halos mahanap ang lahat ng iba pa.

bago Hayaan, halimbawa, alam natin na ang sin x = 1/2. Pagkatapos cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, kaya ang cos x ay alinman sa 3/2 o − 3/2. Upang malaman kung alin sa dalawang numerong ito ang cos x, kailangan ang karagdagang impormasyon.

Suliranin 7.2. Ipakita na may mga halimbawa na ang parehong mga kaso sa itaas ay posible.

Suliranin 7.3. a) Hayaang tan x = −1. Hanapin ang kasalanan x. Ilang sagot ang problemang ito?

b) Hayaan, bilang karagdagan sa mga kondisyon ng punto a) alam natin na ang kasalanan x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Kung saan tinukoy ang tan α, ibig sabihin, cos α 6= 0.

Suliranin 7.4. Hayaan ang sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Hanapin ang tg x.

Suliranin 7.5. Hayaang tan x = 3, cos x > sin x. Hanapin ang cos x, sin x.

Suliranin 7.6. Hayaan ang tg x = 3/5. Hanapin ang sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Suliranin 7.7. Patunayan ang mga pagkakakilanlan:

tan α − kasalanan α

c) sin α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

Suliranin 7.8. Pasimplehin ang mga expression:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Mga panahon ng trigonometriko function

Ang mga numerong x, x+2π, x−2π ay tumutugma sa parehong punto sa trigonometriko na bilog (kung maglalakad ka ng dagdag na bilog sa kahabaan ng trigonometriko na bilog, babalik ka sa kung nasaan ka). Ito ay nagpapahiwatig ng mga sumusunod na pagkakakilanlan, na tinalakay na sa § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Kaugnay ng mga pagkakakilanlan na ito ay ginamit na natin ang terminong "panahon". Magbigay tayo ngayon ng mga tiyak na kahulugan.

Kahulugan. Ang numerong T 6= 0 ay tinatawag na panahon ng function na f kung para sa lahat ng x ang mga pagkakapantay-pantay f(x − T) = f(x + T) = f(x) ay totoo (pinapalagay na x + T at x − T ay kasama sa domain ng depinisyon ng function , kung kabilang dito ang x). Ang isang function ay tinatawag na periodic kung ito ay may period (kahit isa).

Ang mga pana-panahong pag-andar ay natural na lumilitaw kapag naglalarawan ng mga proseso ng oscillatory. Ang isa sa mga naturang proseso ay tinalakay na sa § 5. Narito ang higit pang mga halimbawa:

1) Hayaan ang ϕ = ϕ(t) ang anggulo ng paglihis ng swinging pendulum ng orasan mula sa patayo sa sandaling t. Kung gayon ang ϕ ay isang periodic function ng t.

2) Ang boltahe ("potensyal na pagkakaiba," gaya ng sasabihin ng isang physicist) sa pagitan ng dalawang socket ng AC outlet, ay

kung ito ay itinuturing na isang function ng oras, ay isang periodic function1.

3) Pakinggan natin ang tunog ng musika. Pagkatapos ang presyon ng hangin sa isang naibigay na punto ay isang pana-panahong pag-andar ng oras.

Kung ang isang function ay may period T, ang mga period ng function na ito ay magiging mga numerong −T, 2T, −2T. . . - sa isang salita, lahat ng mga numero nT, kung saan ang n ay isang integer na hindi katumbas ng zero. Sa katunayan, suriin natin, halimbawa, na f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Kahulugan. Ang pinakamaliit na positibong panahon ng isang function na f ay - alinsunod sa literal na kahulugan ng mga salita - isang positibong numerong T na ang T ay isang panahon ng f at walang positibong numero na mas mababa sa T ay isang panahon ng f.

Ang periodic function ay hindi kinakailangan na magkaroon ng pinakamaliit na positibong panahon (halimbawa, ang isang function na pare-pareho ay may panahon ng anumang numero at, samakatuwid, wala itong pinakamaliit na positibong panahon). Maaari din kaming magbigay ng mga halimbawa ng hindi pare-parehong periodic function na walang pinakamaliit na positive period. Gayunpaman, sa karamihan ng mga kagiliw-giliw na mga kaso, ang pinakamaliit na positibong panahon ng mga pana-panahong pag-andar ay umiiral.

1 Kapag sinabi nilang "ang boltahe sa network ay 220 volts," ang ibig nilang sabihin ay "rms value," na pag-uusapan natin sa § 21. Ang boltahe mismo ay nagbabago sa lahat ng oras.

kanin. 8.1. Panahon ng tangent at cotangent.

Sa partikular, ang pinakamaliit na positibong panahon ng parehong sine at cosine ay 2π. Patunayan natin ito, halimbawa, para sa function na y = sin x. Hayaan, salungat sa sinasabi natin, ang sine ay may tuldok na T tulad ng 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Ang pinakamaliit na positibong panahon ng function na naglalarawan sa mga oscillations (tulad ng sa aming mga halimbawa 1–3) ay tinatawag na panahon ng mga oscillations na ito.

Dahil ang 2π ay ang panahon ng sine at cosine, ito rin ang magiging panahon ng tangent at cotangent. Gayunpaman, para sa mga function na ito, ang 2π ay hindi ang pinakamaliit na panahon: ang pinakamaliit na positibong yugto ng tangent at cotangent ay magiging π. Sa katunayan, ang mga puntos na tumutugma sa mga numerong x at x + π sa trigonometriko na bilog ay diametrically laban: mula sa punto x hanggang sa punto x + 2π ang isa ay dapat maglakbay sa isang distansya π eksaktong katumbas ng kalahati ng bilog. Ngayon, kung gagamitin natin ang kahulugan ng tangent at cotangent gamit ang mga axes ng tangents at cotangent, ang equalities tg(x + π) = tan x at ctg(x + π) = ctg x ay magiging halata (Fig. 8.1). Madaling suriin (imumungkahi namin na gawin ito sa mga problema) na ang π ay ang pinakamaliit na positibong panahon ng tangent at cotangent.

Isang tala tungkol sa terminolohiya. Ang mga salitang "panahon ng isang function" ay kadalasang ginagamit upang nangangahulugang "pinakamaliit na positibong panahon." Kaya't kung sa isang pagsusulit ay tatanungin ka: "Ang 100π ba ang panahon ng pag-andar ng sine?", huwag magmadali upang sagutin, ngunit linawin kung ang ibig mong sabihin ay ang pinakamaliit na positibong panahon o isa lamang sa mga panahon.

Ang mga function na trigonometric ay isang tipikal na halimbawa ng mga periodic function: anumang "hindi masyadong masama" na periodic function ay maaaring sa ilang kahulugan ay ipahayag sa mga tuntunin ng mga trigonometriko.

Suliranin 8.1. Hanapin ang pinakamaliit na positibong panahon ng mga function:

				c) y = cos πx;

d) y = cos x + cos(1.01x).

Suliranin 8.2. Ang pag-asa ng boltahe sa isang alternating kasalukuyang network sa oras ay ibinibigay ng formula U = U0 sin ωt (dito ang t ay oras, U ay boltahe, U0 at ω ay mga constants). Ang dalas ng alternating current ay 50 Hertz (nangangahulugan ito na ang boltahe ay gumagawa ng 50 oscillations bawat segundo).

a) Hanapin ang ω, ipagpalagay na ang t ay sinusukat sa mga segundo;

b) Hanapin ang (pinakamaliit na positibo) na panahon ng U bilang isang function ng t.

Suliranin 8.3. a) Patunayan na ang pinakamaliit na positibong panahon ng cosine ay 2π;

b) Patunayan na ang pinakamaliit na positibong panahon ng tangent ay katumbas ng π.

Suliranin 8.4. Hayaang ang pinakamaliit na positibong yugto ng function na f ay T. Patunayan na ang lahat ng iba pang mga tuldok nito ay nasa anyong nT para sa ilang mga integer n.

Suliranin 8.5. Patunayan na ang mga sumusunod na function ay hindi pana-panahon.

>> Periodicity ng mga function y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodicity ng mga function y = sin x, y = cos x

Sa mga nakaraang talata ginamit namin ang pitong katangian mga function: domain ng kahulugan, kahit o kakaiba, monotonicity, boundedness, pinakamalaki at pinakamaliit na halaga, pagpapatuloy, hanay ng mga halaga ng isang function. Ginamit namin ang mga katangiang ito upang bumuo ng isang graph ng isang function (nangyari ito, halimbawa, sa § 9), o para basahin ang binuong graph (nangyari ito, halimbawa, sa § 10). Ngayon ay dumating na ang tamang pagkakataon upang ipakilala ang isa pang (ikawalo) na pag-aari ng mga pag-andar, na malinaw na nakikita sa mga konstruksyon sa itaas. mga graph functions y = sin x (tingnan ang Fig. 37), y = cos x (tingnan ang Fig. 41).

Kahulugan. Ang isang function ay tinatawag na periodic kung mayroong isang nonzero number na T na para sa alinmang x sa set ang double condition ay mayroong: pagkakapantay-pantay:

Ang numerong T na nakakatugon sa tinukoy na kondisyon ay tinatawag na panahon ng function na y = f(x).
Ito ay sumusunod na, dahil para sa anumang x ang mga pagkakapantay-pantay ay wasto:

pagkatapos ay ang mga function na y = sin x, y = cos x ay pana-panahon at ang bilang ay 2 P nagsisilbing isang panahon para sa parehong mga function.
Ang periodicity ng isang function ay ang ipinangakong ikawalong pag-aari ng mga function.

Ngayon tingnan ang graph ng function na y = sin x (Fig. 37). Upang makabuo ng sine wave, sapat na upang i-plot ang isa sa mga wave nito (sa isang segment at pagkatapos ay ilipat ang wave na ito kasama ang x axis sa pamamagitan ng. Bilang resulta, gamit ang isang wave ay bubuo tayo ng buong graph.

Tingnan natin mula sa parehong punto ng view sa graph ng function na y = cos x (Fig. 41). Nakikita namin na dito, upang mag-plot ng isang graph, sapat na munang mag-plot ng isang wave (halimbawa, sa segment

At pagkatapos ay ilipat ito kasama ang x axis sa pamamagitan ng
Sa pagbubuod, iginuhit namin ang sumusunod na konklusyon.

Kung ang function na y = f(x) ay may tuldok na T, para makabuo ng graph ng function, kailangan mo munang bumuo ng sangay (wave, bahagi) ng graph sa anumang pagitan ng haba ng T (madalas na kumuha ng pagitan na may mga dulo. sa mga punto at pagkatapos ay ilipat ang sangay na ito kasama ang x axis sa kanan at kaliwa sa T, 2T, ZT, atbp.
Ang periodic function ay may walang katapusan na maraming mga tuldok: kung ang T ay isang tuldok, kung gayon ang 2T ay isang tuldok, at ang ZT ay isang tuldok, at -T ay isang tuldok; Sa pangkalahatan, ang isang tuldok ay anumang bilang ng anyong KT, kung saan ang k = ±1, ±2, ± 3... Karaniwang sinusubukan nila, kung maaari, na ihiwalay ang pinakamaliit na positibong yugto, ito ay tinatawag na pangunahing panahon.
Kaya, ang anumang bilang ng anyong 2pk, kung saan ang k = ±1, ± 2, ± 3, ay ang panahon ng mga function y = sinn x, y = cos x; Ang 2n ay ang pangunahing panahon ng parehong mga pag-andar.

Halimbawa. Hanapin ang pangunahing panahon ng function:

A) Hayaang T ang pangunahing panahon ng function na y = sin x. Ilagay natin

Para ang bilang T ay isang panahon ng isang function, ang pagkakakilanlan Ngunit, dahil pinag-uusapan natin ang paghahanap ng pangunahing panahon, nakukuha natin
b) Hayaang T ang pangunahing panahon ng function na y = cos 0.5x. Ilagay natin ang f(x)=cos 0.5x. Pagkatapos f(x + T)=cos 0.5(x + T)=cos (0.5x + 0.5T).

Para ang numerong T ay isang panahon ng function, ang pagkakakilanlan cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x ay dapat magkaroon.

Nangangahulugan ito na 0.5t = 2pp. Ngunit, dahil pinag-uusapan natin ang paghahanap ng pangunahing panahon, nakakakuha tayo ng 0.5T = 2 l, T = 4 l.

Ang generalization ng mga resulta na nakuha sa halimbawa ay ang sumusunod na pahayag: ang pangunahing panahon ng function

A.G. Mordkovich Algebra ika-10 baitang

Nilalaman ng aralin mga tala ng aralin pagsuporta sa frame lesson presentation acceleration methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusulit sa sarili, mga pagsasanay, mga kaso, mga pakikipagsapalaran sa mga tanong sa talakayan sa araling-bahay, mga retorika na tanong mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia litrato, larawan, graphics, talahanayan, diagram, katatawanan, anekdota, biro, komiks, talinghaga, kasabihan, crosswords, quote Mga add-on mga abstract articles tricks para sa mga curious crib textbooks basic at karagdagang diksyunaryo ng mga terminong iba Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa isang aklat-aralin, mga elemento ng pagbabago sa aralin, pagpapalit ng hindi napapanahong kaalaman ng mga bago Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa taon; mga rekomendasyong pamamaraan; mga programa sa talakayan Pinagsanib na Aralin

Trigonometric mga function pana-panahon, iyon ay, ang mga ito ay paulit-ulit pagkatapos ng isang tiyak na panahon. Bilang resulta, sapat na upang pag-aralan ang pag-andar sa pagitan na ito at palawigin ang mga natuklasang katangian sa lahat ng iba pang mga panahon.

Mga tagubilin

1. Kung bibigyan ka ng primitive na expression kung saan mayroon lamang isang trigonometric function (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), at ang anggulo sa loob ng function ay hindi i-multiply sa anumang numero, at ito mismo ay hindi itataas sa anumang kapangyarihan - gamitin ang kahulugan. Para sa mga expression na naglalaman ng sin, cos, sec, cosec, matapang na itakda ang panahon sa 2P, at kung ang equation ay naglalaman ng tg, ctg, pagkatapos ay P. Sabihin natin, para sa function na y=2 sinx+5, ang panahon ay magiging katumbas ng 2P .

2. Kung ang anggulo x sa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function ay pinarami ng ilang numero, kung gayon upang mahanap ang panahon ng function na ito, hatiin ang tipikal na panahon sa numerong ito. Sabihin nating binigyan ka ng function y = sin 5x. Ang karaniwang panahon para sa isang sine ay 2P; paghahati nito sa 5, makakakuha ka ng 2P/5 - ito ang nais na panahon ng expression na ito.

3. Upang mahanap ang panahon ng isang trigonometric function na itinaas sa isang kapangyarihan, suriin ang parity ng kapangyarihan. Para sa pantay na antas, bawasan ng kalahati ang karaniwang panahon. Sabihin natin, kung bibigyan ka ng function na y = 3 cos^2x, ang tipikal na period na 2P ay bababa ng 2 beses, kaya ang period ay magiging katumbas ng P. Mangyaring tandaan na ang mga function na tg, ctg ay periodic sa P sa bawat degree.

4. Kung bibigyan ka ng equation na naglalaman ng produkto o quotient ng dalawang trigonometric function, hanapin muna ang tuldok para sa lahat ng mga ito nang hiwalay. Pagkatapos nito, hanapin ang pinakamababang numero na maglalaman ng integer ng parehong mga tuldok. Sabihin nating ang function na y=tgx*cos5x ay ibinigay. Para sa tangent ang period ay P, para sa cosine 5x ang period ay 2P/5. Ang pinakamababang bilang kung saan maaaring tanggapin ang parehong mga panahong ito ay 2P, kaya ang gustong panahon ay 2P.

5. Kung nahihirapan kang gawin ito sa iminungkahing paraan o pagdudahan ang resulta, subukang gawin ito ayon sa kahulugan. Kunin ang T bilang ang panahon ng function; ito ay mas malaki sa zero. Palitan ang expression (x + T) sa halip na x sa equation at lutasin ang resultang pagkakapantay-pantay na parang T ay isang parameter o isang numero. Bilang resulta, matutuklasan mo ang halaga ng trigonometric function at mahahanap mo ang pinakamaliit na panahon. Sabihin nating, bilang resulta ng kaluwagan, makukuha mo ang kasalanan ng pagkakakilanlan (T/2) = 0. Ang pinakamababang halaga ng T kung saan ito ginanap ay 2P, ito ang magiging resulta ng gawain.

Ang periodic function ay isang function na inuulit ang mga value nito pagkatapos ng ilang non-zero period. Ang panahon ng isang function ay isang numero na, kapag idinagdag sa argument ng isang function, ay hindi nagbabago sa halaga ng function.

Kakailanganin mong

• Kaalaman sa elementarya na matematika at pangunahing pagsusuri.

Mga tagubilin

1. Tukuyin natin ang panahon ng function na f(x) sa pamamagitan ng bilang na K. Ang ating gawain ay tuklasin ang halagang ito ng K. Upang gawin ito, isipin na ang function na f(x), gamit ang kahulugan ng isang periodic function, ay tinutumbasan natin f(x+K)=f(x).

2. Nalutas namin ang nagresultang equation tungkol sa hindi kilalang K, na parang ang x ay isang pare-pareho. Depende sa halaga ng K, magkakaroon ng ilang mga pagpipilian.

3. Kung K>0 – ito ang panahon ng iyong function. Kung K=0 – ang function na f(x) ay hindi periodic. Kung ang solusyon sa equation na f(x+K)=f(x) ay wala para sa anumang K na hindi katumbas ng zero, kung gayon ang naturang function ay tinatawag na aperiodic at wala rin itong period.

Video sa paksa

Tandaan!
Ang lahat ng trigonometric function ay panaka-nakang, at lahat ng polynomial function na may degree na mas mataas sa 2 ay aperiodic.

Nakatutulong na payo
Ang panahon ng isang function na binubuo ng 2 periodic function ay ang pinakamaliit na unibersal na multiple ng mga period ng mga function na ito.

Ang mga equation ng trigonometric ay mga equation na naglalaman ng mga function ng trigonometriko ng isang hindi kilalang argumento (halimbawa: 5sinx-3cosx =7). Upang matutunan kung paano lutasin ang mga ito, kailangan mong malaman ang ilang mga paraan upang gawin ito.

Mga tagubilin

1. Ang paglutas ng mga naturang equation ay binubuo ng 2 yugto. Ang una ay ang pagbabago ng equation upang makuha ang pinakasimpleng anyo nito. Ang pinakasimpleng trigonometriko equation ay: Sinx=a; Cosx=a, atbp.

2. Ang pangalawa ay ang solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation na nakuha. May mga pangunahing paraan upang malutas ang mga equation ng ganitong uri: Paglutas ng algebraically. Kilalang kilala ang pamamaraang ito mula sa paaralan, mula sa kursong algebra. Kung hindi man ay tinatawag na paraan ng variable na pagpapalit at pagpapalit. Gamit ang mga pormula ng pagbabawas, binabago namin, gumawa ng isang pagpapalit, at pagkatapos ay hanapin ang mga ugat.

3. Pag-factor ng isang equation. Una, inililipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa at isasaalang-alang ang mga ito.

4. Pagbawas ng equation sa isang homogenous. Ang mga equation ay tinatawag na homogeneous equation kung ang lahat ng terms ay may parehong degree at ang sine at cosine ng parehong anggulo.Upang malutas ito, dapat mong: ilipat muna ang lahat ng termino nito mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwang bahagi; ilipat ang lahat ng mga unibersal na kadahilanan sa labas ng mga bracket; ipantay ang mga kadahilanan at mga bracket sa zero; Ang mga equated bracket ay nagbibigay ng isang homogenous na equation ng isang mas mababang antas, na dapat na hatiin ng cos (o kasalanan) sa pinakamataas na antas; lutasin ang resultang algebraic equation tungkol sa tan.

5. Ang susunod na paraan ay ang paglipat sa kalahating anggulo. Sabihin, lutasin ang equation: 3 sin x – 5 cos x = 7. Lumipat tayo sa kalahating anggulo: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 kasalanan ? (x / 2) = 7 kasalanan ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2), pagkatapos nito binabawasan namin ang lahat ng mga termino sa isang bahagi (mas mabuti ang kanang bahagi) at lutasin ang equation.

6. Entry ng auxiliary angle. Kapag pinalitan namin ang integer na halaga cos(a) o sin(a). Ang tanda na "a" ay isang pantulong na anggulo.

7. Isang paraan ng pagbabago ng isang produkto sa kabuuan. Dito kailangan mong ilapat ang naaangkop na mga formula. Sabihin nating ibinigay: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Lutasin ito sa pamamagitan ng pagbabago sa kaliwang bahagi sa kabuuan, iyon ay: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.

8. Ang huling paraan ay tinatawag na multi-function substitution. Binabago namin ang expression at gumawa ng pagbabago, sabihin ang Cos(x/2)=u, at pagkatapos ay lutasin ang equation na may parameter na u. Kapag binili ang kabuuan, kino-convert namin ang halaga sa kabaligtaran.

Video sa paksa

Kung isasaalang-alang namin ang mga puntos sa isang bilog, pagkatapos ay ipahiwatig ang x, x + 2π, x + 4π, atbp. magkasabay. Kaya, trigonometriko mga function sa isang tuwid na linya pana-panahon ulitin ang kanilang kahulugan. Kung sikat ang panahon mga function, posibleng bumuo ng function sa panahong ito at ulitin ito sa iba.

Mga tagubilin

1. Ang tuldok ay isang numerong T na ang f(x) = f(x+T). Upang mahanap ang tuldok, lutasin ang katumbas na equation, palitan ang x at x+T bilang argumento. Sa kasong ito, ginagamit nila ang kilalang mga panahon para sa mga pag-andar. Para sa mga function ng sine at cosine ang panahon ay 2π, at para sa mga function ng tangent at cotangent ito ay π.

2. Hayaang ibigay ang function na f(x) = sin^2(10x). Isaalang-alang ang expression na sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Gamitin ang formula upang bawasan ang antas: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Pagkatapos ay makakakuha ka ng 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) o cos 20x = cos (20x+20T). Alam na ang panahon ng cosine ay 2π, 20T = 2π. Nangangahulugan ito ng T = π/10. Ang T ay ang pinakamababang tamang panahon, at ang pag-andar ay mauulit pagkatapos ng 2T, at pagkatapos ng 3T, at sa kabilang direksyon kasama ang axis: -T, -2T, atbp.

Nakatutulong na payo
Gumamit ng mga formula upang bawasan ang antas ng isang function. Kung alam mo na ang mga panahon ng ilang function, subukang bawasan ang umiiral na function sa mga kilala.

Ang pagsusuri sa isang function para sa evenness at oddness ay nakakatulong na bumuo ng isang graph ng function at maunawaan ang katangian ng pag-uugali nito. Para sa pananaliksik na ito, kailangan mong ihambing ang function na ito na isinulat para sa argumentong "x" at para sa argumentong "-x".

Mga tagubilin

1. Isulat ang function na gusto mong siyasatin sa form na y=y(x).

2. Palitan ang argumento ng function na may "-x". Ipalit ang argumentong ito sa isang functional na expression.

3. Pasimplehin ang expression.

4. Kaya, mayroon kang parehong function na isinulat para sa mga argumentong "x" at "-x". Tingnan ang dalawang entry na ito. Kung y(-x)=y(x), kung gayon ito ay isang even function. Kung y(-x)=-y(x), kung gayon ito ay isang kakaibang function. Kung imposibleng sabihin tungkol sa isang function na y (-x)=y(x) o y(-x)=-y(x), pagkatapos ay sa pamamagitan ng property ng parity ito ay isang function ng unibersal na anyo. Ibig sabihin, hindi ito kahit na o kakaiba.

5. Isulat ang iyong mga natuklasan. Ngayon ay maaari mo nang gamitin ang mga ito sa pagbuo ng isang graph ng isang function o sa isang hinaharap na analytical na pag-aaral ng mga katangian ng isang function.

6. Posible rin na pag-usapan ang tungkol sa kapantay at kakatwa ng isang function sa kaso kung kailan naibigay na ang graph ng function. Sabihin nating ang graph ay nagsilbi bilang resulta ng isang pisikal na eksperimento. Kung ang graph ng isang function ay simetriko tungkol sa ordinate axis, kung gayon ang y(x) ay isang even function. Kung ang graph ng isang function ay simetriko tungkol sa abscissa axis, kung gayon Ang x(y) ay isang pantay na function. Ang x(y) ay isang function na kabaligtaran sa function na y(x). Kung ang graph ng isang function ay simetriko tungkol sa pinanggalingan (0,0), kung gayon ang y(x) ay isang kakaibang function. Ang inverse function na x(y) ay magiging kakaiba din.

7. Mahalagang tandaan na ang ideya ng pantay at kakaiba ng isang function ay may direktang koneksyon sa domain ng kahulugan ng function. Kung, sabihin nating, ang isang kahit o kakaibang pag-andar ay hindi umiiral sa x=5, kung gayon hindi ito umiiral sa x=-5, na hindi masasabi tungkol sa isang function ng isang unibersal na anyo. Kapag nagtatatag ng kahit at kakaibang parity, bigyang-pansin ang domain ng function.

8. Ang paghahanap ng function para sa evenness at oddness ay nauugnay sa paghahanap ng isang set ng mga value ng function. Upang mahanap ang hanay ng mga halaga ng isang kahit na function, ito ay sapat na upang tingnan ang kalahati ng function, sa kanan o sa kaliwa ng zero. Kung sa x>0 ang even function na y(x) ay kumukuha ng mga halaga mula A hanggang B, pagkatapos ay kukuha ito ng parehong mga halaga sa x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>Ang 0 kakaibang function na y(x) ay tumatagal ng isang hanay ng mga halaga mula A hanggang B, pagkatapos ay sa x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

Ang "Trigonometric" ay minsang nagsimulang tawaging mga function na natutukoy sa pamamagitan ng pagtitiwala ng mga talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok sa mga haba ng mga gilid nito. Kabilang sa mga naturang function, una sa lahat, ang sine at cosine, pangalawa, ang kabaligtaran ng mga function na ito, secant at cosecant, ang kanilang mga derivatives tangent at cotangent, pati na rin ang inverse function na arcsine, arccosine, atbp. Mas positibong magsalita hindi tungkol sa ang "solusyon" ng naturang mga pag-andar, ngunit tungkol sa kanilang "pagkalkula", iyon ay, tungkol sa paghahanap ng isang numerical na halaga.

Mga tagubilin

1. Kung ang argumento ng trigonometric function ay hindi alam, kung gayon ang halaga nito ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng isang hindi direktang pamamaraan batay sa mga kahulugan ng mga function na ito. Upang gawin ito, kailangan mong malaman ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok, ang trigonometric function para sa isa sa mga anggulo na kailangang kalkulahin. Sabihin nating, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng haba ng binti sa tapat ng anggulong ito sa haba ng hypotenuse. Ito ay sumusunod mula dito na upang mahanap ang sine ng isang anggulo sapat na upang malaman ang mga haba ng 2 panig na ito. Ang isang katulad na kahulugan ay nagsasaad na ang sine ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng haba ng binti na katabi ng anggulong ito sa haba ng hypotenuse. Ang tangent ng isang talamak na anggulo ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng paghati sa haba ng kabaligtaran na binti sa haba ng katabi, at ang cotangent ay nangangailangan ng paghahati ng haba ng katabing binti sa haba ng kabaligtaran. Upang makalkula ang secant ng isang talamak na anggulo, kailangan mong hanapin ang ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng binti na katabi ng kinakailangang anggulo, at ang cosecant ay tinutukoy ng ratio ng haba ng hypotenuse sa haba ng tapat na binti.

2. Kung tama ang argumento ng trigonometriko function, hindi mo kailangang malaman ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok - maaari mong gamitin ang mga talahanayan ng mga halaga o mga calculator ng trigonometriko function. Ang nasabing calculator ay kasama sa mga karaniwang programa ng Windows operating system. Upang ilunsad ito, maaari mong pindutin ang kumbinasyon ng Win + R key, ipasok ang utos ng calc at i-click ang pindutang "OK". Sa interface ng programa, dapat mong palawakin ang seksyong "View" at piliin ang item na "Engineer" o "Scientist". Pagkatapos nito, posibleng ipakilala ang argumento ng trigonometric function. Upang kalkulahin ang mga function na sine, cosine at tangent, sa halip pagkatapos ipasok ang halaga, mag-click sa kaukulang pindutan ng interface (sin, cos, tg), at upang mahanap ang kanilang inverse arcsine, arccosine at arctangent, dapat mong suriin ang Inv checkbox nang maaga.

3. Mayroon ding mga alternatibong pamamaraan. Ang isa sa mga ito ay pumunta sa website ng search engine na Nigma o Google at ipasok ang nais na function at ang argumento nito bilang isang query sa paghahanap (sabihin, kasalanan 0.47). Ang mga search engine na ito ay may mga built-in na calculators, kaya pagkatapos magpadala ng naturang kahilingan matatanggap mo ang halaga ng trigonometriko function na iyong ipinasok.

Video sa paksa

Tip 7: Paano matuklasan ang halaga ng trigonometriko function

Ang mga function ng trigonometric ay unang lumitaw bilang mga tool para sa abstract na mga kalkulasyon ng matematika ng mga dependence ng mga halaga ng mga talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok sa mga haba ng mga gilid nito. Ngayon ang mga ito ay malawakang ginagamit sa parehong pang-agham at teknikal na larangan ng aktibidad ng tao. Para sa mga utilitarian na pagkalkula ng mga trigonometriko na pag-andar mula sa mga ibinigay na argumento, maaari kang gumamit ng iba't ibang mga tool - ang ilan sa mga ito na partikular na naa-access ay inilarawan sa ibaba.

Mga tagubilin

1. Gamitin, sabihin nating, ang calculator program na naka-install bilang default sa operating system. Magbubukas ito sa pamamagitan ng pagpili sa item na "Calculator" sa folder na "Serbisyo" mula sa subsection na "Typical", na matatagpuan sa seksyong "Lahat ng mga programa". Ang seksyong ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagbubukas ng pangunahing menu ng operating system sa pamamagitan ng pag-click sa pindutan ng "Start". Kung gumagamit ka ng bersyon ng Windows 7, malamang na ipasok mo lamang ang salitang "Calculator" sa field na "Discover programs and files" ng pangunahing menu, at pagkatapos ay mag-click sa kaukulang link sa mga resulta ng paghahanap.

2. Ipasok ang halaga ng anggulo kung saan nais mong kalkulahin ang trigonometric function, at pagkatapos ay mag-click sa pindutan na naaayon sa function na ito - sin, cos o tan. Kung nag-aalala ka tungkol sa mga inverse trigonometric function (arc sine, arc cosine o arc tangent), pagkatapos ay i-click muna ang button na may label na Inv - binabaligtad nito ang mga function na nakatalaga sa mga pindutan ng gabay ng calculator.

3. Sa mga naunang bersyon ng OS (sabihin, Windows XP), upang ma-access ang mga function ng trigonometriko, kailangan mong buksan ang seksyong "View" sa menu ng calculator at piliin ang linyang "Engineering". Bilang karagdagan, sa halip na ang pindutan ng Inv, ang interface ng mga mas lumang bersyon ng programa ay may checkbox na may parehong inskripsyon.

4. Magagawa mo nang walang calculator kung mayroon kang access sa Internet. Mayroong maraming mga serbisyo sa Internet na nag-aalok ng mga trigonometric function calculators na nakaayos sa iba't ibang paraan. Isa sa mga partikular na maginhawang opsyon ay binuo sa Nigma search engine. Pagpunta sa pangunahing pahina nito, ipasok lamang ang halaga na nag-aalala sa iyo sa field ng query sa paghahanap - sabihin, "arc tangent 30 degrees". Pagkatapos i-click ang "Detect!" na buton Kakalkulahin at ipapakita ng search engine ang resulta ng pagkalkula - 0.482347907101025.

Video sa paksa

Ang trigonometrya ay isang sangay ng matematika para sa pag-unawa sa mga function na nagpapahayag ng iba't ibang dependence ng mga gilid ng isang right triangle sa mga halaga ng acute angle sa hypotenuse. Ang ganitong mga pag-andar ay tinatawag na trigonometriko, at upang mapadali ang pagtatrabaho sa kanila, ang mga pag-andar ng trigonometriko ay nagmula pagkakakilanlan .

Pagganap pagkakakilanlan sa matematika ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay na nasiyahan para sa lahat ng mga halaga ng mga argumento ng mga function na kasama dito. Trigonometric pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay ng trigonometriko function, nakumpirma at tinatanggap upang pasimplehin ang trabaho sa trigonometriko formula. Ang trigonometric function ay isang elementarya function ng pag-asa ng isa sa mga binti ng isang right triangle sa halaga ng acute angle sa hypotenuse. Ang anim na pangunahing trigonometric function na kadalasang ginagamit ay sin (sine), cos (cosine), tg (tangent), ctg (cotangent), sec (secant) at cosec (cosecant). Ang mga pag-andar na ito ay tinatawag na mga direktang pag-andar, mayroon ding mga kabaligtaran na pag-andar, halimbawa, sine - arcsine, cosine - arccosine, atbp. Sa una, ang mga function ng trigonometriko ay makikita sa geometry, pagkatapos ay kumalat sila sa iba pang mga lugar ng agham: pisika, kimika, heograpiya, optika, probability theory , pati na rin ang acoustics, music theory, phonetics, computer graphics at marami pang iba. Sa ngayon ay mahirap isipin ang mga kalkulasyon sa matematika kung wala ang mga pag-andar na ito, bagama't noong unang panahon sila ay ginamit lamang sa astronomiya at arkitektura. pagkakakilanlan ay ginagamit upang pasimplehin ang trabaho na may mahabang trigonometriko na mga formula at bawasan ang mga ito sa isang natutunaw na anyo. Mayroong anim na pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan; ang mga ito ay nauugnay sa mga direktang trigonometriko function: tg ? = kasalanan?/cos?; kasalanan^2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/kasalanan^2?; kasalanan (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = kasalanan ?. Ang mga ito pagkakakilanlan madaling kumpirmahin mula sa mga katangian ng ratio ng mga gilid at anggulo sa isang tamang tatsulok: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. Ang unang pagkakakilanlan tg ? = kasalanan ?/cos ? sumusunod mula sa ratio ng mga gilid sa tatsulok at ang pagbubukod ng gilid c (hypotenuse) kapag hinahati ang kasalanan sa cos. Ang pagkakakilanlan ctg ? ay tinukoy sa parehong paraan. = cos ?/sin ?, dahil ctg ? = 1/tg ?.Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem a^2 + b^2 = c^2. Hatiin natin ang pagkakapantay-pantay na ito sa c^2, makuha natin ang pangalawang pagkakakilanlan: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Ikatlo at ikaapat pagkakakilanlan nakuha sa pamamagitan ng paghahati, ayon sa pagkakabanggit, sa b^2 at a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/kasalanan^ ? o 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?. Ikalima at ikaanim na basic pagkakakilanlan ay napatunayan sa pamamagitan ng pagtukoy sa kabuuan ng mga talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok, na katumbas ng 90° o?/2. Mas mahirap trigonometriko pagkakakilanlan: mga formula para sa pagdaragdag ng mga argumento, doble at triple na anggulo, pagbabawas ng mga digri, pagbabago ng kabuuan o produkto ng mga function, pati na rin ang mga formula para sa trigonometric substitution, katulad ng mga expression ng pangunahing trigonometriko function sa pamamagitan ng tg ng kalahating anggulo: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Ang pangangailangan upang mahanap ang minimum ibig sabihin mathematical mga function ay aktwal na interes sa paglutas ng mga inilapat na problema, sabihin, sa ekonomiya. Malaki ibig sabihin Ang pagliit ng mga pagkalugi ay mahalaga para sa mga aktibidad ng negosyo.

Mga tagubilin

1. Upang matuklasan ang pinakamababa ibig sabihin mga function, ito ay kinakailangan upang matukoy sa kung anong halaga ng argumento x0 ang hindi pagkakapantay-pantay y(x0) ay masisiyahan? y(x), saan x? x0. Gaya ng dati, ang problemang ito ay nalulutas sa isang tiyak na agwat o sa bawat hanay ng mga halaga mga function, kung hindi tinukoy ang isa. Ang isang aspeto ng solusyon ay ang paghahanap ng mga nakapirming puntos.

2. Ang isang nakatigil na punto ay tinatawag ibig sabihin argumento kung saan ang derivative mga function napupunta sa zero. Ayon sa teorama ni Fermat, kung ang isang naiba-iba na function ay tumatagal ng isang extremal ibig sabihin sa ilang mga punto (sa kasong ito, isang lokal na minimum), kung gayon ang puntong ito ay nakatigil.

3. pinakamababa ibig sabihin ang function ay madalas na tumatagal sa eksaktong puntong ito, ngunit hindi ito maaaring matukoy nang walang paltos. Bukod dito, hindi laging posible na sabihin nang may katumpakan kung ano ang pinakamababa mga function o tinatanggap niya ang walang katapusang maliit ibig sabihin. Pagkatapos, gaya ng dati, nahanap nila ang limitasyon kung saan ito may posibilidad habang bumababa ito.

4. Upang matukoy ang minimum ibig sabihin mga function, kailangan mong magsagawa ng pagkakasunod-sunod ng mga aksyon na binubuo ng apat na yugto: paghahanap ng domain ng kahulugan mga function, pagkuha ng mga nakapirming puntos, pangkalahatang-ideya ng mga halaga mga function sa mga puntong ito at sa mga dulo ng puwang, nakikita ang pinakamababa.

5. Lumalabas na ang ilang function na y(x) ay ibinibigay sa isang pagitan na may mga hangganan sa mga puntong A at B. Hanapin ang domain ng kahulugan nito at alamin kung ang pagitan ay ang subset nito.

6. Kalkulahin ang Derivative mga function. I-equate ang resultang expression sa zero at hanapin ang mga ugat ng equation. Suriin kung ang mga nakatigil na puntong ito ay nasa loob ng puwang. Kung hindi, pagkatapos ay hindi sila isinasaalang-alang sa isang karagdagang yugto.

7. Suriin ang puwang para sa uri ng mga hangganan: bukas, sarado, tambalan o hindi masusukat. Tinutukoy nito kung paano mo hinahanap ang minimum ibig sabihin. Sabihin nating ang segment [A, B] ay isang closed interval. Isaksak ang mga ito sa function at kalkulahin ang mga halaga. Gawin ang parehong sa isang nakatigil na punto. Piliin ang pinakamababang kabuuan.

8. Sa bukas at hindi masusukat na mga pagitan ang sitwasyon ay medyo mas mahirap. Dito kailangan mong maghanap ng isang panig na mga limitasyon na hindi palaging nagbibigay ng isang hindi malabo na resulta. Sabihin, para sa isang pagitan na may isang sarado at isang nabutas na hangganan [A, B), ang isa ay dapat makahanap ng isang function sa x = A at isang isang panig na limitasyon lim y sa x? B-0.

Layunin: buod at i-systematize ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang "Periodicity of Functions"; bumuo ng mga kasanayan sa paglalapat ng mga katangian ng isang periodic function, paghahanap ng pinakamaliit na positibong panahon ng isang function, pagbuo ng mga graph ng periodic function; itaguyod ang interes sa pag-aaral ng matematika; linangin ang pagmamasid at kawastuhan.

Kagamitan: computer, multimedia projector, mga task card, mga slide, orasan, mga talahanayan ng mga burloloy, mga elemento ng katutubong sining

"Ang matematika ang ginagamit ng mga tao upang kontrolin ang kalikasan at ang kanilang sarili."
A.N. Kolmogorov

Sa panahon ng mga klase

I. Yugto ng organisasyon.

Pagsusuri sa kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin. Iulat ang paksa at layunin ng aralin.

II. Sinusuri ang takdang-aralin.

Sinusuri namin ang araling-bahay gamit ang mga sample at tinatalakay ang pinakamahirap na punto.

III. Paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman.

1. Oral frontal work.

Mga isyu sa teorya.

1) Bumuo ng isang kahulugan ng panahon ng function
2) Pangalanan ang pinakamaliit na positibong panahon ng mga function y=sin(x), y=cos(x)
3). Ano ang pinakamaliit na positibong panahon ng mga function y=tg(x), y=ctg(x)
4) Gamit ang isang bilog, patunayan ang kawastuhan ng mga ugnayan:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Paano mag-plot ng periodic function?

Mga pagsasanay sa bibig.

1) Patunayan ang mga sumusunod na relasyon

a) kasalanan(740º) = kasalanan(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) kasalanan(-1000º) = kasalanan(80º)

2. Patunayan na ang isang anggulo ng 540º ay isa sa mga panahon ng function na y= cos(2x)

3. Patunayan na ang isang anggulo ng 360º ay isa sa mga yugto ng function na y=tg(x)

4. Ibahin ang anyo ng mga expression na ito upang ang mga anggulo na kasama sa mga ito ay hindi lalampas sa 90º sa ganap na halaga.

a) tg375º
b) ctg530º
c) kasalanan1268º
d) cos(-7363º)

5. Saan mo nakita ang mga salitang PERIOD, PERIODICITY?

Sagot ng mag-aaral: Ang panahon sa musika ay isang istraktura kung saan ang isang mas marami o hindi gaanong kumpletong kaisipang musikal ay ipinakita. Ang panahon ng geological ay bahagi ng isang panahon at nahahati sa mga panahon na may panahon mula 35 hanggang 90 milyong taon.

Half-life ng isang radioactive substance. Periodic fraction. Ang mga periodical ay mga naka-print na publikasyon na lumalabas sa loob ng mahigpit na tinukoy na mga deadline. periodic system ni Mendeleev.

6. Ang mga figure ay nagpapakita ng mga bahagi ng mga graph ng periodic functions. Tukuyin ang panahon ng pag-andar. Tukuyin ang panahon ng pag-andar.

Sagot: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Saan sa iyong buhay naranasan mo ang pagbuo ng mga paulit-ulit na elemento?

Sagot ng mag-aaral: Mga elemento ng palamuti, katutubong sining.

IV. Kolektibong paglutas ng problema.

(Paglutas ng mga problema sa mga slide.)

Isaalang-alang natin ang isa sa mga paraan upang pag-aralan ang isang function para sa periodicity.

Iniiwasan ng pamamaraang ito ang mga paghihirap na nauugnay sa pagpapatunay na ang isang partikular na panahon ay ang pinakamaliit, at inaalis din ang pangangailangan na hawakan ang mga tanong tungkol sa mga operasyon ng aritmetika sa mga periodic function at ang periodicity ng isang kumplikadong function. Ang pangangatwiran ay batay lamang sa kahulugan ng isang periodic function at sa sumusunod na katotohanan: kung ang T ay ang panahon ng function, kung gayon ang nT(n?0) ay ang panahon nito.

Problema 1. Hanapin ang pinakamaliit na positibong panahon ng function f(x)=1+3(x+q>5)

Solusyon: Ipagpalagay na ang T-period ng function na ito. Pagkatapos f(x+T)=f(x) para sa lahat ng x € D(f), i.e.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Ilagay natin ang x=-0.25 makuha natin

(T)=0<=>T=n, n € Z

Nakuha namin na ang lahat ng mga yugto ng function na pinag-uusapan (kung mayroon sila) ay kabilang sa mga integer. Piliin natin ang pinakamaliit na positibong numero sa mga numerong ito. Ito 1 . Suriin natin kung magiging period ba talaga ito 1 .

f(x+1) =3(x+1+0.25)+1

Dahil (T+1)=(T) para sa anumang T, pagkatapos ay f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), i.e. 1 – panahon f. Dahil ang 1 ay ang pinakamaliit sa lahat ng positibong integer, kung gayon ang T=1.

Suliranin 2. Ipakita na ang function na f(x)=cos 2 (x) ay periodic at hanapin ang pangunahing period nito.

Problema 3. Hanapin ang pangunahing panahon ng function

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ipagpalagay natin ang T-period ng function, pagkatapos ay para sa anuman X wasto ang ratio

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Kung x=0, kung gayon

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Kung x=-T, kung gayon

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – kasalanan(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Pagdaragdag nito, makukuha natin:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Piliin natin ang pinakamaliit na positibong numero mula sa lahat ng "kahina-hinalang" numero para sa panahon at suriin kung ito ay isang tuldok para sa f. Itong numero

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Nangangahulugan ito na ito ang pangunahing panahon ng function f.

Suliranin 4. Suriin natin kung ang function na f(x)=sin(x) ay periodic

Hayaang ang T ang panahon ng function na f. Pagkatapos para sa anumang x

sin|x+Т|=sin|x|

Kung x=0, kasalanan|Т|=sin0, kasalanan|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Ipagpalagay na natin. Na para sa ilang n ang bilang na π n ay ang tuldok

ang function na isinasaalang-alang π n>0. Pagkatapos sin|π n+x|=sin|x|

Ito ay nagpapahiwatig na ang n ay dapat na pareho at isang kakaibang numero, ngunit ito ay imposible. Samakatuwid, ang pagpapaandar na ito ay hindi pana-panahon.

Gawain 5. Suriin kung ang function ay pana-panahon

f(x)=

Hayaan ang T ang panahon ng f, kung gayon

, kaya sinT=0, Т=π n, n € Z. Ipagpalagay natin na para sa ilang n ang bilang na π n ay talagang ang panahon ng function na ito. Kung gayon ang bilang na 2π n ang magiging tuldok

Dahil ang mga numerator ay pantay, ang kanilang mga denominador ay pantay, samakatuwid

Nangangahulugan ito na ang function na f ay hindi pana-panahon.

Gumawa ng sama sama.

Mga gawain para sa pangkat 1.

Mga gawain para sa pangkat 2.

Suriin kung ang function f ay panaka-nakang at hanapin ang pangunahing panahon nito (kung ito ay umiiral).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Mga gawain para sa pangkat 3.

Sa pagtatapos ng kanilang gawain, ipinakita ng mga grupo ang kanilang mga solusyon.

VI. Pagbubuod ng aralin.

Pagninilay.

Binibigyan ng guro ang mga mag-aaral ng mga kard na may mga guhit at hinihiling sa kanila na kulayan ang bahagi ng unang pagguhit alinsunod sa lawak kung saan sa tingin nila ay pinagkadalubhasaan nila ang mga pamamaraan ng pag-aaral ng isang function para sa periodicity, at sa bahagi ng pangalawang pagguhit - alinsunod sa kanilang kontribusyon sa gawain sa aralin.

VII. Takdang aralin

1). Suriin kung ang function f ay panaka-nakang at hanapin ang pangunahing panahon nito (kung mayroon)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Ang function na y=f(x) ay may period T=2 at f(x)=x 2 +2x para sa x € [-2; 0]. Hanapin ang halaga ng expression -2f(-3)-4f(3.5)

Panitikan/

1. Mordkovich A.G. Algebra at simula ng pagsusuri na may malalim na pag-aaral.
2. Mathematics. Paghahanda para sa Unified State Exam. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra at panimulang pagsusuri para sa mga baitang 10-11.