Ang Russian philologist na si Dmitry Nikolaevich Ushakov sa kanyang paliwanag na diksyunaryo ay nagbibigay ng ganitong kahulugan ng konsepto ng "pamamaraan" - isang paraan, isang pamamaraan, isang paraan ng teoretikal na pananaliksik o praktikal na pagpapatupad ng isang bagay (D. N. Ushakov, 2000).

Ano ang mga paraan ng pagtuturo sa paglutas ng mga problema sa matematika, na kasalukuyang itinuturing nating hindi pamantayan? Sa kasamaang palad, walang nakabuo ng isang unibersal na recipe, dahil sa pagiging natatangi ng mga gawaing ito. Nagsasanay ang ilang guro sa mga pagsasanay sa template. Nangyayari ito tulad ng sumusunod: ipinapakita ng guro ang paraan upang malutas, at pagkatapos ay inuulit ito ng mag-aaral kapag nilulutas ang mga problema nang maraming beses. Kasabay nito, ang interes ng mga mag-aaral sa matematika ay pinapatay, na hindi bababa sa nakakalungkot.

Sa matematika, walang mga pangkalahatang tuntunin na nagpapahintulot sa paglutas ng anumang hindi karaniwang problema, dahil ang mga naturang problema ay sa ilang lawak ay natatangi. Ang isang hindi pamantayang gawain sa karamihan ng mga kaso ay itinuturing bilang isang "hamon sa talino, at nagbibigay ng pangangailangan upang mapagtanto ang sarili sa pagtagumpayan ng mga hadlang, sa pag-unlad. pagkamalikhain» .

Isaalang-alang ang ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang problema:

• · algebraic;
• · aritmetika;
• paraan ng enumeration;
• paraan ng pangangatwiran;
• praktikal;
• ang paraan ng paghula.

Algebraic na pamamaraan Ang paglutas ng problema ay nagpapaunlad ng mga malikhaing kakayahan, ang kakayahang mag-generalize, bumubuo ng abstract na pag-iisip at may mga pakinabang tulad ng kaiklian ng pagsulat at pangangatwiran kapag gumuhit ng mga equation, nakakatipid ng oras.

Upang malutas ang problema sa pamamagitan ng algebraic na pamamaraan, kinakailangan:

• · upang pag-aralan ang problema upang piliin ang pangunahing hindi alam at tukuyin ang kaugnayan sa pagitan ng mga dami, pati na rin ang pagpapahayag ng mga dependency na ito sa matematikal na wika sa anyo ng dalawang algebraic na expression;
• hanapin ang batayan para sa pagkonekta ng mga expression na ito sa sign "=" at gumawa ng isang equation;
• maghanap ng mga solusyon sa resultang equation, ayusin ang isang tseke ng solusyon ng equation.

Ang lahat ng mga yugtong ito ng paglutas ng problema ay lohikal na magkakaugnay. Halimbawa, binanggit namin ang paghahanap para sa isang batayan para sa pagkonekta ng dalawang algebraic expression na may pantay na tanda bilang isang espesyal na yugto, ngunit malinaw na sa nakaraang yugto, ang mga expression na ito ay hindi nabuo nang basta-basta, ngunit isinasaalang-alang ang posibilidad ng pagkonekta sa kanila. na may karatulang “=".

Ang parehong pagkakakilanlan ng mga dependency sa pagitan ng mga dami at ang pagsasalin ng mga dependency na ito sa wikang matematikal ay nangangailangan ng matinding analytical at synthetic na aktibidad ng pag-iisip. Ang tagumpay sa aktibidad na ito ay nakasalalay, sa partikular, kung alam ng mga mag-aaral kung anong mga ugnayan ang maaaring magkaroon ng mga dami na ito sa pangkalahatan, at kung naiintindihan nila ang tunay na kahulugan ng mga relasyon na ito (halimbawa, mga relasyon na ipinahayag ng mga terminong "mamaya sa pamamagitan ng ...", " mas matanda ng ... beses " atbp.). Dagdag pa, kailangan ng pag-unawa sa kung anong uri ng aksyong matematikal o, pag-aari ng aksyon, o kung anong koneksyon (dependence) sa pagitan ng mga bahagi at resulta ng aksyon, ito o ang partikular na kaugnayang iyon ay maaaring ilarawan.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng paglutas ng hindi karaniwang problema sa pamamagitan ng algebraic na pamamaraan.

Gawain. Nakahuli ng isda ang mangingisda. Nang tanungin: "Ano ang masa nito?", Siya ay sumagot: "Ang masa ng buntot ay 1 kg, ang masa ng ulo ay pareho sa masa ng buntot at kalahati ng katawan. At ang masa ng katawan ay kapareho ng masa ng ulo at buntot na magkasama. Ano ang masa ng isda?

Hayaang x kg ang masa ng katawan; pagkatapos ay (1+1/2x) kg ang masa ng ulo. Dahil, sa pamamagitan ng kondisyon, ang masa ng katawan ay katumbas ng kabuuan ng mga masa ng ulo at buntot, binubuo at lutasin namin ang equation:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg ang masa ng katawan, pagkatapos ay 1+1/2 4=3 (kg) ang masa ng ulo at 3+4+1=8 (kg) ang masa ng buong isda;

Sagot: 8 kg.

Pamamaraan ng aritmetika Ang mga solusyon ay nangangailangan din ng maraming stress sa pag-iisip, na may positibong epekto sa pag-unlad ng mga kakayahan sa pag-iisip, intuwisyon sa matematika, sa pagbuo ng kakayahang mahulaan ang isang totoong sitwasyon sa buhay.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paglutas ng isang hindi karaniwang problema sa pamamagitan ng isang pamamaraan ng aritmetika:

Gawain. Tinanong ang dalawang mangingisda, "Ilang isda ang nasa inyong mga basket?"

"Nasa basket ko ang kalahati ng nasa basket niya, at 10 pa," sagot ng una. "At mayroon akong kasing dami sa aking basket gaya ng mayroon siya, at kahit na 20," kalkula ng pangalawa. Nagbilang kami, at ngayon nagbibilang ka.

Bumuo tayo ng diagram para sa problema. Hayaang tukuyin ng unang bahagi ng diagram ang bilang ng isda na mayroon ang unang mangingisda. Ang pangalawang bahagi ay tumutukoy sa bilang ng mga isda mula sa pangalawang mangingisda.

Dahil sa katotohanan na ang isang modernong tao ay kailangang magkaroon ng ideya ng mga pangunahing pamamaraan ng pagsusuri ng data at mga probabilistikong pattern na may mahalagang papel sa agham, teknolohiya at ekonomiya, ipinakilala ang mga elemento ng combinatorics, probability theory at mathematical statistics. sa kursong matematika ng paaralan, na madaling maunawaan gamit paraan ng enumeration.

Ang pagsasama ng mga problemang kombinatorial sa kurso ng matematika ay may positibong epekto sa pag-unlad ng mga mag-aaral. "Ang naka-target na pag-aaral upang malutas ang mga problemang kombinatorial ay nag-aambag sa pagbuo ng gayong kalidad ng pag-iisip sa matematika bilang pagkakaiba-iba. Sa ilalim ng pagkakaiba-iba ng pag-iisip, ang ibig naming sabihin ay ang direksyon ng aktibidad ng pag-iisip ng mag-aaral upang maghanap ng iba't ibang solusyon sa problema kung sakaling walang mga espesyal na tagubilin para dito.

Ang mga problemang kombinatorial ay maaaring malutas sa pamamagitan ng iba't ibang pamamaraan. Conventionally, ang mga pamamaraan na ito ay maaaring nahahati sa "pormal" at "impormal". Gamit ang "pormal" na paraan ng solusyon, kailangan mong matukoy ang likas na katangian ng pagpipilian, piliin ang naaangkop na formula o combinatorial rule (may mga kabuuan at mga panuntunan sa produkto), palitan ang mga numero at kalkulahin ang resulta. Ang resulta ay ang bilang ng mga posibleng opsyon, ngunit ang mga pagpipilian mismo ay hindi nabuo sa kasong ito.

Gamit ang "impormal" na paraan ng paglutas, ang proseso ng pagsasama-sama ng iba't ibang mga opsyon ay nauuna. At ang pangunahing bagay ay hindi kung magkano, ngunit kung anong mga pagpipilian ang maaaring makuha. Kabilang sa mga ganitong pamamaraan ang paraan ng enumeration. Ang pamamaraang ito ay magagamit kahit na sa mas batang mga mag-aaral, at nagbibigay-daan sa iyo upang makakuha ng karanasan sa praktikal na solusyon ng mga problemang kombinatoryal, na nagsisilbing batayan para sa pagpapakilala ng mga kombinatoryal na prinsipyo at mga formula sa hinaharap. Bilang karagdagan, sa buhay ang isang tao ay hindi lamang dapat matukoy ang bilang ng mga posibleng pagpipilian, ngunit direktang buuin din ang lahat ng mga pagpipiliang ito, at, na pinagkadalubhasaan ang mga pamamaraan ng sistematikong enumeration, maaari itong gawin nang mas makatwiran.

Ang mga gawain ay nahahati sa tatlong pangkat ayon sa pagiging kumplikado ng enumeration:

• isa. Mga gawain kung saan kailangan mong gumawa ng kumpletong enumeration ng lahat ng posibleng opsyon.
• 2. Mga gawain kung saan hindi praktikal na gamitin ang buong pamamaraan ng enumeration at kailangan mong agad na ibukod ang ilang mga opsyon nang hindi isinasaalang-alang ang mga ito (iyon ay, upang magsagawa ng isang pinaikling enumeration).
• 3. Mga gawain kung saan ang operasyon ng enumeration ay isinasagawa ng ilang beses at may kaugnayan sa iba't ibang uri ng mga bagay.

Narito ang mga kaugnay na halimbawa ng mga gawain:

Gawain. Ang paglalagay ng mga palatandaan na "+" at "-" sa pagitan ng mga ibinigay na numero 9 ... 2 ... 4, bumubuo sa lahat ng posibleng expression.

Mayroong isang buong listahan ng mga pagpipilian:

• a) maaaring magkapareho ang dalawang character sa expression, pagkatapos ay makukuha natin:
  • 9 + 2 + 4 o 9 - 2 - 4;
• b) maaaring magkaiba ang dalawang palatandaan, pagkatapos ay makukuha natin:
  • 9 + 2 - 4 o 9 - 2 + 4.

Gawain. Sinabi ng guro na gumuhit siya ng 4 na mga figure sa isang hilera: malaki at maliit na mga parisukat, malaki at maliit na mga bilog upang ang bilog ay nasa unang lugar at ang mga figure ng parehong hugis ay hindi magkatabi, at inanyayahan ang mga mag-aaral na hulaan. ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga figure na ito ay nakaayos.

Mayroong 24 na magkakaibang pagsasaayos ng mga bilang na ito sa kabuuan. At hindi ipinapayong isulat ang lahat ng ito, at pagkatapos ay piliin ang mga tumutugma sa kondisyong ito, samakatuwid, ang isang pinaikling enumeration ay isinasagawa.

Ang isang malaking bilog ay maaaring nasa unang lugar, pagkatapos ang isang maliit ay maaari lamang sa ikatlong lugar, habang ang malaki at maliit na mga parisukat ay maaaring ilagay sa dalawang paraan - sa pangalawa at ikaapat na lugar.

Ang isang katulad na pangangatwiran ay isinasagawa kung ang unang lugar ay isang maliit na bilog, at dalawang mga pagpipilian ay pinagsama din.

Gawain. Tatlong partner ng parehong kumpanya ang nagtatago ng mga securities sa isang safe na may 3 lock. Nais ng mga kasama na ipamahagi ang mga susi sa mga kandado sa kanilang sarili upang ang ligtas ay mabuksan lamang sa presensya ng hindi bababa sa dalawang kasama, ngunit hindi isa. Paano ko magagawa iyon?

Una, ang lahat ng posibleng kaso ng pamamahagi ng susi ay binibilang. Ang bawat kasama ay maaaring bigyan ng isang susi, o dalawang magkaibang susi, o tatlo.

Ipagpalagay natin na ang bawat kasama ay may tatlong magkakaibang susi. Pagkatapos ang ligtas ay maaaring buksan ng isang kasama, at hindi ito nakakatugon sa kondisyon.

Ipagpalagay natin na ang bawat kasama ay may isang susi. Tapos kung dumating ang dalawa, hindi na nila mabubuksan ang safe.

Bigyan natin ang bawat kasama ng dalawang magkaibang susi. Ang una - 1 at 2 key, ang pangalawa - 1 at 3 key, ang pangatlo - 2 at 3 key. Suriin natin kung may dalawang kasamang darating para makita kung mabubuksan nila ang safe.

Maaaring dumating ang una at pangalawang kasama, magkakaroon sila ng lahat ng susi (1 at 2, 1 at 3). Maaaring dumating ang una at pangatlong mga kasama, magkakaroon din sila ng lahat ng mga susi (1 at 2, 2 at 3). Sa wakas, maaaring dumating ang pangalawa at pangatlong kasama, magkakaroon din sila ng lahat ng mga susi (1 at 3, 2 at 3).

Kaya, upang mahanap ang sagot sa problemang ito, kailangan mong isagawa ang operasyon ng pag-ulit nang maraming beses.

Kapag pumipili ng mga problemang kombinatorial, dapat bigyang-pansin ng isa ang paksa at anyo ng paglalahad ng mga problemang ito. Ito ay kanais-nais na ang mga gawain ay hindi mukhang artipisyal, ngunit naiintindihan at kawili-wili sa mga bata, pukawin ang mga positibong emosyon sa kanila. Maaari kang gumamit ng praktikal na materyal mula sa buhay upang gumuhit ng mga gawain.

Mayroong iba pang mga problema na maaaring malutas sa pamamagitan ng enumeration.

Bilang halimbawa, lutasin natin ang problema: "Si Marquis Karabas ay 31 taong gulang, at ang kanyang batang energetic na Puss in Boots ay 3 taong gulang, nang maganap ang mga pangyayaring kilala mula sa fairy tale. Ilang taon na ang lumipas mula noon, kung ngayon ang Pusa ay tatlong beses na mas bata kaysa sa may-ari nito? Ang enumeration ng mga opsyon ay kinakatawan ng isang talahanayan.

Edad ng Marquis ng Carabas at Puss in Boots

14 - 3 = 11 (taon)

Sagot: 11 taon na ang lumipas.

Kasabay nito, ang mag-aaral, tulad nito, ay nag-eksperimento, nagmamasid, naghahambing ng mga katotohanan at, batay sa mga partikular na konklusyon, ay gumagawa ng ilang mga pangkalahatang konklusyon. Sa proseso ng mga obserbasyon na ito, ang kanyang tunay na praktikal na karanasan ay pinayaman. Ito talaga ang praktikal na halaga ng mga problema sa pag-enumerate. Sa kasong ito, ang salitang "enumeration" ay ginagamit sa kahulugan ng pagsusuri sa lahat ng posibleng mga kaso na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema, na nagpapakita na walang ibang mga solusyon.

Ang problemang ito ay maaari ding malutas sa pamamagitan ng algebraic na pamamaraan.

Hayaang ang Cat ay x taong gulang, pagkatapos ang Marquis ay 3x, batay sa kondisyon ng problema, bubuo kami ng equation:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

Ang pusa ay 14 taong gulang na ngayon, pagkatapos ay 14 - 3 = 11 (taon) ang lumipas.

Sagot: 11 taon na ang lumipas.

paraan ng pangangatwiran maaaring magamit upang malutas ang mga sophism sa matematika.

Ang mga pagkakamaling nagawa sa sophism ay kadalasang nauuwi sa mga sumusunod: pagsasagawa ng "ipinagbabawal" na mga aksyon, paggamit ng mga maling drawing, maling paggamit ng salita, hindi tumpak na mga formulation, "illegal" na generalizations, maling aplikasyon ng theorems.

Ang pagsisiwalat ng sophism ay nangangahulugang ituro ang isang pagkakamali sa pangangatwiran, batay sa kung saan nilikha ang panlabas na anyo ng patunay.

Ang pagsusuri ng mga sophism, una sa lahat, ay bubuo ng lohikal na pag-iisip, instills ang mga kasanayan ng tamang pag-iisip. Ang pagtuklas ng isang pagkakamali sa sophism ay nangangahulugan ng pagkilala dito, at ang kamalayan ng isang pagkakamali ay pumipigil dito na maulit sa ibang matematikal na pangangatwiran. Bilang karagdagan sa pagiging kritikal ng pag-iisip ng matematika, ang ganitong uri ng mga hindi karaniwang gawain ay nagpapakita ng kakayahang umangkop ng pag-iisip. Magagawa ba ng mag-aaral na "makawala sa mga mahigpit na hawak" ng landas na ito, na sa unang tingin ay mahigpit na lohikal, upang putulin ang kadena ng mga hinuha sa mismong link na mali at ginagawang mali ang lahat ng karagdagang pangangatwiran?

Ang pagsusuri ng mga sophism ay nakakatulong din sa mulat na asimilasyon ng materyal na pinag-aaralan, nagkakaroon ng pagmamasid at isang kritikal na saloobin sa kung ano ang pinag-aaralan.

a) Dito, halimbawa, ay isang sophism na may maling aplikasyon ng theorem.

Patunayan natin na 2 2 = 5.

Kunin natin ang sumusunod na halatang pagkakapantay-pantay bilang paunang ratio: 4: 4 = 5: 5 (1)

Inalis namin sa mga bracket ang karaniwang salik sa kaliwa at kanang bahagi, nakukuha namin:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Ang mga numero sa mga bracket ay pantay, kaya 4 = 5 o 2 2 = 5.

Sa pangangatwiran, kapag pumasa mula sa pagkakapantay-pantay (1) hanggang sa pagkakapantay-pantay (2), ang isang ilusyon ng posibilidad ay nilikha batay sa isang maling pagkakatulad na may distributive na ari-arian ng multiplikasyon na may paggalang sa karagdagan.

b) Sophism gamit ang "illegal" na mga generalization.

Mayroong dalawang pamilya - Ivanovs at Petrovs. Bawat isa ay binubuo ng 3 tao - ama, ina at anak. Hindi kilala ng ama ni Ivanov ang ama ni Petrov. Hindi kilala ng ina ni Ivanov ang ina ni Petrova. Ang nag-iisang anak na lalaki ng mga Ivanov ay hindi nakakaalam ng nag-iisang anak na lalaki ng mga Petrov. Konklusyon: hindi isang miyembro ng pamilyang Ivanov ang nakakaalam ng isang miyembro ng pamilyang Petrov. Totoo ba ito?

Kung hindi kilala ng isang miyembro ng pamilyang Ivanov ang isang miyembro ng pamilyang Petrov na pantay sa katayuan sa pag-aasawa, hindi ito nangangahulugan na hindi niya kilala ang buong pamilya. Halimbawa, maaaring kilala ng ama ni Ivanov ang ina at anak ni Petrov.

Ang pamamaraan ng pangangatwiran ay maaari ding gamitin upang malutas ang mga lohikal na problema. Ang mga lohikal na gawain ay karaniwang nauunawaan bilang mga gawaing iyon na nalutas gamit lamang ang mga lohikal na operasyon. Minsan ang kanilang solusyon ay nangangailangan ng mahabang pangangatwiran, ang kinakailangang direksyon na hindi maaaring mahulaan nang maaga.

Gawain. Sinabi nila na ibinigay ni Tortila ang gintong susi kay Pinocchio hindi kasing simple ng sinabi ni A. N. Tolstoy, ngunit sa isang ganap na naiibang paraan. Naglabas siya ng tatlong kahon: pula, asul at berde. Sa pulang kahon ay nakasulat: "Narito ang isang gintong susi", at sa asul - "Walang laman ang berdeng kahon", at sa berde - "Narito ang isang ahas". Binasa ni Tortila ang mga inskripsiyon at sinabi: “Sa katunayan, may gintong susi sa isang kahon, isang ahas sa isa, at ang pangatlo ay walang laman, ngunit ang lahat ng mga inskripsiyon ay mali. Kung hulaan mo kung aling kahon ang naglalaman ng gintong susi, sa iyo iyon." Nasaan ang gintong susi?

Dahil ang lahat ng mga inskripsiyon sa mga kahon ay hindi tama, kung gayon ang pulang kahon ay hindi naglalaman ng isang gintong susi, ang berdeng kahon ay walang laman at walang ahas sa loob nito, na nangangahulugan na ang susi ay nasa berdeng kahon, ang ahas ay nasa loob. ang pula, at ang asul ay walang laman.

Kapag nilulutas ang mga lohikal na problema, ang lohikal na pag-iisip ay isinaaktibo, at ito ang kakayahang maghinuha ng mga kahihinatnan mula sa mga lugar, na mahalaga para sa matagumpay na karunungan ng matematika.

Ang isang rebus ay isang bugtong, ngunit ang isang bugtong ay hindi pangkaraniwan. Ang mga salita at numero sa mathematical puzzle ay inilalarawan gamit ang mga guhit, asterisk, numero at iba't ibang palatandaan. Upang basahin kung ano ang naka-encrypt sa rebus, dapat mong pangalanan nang tama ang lahat ng mga bagay na inilalarawan at maunawaan kung aling sign ang naglalarawan kung ano. Gumamit ng mga puzzle ang mga tao kahit na hindi sila marunong magsulat. Binubuo nila ang kanilang mga titik mula sa mga bagay. Halimbawa, minsan nagpadala ang mga pinuno ng isang tribo ng ibon, daga, palaka at limang palaso sa halip na sulat sa kanilang mga kapitbahay. Ibig sabihin: “Kaya mo bang lumipad tulad ng mga ibon at magtago sa lupa tulad ng mga daga, tumalon sa mga latian tulad ng mga palaka? Kung hindi mo alam kung paano, huwag mo kaming subukang labanan. Bombombahin ka namin ng mga palaso sa sandaling makapasok ka sa ating bansa."

Sa paghusga sa unang titik ng kabuuan 1), D = 1 o 2.

Ipagpalagay na D = 1. Pagkatapos, Y? 5. Y \u003d 5 ay hindi kasama, dahil Ang P ay hindi maaaring katumbas ng 0. Y? 6, dahil 6 + 6 = 12, ibig sabihin. P = 2. Ngunit ang naturang halaga ng P ay hindi angkop para sa karagdagang pagpapatunay. Ganun din, U? 7.

Ipagpalagay na Y = 8. Pagkatapos, P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Ang magic (magic) square ay isang parisukat kung saan ang kabuuan ng mga numero ay patayo, pahalang at pahilis ay pareho.

Gawain. Ayusin ang mga numero mula 1 hanggang 9 upang patayo, pahalang at pahilis ay makuha mo ang parehong kabuuan ng mga numero, katumbas ng 15.

Bagama't walang mga pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga hindi karaniwang problema (kaya naman ang mga problemang ito ay tinatawag na hindi pamantayan), sinubukan naming magbigay ng ilang pangkalahatang alituntunin - mga rekomendasyon na dapat sundin kapag nilulutas ang mga hindi karaniwang problema ng iba't ibang uri. .

Ang bawat hindi karaniwang gawain ay orihinal at natatangi sa solusyon nito. Kaugnay nito, ang binuo na pamamaraan para sa aktibidad ng paghahanap sa pagtuturo kapag ang paglutas ng mga hindi karaniwang gawain ay hindi bumubuo ng mga kasanayan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang gawain, maaari lamang nating pag-usapan ang pagbuo ng ilang mga kasanayan:

• kakayahang maunawaan ang gawain, i-highlight ang pangunahing (suportang) salita;
• ang kakayahang kilalanin ang kondisyon at tanong, kilala at hindi alam sa problema;
• ang kakayahang makahanap ng isang koneksyon sa pagitan ng data at ang nais, iyon ay, upang pag-aralan ang teksto ng problema, ang resulta kung saan ay ang pagpili ng isang aritmetika na operasyon o isang lohikal na operasyon upang malutas ang isang hindi karaniwang problema;
• ang kakayahang itala ang pag-unlad ng solusyon at ang sagot sa problema;
• · kakayahang magsagawa ng karagdagang gawain sa gawain;
• ang kakayahang pumili ng kapaki-pakinabang na impormasyon na nakapaloob sa problema mismo, sa proseso ng paglutas nito, upang i-systematize ang impormasyong ito, iugnay ito sa umiiral na kaalaman.

Ang mga di-karaniwang gawain ay bumuo ng spatial na pag-iisip, na ipinahayag sa kakayahang muling likhain sa isip ang mga spatial na larawan ng mga bagay at magsagawa ng mga operasyon sa kanila. Ang spatial na pag-iisip ay ipinapakita kapag nilutas ang mga problema tulad ng: "Sa tuktok ng gilid ng isang bilog na cake, 5 tuldok ng cream ang inilagay sa parehong distansya mula sa bawat isa. Ang mga pagbawas ay ginawa sa lahat ng mga pares ng mga puntos. Ilang piraso ng cake ang nakuha mo sa kabuuan?

praktikal na pamamaraan maaaring isaalang-alang para sa hindi karaniwang mga problema sa dibisyon.

Gawain. Ang stick ay kailangang gupitin sa 6 na piraso. Ilang hiwa ang kakailanganin?

Solusyon: Kakailanganin ng mga hiwa 5.

Kapag nag-aaral ng mga hindi karaniwang problema sa dibisyon, kailangan mong maunawaan: upang i-cut ang isang segment sa P na bahagi, dapat kang gumawa ng (P - 1) cut. Ang katotohanang ito ay dapat na maitatag sa mga bata nang pasaklaw, at pagkatapos ay gamitin sa paglutas ng mga problema.

Gawain. Sa isang tatlong metrong bar - 300 cm Dapat itong i-cut sa mga bar na 50 cm ang haba bawat isa. Ilang hiwa ang kailangan mong gawin?

Solusyon: Nakakuha kami ng 6 na bar 300: 50 = 6 (bar)

Nagtatalo kami bilang mga sumusunod: upang hatiin ang bar sa kalahati, iyon ay, sa dalawang bahagi, kailangan mong gumawa ng 1 hiwa, sa 3 bahagi - 2 pagbawas, at iba pa, sa 6 na bahagi - 5 pagbawas.

Kaya, kailangan mong gumawa ng 6 - 1 = 5 (mga hiwa).

Sagot: 5 hiwa.

Kaya, ang isa sa mga pangunahing motibo na naghihikayat sa mga mag-aaral na mag-aral ay ang interes sa paksa. Ang interes ay isang aktibong cognitive orientation ng isang tao sa isang partikular na bagay, kababalaghan at aktibidad, na nilikha na may positibong emosyonal na saloobin sa kanila. Ang isa sa mga paraan ng pagbuo ng interes sa matematika ay hindi karaniwang mga gawain. Ang isang hindi karaniwang gawain ay nauunawaan bilang mga gawain kung saan walang mga pangkalahatang tuntunin at regulasyon sa kurso ng matematika na tumutukoy sa eksaktong programa para sa kanilang solusyon. Ang paglutas ng mga naturang problema ay nagpapahintulot sa mga mag-aaral na aktibong makisali sa mga aktibidad sa pag-aaral. Mayroong iba't ibang mga klasipikasyon ng mga problema at pamamaraan para sa kanilang solusyon. Ang pinakakaraniwang ginagamit ay algebraic, arithmetic, praktikal na pamamaraan at enumeration, pangangatwiran at haka-haka.

Ang layunin ay turuan ang mga mag-aaral na lutasin ang mga hindi karaniwang equation at hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng malalim na pag-unawa sa mga teoretikal na pundasyon na ginagamit sa matematika.

Mga gawaing nalutas sa proseso ng pag-aaral:

• bumuo ng hindi pamantayang pag-iisip ng mga mag-aaral;
• upang mabuo ang kakayahang bumuo ng mga modelo ng matematika;
• bumuo ng mga kasanayan sa pagpasa sa pagsubok bilang paghahanda para sa pagsusulit (paglutas ng mga problema ng mas kumplikado);
• dagdagan ang interes sa matematika;
• magtanim ng tiwala sa mga mag-aaral sa paglutas ng mga problema

1. Organisasyon sandali. Pagtatakda ng mga layunin at layunin para sa aralin. Paglikha ng mga kondisyon para sa matagumpay magkasanib na aktibidad(Ang gawain sa aralin ay sinusuri ng isang sistema ng pagmamarka, isang elektronikong journal ay itinatago).

2. Pagsusuri ng takdang-aralin (electronic journal para sa aralin). Sinusuri ng mga mag-aaral ang araling-bahay (ihambing ang kanilang mga solusyon sa mga handa na solusyon, magtrabaho nang magkapares.) sa isang dokumento ng Microsoft Office Word sa screen (inihanda ng guro ang mga solusyon).

Takdang aralin

Lutasin ang mga equation:

Desisyon.

Desisyon. Isulat muli natin ang equation na ito sa anyo:

3.

Desisyon.

Ang ugat ng equation ay hindi nakakatugon sa kundisyon.

3. Oral survey ng mga mag-aaral. Mutual checking at scoring sa score card; sa panahon ng lesson, ang mga resulta ay nakatala sa isang electronic journal

1. Paano nalulutas ang mga equation ng anyo?

2. Paano ang mga equation ng form ?

3. Paano nalulutas ang mga logarithmic equation na may iba't ibang base?

4. Paano nalulutas ang mga equation kung saan lumilitaw ang isang function ng form?

4. Problema sa gawain (magpangkat-pangkat), ang gawain ay nasa bawat mesa sa mga pulang papel. Isulat ng mga mag-aaral ang petsa at paksa ng aralin sa kanilang kuwaderno at sinimulang lutasin ang problema.

1. Lutasin ang equation

na sa yugtong ito ay malinaw na ang solusyon ay magiging napakahirap. Isang problema ang lumitaw - upang malutas ang equation na ito nang higit pa o maghanap ng ibang paraan upang malutas ito?

kasi logarithmic expression para sa lahat X mas malaki sa 1, kung gayon ang bawat logarithm ay positibong numero o katumbas ng 0.

Upang ang kabuuan ay katumbas ng 0, kinakailangan na magdagdag ng mga zero o kabaligtaran na mga numero, samakatuwid ang bawat logarithm ay maaari lamang kumuha ng halaga na katumbas ng zero, ibig sabihin.:

Kaya, napagpasyahan namin na ang mga equation ay maaaring malutas gamit ang mga katangian ng function.

Para sa isang malayang solusyon: Lutasin ang equation: .

ang kaliwang bahagi ng equation ay isang monotonically decreasing function, at ang kanang bahagi ay pare-pareho, samakatuwid, ang equation ay may isang solong ugat x=1(madaling pumili).

5. Pag-aaral ng bagong paksa. Upang malutas ang karamihan sa mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na nakatagpo sa mga pagsusulit, lalo na sa Unified State Examination, sapat na upang makabisado ang kurso ng matematika sa paaralan, ngunit sa parehong oras ay kinakailangan upang malutas ang mga ito hindi lamang gamit ang mga karaniwang pamamaraan. , ngunit gumagamit din ng "hindi karaniwang mga diskarte at pamamaraan". Narito kami sa iyo sa susunod na limang aralin at gagawa kami ng mga ganitong pamamaraan at pamamaraan.

Alam mo na kung paano gamitin ang paraan ng pagpapalit kapag nilulutas ang ilang mga equation. Ngayon natutunan na natin na kapag nilulutas ang mga equation, maaari mong ilapat ang mga katangian ng mga pag-andar.

Ngayon gusto kong ipakita ang aplikasyon ng pinaghihigpitang ari-arian.

1. Theorem 1. Kung at , pagkatapos ay ang equation

Lutasin ang Equation

Isulat muli natin ang equation sa anyo:

Dahil at , samakatuwid, ang equation na ito ay katumbas ng system:

2.Paraan ng pagsusuri

Kadalasan ang isang palatandaan na ang paraan ng pagtatantya ay dapat ilapat ay ang pagkakaroon ng mga pag-andar ng ibang kalikasan sa equation.

Lutasin ang Equation

Ang pagkakapantay-pantay ay makakamit kung

Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga ng x sa equation (2), nakukuha namin:

-solusyon ng system.

3. Paggamit ng monotonicity method upang malutas ang mga hindi karaniwang equation at hindi pagkakapantay-pantay

Kung ang y=f(x) ay isang monotonic function, kung gayon ang equation na f(x) = c ay may hindi hihigit sa isang ugat

Hayaang tumaas ang function na y=f(x) sa interval M, at bumaba ang function na y=g(x) sa interval na ito. Pagkatapos ang equation na f(x)=g(x) ay may hindi hihigit sa isang ugat sa pagitan ng M.

Hayaang ang domain ng function na f(t) ay ang interval M, at hayaan ang function na ito na tuluy-tuloy at mahigpit na monotoniko (iyon ay, pagtaas o pagbaba) sa interval na ito. Pagkatapos ang equation ay katumbas ng system:

Kapag nilulutas ang mga equation ng form, ang sumusunod na theorem ay kapaki-pakinabang: Kung

Ang isang monotonically pagtaas (decreasing) function, ang mga equation at ay katumbas.

Lutasin ang Equation:

Desisyon. - pagtaas ng function (bilang ang kabuuan ng dalawang pagtaas ng function).

Ang kanang bahagi ng equation ay isang pare-parehong numero. Sa bisa ng root theorem, ang equation ay may hindi hihigit sa isang solusyon. Malinaw, ang =2 ay isang ugat.

Sagot: =2.

4. Paggamit ng domain ng kahulugan ng mga function sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ang isang pamamaraan ay isinasaalang-alang kapag, kapag isinasaalang-alang ang isang equation o isang hindi pagkakapantay-pantay, lumalabas na ang parehong mga bahagi nito ay tinukoy sa isang tiyak na hanay na binubuo ng isa o higit pang mga numero.

Ang pamamaraang ito ay pinaka-epektibo sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, na kinabibilangan ng mga function y=; y=; y=; y = .

Kapag nilulutas ang isang equation o hindi pagkakapantay-pantay, ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi at isaalang-alang ang function f(x). Hanapin ang domain ng kahulugan nito D (f). kung saan:

isa). Kung ang D (f) = , kung gayon ang equation o hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon.

2). Kung ang D (f) \u003d (a 1; a 2; a 3 .....a n), kung gayon ang mga tunay na solusyon ng ibinigay na equation at hindi pagkakapantay-pantay ay kabilang sa mga numero isang 1; isang 2; a 3 .....a n . Ngayon kailangan nating suriin kung alin sa mga ibinigay na numero ang mga solusyon sa equation o hindi pagkakapantay-pantay.

3). Kung ang D(f) = [a; sa], pagkatapos ay kailangan mong suriin kung ang equation o hindi pagkakapantay-pantay ay totoo sa mga dulo ng agwat at sa bawat pagitan, bukod dito, kung a< 0 , a c > 0, pagkatapos ito ay kinakailangan upang suriin ang mga pagitan (а; 0) at )