Ang matematika ay anokontrolado ng mga tao ang kalikasan at ang kanilang sarili.

Sobyet na matematiko, akademiko A.N. Kolmogorov

Geometric na pag-unlad.

Kasama ng mga gawain para sa mga pag-unlad ng aritmetika, ang mga gawaing nauugnay sa konsepto ng isang geometric na pag-unlad ay karaniwan din sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, kailangan mong malaman ang mga katangian ng isang geometric na pag-unlad at magkaroon ng mahusay na mga kasanayan sa paggamit ng mga ito.

Ang artikulong ito ay nakatuon sa pagtatanghal ng mga pangunahing katangian ng isang geometric na pag-unlad. Nagbibigay din ito ng mga halimbawa ng paglutas ng mga karaniwang problema, hiniram mula sa mga gawain ng mga pagsusulit sa pagpasok sa matematika.

Una nating tandaan ang mga pangunahing katangian ng isang geometric na pag-unlad at alalahanin ang pinakamahalagang mga formula at pahayag, nauugnay sa konseptong ito.

Kahulugan. Ang isang numerical sequence ay tinatawag na geometric progression kung ang bawat isa sa mga numero nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numero ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Para sa isang geometric na pag-unladvalid ang mga formula

, (1)

saan . Ang pormula (1) ay tinatawag na pormula ng pangkalahatang termino ng isang geometric na pag-unlad, at ang pormula (2) ay ang pangunahing pag-aari ng isang geometriko na pag-unlad: ang bawat miyembro ng pag-unlad ay tumutugma sa geometric na mean ng mga kalapit na miyembro nito at .

Tandaan, na ito ay tiyak na dahil sa pag-aari na ito na ang pag-unlad na pinag-uusapan ay tinatawag na "geometric".

Ang mga pormula (1) at (2) sa itaas ay buod tulad ng sumusunod:

, (3)

Upang kalkulahin ang kabuuan una mga miyembro ng isang geometric na pag-unladnaaangkop ang formula

Kung italaga natin

saan . Dahil , ang formula (6) ay isang generalization ng formula (5).

Sa kaso kung kailan at geometric na pag-unladay walang katapusan na bumababa. Upang kalkulahin ang kabuuansa lahat ng miyembro ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang formula ay ginagamit

. (7)

Halimbawa , gamit ang formula (7), maipapakita ng isa, Ano

saan . Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nakuha mula sa formula (7) sa kondisyon na , (ang unang pagkakapantay-pantay) at , (ang pangalawang pagkakapantay-pantay).

Teorama. Kung , kung gayon

Patunay. Kung , kung gayon ,

Ang teorama ay napatunayan.

Magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang ng mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Geometric progression".

Halimbawa 1 Ibinigay: , at . Hanapin ang .

Solusyon. Kung inilapat ang formula (5), kung gayon

Sagot: .

Halimbawa 2 Hayaan at . Hanapin ang .

Solusyon. Dahil at , gumagamit kami ng mga formula (5), (6) at makuha ang sistema ng mga equation

Kung ang pangalawang equation ng system (9) ay hinati sa una, pagkatapos o . Mula dito ay sumusunod . Isaalang-alang natin ang dalawang kaso.

1. Kung , pagkatapos ay mula sa unang equation ng system (9) mayroon tayo.

2. Kung , kung gayon .

Halimbawa 3 Hayaan , at . Hanapin ang .

Solusyon. Ito ay sumusunod mula sa formula (2) na o . Mula noon o .

Sa pamamagitan ng kondisyon. Gayunpaman, samakatuwid. Dahil at , pagkatapos dito mayroon kaming isang sistema ng mga equation

Kung ang pangalawang equation ng system ay hinati sa una, kung gayon o .

Dahil , ang equation ay may isang angkop na ugat . Sa kasong ito, ang unang equation ng system ay nagpapahiwatig .

Isinasaalang-alang ang formula (7), nakukuha namin.

Sagot: .

Halimbawa 4 Ibinigay: at . Hanapin ang .

Solusyon. Simula noon .

Dahil , pagkatapos o

Ayon sa formula (2), mayroon tayong . Kaugnay nito, mula sa pagkakapantay-pantay (10) ay nakukuha natin o .

Gayunpaman, sa pamamagitan ng kondisyon, samakatuwid.

Halimbawa 5 Ito ay kilala na . Hanapin ang .

Solusyon. Ayon sa theorem, mayroon tayong dalawang pagkakapantay-pantay

Mula noon o . Dahil, kung gayon.

Sagot: .

Halimbawa 6 Ibinigay: at . Hanapin ang .

Solusyon. Isinasaalang-alang ang formula (5), nakukuha namin

Simula noon . Mula noon , at , noon .

Halimbawa 7 Hayaan at . Hanapin ang .

Solusyon. Ayon sa formula (1), maaari tayong sumulat

Samakatuwid, mayroon tayong o . Ito ay kilala na at , samakatuwid at .

Sagot: .

Halimbawa 8 Hanapin ang denominator ng isang walang katapusang bumababa na geometric na pag-unlad kung

At .

Solusyon. Mula sa formula (7) ito ay sumusunod At . Mula dito at mula sa kondisyon ng problema, nakuha namin ang sistema ng mga equation

Kung ang unang equation ng system ay parisukat, at pagkatapos ay hatiin ang resultang equation sa pangalawang equation, pagkatapos makuha namin

O kaya .

Sagot: .

Halimbawa 9 Hanapin ang lahat ng mga halaga kung saan ang sequence , , ay isang geometric na pag-unlad.

Solusyon. Hayaan , at . Ayon sa formula (2), na tumutukoy sa pangunahing katangian ng isang geometric na pag-unlad, maaari nating isulat o .

Mula dito nakukuha natin ang quadratic equation, na ang mga ugat ay At .

Suriin natin: kung, pagkatapos , at ; kung , pagkatapos , at .

Sa unang kaso mayroon kami at , at sa pangalawa - at .

Sagot: , .

Halimbawa 10lutasin ang equation

, (11)

saan at .

Solusyon. Ang kaliwang bahagi ng equation (11) ay ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, kung saan at , ibinigay: at .

Mula sa formula (7) ito ay sumusunod, Ano . Kaugnay nito, ang equation (11) ay nasa anyo o . angkop na ugat ang quadratic equation ay

Sagot: .

Halimbawa 11. P pagkakasunud-sunod ng mga positibong numerobumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, A - geometric na pag-unlad, ano ang kinalaman nito sa . Hanapin ang .

Solusyon. kasi pagkakasunud-sunod ng aritmetika, Iyon (ang pangunahing pag-aari ng isang pag-unlad ng aritmetika). Dahil ang, pagkatapos o . Ito ay nagpapahiwatig , na ang geometric progression ay. Ayon sa formula (2), tapos sinusulat namin yan .

Simula at , noon . Sa kasong iyon, ang expression tumatagal ang form o . Sa kondisyon, kaya mula sa equationnakukuha namin ang natatanging solusyon ng problemang isinasaalang-alang, ibig sabihin. .

Sagot: .

Halimbawa 12. Kalkulahin ang kabuuan

. (12)

Solusyon. I-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (12) sa 5 at makuha

Kung ibawas natin ang (12) sa resultang expression, Iyon

o .

Upang makalkula, pinapalitan namin ang mga halaga sa formula (7) at makuha ang . Simula noon .

Sagot: .

Ang mga halimbawa ng paglutas ng problema na ibinigay dito ay magiging kapaki-pakinabang sa mga aplikante bilang paghahanda para sa mga pagsusulit sa pasukan. Para sa mas malalim na pag-aaral ng mga paraan ng paglutas ng problema, nauugnay sa isang geometric na pag-unlad, maaari mong gamitin ang mga tutorial mula sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.

1. Koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: karagdagang mga seksyon ng kurikulum ng paaralan. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Isang kumpletong kurso ng elementarya na matematika sa mga gawain at pagsasanay. Aklat 2: Mga Pagkakasunud-sunod ng Numero at Pag-unlad. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

May tanong ka ba?

Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Ang geometric progression, kasama ng arithmetic, ay isang mahalagang serye ng numero na pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan sa grade 9. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang denominator ng isang geometric na pag-unlad, at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa mga katangian nito.

Kahulugan ng geometric progression

Upang magsimula, ibibigay namin ang kahulugan ng serye ng numerong ito. Ang geometric progression ay isang serye ng mga rational na numero na nabuo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng unang elemento nito sa isang pare-parehong numero na tinatawag na denominator.

Halimbawa, ang mga numero sa serye 3, 6, 12, 24, ... ay isang geometric na pag-unlad, dahil kung i-multiply natin ang 3 (ang unang elemento) sa 2, makakakuha tayo ng 6. Kung i-multiply natin ang 6 sa 2, makakakuha tayo ng 12, at iba pa.

Ang mga miyembro ng pagkakasunud-sunod na isinasaalang-alang ay karaniwang tinutukoy ng simbolong ai, kung saan ang i ay isang integer na nagpapahiwatig ng bilang ng elemento sa serye.

Ang kahulugan sa itaas ng isang pag-unlad ay maaaring isulat sa wika ng matematika tulad ng sumusunod: an = bn-1 * a1, kung saan ang b ay ang denominator. Madaling suriin ang formula na ito: kung n = 1, kung gayon b1-1 = 1, at makuha natin ang a1 = a1. Kung n = 2, pagkatapos ay an = b * a1, at muli tayong dumating sa kahulugan ng serye ng mga numero na isinasaalang-alang. Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring ipagpatuloy para sa malalaking halaga ng n.

Ang denominator ng isang geometric na pag-unlad

Ang numero b ay ganap na tumutukoy kung anong karakter ang magkakaroon ng buong serye ng numero. Ang denominator b ay maaaring positibo, negatibo, o mas malaki sa o mas mababa sa isa. Ang lahat ng mga opsyon sa itaas ay humahantong sa iba't ibang mga pagkakasunud-sunod:

• b > 1. Mayroong dumaraming serye ng mga rational na numero. Halimbawa, 1, 2, 4, 8, ... Kung ang elemento a1 ay negatibo, kung gayon ang buong pagkakasunud-sunod ay tataas lamang ang modulo, ngunit bababa nang isinasaalang-alang ang tanda ng mga numero.
• b = 1. Kadalasan ang ganitong kaso ay hindi tinatawag na pag-unlad, dahil mayroong isang ordinaryong serye ng magkaparehong mga rational na numero. Halimbawa, -4, -4, -4.

Formula para sa kabuuan

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng mga partikular na problema gamit ang denominator ng uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang, isang mahalagang pormula ang dapat ibigay para sa kabuuan ng unang n elemento nito. Ang formula ay: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Makukuha mo mismo ang expression na ito kung isasaalang-alang mo ang isang recursive sequence ng mga miyembro ng progression. Tandaan din na sa formula sa itaas, sapat na malaman lamang ang unang elemento at ang denominator upang mahanap ang kabuuan ng isang arbitraryong bilang ng mga termino.

Walang katapusang pagbaba ng pagkakasunod-sunod

Sa itaas ay isang paliwanag kung ano ito. Ngayon, alam ang formula para sa Sn, ilapat natin ito sa serye ng numerong ito. Dahil ang anumang numero na ang modulus ay hindi lalampas sa 1 ay may posibilidad na maging zero kapag itinaas sa malalaking kapangyarihan, ibig sabihin, b∞ => 0 kung -1

Dahil ang pagkakaiba (1 - b) ay palaging magiging positibo, anuman ang halaga ng denominator, ang tanda ng kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na S∞ ay katangi-tanging tinutukoy ng tanda ng unang elemento nito na a1.

Ngayon ay isasaalang-alang namin ang ilang mga problema, kung saan ipapakita namin kung paano ilapat ang nakuha na kaalaman sa mga tiyak na numero.

Numero ng gawain 1. Pagkalkula ng mga hindi kilalang elemento ng pag-unlad at ang kabuuan

Dahil sa geometric progression, ang denominator ng progression ay 2, at ang unang elemento nito ay 3. Ano ang magiging ika-7 at ika-10 termino nito, at ano ang kabuuan ng pitong unang elemento nito?

Ang kondisyon ng problema ay medyo simple at nagsasangkot ng direktang paggamit ng mga formula sa itaas. Kaya, upang kalkulahin ang elemento na may numero n, ginagamit namin ang expression na an = bn-1 * a1. Para sa ika-7 elemento mayroon tayo: a7 = b6 * a1, pinapalitan ang kilalang data, nakukuha natin ang: a7 = 26 * 3 = 192. Ganoon din ang ginagawa namin para sa ika-10 miyembro: a10 = 29 * 3 = 1536.

Ginagamit namin ang kilalang formula para sa kabuuan at tinutukoy ang halagang ito para sa unang 7 elemento ng serye. Mayroon kaming: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Numero ng gawain 2. Pagtukoy sa kabuuan ng mga di-makatwirang elemento ng pag-unlad

Hayaang -2 ang denominator ng exponential progression bn-1 * 4, kung saan ang n ay isang integer. Kinakailangang matukoy ang kabuuan mula sa ika-5 hanggang ika-10 elemento ng seryeng ito, kasama.

Ang problema ay hindi malulutas nang direkta gamit ang mga kilalang formula. Maaari itong malutas sa 2 magkaibang paraan. Para sa kapakanan ng pagkakumpleto, ipinakita namin ang pareho.

Paraan 1. Ang ideya nito ay simple: kailangan mong kalkulahin ang dalawang katumbas na kabuuan ng mga unang termino, at pagkatapos ay ibawas ang isa sa isa. Kalkulahin ang mas maliit na kabuuan: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ngayon kinakalkula namin ang malaking kabuuan: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tandaan na sa huling expression, 4 na termino lamang ang na-summed up, dahil ang ika-5 ay kasama na sa kabuuan na kailangang kalkulahin ayon sa kondisyon ng problema. Sa wakas, kinukuha namin ang pagkakaiba: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Paraan 2. Bago palitan ang mga numero at pagbibilang, maaari kang makakuha ng formula para sa kabuuan sa pagitan ng mga terminong m at n ng seryeng pinag-uusapan. Kumilos kami sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa pamamaraan 1, nagtatrabaho lamang kami muna sa simbolikong representasyon ng kabuuan. Mayroon kaming: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Maaari mong palitan ang mga kilalang numero sa resultang expression at kalkulahin ang huling resulta: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Gawain bilang 3. Ano ang denominator?

Hayaan ang a1 = 2, hanapin ang denominator ng geometric progression, sa kondisyon na ang infinite sum nito ay 3, at alam na ito ay isang bumababang serye ng mga numero.

Ayon sa kondisyon ng problema, hindi mahirap hulaan kung aling formula ang dapat gamitin upang malutas ito. Siyempre, para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng pag-unlad. Mayroon kaming: S∞ = a1 / (1 - b). Mula sa kung saan ipinapahayag namin ang denominator: b = 1 - a1 / S∞. Ito ay nananatiling palitan ang mga kilalang halaga​​​at makuha ang kinakailangang numero: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 o -0.333 (3). Masusuri natin ang resultang ito nang husay kung maaalala natin na para sa ganitong uri ng pagkakasunud-sunod, ang modulus b ay hindi dapat lumampas sa 1. Gaya ng nakikita mo, |-1 / 3|

Gawain bilang 4. Pagpapanumbalik ng serye ng mga numero

Hayaang ibigay ang 2 elemento ng isang serye ng numero, halimbawa, ang ika-5 ay katumbas ng 30 at ang ika-10 ay katumbas ng 60. Kinakailangang ibalik ang buong serye mula sa mga datos na ito, alam na natutugunan nito ang mga katangian ng isang geometric na pag-unlad.

Upang malutas ang problema, kailangan mo munang isulat ang kaukulang expression para sa bawat kilalang miyembro. Mayroon kaming: a5 = b4 * a1 at a10 = b9 * a1. Ngayon hinati namin ang pangalawang expression sa una, nakukuha namin: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Mula dito matutukoy natin ang denominator sa pamamagitan ng pagkuha ng ikalimang antas na ugat ng ratio ng mga miyembro na kilala mula sa kondisyon ng problema, b = 1.148698. Pinapalitan namin ang resultang numero sa isa sa mga expression para sa isang kilalang elemento, nakukuha namin ang: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Kaya, nalaman namin kung ano ang denominator ng progression bn, at ang geometric progression bn-1 * 17.2304966 = an, kung saan b = 1.148698.

Saan ginagamit ang mga geometric progression?

Kung walang aplikasyon ng numerical series na ito sa pagsasanay, ang pag-aaral nito ay mababawasan sa isang puro teoretikal na interes. Ngunit mayroong ganoong aplikasyon.

Ang 3 pinakasikat na halimbawa ay nakalista sa ibaba:

• Ang kabalintunaan ni Zeno, kung saan ang maliksi na si Achilles ay hindi makahabol sa mabagal na pagong, ay nalutas gamit ang konsepto ng isang walang katapusang pagbaba ng pagkakasunod-sunod ng mga numero.
• Kung ang mga butil ng trigo ay inilalagay sa bawat cell ng chessboard upang ang 1 butil ay mailagay sa 1st cell, 2 - sa ika-2, 3 - sa ika-3, at iba pa, pagkatapos ay 18446744073709551615 na mga butil ang kakailanganin upang punan ang lahat ng mga cell ng ang lupon!
• Sa larong "Tower of Hanoi", upang muling ayusin ang mga disk mula sa isang baras patungo sa isa pa, kinakailangan na magsagawa ng 2n - 1 na operasyon, iyon ay, ang kanilang bilang ay lumalaki nang malaki mula sa bilang ng mga disk na ginamit.

Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad, iyon ay, ang bawat termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng q beses. (Aming ipagpalagay na q ≠ 1, kung hindi man ang lahat ay masyadong walang halaga). Madaling makita na ang pangkalahatang pormula ng ika-n miyembro ng geometric na pag-unlad ay b n = b 1 q n – 1 ; ang mga termino na may mga numerong b n at b m ay naiiba sa pamamagitan ng q n – m beses.

Nasa sinaunang Egypt, alam nila hindi lamang ang aritmetika, kundi pati na rin ang geometric na pag-unlad. Narito, halimbawa, ang isang gawain mula sa Rhind papyrus: “Pitong mukha ay may pitong pusa; bawat pusa ay kumakain ng pitong daga, bawat daga ay kumakain ng pitong uhay ng mais, bawat tainga ay maaaring tumubo ng pitong takal ng barley. Gaano kalaki ang mga numero sa seryeng ito at ang kanilang kabuuan?

kanin. 1. Sinaunang Egyptian geometric progression problema

Ang gawaing ito ay inulit ng maraming beses na may iba't ibang mga pagkakaiba-iba sa iba pang mga tao sa ibang mga oras. Halimbawa, sa nakasulat sa XIII na siglo. Ang "Aklat ng abacus" ni Leonardo ng Pisa (Fibonacci) ay may problema kung saan 7 matandang babae ang lumilitaw papunta sa Roma (malinaw na mga pilgrim), bawat isa ay may 7 mules, bawat isa ay may 7 bag, bawat isa ay ay may 7 tinapay, bawat isa ay may 7 kutsilyo, bawat isa ay nasa 7 kaluban. Ang problema ay nagtatanong kung gaano karaming mga item ang mayroon.

Ang kabuuan ng unang n miyembro ng geometric progression S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Ang formula na ito ay maaaring patunayan, halimbawa, tulad ng sumusunod: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Idagdag natin ang bilang b 1 q n sa S n at makuha ang:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Kaya S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), at makuha namin ang kinakailangang formula.

Nasa isa na sa mga clay tablet ng Ancient Babylon, na itinayo noong ika-6 na siglo. BC e., naglalaman ng kabuuan na 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Totoo, tulad ng sa ilang iba pang mga kaso, hindi natin alam kung saan nalaman ng mga Babylonians ang katotohanang ito. .

Ang mabilis na paglaki ng isang geometric na pag-unlad sa isang bilang ng mga kultura, sa partikular, sa India, ay paulit-ulit na ginagamit bilang isang malinaw na simbolo ng kalawakan ng uniberso. Sa kilalang alamat tungkol sa hitsura ng chess, binibigyan ng pinuno ang kanilang imbentor ng pagkakataon na pumili ng isang gantimpala sa kanyang sarili, at humingi siya ng ganoong bilang ng mga butil ng trigo na makukuha kung ang isa ay ilalagay sa unang cell ng chessboard, dalawa sa pangalawa, apat sa ikatlo, walo sa ikaapat, at iba pa, sa bawat oras na ang bilang ay nadoble. Naisip ni Vladyka na ito ay, sa pinakamaraming, ilang sako, ngunit siya ay nagkamali. Madaling makita na para sa lahat ng 64 na parisukat ng chessboard ang imbentor ay dapat na nakatanggap ng (2 64 - 1) butil, na ipinahayag bilang isang 20-digit na numero; kahit na ang buong ibabaw ng Earth ay nahasik, aabutin ng hindi bababa sa 8 taon upang makolekta ang kinakailangang bilang ng mga butil. Ang alamat na ito ay minsan ay binibigyang kahulugan bilang isang sanggunian sa halos walang limitasyong mga posibilidad na nakatago sa laro ng chess.

Ang katotohanan na ang numerong ito ay talagang 20-digit ay madaling makita:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (isang mas tumpak na pagkalkula ay nagbibigay ng 1.84 10 19). Ngunit iniisip ko kung maaari mong malaman kung anong digit ang nagtatapos sa numerong ito?

Ang isang geometric na pag-unlad ay tumataas kung ang denominator ay mas malaki sa 1 sa ganap na halaga, o bumababa kung ito ay mas mababa sa isa. Sa huling kaso, ang bilang q n ay maaaring maging arbitraryong maliit para sa sapat na malaking n. Bagama't hindi inaasahang mabilis ang pagtaas ng exponential, ang pagbaba ng exponential ay mabilis ding bumababa.

Ang mas malaki n, mas mahina ang numero q n ay naiiba mula sa zero, at mas malapit ang kabuuan ng n mga miyembro ng geometric progression S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) sa numero S \u003d b 1 / (1 - q) . (Kaya ang dahilan, halimbawa, F. Viet). Ang bilang na S ay tinatawag na kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Gayunpaman, sa loob ng maraming siglo ang tanong kung ano ang kahulugan ng kabuuan ng LAHAT ng geometriko na pag-unlad, kasama ang walang katapusang bilang ng mga termino, ay hindi sapat na malinaw sa mga mathematician.

Ang isang bumababang geometric na pag-unlad ay makikita, halimbawa, sa aporias ni Zeno na "Kagat-kagat" at "Achilles at ang pagong". Sa unang kaso, malinaw na ipinakita na ang buong kalsada (ipagpalagay na haba 1) ay ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga segment 1/2, 1/4, 1/8, atbp. Ito, siyempre, ang kaso mula sa ang punto ng view ng mga ideya tungkol sa finite sum infinite geometric progression. At gayon pa man - paano ito mangyayari?

kanin. 2. Pag-unlad na may salik na 1/2

Sa aporia tungkol kay Achilles, ang sitwasyon ay medyo mas kumplikado, dahil dito ang denominator ng pag-unlad ay hindi katumbas ng 1/2, ngunit sa ibang numero. Hayaan, halimbawa, tumakbo si Achilles sa bilis v, ang pagong ay gumagalaw sa bilis u, at ang unang distansya sa pagitan nila ay l. Si Achilles ay tatakbo sa distansyang ito sa oras na l / v , ang pagong ay lilipat ng layo na lu / v sa panahong ito. Kapag tinakbo ni Achilles ang segment na ito, ang distansya sa pagitan niya at ng pagong ay magiging katumbas ng l (u / v) 2, atbp. Lumalabas na ang paghabol sa pagong ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad sa una. term l at ang denominator u / v. Ang kabuuan na ito - ang segment na sa huli ay tatakbo ni Achilles sa meeting point kasama ang pagong - ay katumbas ng l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ngunit, muli, kung paano dapat bigyang-kahulugan ang resulta na ito at kung bakit ito ay may anumang kahulugan, ay hindi masyadong malinaw sa loob ng mahabang panahon.

kanin. 3. Geometric progression na may coefficient 2/3

Ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad ay ginamit ni Archimedes kapag tinutukoy ang lugar ng isang segment ng isang parabola. Hayaang ang ibinigay na segment ng parabola ay ma-delimited ng chord AB at hayaan ang padaplis sa punto D ng parabola ay parallel sa AB. Hayaang C ang midpoint ng AB , E ang midpoint ng AC , F ang midpoint ng CB . Gumuhit ng mga linya parallel sa DC sa pamamagitan ng mga puntos A , E , F , B ; hayaan ang padaplis na iguguhit sa punto D , ang mga linyang ito ay magsalubong sa mga puntong K , L , M , N . Gumuhit din tayo ng mga segment na AD at DB. Hayaang magsalubong ang linyang EL sa linyang AD sa puntong G, at ang parabola sa puntong H; Ang linya ng FM ay nag-intersect sa linya ng DB sa puntong Q, at ang parabola sa puntong R. Ayon kay pangkalahatang teorya conic na mga seksyon, ang DC ay ang diameter ng parabola (iyon ay, isang segment na kahanay sa axis nito); ito at ang tangent sa punto D ay maaaring magsilbi bilang coordinate axes x at y, kung saan ang parabola equation ay nakasulat bilang y 2 \u003d 2px (x ay ang distansya mula sa D hanggang sa anumang punto ng isang binigay na diameter, y ang haba ng isang segment parallel sa isang binigay na tangent mula sa puntong ito ng diameter hanggang sa ilang punto sa parabola mismo).

Sa bisa ng parabola equation, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , at dahil DK = 2DL , pagkatapos KA = 4LH . Dahil KA = 2LG , LH = HG . Ang lugar ng segment na ADB ng parabola ay katumbas ng lugar ng tatsulok na ΔADB at ang mga lugar ng mga segment na pinagsama ng AHD at DRB. Kaugnay nito, ang lugar ng segment na AHD ay katulad na katumbas ng lugar ng tatsulok na AHD at ang natitirang mga segment na AH at HD, kung saan ang bawat isa ay maaaring maisagawa ang parehong operasyon - hatiin sa isang tatsulok (Δ) at ang dalawang natitirang mga segment (), atbp.:

Ang lugar ng tatsulok ΔAHD ay katumbas ng kalahati ng lugar ng tatsulok ΔALD (mayroon silang isang karaniwang base AD, at ang taas ay naiiba ng 2 beses), na, naman, ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ​ang tatsulok ΔAKD, at samakatuwid ay kalahati ng lugar ng tatsulok ΔACD. Kaya, ang lugar ng tatsulok ΔAHD ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng tatsulok ΔACD. Gayundin, ang lugar ng tatsulok ΔDRB ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng tatsulok ΔDFB. Kaya, ang mga lugar ng triangles ∆AHD at ∆DRB, na pinagsama, ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng triangle ∆ADB. Ang pag-uulit ng operasyong ito bilang inilapat sa mga segment na AH , HD , DR at RB ay pipili din ng mga tatsulok mula sa kanila, ang lugar kung saan, kapag pinagsama-sama, ay magiging 4 na beses na mas mababa kaysa sa lugar ng mga triangles ΔAHD at ΔDRB, na kinuha. magkasama, at samakatuwid ay 16 beses na mas kaunti, kaysa sa lugar ng tatsulok ΔADB . At iba pa:

Kaya, pinatunayan ni Archimedes na "bawat segment na nakapaloob sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang parabola ay apat na katlo ng isang tatsulok na may parehong base at pantay na taas dito."

Pagtuturo

10, 30, 90, 270...

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang denominator ng isang geometric progression.
Solusyon:

1 opsyon. Kumuha tayo ng di-makatwirang miyembro ng progression (halimbawa, 90) at hatiin ito sa nauna (30): 90/30=3.

Kung ang kabuuan ng ilang mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad o ang kabuuan ng lahat ng mga miyembro ng isang pababang geometriko na pag-unlad ay kilala, kung gayon upang mahanap ang denominator ng pag-unlad, gamitin ang mga naaangkop na formula:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kung saan ang Sn ay ang kabuuan ng unang n termino ng geometric progression at
S = b1/(1-q), kung saan ang S ay ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad (ang kabuuan ng lahat ng miyembro ng progress na may denominator na mas mababa sa isa).
Halimbawa.

Ang unang termino ng isang bumababang geometric na pag-unlad ay katumbas ng isa, at ang kabuuan ng lahat ng mga termino nito ay katumbas ng dalawa.

Kinakailangang matukoy ang denominator ng pag-unlad na ito.
Solusyon:

Palitan ang data mula sa gawain sa formula. Kunin:
2=1/(1-q), kung saan – q=1/2.

Ang pag-unlad ay isang pagkakasunod-sunod ng mga numero. Sa isang geometric na pag-unlad, ang bawat kasunod na termino ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng nauna sa isang tiyak na numero q, na tinatawag na denominator ng pag-unlad.

Pagtuturo

Kung kilala ang dalawang kalapit na miyembro ng geometric b(n+1) at b(n), upang makuha ang denominator, kailangang hatiin ang numerong may malaking bilang sa nauna rito: q=b(n +1)/b(n). Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng progression at ang denominator nito. Ang isang mahalagang kondisyon ay ang unang termino at denominator ng pag-unlad ay hindi katumbas ng zero, kung hindi, ito ay itinuturing na walang katiyakan.

Kaya, ang mga sumusunod na ugnayan ay itinatag sa pagitan ng mga miyembro ng progression: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Sa pamamagitan ng formula b(n)=b1 q^(n-1) maaaring kalkulahin ang sinumang miyembro ng geometric progression, kung saan kilala ang denominator q at ang miyembrong b1. Gayundin, ang bawat isa sa progression modulo ay katumbas ng average ng mga kalapit na miyembro nito: |b(n)|=√, kaya nakuha ng progression ang .

Ang analogue ng isang geometric progression ay ang pinakasimpleng exponential function na y=a^x, kung saan ang x ay nasa exponent, a ay ilang numero. Sa kasong ito, ang denominator ng progression ay tumutugma sa unang termino at katumbas ng bilang a. Ang halaga ng function na y ay mauunawaan bilang ang ika-1 miyembro ng progression, kung ang argumentong x ay kinuha bilang natural na numero n (counter).

Umiiral para sa kabuuan ng unang n miyembro ng isang geometric na pag-unlad: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ang formula na ito ay may bisa para sa q≠1. Kung q=1, kung gayon ang kabuuan ng unang n termino ay kinakalkula ng formula na S(n)=n b1. Sa pamamagitan ng paraan, ang pag-unlad ay tatawaging pagtaas para sa q na higit sa isa at positibong b1. Kapag ang denominator ng progression, modulo na hindi hihigit sa isa, ang progression ay tatawaging decreasing.

Ang isang espesyal na kaso ng isang geometric na pag-unlad ay isang walang katapusang pagbaba ng geometriko na pag-unlad (b.u.g.p.). Ang katotohanan ay ang mga miyembro ng isang bumababang geometric na pag-unlad ay bababa nang paulit-ulit, ngunit hindi kailanman aabot sa zero. Sa kabila nito, posibleng mahanap ang kabuuan ng lahat ng mga tuntunin ng naturang pag-unlad. Ito ay tinutukoy ng formula S=b1/(1-q). Ang kabuuang bilang ng mga miyembro n ay walang hanggan.

Upang mailarawan kung paano ka makakapagdagdag ng walang katapusang bilang ng mga numero at hindi makakuha ng infinity, maghurno ng cake. Putulin ang kalahati nito. Pagkatapos ay gupitin ang 1/2 mula sa kalahati, at iba pa. Ang mga piraso na makukuha mo ay hindi hihigit sa mga miyembro ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na may denominator na 1/2. Kung pinagsama mo ang lahat ng mga pirasong ito, makukuha mo ang orihinal na cake.

Ang mga problema sa geometry ay isang espesyal na uri ng ehersisyo na nangangailangan ng spatial na pag-iisip. Kung hindi mo malutas ang geometric gawain subukang sundin ang mga patakaran sa ibaba.

Pagtuturo

Basahin nang mabuti ang kalagayan ng problema, kung hindi mo naaalala o hindi naiintindihan ang isang bagay, basahin itong muli.

Subukan upang matukoy kung anong uri ng mga geometric na problema ito, halimbawa: computational, kapag kailangan mong malaman ang ilang halaga, mga gawain para sa pag-aatas ng isang lohikal na kadena ng pangangatwiran, mga gawain para sa pagbuo gamit ang isang compass at ruler. Mas magkakahalong problema. Kapag naisip mo na ang uri ng problema, subukang mag-isip nang lohikal.

Ilapat ang kinakailangang teorama para sa problemang ito, kung may mga pagdududa o walang mga pagpipilian, pagkatapos ay subukang alalahanin ang teorya na iyong pinag-aralan sa nauugnay na paksa.

Gumawa din ng draft ng problema. Subukang gumamit ng mga kilalang pamamaraan upang suriin ang kawastuhan ng iyong solusyon.

Kumpletuhin ang solusyon ng problema nang maayos sa isang kuwaderno, nang walang mga blots at strikethrough, at higit sa lahat -. Marahil ay kakailanganin ng oras at pagsisikap upang malutas ang mga unang geometric na problema. Gayunpaman, kapag nasanay ka na sa prosesong ito, magsisimula kang mag-click sa mga gawain tulad ng mga mani at magsaya sa paggawa nito!

Ang geometric progression ay isang pagkakasunod-sunod ng mga numero b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) na ang b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Sa madaling salita, ang bawat miyembro ng progression ay nakukuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa ilang non-zero denominator ng progression q.

Pagtuturo

Ang mga problema sa isang progression ay kadalasang nalulutas sa pamamagitan ng pag-compile at pagsunod sa isang sistema na may kinalaman sa unang termino ng progression b1 at ang denominator ng progression q. Upang magsulat ng mga equation, kapaki-pakinabang na tandaan ang ilang mga formula.

Paano ipahayag ang n-th na miyembro ng progression sa pamamagitan ng unang miyembro ng progression at ang denominator ng progression: b(n)=b1*q^(n-1).

Isaalang-alang nang hiwalay ang kaso |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Isaalang-alang natin ang isang serye.

7 28 112 448 1792...

Ito ay ganap na malinaw na ang halaga ng alinman sa mga elemento nito ay eksaktong apat na beses na mas malaki kaysa sa nauna. Kaya ang seryeng ito ay isang pag-unlad.

Ang isang geometric na pag-unlad ay isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang pangunahing tampok kung saan ang susunod na numero ay nakuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagpaparami ng ilang partikular na numero. Ito ay ipinahayag ng sumusunod na pormula.

a z +1 =a z q, kung saan ang z ay ang bilang ng napiling elemento.

Alinsunod dito, ang z ∈ N.

Ang panahon kung kailan pinag-aaralan ang isang geometric progression sa paaralan ay grade 9. Tutulungan ka ng mga halimbawa na maunawaan ang konsepto:

0.25 0.125 0.0625...

Batay sa formula na ito, ang denominator ng pag-unlad ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Ang alinman sa q o b z ay hindi maaaring maging zero. Gayundin, ang bawat isa sa mga elemento ng pag-unlad ay hindi dapat katumbas ng zero.

Alinsunod dito, upang malaman ang susunod na numero sa serye, kailangan mong i-multiply ang huli sa q.

Upang tukuyin ang pag-unlad na ito, dapat mong tukuyin ang unang elemento at denominator nito. Pagkatapos nito, posibleng mahanap ang alinman sa mga kasunod na termino at ang kanilang kabuuan.

Mga uri

Depende sa q at a 1, ang pag-unlad na ito ay nahahati sa ilang uri:

• Kung pareho ang isang 1 at q ay mas malaki sa isa, kung gayon ang gayong pagkakasunod-sunod ay isang geometric na pag-unlad na tumataas sa bawat susunod na elemento. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: a 1 =3, q=2 - ang parehong mga parameter ay mas malaki kaysa sa isa.

Pagkatapos ang numerical sequence ay maaaring isulat tulad nito:

3 6 12 24 48 ...

• Kung |q| mas mababa sa isa, iyon ay, ang pagpaparami nito ay katumbas ng paghahati, pagkatapos ang isang pag-unlad na may katulad na mga kondisyon ay isang bumababa na geometric na pag-unlad. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ay mas malaki kaysa sa isa, q ay mas mababa.

Pagkatapos ang numerical sequence ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

6 2 2/3 ... - anumang elemento ay 3 beses na mas malaki kaysa sa elementong sumusunod dito.

• Sign-variable. Kung q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Halimbawa: a 1 = -3 , q = -2 - parehong mga parameter ay mas mababa sa zero.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat tulad nito:

3, 6, -12, 24,...

Mga pormula

Para sa maginhawang paggamit ng mga geometric na pag-unlad, maraming mga formula:

• Formula ng z-th na miyembro. Binibigyang-daan kang kalkulahin ang elemento sa ilalim ng isang partikular na numero nang hindi kinakalkula ang mga nakaraang numero.

Halimbawa:q = 3, a 1 = 4. Kinakailangang kalkulahin ang ikaapat na elemento ng progression.

Solusyon:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Ang kabuuan ng mga unang elemento na ang bilang ay z. Binibigyang-daan kang kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng elemento ng isang sequence hanggang saisang zkasama.

Mula noong (1-q) ay nasa denominator, pagkatapos ay (1 - q)≠ 0, kaya ang q ay hindi katumbas ng 1.

Tandaan: kung q=1, kung gayon ang pag-unlad ay isang serye ng isang walang katapusang umuulit na numero.

Ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, mga halimbawa:a 1 = 2, q= -2. Kalkulahin ang S 5 .

Solusyon:S 5 = 22 - pagkalkula sa pamamagitan ng formula.

• Halaga kung |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Halimbawa:a 1 = 2 , q= 0.5. Hanapin ang halaga.

Solusyon:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ilang pag-aari:

• katangian ng ari-arian. Kung ang sumusunod na kondisyon ginanap para sa alinmanz, kung gayon ang ibinigay na serye ng numero ay isang geometric na pag-unlad:

isang z 2 = isang z -1 · az+1

• Gayundin, ang parisukat ng anumang bilang ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga parisukat ng anumang iba pang dalawang numero sa isang naibigay na serye, kung ang mga ito ay katumbas ng layo mula sa elementong ito.

isang z 2 = isang z - t 2 + isang z + t 2 , Saantay ang distansya sa pagitan ng mga numerong ito.

• Mga elementonaiiba sa qminsan.
• Ang logarithms ng mga elemento ng pag-unlad ay bumubuo rin ng isang pag-unlad, ngunit mayroon nang aritmetika, iyon ay, ang bawat isa sa kanila ay mas malaki kaysa sa nauna sa pamamagitan ng isang tiyak na numero.

Mga halimbawa ng ilang klasikal na problema

Para mas maunawaan kung ano ang geometric progression, makakatulong ang mga halimbawa na may solusyon para sa grade 9.

• Kundisyon:a 1 = 3, a 3 = 48. Hanapinq.

Solusyon: ang bawat kasunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna saq minsan.Kinakailangang ipahayag ang ilang elemento sa pamamagitan ng iba gamit ang denominator.

Kaya naman,a 3 = q 2 · a 1

Kapag nagpapalitq= 4

• Kundisyon:a 2 = 6, a 3 = 12. Kalkulahin ang S 6 .

Solusyon:Upang gawin ito, sapat na upang mahanap ang q, ang unang elemento at palitan ito sa formula.

a 3 = q· a 2 , samakatuwid,q= 2

a 2 = q isang 1,kaya lang a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Hanapin ang ikaapat na elemento ng progression.

Solusyon: upang gawin ito, sapat na upang ipahayag ang ikaapat na elemento sa pamamagitan ng una at sa pamamagitan ng denominator.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Halimbawa ng aplikasyon:

• Ang kliyente ng bangko ay nagdeposito sa halagang 10,000 rubles, sa ilalim ng mga tuntunin kung saan bawat taon ang kliyente ay magdaragdag ng 6% nito sa pangunahing halaga. Magkano ang pera sa account pagkatapos ng 4 na taon?

Solusyon: Ang paunang halaga ay 10 libong rubles. Kaya, isang taon pagkatapos ng pamumuhunan, ang account ay magkakaroon ng halagang katumbas ng 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Alinsunod dito, ang halaga sa account pagkatapos ng isa pang taon ay ihahayag tulad ng sumusunod:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

Iyon ay, bawat taon ang halaga ay tumataas ng 1.06 beses. Nangangahulugan ito na upang mahanap ang halaga ng mga pondo sa account pagkatapos ng 4 na taon, sapat na upang mahanap ang ikaapat na elemento ng pag-unlad, na ibinibigay ng unang elemento na katumbas ng 10 libo, at ang denominator ay katumbas ng 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Mga halimbawa ng mga gawain para sa pagkalkula ng kabuuan:

Sa iba't ibang mga problema, ginagamit ang isang geometric na pag-unlad. Ang isang halimbawa para sa paghahanap ng kabuuan ay maaaring ibigay tulad ng sumusunod:

a 1 = 4, q= 2, kalkulahinS5.

Solusyon: ang lahat ng data na kinakailangan para sa pagkalkula ay kilala, kailangan mo lamang na palitan ang mga ito sa formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Kalkulahin ang kabuuan ng unang anim na elemento.

Solusyon:

Geom. pag-unlad, ang bawat susunod na elemento ay q beses na mas malaki kaysa sa nauna, iyon ay, upang kalkulahin ang kabuuan, kailangan mong malaman ang elementoa 1 at denominadorq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Katulad nito, kailangan nating hanapina 1 , alama 2 Atq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.