Isaalang-alang ang isang curvilinear trapezoid na nakatali ng Ox axis, isang curve y \u003d f (x) at dalawang tuwid na linya: x \u003d a at x \u003d b (Fig. 85). Kumuha ng arbitrary na halaga ng x (lamang hindi a at hindi b). Bigyan natin ito ng increment h = dx at isaalang-alang ang isang strip na nililimitahan ng mga tuwid na linya AB at CD, ng Ox axis, at ng isang arc BD na kabilang sa curve na isinasaalang-alang. Ang strip na ito ay tatawaging elementary strip. Ang lugar ng isang elementarya na strip ay naiiba mula sa lugar ng rectangle ACQB sa pamamagitan ng isang curvilinear triangle BQD, at ang lugar ng huli ay mas mababa kaysa sa area ng rectangle BQDM na may mga gilid BQ = = h= dx) QD=Ay at lugar na katumbas ng hAy = Ay dx. Habang bumababa ang gilid na h, bumababa rin ang panig na Du at, kasabay ng h, ay nagiging zero. Samakatuwid, ang lugar ng BQDM ay infinitesimal ng pangalawang order. Ang lugar ng elementary strip ay ang area increment, at ang area ng rectangle ACQB, katumbas ng AB-AC==/(x) dx> ay ang area differential. Samakatuwid, hinahanap natin ang mismong lugar sa pamamagitan ng pagsasama ng kaugalian nito. Sa loob ng mga limitasyon ng figure na isinasaalang-alang, ang independent variable l: ay nagbabago mula sa a hanggang b, kaya ang kinakailangang lugar 5 ay magiging katumbas ng 5= \f (x) dx. (I) Halimbawa 1. Kalkulahin ang lugar na nakatali sa parabola y - 1 -x *, ang mga tuwid na linya X \u003d - Fj-, x \u003d 1 at ang axis O * (Fig. 86). sa Fig. 87. Fig. 86. 1 Dito f(x) = 1 - l?, ang mga limitasyon ng integration a = - at t = 1, samakatuwid 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Halimbawa 2. Kalkulahin ang lugar na nililimitahan ng sinusoid y = sinXy, ang Ox axis at ang tuwid na linya (Fig. 87). Ang paglalapat ng formula (I), nakukuha namin ang L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf Halimbawa 3. Kalkulahin ang lugar na nakatali sa arko ng sinusoid ^y \ u003d sin jc na nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkatabing intersection point na may Ox axis (halimbawa, sa pagitan ng pinanggalingan at ng puntong may abscissa i). Tandaan na mula sa mga geometric na pagsasaalang-alang ay malinaw na ang lugar na ito ay magiging dalawang beses sa lugar ng nakaraang halimbawa. Gayunpaman, gawin natin ang mga kalkulasyon: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Sa katunayan, ang aming palagay ay naging patas. Halimbawa 4. Kalkulahin ang lugar na nililigiran ng sinusoid at ang ^ axis na Ox sa isang tuldok (Fig. 88). Ang mga paunang paghatol na ras-figure ay nagmumungkahi na ang lugar ay magiging apat na beses na mas malaki kaysa sa pr. 2. Gayunpaman, pagkatapos gawin ang mga kalkulasyon, nakukuha namin ang "i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Ang resultang ito ay nangangailangan ng paglilinaw. Upang linawin ang kakanyahan ng bagay, kinakalkula din namin ang lugar na nalilimitahan ng parehong sinusoid y \u003d sin l: at ang Ox axis mula l hanggang 2n. Paglalapat ng formula (I), nakukuha namin Kaya, nakikita natin na ang lugar na ito ay naging negatibo. Kung ikukumpara ito sa lugar na kinakalkula sa Ex. 3, nalaman namin na ang kanilang mga ganap na halaga ay pareho, ngunit ang mga palatandaan ay magkaiba. Kung ilalapat namin ang ari-arian V (tingnan ang Ch. XI, § 4), pagkatapos ay nakuha namin nang hindi sinasadya. Palaging ang lugar sa ibaba ng x-axis, sa kondisyon na ang independent variable ay nagbabago mula kaliwa papuntang kanan, ay nakukuha sa pamamagitan ng pagkalkula gamit ang mga integral na negatibo. Sa kursong ito, palagi nating isasaalang-alang ang mga lugar na hindi nilagdaan. Samakatuwid, ang sagot sa halimbawang sinuri ay ang mga sumusunod: ang kinakailangang lugar ay katumbas ng 2 + |-2| = 4. Halimbawa 5. Kalkulahin natin ang lugar ng BAB na ipinapakita sa Fig. 89. Ang lugar na ito ay nalilimitahan ng axis Ox, ang parabola y = - xr at ang tuwid na linya y - = -x + \. Lugar ng isang curvilinear trapezoid Ang hinahanap na lugar na OAB ay binubuo ng dalawang bahagi: OAM at MAB. Dahil ang punto A ay ang punto ng intersection ng parabola at ang tuwid na linya, makikita natin ang mga coordinate nito sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation 3 2 Y \u003d mx. (kailangan lang nating hanapin ang abscissa ng point A). Ang paglutas ng sistema, nakita namin l; =~. Samakatuwid, ang lugar ay kailangang kalkulahin sa mga bahagi, unang pl. OAM, at pagkatapos ay pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (base ng isang curvilinear trapezoid) sa n pantay na bahagi; ang partisyon na ito ay magagawa sa tulong ng mga puntos na x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Gumuhit tayo ng mga linya sa mga puntong ito na kahanay sa y-axis. Pagkatapos ang ibinigay na curvilinear trapezoid ay hahatiin sa n bahagi, sa n makitid na hanay. Ang lugar ng buong trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga haligi.
Isaalang-alang nang hiwalay ang k-th column, i.e. curvilinear trapezoid, ang base nito ay isang segment. Palitan natin ito ng isang parihaba na may parehong base at taas na katumbas ng f(x k) (tingnan ang figure). Ang lugar ng rectangle ay \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kung saan ang \(\Delta x_k \) ay ang haba ng segment; natural na isaalang-alang ang pinagsama-samang produkto bilang isang tinatayang halaga ng lugar ng kth column. 
Kung gagawin natin ngayon ang parehong sa lahat ng iba pang mga column, pagkatapos ay makarating tayo sa sumusunod na resulta: ang lugar S ng isang naibigay na curvilinear trapezoid ay humigit-kumulang katumbas ng lugar S n ng isang stepped figure na binubuo ng n rectangles (tingnan ang figure):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Dito, para sa pagkakapareho ng notasyon, isinasaalang-alang namin na ang isang \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - haba ng segment , \(\Delta x_1 \) - haba ng segment , atbp; habang, tulad ng napagkasunduan namin sa itaas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Kaya, \(S \approx S_n \), at ang tinatayang pagkakapantay-pantay na ito ay mas tumpak, mas malaki n.
Sa pamamagitan ng kahulugan, ipinapalagay na ang nais na lugar ng curvilinear trapezoid ay katumbas ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Gawain 2(tungkol sa paglipat ng isang punto)
Ang isang materyal na punto ay gumagalaw sa isang tuwid na linya. Ang pag-asa ng bilis sa oras ay ipinahayag ng formula v = v(t). Hanapin ang displacement ng isang punto sa pagitan ng oras [a; b].
Desisyon. Kung ang paggalaw ay pare-pareho, kung gayon ang problema ay malulutas nang napakasimple: s = vt, i.e. s = v(b-a). Para sa hindi pantay na paggalaw, kailangang gumamit ng parehong mga ideya kung saan ibinatay ang solusyon sa nakaraang problema.
1) Hatiin ang pagitan ng oras [a; b] sa n pantay na bahagi.
2) Isaalang-alang ang isang agwat ng oras at ipagpalagay na sa pagitan ng oras na ito ang bilis ay pare-pareho, tulad ng sa oras t k . Kaya, ipinapalagay namin na v = v(t k).
3) Hanapin ang tinatayang halaga ng pag-aalis ng punto sa pagitan ng oras , ang tinatayang halaga na ito ay ilalarawan ng s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Hanapin ang tinatayang halaga ng displacement s:
\(s \approx S_n \) kung saan
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Ang kinakailangang displacement ay katumbas ng limitasyon ng sequence (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
I-summarize natin. Ang mga solusyon sa iba't ibang mga problema ay nabawasan sa parehong modelo ng matematika. Maraming mga problema mula sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya ang humahantong sa parehong modelo sa proseso ng solusyon. Kaya, ang modelong ito ng matematika ay dapat na espesyal na pinag-aralan.
Ang konsepto ng isang tiyak na integral
Magbigay tayo ng isang mathematical na paglalarawan ng modelo na binuo sa tatlong itinuturing na mga problema para sa function na y = f(x), na tuluy-tuloy (ngunit hindi kinakailangang hindi negatibo, tulad ng ipinapalagay sa mga isinasaalang-alang na problema) sa segment [ a; b]:
1) hatiin ang segment [a; b] sa n pantay na bahagi;
2) kabuuan $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) kalkulahin ang $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Sa kurso ng mathematical analysis, napatunayan na ang limitasyong ito ay umiiral sa kaso ng tuluy-tuloy (o piecewise continuous) function. Tinatawag siya isang tiyak na integral ng function na y = f(x) sa ibabaw ng segment [a; b] at tinutukoy ng ganito:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Ang mga numerong a at b ay tinatawag na mga limitasyon ng pagsasama (mas mababa at itaas, ayon sa pagkakabanggit).
Bumalik tayo sa mga gawaing tinalakay sa itaas. Ang kahulugan ng lugar na ibinigay sa problema 1 ay maaari na ngayong muling isulat gaya ng sumusunod:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
dito S ay ang lugar ng curvilinear trapezoid na ipinapakita sa figure sa itaas. Ito ang ano geometriko na kahulugan ng tiyak na integral.
Ang kahulugan ng displacement s ng isang puntong gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis na v = v(t) sa pagitan ng oras mula t = a hanggang t = b, na ibinigay sa Problema 2, ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:
Newton - Leibniz formula
Upang magsimula, sagutin natin ang tanong: ano ang kaugnayan sa pagitan ng isang tiyak na integral at isang antiderivative?
Ang sagot ay matatagpuan sa suliranin 2. Sa isang banda, ang displacement s ng isang punto na gumagalaw sa isang tuwid na linya na may bilis na v = v(t) sa isang pagitan ng oras mula t = a hanggang t = b at kinakalkula ng ang formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Sa kabilang banda, ang coordinate ng gumagalaw na punto ay ang antiderivative para sa bilis - tukuyin natin ito s(t); kaya ang displacement s ay ipinahayag ng formula na s = s(b) - s(a). Bilang resulta, nakukuha namin ang:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kung saan ang s(t) ay ang antiderivative para sa v(t).
Ang mga sumusunod na teorama ay napatunayan sa kurso ng pagsusuri sa matematika.
Teorama. Kung ang function na y = f(x) ay tuloy-tuloy sa segment [a; b], pagkatapos ay ang formula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kung saan ang F(x) ay ang antiderivative para sa f(x).
Ang formula na ito ay karaniwang tinatawag Formula ng Newton-Leibniz bilang parangal sa Ingles na pisisista na si Isaac Newton (1643-1727) at ang pilosopong Aleman na si Gottfried Leibniz (1646-1716), na tumanggap nito nang nakapag-iisa sa bawat isa at halos sabay-sabay.
Sa pagsasagawa, sa halip na isulat ang F(b) - F(a), ginagamit nila ang notation na \(\left. F(x)\right|_a^b \) (tinatawag itong minsan dobleng pagpapalit) at, nang naaayon, muling isulat ang formula ng Newton-Leibniz sa form na ito:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kaliwa. F(x)\kanan|_a^b \)
Pagkalkula ng isang tiyak na integral, hanapin muna ang antiderivative, at pagkatapos ay magsagawa ng dobleng pagpapalit.
Batay sa formula ng Newton-Leibniz, ang isa ay maaaring makakuha ng dalawang katangian ng isang tiyak na integral.
Ari-arian 1. Ang integral ng kabuuan ng mga function ay katumbas ng kabuuan ng mga integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Ari-arian 2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa integral sign:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano gamit ang isang tiyak na integral
Gamit ang integral, maaari mong kalkulahin ang lugar hindi lamang ng mga curvilinear trapezoid, kundi pati na rin ng mga figure ng eroplano ng isang mas kumplikadong uri, tulad ng ipinapakita sa figure. Ang figure P ay nililimitahan ng mga tuwid na linya x = a, x = b at mga graph ng tuluy-tuloy na function y = f(x), y = g(x), at sa segment [a; b] ang hindi pagkakapantay-pantay na \(g(x) \leq f(x) \) ay hawak. Upang kalkulahin ang lugar S ng naturang figure, magpapatuloy kami bilang mga sumusunod:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Kaya, ang lugar S ng figure na nililimitahan ng mga tuwid na linya x = a, x = b at ang mga graph ng mga function y = f(x), y = g(x), tuloy-tuloy sa segment at tulad na para sa anumang x mula sa ang segment [a; b] ang hindi pagkakapantay-pantay \(g(x) \leq f(x) \) ay nasiyahan, ay kinakalkula ng formula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Talaan ng mga hindi tiyak na integral (antiderivatives) ng ilang function
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$ 
Bumalik pasulong
Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.
Mga keyword: integral, curvilinear trapezoid, lugar ng mga figure na napapalibutan ng mga liryo
Kagamitan: whiteboard, computer, multimedia projector
Uri ng aralin: lesson-lecture
Mga Layunin ng Aralin:
- pang-edukasyon: upang bumuo ng isang kultura ng mental na gawain, upang lumikha ng isang sitwasyon ng tagumpay para sa bawat mag-aaral, upang bumuo ng isang positibong pagganyak para sa pag-aaral; paunlarin ang kakayahang magsalita at makinig sa iba.
- pagbuo: ang pagbuo ng kalayaan ng pag-iisip ng mag-aaral sa aplikasyon ng kaalaman sa iba't ibang mga sitwasyon, ang kakayahang mag-analisa at gumawa ng mga konklusyon, ang pagbuo ng lohika, ang pagbuo ng kakayahang magtanong nang tama at makahanap ng mga sagot sa kanila. Pagpapabuti ng pagbuo ng computational, pagkalkula ng mga kasanayan, pagbuo ng pag-iisip ng mga mag-aaral sa kurso ng pagsasagawa ng mga iminungkahing gawain, pagbuo ng isang algorithmic na kultura.
- pang-edukasyon: upang bumuo ng mga konsepto tungkol sa isang curvilinear trapezoid, tungkol sa isang integral, upang makabisado ang mga kasanayan sa pagkalkula ng mga lugar ng mga flat figure
Paraan ng Pagtuturo: nagpapaliwanag at naglalarawan.
Sa panahon ng mga klase
Sa mga nakaraang klase, natutunan namin kung paano kalkulahin ang mga lugar ng mga figure na ang mga hangganan ay mga putol na linya. Sa matematika, may mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang lugar ng mga figure na nalilimitahan ng mga kurba. Ang mga nasabing figure ay tinatawag na curvilinear trapezoids, at ang kanilang lugar ay kinakalkula gamit ang mga antiderivatives.
Curvilinear trapezoid ( slide 1)
Ang curvilinear trapezoid ay isang figure na nililimitahan ng function graph, ( w.m.), tuwid x = a at x = b at abscissa
Iba't ibang uri ng curvilinear trapezoids ( slide 2)
Isinasaalang-alang namin ang iba't ibang uri ng mga curvilinear trapezoid at napansin: ang isa sa mga linya ay bumababa sa isang punto, ang papel ng paglilimita ng function ay nilalaro ng linya
Lugar ng isang curvilinear trapezoid (slide 3)
Ayusin ang kaliwang dulo ng pagitan a, at tama X magbabago tayo, ibig sabihin, ililipat natin ang kanang dingding ng curvilinear trapezoid at makakuha ng nagbabagong pigura. Ang lugar ng isang variable na curvilinear trapezoid na nakatali ng function graph ay ang antiderivative F para sa function f
At sa segment [ a; b] ang lugar ng curvilinear trapezoid na nabuo ng function f, ay katumbas ng pagtaas ng antiderivative ng function na ito:
Ehersisyo 1:
Hanapin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng graph ng isang function: f(x) = x 2 at direktang y=0, x=1, x=2.
Desisyon: ( ayon sa slide 3 algorithm)
Gumuhit ng graph ng function at mga linya
Hanapin ang isa sa mga antiderivatives ng function f(x) = x 2 :
Slide Self-Check
integral
Isaalang-alang ang isang curvilinear trapezoid na ibinigay ng function f sa segment [ a; b]. Hatiin natin ang segment na ito sa ilang bahagi. Ang lugar ng buong trapezoid ay mahahati sa kabuuan ng mga lugar ng mas maliit na curvilinear trapezoid. ( slide 5). Ang bawat naturang trapezoid ay maaaring ituring na isang parihaba. Ang kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba na ito ay nagbibigay ng tinatayang ideya ng buong lugar ng curvilinear trapezoid. Ang mas maliit na masira natin ang segment [ a; b], mas tumpak na kinakalkula namin ang lugar.
Isinulat namin ang mga pagsasaalang-alang na ito sa anyo ng mga formula.
Hatiin ang segment [ a; b] sa n bahagi na may mga tuldok x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Ang haba k- ika tukuyin ng xk = xk - xk-1. Sum up tayo
Sa geometriko, ang kabuuan na ito ay ang lugar ng figure na may kulay sa figure ( sh.m.)
Ang mga kabuuan ng form ay tinatawag na integral sums para sa function f. (sch.m.)
Ang mga integral na kabuuan ay nagbibigay ng tinatayang halaga ng lugar. Ang eksaktong halaga ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpasa sa limitasyon. Isipin na pinipino namin ang partition ng segment [ a; b] upang ang haba ng lahat ng maliliit na segment ay may posibilidad na zero. Pagkatapos ang lugar ng binubuong pigura ay lalapit sa lugar ng curvilinear trapezoid. Masasabi nating ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay katumbas ng limitasyon ng integral sums, Sk.t. (sch.m.) o integral, ibig sabihin,
Kahulugan:
function integral f(x) mula sa a dati b ay tinatawag na limitasyon ng integral sums
= (sch.m.)
Formula ng Newton-Leibniz.
Tandaan na ang limitasyon ng mga integral sums ay katumbas ng lugar ng isang curvilinear trapezoid, kaya maaari naming isulat:
Sk.t. = (sch.m.)
Sa kabilang banda, ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay kinakalkula ng formula
S to. t. (sch.m.)
Kung ihahambing ang mga formula na ito, nakukuha namin ang:
= (sch.m.)Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na Newton-Leibniz formula.
Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, ang formula ay nakasulat bilang:
= = (sch.m.)Mga Gawain: (sch.m.)
1. Kalkulahin ang integral gamit ang Newton-Leibniz formula: ( suriin ang slide 5)
2. Compile integrals ayon sa drawing ( tingnan sa slide 6)
3. Hanapin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slide 7)
Paghahanap ng mga lugar ng mga figure ng eroplano ( slide 8)
Paano mahahanap ang lugar ng mga figure na hindi curvilinear trapezoids?
Hayaang magbigay ng dalawang function, ang mga graph na makikita mo sa slide . (sch.m.) Hanapin ang lugar ng shaded figure . (sch.m.). Ang figure ba na pinag-uusapan ay isang curvilinear trapezoid? At paano mo mahahanap ang lugar nito, gamit ang additivity property ng lugar? Isaalang-alang ang dalawang curvilinear trapezoid at ibawas ang lugar ng isa mula sa lugar ng isa sa kanila ( w.m.)
Gumawa tayo ng algorithm para sa paghahanap ng lugar mula sa animation sa slide:
- Mga Pag-andar ng Plot
- I-project ang mga intersection point ng mga graph papunta sa x-axis
- I-shade ang figure na nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa mga graph
- Maghanap ng mga curvilinear trapezoid na ang intersection o unyon ay ang ibinigay na figure.
- Kalkulahin ang lugar ng bawat isa
- Maghanap ng pagkakaiba o kabuuan ng mga lugar
Oral na gawain: Paano makuha ang lugar ng isang shaded figure (sabihin gamit ang animation, slide 8 at 9)
Takdang aralin: Gawin ang abstract, No. 353 (a), No. 364 (a).
Bibliograpiya
- Algebra at ang simula ng pagsusuri: isang aklat-aralin para sa mga baitang 9-11 ng gabi (shift) paaralan / ed. G.D. Glaser. - M: Enlightenment, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: isang aklat-aralin para sa mga baitang 10-11 ng gitnang paaralan / Bashmakov M.I. - M: Enlightenment, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematika: isang aklat-aralin para sa mga institusyong nagsisimula. at avg. ang prof. edukasyon / M.I. Bashmakov. - M: Academy, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra at ang simula ng pagsusuri: isang aklat-aralin para sa 10-11 na mga cell. mga institusyong pang-edukasyon / A.N. Kolmogorov. - M: Enlightenment, 2010.
- Ostrovsky S.L. Paano gumawa ng isang pagtatanghal para sa aralin? / S.L. Ostrovsky. – M.: Una ng Setyembre, 2010.
Mga natapos na gawa
MGA GAWA ITO
Marami na ang huli at ngayon ay graduate ka na, kung, siyempre, isusulat mo ang iyong thesis sa oras. Ngunit ang buhay ay isang bagay na ngayon lamang ay naging malinaw sa iyo na, sa pagtigil sa pagiging isang mag-aaral, mawawala sa iyo ang lahat ng kagalakan ng mga mag-aaral, na marami sa mga ito ay hindi mo pa sinubukan, ipagpaliban ang lahat at ipagpaliban ito para sa ibang pagkakataon. At ngayon, imbes na humabol, pinag-iisipan mo pa ang thesis mo? Mayroong isang mahusay na paraan: i-download ang thesis na kailangan mo mula sa aming website - at magkakaroon ka kaagad ng maraming libreng oras!
Ang mga gawaing diploma ay matagumpay na naipagtanggol sa mga nangungunang Unibersidad ng Republika ng Kazakhstan.
Gastos ng trabaho mula sa 20 000 tenge
MGA GAWA NG KURSO
Ang proyekto ng kurso ay ang unang seryosong praktikal na gawain. Sa pagsulat ng isang term paper nagsisimula ang paghahanda para sa pagbuo ng mga proyekto sa pagtatapos. Kung natutunan ng isang mag-aaral na ipahayag nang tama ang nilalaman ng paksa sa isang proyekto ng kurso at iguhit ito nang tama, kung gayon sa hinaharap ay hindi siya magkakaroon ng mga problema sa pagsulat ng mga ulat, o sa pag-compile ng mga tesis, o sa pagsasagawa ng iba pang praktikal na mga gawain. Upang matulungan ang mga mag-aaral sa pagsulat ng ganitong uri ng gawain ng mag-aaral at upang linawin ang mga tanong na lumabas sa kurso ng paghahanda nito, sa katunayan, ang seksyong ito ng impormasyon ay nilikha.
Gastos ng trabaho mula sa 2 500 tenge
MGA TESIS NI MASTER
Sa kasalukuyan, sa mga mas mataas na institusyong pang-edukasyon ng Kazakhstan at mga bansang CIS, ang yugto ng mas mataas na propesyonal na edukasyon, na sumusunod pagkatapos ng bachelor's degree - ang master's degree, ay karaniwan. Sa mahistrado, ang mga mag-aaral ay nag-aaral na may layuning makakuha ng master's degree, na kinikilala sa karamihan ng mga bansa sa mundo higit pa sa bachelor's degree, at kinikilala din ng mga dayuhang employer. Ang resulta ng pagsasanay sa mahistrado ay ang pagtatanggol sa thesis ng master.
Bibigyan ka namin ng up-to-date na analytical at textual na materyal, kasama sa presyo ang 2 siyentipikong artikulo at abstract.
Gastos ng trabaho mula sa 35 000 tenge
MGA ULAT SA PAGSASANAY
Matapos makumpleto ang anumang uri ng pagsasanay ng mag-aaral (pang-edukasyon, industriyal, undergraduate) isang ulat ay kinakailangan. Ang dokumentong ito ay magiging kumpirmasyon ng praktikal na gawain ng mag-aaral at ang batayan para sa pagbuo ng pagtatasa para sa pagsasanay. Karaniwan, upang makaipon ng isang ulat sa internship, kailangan mong mangolekta at pag-aralan ang impormasyon tungkol sa negosyo, isaalang-alang ang istraktura at iskedyul ng trabaho ng organisasyon kung saan nagaganap ang internship, gumuhit ng isang plano sa kalendaryo at ilarawan ang iyong mga praktikal na aktibidad.
Tutulungan ka naming magsulat ng isang ulat sa internship, na isinasaalang-alang ang mga detalye ng mga aktibidad ng isang partikular na negosyo.
Halimbawa1 . Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3, at x = 2
Bumuo tayo ng figure (tingnan ang Fig.) Bumuo tayo ng isang tuwid na linya x + 2y - 4 \u003d 0 kasama ang dalawang puntos A (4; 0) at B (0; 2). Ang pagpapahayag ng y sa mga tuntunin ng x, nakukuha namin ang y \u003d -0.5x + 2. Ayon sa formula (1), kung saan f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, kami hanapin
S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 sq. mga yunit
Halimbawa 2 Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 at y \u003d 0.
Desisyon. Bumuo tayo ng isang pigura.
Bumuo tayo ng isang tuwid na linya x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Bumuo tayo ng tuwid na linya x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Upang kalkulahin ang kinakailangang lugar, hinati namin ang AMC triangle sa dalawang tatsulok na AMN at NMC, dahil kapag ang x ay nagbago mula A hanggang N, ang lugar ay nalilimitahan ng isang tuwid na linya, at kapag ang x ay nagbago mula N hanggang C, ito ay isang tuwid na linya.
Para sa tatsulok na AMN mayroon kaming: ; y \u003d 0.5x + 2, i.e. f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.
Para sa NMC triangle mayroon tayo: y = - x + 5, ibig sabihin, f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Ang pagkalkula ng lugar ng bawat isa sa mga tatsulok at pagdaragdag ng mga resulta, nakita namin:
sq. mga yunit
sq. mga yunit
9 + 4, 5 = 13.5 sq. mga yunit Suriin: = 0.5AC = 0.5 sq. mga yunit
Halimbawa 3 Kalkulahin ang lugar ng isang figure na nililimitahan ng mga linya: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
AT kasong ito kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng isang parabola y = x 2 , mga tuwid na linya x \u003d 2 at x \u003d 3 at ang Ox axis (tingnan ang Fig.) Ayon sa formula (1), nakita namin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid
= = 6kv. mga yunit
Halimbawa 4 Kalkulahin ang lugar ng isang figure na nililimitahan ng mga linya: y \u003d - x 2 + 4 at y = 0
Bumuo tayo ng isang pigura. Ang nais na lugar ay nakapaloob sa pagitan ng parabola y \u003d - x 2 + 4 at axis Oh.
Hanapin ang mga punto ng intersection ng parabola sa x-axis. Sa pag-aakalang y \u003d 0, nakita namin ang x \u003d Dahil ang figure na ito ay simetriko tungkol sa Oy axis, kinakalkula namin ang lugar ng figure na matatagpuan sa kanan ng Oy axis, at doble ang resulta: \u003d + 4x] parisukat. mga yunit 2 = 2 sq. mga yunit
Halimbawa 5 Kalkulahin ang lugar ng isang figure na nililimitahan ng mga linya: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Dito kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng curvilinear trapezoid na nakatali sa itaas na sangay ng parabola y 2 \u003d x, ang Ox axis at mga tuwid na linya x \u003d 1x \u003d 4 (tingnan ang Fig.)
Ayon sa formula (1), kung saan ang f(x) = a = 1 at b = 4, mayroon tayong = (= sq. units
Halimbawa 6 . Kalkulahin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Ang nais na lugar ay limitado sa pamamagitan ng isang kalahating alon sinusoid at ang Ox axis (tingnan ang Fig.).
Mayroon kaming - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 square meters. mga yunit
Halimbawa 7 Kalkulahin ang lugar ng figure na may hangganan ng mga linya: y \u003d - 6x, y \u003d 0 at x \u003d 4.
Ang figure ay matatagpuan sa ilalim ng Ox axis (tingnan ang Fig.).
Samakatuwid, ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (3)
= =
Halimbawa 8 Kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya: y \u003d at x \u003d 2. Bubuo kami ng curve y \u003d sa pamamagitan ng mga puntos (tingnan ang figure). Kaya, ang lugar ng figure ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (4)
Halimbawa 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Dito kailangan mong kalkulahin ang lugar na hangganan ng bilog na x 2 + y 2 = r 2 , ibig sabihin, ang lugar ng isang bilog na radius r na nakasentro sa pinanggalingan. Hanapin natin ang ikaapat na bahagi ng lugar na ito, na kumukuha ng mga limitasyon ng pagsasama mula sa 0
dor; meron kami: 1 = = [
Kaya naman, 1 =
Halimbawa 10 Kalkulahin ang lugar ng figure na may hangganan ng mga linya: y \u003d x 2 at y = 2x
Ang figure na ito ay limitado ng parabola y \u003d x 2 at tuwid na linya y \u003d 2x (tingnan ang Fig.) Upang matukoy ang mga intersection point ng mga ibinigay na linya, nilulutas namin ang sistema ng mga equation: x 2 – 2x = 0 x = 0 at x = 2
Gamit ang formula (5) upang mahanap ang lugar, nakukuha natin
= }
