Equation ng pinakamataas na antas na may positibong mga ugat. Mga equation ng mas mataas na degree Paraan para sa paglutas ng mga equation n

Isipin mo paglutas ng mga equation na may isang variable na mas mataas kaysa sa pangalawa.

Ang antas ng equation na P(x) = 0 ay ang antas ng polynomial P(x), i.e. ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga termino nito na may non-zero coefficient.

Kaya, halimbawa, ang equation (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 ay may ikalimang degree, dahil pagkatapos ng mga operasyon ng pagbubukas ng mga bracket at pagdadala ng mga katulad, nakakakuha kami ng katumbas na equation x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 ng ikalimang degree.

Alalahanin ang mga patakaran na kakailanganin upang malutas ang mga equation na mas mataas kaysa sa pangalawa.

Mga pahayag tungkol sa mga ugat ng isang polynomial at mga divisors nito:

1. Ang polynomial ng nth degree ay may bilang ng mga ugat na hindi lalampas sa bilang n, at ang mga ugat ng multiplicity m ay nangyayari nang eksakto m beses.

2. Ang isang polynomial ng kakaibang antas ay may hindi bababa sa isang tunay na ugat.

3. Kung ang α ay ang ugat ng Р(х), kung gayon ang Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), kung saan ang Q n – 1 (x) ay isang polynomial ng degree (n – 1) .

5. Ang isang pinababang polynomial na may mga integer coefficient ay hindi maaaring magkaroon ng fractional rational na mga ugat.

6. Para sa isang third degree polynomial

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d isa sa dalawang bagay ay posible: alinman ito ay nabubulok sa isang produkto ng tatlong binomial

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), o nabubulok sa produkto ng binomial at square trinomial P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ ).

7. Ang anumang polynomial ng ika-apat na antas ay lumalawak sa produkto ng dalawang square trinomial.

8. Ang polynomial na f(x) ay nahahati sa isang polynomial g(x) na walang natitira kung mayroong polynomial q(x) na ang f(x) = g(x) q(x). Upang hatiin ang mga polynomial, inilalapat ang panuntunan ng "division by a corner".

9. Upang ang polynomial P(x) ay mahahati ng binomial (x – c), kinakailangan at sapat na ang bilang c ay ang ugat ng P(x) (Corollary to Bezout's theorem).

10. Vieta's theorem: Kung x 1, x 2, ..., x n ang tunay na ugat ng polynomial

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, pagkatapos ay ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay hawak:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Solusyon ng mga halimbawa

Halimbawa 1

Hanapin ang natitira pagkatapos hatiin ang P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 sa (x - 1/3).

Desisyon.

Ayon sa corollary ng Bezout's theorem: "Ang natitira sa paghahati ng polynomial sa isang binomial (x - c) ay katumbas ng halaga ng polynomial sa c." Hanapin natin ang P(1/3) = 0. Samakatuwid, ang natitira ay 0 at ang bilang na 1/3 ay ang ugat ng polynomial.

Sagot: R = 0.

Halimbawa 2

Hatiin ang "sulok" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 sa (x + 2). Hanapin ang natitira at ang hindi kumpletong quotient.

Desisyon:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Sagot: R = 3; quotient: 2x 2 - x.

Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas

1. Pagpapakilala ng bagong variable

Ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable ay pamilyar na mula sa halimbawa ng biquadratic equation. Binubuo ito sa katotohanan na upang malutas ang equation f (x) \u003d 0, isang bagong variable (pagpapalit) t \u003d x n o t \u003d g (x) ay ipinakilala at ang f (x) ay ipinahayag sa pamamagitan ng t, pagkuha ng isang bagong equation r (t). Pagkatapos ay lutasin ang equation r(t), hanapin ang mga ugat:

(t 1 , t 2 , …, t n). Pagkatapos nito, isang set ng n equation q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n ay nakuha, kung saan matatagpuan ang mga ugat ng orihinal na equation.

Halimbawa 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Desisyon:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Kapalit (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Baliktarin ang kapalit:

x 2 + x + 1 = 2 o x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 o x 2 + x = 0;

Sagot: Mula sa unang equation: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, mula sa pangalawa: 0 at -1.

2. Factorization sa pamamagitan ng paraan ng pagpapangkat at pinaikling multiplication formula

Ang batayan ng pamamaraang ito ay hindi rin bago at binubuo sa pagpapangkat ng mga termino sa paraang ang bawat pangkat ay naglalaman ng isang karaniwang kadahilanan. Upang gawin ito, kung minsan kailangan mong gumamit ng ilang mga artipisyal na trick.

Halimbawa 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Desisyon.

Isipin - 3x 2 = -2x 2 - x 2 at pangkat:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 o x 2 + x - 3 \u003d 0.

Sagot: Walang mga ugat sa unang equation, mula sa pangalawa: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Factorization sa pamamagitan ng paraan ng indefinite coefficients

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang orihinal na polynomial ay nabubulok sa mga kadahilanan na may hindi kilalang coefficient. Gamit ang pag-aari na ang mga polynomial ay pantay-pantay kung ang kanilang mga coefficient ay pantay sa parehong kapangyarihan, ang hindi kilalang expansion coefficient ay matatagpuan.

Halimbawa 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Desisyon.

Ang polynomial ng 3rd degree ay maaaring mabulok sa isang produkto ng linear at square factor.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Paglutas ng system:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, ibig sabihin.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Ang mga ugat ng equation (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 ay madaling mahanap.

Sagot: -1; -2.

4. Ang paraan ng pagpili ng ugat sa pamamagitan ng pinakamataas at libreng koepisyent

Ang pamamaraan ay batay sa aplikasyon ng mga theorems:

1) Ang anumang integer na ugat ng isang polynomial na may mga integer coefficient ay isang divisor ng libreng termino.

2) Upang ang irreducible fraction p / q (p ay isang integer, q ay isang natural) na maging ugat ng isang equation na may integer coefficients, kinakailangan na ang numerong p ay isang integer divisor ng libreng term na a 0, at Ang q ay isang natural na divisor ng pinakamataas na coefficient.

Halimbawa 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Desisyon:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Kaya p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Ang pagkakaroon ng natagpuan ang isang ugat, halimbawa - 2, mahahanap natin ang iba pang mga ugat gamit ang paghahati sa pamamagitan ng isang sulok, ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent o pamamaraan ni Horner.

Sagot: -2; 1/2; 1/3.

Mayroon ka bang anumang mga katanungan? Hindi alam kung paano lutasin ang mga equation?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.

Kapag nilulutas ang mga algebraic equation, kadalasang kinakailangan na i-factor ang isang polynomial. Ang pag-factor ng polynomial ay kumakatawan dito bilang isang produkto ng dalawa o higit pang polynomial. Gumagamit kami ng ilang mga paraan ng pagpapalawak ng mga polynomial nang madalas: pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan, gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon, pag-highlight sa buong parisukat, pagpapangkat. Tingnan natin ang ilang higit pang mga pamamaraan.

Minsan, kapag nagsasaliksik ng polynomial, ang mga sumusunod na pahayag ay kapaki-pakinabang:

1) kung ang isang polynomial na may mga integer coefficient ay may makatwirang ugat (kung saan ang isang hindi mababawasang bahagi, kung gayon ay ang divisor ng libreng termino at ang divisor ng pinakamataas na koepisyent:

2) Kung sa anumang paraan pipiliin natin ang ugat ng isang polynomial ng degree, kung gayon ang polynomial ay maaaring katawanin sa anyo kung saan ang polynomial ng degree

Ang polynomial ay matatagpuan alinman sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa pamamagitan ng binomial na "column", o sa pamamagitan ng kaukulang pagpapangkat ng mga termino ng polynomial at pagkuha ng isang salik mula sa kanila, o sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na coefficients.

Halimbawa. I-factor ang isang polynomial

Desisyon. Dahil ang koepisyent sa x4 ay katumbas ng 1, kung gayon ang mga nakapangangatwiran na ugat ng polynomial na ito ay umiiral, ay mga divisors ng numero 6, iyon ay, maaari silang maging mga integer ±1, ±2, ±3, ±6. Tinutukoy namin ang polynomial na ito ng P4(x). Dahil ang Р Р4 (1) = 4 at Р4 (-4) = 23, ang mga numero 1 at -1 ay hindi mga ugat ng polynomial PA (x). Dahil ang P4(2) = 0, kung gayon ang x = 2 ay ang ugat ng polynomial na P4(x), at, samakatuwid, ang polynomial na ito ay nahahati ng binomial x - 2. Samakatuwid x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2 x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2 - 2x

Samakatuwid, P4(x) = (x - 2)(x3 - 3x2 + x - 3). Dahil xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), pagkatapos x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3)(x2 + 1).

Paraan ng pag-input ng parameter

Minsan, kapag nagsasaliksik ng isang polynomial, nakakatulong ang paraan ng pagpapakilala ng isang parameter. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay ipapaliwanag ng sumusunod na halimbawa.

Halimbawa. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Desisyon. Isaalang-alang ang isang polynomial na may parameter na a: x3 - (a + 1)x2 + a2, na nagiging isang binigay na polynomial para sa a = √3. Isinulat namin ang polynomial na ito bilang isang square trinomial na may paggalang sa a: ar - ax2 + (x3 - x2).

Dahil ang mga ugat ng trinomial square na ito na may paggalang sa a ay a1 = x at a2 = x2 - x, kung gayon ang pagkakapantay-pantay na a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) ay totoo. Samakatuwid, ang polynomial x3 - (√3 + 1)x2 + 3 ay nabubulok sa mga salik √3 - x at √3 - x2 + x, i.e.

x3 - (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

Paraan para sa pagpapakilala ng isang bagong hindi kilalang

Sa ilang mga kaso, sa pamamagitan ng pagpapalit ng expression na f(x), na kasama sa polynomial na Pn(x), sa pamamagitan ng y, makakakuha ang isa ng polynomial na may kinalaman sa y, na madali nang ma-factorize. Pagkatapos, pagkatapos palitan ang y ng f(x), nakakakuha tayo ng factorization ng polynomial Pn(x).

Halimbawa. I-factor ang polynomial x(x+1)(x+2)(x+3)-15.

Desisyon. Ibahin natin ang polynomial na ito bilang sumusunod: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Tukuyin ang x2 + 3x ng y. Pagkatapos ay mayroon tayong y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= ( y + 5) (y - 3).

Samakatuwid x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5)(x2 + 3x - 3).

Halimbawa. I-factor ang polynomial (x-4)4+(x+2)4

Desisyon. Ipahiwatig ang x - 4 + x + 2 = x - 1 ng y.

(x - 4)4 + (x + 2)2 = (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(y2 + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

Kumbinasyon ng iba't ibang pamamaraan

Kadalasan, kapag nagsasaalang-alang ng isang polynomial, ang isa ay kailangang mag-aplay nang sunud-sunod ng ilan sa mga pamamaraan na tinalakay sa itaas.

Halimbawa. I-factor ang polynomial x4 - 3x2 + 4x-3.

Desisyon. Gamit ang pagpapangkat, muling isinulat namin ang polynomial sa anyong x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Ang paglalapat ng paraan ng pagpili ng isang buong parisukat sa unang bracket, mayroon tayong x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 1 x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Gamit ang buong square formula, maaari na nating isulat na x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

Sa wakas, ang paglalapat ng pagkakaiba ng formula ng mga parisukat, nakuha namin na x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 - x + 1 ).

§ 2. Symmetric equation

1. Symmetric equation ng ikatlong antas

Ang mga equation ng form na ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0, a ≠ 0 (1) ay tinatawag na simetriko equation ng ikatlong degree. Dahil ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a), kung gayon ang equation (1) ay katumbas ng set ng mga equation x + 1 \u003d 0 at ax2 + (b-a) x + a \u003d 0, na hindi mahirap lutasin.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Desisyon. Ang equation (2) ay isang simetriko equation ng ikatlong degree.

Dahil 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x + 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , kung gayon ang equation (2) ay katumbas ng set ng mga equation x + 1 = 0 at 3x3 + x +3=0.

Ang solusyon ng una sa mga equation na ito ay x = -1, ang pangalawang equation ay walang mga solusyon.

Sagot: x = -1.

2. Symmetric equation ng ikaapat na degree

Uri ng equation

(3) ay tinatawag na simetriko equation ng ikaapat na antas.

Dahil ang x \u003d 0 ay hindi ang ugat ng equation (3), kung gayon, hinahati ang parehong bahagi ng equation (3) sa x2, nakakakuha kami ng isang equation na katumbas ng orihinal na isa (3):

Isulat muli natin ang equation (4) sa anyo:

Sa equation na ito, gumawa kami ng kapalit, pagkatapos ay makakakuha kami ng isang quadratic equation

Kung ang equation (5) ay may 2 ugat na y1 at y2, kung gayon ang orihinal na equation ay katumbas ng set ng mga equation

Kung ang equation (5) ay may isang ugat na у0, kung gayon ang orihinal na equation ay katumbas ng equation

Sa wakas, kung ang equation (5) ay walang mga ugat, kung gayon ang orihinal na equation ay wala ring mga ugat.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation

Desisyon. Ang equation na ito ay isang simetriko equation ng ikaapat na degree. Dahil ang x \u003d 0 ay hindi ang ugat nito, kung gayon, hinahati ang equation (6) sa x2, nakakakuha tayo ng katumbas na equation:

Pagpapangkat ng mga termino, muling isusulat namin ang equation (7) sa anyo o sa anyo

Sa pag-aakalang, nakakakuha tayo ng equation na may dalawang ugat na y1 = 2 at y2 = 3. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay katumbas ng set ng mga equation

Ang solusyon ng unang equation ng set na ito ay x1 = 1, at ang solusyon ng pangalawa ay u.

Samakatuwid, ang orihinal na equation ay may tatlong ugat: x1, x2 at x3.

Sagot: x1=1.

§3. Algebraic equation

1. Pagbabawas ng antas ng equation

Ang ilang mga algebraic equation, sa pamamagitan ng pagpapalit ng ilang polynomial sa mga ito ng isang letra, ay maaaring gawing algebraic equation na ang antas ay mas mababa sa antas ng orihinal na equation at ang solusyon ay mas simple.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation

Desisyon. Ipahiwatig ng, pagkatapos ay ang equation (1) ay maaaring muling isulat bilang Ang huling equation ay may mga ugat at Samakatuwid, ang equation (1) ay katumbas ng set ng mga equation at. Ang solusyon ng unang equation ng set na ito ay at Ang solusyon ng pangalawang equation ay

Ang mga solusyon ng equation (1) ay

Halimbawa 2. Lutasin ang equation

Desisyon. Pag-multiply ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 12 at denoting ng,

Nakukuha namin ang equation Muli naming isinulat ang equation na ito sa anyo

(3) at denoting through we rewrite equation (3) in the form Ang huling equation ay may mga ugat at Samakatuwid, nakuha natin na ang equation (3) ay katumbas ng set ng dalawang equation at 4)

Ang mga solusyon ng set (4) ay at, at sila ang mga solusyon ng equation (2).

2. Mga equation ng anyo

Ang equation

(5) kung saan binibigyan ng mga numero, maaaring bawasan sa isang biquadratic equation gamit ang pagpapalit ng hindi alam, ibig sabihin, ang kapalit

Halimbawa 3. Lutasin ang equation

Desisyon. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng, i.e. gumawa kami ng pagbabago ng mga variable o Pagkatapos ang equation (6) ay maaaring muling isulat sa anyo o, gamit ang formula, sa anyo

Dahil ang mga ugat ng quadratic equation ay at pagkatapos ay ang mga solusyon ng equation (7) ay ang mga solusyon ng set ng mga equation at. Ang hanay ng mga equation na ito ay may dalawang solusyon at Samakatuwid, ang mga solusyon ng equation (6) ay at

3. Mga equation ng form

Ang equation

(8) kung saan ang mga numerong α, β, γ, δ, at Α ay tulad na α

Halimbawa 4. Lutasin ang equation

Desisyon. Gumawa tayo ng pagbabago ng mga hindi alam, i.e. y=x+3 o x = y – 3. Pagkatapos ay ang equation (9) ay maaaring muling isulat bilang

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, ibig sabihin, sa anyo

(y2-4)(y2-1)=10(10)

Ang biquadratic equation (10) ay may dalawang ugat. Samakatuwid, ang equation (9) ay mayroon ding dalawang ugat:

4. Mga equation ng form

Equation, (11)

Kung saan, walang ugat x = 0, samakatuwid, paghahati ng equation (11) sa x2, nakakakuha tayo ng katumbas na equation

Alin, pagkatapos palitan ang hindi alam, ay muling isusulat sa anyo ng isang parisukat na equation, ang solusyon na kung saan ay hindi mahirap.

Halimbawa 5. Lutasin ang equation

Desisyon. Dahil ang h \u003d 0 ay hindi ang ugat ng equation (12), kung gayon, hinahati ito sa x2, nakakakuha tayo ng katumbas na equation

Kung hindi alam ang pagbabago, nakuha natin ang equation (y+1)(y+2)=2, na mayroong dalawang ugat: y1 = 0 at y1 = -3. Samakatuwid, ang orihinal na equation (12) ay katumbas ng set ng mga equation

Ang koleksyon na ito ay may dalawang ugat: x1= -1 at x2 = -2.

Sagot: x1= -1, x2 = -2.

Magkomento. uri ng equation,

Na maaaring palaging bawasan sa anyo (11) at, bukod dito, isinasaalang-alang ang α > 0 at λ > 0 sa anyo.

5. Mga equation ng form

Ang equation

,(13) kung saan ang mga numerong α, β, γ, δ, at Α ay tulad na ang αβ = γδ ≠ 0, ay maaaring muling isulat sa pamamagitan ng pagpaparami ng unang bracket sa pangalawa, at ang pangatlo sa ikaapat, sa anyo i.e. equation (13) ay nakasulat na ngayon sa anyo (11), at ang solusyon nito ay maaaring isagawa sa parehong paraan tulad ng solusyon ng equation (11).

Halimbawa 6. Lutasin ang equation

Desisyon. Ang equation (14) ay may anyo (13) , kaya muli naming isulat ito bilang

Dahil ang x = 0 ay hindi isang solusyon sa equation na ito, na hinahati ang magkabilang panig nito sa x2, nakakakuha tayo ng katumbas na orihinal na equation. Sa paggawa ng pagbabago ng mga variable, nakakakuha tayo ng quadratic equation na ang solusyon ay at. Samakatuwid, ang orihinal na equation (14) ay katumbas ng set ng mga equation u.

Ang solusyon sa unang equation ng set na ito ay

Ang pangalawang equation ng set na ito ng mga solusyon ay walang. Kaya, ang orihinal na equation ay may mga ugat na x1 at x2.

6. Mga equation ng form

Ang equation

(15) kung saan ang mga numerong a, b, c, q, A ay ganoon, walang ugat na x = 0, samakatuwid, hinahati ang equation (15) sa x2. nakakakuha tayo ng equation na katumbas nito, na, pagkatapos ng pagpapalit ng hindi alam, ay muling isusulat sa anyo ng isang quadratic equation, na ang solusyon ay hindi mahirap.

Halimbawa 7. Equation solution

Desisyon. Dahil ang x \u003d 0 ay hindi ang ugat ng equation (16), kung gayon, hinahati ang parehong bahagi nito sa x2, nakuha namin ang equation

, (17) katumbas ng equation (16). Ang pagkakaroon ng pagbabago ng hindi alam, maaari naming muling isulat ang equation (17) sa form

Ang quadratic equation (18) ay may 2 ugat: y1 = 1 at y2 = -1. Samakatuwid, ang equation (17) ay katumbas ng set ng mga equation at (19)

Ang hanay ng mga equation (19) ay may 4 na ugat: ,.

Sila ang magiging ugat ng equation (16).

§4. Rational Equation

Ang mga equation ng anyong = 0, kung saan ang H(x) at Q(x) ay mga polynomial, ay tinatawag na rational.

Ang pagkakaroon ng natagpuan ang mga ugat ng equation H(x) = 0, pagkatapos ay kailangan mong suriin kung alin sa mga ito ang hindi mga ugat ng equation Q(x) = 0. Ang mga ugat na ito at sila lamang ang magiging solusyon sa equation.

Isaalang-alang ang ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng isang equation ng form = 0.

1. Mga equation ng form

Ang equation

(1) sa ilalim ng ilang mga kundisyon sa mga numero ay maaaring malutas tulad ng sumusunod. Pagpapangkat ng mga termino ng equation (1) ng dalawa at pagbubuod ng bawat pares, dapat makuha ng isa sa numerator polynomial ng una o zero degree, na naiiba lamang sa mga numerical na salik, at sa mga denominator - mga trinomyal na may parehong dalawang termino na naglalaman ng x, pagkatapos pagkatapos ng pagbabago ng mga variable, ang equation ay magkakaroon din ng anyong (1), ngunit may mas maliit na bilang ng mga termino, o magiging katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation, isa sa mga ito ay magiging sa unang antas, at ang pangalawa ay isang equation ng form (1), ngunit may mas maliit na bilang ng mga termino.

Halimbawa. lutasin ang equation

Desisyon. Pagpapangkat sa kaliwang bahagi ng equation (2) ang unang termino kasama ang huli, at ang pangalawa na may penultimate, muling isusulat namin ang equation (2) sa anyo

Pagbubuod ng mga termino sa bawat bracket, muling isusulat namin ang Eq. (3) bilang

Dahil walang solusyon sa equation (4), kung gayon, paghahati ng equation na ito sa, makuha natin ang equation

, (5) katumbas ng equation (4). Gumawa tayo ng pagbabago ng hindi alam, at ang equation (5) ay muling isusulat sa anyo

Kaya, ang solusyon ng equation (2) na may limang termino sa kaliwang bahagi ay nabawasan sa solusyon ng equation (6) ng parehong anyo, ngunit may tatlong termino sa kaliwang bahagi. Pagbubuod ng lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng equation (6), muli naming isusulat ito sa form

Mayroon ding mga solusyon sa equation. Wala sa mga numerong ito ang nawawala sa denominator ng rational function sa kaliwang bahagi ng equation (7). Samakatuwid, ang equation (7) ay may dalawang ugat na ito, at samakatuwid ang orihinal na equation (2) ay katumbas ng set ng mga equation

Ang mga solusyon ng unang equation ng set na ito ay

Ang mga solusyon ng pangalawang equation mula sa set na ito ay

Samakatuwid, ang orihinal na equation ay may mga ugat

2. Mga equation ng anyo

Ang equation

(8) sa ilalim ng ilang mga kundisyon sa mga numero ay maaaring malutas tulad ng sumusunod: kinakailangang piliin ang integer na bahagi sa bawat isa sa mga fraction ng equation, ibig sabihin, palitan ang equation (8) ng equation

Bawasan ito sa anyo (1) at pagkatapos ay lutasin ito sa paraang inilarawan sa nakaraang talata.

Halimbawa. lutasin ang equation

Desisyon. Sinusulat namin ang equation (9) sa form o sa form

Pagbubuod ng mga termino sa panaklong, muling isusulat namin ang Eq. (10) bilang

Sa paggawa ng pagbabago ng hindi alam, muling isusulat namin ang equation (11) sa form

Pagbubuod ng mga termino sa kaliwang bahagi ng equation (12), muli naming isusulat ito sa anyo

Madaling makita na ang equation (13) ay may dalawang ugat: at. Samakatuwid, ang orihinal na equation (9) ay may apat na ugat:

3) Mga equation ng form.

Ang isang equation ng form (14) sa ilalim ng ilang mga kundisyon sa mga numero ay maaaring malutas tulad ng sumusunod: sa pamamagitan ng pagpapalawak (kung, siyempre, ito ay posible) bawat isa sa mga fraction sa kaliwang bahagi ng equation (14) sa kabuuan ng mga simpleng fraction.

Bawasan ang equation (14) sa anyo (1), pagkatapos, pagkatapos magsagawa ng isang maginhawang muling pagsasaayos ng mga termino ng nagresultang equation, lutasin ito sa pamamagitan ng pamamaraang inilarawan sa talata 1).

Halimbawa. lutasin ang equation

Desisyon. Dahil at, pagkatapos, ang pagpaparami ng numerator ng bawat fraction sa equation (15) sa 2 at tandaan na ang equation (15) ay maaaring isulat bilang

Ang equation (16) ay may anyo (7). Pagpapangkat muli ng mga termino sa equation na ito, muling isusulat namin ito sa form o sa form

Ang equation (17) ay katumbas ng set ng mga equation at

Upang malutas ang pangalawang equation ng set (18), gagawa tayo ng pagbabago ng hindi alam Pagkatapos ito ay muling isusulat sa anyo o sa anyo

Pagbubuod ng lahat ng termino sa kaliwang bahagi ng equation (19), muling isulat ito bilang

Dahil ang equation ay walang mga ugat, ang equation (20) ay wala rin sa kanila.

Ang unang equation ng set (18) ay may iisang ugat Dahil ang ugat na ito ay kasama sa ODZ ng pangalawang equation ng set (18), ito ang tanging ugat ng set (18), at samakatuwid ang orihinal na equation.

4. Mga equation ng form

Ang equation

(21) sa ilalim ng ilang mga kundisyon sa mga numero at A, pagkatapos kumatawan sa bawat termino sa kaliwang bahagi sa anyo, maaari itong bawasan sa anyo (1).

Halimbawa. lutasin ang equation

Desisyon. Isulat muli natin ang equation (22) sa anyo o sa anyo

Kaya, ang equation (23) ay binabawasan sa anyo (1). Ngayon, ang pagpapangkat ng unang termino sa huli, at ang pangalawa sa pangatlo, muling isinusulat namin ang equation (23) sa anyo

Ang equation na ito ay katumbas ng set ng mga equation at. (24)

Ang huling hanay na equation (24) ay maaaring muling isulat bilang

Mayroong mga solusyon sa equation na ito at, dahil kasama ito sa ODZ ng pangalawang equation ng set (30), kung gayon ang set (24) ay may tatlong ugat: Ang lahat ng mga ito ay mga solusyon ng orihinal na equation.

5. Mga equation ng form.

Equation ng form (25)

Sa ilalim ng ilang mga kundisyon sa mga numero, sa pamamagitan ng pagpapalit ng hindi alam, ang isa ay maaaring bawasan sa isang equation ng form

Halimbawa. lutasin ang equation

Desisyon. Dahil hindi ito isang solusyon sa equation (26), pagkatapos ay paghahatiin ang numerator at denominator ng bawat fraction sa kaliwang bahagi ng, muling isusulat namin ito sa anyo

Ang pagkakaroon ng pagbabago ng mga variable, muli naming isinusulat ang equation (27) sa form

Ang paglutas ng equation (28) ay at. Samakatuwid, ang equation (27) ay katumbas ng set ng mga equation na u. (29)

"Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas"

( Mga pagbabasa ng Kiselevsky)

Ang guro ng matematika na si Afanasyeva L.A.

Sekondaryang paaralan ng MKOU Verkhnekarachanskaya

Gribanovsky district, rehiyon ng Voronezh

2015

Ang edukasyong matematika na natanggap sa isang paaralang pangkalahatang edukasyon ay isang mahalagang bahagi ng pangkalahatang edukasyon at pangkalahatang kultura ng isang modernong tao.

Ang tanyag na Aleman na matematiko na si Courant ay sumulat: “Sa loob ng mahigit dalawang libong taon, ang pagkakaroon ng ilan, hindi masyadong mababaw, ang kaalaman sa larangan ng matematika ay kinakailangan. mahalaga bahagi sa intelektwal na imbentaryo ng bawat edukadong tao." At kabilang sa kaalamang ito, hindi ang huling lugar ang nabibilang sa kakayahang malutas ang mga equation.

Noong sinaunang panahon, napagtanto ng mga tao kung gaano kahalaga ang pag-aaral kung paano lutasin ang mga algebraic equation. Humigit-kumulang 4,000 taon na ang nakalilipas, pinagkadalubhasaan ng mga siyentipiko ng Babylonian ang solusyon ng isang quadratic equation at nalutas ang mga sistema ng dalawang equation, na ang isa ay nasa pangalawang degree. Sa tulong ng mga equation, nalutas ang iba't ibang mga problema ng pag-survey ng lupa, arkitektura at mga usaping militar, marami at iba't ibang mga isyu ng kasanayan at natural na agham ang nabawasan sa kanila, dahil ang eksaktong wika ng matematika ay ginagawang posible na simpleng ipahayag ang mga katotohanan at relasyon na, na nakasaad sa ordinaryong wika, ay maaaring mukhang nakakalito at kumplikado. Ang equation ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa matematika. Ang pagbuo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation, simula sa pagsilang ng matematika bilang isang agham, matagal na panahon ay ang pangunahing paksa ng pag-aaral ng algebra. At ngayon, sa mga aralin sa matematika, simula sa unang yugto ng edukasyon, maraming pansin ang binabayaran sa paglutas ng mga equation ng iba't ibang uri.

Walang unibersal na pormula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang algebraic equation ng nth degree. Marami, siyempre, ang nakaisip ng mapang-akit na ideya na maghanap para sa anumang antas n mga formula na magpapahayag ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito, ibig sabihin, ay malulutas ang equation sa mga radical. Gayunpaman, ang "malungkot na Middle Ages" ay naging madilim hangga't maaari na may kaugnayan sa problemang pinag-uusapan - sa loob ng pitong buong siglo ay walang nakakita ng mga kinakailangang formula! Noong ika-16 na siglo lamang nagtagumpay ang mga Italian mathematician na pumunta pa - upang makahanap ng mga formula para sa n =3 at n =4 . Kasabay nito, sina Scipio Dal Ferro, ang kanyang mag-aaral na si Fiori, at Tartaglia ay humarap sa tanong ng pangkalahatang solusyon ng mga equation ng 3rd degree. Noong 1545, nai-publish ang libro ng Italian mathematician na si D Cardano na "Great Art, or On the Rules of Algebra", kung saan, kasama ng iba pang mga isyu ng algebra, ang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga cubic equation ay isinasaalang-alang, pati na rin ang isang paraan para sa paglutas. mga equation ng 4th degree, na natuklasan ng kanyang estudyanteng si L. Ferrari. Isang kumpletong presentasyon ng mga isyu na may kaugnayan sa solusyon ng mga equation ng ika-3 at ika-4 na digri ay ibinigay ni F. Viet. At noong 20s ng ika-19 na siglo, pinatunayan ng Norwegian mathematician na si N. Abel na ang mga ugat ng mga equation ng ika-5 at mas mataas na degree ay hindi maaaring ipahayag sa pamamagitan ng mga radical.

Ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa isang equation ay karaniwang binubuo sa pagpapalit ng equation ng isang katumbas. Ang pagpapalit ng isang equation na may katumbas ay batay sa aplikasyon ng apat na axioms:

1. Kung ang mga katumbas na halaga ay nadagdagan ng parehong numero, kung gayon ang mga resulta ay magiging pantay.

2. Kung ang parehong numero ay ibabawas mula sa pantay na mga halaga, kung gayon ang mga resulta ay magiging pantay.

3. Kung ang mga katumbas na halaga ay pinarami ng parehong numero, kung gayon ang mga resulta ay magiging pantay.

4. Kung ang mga pantay na halaga ay hinati sa parehong numero, kung gayon ang mga resulta ay magiging pantay.

Dahil ang kaliwang bahagi ng equation na P(x) = 0 ay isang polynomial ng ika-n degree, kapaki-pakinabang na alalahanin ang mga sumusunod na pahayag:

Mga pahayag tungkol sa mga ugat ng isang polynomial at mga divisors nito:

1. Ang polynomial ng nth degree ay may bilang ng mga ugat na hindi lalampas sa bilang n, at ang mga ugat ng multiplicity m ay nangyayari nang eksakto m beses.

2. Ang isang polynomial ng kakaibang antas ay may hindi bababa sa isang tunay na ugat.

3. Kung ang α ay ang ugat ng Р(х), kung gayon ang Р n (х) = (х - α)·Q n - 1 (x), kung saan ang Q n - 1 (x) ay isang polynomial ng degree (n - 1) .

4. Ang anumang integer na ugat ng isang polynomial na may mga integer coefficient ay isang divisor ng libreng termino.

5. Ang isang pinababang polynomial na may mga integer coefficient ay hindi maaaring magkaroon ng fractional rational na mga ugat.

6. Para sa isang third degree polynomial

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d isa sa dalawang bagay ay posible: alinman ito ay nabubulok sa isang produkto ng tatlong binomial

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), o nabubulok sa produkto ng binomial at square trinomial P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ ).

7. Ang anumang polynomial ng ika-apat na antas ay lumalawak sa produkto ng dalawang square trinomial.

9. Para ang polynomial P(x) ay mahahati ng binomial (x – c), kinakailangan at sapat na c ang ugat ng P(x) (Corollary to Bezout's theorem).

10. Vieta's theorem: Kung x 1, x 2, ..., x n ang tunay na ugat ng polynomial

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, pagkatapos ay ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay hawak:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Solusyon ng mga halimbawa

Halimbawa 1 . Hanapin ang natitira pagkatapos hatiin ang P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 sa (x - 1/3).

Desisyon. Ayon sa corollary ng Bezout's theorem: "Ang natitira sa paghahati ng polynomial sa isang binomial (x - c) ay katumbas ng halaga ng polynomial sa c." Hanapin natin ang P(1/3) = 0. Samakatuwid, ang natitira ay 0 at ang bilang na 1/3 ay ang ugat ng polynomial.

Sagot: R = 0.

Halimbawa 2 . Hatiin ang "sulok" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 sa (x + 2). Hanapin ang natitira at ang hindi kumpletong quotient.

Desisyon:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 - 2x

Sagot: R = 3; quotient: 2x 2 - x.

Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas

1. Pagpapakilala ng bagong variable

Ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable ay upang malutas ang equation f (x) \u003d 0, isang bagong variable (pagpapalit) t \u003d x n o t \u003d g (x) ay ipinakilala at ang f (x) ay ipinahayag sa pamamagitan ng t , pagkuha ng bagong equation r (t) . Paglutas ng equation r(t), hanapin ang mga ugat: (t 1 , t 2 , …, t n). Pagkatapos nito, isang set ng n equation q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n ay nakuha, kung saan matatagpuan ang mga ugat ng orihinal na equation.

Halimbawa;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Solusyon: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Kapalit (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Baliktarin ang kapalit:

x 2 + x + 1 = 2 o x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 o x 2 + x \u003d 0;

Mula sa unang equation: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, mula sa pangalawa: 0 at -1.

Ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable ay nakakahanap ng aplikasyon sa paglutas maibabalik mga equation, iyon ay, mga equation ng form a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0, kung saan ang mga coefficient ng mga tuntunin ng equation, pantay na pagitan mula sa simula at dulo , ay pantay-pantay.

2. Factorization sa pamamagitan ng paraan ng pagpapangkat at pinaikling multiplication formula

Ang batayan ng pamamaraang ito ay ang pagpangkat ng mga termino sa paraang ang bawat pangkat ay naglalaman ng isang karaniwang salik. Upang gawin ito, kung minsan kailangan mong gumamit ng ilang mga artipisyal na trick.

Halimbawa: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Desisyon. Isipin - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 at pangkat:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 o x 2 + x - 3 \u003d 0.

Walang mga ugat sa unang equation, mula sa pangalawa: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Factorization sa pamamagitan ng paraan ng indeterminate coefficients

Halimbawa: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Desisyon. Ang polynomial ng 3rd degree ay maaaring mabulok sa isang produkto ng linear at square factor.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

Paglutas ng system:

nakukuha natin

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Ang mga ugat ng equation (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 ay madaling mahanap.

Sagot: -1; -2.

4. Ang paraan ng pagpili ng ugat sa pamamagitan ng pinakamataas at libreng koepisyent

Ang pamamaraan ay batay sa aplikasyon ng mga theorems:

1) Anumang integer root ng isang polynomial na may integer coefficient ay isang divisor ng libreng termino.

2) Upang ang irreducible fraction na p / q (p ay isang integer, q ay isang natural) na maging ugat ng isang equation na may integer coefficients, kinakailangan na ang numerong p ay isang integer divisor ng libreng term na a 0 , at ang q ay isang natural na divisor ng pinakamataas na coefficient.

Halimbawa: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

Desisyon:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Kaya p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Sagot: -2; 1/2; 1/3.

5. Paraang graphic.

Ang pamamaraang ito ay binubuo sa paglalagay ng mga graph at paggamit ng mga katangian ng mga function.

Halimbawa: x 5 + x - 2 = 0

Katawanin natin ang equation sa anyong x 5 \u003d - x + 2. Ang function na y \u003d x 5 ay tumataas, at ang function na y \u003d - x + 2 ay bumababa. Nangangahulugan ito na ang equation x 5 + x - 2 \u003d 0 ay may isang solong ugat -1.

6. Pagpaparami ng isang equation sa isang function.

Minsan ang solusyon ng isang algebraic equation ay lubos na pinadali sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong bahagi nito sa ilang function - isang polynomial sa hindi alam. Kasabay nito, dapat tandaan na ang mga karagdagang ugat ay maaaring lumitaw - ang mga ugat ng polynomial kung saan ang equation ay pinarami. Samakatuwid, ang isa ay dapat na mag-multiply sa isang polynomial na walang mga ugat at makakuha ng isang katumbas na equation, o i-multiply sa isang polynomial na may mga ugat, at pagkatapos ang bawat isa sa mga ugat na ito ay dapat palitan sa orihinal na equation at matukoy kung ang numerong ito ay ang ugat nito.

Halimbawa. Lutasin ang equation:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Desisyon: Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation ng polynomial X 2 + 1, na walang mga ugat, makuha natin ang equation:

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
katumbas ng equation (1). Ang equation (2) ay maaaring isulat bilang:

X 10 + 1= 0 (3)
Malinaw na ang equation (3) ay walang tunay na ugat, kaya ang equation (1) ay wala sa kanila.

Sagot: walang solusyon.

Bilang karagdagan sa mga pamamaraan sa itaas para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas, may iba pa. Halimbawa, ang pagpili ng isang buong parisukat, Horner's scheme, representasyon ng isang fraction sa anyo ng dalawang fraction. Sa mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas, na kadalasang ginagamit, ginagamit nila ang: ang paraan ng pag-factor sa kaliwang bahagi ng equation sa mga kadahilanan;

paraan ng pagpapalit ng variable (paraan ng pagpapakilala ng bagong variable); graphic na paraan. Ipinakilala namin ang mga pamamaraang ito sa mga mag-aaral sa ika-9 na baitang kapag pinag-aaralan ang paksang "Ang buong equation at ang mga ugat nito". Sa aklat-aralin na Algebra 9 (mga may-akda Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk at iba pa) ng mga huling taon ng publikasyon, ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas ay isinasaalang-alang sa sapat na detalye. Bilang karagdagan, sa seksyong "Para sa mga gustong malaman ang higit pa", sa aking opinyon, ang materyal ay ipinakita sa isang naa-access na paraan sa aplikasyon ng mga theorems sa ugat ng isang polynomial at integer na mga ugat ng isang buong equation kapag nilulutas ang mga equation ng mas mataas. degrees. Pinag-aaralan ng mga mag-aaral na may mahusay na paghahanda ang materyal na ito nang may interes, at pagkatapos ay ipakita ang nalutas na mga equation sa kanilang mga kaklase.

Halos lahat ng bagay na nakapaligid sa atin ay konektado sa isang paraan o iba pa sa matematika. Ang mga nakamit sa pisika, engineering, teknolohiya ng impormasyon ay nagpapatunay lamang nito. At kung ano ang napakahalaga - ang solusyon ng maraming praktikal na problema ay bumababa sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation na kailangan mong matutunan kung paano lutasin.

Ang teksto ng trabaho ay inilalagay nang walang mga imahe at mga formula.
Ang buong bersyon ng trabaho ay magagamit sa tab na "Mga File ng Trabaho" sa format na PDF

Panimula

Ang solusyon ng mga algebraic equation ng mas mataas na degree na may isang hindi alam ay isa sa pinakamahirap at sinaunang problema sa matematika. Ang pinakatanyag na mathematician noong unang panahon ay humarap sa mga problemang ito.

Ang paglutas ng mga equation ng nth degree ay isang mahalagang gawain para din sa modernong matematika. Ang interes sa kanila ay medyo malaki, dahil ang mga equation na ito ay malapit na nauugnay sa paghahanap para sa mga ugat ng mga equation na hindi isinasaalang-alang ng kurikulum ng paaralan sa matematika.

Problema: ang kakulangan ng mga kasanayan sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na degree sa iba't ibang paraan sa mga mag-aaral ay humahadlang sa kanila na matagumpay na maghanda para sa panghuling sertipikasyon sa matematika at matematika olympiads, pagsasanay sa isang espesyal na klase ng matematika.

Natukoy ang mga katotohanan sa itaas kaugnayan ng aming gawaing "Solution of Equation of Higher Degrees".

Ang pagkakaroon ng pinakasimpleng pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ika-n degree ay binabawasan ang oras upang makumpleto ang gawain, kung saan nakasalalay ang resulta ng trabaho at ang kalidad ng proseso ng pag-aaral.

Layunin: pag-aaral ng mga kilalang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas at pagkilala sa pinaka-naa-access sa mga ito para sa praktikal na aplikasyon.

Batay sa layuning ito, ang mga sumusunod mga gawain:

Upang pag-aralan ang literatura at mga mapagkukunan ng Internet sa paksang ito;

Kilalanin ang mga makasaysayang katotohanan na may kaugnayan sa paksang ito;

Ilarawan ang iba't ibang paraan upang malutas ang mga equation ng mas mataas na antas

ihambing ang antas ng kahirapan ng bawat isa sa kanila;

Upang ipaalam sa mga kaklase ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas;

Lumikha ng isang hanay ng mga equation para sa praktikal na aplikasyon ng bawat isa sa mga isinasaalang-alang na pamamaraan.

Layunin ng pag-aaral- mga equation ng mas mataas na degree na may isang variable.

Paksa ng pag-aaral- mga paraan ng paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas.

Hypothesis: walang pangkalahatang paraan at isang solong algorithm na nagbibigay-daan sa paghahanap ng mga solusyon sa mga equation ng ika-n degree sa isang tiyak na bilang ng mga hakbang.

Mga pamamaraan ng pananaliksik:

- paraan ng bibliograpiko (pagsusuri ng panitikan sa paksa ng pananaliksik);

- paraan ng pag-uuri;

- paraan ng pagsusuri ng husay.

Teoretikal na kahalagahan Ang pananaliksik ay binubuo sa pag-systematize ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas at paglalarawan ng kanilang mga algorithm.

Praktikal na kahalagahan- ang ipinakita na materyal sa paksang ito at ang pagbuo ng isang pantulong sa pagtuturo para sa mga mag-aaral sa paksang ito.

1. EQUATIONS OF THE HIGHER POWERS

1.1 Ang konsepto ng isang equation ng nth degree

Kahulugan 1. Ang isang equation ng nth degree ay isang equation ng form

a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, kung saan ang mga coefficient a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n - anumang tunay na numero, at ,a 0 ≠ 0 .

Polinomyal a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n ay tinatawag na polynomial ng nth degree. Ang mga coefficient ay nakikilala sa pamamagitan ng mga pangalan: a 0 - senior coefficient; a n ay isang libreng miyembro.

Depinisyon 2. Mga solusyon o ugat para sa isang ibinigay na equation ay lahat ng mga halaga ng variable X, na ginagawang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ang equation na ito o, kung saan ang polynomial a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n napupunta sa zero. Ang ganitong variable na halaga X tinatawag ding ugat ng polynomial. Upang malutas ang isang equation ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga ugat nito o itatag na wala.

Kung ang a 0 = 1, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na reduced integer rational equation n ika degree.

Para sa mga equation ng ikatlo at ikaapat na antas, mayroong mga formula ng Cardano at Ferrari na nagpapahayag ng mga ugat ng mga equation na ito sa mga tuntunin ng mga radical. Ito ay naka-out na sa pagsasanay sila ay bihirang ginagamit. Kaya, kung ang n ≥ 3, at ang mga coefficient ng polynomial ay mga arbitrary na tunay na numero, kung gayon ang paghahanap ng mga ugat ng equation ay hindi isang madaling gawain. Gayunpaman, sa maraming mga espesyal na kaso ang problemang ito ay nalutas hanggang sa wakas. Pag-isipan natin ang ilan sa mga ito.

1.2 Makasaysayang mga katotohanan ng paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas

Isang unibersal na pormula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang algebraic equation n-ika walang antas. Marami, siyempre, ang nakaisip ng mapang-akit na ideya na maghanap ng mga pormula para sa anumang kapangyarihan ng n na magpapahayag ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito, iyon ay, ay malulutas ang equation sa mga radical.

Noong ika-16 na siglo lamang, ang mga Italian mathematician ay nakagalaw pa - upang makahanap ng mga formula para sa n \u003d 3 at n \u003d 4. Kasabay nito, sina Scipio, Dahl, Ferro at ang kanyang mga mag-aaral na sina Fiori at Tartaglia ay nakikibahagi sa tanong ng pangkalahatang solusyon ng mga equation ng 3rd degree.

Noong 1545, nai-publish ang libro ng Italian mathematician na si D. Cardano "Great Art, or on the Rules of Algebra", kung saan, kasama ang iba pang mga katanungan ng algebra, ang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga cubic equation ay isinasaalang-alang, pati na rin ang isang paraan para sa paglutas ng mga equation ng 4th degree, na natuklasan ng kanyang mag-aaral na si L. Ferrari.

Isang kumpletong paglalahad ng mga tanong na may kaugnayan sa solusyon ng mga equation ng ika-3 at ika-4 na digri ay ibinigay ni F. Viet.

Noong 20s ng ika-19 na siglo, pinatunayan ng Norwegian mathematician na si N. Abel na ang mga ugat ng mga equation ng ikalimang antas ay hindi maaaring ipahayag sa pamamagitan ng mga radical.

Sa panahon ng pag-aaral, ipinahayag na ang modernong agham ay nakakaalam ng maraming paraan upang malutas ang mga equation ng ika-n degree.

Ang resulta ng paghahanap para sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na degree na hindi malulutas ng mga pamamaraan na isinasaalang-alang sa kurikulum ng paaralan ay mga pamamaraan batay sa aplikasyon ng Vieta theorem (para sa mga equation ng degree n>2), mga theorems ni Bezout, mga scheme ni Horner, pati na rin ang formula ng Cardano at Ferrari para sa paglutas ng mga cubic at quartic equation.

Ang papel ay nagpapakita ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at kanilang mga uri, na naging isang pagtuklas para sa amin. Kabilang dito ang - ang paraan ng hindi tiyak na mga coefficient, ang paglalaan ng buong antas, simetriko equation.

2. SOLUSYON NG INTEGRATED EQUATIONS NG HIGHER POWERS MAY INTEGRATED COEFFICIENTS

2.1 Solusyon ng mga equation ng 3rd degree. Formula D. Cardano

Isaalang-alang ang mga equation ng form x 3 +px+q=0. Binabago namin ang pangkalahatang equation sa anyo: x 3 +px 2 +qx+r=0. Isulat natin ang sum cube formula; Idagdag natin ito sa orihinal na pagkakapantay-pantay at palitan natin ito ng y. Nakukuha namin ang equation: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0. Pagkatapos ng mga pagbabago, mayroon kaming: y 2 +py + q=0. Ngayon, muli nating isulat ang sum cube formula:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = a 3 +b 3 + 3ab (a + b), palitan ( a+b)sa x, nakukuha namin ang equation x 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Ngayon ay malinaw na ang orihinal na equation ay katumbas ng system: at Paglutas ng system, makuha natin ang:

Nakuha namin ang isang formula para sa paglutas ng equation sa itaas ng 3rd degree. Taglay nito ang pangalan ng Italian mathematician na si Cardano.

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Lutasin ang equation: .

Meron kami R= 15 at q= 124, pagkatapos gamit ang Cardano formula kinakalkula namin ang ugat ng equation

Konklusyon: ang formula na ito ay mabuti, ngunit hindi angkop para sa paglutas ng lahat ng cubic equation. Gayunpaman, ito ay napakalaki. Samakatuwid, ito ay bihirang ginagamit sa pagsasanay.

Ngunit ang nakakabisado sa pormula na ito ay maaaring gamitin ito sa paglutas ng mga equation ng ikatlong antas sa pagsusulit.

2.2 Ang teorama ni Vieta

Mula sa kurso ng matematika, alam natin ang theorem na ito para sa isang quadratic equation, ngunit kakaunti ang nakakaalam na ginagamit din ito upang malutas ang mga equation ng mas mataas na degree.

Isaalang-alang ang equation:

i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, hatiin sa ≠ 0.

Binabago namin ang kanang bahagi ng equation sa anyo

; Mula dito sumusunod na maaari nating isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay sa sistema:

Ang mga formula na hinango ng Vieta para sa mga quadratic na equation at ipinakita namin para sa mga equation ng 3rd degree ay totoo din para sa mga polynomial na mas mataas ang degree.

Lutasin natin ang cubic equation:

Konklusyon: ang pamamaraang ito ay pangkalahatan at sapat na madaling maunawaan ng mga mag-aaral, dahil pamilyar sa kanila ang teorama ni Vieta mula sa kurikulum ng paaralan para sa n = 2. Kasabay nito, upang mahanap ang mga ugat ng mga equation gamit ang theorem na ito, kinakailangan na magkaroon ng mahusay na kasanayan sa pagkalkula.

2.3 Teorama ni Bezout

Ang teorama na ito ay pinangalanan sa ika-18 siglong Pranses na matematiko na si J. Bezout.

Teorama. Kung ang equation a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, kung saan ang lahat ng mga coefficient ay integer, at ang libreng termino ay iba sa zero, ay may integer na ugat, kung gayon ang ugat na ito ay isang divisor ng libreng termino.

Isinasaalang-alang na ang polynomial ng nth degree ay nasa kaliwang bahagi ng equation, ang theorem ay may isa pang interpretasyon.

Teorama. Kapag hinahati ang isang polynomial ng nth degree na may paggalang sa x sa isang binomial x-a ang natitira ay katumbas ng halaga ng dibidendo kapag x = a. (sulat a maaaring magpahiwatig ng anumang tunay o haka-haka na numero, i.e. anumang kumplikadong numero).

Patunay: hayaan f(x) ay tumutukoy sa isang di-makatwirang polynomial ng nth degree na may paggalang sa variable x, at hayaan, kapag hinahati ito sa isang binomial ( x-a) nangyari nang pribado q(x), at sa natitira R. Obvious naman yun q(x) magkakaroon ng ilang polynomial (n - 1) ika-degree medyo x, at ang natitira R ay magiging isang pare-parehong halaga, i.e. malaya sa x.

Kung ang natitira R ay isang polynomial ng unang degree sa x, pagkatapos ay nangangahulugan ito na ang paghahati ay hindi ginanap. Kaya, R mula sa x hindi nakadepende. Sa pamamagitan ng kahulugan ng dibisyon, nakukuha natin ang pagkakakilanlan: f(x)=(x-a)q(x)+R.

Ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang halaga ng x, kaya totoo rin ito para sa x=a, nakukuha natin: f(a)=(a-a)q(a)+R. Simbolo f(a) ay nagsasaad ng halaga ng polynomial f (x) sa x=a, q(a) nagsasaad ng halaga q(x) sa x=a. natitira R nanatiling tulad ng dati R mula sa x hindi nakadepende. Trabaho ( x-a) q(a) = 0, dahil ang multiplier ( x-a) = 0, at ang multiplier q(a) mayroong isang tiyak na numero. Samakatuwid, mula sa pagkakapantay-pantay na nakukuha natin: f(a)=R, h.t.d.

Halimbawa 1 Hanapin ang natitira sa dibisyon ng isang polynomial x 3 - 3x 2 + 6x- 5 bawat binomial

x- 2. Sa pamamagitan ng Bezout theorem : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. Sagot: R= 3.

Tandaan na ang teorama ni Bézout ay hindi napakahalaga sa sarili nito, ngunit dahil sa mga kahihinatnan nito. (Appendix 1)

Isaalang-alang natin ang ilang mga paraan ng paglalapat ng teorama ni Bezout sa paglutas ng mga praktikal na problema. Dapat pansinin na kapag nilulutas ang mga equation gamit ang Bezout theorem, kinakailangan:

Hanapin ang lahat ng integer divisors ng libreng termino;

Sa mga divisors na ito, maghanap ng hindi bababa sa isang ugat ng equation;

Hatiin ang kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng (Ha);

Isulat ang produkto ng divisor at ang quotient sa kaliwang bahagi ng equation;

Lutasin ang resultang equation.

Isaalang-alang ang halimbawa ng paglutas ng equation x 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

Solusyon: hanapin ang mga divisors ng libreng termino ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Kalkulahin ang mga halaga para sa x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. Hatiin ang kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng ( X- 1). Ginagawa namin ang dibisyon na may "sulok", nakukuha namin:

Konklusyon: Ang theorem ni Bezout, isa sa mga paraan na isinasaalang-alang namin sa aming trabaho, ay pinag-aaralan sa programa ng mga ekstrakurikular na aktibidad. Mahirap maunawaan, dahil upang makabisado ito, kailangan mong malaman ang lahat ng mga kahihinatnan mula dito, ngunit sa parehong oras, ang Bezout theorem ay isa sa mga pangunahing katulong sa mga mag-aaral sa pagsusulit.

2.4 Pakana ni Horner

Upang hatiin ang isang polynomial sa isang binomial x-α maaari kang gumamit ng espesyal na simpleng pamamaraan na naimbento ng mga English mathematician noong ika-17 siglo, na kalaunan ay tinawag na Horner's scheme. Bilang karagdagan sa paghahanap ng mga ugat ng mga equation, ginagawang mas madaling kalkulahin ng scheme ni Horner ang kanilang mga halaga. Upang gawin ito, kinakailangan na palitan ang halaga ng variable sa polynomial Pn (x)=a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (isa)

Isaalang-alang ang paghahati ng polynomial (1) ng binomial x-α.

Ipinapahayag namin ang mga coefficient ng incomplete quotient b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 at ang natitira r sa mga tuntunin ng mga coefficient ng polynomial Pn( x) at numero α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .

Ang mga kalkulasyon ayon sa pamamaraan ng Horner ay ipinakita sa anyo ng sumusunod na talahanayan:

	a 0	a 1	a 2 ,
	b 0 =a 0	b 1 = α b 0 +a 1	b 2 = α b 1 +a 2		r=α b n-1 +a n

Sa abot ng r=Pn(α), pagkatapos ay α ang ugat ng equation. Upang masuri kung ang α ay isang multiple root, ang scheme ni Horner ay maaaring ilapat na sa quotient b 0 x+ b 1 x+…+ bn -1 ayon sa talahanayan. Kung sa column sa ilalim ng bn -1 muli tayong nakakuha ng 0, kaya ang α ay isang multiple root.

Isaalang-alang ang isang halimbawa: lutasin ang equation X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

Ilapat natin sa kaliwang bahagi ng equation ang factorization ng polynomial sa kaliwang bahagi ng equation, Horner's scheme.

Solusyon: hanapin ang mga divisors ng libreng termino ± 1; ±2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Ang mga coefficient ng quotient ay ang mga numero 1, 5, 6, at ang natitira ay r = 0.

Ibig sabihin, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

Mula rito: X- 1 = 0 o X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Sagot: 1,- 2, - 3.

Konklusyon: kaya, sa isang equation, ipinakita namin ang paggamit ng dalawang magkaibang paraan ng factoring polynomials. Sa aming opinyon, ang pamamaraan ni Horner ay ang pinakapraktikal at matipid.

2.5 Solusyon ng mga equation ng ika-4 na antas. Paraan ng Ferrari

Nakatuklas ang estudyante ni Cardano na si Ludovic Ferrari ng isang paraan upang malutas ang isang 4th degree equation. Ang paraan ng Ferrari ay binubuo ng dalawang hakbang.

Stage I: ang equation ng form ay kinakatawan bilang isang produkto ng dalawang square trinomals; ito ay sumusunod sa katotohanan na ang equation ay nasa ika-3 degree at hindi bababa sa isang solusyon.

Stage II: ang mga resultang equation ay nalutas gamit ang factorization, gayunpaman, upang mahanap ang kinakailangang factorization, ang mga cubic equation ay kailangang lutasin.

Ang ideya ay upang kumatawan sa mga equation bilang A 2 =B 2 kung saan A= x 2+s,

B-linear function ng x. Pagkatapos ay nananatili itong lutasin ang mga equation na A = ±B.

Para sa kalinawan, isaalang-alang ang equation: Pinaghihiwalay namin ang ika-4 na antas, nakukuha namin: Para sa alinman d ang expression ay magiging isang perpektong parisukat. Idagdag sa magkabilang panig ng equation na nakukuha natin

Sa kaliwang bahagi ay isang buong parisukat, maaari mong kunin d upang ang kanang bahagi ng (2) ay maging isang perpektong parisukat. Isipin na nakamit natin ito. Pagkatapos ang aming equation ay ganito ang hitsura:

Ang paghahanap ng ugat mamaya ay hindi magiging mahirap. Upang piliin ang tama d ito ay kinakailangan na ang discriminant ng kanang bahagi ng (3) maglaho, i.e.

Kaya para mahanap d, ito ay kinakailangan upang malutas ang equation na ito ng 3rd degree. Ang auxiliary equation na ito ay tinatawag solvent.

Madali nating mahahanap ang integer root ng solvent: d= 1

Ang pagpapalit ng equation sa (1), makuha namin

Konklusyon: ang paraan ng Ferrari ay pangkalahatan, ngunit kumplikado at masalimuot. Kasabay nito, kung ang algorithm ng solusyon ay malinaw, kung gayon ang mga equation ng ika-4 na antas ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pamamaraang ito.

2.6 Paraan ng mga hindi natukoy na coefficient

Ang tagumpay ng paglutas ng equation ng ika-4 na antas sa pamamagitan ng pamamaraang Ferrari ay nakasalalay sa kung malulutas natin ang solvent - ang equation ng ika-3 degree, na, tulad ng alam natin, ay hindi laging posible.

Ang kakanyahan ng paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent ay ang uri ng mga salik kung saan ang isang binigay na polynomial ay nabubulok ay hinuhulaan, at ang mga koepisyent ng mga salik na ito (din ang mga polynomial) ay natutukoy sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga salik at pagtutumbas ng mga koepisyent sa parehong kapangyarihan ng variable.

Halimbawa: lutasin ang equation:

Ipagpalagay na ang kaliwang bahagi ng aming equation ay maaaring mabulok sa dalawang square trinomals na may integer coefficients upang ang magkaparehong pagkakapantay-pantay

Malinaw na ang mga coefficient sa harap ng mga ito ay dapat na katumbas ng 1, at ang mga libreng termino ay dapat na katumbas ng isa + 1, ang isa ay may 1.

Ang mga coefficient na nakaharap X. Tukuyin natin sila sa pamamagitan ng a at at para matukoy ang mga ito, pinaparami natin ang parehong trinomyal sa kanang bahagi ng equation.

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Pagtutumbas ng mga coefficient sa parehong kapangyarihan X sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (1), nakakakuha tayo ng isang sistema para sa paghahanap at

Ang paglutas ng sistemang ito, magkakaroon tayo

Kaya ang aming equation ay katumbas ng equation

Ang paglutas nito, nakukuha natin ang mga sumusunod na ugat: .

Ang paraan ng indefinite coefficients ay batay sa mga sumusunod na pahayag: anumang polynomial ng ika-apat na degree sa equation ay maaaring mabulok sa produkto ng dalawang polynomial ng pangalawang degree; dalawang polynomial ay magkapareho kung at kung ang kanilang mga coefficient ay pantay sa parehong kapangyarihan X.

2.7 Symmetric equation

Kahulugan. Ang isang equation ng form ay tinatawag na simetriko kung ang mga unang coefficient sa kaliwa ng equation ay katumbas ng unang coefficient sa kanan.

Nakikita natin na ang unang coefficient sa kaliwa ay katumbas ng unang coefficient sa kanan.

Kung ang naturang equation ay may kakaibang antas, kung gayon ito ay may ugat X= - 1. Susunod, maaari nating babaan ang antas ng equation sa pamamagitan ng paghahati nito sa ( x+ isa). Lumalabas na kapag hinahati ang simetriko equation sa ( x+ 1) ang isang simetriko equation ng kahit na degree ay nakuha. Ang patunay ng simetrya ng mga coefficient ay ipinakita sa ibaba. (Appendix 6) Ang aming gawain ay matutunan kung paano lutasin ang mga simetriko na equation ng kahit na antas.

Halimbawa: (1)

Nilulutas namin ang equation (1), hatiin sa X 2 (sa gitnang antas) = 0.

Pinagpangkat namin ang mga termino na may simetriko

) + 3(x+ . Magpakilala sa= x+ , parisukat natin ang magkabilang bahagi, kaya = sa 2 Kaya 2( sa 2 o 2 sa 2 + 3 paglutas ng equation, nakukuha namin sa = , sa= 3. Susunod, bumalik tayo sa kapalit x+ = at x+ = 3. Nakukuha namin ang mga equation at Ang una ay walang solusyon, at ang pangalawa ay may dalawang ugat. Sagot:.

Konklusyon: ang ganitong uri ng equation ay hindi madalas na nakatagpo, ngunit kung nakatagpo ka nito, maaari itong malutas nang madali at simpleng nang hindi gumagamit ng masalimuot na mga kalkulasyon.

2.8 Pagkuha ng buong antas

Isaalang-alang ang equation.

Ang kaliwang bahagi ay ang kubo ng kabuuan (x + 1), i.e.

Kinukuha namin ang ugat ng ikatlong antas mula sa parehong bahagi: , pagkatapos ay makuha namin

Nasaan ang tanging ugat.

RESULTA NG PAG-AARAL

Bilang resulta ng gawain, nakarating kami sa mga sumusunod na konklusyon:

Salamat sa pinag-aralan na teorya, nakilala namin ang iba't ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng buong mga equation ng mas mataas na antas;

Ang formula ng D. Cardano ay mahirap gamitin at nagbibigay ng mataas na posibilidad na magkamali sa pagkalkula;

− ang paraan ng L. Ferrari ay nagbibigay-daan upang bawasan ang solusyon ng equation ng ika-apat na degree sa kubiko;

− Ang theorem ni Bezout ay maaaring gamitin kapwa para sa mga cubic equation at para sa mga equation ng ikaapat na degree; ito ay mas nauunawaan at naglalarawan kapag inilapat sa paglutas ng mga equation;

Ang pamamaraan ni Horner ay nakakatulong upang makabuluhang bawasan at pasimplehin ang mga kalkulasyon sa paglutas ng mga equation. Bilang karagdagan sa paghahanap ng mga ugat, ginagawang mas madaling kalkulahin ng scheme ni Horner ang mga halaga ng mga polynomial sa kaliwang bahagi ng equation;

Ang partikular na interes ay ang solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na mga coefficient, ang solusyon ng simetriko equation.

Sa kurso ng gawaing pananaliksik, napag-alaman na nakikilala ng mga mag-aaral ang pinakasimpleng paraan ng paglutas ng mga equation ng pinakamataas na antas sa mga elective na klase sa matematika, simula sa ika-9 o ika-10 baitang, gayundin sa mga espesyal na kurso ng paglalakbay sa matematika. mga paaralan. Ang katotohanang ito ay itinatag bilang isang resulta ng isang survey ng mga guro ng matematika sa MBOU "Secondary School No. 9" at mga mag-aaral na nagpapakita ng mas mataas na interes sa paksa ng "matematika".

Ang pinakasikat na mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na degree, na nakatagpo sa paglutas ng olympiad, competitive na mga problema at bilang isang resulta ng paghahanda para sa mga pagsusulit ng mga mag-aaral, ay mga pamamaraan batay sa aplikasyon ng Bezout's theorem, Horner's scheme at ang pagpapakilala ng isang bagong variable. .

Pagpapakita ng mga resulta ng gawaing pananaliksik, i.e. mga paraan upang malutas ang mga equation na hindi pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan sa matematika, mga interesadong kaklase.

Konklusyon

Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng pang-edukasyon at siyentipikong panitikan, mga mapagkukunan ng Internet sa mga forum na pang-edukasyon ng kabataan