Paglalahad ng Problema 2:

Ibinigay ang isang function na tinukoy at tuloy-tuloy sa ilang pagitan. Kinakailangang hanapin ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa pagitan na ito.

Batayang teoretikal.
Theorem (Ikalawang Weierstrass Theorem):

Kung ang isang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang saradong agwat , pagkatapos ay maabot nito ang pinakamataas at pinakamababang halaga nito sa agwat na ito.

Maaaring maabot ng function ang pinakamataas at pinakamababang halaga nito alinman sa mga panloob na punto ng pagitan o sa mga hangganan nito. Ilarawan natin ang lahat ng posibleng opsyon.

Paliwanag:
1) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa kaliwang hangganan ng pagitan sa punto , at ang pinakamababang halaga nito sa kanang hangganan ng pagitan sa punto .
2) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa punto (ito ang pinakamataas na punto), at ang pinakamababang halaga nito sa kanang hangganan ng pagitan sa punto.
3) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa kaliwang hangganan ng pagitan sa punto , at ang pinakamababang halaga nito sa punto (ito ang pinakamababang punto).
4) Ang function ay pare-pareho sa pagitan, i.e. naabot nito ang pinakamababa at pinakamataas na halaga nito sa anumang punto sa pagitan, at ang minimum at maximum na mga halaga ay katumbas ng bawat isa.
5) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa punto , at ang pinakamababang halaga nito sa punto (sa kabila ng katotohanan na ang function ay may parehong maximum at minimum sa pagitan na ito).
6) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa isang punto (ito ang pinakamataas na punto), at ang pinakamababang halaga nito sa isang punto (ito ang pinakamababang punto).
Komento:

Ang "maximum" at "maximum value" ay magkaibang bagay. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng maximum at ang intuitive na pag-unawa sa pariralang "maximum na halaga".

Algorithm para sa paglutas ng problema 2.



4) Piliin sa mga nakuhang halaga ang pinakamalaki (pinakamaliit) at isulat ang sagot.

Halimbawa 4:

Tukuyin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa segment.
Desisyon:
1) Hanapin ang derivative ng function.

2) Maghanap ng mga nakatigil na punto (at mga puntong kahina-hinala ng isang extremum) sa pamamagitan ng paglutas sa equation . Bigyang-pansin ang mga punto kung saan walang two-sided finite derivative.

3) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga nakatigil na punto at sa mga hangganan ng pagitan.

4) Piliin sa mga nakuhang halaga ang pinakamalaki (pinakamaliit) at isulat ang sagot.

Naabot ng function sa segment na ito ang pinakamataas na halaga nito sa puntong may mga coordinate .

Naabot ng function sa segment na ito ang pinakamababang halaga nito sa puntong may mga coordinate .

Maaari mong i-verify ang kawastuhan ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagtingin sa graph ng function na pinag-aaralan.


Komento: Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa pinakamataas na punto, at ang pinakamababang halaga sa hangganan ng segment.

Espesyal na kaso.

Ipagpalagay na gusto mong mahanap ang maximum at minimum na halaga ng ilang function sa isang segment. Pagkatapos ng pagpapatupad ng unang talata ng algorithm, i.e. pagkalkula ng derivative, nagiging malinaw na, halimbawa, nangangailangan lamang ng mga negatibong halaga sa buong segment na isinasaalang-alang. Tandaan na kung negatibo ang derivative, bumababa ang function. Nalaman namin na ang function ay bumababa sa buong agwat. Ang sitwasyong ito ay ipinapakita sa tsart No. 1 sa simula ng artikulo.

Bumababa ang function sa pagitan, i.e. wala itong extremum points. Makikita mula sa larawan na ang function ay kukuha ng pinakamaliit na halaga sa kanang hangganan ng segment, at ang pinakamalaking halaga sa kaliwa. kung ang derivative sa pagitan ay positibo sa lahat ng dako, ang function ay tumataas. Ang pinakamaliit na halaga ay nasa kaliwang hangganan ng segment, ang pinakamalaki ay nasa kanan.

Hayaang tukuyin at tuluy-tuloy ang function na $z=f(x,y)$ sa ilang bounded closed domain na $D$. Hayaan ang ibinigay na function na magkaroon ng may hangganang partial derivatives ng unang pagkakasunud-sunod sa rehiyong ito (maliban sa isang may hangganang bilang ng mga puntos). Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ng dalawang variable sa isang ibinigay na saradong rehiyon, tatlong hakbang ng isang simpleng algorithm ang kinakailangan.

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function na $z=f(x,y)$ sa closed domain na $D$.

1. Hanapin ang mga kritikal na punto ng function na $z=f(x,y)$ na kabilang sa rehiyong $D$. I-compute ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto.
2. Siyasatin ang pag-uugali ng function na $z=f(x,y)$ sa hangganan ng domain na $D$ sa pamamagitan ng paghahanap ng mga punto ng posibleng maximum at minimum na halaga. Kalkulahin ang mga halaga ng function sa nakuha na mga punto.
3. Mula sa mga halaga ng function na nakuha sa nakaraang dalawang talata, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.

Ano ang mga kritikal na puntos? Ipakita itago

Sa ilalim kritikal na mga punto nagpapahiwatig ng mga punto kung saan ang parehong first-order na partial derivatives ay katumbas ng zero (i.e. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ at $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o hindi bababa sa isang partial derivative ang hindi umiiral.

Kadalasan ang mga punto kung saan ang mga first-order na partial derivatives ay katumbas ng zero ay tinatawag nakatigil na mga punto. Kaya, ang mga nakatigil na puntos ay isang subset ng mga kritikal na punto.

Halimbawa #1

Hanapin ang maximum at minimum na halaga ng function na $z=x^2+2xy-y^2-4x$ sa saradong rehiyon na nililimitahan ng mga linyang $x=3$, $y=0$ at $y=x +1$.

Susundin natin ang nasa itaas, ngunit haharapin muna natin ang pagguhit ng isang partikular na lugar, na tutukuyin natin ng titik $D$. Binigyan tayo ng mga equation ng tatlong tuwid na linya, na naglilimita sa lugar na ito. Ang tuwid na linya na $x=3$ ay dumadaan sa puntong $(3;0)$ na kahanay ng y-axis (axis Oy). Ang tuwid na linya $y=0$ ay ang equation ng abscissa axis (Ox axis). Buweno, upang makabuo ng isang tuwid na linya $y=x+1$, hanapin natin ang dalawang punto kung saan iguguhit natin ang tuwid na linyang ito. Maaari mong, siyempre, palitan ang isang pares ng mga arbitrary na halaga sa halip na $x$. Halimbawa, ang pagpapalit ng $x=10$, makakakuha tayo ng: $y=x+1=10+1=11$. Natagpuan namin ang puntong $(10;11)$ na nakahiga sa linyang $y=x+1$. Gayunpaman, mas mainam na hanapin ang mga puntong iyon kung saan ang linyang $y=x+1$ ay nag-intersect sa mga linyang $x=3$ at $y=0$. Bakit mas maganda? Dahil maglalatag tayo ng isang pares ng mga ibon na may isang bato: makakakuha tayo ng dalawang puntos para sa pagbuo ng tuwid na linya $y=x+1$ at sa parehong oras ay alamin kung anong mga punto ang tuwid na linyang ito ay nagsalubong sa iba pang mga linya na nakatali sa ibinigay lugar. Ang linyang $y=x+1$ ay nag-intersect sa linyang $x=3$ sa puntong $(3;4)$, at sa linyang $y=0$ - sa puntong $(-1;0)$. Upang hindi magulo ang kurso ng solusyon sa mga pantulong na paliwanag, ilalagay ko ang tanong sa pagkuha ng dalawang puntong ito sa isang tala.

Paano nakuha ang mga puntos na $(3;4)$ at $(-1;0)$? Ipakita itago

Magsimula tayo sa punto ng intersection ng mga linyang $y=x+1$ at $x=3$. Ang mga coordinate ng nais na punto ay nabibilang sa una at pangalawang linya, kaya upang makahanap ng hindi kilalang mga coordinate, kailangan mong lutasin ang sistema ng mga equation:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Ang solusyon ng naturang sistema ay walang halaga: ang pagpapalit ng $x=3$ sa unang equation na magkakaroon tayo ng: $y=3+1=4$. Ang puntong $(3;4)$ ay ang gustong intersection point ng mga linyang $y=x+1$ at $x=3$.

Ngayon, hanapin natin ang punto ng intersection ng mga linyang $y=x+1$ at $y=0$. Muli, binubuo at nilulutas namin ang sistema ng mga equation:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Ang pagpapalit ng $y=0$ sa unang equation, makakakuha tayo ng: $0=x+1$, $x=-1$. Ang puntong $(-1;0)$ ay ang gustong intersection point ng mga linyang $y=x+1$ at $y=0$ (abscissa axis).

Ang lahat ay handa na upang bumuo ng isang pagguhit na magiging ganito:

Ang tanong ng tala ay tila halata, dahil ang lahat ay makikita mula sa pigura. Gayunpaman, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagguhit ay hindi maaaring magsilbing ebidensya. Ang figure ay isang paglalarawan lamang para sa kalinawan.

Ang aming lugar ay itinakda gamit ang mga equation ng mga linya na naglilimita dito. Malinaw na ang mga linyang ito ay tumutukoy sa isang tatsulok, hindi ba? O hindi masyadong halata? O marahil ay binibigyan tayo ng ibang lugar, na may hangganan ng parehong mga linya:

Syempre sabi sa kondisyon ay sarado ang lugar kaya mali ang ipinakitang larawan. Ngunit upang maiwasan ang gayong mga kalabuan, mas mahusay na tukuyin ang mga rehiyon sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay. Interesado kami sa bahagi ng eroplano na matatagpuan sa ilalim ng linyang $y=x+1$? Ok, kaya $y ≤ x+1$. Ang aming lugar ay dapat na matatagpuan sa itaas ng linya $y=0$? Mahusay, kaya $y ≥ 0$. Sa pamamagitan ng paraan, ang huling dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay madaling pinagsama sa isa: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay tumutukoy sa domain na $D$, at natatangi itong tinukoy, nang walang anumang mga kalabuan. Ngunit paano ito nakakatulong sa atin sa tanong sa simula ng talababa? Makakatulong din ito :) Kailangan nating suriin kung ang puntong $M_1(1;1)$ ay kabilang sa rehiyong $D$. Ipalit natin ang $x=1$ at $y=1$ sa sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa rehiyong ito. Kung ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan, kung gayon ang punto ay nasa loob ng rehiyon. Kung hindi bababa sa isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan, kung gayon ang punto ay hindi nabibilang sa rehiyon. Kaya:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Ang puntong $M_1(1;1)$ ay kabilang sa rehiyong $D$.

Ngayon ay ang turn upang siyasatin ang pag-uugali ng function sa hangganan ng domain, i.e. pumunta sa. Magsimula tayo sa tuwid na linya $y=0$.

Nililimitahan ng tuwid na linya na $y=0$ (abscissa axis) ang rehiyong $D$ sa ilalim ng kundisyong $-1 ≤ x ≤ 3$. Palitan ang $y=0$ sa ibinigay na function na $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Ang resultang pagpapalit ng function ng isang variable na $x$ ay ituturing bilang $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Ngayon para sa function na $f_1(x)$ kailangan nating hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa pagitan na $-1 ≤ x ≤ 3$. Hanapin ang derivative ng function na ito at i-equate ito sa zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Ang value na $x=2$ ay kabilang sa segment na $-1 ≤ x ≤ 3$, kaya idinaragdag din namin ang $M_2(2;0)$ sa listahan ng mga puntos. Bilang karagdagan, kinakalkula namin ang mga halaga ng function na $z$ sa mga dulo ng segment na $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. sa mga puntos na $M_3(-1;0)$ at $M_4(3;0)$. Sa pamamagitan ng paraan, kung ang puntong $M_2$ ay hindi kabilang sa segment na isinasaalang-alang, kung gayon, siyempre, hindi na kailangang kalkulahin ang halaga ng function na $z$ sa loob nito.

Kaya, kalkulahin natin ang mga halaga ng function na $z$ sa mga puntos na $M_2$, $M_3$, $M_4$. Siyempre, maaari mong palitan ang mga coordinate ng mga puntong ito sa orihinal na expression na $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Halimbawa, para sa puntong $M_2$ nakukuha natin:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Gayunpaman, ang mga kalkulasyon ay maaaring gawing simple nang kaunti. Upang gawin ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na sa segment na $M_3M_4$ mayroon kaming $z(x,y)=f_1(x)$. Iisa-isahin ko ito nang detalyado:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(nakahanay)

Siyempre, kadalasan ay hindi na kailangan para sa mga detalyadong talaan, at sa hinaharap ay magsisimula kaming isulat ang lahat ng mga kalkulasyon sa mas maikling paraan:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Ngayon lumiko tayo sa tuwid na linya $x=3$. Nililimitahan ng linyang ito ang domain na $D$ sa ilalim ng kundisyong $0 ≤ y ≤ 4$. Palitan ang $x=3$ sa ibinigay na function na $z$. Bilang resulta ng naturang pagpapalit, nakukuha natin ang function na $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Para sa function na $f_2(y)$, kailangan mong hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value sa pagitan na $0 ≤ y ≤ 4$. Hanapin ang derivative ng function na ito at i-equate ito sa zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Ang value na $y=3$ ay nabibilang sa segment na $0 ≤ y ≤ 4$, kaya idinagdag namin ang $M_5(3;3)$ sa mga puntos na nakita kanina. Bilang karagdagan, kinakailangang kalkulahin ang halaga ng function na $z$ sa mga punto sa dulo ng segment na $0 ≤ y ≤ 4$, i.e. sa mga puntos na $M_4(3;0)$ at $M_6(3;4)$. Sa puntong $M_4(3;0)$ nakalkula na namin ang halaga ng $z$. Kalkulahin natin ang halaga ng function na $z$ sa mga puntos na $M_5$ at $M_6$. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na sa segment na $M_4M_6$ mayroon tayong $z(x,y)=f_2(y)$, samakatuwid:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(nakahanay)

At, sa wakas, isaalang-alang ang huling hangganan ng $D$, ibig sabihin. linyang $y=x+1$. Nililimitahan ng linyang ito ang rehiyong $D$ sa ilalim ng kondisyong $-1 ≤ x ≤ 3$. Ang pagpapalit ng $y=x+1$ sa function na $z$, magkakaroon tayo ng:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Muli ay mayroon tayong function ng isang variable na $x$. At muli, kailangan mong hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na ito sa segment na $-1 ≤ x ≤ 3$. Hanapin ang derivative ng function na $f_(3)(x)$ at i-equate ito sa zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Ang halagang $x=1$ ay kabilang sa pagitan na $-1 ≤ x ≤ 3$. Kung $x=1$, pagkatapos ay $y=x+1=2$. Idagdag natin ang $M_7(1;2)$ sa listahan ng mga puntos at alamin kung ano ang halaga ng function na $z$ sa puntong ito. Ang mga punto sa dulo ng segment na $-1 ≤ x ≤ 3$, ibig sabihin. ang mga puntos na $M_3(-1;0)$ at $M_6(3;4)$ ay isinaalang-alang nang mas maaga, nahanap na namin ang halaga ng function sa kanila.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Ang ikalawang hakbang ng solusyon ay nakumpleto. Nakakuha kami ng pitong halaga:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Lumiko tayo sa. Ang pagpili ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga mula sa mga bilang na nakuha sa ikatlong talata, magkakaroon tayo ng:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Ang problema ay nalutas, ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

Sagot: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Halimbawa #2

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function na $z=x^2+y^2-12x+16y$ sa rehiyon na $x^2+y^2 ≤ 25$.

Bumuo muna tayo ng drawing. Ang equation na $x^2+y^2=25$ (ito ang boundary line ng ibinigay na lugar) ay tumutukoy sa isang bilog na may sentro sa pinanggalingan (i.e. sa puntong $(0;0)$) at isang radius ng 5. Ang hindi pagkakapantay-pantay na $x^2 +y^2 ≤ 25$ ay nakakatugon sa lahat ng puntos sa loob at sa nabanggit na bilog.

Aaksyunan namin. Maghanap tayo ng mga partial derivatives at alamin ang mga kritikal na punto.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Walang mga punto kung saan hindi umiiral ang mga nahanap na partial derivatives. Alamin natin kung anong mga punto ang parehong partial derivatives ay magkasabay na katumbas ng zero, i.e. maghanap ng mga nakatigil na puntos.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$

Nakakuha kami ng nakatigil na punto $(6;-8)$. Gayunpaman, ang nahanap na punto ay hindi kabilang sa rehiyong $D$. Ito ay madaling ipakita nang hindi man lang gumagamit ng pagguhit. Suriin natin kung ang hindi pagkakapantay-pantay na $x^2+y^2 ≤ 25$, na tumutukoy sa aming domain na $D$, ay humahawak. Kung $x=6$, $y=-8$, pagkatapos ay $x^2+y^2=36+64=100$, ibig sabihin. ang hindi pagkakapantay-pantay na $x^2+y^2 ≤ 25$ ay hindi nasiyahan. Konklusyon: ang puntong $(6;-8)$ ay hindi kabilang sa rehiyong $D$.

Kaya, walang mga kritikal na punto sa loob ng $D$. Let's move on, to. Kailangan nating imbestigahan ang pag-uugali ng function sa hangganan ng ibinigay na lugar, i.e. sa bilog na $x^2+y^2=25$. Maaari mong, siyempre, ipahayag ang $y$ sa mga tuntunin ng $x$, at pagkatapos ay palitan ang resultang expression sa aming function na $z$. Mula sa equation ng bilog ay nakukuha natin ang: $y=\sqrt(25-x^2)$ o $y=-\sqrt(25-x^2)$. Ang pagpapalit, halimbawa, $y=\sqrt(25-x^2)$ sa ibinigay na function, magkakaroon tayo ng:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Ang karagdagang solusyon ay magiging ganap na magkapareho sa pag-aaral ng pag-uugali ng function sa hangganan ng rehiyon sa nakaraang halimbawa No. 1. Gayunpaman, para sa akin ay mas makatwiran sa sitwasyong ito na ilapat ang pamamaraang Lagrange. Kami ay interesado lamang sa unang bahagi ng pamamaraang ito. Pagkatapos ilapat ang unang bahagi ng pamamaraang Lagrange, nakukuha namin ang mga punto kung saan sinusuri namin ang function na $z$ para sa pinakamababa at pinakamataas na halaga.

Binubuo namin ang Lagrange function:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Nahanap namin ang mga partial derivatives ng Lagrange function at binubuo ang kaukulang sistema ng mga equation:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (nakahanay) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(aligned) \ kanan. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( nakahanay)\kanan.$$

Upang malutas ang sistemang ito, agad nating ipahiwatig na ang $\lambda\neq -1$. Bakit $\lambda\neq -1$? Subukan nating palitan ang $\lambda=-1$ sa unang equation:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Ang resultang kontradiksyon na $0=6$ ay nagsasabi na ang halagang $\lambda=-1$ ay hindi wasto. Output: $\lambda\neq -1$. Ipahayag natin ang $x$ at $y$ sa mga tuntunin ng $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(nakahanay)

Naniniwala ako na nagiging malinaw dito kung bakit partikular naming itinakda ang kondisyong $\lambda\neq -1$. Ginawa ito upang magkasya ang expression na $1+\lambda$ sa mga denominator nang walang panghihimasok. Iyon ay, upang matiyak na ang denominator ay $1+\lambda\neq 0$.

Ipalit natin ang nakuhang expression para sa $x$ at $y$ sa ikatlong equation ng system, i.e. sa $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Ito ay sumusunod mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay na $1+\lambda=2$ o $1+\lambda=-2$. Kaya, mayroon kaming dalawang value ng parameter na $\lambda$, ibig sabihin: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Alinsunod dito, nakakakuha kami ng dalawang pares ng mga halaga $x$ at $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(nakahanay)

Kaya, nakakuha kami ng dalawang puntos ng isang posibleng conditional extremum, i.e. $M_1(3;-4)$ at $M_2(-3;4)$. Hanapin ang mga halaga ng function na $z$ sa mga puntong $M_1$ at $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(nakahanay)

Dapat nating piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga mula sa mga nakuha natin sa una at pangalawang hakbang. Ngunit sa kasong ito maliit ang pagpipilian :) Meron tayong:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Sagot: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

Ang proseso ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang segment ay nagpapaalala sa isang kamangha-manghang paglipad sa paligid ng isang bagay (isang graph ng isang function) sa isang helicopter na may pagpapaputok mula sa isang long-range na kanyon sa ilang mga punto at pagpili mula sa ang mga puntong ito ay napakaespesyal na mga punto para sa mga control shot. Pinipili ang mga puntos sa isang tiyak na paraan at ayon sa ilang mga patakaran. Sa anong mga tuntunin? Pag-uusapan pa natin ito.

Kung ang function y = f(x) tuloy-tuloy sa segment [ a, b] , pagkatapos ay umabot ito sa segment na ito hindi bababa sa at pinakamataas na halaga . Maaaring mangyari ito sa matinding puntos o sa dulo ng segment. Samakatuwid, upang mahanap hindi bababa sa at ang pinakamalaking halaga ng function , tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b] , kailangan mong kalkulahin ang mga halaga nito sa lahat kritikal na mga punto at sa mga dulo ng segment, at pagkatapos ay piliin ang pinakamaliit at pinakamalaki sa kanila.

Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang matukoy ang maximum na halaga ng function f(x) sa segment [ a, b] . Upang gawin ito, hanapin ang lahat ng mga kritikal na punto nito na nasa [ a, b] .

kritikal na punto ay tinatawag na punto kung saan tinukoy ang function, at siya derivative ay alinman sa zero o wala. Pagkatapos ay dapat mong kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto. At, sa wakas, dapat ihambing ng isa ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment ( f(a) at f(b) ). Ang pinakamalaki sa mga bilang na ito ay magiging ang pinakamalaking halaga ng function sa pagitan [a, b] .

Ang problema sa paghahanap ang pinakamaliit na halaga ng function .

Hinahanap namin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function nang magkasama

Halimbawa 1. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 2] .

Desisyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito. I-equate ang derivative sa zero () at makakuha ng dalawang kritikal na puntos: at . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, sapat na upang kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa punto , dahil ang punto ay hindi kabilang sa segment [-1, 2] . Ang mga value ng function na ito ay ang mga sumusunod: , , . Sinusundan nito iyon pinakamaliit na halaga ng function(minarkahan ng pula sa graph sa ibaba), katumbas ng -7, ay naabot sa kanang dulo ng segment - sa punto , at pinakadakila(pula din sa graph), ay katumbas ng 9, - sa kritikal na punto .

Kung ang function ay tuloy-tuloy sa isang tiyak na agwat at ang agwat na ito ay hindi isang segment (ngunit, halimbawa, isang agwat; ang pagkakaiba sa pagitan ng isang agwat at isang segment: ang mga hangganan na punto ng agwat ay hindi kasama sa agwat, ngunit ang Ang mga hangganan ng mga punto ng segment ay kasama sa segment), pagkatapos ay kabilang sa mga halaga ng pag-andar ay maaaring walang pinakamaliit at pinakamalaki. Kaya, halimbawa, ang function na inilalarawan sa figure sa ibaba ay tuloy-tuloy sa ]-∞, +∞[ at walang pinakamalaking halaga.

Gayunpaman, para sa anumang agwat (sarado, bukas, o walang katapusan), ang sumusunod na katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar ay nananatili.

Halimbawa 4. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 3] .

Desisyon. Nakita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng quotient:

.

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay sa amin ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa pagitan [-1, 3] . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ihambing natin ang mga halagang ito. Konklusyon: katumbas ng -5/13, sa punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng 1 sa punto .

Patuloy kaming naghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng function nang magkasama

Mayroong mga guro na, sa paksa ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function, ay hindi nagbibigay sa mga mag-aaral ng mga halimbawa na mas kumplikado kaysa sa mga isinasaalang-alang lamang, iyon ay, ang mga kung saan ang function ay isang polynomial o isang fraction, ang numerator. at denominator nito ay mga polynomial. Ngunit hindi namin lilimitahan ang ating sarili sa gayong mga halimbawa, dahil sa mga guro ay may mga mahilig sa pag-iisip ng mga mag-aaral nang buo (talahanayan ng mga derivatives). Samakatuwid, ang logarithm at ang trigonometric function ay gagamitin.

Halimbawa 6. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Desisyon. Nakikita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng produkto :

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa segment. Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ang resulta ng lahat ng mga aksyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng 0, sa isang punto at sa isang punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng e² , sa punto .

Halimbawa 7. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Desisyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito:

I-equate ang derivative sa zero:

Ang tanging kritikal na punto ay nabibilang sa segment . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Konklusyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng , sa punto at ang pinakamalaking halaga, katumbas ng , sa punto .

Sa mga inilapat na matinding problema, ang paghahanap ng pinakamaliit (pinakamalaking) mga halaga ng function, bilang panuntunan, ay binabawasan sa paghahanap ng pinakamababa (maximum). Ngunit hindi ang minima o maxima mismo ang mas praktikal na interes, ngunit ang mga halaga ng argumento kung saan nakamit ang mga ito. Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, lumitaw ang isang karagdagang kahirapan - ang pagsasama-sama ng mga pag-andar na naglalarawan sa kababalaghan o proseso na isinasaalang-alang.

Halimbawa 8 Ang isang tangke na may kapasidad na 4, na may hugis ng parallelepiped na may parisukat na base at bukas sa itaas, ay dapat na tinned. Ano ang dapat na mga sukat ng tangke upang masakop ito ng hindi bababa sa dami ng materyal?

Desisyon. Hayaan x- gilid ng base h- taas ng tangke, S- ang ibabaw nito na walang takip, V- ang dami nito. Ang ibabaw na lugar ng tangke ay ipinahayag ng formula, i.e. ay isang function ng dalawang variable. Upang ipahayag S bilang isang function ng isang variable, ginagamit namin ang katotohanan na , kung saan . Pagpapalit sa nahanap na expression h sa pormula para sa S:

Suriin natin ang function na ito para sa isang extremum. Ito ay tinukoy at naiba sa lahat ng dako sa ]0, +∞[ , at

.

Itinutumbas namin ang derivative sa zero () at hanapin ang kritikal na punto. Bilang karagdagan, sa , ang derivative ay hindi umiiral, ngunit ang halagang ito ay hindi kasama sa domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi maaaring maging isang extremum point. Kaya, - ang tanging kritikal na punto. Suriin natin ito para sa pagkakaroon ng extremum gamit ang pangalawang sapat na pamantayan. Hanapin natin ang pangalawang derivative. Kapag ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero (). Nangangahulugan ito na kapag ang function ay umabot sa isang minimum . Dahil ito minimum - ang tanging extremum ng function na ito, ito ang pinakamaliit na halaga nito. Kaya, ang gilid ng base ng tangke ay dapat na katumbas ng 2 m, at ang taas nito.

Halimbawa 9 Mula sa talata A, na matatagpuan sa linya ng tren, hanggang sa punto Sa, sa malayo mula dito l, kailangang dalhin ang mga kalakal. Ang halaga ng pagbibiyahe ng isang yunit ng timbang sa bawat yunit ng distansya sa pamamagitan ng tren ay katumbas ng , at sa pamamagitan ng highway ito ay katumbas ng . Hanggang saang punto M ang linya ng riles ay dapat na gaganapin sa highway upang maghatid ng mga kargamento mula sa PERO sa Sa ay ang pinaka-ekonomiko AB ang riles ay ipinapalagay na tuwid)?

Ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na tinatanggap na halaga ng ordinate sa itinuturing na pagitan.

Upang mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang function, kailangan mong:

1. Suriin kung aling mga nakatigil na punto ang kasama sa ibinigay na segment.
2. Kalkulahin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa mga nakatigil na punto mula sa hakbang 3
3. Pumili mula sa mga resulta na nakuha ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga.

Upang mahanap ang maximum o minimum na puntos, kailangan mong:

1. Hanapin ang derivative ng function na $f"(x)$
2. Maghanap ng mga nakatigil na puntos sa pamamagitan ng paglutas ng equation na $f"(x)=0$
3. I-factor ang derivative ng isang function.
4. Gumuhit ng isang linya ng coordinate, ilagay ang mga nakatigil na puntos dito at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative sa nakuha na mga pagitan, gamit ang notasyon ng sugnay 3.
5. Hanapin ang maximum o minimum na mga puntos ayon sa panuntunan: kung sa isang punto ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa plus hanggang minus, kung gayon ito ang magiging pinakamataas na punto (kung mula sa minus hanggang plus, kung gayon ito ang magiging pinakamababang punto). Sa pagsasagawa, maginhawang gamitin ang imahe ng mga arrow sa mga pagitan: sa pagitan kung saan ang derivative ay positibo, ang arrow ay iginuhit pataas at vice versa.

Talahanayan ng mga derivatives ng ilang elementary function:

Function	Derivative
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$kasalanan^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan

1. Ang derivative ng sum at difference ay katumbas ng derivative ng bawat term

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Hanapin ang derivative ng function na $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Ang derivative ng sum at difference ay katumbas ng derivative ng bawat term

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivative ng isang produkto.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Hanapin ang derivative na $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivative ng quotient

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Hanapin ang derivative na $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Ang derivative ng complex function ay katumbas ng produkto ng derivative ng external function at derivative ng internal function

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Hanapin ang pinakamababang punto ng function na $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Hanapin ang ODZ ng function: $x+11>0; x>-11$

2. Hanapin ang derivative ng function na $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Maghanap ng mga nakatigil na puntos sa pamamagitan ng pag-equate ng derivative sa zero

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ang isang fraction ay zero kung ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero

$2x+21=0; x≠-11$

4. Gumuhit ng isang linya ng coordinate, ilagay ang mga nakatigil na punto dito at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative sa nakuha na mga pagitan. Upang gawin ito, pinapalitan namin sa derivative ang anumang numero mula sa pinakakanang rehiyon, halimbawa, zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Sa pinakamababang punto, ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, samakatuwid, ang $-10.5$ na punto ay ang pinakamababang punto.

Sagot: $-10.5$

Hanapin ang maximum na halaga ng function na $y=6x^5-90x^3-5$ sa segment na $[-5;1]$

1. Hanapin ang derivative ng function na $y′=30x^4-270x^2$

2. I-equate ang derivative sa zero at maghanap ng mga nakatigil na puntos

$30x^4-270x^2=0$

Alisin natin sa mga bracket ang karaniwang salik na $30x^2$

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Itakda ang bawat salik na katumbas ng zero

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pumili ng mga nakatigil na puntos na kabilang sa ibinigay na segment na $[-5;1]$

Ang mga nakatigil na puntos na $x=0$ at $x=-3$ ay angkop para sa amin

4. Kalkulahin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa mga nakatigil na punto mula sa aytem 3

Sa serbisyong ito, magagawa mo hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function isang variable na f(x) na may disenyo ng solusyon sa Word. Kung ang function na f(x,y) ay ibinigay, samakatuwid, ito ay kinakailangan upang mahanap ang extremum ng function ng dalawang variable . Maaari mo ring mahanap ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

y=

sa segment [ ;]

Isama ang Teorya

Mga panuntunan sa pagpasok ng function:

Isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum ng isang function ng isang variable

Ang equation f "0 (x *) \u003d 0 ay isang kinakailangang kondisyon para sa extremum ng isang function ng isang variable, ibig sabihin, sa puntong x * ang unang derivative ng function ay dapat maglaho. Pinipili nito ang mga nakatigil na puntos x c kung saan ang function hindi nadaragdagan at hindi nababawasan.

Isang sapat na kundisyon para sa isang extremum ng isang function ng isang variable

Hayaang ang f 0 (x) ay dalawang beses na naiba-iba na may kinalaman sa x na kabilang sa set D . Kung sa puntong x * ang kundisyon ay natugunan:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Pagkatapos ang puntong x * ay ang punto ng lokal (global) na minimum ng function.

Kung sa puntong x * ang kundisyon ay natugunan:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ang puntong x * ay isang lokal (global) na maximum.

Halimbawa #1. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function: sa segment .
Desisyon.

Ang kritikal na punto ay isang x 1 = 2 (f'(x)=0). Ang puntong ito ay kabilang sa segment . (Ang puntong x=0 ay hindi kritikal, dahil 0∉).
Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa kritikal na punto.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Sagot: f min = 5 / 2 para sa x=2; f max =9 sa x=1

Halimbawa #2. Gamit ang mga derivative na may mataas na pagkakasunud-sunod, hanapin ang extremum ng function na y=x-2sin(x) .
Desisyon.
Hanapin ang derivative ng function: y’=1-2cos(x) . Hanapin natin ang mga kritikal na puntos: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nahanap namin ang y''=2sin(x), kalkulahin , kaya ang x= π / 3 +2πk, k∈Z ay ang pinakamababang punto ng function; , kaya ang x=- π / 3 +2πk, k∈Z ay ang pinakamataas na punto ng function.

Halimbawa #3. Siyasatin ang extremum function sa kapitbahayan ng puntong x=0.
Desisyon. Narito ito ay kinakailangan upang mahanap ang extrema ng function. Kung ang extremum x=0 , pagkatapos ay alamin ang uri nito (minimum o maximum). Kung sa mga nahanap na puntos ay walang x = 0, pagkatapos ay kalkulahin ang halaga ng function na f(x=0).
Dapat pansinin na kapag ang hinango sa bawat panig ng isang naibigay na punto ay hindi nagbabago ng tanda nito, ang mga posibleng sitwasyon ay hindi nauubos kahit na para sa pagkakaiba-iba ng mga pag-andar: maaaring mangyari na para sa isang arbitraryong maliit na kapitbahayan sa isang bahagi ng punto x 0 o sa magkabilang panig, ang derivative changes sign. Sa mga puntong ito, ang isa ay kailangang mag-aplay ng iba pang mga pamamaraan upang pag-aralan ang mga function sa isang extremum.