Mga pangunahing formula at pamamaraan ng pagsasama. Panuntunan sa pagsasama ng kabuuan o pagkakaiba. Pag-alis ng pare-pareho sa integral sign. Paraan ng pagpapalit ng variable. Ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi. Isang halimbawa ng solusyon sa problema.

Ang apat na pangunahing paraan ng pagsasama ay nakalista sa ibaba.

1) Panuntunan sa pagsasama ng kabuuan o pagkakaiba.
.
Dito at sa ibaba, ang u, v, w ay mga function ng integration variable x .

2) Pag-alis ng pare-pareho sa integral sign.
Hayaan ang c ay isang pare-parehong independyente ng x. Pagkatapos ay maaari itong alisin sa integral sign.

3) Paraan ng pagpapalit ng variable.
Isaalang-alang ang hindi tiyak na integral.
Kung posible na pumili ng gayong function φ (x) mula sa x , kaya
,
pagkatapos, pagkatapos baguhin ang variable t = φ(x) , mayroon tayo
.

4) Ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi.
,
kung saan ang u at v ay mga function ng integration variable.

Ang pangwakas na layunin ng pagkalkula ng mga hindi tiyak na integral ay, sa pamamagitan ng mga pagbabago, upang dalhin ang ibinigay na integral sa pinakasimpleng integral, na tinatawag na tabular integral. Ang mga integral ng talahanayan ay ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar gamit ang mga kilalang formula.
Tingnan ang Talaan ng mga integral >>>

Halimbawa

Kalkulahin ang hindi tiyak na integral

Desisyon

Tandaan na ang integrand ay ang kabuuan at pagkakaiba ng tatlong termino:
, at .
Inilapat namin ang pamamaraan 1 .

Dagdag pa, tandaan namin na ang mga integrand ng mga bagong integral ay pinarami ng mga constant 5, 4, at 2 , ayon sa pagkakabanggit. Inilapat namin ang pamamaraan 2 .

Sa talahanayan ng mga integral nakita natin ang formula
.
Setting n = 2 , nakita namin ang unang integral.

Isulat muli natin ang pangalawang integral sa anyo
.
Napapansin natin yan. Pagkatapos

Gamitin natin ang ikatlong paraan. Ginagawa namin ang pagbabago ng variable t = φ (x) = log x.
.
Sa talahanayan ng mga integral nakita natin ang formula

Dahil ang variable ng pagsasama ay maaaring tukuyin ng anumang titik, kung gayon

Isulat muli natin ang ikatlong integral sa anyo
.
Inilapat namin ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi.
Hayaan mong .
Pagkatapos
;
;

;
;
.

Sa pahinang ito makikita mo ang:

1. Sa totoo lang, ang talahanayan ng mga antiderivatives - maaari itong i-download sa format na PDF at i-print;

2. Video kung paano gamitin ang talahanayang ito;

3. Isang grupo ng mga halimbawa ng pagkalkula ng antiderivative mula sa iba't ibang mga aklat-aralin at pagsusulit.

Sa mismong video, susuriin namin ang maraming mga gawain kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang mga antiderivative function, kadalasang medyo kumplikado, ngunit ang pinakamahalaga, hindi sila power-law. Ang lahat ng mga function na nakabuod sa talahanayan na iminungkahi sa itaas ay dapat na kilala sa puso, tulad ng mga derivative. Kung wala ang mga ito, ang karagdagang pag-aaral ng mga integral at ang kanilang aplikasyon upang malutas ang mga praktikal na problema ay imposible.

Ngayon ay patuloy kaming humaharap sa mga primitive at lumipat sa isang bahagyang mas kumplikadong paksa. Kung noong huling pagkakataon ay isinasaalang-alang namin ang mga antiderivative mula lamang sa mga function ng kapangyarihan at bahagyang mas kumplikadong mga istraktura, ngayon ay susuriin namin ang trigonometrya at marami pa.

Tulad ng sinabi ko sa huling aralin, ang mga antiderivative, hindi katulad ng mga derivatives, ay hindi kailanman malulutas na "blangko" gamit ang anumang karaniwang mga panuntunan. Bukod dito, ang masamang balita ay, hindi katulad ng hinalaw, ang antiderivative ay maaaring hindi maisaalang-alang sa lahat. Kung sumulat tayo ng isang ganap na random na function at susubukan na hanapin ang derivative nito, kung gayon magtatagumpay tayo na may napakataas na posibilidad, ngunit ang antiderivative ay halos hindi kailanman makalkula sa kasong ito. Ngunit mayroon ding magandang balita: mayroong isang medyo malaking klase ng mga pag-andar na tinatawag na elementarya na mga pag-andar, ang mga antiderivative na kung saan ay napakadaling kalkulahin. At lahat ng iba pang mas kumplikadong mga konstruksyon na ibinibigay sa iba't ibang kontrol, independiyente at mga pagsusulit, sa katunayan, ay binubuo ng mga elementarya na function na ito sa pamamagitan ng pagdaragdag, pagbabawas at iba pang mga simpleng aksyon. Ang mga antiderivatives ng naturang mga pag-andar ay matagal nang kinakalkula at na-summarized sa mga espesyal na talahanayan. Ito ay may ganitong mga pag-andar at mga talahanayan na kami ay gagana ngayon.

Ngunit magsisimula tayo, gaya ng nakasanayan, sa isang pag-uulit: tandaan kung ano ang isang antiderivative, kung bakit mayroong walang katapusang marami sa kanila, at kung paano matukoy ang mga ito. pangkalahatang anyo. Upang gawin ito, kinuha ko ang dalawang simpleng gawain.

Paglutas ng mga madaling halimbawa

Halimbawa #1

Tandaan kaagad na ang $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ at ang presensya ng $\text( )\!\!\pi\!\! Ang \ text( )$ ay agad na nagpapahiwatig sa amin na ang kinakailangang antiderivative ng function ay nauugnay sa trigonometry. At, sa katunayan, kung titingnan natin ang talahanayan, makikita natin na ang $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ay walang iba kundi $\text(arctg)x$. Kaya't magsulat tayo:

Upang mahanap, kailangan mong isulat ang sumusunod:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Halimbawa #2

Dito pinag-uusapan din natin ang tungkol sa mga function ng trigonometriko. Kung titingnan natin ang talahanayan, kung gayon, sa katunayan, ito ay magiging ganito:

Kailangan nating hanapin sa buong hanay ng mga antiderivative ang isa na dumadaan sa tinukoy na punto:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Sa wakas ay isulat natin ito:

Ganun kasimple. Ang tanging problema ay upang mabilang ang mga antiderivatives ng mga simpleng function, kailangan mong matutunan ang talahanayan ng mga antiderivatives. Gayunpaman, pagkatapos matutunan ang talahanayan ng mga derivatives para sa iyo, sa palagay ko hindi ito magiging problema.

Paglutas ng mga problemang naglalaman ng exponential function

Magsimula tayo sa pagsulat ng mga sumusunod na formula:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Tingnan natin kung paano ito gumagana sa pagsasanay.

Halimbawa #1

Kung titingnan natin ang mga nilalaman ng mga bracket, mapapansin natin na sa talahanayan ng mga antiderivatives ay walang ganoong ekspresyon na ang $((e)^(x))$ ay nasa isang parisukat, kaya dapat na buksan ang parisukat na ito. Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga pinaikling formula ng pagpaparami:

Hanapin natin ang antiderivative para sa bawat isa sa mga termino:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

At ngayon kinokolekta namin ang lahat ng mga termino sa isang solong expression at kumuha ng isang karaniwang antiderivative:

Halimbawa #2

Sa pagkakataong ito, mas malaki na ang exponent, kaya medyo magiging kumplikado ang pinaikling formula ng multiplikasyon. Palawakin natin ang mga bracket:

Ngayon subukan nating kunin ang antiderivative ng ating formula mula sa konstruksiyon na ito:

Tulad ng makikita mo, walang kumplikado at supernatural sa mga antiderivatives ng exponential function. Kinakalkula ang lahat sa pamamagitan ng mga talahanayan, gayunpaman, tiyak na mapapansin ng mga matulunging estudyante na ang antiderivative na $((e)^(2x))$ ay mas malapit sa $((e)^(x))$ lamang kaysa sa $((a )^(x ))$. Kaya, marahil mayroong ilang higit pang espesyal na panuntunan na nagpapahintulot, alam ang antiderivative na $((e)^(x))$, upang mahanap ang $((e)^(2x))$? Oo, may ganoong tuntunin. At, bukod dito, ito ay isang mahalagang bahagi ng pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives. Susuriin natin ito ngayon gamit ang parehong mga expression na ginamit natin bilang isang halimbawa.

Mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives

Isulat muli natin ang ating function:

Sa nakaraang kaso, ginamit namin ang sumusunod na formula upang malutas:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Ngunit ngayon gawin natin ito nang medyo naiiba: tandaan kung anong batayan ang $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Gaya ng nasabi na, dahil ang derivative ng $((e)^(x))$ ay walang iba kundi $((e)^(x))$, kaya ang antiderivative nito ay magiging katumbas ng parehong $((e) ^( x))$. Ngunit ang problema ay mayroon tayong $((e)^(2x))$ at $((e)^(-2x))$. Ngayon subukan nating hanapin ang derivative na $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Muli nating isulat muli ang ating pagtatayo:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

At nangangahulugan ito na kapag hinahanap ang antiderivative na $((e)^(2x))$, nakukuha natin ang sumusunod:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Tulad ng nakikita mo, nakuha namin ang parehong resulta tulad ng dati, ngunit hindi namin ginamit ang formula upang mahanap ang $((a)^(x))$. Ngayon ito ay maaaring mukhang hangal: bakit kumplikado ang mga kalkulasyon kapag mayroong isang karaniwang formula? Gayunpaman, sa bahagyang mas kumplikadong mga expression, makikita mo na ang pamamaraan na ito ay napaka-epektibo, i.e. gamit ang mga derivatives upang makahanap ng mga antiderivatives.

Hayaan, bilang isang warm-up, hanapin ang antiderivative ng $((e)^(2x))$ sa katulad na paraan:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Kapag kinakalkula, ang aming konstruksiyon ay isusulat tulad ng sumusunod:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Nakuha namin ang eksaktong parehong resulta, ngunit pumunta sa ibang paraan. Sa ganitong paraan, na tila sa amin ngayon ay medyo mas kumplikado, sa hinaharap ay magiging mas mahusay para sa pagkalkula ng mas kumplikadong mga antiderivative at paggamit ng mga talahanayan.

Tandaan! Ito ay isang napakahalagang punto: ang mga antiderivative, tulad ng mga derivative, ay mabibilang sa maraming iba't ibang paraan. Gayunpaman, kung ang lahat ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay pantay, ang sagot ay magiging pareho. Siniguro lang namin ito sa halimbawa ng $((e)^(-2x))$ - sa isang banda, kinakalkula namin itong antiderivative "sa kabuuan", gamit ang kahulugan at pagkalkula nito sa tulong ng mga pagbabago, sa sa kabilang banda, naalala namin na ang $ ((e)^(-2x))$ ay maaaring katawanin bilang $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ at pagkatapos gamitin ang antiderivative para sa function na $( (a)^(x))$. Gayunpaman, pagkatapos ng lahat ng mga pagbabago, ang resulta ay pareho sa inaasahan.

At ngayong naiintindihan na natin ang lahat ng ito, oras na para magpatuloy sa isang bagay na mas matibay. Ngayon ay susuriin natin ang dalawang simpleng konstruksyon, gayunpaman, ang pamamaraan na ilalatag kapag nilutas ang mga ito ay isang mas malakas at kapaki-pakinabang na tool kaysa sa isang simpleng "tumatakbo" sa pagitan ng mga kalapit na antiderivatives mula sa talahanayan.

Paglutas ng problema: hanapin ang antiderivative ng isang function

Halimbawa #1

Ibigay ang halaga na nasa mga numerator, mabulok sa tatlong magkakahiwalay na fraction:

Ito ay isang medyo natural at naiintindihan na paglipat - karamihan sa mga mag-aaral ay walang problema dito. Muli nating isulat ang ating ekspresyon tulad ng sumusunod:

Ngayon tandaan natin ang formula na ito:

Sa aming kaso, makukuha namin ang sumusunod:

Upang maalis ang lahat ng tatlong-kuwento na fraction na ito, iminumungkahi kong gawin ang sumusunod:

Halimbawa #2

Hindi tulad ng nakaraang fraction, ang denominator ay hindi ang produkto, ngunit ang kabuuan. Sa kasong ito, hindi na natin mahahati ang ating fraction sa kabuuan ng ilang simpleng fraction, ngunit dapat nating subukang tiyakin na ang numerator ay naglalaman ng humigit-kumulang kaparehong expression ng denominator. Sa kasong ito, medyo madaling gawin:

Ang gayong notasyon, na sa wika ng matematika ay tinatawag na "pagdaragdag ng zero", ay magbibigay-daan sa amin na muling hatiin ang bahagi sa dalawang piraso:

Ngayon, hanapin natin ang hinahanap natin:

Iyon lang ang mga kalkulasyon. Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado kaysa sa nakaraang problema, ang halaga ng mga kalkulasyon ay naging mas maliit.

Nuances ng solusyon

At ito ay kung saan ang pangunahing kahirapan ng pagtatrabaho sa tabular primitives ay namamalagi, ito ay lalong kapansin-pansin sa pangalawang gawain. Ang katotohanan ay upang pumili ng ilang mga elemento na madaling mabilang sa pamamagitan ng talahanayan, kailangan nating malaman kung ano ang eksaktong hinahanap natin, at nasa paghahanap para sa mga elementong ito na binubuo ang buong pagkalkula ng mga antiderivatives.

Sa madaling salita, hindi sapat na kabisaduhin lamang ang talahanayan ng mga antiderivatives - kailangan mong makita ang isang bagay na wala pa doon, ngunit kung ano ang ibig sabihin ng may-akda at tagatala ng problemang ito. Iyon ang dahilan kung bakit maraming mathematician, guro at propesor ang patuloy na nagtatalo: "Ano ang pagkuha ng mga antiderivatives o pagsasama - ito ba ay isang tool lamang o ito ba ay tunay na sining?" Sa katunayan, sa aking personal na opinyon, ang pagsasama-sama ay hindi isang sining - walang kahanga-hanga dito, ito ay pagsasanay at pagsasanay lamang muli. At para magsanay, lutasin natin ang tatlo pang seryosong halimbawa.

Magsanay ng pagsasama sa pagsasanay

Gawain 1

Isulat natin ang mga sumusunod na formula:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Isulat natin ang sumusunod:

Gawain #2

Isulat muli natin ito tulad ng sumusunod:

Ang kabuuang antiderivative ay magiging katumbas ng:

Gawain #3

Ang pagiging kumplikado ng gawaing ito ay nakasalalay sa katotohanan na, hindi katulad ng mga nakaraang pag-andar, walang variable na $x$ sa itaas, i.e. hindi malinaw sa amin kung ano ang idadagdag, ibawas upang makakuha ng kahit na isang bagay na katulad ng nasa ibaba. Gayunpaman, sa katunayan, ang expression na ito ay itinuturing na mas simple kaysa sa anumang expression mula sa nakaraang mga konstruksyon, dahil ang function na ito ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Maaari mo na ngayong itanong: bakit pantay ang mga function na ito? Suriin natin:

Muli nating isulat muli:

Baguhin natin ng kaunti ang ating ekspresyon:

At kapag ipinaliwanag ko ang lahat ng ito sa aking mga mag-aaral, ang parehong problema ay halos palaging lumitaw: sa unang pag-andar ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw, sa pangalawa maaari mo ring malaman ito nang may swerte o pagsasanay, ngunit anong uri ng alternatibong kamalayan ang ginagawa kailangan mong magkaroon upang malutas ang ikatlong halimbawa? Sa totoo lang, huwag kang matakot. Ang pamamaraan na ginamit namin kapag kinakalkula ang huling antiderivative ay tinatawag na "pagbubulok ng isang function sa pinakasimpleng", at ito ay isang napakaseryosong pamamaraan, at isang hiwalay na aralin sa video ang ilalaan dito.

Pansamantala, iminumungkahi kong bumalik sa ating napag-aralan, ibig sabihin, sa mga exponential function at medyo gawing kumplikado ang mga gawain sa kanilang nilalaman.

Mas kumplikadong mga problema para sa paglutas ng mga antiderivative exponential function

Gawain 1

Tandaan ang sumusunod:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\kaliwa(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Upang mahanap ang antiderivative ng expression na ito, gamitin lamang ang karaniwang formula na $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Sa aming kaso, ang primitive ay magiging ganito:

Siyempre, laban sa background ng konstruksiyon na nalutas namin, ang isang ito ay mukhang mas simple.

Gawain #2

Muli, madaling makita na ang function na ito ay madaling hatiin sa dalawang magkahiwalay na termino - dalawang magkahiwalay na fraction. Muli nating isulat:

Ito ay nananatiling hanapin ang antiderivative ng bawat isa sa mga terminong ito ayon sa formula sa itaas:

Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado ng mga exponential function kumpara sa mga power function, ang kabuuang halaga ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay naging mas simple.

Siyempre, para sa mga mag-aaral na may kaalaman, ang kakaharap lang natin (lalo na sa background ng kung ano ang napag-usapan natin noon) ay maaaring mukhang elementarya. Gayunpaman, sa pagpili ng dalawang gawaing ito para sa video tutorial ngayon, hindi ko itinakda sa aking sarili ang layunin na sabihin sa iyo ang isa pang kumplikado at magarbong trick - ang gusto ko lang ipakita sa iyo ay hindi ka dapat matakot na gumamit ng karaniwang mga algebra trick upang mabago ang orihinal na mga function .

Gamit ang "lihim" na pamamaraan

Sa konklusyon, nais kong pag-aralan ang isa pang kawili-wiling pamamaraan, na, sa isang banda, ay lumampas sa kung ano ang pangunahing pinag-aralan natin ngayon, ngunit, sa kabilang banda, ito ay, una, hindi nangangahulugang kumplikado, i.e. kahit na ang mga baguhan na mag-aaral ay maaaring makabisado ito, at, pangalawa, ito ay madalas na matatagpuan sa lahat ng uri ng kontrol at independiyenteng gawain, i.e. ang pag-alam na ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang bilang karagdagan sa pag-alam sa talahanayan ng mga antiderivatives.

Gawain 1

Malinaw, mayroon kaming isang bagay na halos kapareho sa isang power function. Paano tayo dapat magpatuloy sa kasong ito? Pag-isipan natin ito: ang $x-5$ ay naiiba sa $x$ na hindi gaanong - nagdagdag lang ng $-5$. Isulat natin ito ng ganito:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Subukan nating hanapin ang derivative ng $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Ito ay nagpapahiwatig:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ kanan))^(\prime ))\]

Walang ganoong halaga sa talahanayan, kaya nakuha na namin ang formula na ito sa aming sarili, gamit ang karaniwang antiderivative formula para sa isang power function. Isulat natin ang sagot tulad nito:

Gawain #2

Sa maraming mag-aaral na tumitingin sa unang solusyon, maaaring mukhang napaka-simple ng lahat: sapat na upang palitan ang $x$ sa power function ng isang linear na expression, at lahat ay mahuhulog sa lugar. Sa kasamaang palad, ang lahat ay hindi gaanong simple, at ngayon ay makikita natin ito.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa unang expression, isinusulat namin ang sumusunod:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\kaliwa(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Pagbabalik sa aming derivative, maaari naming isulat:

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]

Mula dito ay agad itong sumusunod:

Nuances ng solusyon

Pakitandaan: kung sa huling pagkakataon ay walang nagbago, sa pangalawang kaso, $-30$ ang lumitaw sa halip na $-10$. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng $-10$ at $-30$? Malinaw, sa kadahilanang $-3$. Tanong: saan ito nanggaling? Kung titingnang mabuti, makikita mo na ito ay kinuha bilang resulta ng pagkalkula ng derivative ng isang kumplikadong function - ang coefficient na nakatayo sa $x$ ay lilitaw sa antiderivative sa ibaba. Ito ay isang napakahalagang tuntunin, na sa una ay hindi ko binalak na pag-aralan ang lahat sa video tutorial ngayon, ngunit kung wala ito, ang pagtatanghal ng mga tabular na antiderivative ay hindi kumpleto.

Kaya ulitin natin. Hayaan ang aming pangunahing function ng kapangyarihan:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

At ngayon sa halip na $x$ palitan natin ang expression na $kx+b$. Ano kaya ang mangyayari? Kailangan nating hanapin ang mga sumusunod:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]

Sa anong batayan natin ito iginigiit? Napakasimple. Hanapin natin ang derivative ng construction na nakasulat sa itaas:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\kaliwa(kx+b \kanan))^(n))\]

Ito ang parehong expression na orihinal. Kaya, ang formula na ito ay tama rin, at maaari itong magamit upang madagdagan ang talahanayan ng mga antiderivatives, ngunit mas mahusay na tandaan lamang ang buong talahanayan.

Mga konklusyon mula sa "lihim: pagtanggap:

• Ang parehong mga pag-andar na isinasaalang-alang natin, sa katunayan, ay maaaring mabawasan sa mga antiderivative na ipinahiwatig sa talahanayan sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga degree, ngunit kung higit pa o mas kaunti ay makakayanan natin ang ika-apat na antas, kung gayon hindi ko gagawin ang ikasiyam na antas. nagbakasakali na ihayag.
• Kung bubuksan natin ang mga degree, makakakuha tayo ng ganoong dami ng mga kalkulasyon na ang isang simpleng gawain ay magdadala sa atin ng hindi sapat na dami ng oras.
• Iyon ang dahilan kung bakit ang mga naturang gawain, sa loob kung saan may mga linear na expression, ay hindi kailangang malutas na "blangko". Sa sandaling matugunan mo ang isang antiderivative, na naiiba mula sa isa sa talahanayan sa pamamagitan lamang ng pagkakaroon ng expression na $kx+b$ sa loob, agad na tandaan ang formula na nakasulat sa itaas, palitan ito sa iyong tabular antiderivative, at lahat ay magiging magkano. mas mabilis at mas madali.

Naturally, dahil sa pagiging kumplikado at kabigatan ng diskarteng ito, paulit-ulit kaming babalik sa pagsasaalang-alang nito sa hinaharap na mga video tutorial, ngunit para sa ngayon mayroon akong lahat. Sana ay talagang makatulong ang araling ito sa mga mag-aaral na gustong maunawaan ang mga antiderivatives at integration.

Antiderivative function at indefinite integral

Katotohanan 1. Ang pagsasama ay ang kabaligtaran na aksyon ng pagkita ng kaibhan, ibig sabihin, ang pagpapanumbalik ng isang function mula sa kilalang derivative ng function na ito. Na-restore ang function sa ganitong paraan F(x) ay tinatawag na primitive para sa function f(x).

Kahulugan 1. Function F(x f(x) sa ilang pagitan X, kung para sa lahat ng mga halaga x mula sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay F "(x)=f(x), iyon ay, ang function na ito f(x) ay ang derivative ng antiderivative function F(x). .

Halimbawa, ang function F(x) = kasalanan x ay ang antiderivative para sa function f(x) = cos x sa buong linya ng numero, dahil para sa anumang halaga ng x (kasalanan x)" = (cos x) .

Kahulugan 2. Indefinite integral ng isang function f(x) ay ang koleksyon ng lahat ng antiderivatives nito. Ito ay gumagamit ng notasyon

∫

f(x)dx

,

nasaan ang tanda ∫ ay tinatawag na integral sign, ang function f(x) ay isang integrand, at f(x)dx ay ang integrand.

Kaya, kung F(x) ay ilang antiderivative para sa f(x), pagkatapos

∫

f(x)dx = F(x) +C

saan C - di-makatwirang pare-pareho (pare-pareho).

Upang maunawaan ang kahulugan ng hanay ng mga antiderivatives ng isang function bilang isang hindi tiyak na integral, angkop ang sumusunod na pagkakatulad. Hayaang magkaroon ng isang pinto (isang tradisyonal na kahoy na pinto). Ang tungkulin nito ay "maging isang pinto". Ano ang gawa sa pinto? Mula sa isang puno. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga antiderivatives ng integrand "na maging isang pinto", iyon ay, ang hindi tiyak na integral, ay ang function na "na maging isang puno + C", kung saan ang C ay isang pare-pareho, na sa kontekstong ito ay maaaring magpahiwatig, para sa halimbawa, isang species ng puno. Kung paanong ang isang pinto ay gawa sa kahoy na may ilang kasangkapan, ang derivative ng isang function ay "ginawa" ng antiderivative function na may formula na natutunan natin sa pamamagitan ng pag-aaral ng derivative .

Pagkatapos ang talahanayan ng mga pag-andar ng mga karaniwang bagay at ang kanilang kaukulang primitives ("maging isang pinto" - "maging isang puno", "maging isang kutsara" - "maging isang metal", atbp.) ay katulad ng talahanayan ng mga pangunahing di-tiyak na integral, na ibibigay sa ibaba. Ang talahanayan ng mga indefinite integral ay naglilista ng mga karaniwang function, na nagpapahiwatig ng mga antiderivatives kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Bilang bahagi ng mga gawain para sa paghahanap ng hindi tiyak na integral, ang mga naturang integrand ay ibinibigay na maaaring direktang isama nang walang mga espesyal na pagsisikap, iyon ay, ayon sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Sa mas kumplikadong mga problema, kailangan munang baguhin ang integrand upang magamit ang mga integral na tabular.

Katotohanan 2. Ang pagpapanumbalik ng isang function bilang isang antiderivative, dapat nating isaalang-alang ang isang arbitrary na pare-pareho (constant) C, at upang hindi magsulat ng isang listahan ng mga antiderivative na may iba't ibang mga constant mula 1 hanggang infinity, kailangan mong isulat ang isang hanay ng mga antiderivative na may arbitrary na pare-pareho C, ganito: 5 x³+C. Kaya, ang isang arbitrary na pare-pareho (constant) ay kasama sa pagpapahayag ng antiderivative, dahil ang antiderivative ay maaaring isang function, halimbawa, 5 x³+4 o 5 x³+3 at kapag naglalaho ang pagkakaiba ng 4 o 3 o anumang iba pang pare-pareho.

Itinakda namin ang problema sa pagsasama: para sa isang naibigay na function f(x) hanapin ang gayong function F(x), kaninong hinango ay katumbas ng f(x).

Halimbawa 1 Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng isang function

Desisyon. Para sa function na ito, ang antiderivative ay ang function

Function F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function f(x) kung ang hinalaw F(x) ay katumbas ng f(x), o, na ang parehong bagay, ang pagkakaiba F(x) ay katumbas ng f(x) dx, ibig sabihin.

(2)

Samakatuwid, ang function ay antiderivative para sa function . Gayunpaman, hindi lamang ito ang antiderivative para sa . Mga function din sila

saan Sa ay isang arbitrary na pare-pareho. Maaari itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan.

Kaya, kung mayroong isang antiderivative para sa isang function, kung gayon para dito mayroong isang walang katapusang hanay ng mga antiderivative na naiiba sa pamamagitan ng isang pare-parehong summand. Ang lahat ng antiderivatives para sa isang function ay nakasulat sa form sa itaas. Ito ay sumusunod mula sa sumusunod na teorama.

Theorem (pormal na pahayag ng katotohanan 2). Kung ang F(x) ay ang antiderivative para sa function f(x) sa ilang pagitan X, pagkatapos ay anumang iba pang antiderivative para sa f(x) sa parehong pagitan ay maaaring kinakatawan bilang F(x) + C, saan Sa ay isang arbitrary na pare-pareho.

Sa sumusunod na halimbawa, bumaling na tayo sa talahanayan ng mga integral, na ibibigay sa talata 3, pagkatapos ng mga katangian ng hindi tiyak na integral. Ginagawa namin ito bago maging pamilyar sa buong talahanayan, upang ang kakanyahan ng nasa itaas ay malinaw. At pagkatapos ng talahanayan at mga pag-aari, gagamitin namin ang mga ito nang buo kapag nagsasama.

Halimbawa 2 Maghanap ng mga hanay ng mga antiderivatives:

Desisyon. Nakahanap kami ng mga hanay ng mga antiderivative na function kung saan "ginawa" ang mga function na ito. Kapag binanggit ang mga pormula mula sa talahanayan ng mga integral, sa ngayon, tanggapin lamang na may mga ganoong pormula, at pag-aaralan natin nang kaunti pa ang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral.

1) Paglalapat ng formula (7) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 3, nakukuha namin

2) Gamit ang formula (10) mula sa talahanayan ng mga integral para sa n= 1/3, mayroon kami

3) Mula noon

pagkatapos ay ayon sa formula (7) sa n= -1/4 mahanap

Sa ilalim ng integral sign, hindi nila isinusulat ang function mismo f, at ang produkto nito sa pamamagitan ng differential dx. Ginagawa ito lalo na upang ipahiwatig kung aling variable ang hinahanap ng antiderivative. Halimbawa,

, ;

dito sa parehong mga kaso ang integrand ay katumbas ng , ngunit ang mga hindi tiyak na integral nito sa mga isinasaalang-alang na mga kaso ay naging iba. Sa unang kaso, ang function na ito ay itinuturing bilang isang function ng isang variable x, at sa pangalawa - bilang isang function ng z .

Ang proseso ng paghahanap ng hindi tiyak na integral ng isang function ay tinatawag na pagsasama ng function na iyon.

Ang geometriko na kahulugan ng hindi tiyak na integral

Hayaang kailanganin upang makahanap ng isang kurba y=F(x) at alam na natin na ang padaplis ng slope ng tangent sa bawat punto nito ay isang ibinigay na function f(x) abscissa ng puntong ito.

Ayon sa geometric na kahulugan ng derivative, ang tangent ng slope ng tangent sa isang naibigay na punto sa curve y=F(x) katumbas ng halaga ng derivative F"(x). Kaya, kailangan nating hanapin ang gayong function F(x), para sa F"(x)=f(x). Kinakailangang function sa gawain F(x) ay nagmula sa f(x). Ang kondisyon ng problema ay nasiyahan hindi sa pamamagitan ng isang kurba, ngunit sa pamamagitan ng isang pamilya ng mga kurba. y=F(x)- isa sa mga kurba na ito, at anumang iba pang kurba ay maaaring makuha mula dito sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin sa kahabaan ng axis Oy.

Tawagan natin ang graph ng antiderivative function ng f(x) integral curve. Kung ang F"(x)=f(x), pagkatapos ay ang graph ng function y=F(x) ay isang integral curve.

Katotohanan 3. Ang hindi tiyak na integral ay geometriko na kinakatawan ng pamilya ng lahat ng integral na kurba tulad ng nasa larawan sa ibaba. Ang distansya ng bawat kurba mula sa pinanggalingan ay tinutukoy ng isang arbitraryong pare-pareho (constant) ng pagsasama C.

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Fact 4. Theorem 1. Ang derivative ng isang indefinite integral ay katumbas ng integrand, at ang differential nito ay katumbas ng integrand.

Fact 5. Theorem 2. Ang hindi tiyak na integral ng differential ng isang function f(x) ay katumbas ng function f(x) hanggang sa isang pare-parehong termino , ibig sabihin.

(3)

Ang theorems 1 at 2 ay nagpapakita na ang pagkita ng kaibhan at pagsasama ay magkabaligtaran na mga operasyon.

Fact 6. Theorem 3. Ang constant factor sa integrand ay maaaring alisin sa sign ng indefinite integral , ibig sabihin.

Ang pag-aaral na pagsamahin ay hindi mahirap. Upang gawin ito, kailangan mo lamang matuto ng isang tiyak, sa halip maliit, hanay ng mga patakaran at bumuo ng isang uri ng likas na talino. Siyempre, madaling matutunan ang mga patakaran at mga formula, ngunit sa halip mahirap maunawaan kung saan at kailan ilalapat ito o ang panuntunang iyon ng pagsasama o pagkita ng kaibhan. Ito, sa katunayan, ay ang kakayahang magsama.

1. Antiderivative. Indefinite integral.

Ipinapalagay na sa oras ng pagbabasa ng artikulong ito, ang mambabasa ay mayroon nang ilang mga kasanayan sa pagkakaiba-iba (i.e., paghahanap ng mga derivatives).

Kahulugan 1.1: Ang isang function ay tinatawag na isang antiderivative kung ang pagkakapantay-pantay ay mayroong:

Mga komento:> Ang diin sa salitang "primordial" ay maaaring ilagay sa dalawang paraan: tungkol sa kinakabahan o orihinal a nakakaalam.

Ari-arian 1: Kung ang isang function ay isang antiderivative ng isang function, kung gayon ang function ay isa ring antiderivative ng isang function.

Patunay: Patunayan natin ito mula sa kahulugan ng isang antiderivative. Hanapin natin ang derivative ng function:

Ang unang termino sa kahulugan 1.1 katumbas ng , at ang pangalawang termino ay ang derivative ng pare-pareho, na katumbas ng 0.

.

Ibuod. Isulat natin ang simula at dulo ng chain of equalities:

Kaya, ang derivative ng function ay pantay, at samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang antiderivative nito. Ang ari-arian ay napatunayan na.

Kahulugan 1.2: Ang hindi tiyak na integral ng isang function ay ang buong hanay ng mga antiderivatives ng function na ito. Ito ay tinutukoy ng ganito:

.

Isaalang-alang ang mga pangalan ng bawat bahagi ng talaan nang detalyado:

ay ang pangkalahatang notasyon para sa integral,

ay isang integrand (integrand) expression, isang integrable function.

ay ang differential, at ang expression pagkatapos ng titik , sa kasong ito, ay tatawaging variable ng pagsasama.

Mga komento: Ang mga pangunahing salita sa kahulugang ito ay "ang buong hanay". Yung. kung sa hinaharap ang "plus C" na ito ay hindi nakasulat sa sagot, kung gayon ang inspektor ay may karapatan na huwag bigyan ng kredito ang gawaing ito, dahil ito ay kinakailangan upang mahanap ang buong hanay ng mga antiderivatives, at kung C ay wala, pagkatapos ay isa lamang ang matatagpuan.

Konklusyon: Upang masuri kung ang integral ay kinakalkula nang tama, kinakailangan upang mahanap ang derivative ng resulta. Dapat itong tumugma sa integrand.
Halimbawa:
Pagsasanay: Kalkulahin ang hindi tiyak na integral at suriin.

Desisyon:

Ang paraan ng pagkalkula ng integral na ito ay hindi mahalaga sa kasong ito. Ipagpalagay na ito ay isang paghahayag mula sa itaas. Ang gawain natin ay ipakita na hindi tayo dinaya ng paghahayag, at magagawa ito sa tulong ng pagpapatunay.

Pagsusuri:

Kapag iniiba ang resulta, nakuha ang isang integrand, na nangangahulugan na ang integral ay kinakalkula nang tama.

2. Magsimula. Talaan ng mga integral.

Para sa integration, hindi kinakailangan sa bawat oras na tandaan ang function na ang derivative ay katumbas ng ibinigay na integrand (i.e., gamitin ang kahulugan ng integral nang direkta). Ang bawat koleksyon ng mga problema o isang aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika ay naglalaman ng isang listahan ng mga katangian ng mga integral at isang talahanayan ng mga pinakasimpleng integral.

Ilista natin ang mga katangian.

Ari-arian:
1.
Ang integral ng differential ay katumbas ng integration variable.
2. , kung saan ay isang pare-pareho.
Ang pare-parehong multiplier ay maaaring alisin sa integral sign.

3.
Ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral (kung ang bilang ng mga termino ay may hangganan).
Integral na talahanayan:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Kadalasan, ang gawain ay bawasan ang inimbestigahang integral sa isang tabular gamit ang mga katangian at formula.

Halimbawa:

[Gamitin natin ang pangatlong katangian ng mga integral at isulat ito bilang kabuuan ng tatlong integral.]

[Gamitin natin ang pangalawang ari-arian at alisin ang mga constant sa integration sign.]

[ Sa unang integral, ginagamit namin ang table integral No. 1 (n=2), sa pangalawa - ang parehong formula, ngunit n=1, at para sa ikatlong integral, maaari mong gamitin ang parehong table integral, ngunit may n=0, o ang unang property. ]
.
Suriin natin sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan:

Ang orihinal na integrand ay nakuha, samakatuwid, ang pagsasama ay isinagawa nang walang mga pagkakamali (at kahit na ang pagdaragdag ng isang di-makatwirang pare-parehong C ay hindi nakalimutan).

Ang mga tabular integral ay dapat na matutunan sa pamamagitan ng puso para sa isang simpleng dahilan - upang malaman kung ano ang magsusumikap para sa, i.e. malaman ang layunin ng pagbabago ng ibinigay na expression.

Narito ang ilan pang halimbawa:
1)
2)
3)

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Ehersisyo 1. Kalkulahin ang hindi tiyak na integral:

+ Ipakita/itago ang pahiwatig #1.

1) Gamitin ang ikatlong katangian at ipakita ang integral na ito bilang kabuuan ng tatlong integral.

+ Ipakita/itago ang pahiwatig #2.

+ Ipakita/itago ang pahiwatig #3.

3) Para sa unang dalawang termino, gamitin ang unang tabular integral, at para sa pangatlo - ang pangalawang tabular integral.

+ Ipakita/itago ang Solusyon at Sagot.

4) Solusyon:

Sagot: